Statika (2.vydanie)

Prepis

1 ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špecálneho nžnerstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martn BENIAČ, PhD. STATIKA PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydane Určené pre študjné odbory Bezpečnostný manažment, Špecálny manažment, Doprava v krízových stuácách a Záchranné služby. Vydala Žlnská unverzta 2005

2 Recenzent: prof. Ing. Norbert Szuttor, DrSc. doc. Ing. Josef Retšpís, PhD. Schválla edčná rada ŽU v Žlne výmerom číslo 8/2004 J.Kovačk, M.Benač, 2003 ISBN X kovben

3 OBSAH PREDSLOV ÚVOD DO MECHANIKY A STATIKY Úvod do mechanky, základné pojmy a defníce Základné pojmy, axómy a úlohy statky Axóma o rovnobežníku síl Axóma o rovnováhe dvoch síl Axóma o prdaní (odobratí) rovnovážnej sústavy síl ROVINNÁ SÚSTAVA SÍL Rovnný zväzok síl Redukca rovnného zväzku síl Analytcké rešene Grafcké rešene Rovnováha rovnného zväzku síl Statcká určtosť úloh Rovnováha troch síl v rovne Všeobecná rovnná sústava síl Statcký moment sly Slová dvojca Preložene sly na telese a skladane sly a dvojce síl Redukca všeobecnej rovnnej slovej sústavy Analytcké (výpočtové) rešene Grafcké rešene Rovnováha všeobecnej rovnnej sústavy síl Analytcké (výpočtové) rešene rovnováhy Grafcké rešene rovnováhy Statcká určtosť úloh Rešene sústavy rovnobežných síl ŤAŽISKÁ HMOTNÝCH ÚTVAROV... 69

4 4 PRIAME NOSNÍKY A RÁMY Typy nosníkov a rovnných rámov - uložene a vonkajše zaťažene Výpočet reakcí Vnútorné slové účnky Výpočet vnútorných síl N, Q, M O Prebeh vnútorných síl N, Q, M O ROVINNÉ SÚSTAVY TELIES Rovnné prútové sústavy Základná úloha, statcká a tvarová určtosť Rozdelene statcky určtých prútových sústav Jednoduchá prútová sústava Zložená prútová sústava Zložtá prútová sústava Metódy rešena statcky určtých rovnných prútových sústav Metódy rešena jednoduchých prútových sústav Postupná uzlová metóda Cremonova grafcká metóda Metódy rešena zložených prútových sústav Culmannova grafcká metóda Rtterova analytcká metóda Metódy rešena zložtých prútových sústav Hannebergova metóda náhradného prútu (n) Metóda neurčtej merky Nektoré dôležté poznámky o rešení prútových sústav PASÍVNE ODPORY Šmykové trene, súčnteľ trena, súčnteľ adhéze Čapové trene Valvý odpor Trene vláken (pásov) PREHĽAD POUŽITÝCH SYMBOLOV A JEDNOTIEK POUŽITÁ LITERATÚRA

5 PREDSLOV Skrptá Statka pre špecálne nžnerstvo sú určené študentom Fakulty špecálneho nžnerstva ŽU. Vznkl na podnet detašovaného pracovska FŠI ŽU v Košcach, na zabezpečene lteratúry najmä pre externú dennú formu štúda v odboroch špecálneho a bezpečnostného manažmentu. Úlohou predmetu statka, spoločne s ďalším predmetm tohto zamerana v špecálnom nžnerstve je, aby analýza príčn a opatrena prjímané na rešene krízových stuácí bol efektívne a vždy v súlade s ch fyzkálnou podstatou. Obsahnutá látka zo statky je rozdelená do 6 kaptol, v ktorých okrem nutnej teóre sú na lustrácu a získane potrebnej zručnost aj vypočítané príklady. Väčša časť skrípt, počnúc treťou kaptolou, je venovaná metódam a aplkácám základných vedomostí zo statky (kap. 1 a 2) na rešene podmenok rovnováhy a ekvvalence slových sústav na skutočných telesách v rovne. Štúdum a osvojene s vedomostí zo statky predpokladá znalost matematky a fyzky, v rozsahu týchto predmetov prednášaných na FŠI ŽU. Pr spracovaní skrípt sme vychádzal z osnovy predmetov v oboch odboroch štúda na FŠI ŽU a ustálenej metodky vyučovana statky na technckých vysokých školách. Voddlom nám bol najmä skrptá VTA v Brne. Snažl sme sa o pragmatcký prístup - o čo najjednoduchše a úsporné objasnene teóre, o dôraz na jej aplkáce v príkladoch, a o využte vlastných skúseností z praktckej výučby. Ďakujeme Prof. Ing. Norbertov Szuttorov, DrSc. a doc. Ing. Josefov Retšpísov, PhD. za ch starostlvú recenzu a prpomenky. Autor 5

6 6

7 1. ÚVOD DO MECHANIKY A STATIKY 1.1 Úvod do mechanky, základné pojmy a defníce objektov. Mechanku možno defnovať ako vedu o pohybe a o vzájomnom pôsobení hmotných Podľa druhu hmotných objektov sa mechanka delí na mechanku tuhých teles, mechanku deformovaných teles a mechanku kvapalín a plynov. Z vacerých ďalších možných delení uveďme najčastejše klascké rozdelene mechanky (Lagrange, ) na statku, knematku a dynamku. Statka Knematka Dynamka vyšetruje telesá a ch vzájomné pôsobene (prevažne) v pokoj. vyšetruje pohyb teles v prestore a v čase, prčom neuvažuje s ch hmotnosťou a vzájomným účnkom. vyšetruje pohyb teles so zreteľom na ch hmotnosť a vzájomné slové pôsobene. V bežnej technckej prax sa úlohy v mechanke reša v medzach platnost tzv. klasckej mechanky, ktorej základom sú tr Newtonove ( ) zákony: Zákon zotrvačnost hmotný bod zotrváva v pokoj, alebo v rovnomernom pohybe, ak ne je okoltým telesam nútený zmenť svoj pôvodný stav. Zákon pohybový zmena pohybu (zrýchlene) je pramo úmerná sle, ktorá na teleso pôsobí a má smer pôsobacej sly (Pozn.: tež zvaný ako zákon sly ). Zákon akce a reakce ak pôsobí teleso 1 na druhé slou F 12 (akcou), pôsobí teleso 2 na prvé rovnako veľkou slou F 21 opačného zmyslu (reakcou). 7

8 Hmota exstuje v prestore a v čase. Polohu akéhokoľvek objektu v prestore možno určť len ako relatívnu, t. j. vždy ba vzhľadom na počatok dajakého súradncového systému. (Termínom prestor sa v klasckej mechanke rozume eukldovský trojrozmerný prestor). Neoddelteľnou vlastnosťou hmoty je pohyb, t. j. časová zmena polohy hmotného objektu v danej súradncovej sústave (prestore). Neexstuje hmotný objekt, ktorý by nebol v pohybe aspoň v jednej súradncovej sústave! Aby bolo možné popísať, t. j. početne vyjadrť (kvantfkovať) úlohy v mechanke je teda potrebné najskôr zavesť vhodnú súradncovú sústavu. Pr rešení úloh v prestore sa používajú: pravouhlá (ortogonálna) trojosá súradncová sústava, ďalej valcová (cylndrcká) a guľová (sfércká) súradncová sústava. V úlohách rešených v rovne sa najčastejše používa pravouhlá (ortogonálna) dvojosá súradncová sústava a keď je to výhodnejše polárna súradncová sústava (obr. 1.1). pravouhlá súradncová sústava polárna súradncová sústava Obr. 1.1 Predpokladom na použte zákonov klasckej mechanky je nercálnosť súradncovej sústavy. Ako ntercálna (nepohyblvá, stála) súradncová sústava sa v bežných technckých problémoch považuje sústava spojená so Zemou (pole zrýchlena spôsobené rotácou Zeme je zanedbateľné). Základné velčny mechanky sú: hmotnosť dĺžka čas. 8

9 V sústave SI (Systéme Internatonal d`untes) sa uvažuje s nasledujúcm hodnotam základných velčín: Jednotkou hmotnost je 1 kg (klogram). Táto jednotka je daná (dohovorenou) hmotnosťou medznárodného prototypu klogramu. Jednotkou dĺžky (vzdalenost) je 1 m (meter). Jeho veľkosť je daná národným štandardom dĺžkovej mery. Jednotkou času je 1 s (sekunda). Čas sa považuje za rovnomerne a nezávsle plynúcu velčnu. Ostatné velčny a ch jednotky, ktoré sa používajú v mechanke sú odvodené zo základných. K najvýznamnejším odvodeným velčnám patrí Sla Sla je vektor (F). Aby bol vektor sly jednoznačne určený (obr. 1.2) musí byť u sly známa jej: veľkosť mesto pôsobena smer zmysel. F... vektor sly /F/ = F... veľkosť sly e F... smer a zmysel ( šípka ) sly /e F / = 1 (jednotkový vektor) e... nosteľka sly A... pôsobsko sly r A... polohový vektor pôsobska sly 0... počatok súradncovej sústavy α, β... smerové uhly vektoru sly Obr. 1.2 F x, F y... súradnce vektoru sly X A, Y A... súradnce polohového vektoru (pôsobska sly) x, y... os súradncovej sústavy Pramka, na ktorej leží vektor sly, sa nazýva nosteľkou sly. 9

10 Jednotkou veľkost sly je 1 N (Newton) Sla s veľkosťou 1 N udelí hmotnému bodu s hmotnosťou 1 kg zrýchlene a = 1ms -2 v smere a zmysle sly (2. Newtonov zákon: m.a = F), t.j.: 1N = [1kg.ms -2 ]. V technckej prax sa často využívajú jej násobky, napr.: 1kN = 10 3 N, 1 MN = 10 6 N, resp. 1mN = 10-3 N, 1μN = 10-6 N. Rozdelene síl Sly sa rozdeľujú podľa rôznych krtérí tak, aby to zodpovedalo potrebám rešených úloh v mechanke. V súlade s tým sa sly dela na (obr. 1.3): 1. Vonkajše (vyvolané vonkajším účnkam na teleso) a vnútorné (sly vo vnútr telesa). 2. Prvotné (prmárne, akce) a druhotné (sekundárne, reakce), ktoré sa prejava vo väzbách medz telesam. 3. Povrchové (kontaktné, dotykové) a objemové (vlastná taž telesa, odstredvé sly, magnetcké sly). Vonkajše sly môžeme ďalej rozdelť na: Osamelé, ak sa účnok vonkajšej sly sústreďuje na veľm malú plošku v pomere k celkovým rozmerom telesa. (Pr výpočtoch uvažujeme, že takáto sla pôsobí v bode). Osamelé sly merame v [N], [kn].... Spojté, keď vonkajše zaťažene je rozložené na určtej čare alebo ploche (napr. vlastná taž telesa). Spojté zaťažene, rozložené po čare merame v [Nm -1 ] a rozložené po ploche v jednotkách [Nm -2 ]. 10

11 Zaťažena možno delť ďalej na trvalé (napr. vlastná taž) a dočasné (prechádzajúce vozdlo na moste, účnok vetra a pod.), alebo na statcké a dynamcké (pôsobace v krátkej časovej peróde), stále a cyklcké atď. (náhradná sla) osamelá sla sústava osamelých bremen stále spojté zaťažene pohyblvé spojté častočné zaťažene stále spojté trojuholníkové zaťažene kombnované (zložené) zaťažene zaťažene vonkajším momentm zaťažene slam rôzneho smeru Obr. 1.3 Významnou objemovou slou je sla taže. Je pramoúmerná gravtačnému zrýchlenu a v blízkost zemského povrchu má veľkosť g = 9,806 ms -2. Sla taže pôsobaca na teleso s hmotnosťou m je G = g.m [N]. Pre štúdum a všeobecný pops vlastností mechanckých stavov a javov skutočných teles vznkol rad užtočných fyzkálnych abstrakcí, akým sú: Hmotný bod... telesko, ktoré má zanedbateľné rozmery, konečnú hmotnosť (m 0) a nulový moment zotrvačnost. Hmotné teleso... súbor vzájomne vazaných hmotných bodov, ktorých celková hmotnosť sa rovná hmotnost telesa. Ak sa vzdalenost medz vazaným hmotným bodm môžu menť hovoríme o poddajnost telesa (sústave hmotných bodov). Vtedy, keď teto vzdalenost považujeme za nepremenné (stále) hovoríme o dokonale tuhom telese. Dokonale tuhé teleso má tr zotrvačné charakterstky: celkovú hmotnosť [kg], ťažsko (hmotný stred) a momenty zotrvačnost, charakterzujúce rozložene hmoty v telese [kgm 2 ]. 11

12 Fyzkálne abstrakce umožňujú vytvárať prmerane zjednodušené fyzkálne modely skutočných teles. Z fyzkálneho modelu sa odvodzuje model matematcký (výpočtový), ktorý vede k sústave rovníc, ktorých rešene je rešením problému. Z uvedeného vyplýva, že ak máme získať rešením modelu správne výsledky, musí model vysthovať s dostatočnou presnosťou základné vlastnost skutočného objektu. Tvorba modelu a jeho rešene vyžaduje skúsenost a znalost, o.. práve zo základov mechanky. So slam sa v statke pracuje ako s vektorm. Prednosť sa prtom dáva výpočtovým metódam, prčom grafcké metódy sa používajú tam, kde umožňujú ľahkú orentácu v úlohe a podporujú fyzkálne predstavy. 1.2 Základné pojmy, axómy a úlohy statky Statka je časťou mechanky, ktorá sa zaoberá rovnováhou teles, t. j. slovým účnkam, ktoré nevyvolávajú zmenu pohybového stavu teles. Statka je najstarša časť mechanky a jej nektoré prncípy bol využté už pr stavbe egyptských pyramíd. Archmedes ( pred n.l.) poznal rovnováhu na páke. Stevn ( ) určl prncíp rovnobežníka síl. Na rozvoj celej mechanky sa ďalej podeľal Galleo Galle ( ), Chrstan Huygens ( ) a ďalší. Najvýznamnejším sa stal objavy Isaaca Newtona ( ). V ďalšom období sa statka rozvíjala najmä v oblast metód rešena a v praktckých aplkácách. V súčasnost, v ére výpočtovej technky, sa prechádza vac od predtým veľm rozšírených grafckých metód k metódam výpočtovým. Slové účnky uvažované vo fyzkálnom model sa nazývajú slovou sústavou. V súvslost s rešením rovnováhy slových sústav statka reš tež otázku statckej ekvvalence. 12

13 Význam statckej ekvvalence pr rešení slových sústav je tak významný, že sa často považuje za druhú úlohu statky. Podľa takéhoto náhľadu reš statka dve úlohy: Statckú rovnováhu... slová sústava je v statckej rovnováhe ak nemení pohybový stav telesa (väčšnou stav telesa v pokoj). Statckú ekvvalencu... dve rôzne slové sústavy sú statcky ekvvalentné vtedy, keď spôsobujú rovnakú zmenu pohybového stavu telesa (majú na teleso rovnaký účnok). Základnú úlohu statky možno sformulovať takto: Základnou úlohou statky je určene statckej rovnováhy a ekvvalence slových sústav a ch aplkáce na rešene statcky určtých úloh v technckej prax. Prvé kontakty s oboma úloham prnášajú už základné axómy statky. Axómou sa rozume (základná) pravda, poučka č tvrdene, ktoré netreba dokazovať, pretože jej správnosť bola overená skúsenosťou. Statka je vybudovaná na dvoch axómach: na axóme o rovnobežníku síl a o rovnováhe dvoch síl. Dôležtým dôsledkom druhej axómy je veta o prdaní (odňatí) rovnovážnych síl, ktorá sa nekedy uvažuje samostatne, ako treta axóma Axóma o rovnobežníku síl Dve rôznobežné sly F 1 a F 2, ktoré pôsoba v spoločnom bode A tuhého telesa majú rovnaký účnok ako sla R pôsobaca v tom stom bode, prčom jej veľkosť, smer a zmysel sa rovná orentovanej uhloprečke rovnobežníka zostrojeného nad oboma slam. 13

14 Sla R sa nazýva výslednca (rezultanta) a je statcky ekvvalentná slám F 1, F 2. Pr nahradení síl F 1 a F 2 ch výsledncou hovoríme o redukc (zjednodušení) slovej sústavy. Sly F 1, F 2 v rovnobežníku síl sa nazývajú zložkam výslednce. výslednca zložky a) b) slový rovnobežník c) slový trojuholník Obr. 1.4 Z obr. 1.4c je zrejmé, že výsledncu R možno získať tež vektorovým súčtom síl F 1 a F 2. R = F 1 + F 2 = F 2 + F 1 (1. 1) Uvedený súčet sa skladá zo slových trojuholníkov a má charakter komutatívnost sčítana vektorov (nezáleží na poradí sčítana síl!). Výpočtové (analytcké) rešene vychádza zo skalárneho prepsu vektorovej rovnce (1.1). Z obr. 1.5, z kosínusovej a sínusovej vety (o všeobecnom trojuholníku) a skutočnost, že cosα = - cos(π - α) platí: R = F2 F + F + F cosα (1.2) Obr. 1.5 Pre uhol α = 0 bude R = F 1 + F 2 snα 1 = snα 2 = F2 R snα F1 snα R (1.3) α = π bude R = F 2 - F 1 π 2 2 α = bude R = F F2 snα 1 = R F 2 snα 2 = R F 1 14

15 Grafcké rešene na obr. 1.6 vychádza z rovnce 1.1 a) b) Obr. 1.6 Pre dané veľkost a smery nostelek e 1, e 2 a zmysly síl F 1, F 2 zvolíme vhodnú merku síl m F (N/mm) a vypočítame veľkosť dĺžky úseček [mm] F 1, F2 na nakreslene rovnce R = F 1 + F 2. F1 F 1 =, F 2 = m F F 2 (1.4) m F Pozor! Výslednca R (v obr. 1.6b) smeruje vždy prot zmyslu obehu zložek F 1 a F 2 (vyznačené čarkovane). Na obrázku 1.6b odmerame v slovom trojuholníku hodnotu R [mm] a vypočítame veľkosť výslednce R R = R. mf [N] (1.5) Príklad 1.1: Určte výsledné zaťažene konzolového nosníka so zaveseným bremenam Q 1 = 250N, Q 2 = 350N podľa obr π/2 Obr

16 Výpočtové rešene Podľa obr. 1.7b je výsledné zaťažene konzoly z rovnce 1.2 R = Q Q Q + Q cosα = o cos120 = = 312,24 N uhol α 1 obdržíme z rovnce 1.3 Q sn α 2 1 = sn α = R ,24 sn 120 o = 0,9707 a uhol α 2 = α - α 1 = 120 o - 76 o 7 = 43 o 53. α 1 = 76 o 7 Grafcké rešene Podľa rovnce 1.4 zvolíme najskôr vhodnú merku síl, napr. m F = 10 N/mm a vypočítame veľkost úseček oboch zložek síl Q1 250 Q 1 = = = 25 mm, 10 m F Q2 350 Q 2 = = = 35 mm. 10 m F Zo slového trojuholníka R = Q 1 + Q 21 (obr. 1.7c) odmerame dĺžku úsečky výslednce a jej vynásobením zvolenou hodnotou merky síl získame jej veľkosť: R = R.m F = 31,5. 10 = 315 N a jej uhol α = 76 o R = 31, 5mm Obr. 1.7 c Obrátenou, rovnako dôležtou úlohou je rozklad danej sly na dve zložky. Úloha ale ne je jednoznačná, pretože danú slu možno rozložť na dve ľubovoľné zložky (obr. 1.8), prčom platí: 16

17 R = F 1 + F 2 = F 1 + F 2... ( 1.6) Obr. 1.8 Úloha sa stane jednoznačnou ba vtedy, keď sú zadané smery nostelek síl e 1, e 2 oboch zložek F 1 a F 2. Ako vyplýva z nasledujúceho obr. 1.9a je pr početnom rešení snα F 1 = 2. R a F 2 = snα snα 1. R, kde α = α 1 + α 2 (1.7) snα Pr grafckom rešení zvolíme merku síl m F [N/mm] a vypočítame R R = [mm]. m F (1.8) a) b) Obr. 1.9 Z nakresleného slového trojuholníka (obr. 1.9b) podľa rovnce 1.6 odmerame dĺžku úseček F 1,F 2 [mm] a vypočítame veľkost oboch zložek: F 1 = F 1. m F, F 2 = F 2. m F [N] (1.9) Veľm častou úlohou je rozkladane sly do dvoch navzájom kolmých zložek - zvyčajne do smerov súradncových osí x, y v pravouhlej sústave (obr. 1.10). Ak je daná sla F a uhol α, potom zložky sly F v smeroch súradncových osí sú: Obr F x = F.cos α (1.10) F y = F.sn α 17

18 Príklad 1.2: Konzola je zaťažená bremenom Q = 2 kn. Určte namáhane prútov 1 a 2 (obr. 1.11). a) b) c) F 1 F 2 Obr Výpočtové rešene podľa rovnce (1.3) zo slového rovnobežníka (obr. 1.11b) určíme F 1 = snα 2. Q, F2 = snα snα 1. Q, snα DA z obr. 1.11a určíme snα 1 = a snα2 = DA, kde AB = 2 DB + AD 2 = 2,5 m, AB AC AC = 2 2 CD + AD = 2,828 m, takže snα 1 = α 1 = 53,131 o, α 2 = 45 o, α = α 1 + α 2 = 98,131 o, snα = 0,989 2 = 0,8; snα2 = 2,5 2 2,828 = 0,707 z čoho Podľa toho hľadané sly v prútoch majú veľkosť: F 1 = 0, = 1,428 kn, F 2 = 0,989 0,8 0, = 1,616 kn, Grafcké rešene Podľa rovnce 1.4 zvolíme vhodnú merku síl, napr. m F = 0,05 kn/mm, potom Q 2 Q = = = 40 mm. 0,05 m F Zo zložkového trojuholníka (obr. 1.11c) odmerame F 1 = 29 mm, F 2 = 33,5 mm. Hľadané sly v prútoch sú: F 1 = F 1. m F = 29. 0,05 = 1,45 kn F 2 = F 2. m F = 33,5. 0,05 = 1,675 kn. 18

19 1.2.2 Axóma o rovnováhe dvoch síl Dve sly na tuhom telese sú v rovnováhe vtedy, ak sú kolneárne (majú spoločnú nosteľku), rovnako veľké a majú opačný zmysel (obr. 1.12). Táto axóma úzko súvsí s Newtonovým zákonom akce a reakce. F 2 = -F 1 }kolnearta F 1 + F 2 = 0 (1.11) e 1 e 2 Obr Podmenku rovnováhy slovej sústavy F 1, F 2 na tuhom telese možno teda stručne napísať takto: F 1 + F 2 = 0 (1.12) V nasledujúcch prípadoch (obr. 1.13) je zrejmý praktcký význam aplkáce uvedenej podmenky rovnováhy dvoch síl pr určení výpočtového modelu vazaného telesa, v ktorom účnky väzeb sú nahradené druhotným (sekundárnym) slam - reakcam na uvoľnenom telese (N 1,2, T, A). Prvotné (akčné, prmárne) sly G, F sú kolneárne so slam druhotným N 1,2, T, A. Obr Okrem väzeb uvedených v obr môžu na telesá pôsobť aj né druhy väzeb (teleso, na ktoré nepôsoba väzby sa nazýva voľným telesom). Ak začnú na voľné teleso pôsobť vonkajše sly začne sa teleso pohybovať. Pohybom teles v závslost na ch zotrvačných charakterstkách a slách, ktoré na ne pôsoba sa však zaoberá (vď ods. 1.1) dynamka. 19

20 V technckej prax sa veľm často vyskytujú prame tyče č nosníky - vazané telesá, ktoré majú jeden rozmer (dĺžku) väčší, ako ďalše dva rozmery (šírku a výšku). Väzby týchto teles môžeme rozdelť na teto 4 hlavné druhy: 1. Kĺbové uložene pevné 2. Kĺbové uložene posuvné 3. Dokonalé votknuté uložene 4. Votknuté uložene posuvné Teleso má v rovne 3 stupne voľnost (2 posunuta v smere osí x, y a 1 otáčane). Aby sme zabránl jeho pohybu, musíme ho uložť tak, aby sme mu odobral všetky stupne voľnost, čo možno dosahnuť rôznym spôsobom usporadana väzeb. Na to je treba ale vedeť, koľko stupňov voľnost odoberajú jednotlvé väzby. - Kĺbové uložene pevné odoberá 2 stupne voľnost (vodorovný a zvslý posun - vyznačené plnou čarou). Teleso má v tomto prípade teda ba 1 stupeň voľnost (otáčane v kĺbe... vyznačené čarkovane). - Kĺbové uložene posuvné odoberá 1 stupeň voľnost (zvslý posun). Telesu v tomto prípade ostávajú 2 stupne voľnost (vodorovný posun a otáčane). - Dokonalé votknuté uložene odoberá 3 stupne voľnost (teleso sa nemôže posúvať horzontálne, vertkálne a an sa otáčať, ak nemá dojsť k jeho porušenu). Keď je tuhé teleso uložené tak, že mu odoberáme práve tr stupne voľnost - ne je možný an nekonečne malý posun a an pootočene (teleso je v pokoj) - hovoríme, že je podopreté statcky určto. Krtérum statckej určtost sa vypočíta zo vzorca k = v - m, kde k... je krtérum statckej určtost (1.13) v... je počet možných stupňov voľnost voľných teles (3 o V) m... je počet stupňov voľnost odobraným väzbam 20

21 Ak je k = 0, k < 1, k > 1, je teleso podopreté statcky určto je teleso podopreté statcký neurčto je teleso podopreté preurčto (nadbytočne). Na obr s ukážme na nektorých prípadoch spôsoby uložena nosníkov. k = 3 -(2 +1 ) = 0 V k = 0 V k = -1 V k = -1 V k = -3 V k = 3 -( )+1 = -1 V Obr a Vložením tzv. kĺbu (a) - ďalšeho druhu väzby, sme vnesl (prdal) 1 možný pohyb telesa (otáčane). V tabuľke 1.1 sú uvedené druhy deálnych rovnných väzeb a ch vlastnost. DRUH VÄZBY KINEMATIKA STYKU P.č. Názov Schéma možný nezávslý 1. všeobecná 1 posun posun 1 otáčane počet k o V Tab. 1.1 STATIKA STYKU (TRIEDA) počet stupňov voľnost otáčavá 1 otáčane posuvná 1 posun valvá 1 otáčane (P) pevná žadny

22 1.2.3 Axóma o prdaní (odobratí) rovnovážnej sústavy síl Prdaním (odňatím) rovnovážnej sústavy síl sa pohybový stav dokonale tuhého telesa nezmení. Dve slové sústavy, ktoré sa líša ba o rovnovážnu sústavu sú ekvvalentné. Z posledných dvoch axóm vyplýva veta o posunutí sly po jej nosteľke. Slu pôsobacu na dokonale tuhom telese možno po jej nosteľke ľubovoľne posúvať, prčom jej účnok na teleso sa nezmení. Dôkaz je zrejmý z obr. 1.15, kde sla pôsobaca v bode A telesa je podľa uvedenej axómy statcky ekvvalentná so sústavou síl F v bode A a síl F F (F + F = 0) v bode B. Ak je ale sla F = -F = F, potom tež F + F = 0 a po jej odňatí zostáva na telese ba sla F = F v bode B. Potom teda F A F B a slu po jej nosteľke môžeme posunovať ľubovoľne. Obr Poznámka: Veta o posunutí sly po jej nosteľke platí len u dokonale tuhého telesa. Na skutočnom telese by premestnene sly malo za následok zmenu deformáce telesa. Axómu možno použť pramo, napr. na určene výslednce dvoch rôznobežných síl, ktorých presečník (spoločný počatok) neleží na nákresne (príklad 1.3). Príklad 1.3: Ak pôsoba na teleso v bodoch A 1 a A 2 sly F 1, F 2, ako je tomu na obr. 1.16, potom výsledncu R 1,2 = F 1 + F 2 určíme takto: Na spojnc A 1A2 prdáme v bodoch A 1, A 2 sly F a -F (rovnovážnu slovú dvojcu s nulovým vektorom); zložením síl v bodoch A 1, A 2 obdržíme častkové výslednce R 1 a R 2 s účnkom ekvvalentným ako sly F 1 a F 2. Veľkosť síl F a -F volíme tak, aby sa nosteľky síl stretl v spoločnom počatku C na nákresne. Týmto bodom prechádza výslednca R a je rovná: R = R 1 + R 2 = [F 1 + F] + [F 2 + (-F)] = F 1 + F 2 = R 1,2 R 1 = F 1 + F a R 2 = F 2 + (-F) 22

23 Obr Poznámka: Je zrejmé, že tak by bolo možné nájsť aj výsledncu dvoch rovnobežných síl (so spoločným presečníkom, bodom C ). V tomto stručnom úvode do statky sme sa zoznáml s väčšnou základných pojmov, axómam a vetam zo statky. Poznáme mesto statky v mechanke a jej význam pr rešení praktckých úloh. V ďalších kaptolách rozobereme postupne jednotlvé slové sústavy v rovne z hľadska ekvvalence a rovnováhy, s vacerým technckým aplkácam. 23

24 24

25 2. ROVINNÁ SÚSTAVA SÍL Rovnnú sústavu síl tvora sly, ktorých nosteľky leža v jednej rovne. V prípade vazaného telesa musa väzby dovoľovať vznk reakcí v tej stej rovne pôsobacch síl. 2.1 Rovnný zväzok síl Sly tvora rovnný zväzok síl, alebo tež tzv. centrálny slový systém, keď nosteľky síl leža v jednej rovne a majú spoločný presečník (obr. 2.1). Vzhľadom na vetu o posunutí sly po jej nosteľke (ods , obr. 1.15) je zrejmé, že zaťažene telesa slam F n na obr. 2.1b je statcky ekvvalentné so zaťažením na obrázku 2.1a. a) b) Obr. 2.1 Prvou základnou úlohou statckej ekvvalence je redukca síl. Výsledncou zväzku síl je vždy jedná sla na nosteľke, ktorá prechádza spoločným presečníkom (dôsledok axómy o rovnobežníku síl - ods ). Druhou základnou úlohou je určene podmenok rovnováhy slovej sústavy. Tento stav nastane zrejme vtedy, keď výslednca bude nulová (vektor nulovej veľkost). Obe úlohy je možno rešť analytcky alebo grafcky. 25

26 2.1.1 Redukca rovnného zväzku síl Analytcké rešene Na analytcké rešene zvolíme najskôr súradncový systém 0xy s počatkom v spoločnom presečníku nostelek síl. F Obr. 2.2 Sú dané F a α 1 (obr. 2.2) každej zo síl. Sly F (kde = 1,2,...,n) nahradíme zložkam v osach x a y o veľkostach F x = Fcosα F y = F snα (2.1) Ich výslednce v oboch osach sú R = x R y = n = 1 n = 1 n F x = F cosα = 1 n F y = F snα = 1 (2.2) Výslednca R má veľkosť R = R + (2.3) 2 2 x R y a jej smer je určený uhlom α, pre ktorý platí R Ry tgα R = (2.4) R x Ak vyjadríme zložky výslednce pomocou uhla α, bude R R x = R.cos α R a R y = R.snα (2.5) 26

27 čo umožňuje ďalej napísať, napr. n R.cos α R = F cosα (2.6) =1 Uvedený vzťah vyjadruje vetu o premete výslednce: Premet výslednce rovnného zväzku síl do ľubovoľného smeru sa rovná algebrackému súčtu premetov jej zložek do toho stého smeru. Doplňme, že pre α = α leža všetky sly nutne na spoločnej nosteľke a ch výslednca je n R = F a α = α R Grafcké rešene Na grafcké rešene sú dané veľkost síl F a ch nosteľky e. Na rešene zvolíme najskôr vhodnú merku m F [N/mm] a vypočítame veľkost zobrazovacích úseček jednotlvých síl. F F = [mm] (2.7) mf Veme už, že skladane (redukcu) síl rovnného zväzku možno vykonať buď postupným uplatnením axómy o rovnobežníku síl, alebo (zrejme možným) rozšírením vektorového sčítana na vac než dve sly: R = F 1 + F 2 + F Fn (2.8) R 1,2 R 1,2,3 atď. To možno stručne zapísať ako R = n F (vektorový súčet F ) (2.9) 27

28 V nasledujúcej úlohe na obr. 2.3 je rešene vykonané pre tr sly, kde: R = F + F + F zvolíme m =... F zložkový (slový) obrazec Obr. 2.3 Po nakreslení zložkového obrazca odmerame výslednce R = R. m [N]. F R [mm] a vypočítame veľkosť Pozor! Výslednca pôsobí v spoločnom presečníku síl a jej zmysel v zložkovom obrazc je vždy prot zmyslu obehu jej zložek (vyznačené čarkovane). Komutatívnosť sčítana vektorov dokumentujú čast obr. 2.4b,c a) b) c) Obr. 2.4 Príklad 2.1: Určte analytcky aj grafcky veľkosť, smer a zmysel výslednce rovnného zväzku síl F 1 = 150 kn, F 2 = 250 kn, F 3 = 350 kn, F 4 = 400kN, F5 = 450 kn, s uhlam α 1 = 0 o, α 2 = 60 o, α 3 = 150 o, α 4 = 210 o, α = 300 o 5. Uhly sú merané (obr. 2.5) od kladnej os x prot zmyslu pohybu hodnových ručček. 28

29 a) b) Obr. 2.5 tabuľky. Pr analytckom rešení sa zvyčajne usporadajú zadané postupne rešené výsledky do Tab. 2.1 F [kn] α cosα snα F cosα F snα [kn] [kn] ,000 0, ,0 0, ,500 0, ,0 216, ,866 0, ,1 175, ,866-0, ,4-200, ,500-0, ,0-389,7 5 R x = -149,5 Ry = -198,2 Poznámka: Usporadane výpočtu napr. do takejto tabuľky umožňuje pr ručnom spôsobe zrýchlť výpočet, znížť rzko chýb a pohotovejše reagovať neskôr na prípadné zmeny v zadaní v rovnnom zväzku pôsobacch síl. = 1 Výslednca R má, s využtím častkových výsledkov v tabuľke veľkosť R = 2 ( 149,5 + ( 198,2) 2 = 248,26 kn a zvera s kladnou osobu uhol α R Ry 198,2 tgα R = = = 1,3257 R 149,5 x 29

30 Uhol α meraný od os x je potom R α R = 180 o + 52,97 o = 232,97 o Grafcké rešene je vykonané v obr. 2.5b v merke m F = 10 kn.mm -1. Odmeraním obdržíme R = 25 mm, z čoho potom hľadaná výslednca má veľkosť R = R. m F = = = 250 kn a odmeraný uhol od os x je α R = 230 o. Je zrejmé, že grafcké rešene závsí na starostlvost, s akou je nakreslený zložkový obrazec. Ak však vezmeme do úvahy, s akou nepresnosťou bývajú často zadané jednotlvé sly vo zväzku, možno grafcký postup akceptovať vo väčšne rešených praktckých úloh. Grafcké rešene sa preto často uprednostňuje pre svoju rýchlosť a názornosť Rovnováha rovnného zväzku síl Rovnný zväzok síl je v rovnováhe, keď jeho slový účnok na tuhé teleso je nulový. Takýto stav nastane vtedy, ak jeho výslednca je nulová (nulový vektor), t. j. R = 0 (2.10) Početné rešene Z rovnce (2.3) pre veľkosť výslednce R = R +, kde R x = F a Ry = 2 2 x R y x = Fy vyplýva, že pr rovnováhe musa byť splnené rovnce Fx = 0, Fy = 0 (2.11) Rovnce 2.11 vyjadrujú podmenky rovnováhy rovnného zväzku síl a je ch možno formulovať slovne takto: Pr rovnováhe rovnného zväzku síl je algebracký súčet premetov všetkých síl do smerov súradncových osí rovný nule. 30

31 Poznámka: Pretože smery osí súradníc môžeme volť ľubovoľne a sú na smeroch nostelek v sústave síl nezávslé, možno pre podmenky rovnováhy použť ľubovoľné dve nerovnobežné os. Zvyčajne sa však používajú pravouhlé os x, y. Z uvedeného vyplýva, že sly rovnakého smeru (so spoločnou nosteľkou) budú v rovnováhe, keď n F = 0 1 (2.12) Grafcké rešene Na obr. 2.6 je nakreslený zväzok síl F + F + F, ktoré pôsoba v bodoch A, A, A (ch nosteľky e, e 1 2, e 3 sa pretínajú v spoločnom bode A). Výslednca zväzku síl R leží na nosteľke e r. Zvolíme vhodnú merku síl m F a nakreslíme ch zložkový obrazec: orentáca postupného sčítana síl a) Obr. 2.6 smer (opačný) ch výslednce b) Rovnováhe porozumeme vtedy, keď s uvedomíme, že keby sme prdal k tejto sústave (ďalšu!) slu F 4, ležacu na nosteľke výslednce e r, pre ktorú by platlo -F 4 = R (2.13) by bolo možno napísať R + F 4 = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = R + (-R) = 0 (2.14) R 31

32 n a splnť tak podmenku rovnováhy rovnného zväzku síl ( F 1 = 0). V zložkovom obrazc (obr. 2.6b) sa to prejaví v jednom zmysle uzavretým obrazcom síl. Podmenku rovnováhy rovnného zväzku síl pr grafckom rešení možno vyslovť takto: Pr rovnnom zväzku síl musí byť zložkový obrazec uzatvorený a všetky jeho zložky sú orentované v tom stom zmysle. Príklad 2.2 Ntovaný styk (obr. 2.7a) je zaťažený slam F 2 = 3000 N a F3 = 8000 N. Určte veľkosť síl F a F 1 4, keď je styk v rovnováhe. a) b) Obr. 2.7 Analytcké rešene Všetky osové sly v prútoch tvora rovnný zväzok síl (majú spoločný presečník A), pre ktorý pr rovnováhe (2.11) platí Fx = 0, F y = 0. Po dosadení dostávame rovnce: F - F F 3. cosα = 0 F 4 - F3snα = 0 (sústavu 2 rovníc o dvoch neznámych F,- F ) 1 2 Po dosadení hodnôt F = cos40 o = N 1 F = 8000 sn40 o = 5142 N. 4 32

33 Hľadané sly sú F = -3,128 kn a F 1 4 = 5,142 kn, prčom s treba všmnúť, že sla F 1 má opačný zmysel, než sme pôvodne (v obr. 2.7a!) predpokladal. Na obr. 2.7b je vykonané grafcké rešene rovnováhy v merke m = 1 kn/cm -1 F v súlade s rovncou 2.14, F 1 + F2 + F 3 + F4 = 0. Odmeraním pramo v obr. 2.7b zstíme (s presnosťou zrejme najvac na dve desatnné mesta!), že F = -3,12 kn a F = 5,15 kn Statcká určtosť úloh Úloha rovnného zväzku síl je statcky určtá vtedy, keď neobsahuje vac neznámych než dve a ak ne je výnmočným prípadom. Statckú ekvvalencu alebo rovnováhu dvoch slových sústav F, F j možno teda napísať F ± F j = 0 vektorovo, kde = 1,2..., n j = 1,2,..., m (2.15) alebo analytcky F x ± F jx = 0 Fy ± F jy = 0 (2.16) zväzku. Znamenko platí pre statckú ekvvalencu, pre statckú rovnováhu rovnného Rovnce pre analytcké rešene sú dve, z čoho teda vyplýva aj uvedená podmenka statckej určtost. Pr väčšom počte neznámych (obr. 2.8a) je úloha statcky neurčtá (neveme s stotou - určte vypočítať, aké sly budú prpadať pr rovnováhe od jednej sly Q na tr! smery v prútoch 1,2,3). Pr nevhodnom usporadaní síl vznkne výnmočný prípad (obr. 2.8b, 2.8c). 33

34 a) b) nemôže byť ΣF y = Q 0 Obr. 2.8 c) chýba jedna rovnca ΣF y = 0 (úloha je trválna) Príklad 2.3: Na bod A pôsoba známe sly F, F, F 1 2 3, ktoré majú byť nahradené zväzkom síl v tomto bode P, P a Q v daných smeroch. Sly P a P majú rovnakú veľkosť. 0 A Na rešene statckej ekvvalence sústav F 1, F 2, F3 a P, P, Q sú využté rovnce (2.16) F x - F jx = 0 F y - F jy = 0, kde P = P = P Obr. 2.9 Po dosadení hodnôt dostávame z obrázku 2.9 rovnce pre neznáme hodnoty P a Q. F 1 cosα 1 - F 2 cosα 2 + F3snα3 + P (1 + cosβ) = 0 F1snα 1 + F2snα 2 - F3cosα 3 + Q - P. snβ = 0 odtaľ potom 1 P = 1+ cos β (F 2 cosα 2 - F1cosα1 - F3snα3 ) = P = P Q = -F 1.snα1 - F2snα 2 + F3cosα 3 + P.snβ 34

35 2.1.4 Rovnováha troch síl v rovne Tr sly v rovne na tuhom telese sú v rovnováhe vtedy, keď tvora rovnný zväzok síl a spĺňajú podmenky rovnováhy zväzku. R 1,2 Dôkaz je zrejmý z obr Sly F, F 1 2 majú výsledncu R 1,2, ktorá prechádza ch presečníkom K. Treta sla F 3 musí byť pr rovnováhe s výsledncou R 1,2 kolneárna (1.11) a teda nosteľky síl F 1, F 2, F 3 sa pretínajú v spoločnom bode K. Obr Ďalej musa byť splnené rovnce 2.12 a 2.11 F = 0 F x = 0 F jy = 0 - pr grafckom rešení - pr analytckom rešení Príklad 2.4: Určte analytcky a grafcky reakce na nosníku (obr. 2.11a) uloženom prosto na podperách A, B. Nosník je zaťažený škmou slou F = 2 kn. 0 K a) b) c) Obr

36 K. Nosník AB je v rovnováhe pr účnku troch síl F, A, B, pre ktoré platí F + A + B = 0 Nosteľky troch síl sa musa pretínať v spoločnom presečníku K a tým je určený aj smer tretej sly A. (Smer nosteľky reakce B je daný vlastnosťou posuvnej väzby). Na analytcké rešene treba určť uhol α. Z obr. 2.11a plyne o b. tgβ 4. tg30 tgα = = = 0,3849 α = 21,1 o. ( a + b) (2 + 4) Podľa rovníc o rovnováhe zväzku síl (obr. 2.11b) platí: ΣF = 0: -F.cosβ + A.cosα = 0 x ΣF y = 0: -F.snβ + A.snα + B = 0 A po úprave a dosadení určíme A = F cos β cos30 = 2. cosα cos 21 o o = 1,855 kn B = F.snβ - Asnα = 2.sn30 o - 1,855.sn21 o = 0,335 kn Z grafckého rešena (obr. 2.11c) vo zvolenej merke m = 1 kn/5 mm odmerame F A a B a vypočítame A = B = A B. m = 3,7. 0,5 = 1,86 kn F. m = 0,65. 0,5 = 0,33 kn F 36

37 2.2 Všeobecná rovnná sústava síl Všeobecnú rovnnú sústavu (systém) síl tvora sly, ktorých nosteľky leža v jednej rovne a majú v nej všeobecnú polohu (nepretínajú sa všetky v spoločnom presečníku). Treba doplnť, že medz slovým účnkam v rovne sa môžu vyskytovať nelen osamelé sly, ale tež spojté zaťažena a zaťažene momentm. Spojté zaťažena na dokonale tuhom telese nahradzujeme vo výpočtoch osamelým slovým účnkam. Moment spoločne s osamelou slou sú dva základné druhy slového pôsobena na teleso. Preto, skôr než prstúpme k rešenu všeobecnej sústavy síl, je treba sa zoznámť s nasledujúcm pojmam: Statcký moment sly k bodu rovny, Slová dvojca a jej statcký moment, Preložene sly na telese a skladane sly a momentovej slovej dvojce Statcký moment sly Ak pôsobí sla F v bode A telesa, ktoré sa môže otáčať okolo bodu 0, bude ako veme otáčavý účnok tým väčší, čím väčša bude sla F a čím väčša bude jej vzdalenosť p od bodu 0. Otáčavý účnok sly vyjadruje statcký moment sly F k bodu 0 a označuje sa písmenom M. F M = F. p [N.m] (2.17) A p... rameno sly (najkratša, kolmá vzdalenosť nosteľky sly e r od bodu otáčana 0) 0... momentový bod Obr

38 Možno vyslovť teto vety: Merou točvého účnku sly F okolo bodu 0 je statcký moment sly F k tomuto bodu. Statcký moment sly je rovný súčnu sly F a jej vzdalenost od momentového bodu 0 (ramena sly) p. Momentu sly je možno prradť vektor M na nosteľke e F a jeho smer je kolmý na rovnu momentu. a) Obr Znamenko momentu sa podľa dohovoru označuje podľa zmyslu točvého účnku takto: D + (prot chodu hodnových ručček) C - v smere hodnových ručček) Technckým (praktckým) aplkácám prospeje, keď s uvedomíme, že z defníce statckého momentu sly pramo vyplýva, že jeho veľkosť (obr. 2.13b) je vlastne daná dvojnásobným obsahom trojuholníka (0ff ). b) Obr

39 Ako tež pramo z defníce vyplýva, sla F má na teleso nulový otáčavý účnok vtedy, keď prechádza jej nosteľka momentovým bodom. V tomto prípade je p = 0 a teda súčn M = F.p = 0. Naopak, maxmálny moment sly F vznká vtedy, keď sla je kolmá na A spojncu OA, keď jej rameno je najväčše (obr. 2.14). Obr M max = F. OA = F. p max Keď na teleso pôsobí vac síl (obr. 2.15) je výsledný (celkový) otáčavý účnok okolo bodu 0 daný algebrackým súčtom velčín M. A A 2 A A n M = F 1.p - F.p F.p n n n n = F p = M (2.18) 1 1 Podmenka rovnováhy momentov pôsobacch na otočne uložené teleso je potom M = M = F p (2.19) Obr Dosaľ, v snahe vysvetlť točvý účnok sly, sme pre statcký moment M mal vždy zadanú veľkosť rameno sly F. V technckej prax však býva úloha často zadaná všeobecnejše, napr. sú známe len F, α, A (x, y ), kde = 1,2,..., n. 39

40 Z obr plyne, že rameno sly F je p = x snα - y cosα a teda M = F.p = F (xsnα - ycos α) = xfsnα - yfcos α = x F y - y F (2.20) x Obr Ak dosadíme do výrazu pre M hodnoty súradníc zložek síl s ohľadom na znamenka (+, -), dostaneme výsledné znamenko (zmysel) momentu v súlade s prjatou dohodou D.C + -. je Výsledný moment všetkých síl k tomu stému bodu otáčana na dokonale tuhom telese y + M = M = x F y F ) (2.21) ( x Uvedená rovnca (2.21)sa uvádza ako Vargnonová ( ) momentová veta: Statcký moment výslednce k ľubovolnému bodu rovny síl sa rovná algebrackému súčtu statckých momentov všetkých jej zložek k tomu stému bodu 40

41 Príklad 2.5: Určte moment sly F k bodu A. Sú dané F = 225N a rozmery uvedené v obr M A = F.p = x.f - y F = B y B x 0,5(-Fcosα) - (-0,4). Fsnα = F(-0,5cosα + 0,4snα) = = (-0, ,4.8) = = - 56,91 Nm ( v zmysle C). Obr Príklad 2.6: Určte reakce B v meste podopreta (vo väzbe) B nosníka dĺžky l, ktorý je otočne uložený na podpere v bode a. Nosník je zaťažený slou F a bremenom taže Q podľa obr Obr Pre nosník otočne uložený v (kĺbe) bode A môžeme napísať momentovú podmenku rovnováhy k tomuto bodu. l l MA = -F. - Q ( + a) + B. l = Odkaľ reakca B má veľkosť 1 2a B = F + Q(1 + ) 2 l Reakca B ruší otáčavý účnok síl F a Q k bodu A, resp. keby sme nahradl podperu nosníka B slou B so slam F a Q ako sú nakreslené na obrázku, nosník by zostal v pokoj - (neotáčal by sa v kĺbe okolo bodu A). 41

42 2.2.2 Slová dvojca Dve rovnobežné nekolneárne sly (neleža na tej stej nosteľke), rovnako veľké a opačného zmyslu tvora slovú dvojcu. Na obr je nakreslená slová dvojca tvorená slam F 1 a F 2, pre ktoré platí F 2 = -F1, takže F = F1 + F 2 = F1 + (-F 1) = 0 (2.22) A A Z uvedeného plyne, že slová dvojca má výsledncu vždy rovnú nule (nemá teda žadny posuvný účnok na teleso). Statcký momentový (točvý) účnok slovej dvojce k ľubovoľnému bodu 0 je Obr M = M = F. p = -F 1.p1 + F 2.p 2 = F(p2 + p 1) = F. p Moment slovej dvojce je teda M = F. p (2.23) kde rameno p dvojce je vzdalenosť nostelek síl o veľkost F. Pre rovnováhu k ľubovoľnému bodu môžeme potom tež napísať M K = 0 (2.24) Čo možno slovne vyjadrť takto: Sústava slových dvojíc je v rovnováhe, keď algebracký súčet momentov dvojíc sa rovná nule. 42

43 Príklad 2.7: Je treba nahradť dvojcu síl F 1, - F 1 nou dvojcou v bodoch c, d, v ktorej majú mať sly zvslý smer. (obr. 2.20) Dané F 1 = 65 N Moment danej dvojce je M 1 = F 1.p 1 = F 1. AB cos30 o = 65. 0,8.cos 30 o = 45,03 Nm Obr Iná ekvvalentná dvojca s (rovnakým!) momentovým účnkom čo do veľkost a zmyslu, pôsobaca v bodoch c, d je M 2 = F.p = M 2 2 1, z čoho vyplýva veľkosť sly F 2 F = 2 M p 2 1 = 45,03 1,2 = 37,52 N Príklad 2.8: Určte reakce A a B nosníka zaťaženého slam F a -F podľa obr Obr Zaťažujúce sly tvora slovú dvojcu o momente M = -F(a+b) Reakce A, B musa pr rovnováhe tvorť tež slovú dvojcu, a teda ak je známy smer reakce B musí A B. byť Podľa rovnce 2.24 potom možno napísať F ( a + b) M = -F(a + b) + A. l = 0 a odtaľ A = B =. l Predpokladaný smer reakcí bol zvolený správne, pretože hodnoty A, B sú kladné. 43

44 Zo vzťahu pre M vyplýva, že moment dvojce nezávsí na polohe momentového bodu a teda je ku všetkým bodom rovny rovnaký. Treba ešte raz zdôraznť, že slová dvojca má na teleso len krútac účnok - rovnaký okolo každého bodu rovny - vyjadrený velčnou M - momentom dvojce. Obr V rovne dokonale tuhého telesa môžeme účnok dvojce znázornť napr. tak, ako ukazuje obr. 2.22, t. j. orentovaným oblúčkom a velčnou M [Nm]. Ak na teleso pôsoba vaceré slové dvojce, je výsledný točvý účnok daný momentom M = M = F p (2.25) Z charakteru slovej dvojce ako bola už popísaná vyplývajú nasledujúce vety, ktoré súvsa s rešením statckej ekvvalence a rovnováhy slových dvojíc: - Slovú dvojcu možno v rovne ľubovoľne posunúť a natočť. D D - Danú dvojcu (F p ) možno nahradť ľubovoľnou nou dvojcou (F j p j ), keď je splnená rovnca Fp = Fjp j a zmysel točvého účnku má rovnaký. - Dvojca sa nedá nahradť jednou slou, teda sla a dvojca nemôžu byť ekvvalentné (momenty sly k rôznym bodom rovny sú všeobecne rôzne, zataľ čo momenty dvojíc sú rovnaké). D - Dvojca môže byť v rovnováhe s nou dvojcou len vtedy, keď jej točvý účnok (M) C možno zrušť točvým účnkom nej dvojce opačného zmyslu (-M). Z posledných dvoch vet vyplývajú podmenky statckej ekvvalence a rovnováhy. Pre sústavy M a M j ( = 1,2,...,n; j = 1,2,...,m) musí byť splnená rovnca M ± M j = 0, prčom znamenka (2.26) v rovnc znača ( - )... ekvvalencu ( + )... rovnováhu. 44

45 Príklad 2.9: Určte osové sly v prútoch nesúcch dosku zaťaženú momentom M, keď vlastnú taž dosky možno zanedbať. a) Pr zaťažení telesa momentom M musa hľadané osové sly v prútoch tvorť slovú dvojcu. b) Napr. S a S majú výsledncu 1 2 R 12 = S 1 + S, 2 ktorá so slou S 3 vytvára dvojcu. Obr potom S 3. a - M = 0 S 3 = R 12 = M a zo známej sly R 12 určíme zložky S a S (obr. 2.23b), 1 2 S 1 = R 12.cosα, S 2 = R12. snα Poznámka: Rešene s rovnakým výsledkom môžeme vykonať samozrejme aj pre nú kombnácu síl Preložene sly na telese a skladane sly a dvojce síl Slu na dokonale tuhom telese možno preložť do ľubovoľného bodu telesa, ak v rovne danej nosteľkou sly a týmto bodom prdáme slovú dvojcu, ktorej moment sa rovná statckému momentu sly v pôvodnej polohe k bodu prekladu. obr Dôkaz tejto dôležtej vety pre rešene úloh v technckej prax je zrejmý z nasledujúceho a) b) c) A B A B A M B Obr

46 Podľa axómy o prdaní rovnovážnej sústavy síl (ods ) F, -F B (...označene mesta sly) v obr. 2.24b je sústava ekvvalentná (...označene pre ekvvalencu) so sústavou na obrázku 2.24a sústavou na obrázku 2.24c. Takže F A F B, M = F.p (2.27) Čo je vlastne vyjadrene skôr vyslovenej vety o preložení sly. Všmnúť s treba tež, že ak postupujeme v obr. 2.24a,b,c obrátene, slu F a moment M možno nahradť nou slou F posunutou o vzdalenosť M p =, F s tým, že zmysel otáčavého účnku oboch sústav (obr. c, a) musí byť rovnaký. Príklad 2.10: Nahraďte slu F = 360 N pôsobacu v bode B slou a momentom v bode A (obr. 2.25). B Ekvvalentná sústava v bode A je sla F = 360 N a moment M = F. 0,3 = A = ,3 = 108 Nm. Obr Redukca všeobecnej rovnnej slovej sústavy Podľa poznatkov uvedených v predošlej kaptole môžeme nakreslť nasledujúcu schému redukce slovej sústavy a momentov (obr. 2.26) 46

47 A M j A M A A M M j A to možno napísať F A M j F A M j, M = F.p R = F M = M + M j R = F h = R M Obr Analytcké (výpočtové) rešene Postupujme tak, ako je rešená redukca v poradí po sebe dúcch obrázkoch v schéme V technckých výpočtoch býva zvyčajne dané F, A (x, y ), α 1, M j ( = 1,2,...,n; j = 1,2,...,m) v ortogonálnej súradncovej sústave. Inokedy môžu byť zadané smery síl pomocou súradníc bodov A B na sle F, ako tomu je na obr Pr zadaní síl pomocou cosα = ( x x ) B A B A A B je zrejmé, že, snα = ( y y ) B A B A (2.28) A B = x x + y 2 2 ( B A ) ( B A ) y Poznámka: Aby bol obrázok prehľadný, je zo všetkých síl a momentov sústavy v ňom nakreslená ba jedná sla F a jeden moment M j. Obr Postup rešena usporadajme do štyroch krokov odpovedajúcch obrázku

48 1. Sly F preložíme do bodu 0. Vznkne zväzok síl F v bode 0 a sústava momentov M = x. Fy - y.f x (2.29a) 2. Vykonajme redukcu síl a určme ch veľkosť R x n n = = F x F cosα 1 1 z čoho R = n R y = F y = F snα, n x 2 y R + R, tgα = R R R y x Ry α R = arctg (2.29b) R x 3. Po redukc momentov slových rovníc je výsledný moment n m n m M = M + M j = ( x. Fy y. Fx ) + M j. (2.29d) Vznknutú sústavu R, M nahradíme výslednou slou posunutou o vzdalenosť h, ako ukazuje obr M Posunute h = (2.29e) R D D Pozor! Zmysly momentov M a R. h musa byť zhodné M, R. h. M (xr, y R ) e r Pretože M = (xf y - yf x ) + M j, môžeme napísať R. h = (xf y - yf x) + Mj (2.30) Obr Rovnca (2.30) vyjadruje Vargnonovú momentovú vetu pre všeobecnú rovnnú sústavu síl. Možno ju slovne vyjadrť takto: 48

49 Moment výslednce všeobecnej rovnnej sústavy síl k ľubovoľnému bodu rovny je rovný algebrackému súčtu momentov (od síl a slových dvojíc) k tomu stému bodu rovny. Z uvedenej vety možno o.. určť tež súradnce mesta výslednce všeobecnej rovnnej sústavy pomocou jej zložek R x a R y. Podľa rovnce (2.30) a obr pre ktorýkoľvek bod na nosteľke e platí r M = R. h = x R R y - y R R x (2.31) odkaľ pre ľubovoľne zvolenú súradncu x možno určť R xr. Ry M y R = (2.36) R x Pr vlastnom výpočte dĺžky úsekov súradníc uvažujeme buď y R alebo xr v počatku, teda y R = 0, alebo xr = 0. Po ch dosadení do rovnce získame hľadané súradnce bodov, v ktorých výslednca teto os pretína (obr. 2.28). M p = q = R y M R x (2.37) Z obr je zrejmé, že vo všeobecnom prípade možno rovnnú sústavu síl a momentov (redukovať) nahradť jednou slou R, prčom môžu nastať teto štyr prípady: 1. R 0; M 0 sústava sa redukuje na jednú slu R, ktorá neprechádza zvoleným počatkom súradncovej sústavy. 2. R 0; M = 0 počatok súradncovej sústavy bol zvolený na nosteľke výslednce R, 3. R = 0; M 0 sústava sa redukovala len na výsledný moment (dvojcu). 4. R = 0; M = 0 sústava je v rovnováhe. 49

50 Najčastejše sa vo výpočtoch v statke využíva 4. prípad, ktorý vyjadruje rovnovážny stav všeobecnej rovnnej sústavy (podrobnejše ďalej, ods ). Príklad 2.11: Určte výpočtom výsledncu síl F 1 = 1200 N, F 2 = 1500 N, F3 = 800 N, F 4 = 2000 N, ktoré zverajú s kladnou osou x uhly α 1 = 45 o, α 2 = 120 o, α 3 = 250 o, α 4 = 330 o a majú súradnce pôsobísk A 1 (2; 3) m, A2 (-3; 2) m, A 3 (-4; -1) m, A 4 (3; -4) m, (obr. 2.29). Obr Poznámka: Zadané hodnoty je vhodné, ako sme už uvedl pr ručnom spôsobe výpočtu, usporadať do tabuľky. Takto usporadaný výpočet a jeho postupne získavané delče výsledky umožňuje pôsobene síl v sústave analyzovať, resp. ľahko výsledok redukce prepočítať, ak by v slovej sústave nastal neskôr zmeny. F α cosα snα Súradnce pôsobísk síl Premety síl do súradncových osí Momenty zložek k počatku Tab. 2.3 [N] [ o ] x y F x= F cosα Fy= F snα -F x. y Fy. x [m] [m] [N] [N] [Nm] [Nm] ,707 0, ,500 0, ,342-0, ,866-0, R x=1557 Ry= = 1 M (0) =

51 R x R Veľkosť výslednce R: R = + y = = 1607 N - Smer výslednce, resp. jej uhol α R 396 o α R = arctg = Nosteľka výslednce pretína os x, y v úsekoch p = M ( ) 3416 M O ( O ) 3416 = = 8,62m a q = = Ry 396 Rx 1557 = -2,19 m - Vzdalenosť nosteľky výslednce od počatku súradncovej sústavy M O ( ) 3416 h = = = 2,125 m. R 1607 Príklad 2.12: Na stožar trolejového vedena (obr. 2.30) pôsoba sly S, G a Q. Určte výsledncu R a jej presečník (q) s osou stožaru. R = - Ssnα x R = -Scosα - G - Q y R = 2 ( S snα) + ( S cosα G Q ) 2 Obr α = arctg R ( S cosα G Q) S.snα M A = S. h. snα - G.e - Q.a Z momentovej vety (2.37) určíme súradncu M R A q = - = x S. h.snα G. e Q. a S.snα Grafcké rešene Veme už, že všeobecnú rovnnú sústavu osamelých síl spojtého zaťažena a momentov možno na dokonale tuhom telese nahradť sústavou len osamelých síl (momenty ako slové dvojce a spojté zaťažena náhradným bremenam). Preto grafcké rešene vykonáme pre sústavu osamelých síl. 51

52 Majme sústavu osamelých síl F ( = 1,2,...,n) na obr. 2.31a. Výsledncou R tejto sústavy n je R = F. Pr grafckom rešení rovnného zväzku síl ( ) je výslednca daná 1 uzatváracou stranou R v slovom mnohouholníku a smeruje prot zmyslu obehu jej zložek (obr. 2.31b). Po odmeraní dĺžky strany R v [mm] v obr. 2.31b vypočítame výsledncu zo vzťahu R = R. m [N], v ktorom m = [N.mm ] je merka síl. F F -1 a) b) F 3 F 2 F F3 F 2 F F F1 F F 4 F 4 F 1 R Obr Polohu výslednce rovnnej sústavy (v rovnnom zväzku síl sme polohu výslednce už popredu poznal - pramo z axómy o rovnobežníku síl totž vyplýva, že musí prechádzať spoločným presečníkom!) určíme takto: - zvolíme vhodne tzv. pól 0 a v slovom (zložkovom) obrázku 2.31b nakreslíme pólové lúče 0,1,...,n, - z ľubovoľného bodu I na nosteľke sly F 1 (2.31a) vedeme rovnobežky 0, 1 s lúčm 0,1. Rovnobežku 0 vedeme až k presečníku II so slou F 2. Z bodu II pokračujeme rovnobežkou 2 až k bodu III na sle F 3 atď. (Lomená čara 0, 1, 2,...n sa nazýva vláknový mnohouholník, prípadne výsledncová čara), v lteratúre sa uvádza aj názov pólový obrazec. Všetky pomocné sly prechádzajú v slovom obrazc cez spoločný pól pól 0 a vytvárajú pólový obrazec, - presečníkom r prvého (0 ) a posledného (n ) vlákna (musí!) prechádza výslednca R celej sústavy. 52

53 Statcká podstata rešena je v tom, že v zložkovom obrazc (obr. 2.31b) je každá sla fktívne nahradená dvoma zložkam F a F, a to tak, že platí F = - F 2+1 a jej zložky F a F 2+1 leža na telese na spoločnej nosteľke ( ), prtom ch účnok je ale na teleso nulový (nulový vektor). Z rovnce R = F = ( F + F ) = F a F F n-1 + F n + F n = F 1 + F vyplýva, že výslednca R je daná tež súčtom vektorov F 1 a F n, ktorá leží na nosteľkách 0 a n a prechádza teda ch presečníkom r (obr. 2.31a). Statckú podstatu možno zdôvodnť tež aj ako pramy dôsledok Vargnonovej vety (2.30) Momenty síl v zložkovom obrazc sú v rovnováhe s ch výsledncou k ľubovoľne zvolenému pólu bodu 0. Poznámka: Iná poloha pólu by mala za následok nutne ný tvar zložkového vláknového mnohouholníka, ale výsledok - sla R (ako vyplýva z dôkazu) by bola vždy rovnaká. V prípade nej voľby bodu I na sle F 1 by napr. vznkol ný (väčší, alebo menší) mnohouholník, rovnobežný s tým, ktorý je nakreslený na obrázku 2.31a (pr nevhodnej polohe bodu I dokonca so stranam - vláknam mmo nákresňu). Príklad 2.13: Určte grafcky výslednú slu R zaťažujúcu votknutý rám. Je dané: F 1 = 2,4 kn, F 2 = 5,6 kn, F 3 = 6,6 kn. Merka síl je m F = 0,2 kn.mm -1, merka dĺžok m F = =0,02 m.mm Obr Výslednca prechádza bodom r a má veľkosť R = R. m F = 60. 0,2 = 12 kn a pretína rám vo vzdalenost AC = 0,28 m. 53

54 2.2.5 Rovnováha všeobecnej rovnnej sústavy síl Rovnováha všeobecnej rovnnej sústavy nastane vtedy, keď budú splnené podmenky nulového účnku síl celej sústavy R = 0 ; M = 0 (2.39) Analytcké rešene rovnováhy Pre analytcké rešene prepíšeme uvedené podmenky rovnováhy (2.39) vo vektorovom vyjadrení vo zvolenej súradncovej sústave na rovnce skalárneho typu 1 F = 0 x F y = 0 (2.40) M = 0 Rovnce v takomto tvare predstavujú základný tvar podmenok rovnováhy všeobecnej rovnnej sústavy síl. (Sly dvojíc sú zahrnuté v ostatných slách). Pr rovnováhe všeobecnej rovnnej sústavy síl v rovne je algebracký premet všetkých síl vo dvoch smeroch (zvyčajne navzájom kolmých) a algebracký súčet momentov všetkých síl a dvojíc k ľubovoľnému bodu rovny rovný nule. Okrem základného tvaru možno použť alternatívne, ďalše kombnáce rovníc rovnováhy 2 3 MA = 0 M A = 0 M B = 0 MB = 0 (2.40a) F x = 0 M = 0 C (2.40b) kde C AB V týchto výrazoch sú zložkové rovnce z čast alebo úplne nahradené momentovým. Momentovú podmenku M, ktorá ako jedná obsahuje polohové parametre zo základného tvaru ne je možné vypustť! 54

55 Pr číselnom rešení úloh je treba k jednotlvým formám prpojť ešte kontrolnú podmenku (rovncu): 1 M A = 0, 2 F y = 0, 3 F x = 0 (Týmto rovncam možno overť správnosť vykonaného rešena). Príklad 2.14: Na nosníku (obr. 2.33) zaťaženom ( ) osamelou slou F = 500 N určte reakce A, B. Na rešene využme napr. dve F=500N podmenky momentové a jednu zložkovú (2.40b 2). M A = 0 ; B. l - F. a = 0 A M = 0 ; -A. l + F. b = 0 B F = 0 x Obr Odkaľ (všmnme s, že pr tejto alternatíve použtých rovníc rovnováhy každá z rovníc obsahuje ba jednu! neznámu) dostávame: B = F. a l = = 166,7 N A = F. b l = = 333,3 N F x = 0... podmenka je zjavne splnená! Na nosníku nepôsoba v smere os x žadne (vodorovné) sly. Na kontrolu správnost výsledkov použme v danom prípade rovncu F y = 0 ; A + B - F = 166, ,3-500 = 0 rešene vyhovuje (je správne)! 55

56 Príklad 2.15: Na nosníku (obr. 2.34) zaťaženým osamelou škmou slou F = 500 kn pod uhlom α = 30 o určte reakce A x, A y, B. F=500N 30 Rovnako ako v príklade 2.7 teraz využjeme tú stú alternatívu rovníc rovnováhy, takže: Obr M A = 0: B. l - Fsnα. a = 0 0 A M B = 0: -Ay. l + Fsnα. b = 0 F x = 0 : A - Fcosα = 0 x odtaľ B = F.snα. a l = 500.0,5.2 6 = 83,33 N A y = F.snα. b l = 500.0,5.4 6 = 166,67 N F x = 0 : A x - Fcosα = 0 A = Fcos30 o = ,866 = 433 N x a opäť kontrola správnost F y = 0: A y + B - F y = 166,7 + 83, ,5 = 0 F y = 0: A y + B - F y = 166,7 + 83,3 = ,5 = 0 vyhovuje! Pozn.: - Sla A x vyšla kladná, t. j. náš predpoklad o zmysle jej pôsobena v obr bol správny (v opačnom prípade, keby vyšlo znamenko záporné - zmýll sme sa - sla by mala opačný zmysel). - Veme, že reakca v podpere B s ohľadom na jej tredu (tab. 1.1), môže byť len zvslá! 56

57 Príklad 2.16: Na nosníku zaťaženom osamelým slam F, F 1 2, momentom M a spojtým zaťaženam určte reakce A x, A y, B (obr. 2.35). Obr Pozn.: Dohovor o orentác (zmysle a smere) síl a momentov sa zvyčajne už nekreslí. Spojté zaťažena o ntenztách q 1, q 2 [N/mm] nahradíme náhradným bremenam Fq 1 a Fq 2 (slam v ťažsku obrazov trojuholníka a obdĺžnka). 1 Fq 1 = q1. a...pôsobí v jednej tretne dĺžky a základne trojuholníka 2 Fq 2 = q2 (c + d)...pôsobí uprostred dĺžky (c + d). Na rešene použjeme dve podmenky momentové a jednu slovú: a c d) M A = 0: -F q 1. + M - F 1 (a + b) - Fq 2. (1 - ) + F 2 snα (1 + d) + F2cosα. d + B. l= 3 2 = 0 a c d M B = 0: -Ay. l + Fq 1 (l - ) + M + F 1 (b + c) + Fq 2. + F2cosα. d + F2snα.d = F x = 0 : A x + F cosα = 0 2 O správnost výpočtu sa možno presvedčť na konkrétne zadaných hodnotách, napr. F 1 = 2 kn, F 2 = 4 kn, q 1 = 1 kn.m -1, q 2 = 0,5 kn.m -1, M = 2 kn m, α = 30 O, a = 3 m, b = 1 m, c = 2,5 m, d = 1,5 m. Po dosadení do rovníc rovnováhy dostaneme: A x = -3,464 kn, Ay = 3,726 kn, B = -0,226 kn Kontrolou správnost sa z podmenky rovnováhy ΣF y = 0, A y - Fq 1 - F 1 - Fq2 + B + +F.snα = 0 presvedčíme, č je rešene správne. 2 57

58 Príklad 2.17: Určte reakce vo votknutí A rovnného rámu. Rozmery zaťažena sú zrejmé z obr Nahradené bremeno je F = q.4 = q = 40 kn, F = 20 kn, M = 30 knm. Na určene reakcí A x, Ay a M v (moment vo votknutí - okolo bodu A) použjeme základný tvar podmenok rovnováhy: Obr F x = 0: A x - F = 0 F y = 0: A y - F q = 0 M A = 0: - M - F q. 2 + F. 4 + M v = 0 Po dosadení hodnôt zo zadana postupne obdržíme A x = 20 kn, Ay = 40 kn, M v = 30 knm Z kontrolnej rovnce ( M = 0 je) po dosadení a výpočte zstíme B M v - M - A y. 4 + A x. 6 + F q.2 - F.2 = = 0 Rešene je správne Grafcké rešene rovnováhy Ak má byť sústava síl F v rovnováhe, musí byť splnená podmenka R = F = 0. (2.41) Vtedy zrejme pre jednotlvé zložky F a F n plata rovnce F + F n = 0 (2.42) Pólové lúče 0 a n sa stotožna (obr. 2.37b) a vlákna 0 a n sú kolneárne (obr. 2.37a). Pre n = 4 je 0 4 a 0 4 (obr. 2.37). 58

59 a) F4 b) F 1 F F F 4 F 3 Obr Podmenku rovnováhy všeobecnej rovnnej sústavy síl pr grafckom rešení možno slovne vyjadrť takto: Všeobecná rovnná sústava síl pr grafckom rešení je v rovnováhe, keď slový obrazec (obr. 2.37b) opísaný v jednom zmysle je uzavretý a aj jej vláknový (pólový) obrazec (obr. 2.37a) je medz daným slam uzatvorený. Poznámka: Keby sla F 4 pôsobla v bode (A 4 ), potom by sly F 1 a F 4 tvorl slovú dvojcu o veľkost momentu M = F 1. d (obr. 2.37a, vyznačené čarkovane). Príklad 2.18: Určte grafcky reakce v kĺboch A a B uložena žeravu, zaťaženého tažou G = 50 kn a bremenom Q = 20 kn. Merka dĺžok je m l = 0,2 m.mm -1 a merka síl m F = 2 kn.mm -1 (obr. 2.38). A Q 0 G B a) b) Obr

60 V zložkovom obrazc (2.38b) vyneseme všetky sly Q a G a smer nosteľky sly B (má smer kyvného prúta v meste B). Ďalej zvolíme pól 0 a nakreslíme pólové lúče. Vláknový mnohouholník (obrazec) (obr. 2.38a) musíme začať kreslť tak, že ako prvé nakreslíme vlákno 0, ktoré prechádza bodom A (jedný známy bod reakce A; nak by sme vláknový obrazec medz slam neuzavrel). Po odmeraní v obrázku vypočítame A = A. m = = 116 kn F B = B. m = = 94 kn. F V úlohách o rovnováhe síl sa často vyskytuje úloha uvesť do rovnováhy danú slu F s troma neznámym slam na nosteľkách, ktoré sa nepretínajú v spoločnom presečníku. Grafcky sa úloha reš pomocou tzv. Culmannovej ( ) pramky. F 1, F 2, F3. Na obr. 2.39a je nakreslená sla F a nosteľky e, e, e (zataľ) neznámych síl na telese Podľa (2.41) pr rovnováhe musí byť splnená podmenka F + F 1 + F2 + F 3 = 0 Sly F a F majú výsledncu, ktorá prechádza presečníkom ch nostelek I. 1 R = F 1 + F 1 Podobne výslednca síl F 2 a F prechádza bodom II 3 R = F + F Pr rovnováhe musa byť R 1 + R 2 = 0 kolneárne. Spoločná nosteľka oboch výsledníc je zjavne spojnca I, II, zvaná Culmannova pramka. Tak získame smer výsledníc R, R 1 2 a rešene môžeme vykonať v slovom obrazc (obr. 2.39b). 60

61 Culmannova pramka F a) b) Obr Úloha má ako je zrejmé z obrázku alternatívne rešena pomocou spojnce II I a tež II I (má však nevhodné umestnene). Dodajme, že v prípade nahradena sly F statcky ekvvalentným slam (opačná úloha) majú sly F 1, F 2, F opačný zmysel. 3 Príklad 2.19: Teleso taže G = 500 N je zavesené na konzole z troch prútov. Určte grafcky osové sly v prútoch (obr. 2.40). Obr Výsledok: S = 375N, S = 220N, S = 590N

62 2.2.6 Statcká určtosť úloh Úloha vo všeobecnej rovnnej sústave síl je statcky určtá, keď neobsahuje vac neznámych než tr a je rešteľná, (keď ne je výnmočným prípadom). Statckú ekvvalencu alebo rovnováhu dvoch slových sústav v rovne F a Fj (v praktckých úlohách sú F zvyčajne druhotné sly - reakce) možno zapísať rovncam j F x ± Fjx = 0 F y ± F jy = 0 (2.43) M A ± M ja = 0 Rovnce pre analytcké rešena sú tr, čo zodpovedá uvedenej defníc statckej určtost. Pr väčšom alebo menšom počte neznámych ne je úloha statcky určtá a preto ju rešť metódam statky ne je možné. Na obr. 2.41a je úloha statcky neurčtá a na ďalších obr. 2.41b,c,d sú nevhodne usporadané väzby, tzv. výnmočné prípady usporadana väzeb. a) úloha 1x statcky neurčtá b) úloha 1x statcky neurčtá, ( preurčená ) F x = 0 ( trválna ) 1 2 G 3 c) pohyblvá sústava c) rovnováha nastať nemôže, Obr F y = G 0 62

63 Príklad 2.20: V rovne dosky pôsoba sly F 1, F 2, F 3 a momenty M 1, M2 (obr 2.42). Úlohou je nahradť účnok tejto sústavy ekvvalentným účnkom nej sústavy - sly F B a momentu M v bode B. B B Je dané: F = 100 N 1 2 F = 100 N F 3 = 150 N β 2 = 45 o β 3 = 30 o M 1 = 30 Nm M 2 = 60Nm Q = 0,1 m Obr Z rovníc o statckej ekvvalenc oboch sústav vyplýva F 1 - F2.snβ 2 = F3.snβ 3 + (FBcos B) = 0 F 2.cosβ 2 - F3.cosβ 3 + (FBsn B) = 0 F 2.snβ 2. 2a + M1 - M2 - (-F B cosα B B. a + M B) = 0 Po dosadení a výpočte dostaneme F B = 74,78 N ; α B = 232 o,76 ; M B = -20,43 Nm. Pozn.: Úloha by mohla zneť opačne - nájsť nú slovú sústavu, ktorá by bola so zadanou slovou sústavou v rovnováhe. Je zrejmé, že výsledkom rešena by bol hodnoty F B a M B, rovnako veľké, ale opačného zmyslu Rešene sústavy rovnobežných síl Analytcké rešene Sústava rovnobežných síl F (obr. 2.43) patrí, ako s ešte ďalej ukážeme medz veľm dôležté a časté úlohy rešena sústav. Sústava rovnobežných síl je zvláštnym prípadom všeobecnej rovnnej sústavy síl. Výslednca R je s daným slam (zložkam) rovnobežná, a jej veľkosť je R = F (2.44) a jej poloha od zvoleného bodu sa určí z momentovej vety (2.30), kde 63

64 F p M o h = = (2.45) R R Momentovú rovncu možno napísať vo tvare x R R y - yrr x = x. F y F ) (2.46) ( y x z ktorej pr voľbe x R určíme súradncu y R bodu R výslednce, a pre y R (x R ) = 0 súradnce p (q) presečníka nosteľky výslednce s osou x(y). Keď premety síl do os súradncovej sústavy vyjadríme početne pomocou uhlu α, bude Obr y. R = C x R R.snα - y.r.cosα = = ( x F )snα ( y F ) cosα (2.47) Rešením rovnce sú samozrejme aj súradnce bodu C (x C, yc) výslednce podľa rovníc x C. R = x F y F Z postupu a rovníc je zrejmé, že súradnce bodu C závsa len na súradncach pôsobísk A a veľkostach F sústavy a že vôbec nezávsa na uhle (α) pootočena síl. Tento bod sa nazýva tzv. statcký stred C sústavy rovnobežných síl. Súradnce statckého stredu C sú: x F y F x C =, y C = (2.48) F F Pre sústavu rovnobežných síl možno vyslovť teda vetu Ak sa sústava rovnobežných síl otáča okolo svojch pôsobísk, otáča sa ch výslednca okolo jedného bodu - okolo statckého stredu sústavy. 64

65 Z uvedeného plyne tež dôležtý záver, že polohu statckého stredu rovnobežnej sústavy síl možno určť ako presečník výsledníc pre dva smery pootočenej sústavy. Zvyčajne sa vola stredy na seba kolmé. Rešene možno vykonať opäť buď analytcky alebo grafcky pomocou zložkovej a výsledncovej čary. Príklad 2.21: Určte grafcky a výpočtom veľkosť a polohu výslednce R dvoch rovnobežných síl F = 500 N, F 1 2 = -100 N, ktoré majú opačný zmysel. Vzdalenosť síl p = 4 m (obr. 2.44). a) b) Obr Určovace úseky síl F 1 = F m 1 F 500N = 10Nmm 1 = 50 mm F 2 = F m 2 F 100N = 10Nmm 1 = 10 mm Grafcké rešene Vyneseme do slového obrazca (obr. 2.44b) v príslušných zmysloch F (11 ), F 1 2 ( 22 ). V ňom má výslednca určovací úsek 12 (smeruje dole). Odmeraním zstíme R = 40 mm, t. j. R = R. m = 40 mm. 10 N.mm -1 = 400 N. F 65

66 Polohu výslednce (stačí zstť jedný bod r, pretože výslednca R rovnobežných síl je s nm rovnobežná) zstíme z vláknového obrazca 2.44a. Analytcké rešene Z momentovej rovnce (2.45) R. 0 = F 1.p 1 - F2(p 1 + p) = 500. p1-100(p 1-4,0) = odkaľ p 1 = = 1,0 m. 400 Príklad 2.22: Rozložť danú slu R na dve rovnobežné sly, ktorých nosteľky sú dané (obr. 2.45) - úloha je opakom predchádzajúcej úlohy v príklade a) b) A 2 A A 1 F 1 2 F Obr Analytcké rešene Zvolíme bod otáčana na jednej z neznámych síl (čo zrýchľuje výpočet), napr. na nosteľky sly F bod A. Potom podľa momentovej vety (2.45) 2 2 R. p = F (p + p ) ± p odtaľ F 1 resp. ak zvolíme na sle F bod otáčana A R. p p + p 2 =, 1 2 R. p p + p dostaneme F 2 =

67 Grafcké rešene Na ľubovoľnej pramke 12 F 1 F2 vyneseme zobrazovací úsek sly R, t. j. R = AB = 12. Rovnobežky 0 a 1 vo vláknovom obrazc (2.45a) so slam 0, 1 v slovom obrazc v ľubovoľnom bode R pretínajú nosteľky síl e, e 1 2 v bodoch I, II. Lomená čara 0,1, r je výsledncovou čarou. Preto čara r 01 v slovom obrazc rozdelí úsečku 12 na dva dely F 1 = 11 a F 2 = 12, ktoré prnáleža hľadaným slám F. Príklad 2.23: Určte polohu statckého stredu sústavy rovnobežných síl F = 200 N, F = 1 2 = -100 N, F 3 = 400 N so súradncam pôsobísk A 1 (1; 2,5), A 2 (2,5; 1,5), A3 (4; -0,5) m (obr. 2.46). A (x, y ) Obr Grafcké rešene Analytcké rešene Z rovníc pre statcký stred (2.48), keď dosadíme zadané hodnoty so zreteľom na ch znamenka dostaneme: x C = y C = F x F F y F = 0,3 m ( 100).2, = = 3,01 m ( 100) = 200.2,5 + ( 100).1, ( 0,5) ( 100) Zvolíme m L = 0,1 m/mm, m F = 10N/mm. Slový obrazec nakreslíme len raz, pre zvslé sly (obr. 2.47b), pre vodorovné sly využjeme ten stý obrazec myslene pootočený o π/2 [() ]; ( ) ). A C (xc, y C ) = a) b) C (x C, y C ) Obr

68 68

69 3. ŤAŽISKÁ HMOTNÝCH ÚTVAROV Rovnné hmotné útvary sú také telesá, ktorých tretí rozmer je zanedbateľný, alebo majú rovnu symetre. Ich modelom je rovnná čara (L), alebo plocha A, ktorých hmotnost sú ρ L [kgm -1 ], resp. ρ A [kgm -2 ], tzv. špecfcké (merné) hmotnost útvarov - hustoty. Obr. 3.1 Na teleso, ktorého rozmery sú v porovnaní s rozmerm Zeme zanedbateľné, pôsobí v jej gravtačnom pol sústava elementárnych síl G, ktoré možno považovať (vzhľadom na veľm vzdalený stred gravtáce) ako sústavu rovnobežných síl (obr. 3.1). Statcký stred síl G dokonale tuhého telesa sa nazýva ťažsko T. Z vlastností statckého stredu vyplýva, že sla taže G = Q prechádza ťažskom telesa nezávsle na polohe telesa. Podľa toho, keď zavesíme homogénne teleso (obr. 3.2a) v ktoromkoľvek bode, napr. 1,2, ustál sa jeho poloha vtedy (obr. 3.2b), keď nosteľka síl T bude kolneárna (stotožní sa) s nosteľkou sly taže Q, pôsobacou v ťažsku telesa (Q = -T). a) b) T T Obr

70 Ťažsko T rovnného hmotného útvaru sa určí z momentovej vety vzťahm x T = G x G, y T = G y G (3.1) Keď dosadíme pre čaru ρ L alebo ρ A, potom G = ρ L. l. g alebo G = ρ A. A. g Pre homogénne teleso (ρ L = konšt., ρ A = konšt.) môžeme výrazy na výpočet súradníc ťažska napísať v tvare x T = y T = l l l l x y x T = y T = A x A A A y (3.2) kde l, A je celková dĺžka [m] a plocha [m 2 ] homogénneho útvaru. Pomocou týchto rovníc rešme tvarovo komplkovanejše telesá. Takéto telesá najskôr rozložíme na vac jednoduchých teles, v ktorých dĺžky (resp. plochy) a polohy ťažísk veme rešť výpočtom alebo grafcky pomocou zložkovej a výsledncovej čary. Pre ťažská homogénnych (rovnorodých) útvarov plata nasledujúce poučky: - ťažská útvarov so stredom súmernost, majú ťažská v tomto strede, - útvary, ktoré majú os súmernost, majú ťažsko na tejto os, - útvary, ktoré majú rovnu súmernost, majú ťažská v tejto rovne, - ak sú známe ťažská dvoch častí telesa, leží ťažsko celého telesa na spojnc oboch ťažísk. 70

71 Príklady: T = ( T 1 T 2 x T 1 T 2 ) Obr. 3.3 Pozn.: Ťažsko môže ležať aj mmo hmotný útvar (čaru, plochu)! x T = 4/3 π r Príklad 3.1: Určte ťažsko tuhej lomenej čary 1,2,3, 4 ležacej v jednej rovne. Keď rozdelíme lomenú čaru na tr rovné čast 12, 23, 34, o dĺžkach 3,0 Obr. 3.4 l 1 = 2,0 m, l 2 = 5,0 m, l 3 = 3,0 m, sú súradnce ťažísk jednotlvých častí: x 1 = 0, x 2 = 1,5 m, x 3 = (3,0 + 1,5) = 4,5 m y 1 = 1,0m, y 2 = 2,0 m, y 3 = 4,0 m. Ťažsko T celej lomenej čary má súradnce x T = l l x = 0.2,0 + 1,5.5,0 + 4,5.3,0 = 2,0 + 5,0 + 3,0 21,0 10 = 2,1 m y T = l l y = 1,0.2,0 + 2,0.5,0 + 4,0.3,0 = 10,0 24,0 10 = 2,4 m 71

72 Príklad 3.2: Určte súradnce ťažska a slu taže žeravu zostaveného z homogénnych prútov rovnakého prerezu ρ L = 5,5 kg/m. Rozmery žeravu sú na obr Grafcké rešene Pr grafckom rešení vyneseme do slového obrazca (obr. 3.5b), napr. len polovce dĺžok prútov v merke m L = 0,1m.mm -1. V rovnakom smere (vodorovne a zvslo) pôsobace prúty 3,4,5 môžeme nahradť ch výsledncou v merke m F. Na kreslene vláknového obrazca (obr. 3.5a) pre vodorovný smer použjeme otočené pólové lúče zvslého smeru o 90 o (ako v príklade 2.15). a) b) Obr. 3.5 Odmeraním získame súradnce ťažska x T = 2,45 m, y T = 1,75 m Sla taže žeravu je G = m L. ρ 1. g = 913 N. Analytcké rešene Vyžaduje najskôr (prácne) vypočítať pomocou trgonometrckých funkcí dĺžky prútov l 1 = 4,609 m, l 2 = 4,949 m, l 3 = l 4 = 2,692 m, l 5 = 2 m. Ťažská prútov možno určť pramo z obrázku 3.2a x = 3,25 m, y = 3,00 m, x = 3,75 m, y = 1,75 m, x = 1 m, y = 1,25 m, y = 0 m. T3,4 T5 T1 T1 T2 T3 T 3, 4, 5 72

73 Taž žeravu je G = ρ L. g. l = 5,5. 9,81. 16,942 = 914,1 N. Súradnce ťažska (z rovníc 3.2) sú: x T = l l x = 40,922 16,942 = 2,415 m y T = l l y = 29,217 16,942 = 1,724 m Poznámka: Na rešení sa možno presvedčť, že grafcké rešene je rýchlejše, ako výpočtové rešene. Príklad 3.3: Aby nadrozmerné teleso podľa obr. 3.6 sa mohlo uložť na prevoz do os špecálneho vozdla (bezpečnosť jazdy), treba vypočítať súradnce jeho ťažska. Prerez (v rovne súmernost) rozdelíme na štyr čast: 2 obdĺžnky, 1 trojuholník a 1 kruh, ktorého plocha je negatívna (treba ju odpočítať!). Súradnce ťažísk jednotlvých častí x, y ( = 1,2,3,4) sú uvedené aj s delčím výpočtam vo výpočtovej Obr. 3.6 tabuľke. Tab. 3.1 x [m] y [m] A [m 2 ] y A x A = (2 x 3) 5 = (1 x 3) 1 3,00 4,00 48,00 192,00 144,0 2 8,00 3,00 24,00 72,00 192,0 3 11,00 2,00 9,00 18,00 99,0 4 3,00 3,00-19,63-58,89-58, ,37 223,11 376,11 73

74 Podľa rovníc (3.2) sú súradnce ťažska prepravovaného telesa x T = 376,11 61,37 = 6,13 m, y T = 223,11 61,37 = 3,64 m. Poznámka: Názvom nadrozmerné telesá sa označujú také telesá, ktoré majú väčše rozmery, ako sú technckým normam (STN) stanovené prečne prechodové prerezy komunkácí. Nadrozmerné telesá zvyčajne prekračujú aj dovolené zaťažene umelých staveb na komunkácách (mosty), na čo je pr výbere a príprave trasy treba brať zreteľ. Vtedy, keď čaru alebo plochu možno vyjadrť analytcky, využíva sa na určovane ťažska ntegrálny výpočet. Súradnce ťažísk sú potom dané vzťahm: x T = y T = s s s xds ds yds ds A x T = y T = A A A xda da yda da s, kde ds = s [m] (3.3) da = A [m 2 ] A Príklad 3.4: Určte súradnce ťažska oblúka o polomere R, vymedzeného uhlom α. Obr. 3.7 ds = Rdϕ Os y je osou symetre oblúka a teda x T = 0. Druhú súradncu y T určíme z rovnce (3.3) y T = s s yds ds = + α α 2 R.2.snα R.snα = = 2. R. α α R cosϕ. Rdϕ + α α R. dϕ Poznámka: Veľkost plôch a súradnce ťažísk mnohých čar a útvarov možno nájsť napr. v statckých, stavebných alebo strojníckych tabuľkách. = 74

75 4. PRIAME NOSNÍKY A RÁMY Prame a lomené nosníky (rámy) tvora základné nosné čast rôznych konštrukcí a strojov. Ich zaťažene a uložene je rešené tak, že sústava prvotných (akčných) a druhotných síl (reakcí) tvorí rovnnú sústavu. Okrem výpočtu reakcí v statcky určtých úlohách je možné v statke vyrešť tež analýzu vnútorných síl v ktoromkoľvek bode nosníka. V rovnných nosníkoch a rámoch sú to teto vnútorné sly: - osová (normálna) sla N, - prečna (posúvajúca, tangencálna) sla Q, - ohybový moment M O. Rešť vnútorné velčny pr rôznom uložení a zaťažení nosníkov patrí medz základné vedomost potrebné (neskôr v predmete pružnosť a pevnosť) na navrhovane (dmenzovane) a posudzovane skutočných nosníkov (teles). Na obr. 4.1a je nakreslený przmatcký nosník zaťažený a uložený na podperách v rovne symetre. Na obr. 4.1.b je jeho výpočtový model, predstavovaný osou nosníka (tzv. stredncou), ktorá prechádza ťažskam T prečnych rezov. a) b) Obr. 4.1 Poznámka: Spôsob nakreslena podper (väzeb nosníka v mestach) A, B v tomto obrázku zodpovedá spôsobu zakreslena pevnej a posuvnej podpery na obr a ch funkcí v tab Všmnme s, že aj normálne sly a momenty kreslíme pre názornosť kolmo na stredncu, aj keď v skutočnost pôsoba v jej smere. 75

76 Na obr. 4.1b vdeť, že všetky zaťažena vyznačujeme na os nosníka. V danom prípade to sú osamelé sly F 1, F 2, F 3 a spojté zaťažena q, n. Pr prenesení na os nosníka bude zaťažená v mestach 1, 2, 3 slam F 1, F 2, F 3 [N], spojtým bremenam q, n [N.mm -1 ], momentom M [Nm] a spojtým momentom m [N.mm -1 ], ktoré vznknú pr prekladaní sly F 3 a zaťažena n. Pr statckom vyšetrovaní nosníkov a rámov nezáleží na tvare prerezu (napr.,,,,,, atď.) a an na druhu materálu nosníkov. Rozhoduje len tvar strednce, a preto ňou vo výpočtových modeloch nahradzujeme skutočné telesá. 4.1 Typy nosníkov a rovnných rámov - uložene a vonkajše zaťažene Nosníkom sa rozume teleso, ktorého jeden rozmer (dĺžka) je oveľa väčší, ako ďalše dva rozmery (výška a šírka) a je uložený tak, že sa pr zaťažení ohýba. Na obr. 4.2 sú nakreslené výpočtové schémy nektorých typov nosníkov a rámov pr rozlčnom uložení a zaťažení. a) prostý nosník (s prevsnutým, prečnevajúcm koncom) b) votknutý (konzolový) nosník c) nosník s vloženým kĺbom d) rám (lomený nosník) prosto uložený 76

77 e) votknutý rám Obr ). Na nosníkoch a rámoch na obr. 4.2 sú nakreslené nasledujúce druhy zaťažena (obr. a) zaťažene osamelou slou b) zaťažene osamelým momentom c) spojté zaťažene prečne α) rovnomerné β) nerovnomerné (napr. lneárne) d) spojté zaťažene osové α) rovnomerné (normálne) β) nerovnomerné e) spojté zaťažene α) rovnomerné momentové β) nerovnomerné Obr

78 Možno s všmnúť, že zaťažena rozdeľujú stredncu nosníkov a rámov na úseky, v ktorých je q, n, m rovné nule, alebo rôzne od nuly, a to buď konštantné alebo premenné [q (x), M (x), m (x) ]. Ďalej vdno, že na strednc sú mesta, kde pôsoba osamelé sly F alebo momenty M j. Ekvvalentné náhradné slové účnky F q, F n, M m sa používajú pr výpočte sekundárnych síl (reakcí). V praktckých úlohách sa vyskytujú najčastejše zaťažena uvedené na obr. 4.3a,b,c a preto sa najmä nm ďalej budeme zaoberať. 4.2 Výpočet reakcí Statcký výpočet nosníkov a rámov začína vždy výpočtom sekundárnych síl - reakcí. Určovanu reakcí u statcky určte uložených teles sme sa venoval v príkladoch ( ) - v rovnnej sústave síl. Preto len zopakujme, že podmenky rovnováhy môžu mať spoločne s kontrolným rovncam nektorý z nasledujúcch tvarov: Fx = 0 Fy = 0 M A = 0 M B = 0 M A = 0 M B = 0 MA = 0 F x = 0 M C = 0 MB = 0 F y = 0 F x = 0 a) b) c) kde C AB kontr. rovnce Na rešene prosto uložených nosníkov sa najčastejše používa tvar rovníc b. V ďalšom s ukážeme zostavovane rovníc rovnováhy pre najčastejše prípady a druhy zaťažena (obr. 4.3a-c). 78

79 Príklad 4.1: Prostý nosník (obr. 4.4) Obr. 4.4 Dané: F, q, M, α, a, b, c Náhradné bremeno F q = q. a Hľadáme: A x, A y, B Rovnce rovnováhy podľa tvaru (4.1) b sú: M A = 0: -F q. 2 a - Fsnα (a + b) + B. l + M = 0... odtaľ B M B = 0: -A y. l + F q (l - 2 a ) + Fsnα. b + M = 0... odtaľ Ay F x = 0: A x - Fcosα = 0... odtaľ A x Po určení neznámych zložek reakcí vykonáme kontrolu F y = 0: A y - F q - Fsnα + B = 0. Poznámka: Pr použtí rovníc v tvare b) k bodom podopreta A, B je v každej rovnc ba jedna neznáma, čo veľm urýchľuje výpočet. Príklad 4.2: Votknutý rám B Dané: F, q 1, q 2, M, a, b, c, d Náhradné bremená sú: F q1 = q 1. b F q2 = 2 1 (q2 - q 1 ) b Obr. 4.5 Hľadáme A x, A y, a moment vo votknutí M v Rovnce rovnováhy podľa základného tvaru sú: F x = 0: A x + F = 0 A x je zrejmé, že sme v obrázku chybne predpokladal zmysel sly A x F y = 0: A y - F q1 - F q2 = 0 A y M A = 0: -M - F q1. 2 b - Fq b- F. c + Mv = 0 M v Kontrolná rovnca: M B = 0: M v + A x.(c+a) - A y. b - M + F q1 2 b + Fq2. 3 b +F.a = 0 79

80 Príklad 4.3: Nosník s vloženým kĺbom Statcká neurčtosť nosníka uloženého na troch podperách A, B, C je odstránená vloženým kĺbom D. Nosník sa vlastne skladá z dvoch teles, spojených v kĺbe D. Dané: F 1, F 2, M, α, a, b, c (obr. 4.6). Náhradné bremeno je F q = q. a Hľadáme A x, A y, B, C Obr Rovnce rovnováhy podľa (4.1b) sú: F x = 0: A x - F 1 cosα 1 + F 2 = 0 A x F y = 0: A y - F q + B - F 1 snα 1 + C = 0 A y M A = 0: -F q. 2 a + Ba - F1 snα 1 (l 1 + c) + C(l 1 + 2c) + M = 0 B Rovnce sú len tr, zataľ čo neznáme zložky reakcí sú štyr, a teda jedna rovnca chýba. Spojene teles v kĺbe D ale umožňuje napísať napr. pre pravú časť od kĺbu D podmenku M P D = 0 C. Na základe známej veľkost reakce C môžeme potom určť zostávajúce reakce B a A y. 4.3 Vnútorné sly Sly F 1, F 2, momenty M 1, M 2 a spojté zaťažene q spoločne s reakcam A x, A y, B sú prmárne vonkajše sly zaťažujúce teleso (lomený nosník - rám, obr. 4.7a). Všetky teto vonkajše zaťažena vyvolávajú v telese vnútorné sly. Na nosníkoch a rámoch sa vnútorné sly zsťujú v prerezoch kolmých na os (stredncu) nosníka alebo rámu (napr. mm, nn, ll atď.). 80

81 P F PĽ x Obr. 4.7 Na vyšetrene vnútorných síl použme napr. ľavú časť Ľ telesa, oddelenú myslene (fktívne) rezom mm od pravej čast P. Ľavá časť telesa lomeného nosníka je zaťažená, rovnovážnou sústavou: - vonkajších síl F 1, F q, A x, A y, M 1 PĽ - vnútorných síl F, t. j. slam, ktorým pôsobí v prereze mm pravá časť telesa na ľavú. PĽ Vnútorné sly F tvora všeobecnú sústavu síl v rovne rezu mm. Aj keď zataľ nepoznáme ch polohu v tomto prereze, môžeme ch v ďalšom rešení nahradť ekvvalentnou slovou sústavou, a to slou F PĽ a momentom M PĽ vo výpočtovom model 2.8c. F PĽ Keď vykonáme naznačenú redukcu PĽ vnútorných síl F do ťažska prerezu Tm v použtej súradncovej sústave x, y Obr. 4.7c PĽ PĽ PĽ PĽ môžeme napísať F = F, F = F, M PĽ PĽ = M. x x y y T 81

82 Podľa pôsobena v prereze označujeme a nazývame vnútorné slové účnky takto: PĽ F x = N... osová (normálna) sla v prereze PĽ F = Q... prečna sla (vo vnútr) y PĽ M T = MO... ohybový moment mm (obr. 4.7c) (4.1) Výpočet vnútorných síl N, Q, M O Spôsob a veľkosť vnútorných slových účnkov N, Q, M O vyplýva z podmenok rovnováhy síl na čast Ľ, pre ktorú platí (obr. 4.7d) Ľ F x + N = 0 Ľ F y + Q = 0 (4.2) Ľ M T + MO = 0 P. Je zrejmé, že rovnaké rovnce by sme mohl napísať aj pre rešene na pravej čast telesa Nakoľko vonkajše (prmárne a sekundárne) sly tvora rovnovážnu sústavu, sú veľkost velčín N, Q, M O v rovne ľubovoľného fktívneho rezu: Ľ P N = / F / = / F / x x Ľ P Q = / F / = / F / (4.3) y Ľ P M O = / M / = / M / T y T Zo spôsobu, ako bol zadefnované vnútorné sly možno vyslovť vetu na určene ch veľkost stručne takto: Veľkosť vnútorných síl N, Q, a momentu M O v ľubovoľnom prereze sa rovná ch algebrackému súčtu po jednej strane vyšetrovaného prerezu. Pr algebrackom sčítaní po jednej strane prerezu sa bere zreteľ na zmysel pôsobena vnútorných síl podľa nasledujúceho dohovoru: 82

83 Obr. 4.8 Poznámka: Pôsobene vnútorných síl a momentov v opačnom zmysle ako je vyznačený na obr. 4.8 po oboch stranách prerezu mm označujeme znamenkom -. Možno s všmnúť, že znamenkový dohovor závsí na orentác telesa, t. j. na určení jeho ľavého a pravého konca, resp. v prípade momentu na horných a dolných vláknach prečneho rezu. Pr nej než vodorovnej polohe nosníka, alebo napr. na zvslc rámu, nemusí byť takto jednoducho popísaný znamenkový dohovor jednoznačný. Vo zvolenom prereze mm (obr. 4.7d) po označení jednotlvých úsekov strednce v obr. 4.9 vo výpočtovom model rovnného rámu, bude (s ohľadom na znamenkovú konvencu) veľkosť jednotlvých vnútorných síl nasledujúca: N = A x - F 1 Q = A y - q.x M mm = -A x (c + b + a) - A y.x + F 1.a + qx. 2 x - M1 Obr. 4.9 Pozn.: Veme už, že ak počítame vnútorné sly z pravej alebo z ľavej strany vyšetrovaného prerezu výsledok musí byť rovnaký. Preto pr praktckých výpočtoch dávame prednosť tej strane prerezu, kde je menej vonkajších síl a výpočet je jednoduchší (rýchlejší). Spôsobom, ako je uvedený na obr. 4.9 možno vypočítať hodnoty N. Q M O v ľubovoľnom meste nosníka alebo rámu Prebeh vnútorných síl N, Q, M O 83

84 Pr vyšetrovaní namáhana teles je treba poznať nelen veľkosť vnútorných síl v nektorom náhodne zvolenom reze, ale poznať aj ch prebeh po celej strednc. Len tak možno určť mesto a hodnotu maxmálneho namáhana - v prípade nosníkov a rámov mesto a veľkosť maxmálneho momentu M Omax. Na vyrešene týchto úloh nestačí teda vyrešť len lokálne hodnoty N. Q, M O, ale je treba poznať aj zákontost ch prebehu N(x), Q(x), M O (x), v závslost na charaktere zaťažena (obr. 4.3) na vyšetrovanej čast telesa. Teleso (rám), ktoré konkrétne vyšetrujeme (obr. 4.7a) sa dá rozdelť na jednotlvé čast, zaťažené takto: AE, EG, DC q = 0 GH, HB q = konšt. V mestach A, B, C, E, H na stredncu pôsoba osamelé sly a momenty. Výpočet v prereze mm, teda GH (q = konšt.) ukazuje, že v závslost na meste rezu x je v tomto ntervale N = A x - F 1 konštantná (na x nezávslá) Q = A y - q.x lneárna funkca x (x 1 ) 2 x M O = A x (b + c + a) a A y.x - F 1.a - q. 2 + M 1 kvadratcká funkca x (x 2 ) Nakoľko sa nosníky a rovnné rámy veľm často vyšetrujú s prečnym zaťažením q (x), odvodíme vzťahy, ktoré umožna blžše analyzovať charakter prerezu Q (x) a M (x) pre tento spôsob zaťažena. Schwedlerova ( ) - Žuravského ( ) veta 84

85 Ak vyjmeme z telesa (obr. 4.10) fktívny ( mm 0 ) elementárny prvok o dĺžke dx, potom rovnce rovnováhy prvku, napr. k bodu (x + dx) sú: F y = 0: Q - (Q + dq) - q (x).dx = 0 Obr M O = 0: -M O - Q.dx + q (x).dx. 2 dx + + (M O + dm O ) = 0 Po úprave (so zanedbaním malej hodnoty momentového účnku q (x). taže) dostávame: 2 dx 2 od vlastnej dq = -q(x) dx dm O dx = Q (4.4) Z týchto dferencálnych rovníc 1. rádu možno pr známom prečnom zaťažení q (x) určť v danom ntervale telesa charakter prebehu (tvar krvky) velčín Q a M O (obr. 4.11). a) q = 0 Q... konštantná M O... lneárny b) q = konšt. Q... lneárna M O... kvadratcký c) q...lneárne Q... kvadratcká M O... kubcký 85

86 Obr Z vlastnost derváce funkce vyplýva, že v poradí velčín q, Q, M O sa jedná vždy o krvku rádovo vyššu a súčasne, že poradnce q (x), Q (x) predstavujú smernce dotyčníc ku krvkám Q (x) a M O(x) v danom prereze (extrémy funkce). To dovoľuje, pomocou prebehu Q (x) kontrolovať správnosť prebehu M O(x) a naopak (!). Okrem prebehu Q a M O treba určť tež polohu (x m ) a veľkosť (M Omax ) najväčšeho ohybového momentu. Vtedy, keď má ohybový moment M O pramkový prebeh, je mesto a veľkosť M Omax z výpočtu zrejmá. Ak však leží M Omax v ntervale, kde M O (x) je krvka, treba jeho polohu a veľkosť určť. Maxmum v tomto ntervale sa určí z podmenky extrému funkce jednej premennej. Z podmenky dm O = 0 (4.5) dx určíme mesto x m a potom M Omax = M O (x) (4.6) x = x m Pretože podľa Schwedlerovej - Žuravského vety platí dm O dx = Q, je extrém ohybového momentu tam, kde je prečna sla rovná nule (kde mení svoje znamenko)! Poznámka: Z uvedeného tež vyplýva, že v mestach, kde pôsoba osamelé sly F, sú v dagramoch N a Q skoky a v dagramoch M O zlomy (náhle zmeny hodnôt M O ). 86

87 Ak sú vo vyšetrovanom ntervale nosníka spojté zaťažena n(x), prípadne m(x), potom majú predchádzajúce vzťahy tvar dn = n(x), dx dm = Q - m(x) (4.7) dx s rovnakým významom použta ako pre q (x). V nasledujúcch príkladoch na vyšetrovane prebehu N. Q, M budú použté už vyrešené hodnoty reakcí (ch výpočtu sme sa podrobne venoval v predchádzajúcom ods. 4.2). Pr kreslení dagramu na pramych nosníkoch budeme kladné hodnoty N a Q vynášať nad osou, hodnoty momentov M O na stranu ťahaných vláken (pod osou). Na rámoch N a Q ľubovoľne a M O opäť na strane ťahaných vláken. Príklad 4.4: Určte výpočtom prebehy N, Q, M O na prostom nosníku od osamelej sly F. 1cm=20 1cm=200 Dané: F = 500 N a rozmery podľa obrázku 4.12 Reakce: A = 333,3 N, B = 166,7 N (vď. príklad 2.14) - Vnútorné sly Q: v prereze C, v ntervale I je Q I = A = 333,3 N v prereze C, v ntervale II je Q II = A - F = 333,3-500 = -166,7 N - Vnútorné sly N: F x = N = 0 - Ohybový moment M O (v meste sly, kde mení prečna sla znamenko) M O = 333,3. 2 = 666,6 Nm Obr

88 Na zobrazene sú použté merky m L = 0,1 m.mm -1, m F = 20 N.mm -1, m M = 20Nm.mm -1, dn prčom v oboch ntervaloch = -n = 0 Q konšt., dx prebeh. dm O dx = Q = konšt. M O má lneárny Príklad 4:5: Určte grafcky veľkosť a prebehy vnútorných síl N, Q, M O na prostom nosníku od osamelej sly F Dané: F = 500 N a rozmery podľa obrázku ,0m 4,0m l = 6,0m Zvolíme merky m L = 0,1 m.mm -1 m F = 10 N.mm -1 m M = 20 N.mm -1 M T Obr Odmeraním A = 335 N, B = 165 N M max = y c. f = 1, = 660 Nm kde (y c v merke dĺžok a f v merke síl). Zdôvodnene súčnu M max = y c. f vď odst. 2.21, obr Pozn.: V obrazc T je veľkosť síl A, B a F polovčná voč merke síl. 88

89 Príklad 4.6: Určte výpočtom prebehy N, Q, M O na prostom nosníku od škmej sly F (obr. 4.14) c Dané: F = 500 N, a = 2,0 m, b = 4,0 m, l = 6,0 m, α = 30 o Reakce: A y = 166,7 N, A x = 433 N, B = 83,3 N (vď. príklad 2.15), F y = 250 N 433 Obr Vnútorné sly Q v prereze C, v ntervale I je Q I = A y = 166,7 N v prereze C, v ntervale II je Q II = A y - F y = A y - F.sn30 o = = 166, ,5 = -83,3 N - Vnútorné sly N: v prereze C, v ntervale I je F x = A x = 433 N v prereze C, v ntervale II je F x = A x - F x = 0 N Pozn.: Na zobrazene zvolíme m L = 0,1 m.mm -1, m F = 10 N.mm -1, m M = 20 Nm.mm Ohybový moment M(x=c) Mo = A y. a = 166,7. 2,0 = 323,4 Nm Pozn: Rameno sly A x voč bodu C, ktorý tež leží na strednc je nulové, preto aj momentový účnok tejto sly k bodu C je nulový! 89

90 Príklad 4.7: Určte výpočtom a grafcky veľkosť a prebehy vnútorných síl na prostom nosníku od spojtého rovnomerného zaťažena (obr. 4.15). Grafcké rešene c Zaťažene q[n.m -1 ] nahradíme osamelým náhradným bremenom F q = q.l. Vo zvolených merkach vzdaleností a síl nakreslíme zložkový obrazec a prebeh vnútorných síl a momentov. Obr Analytcké rešene Reakce A = B = 2 F = q. 2 l Zmena znamenka prečnych síl musí nastať vždy keď bude platť A - q. x = 0. Odtaľ x = A q. l 1 =. = l. q 2 q 2 V tejto vzdalenost platí, že q.l = F q a teda aj, že v smere nosníka, v bode C bude M C = M Omax =. l qx l 1 A. = ql 2 Poznámka: V príkladoch 4.5 a 4.7 na grafckom rešení s možno všmnúť, že pr vynášaní prebehu N a Q sa vlastne kreslí rovnovážny zložkový obrazec vonkajších síl roztahnutý na celú dĺžku nosníka. V príklade 4.7 je použtý bežný spôsob zostrojena kvadratckej paraboly, ktorým pr pozornom kreslení možno získať dostatočne presné poradnce prebehu momentov. 90

91 Príklad 4.8: Určte výpočtom prebehy N, Q, M O na nosníku s osamelým slam (obr. 4.16). Dané: F 1 = 2 kn, F 2 = 3 kn, F 3 = 2 kn, F 4 = 3 kn, α 1 = 60 o, = 45 o, = 60 o. A 0 C Rozmery sú v obrázku. x Reakce: M A = 0 B = 4,74 kn kontrola Fy = 0 M B = 0 A y = 4,0 kn F x = 0 A x = -1,09 kn 0 - Vnútorné sly Q 0 Napr. v prereze C, v ntervale III N = -F 1 cosα 1 - A x = -2cos60 o + 1,09 = 0,09 kn Q = -F 1 snα 1 +A y - F 2 = -2sn60 o + + 4,0-3 = -0,73 N M O = -F 1 snα 1 (1,5 + x) + A y.x - +F 2 (x-1,5)= 1,9-0,73 x N a Q sú konštantné. M O je lneárna funkca x. To zodpovedá q = n = 0. Obr Použté merky m L = 0,1 m.mm -1 m F = 0,1 kn.m -1 m M = 0,1 knm.mm -1 Podobne aj v ostatných ntervaloch. 91

92 Príklad 4.9: Určte prebehy N, Q, M O na pravouhlom rovnnom ráme (obr. 4.17). Dané: F 1 = 2 kn, F 2 = 3 kn, q = 1 knm -1 a) Rozmery dĺžok v m F = 0,1 m.mm -1. Reakce: M A = 0 B = 1,5 kn 2 M B = 0 A y = 0,5 kn F x = 0 A x = -1 kn 2 Obr Vnútorné sly Obrazce N, Q, M O sa kresla zvyčajne do troch samostatných dagramov (obr b,c,d). Ohybové momenty kreslíme na stranu ťahaných vláken prerezu. b) d) c) Možno s všmnúť, že v pravouhlých rámoch pr prechode z jednej čast na druhú prechádzajú osové sly v prečne a naopak. Ohybové momenty majú v meste prechodu na oboch častach rovnakú hodnotu. 92

93 5. ROVINNÉ SÚSTAVY TELIES Rovnná sústava teles je tvorená telesam, ktoré sú navzájom spojené pohyblvo. Spojene je prevedené tak, že vzájomný pohyb teles je možný ba v rovnách rovnobežných s jednou základnou rovnou. Rovnako aj vonkajše (prmárne) slové účnky väzbové reakce tvora rovnnú sústavu síl. Sústavy teles môžu byť nepohyblvé alebo pohyblvé (mechanzmy). Medz nepohyblvé sústavy zaraďujeme tež tzv. prútové sústavy. 5.1 Rovnné prútové sústavy Prútová sústava je najjednoduchší výpočtový model prehradovej konštrukce, ktorý je tvorený nehmotným štíhlym telesam - prútm, spojených navzájom kĺbm. Ak zaťažene uložene sústavy pôsobí v jednej rovne, je takáto prútová sústava rovnná. Telesá prehradovej konštrukce (zvslce, dagonály - prečky, pásy...) sú najčastejše z valcovaných oceľových proflov rôzneho tvaru (obr. 5.1) a usporadana. Ich názvy, najčastejše odvodené od geometrckého tvaru konštrukcí určujú záväzné techncké normy. Obr. 5.1 Telesá sú spojené v tzv. styčníkoch. Konštrukčné prevedene styčníkov býva najčastejše podľa nektorého zo spôsobov, ktoré uvádza obr. 5.2: kĺbové ntované alebo skrutkované zvarované Obr

94 Na nasledujúcch obrázkoch 5.3 a 5.4 sú nakreslené príklady trojuholníkových prehradových konštrukcí a ch výpočtové modely. Obr. 5.3 Obr. 5.4 Výpočtový model prehradovej konštrukce - prútová sústava - je vytvorený na základe týchto predpokladov: - Jednotlvé telesá sú štíhle a možno ch považovať ako jednorozmerné - tzv. prúty. - Prúty sa pretínajú v jednom bode - styčníku a (sú natoľko štíhle, že) ch ohybovú tuhosť nemusíme brať do úvahy. Spojene prútov v uzle potom pôsobí ako kĺbové spojene. - Zaťažene konštrukce sa uvažuje len v uzloch. Keďže os prútov prechádzajú ťažskam teles, prúty prenášajú len osové (normálne) sly - ťah alebo tlak. 94

95 5.1.1 Základná úloha, statcká a tvarová určtosť Z predchádzajúcch úvah vyplýva, že každý prút môže byť namáhaný len osovou slou. Každý uzol, pokaľ zaťažene uložene je v styčníkoch, predstavuje rovnný zväzok síl. Keď je prútová sústava ako celok v pokoj, musí byť v pokoj aj každá jej časť, a preto sly v každom uzle musa byť v rovnováhe a spĺňať známe dve podmenky rovnováhy F x = 0 F y = 0 v prútoch. Základnou úlohou rešena prútovej sústavy je určene neznámych osových síl Prútová sústava je v rovnováhe vtedy, ak je v rovnováhe každý jej uzol, preto pr počte uzlov u musí byť v rovnnej prútovej sústave splnených 2.u rovníc typu F x = 0 F y = 0 (pre každý uzol) V týchto rovncach sú zahrnuté tež tr podmenky rovnováhy vonkajších síl pôsobacch na prútovú sústavu. Počet voľných rovníc, ktoré sú k dspozíc je teda len 2u - 3. Ak má byť prútová sústava s počtom p prútov tvarovo a statcky určtá, musa byť splnené vzťahy: p = 2.u - 3 pre voľnú prútovú sústavu (5.1) 2.u = p + 2p 2 + p 1 pre vazanú (nepohyblvú) prútovú sústavu kde p je počet prútov, u počet uzlov, p 2 počet väzeb, ktoré odoberajú prútovej sústave 2 o V a p 1 počet väzeb odnímajúcch 1 o V. 95

96 Základnú úlohu - určť neznáme sly v prútoch od vonkajších (prmárnych a sekundárnych) síl pôsobacch na prútovú sústavu v jej uzloch veme metódam statky vyrešť len vtedy, keď prútová sústava je statcky a súčasne aj tvarovo určtá! Rozdelene statcky určtých prútových sústav Osové sly v prútoch môžeme určovať analytcky alebo grafcky rôznym metódam. Voľba metódy rešena statcky a tvarovo určtej prútovej sústavy závsí na jej type. a zložté. Rovnné statcky určté prútové sústavy sa podľa typu dela na jednoduché, zložené Jednoduchá prútová sústava (obr. 5.5) Jednoduchá prútová sústava vznkne vtedy, keď k základnému trojuholníku je každý ďalší styčník prpojený najvac dvoma prútm a sústava má aspoň jeden dvojný uzol (len dve neznáme sly v uzle = počtu podmenok, resp. počtu rovníc rovnováhy v ňom). Obr. 5.5 u = 5 podľa (3.1) p = 7 p 2 = 1 p 1 = = podmenka rešteľnost statckým metódam je splnená! Metódou rešena je postupná uzlová metóda. Rešene základnej úlohy začína vždy vo dvojnom styčníku. Pr grafckom rešení možno použť aj Cremonovu ( ) metódu. 96

97 Zložená prútová sústava (obr. 5.6) Zložená prútová sústava vznkne spojením dvoch jednoduchých sústav pomocou troch prútov, ktoré sa nepretínajú v jednom uzle, prčom sústava nemá dvojný styčník. u = 10 p = 17 p 2 = 1 p 1 = 1 podľa (3.1) 2.10 = splnené! Obr. 5.6 Takúto sústavu možno rešť tzv. presečnou metódou, a to buď analytckou Rtterovou ( 1826), alebo Culmannovou grafckou metódou Zložtá prútová sústava (obr. 5.7) Zložtá prútová sústava neobsahuje dvojný styčník (uzol) a jedným rezom ( m, m ) cez tr prúty, vedeným podobne ako v predchádzajúcej zloženej sústave, sa nedá rozdelť na dve čast. u = 6 p = 9 p 2 = 1 p 1 = 1 podľa (3.1) 2.6 = splnené! Obr. 5.7 Vhodným metódam rešena sú tzv. Hennebergova ( 1850) metóda náhradného prúta (n) a metóda neurčtej merky. Poznámka: V ďalšom sa budeme podrobnejše zaoberať len metódam a rešením jednoduchých prútových sústav. U ostatných metód budú vysvetlené ba prncípy. 97

98 5.2 Metódy rešena statckých určtých rovnných prútových sústav Metódy rešena jednoduchých prútových sústav Ako bolo už uvedené (ods ) možno jednoduché prútové sústavy rešť pomocou uzlovej a Cremonovej metódy. Ukážeme s, že Cremonova metóda vychádza z uzlovej metódy a že v určtých prípadoch zrýchľuje a objektvzuje jej postup Postupná uzlová metóda Pr postupnej uzlovej metóde (má nekoľko varantov) sa v jednoduchej prútovej sústave reš rovnováha v každom uzle ako rovnováha rovnného zväzku síl. Rešene začína výpočtom reakcí, t. j. vonkajších sekundárnych síl, ktoré spoločne s akčným (vonkajším prmárnym) slam predstavujú vonkajšu všeobecnú sústavu síl, pôsobacu na prútovú sústavu ako celok. Vlastný výpočet osových síl v prútoch začína vždy vo dvojnom uzle (uzol len s dvoma neznámym slam) a potom pokračuje postupne v ďalšom novovznknutom dvojnom uzle. Tomu zodpovedá aj postupné očíslovane uzlov, napr. v poradí I, II,.... Pr analytckom rešení sa predpokladá, že všetky neznáme sly sú ťahové (+). Vo výsledkoch potom získame buď ťah (+), keď sa znamenko potvrdí, alebo tlak (-), ak sa pôvodný predpoklad ukáže ako nesprávny. Pr grafckom spôsobe rešena kreslíme zmysly osových síl v uzloch. Ťah (+) alebo tlak (-) v každom prúte sa zvyčajne označuje vo východzom výpočtovom model (obr. 5.8a). 98

99 Príklad 5.1 V danej prútovej sústave (obr. 5.8) určte početne a grafcky všetky osové sly v prútoch. Dané: F 1 = F 2 = F 3 = F 4 =F = 20 kn α = 45 o, sn 45 o = cos45 o = 0,707 2.u = p + 2p 2 + p = splnené! Obr. 5.8 a) Početný spôsob - Výpočet reakcí: M B = 0: - A y.8 + F ( ) A y = F x = 0: - A x + F 4 = 0 A x = 20 kn = 30 kn F y = 0: A y - 3F + B = 0 B = 30 kn - Vlastný výpočet osových síl v prútoch (tzv. zjednodušená varanta uzlovej postupnej metódy). Uvoľníme v uzloch neznáme osové sly ako ťahy (obr. 5.8a): Obr. 5.8a 99

100 V sústave sú dva dvojne uzly (I, V) rešene začneme napr. v uzle I. Uzol I F y = 0: A y + S 1 snα = 0 S 1 = - = snα = -42,43 kn A y 30 0,707 = Obr. 5.8a/1 Fx = 0: -A x + S 2 + S 1 cosα = 0 S 2 = A x - S 1 cosα = = 20,0 - (-42,43. 0,707) = = 50 kn Poznáme už veľkost a druh síl v prútoch S 1, S 2. Príslušné znamenka síl vyznačíme do obr. 5.8 ako tlak (-) v prúte S 1, resp. ťah (+) v prúte S 2 (znamenko + sa nezvykne vyznačovať). Poznámka: Nekedy, pre väčšu názornosť sa znamenkam plus (ťah) a mínus (tlak) označené sly v prútovej sústave (obr. 5.8) dopĺňajú ešte aj grafcky zmyslam (šípkam) ch pôsobena (zsteným, skutočným). Môžeme teda postúpť do novovznknutého dvojného uzla II, lebo v tomto uzle sú teraz už ba dve neznáme osové sly S 3, S 5 (uzol III túto podmenku nespĺňa, pretože sú v ňom zataľ neznáme až tr sly -S 3, S 5 a S 6 ). Uzol II F y = 0: - S 3.snα - S 1.snα - F 1 = 0 S 3 = -(F 1 + S 1 snα) 1 = -(S 1 + snα F 1 ) = snα Obr. 5.8/2 -(-42, ) = 14,14 kn 0,707 Predtým vypočítanú slu pr ďalšom uzle dosadzujeme aj so znamenkom. F x = 0: S 4 + S 3 cosα - S 1 cosα = 0 S 4 = (S 1 - S 3 ) cosα = (- 42,43-14,14). 0,707 = -40 kn 100

101 Po vyznačení síl S 4 ako tlak (-), resp. S 3 ako ťah (+) znamenkam, prípadne aj grafcky zmyslam ch pôsobena v obr. 5.8 môžeme postupovať ďalej, konkrétne: v našom prípade by sme mohl pokračovať v ktoromkoľvek z uzlov III, IV V, pretože v každom z nch sú už len dve neznáme sly. Postúpme do ďalšeho uzla, napr. III. Uzol III F y = 0: S 5.snα + S 3. snα - F 2 = 0 S 5 = F 2 - S 3 = snα 20 0,707-14,14 = 14,14 kn Obr. 5.8a/3 F x = 0: -S 2 - S 3 cosα + S 5 cosα + S 6 = 0 S 6 = S 2 + (S 3 - S 5 ) cosα = 50 + (14,14-14,14). 0,707 = 50 kn Postupujeme ďalej, napr. do uzla IV Uzol IV F y = 0: - S 5.snα - F 3 - S 7 snα = 0 S 7 = -(S 5 snα + F 3 ) 1 = -(S 5 + snα F 3 ) = snα = - (14, ) = - 42,43 kn 0,707 Obr. 5.8/4 F x = 0: -S 4 - S 5 cosα + S 7 cosα = 0 S 4 = (S 7 - S 5 ) cosα = (-42,43-14,14) 0,707 = -40 kn (čo je tá stá hodnota - podľa očakávana(!) -ako v uzle II ). do obr Opäť vyznačíme znamenkam, prípadne aj grafcky zmyslam zstené osové sly S 7 a S 4 101

102 Rešene ukončíme v poslednom uzle V Uzol V F y = 0: B + S 7 snα = (-42,43. 0,707) = 0 splnené! F x = 0: -S 6 - S 7 cos α + F 4 = 0 Obr. 5.8/ (-42,43. 0,707) + 20 = = 0 splnené! Poznámka: Rovnováha v posednom uzle je súčasne kontrolou správnost celého výpočtu! b) Grafcký spôsob Grafcký (názornejší) spôsob rešena je zrejmý z nasledujúcch obrazcov rovnováhy v každom uzle prútovej sústavy - dve slové podmenky v analytckom spôsobe možno nahradť pr grafckom rešení jednou podmenkou - uzavretím slového obrazca! Tak, ako pr analytckom spôsobe teraz výpočet začína určením reakcí! Príklad 5.2: merka síl 10 kn.cm -1 dĺžok 0,01 m.mm -1 Obr a 102

103 I V II Poznámka: Cremonov obrazec III 5.9b IV 5.9c Cremonovu metódu možno charakterzovať ako prenk postupne (pre každý uzol zvlášť) uzavretých slových obrazcov získaných pr postupnej uzlovej metóde v jedný obrazec, v ktorom sa úseky osových síl v prútoch vyskytujú ba jedenkrát. Spomínaný prenk sa prtom dosahne jednoducho (porovnajme navzájom obr. 5.9.b a obr. 5.9.c!) stotožnením úsekov tých stých síl (podrobnejše ešte vď v ďalšom ods ) Cremonova grafcká metóda Cremonovu grafckú metódu možno použť len na rešene jednoduchých prútových sústav. Pr Cremonovej metóde (nemá analytcký spôsob, resp. je zhodný s analytckým spôsobom uzlovej metódy) sú osové sly nakreslené v slovom obrazc ba jedenkrát, neopakujú sa (!). Uzavretý Cremonov obrazec je súčasne kontrolou správnost presnost grafckého rešena. Pr Cremonovej metóde je treba dodržať nasledujúc postup: 103

104 - Rovnovážnu sústavu vonkajších síl (prvotných reakcí) kreslíme v poradí, v akom pôsoba po obvode prútovej sústavy, napr.: - Rovnovážny zložkový obrazec síl v každom uzle vynášame v poradí ch pôsobena a v rovnakom zmysle ako vonkajše sly - Keď sa nektoré prúty kríža (zredkavý prípad), uvažujeme v meste krížena myslený kĺb, ktorý rozdelí prúty na dve čast, prčom s každou pracujeme zvlášť. Príklad 5.3: Určte Cremonovou metódou osové sly v jednoduchej prútovej sústave na obr Dané: F = 5 kn, tvar a rozmery prútovej sústavy podľa obrázku. Obr Výpočet osových síl Veľkost reakcí A = mf R. ( m FS = 0,05 kn.mm -1 ) resp. B = m. B F R A Veľkost osových síl S = mf S. S, = 1,2,..7) Obr. 5.10a 104

105 Poznámka: - Grafcké rešene začína vždy (po výpočte reakcí!) vo dvojnom uzle. Vo zvolenom smere obehu, najskôr zložením už známych síl a potom ch rozkladom do dvoch neznámych prútov. - Nekedy je treba zmenť merku síl pr výpočte reakcí a osových síl, pretože ch zobrazovace úseky sú podstatne menše. - Na začatku, pr zoznamovaní sa s Cremonovou metódou je vhodné s označovať (obr. 5.10a) dohovoreným znamenkom (napr. ) te sly, s ktorým začíname kreslť rovnováhu v novom (ďalšom) uzle. V novom uzle musí mať ale táto sla vždy opačný zmysel. Príklad 5.4: Určte veľkosť osových síl v častých pramopasových trojuholníkových prehradových sústavách so stúpajúcm (obr. 5.11) a klesajúcm (obr. 5.12) dagonálam. Obe prútové sústavy sú symetrcké ku stredu rozpäta geometrcky zaťažením v horných styčníkoch. Postup a výsledok rešena osových síl v Cremonovom slovom obrazc je zrejmý z obr. 5.11a a 5.12a. Obr Obr. 5.11a m F = 0,2 m.mm

106 -1-13 Obr Obr. 5.12a Zo symetre prehradových sústav a zaťažení je zrejmé, že A = B = = 1 F, a že skutočné veľkost osových síl možno vypočítať zo vzťahu S = m F.S, kde m F = A A, čo zodpovedá vhodne zvolenej dĺžke úseku A = 1. Pozn.: V obr. 5.11a a 5.12a je už vynechané pomocné označovane zmyslu síl, čo však predpokladá už určtú počtársku zručnosť. Zo symetre tež vyplýva, že polohou symetrcké prúty k stredu rozpäta v pravej čast sústavy budú namáhané rovnakým osovým slam, ako v ľavej rešenej čast (urýchene výpočtu). Keď s v zodpovedajúcch uzloch predstavíme (ako v analytckom spôsobe rešena uzlovou metódou) počatok súradncovej sústavy, je zrejmé, že v prútoch S 2, S 13 v obr. 5.11, resp. S 4 v obr musa byť osové sly nulové. Za povšmnute stojí, že stúpajúce dagonály (ku stredu rozpäta) sú namáhané na tlak, klesajúce na ťah, horné pásy sú tlačené a dolné naopak ťahané. 106

107 5.2.2 Metódy rešena zložených prútových sústav Na rešene zložených prútových sústav možno použť presečnú metódu. Metóda je známa vo dvoch podobách: - grafcká Culmannova metóda - analytcká Rtterova metóda. V nasledujúcch úlohách uvdíme, že oboma metódam možno rešť tež sly vo vnútr jednoduchých prútových sústav Culmannova grafcká metóda Príklad 5.5: Určte osové sly v danej sústave (obr. 5.13). Dané: F 1 = 3 kn, F 2 = 6 kn a) Reakce: M A = 0 B = 1,715 kn M B = 0 A y = 7,285 kn Obr b) Prmárne sly sú len zvslé, A x = 0. Osové sly: Daná sústava je zložená, nemá dvojný uzol. Rezom m-m rozdelíme sústavu fktívne na Ľ a P časť. Vlastné rešene vykonáme napr. pre ľavú časť, na ktorú pôsoba sly F 1, F 2, A y a S 8, S 9, S 10 pomocou Culamnnovej pramky (obr. 5.13b), prčom pre rovnováhu sústavy ako celku platí: F 1 + F 2 + A = R L = -B Výslednca R Ľ leží na nosteľke reakce B, takže R Ľ = S 8 + S 9 + S 10 = 0, R Ľ = A - F F 2 = 1,715 kn. 107

108 Po vyrešení rovnce grafcky pomocou Culmannovej pramky, odmeraním úseku síl v merke m F obdržíme hľadané sly = S 8-4,5 kn, S 9 = 0,5 kn, S 10 = 3,53 kn. Po určení síl v týchto troch prútoch možno pokračovať v rešení osových síl v sústave ďalej, napr. postupnou uzlovou metódou. Fktívny rez vedený cez tr prúty (ne vac, máme k dspozíc len 3 podmenky rovnováhy!), ktorým rozdeľujeme zloženú sústavu na dve čast nemusí byť pramy (obr a,b). a) b) c) Obr Pozn.: Pokaľ sa uspokojíme s určením len jednej osovej sly, môžeme prerezať vac ako 3 prúty (obr. 5.14b), ale os všetkých ostatných ostatných okrem toho, v ktorom osovú slu určujeme, musa tvorť zväzok síl (smerovať do jedného bodu). Čara rezu nemusí byť dokonca an spojtá (obr. 5.14c) Rtterova analytcká metóda Príklad 5.6: Pre analytcké rešene sústavy na obr. 5.13a je vhodnejše zvolť pravú časť P, nakoľko z vonkajších síl na nej pôsobí len jedná - reakca B. Neznáme osové sly S 8, S 9,S 10 (obr. 5.15) zvolíme ako ťahy a potrebné uhly prútov 8, 9, 10 (α, β, γ), určíme pomocou gonometrckých funkcí z rozmerov danej prútovej sústavy. Podstatou Rtterovej metódy je, že každá momentová rovnca k presečníkom vždy dvoch (z troch neznámych) síl - k momentovým stredom I, II, III, obsahuje len jednu neznámu slu: M I = 0 S 8 M II = 0 S 9 (5.2) M III = 0 S

109 Obr Nevýhodou metódy je prácne hľadane ramen síl (p 1, p 2, p 3 ) jednotlvých momentov, aj keď pr súčasnom grafckom a analytckom rešení, možno ramená odmerať s dostatočnou presnosťou pramo v pozorne nakreslenom obrázku. Naopak, výhodu metódy je, že ak nepotrebujeme poznať všetky osové sly v sústave, možno vypočítať len te sly v prútoch, ktoré nás zaujímajú. Výpočet zloženej sústavy by sa dal popísanou Rtterovou metódou rozšírť na všetky prúty, ale podobne, ako v predchádzajúcej Culmannovej metóde, je výhodnejše, keď po vypočítaní troch neznámych prútov sa vo výpočte pokračuje už postupnou uzlovou (alebo Cremonovou) metódou Metódy rešena zložtých prútových sústav Hannebergova metóda náhradného prútu (n) Metóda náhradného prútu sa používa na rešene zložtých sústav, ktoré nemajú dvojný uzol a neumožňujú použte presečníkovej metódy, alebo na rešene sústav s vonkajšou statckou neurčtosťou. (Vonkajša statcká neurčtosť ako veme z ods , obr neodvoľuje vypočítať reakce, takže ne je možné an vyrešť osové sly). Prncíp Hannebergovej metódy je znázornený na obr

110 A a) b) c) Obr Pôvodná zložtá sústava (obr. 5.16a) je nahradená dvoma jednoduchým sústavam (obr. 5.16b,c), ktoré vznkl odňatím prútu, napr. 8 a zavedením náhradného prútu na jednotkovej sle S 8 = 1 (na zachovane tvarovej určtost oboch náhradných sústav). V oboch náhradných jednoduchých sústavách vypočítame (napr. Cremonovou metódou) osové sly v prútoch od vonkajšeho zaťažena (obr. 5.16a) S, S n a od jednotkovej sly (obr. 5.16a) S, S n. Nová sústava zaťažená pôvodnou vonkajšou slou F, reakcam A, B a slou S 8 v mestach odobratého prúta bude statcky ekvvalentná pôvodnej sústave vtedy, keď osová sla v náhradnom prúte n bude nulová. Výsledné hodnoty osových síl získame superpozícou (sčítaním) síl v zodpovedajúcch prútoch v náhradných sústavách: S = S + S. S 8 (5.3) a v náhradnom prúte S n = S n + S n. S 8 Z podmenky nulovej sly v náhradnom prúte S n = 0(!) je S n = S n + S n. S 8 =0 Sn a z toho S 8 = - S n (5.4) 110

111 Príklad 5.7: Výsledky rešena oboch náhradných sústav, ako aj síl v celej prútovej sústave (obr. 5.16) možno usporadať do tabuľky. Najskôr však treba ako vždy vypočítať reakce. V danom prípade určíme reakce z rovnováhy síl F, A, B (pretínajúcch sa v spoločnom presečníku K ). Z rovnného zväzku vonkajších síl vyjde potom veľkosť reakcí pre napr. zadanú slu F = 6 kn A = 7,2 kn, B = 4,0 kn. Tab. 5.1 Prút () n S +2,00 +2,1 +2,95-3,25-3,10 6,45 1,55 0-2,10 2,4 S -0,47-0,52-0, ,24-0,74 0,38 1 0,50-0,54 S 1.S 8-2,08-2,30-3,15-1,11-1,06-3,28 1,68 4,44 2,22 S -0,08-0,2-0,2-4,36-4,16 3,17 3,23 4,44 0,12 Z rovnce (5.4) je S 8 = - 2,4 0,54 = 4,44 kn Metóda neurčtej merky Metódu neurčtej merky je vhodné použť pr rešení zložtej prútovej sústavy, ktorá je zaťažená jednou alebo najvac dvom slam, pretože rešene osových síl v sústave treba opakovať postupne pre každú zaťažujúcu vonkajšu slu zvlášť. Prncíp rešena spočíva v tom, že slový obrazec vnútorných (osových) síl a reakcí, ktorý sa nedá zostrojť pre danú (jednú!) slu, začíname kreslť od nektorej zvolenej osovej sly v prúte. Tento prút je treba zvolť vhodne tak, aby bolo možno vyrešť postupne všetky osové sly v prútoch reakce v podperách. Príklad 5.8: V danej zložtej prútovej sústave určte osové sly metódou neurčtej merky. Dané: F = 15 kn a rozmery sústavy podľa obr. 5.17a. Merka dĺžok m L = 0,1 m.mm -1 Reakce možno určť napr. grafcky rešením rovnce F + A + B = 0 K 111

112 Osové sly: Rešene je vykonané Cremonovou metódou (význam použtej symbolky - vď príklad 5.10) od úseku zvolenej sly S 7 v dĺžke S 7 = 35 mm. Po vyrešení ostatných osových síl v prútoch pr počatočnej dĺžke úseku S 7 = 35 mm odmerame po uzavretí a) obrazca F = 58 mm. Z dĺžky úseku zstíme merku síl m F = F 15 = = 0,259 kn.mm -1 F 58 b) Obr Ostatné dĺžky osových síl ( S ) a ( R ) odčítame tež z obrázku a určíme ch veľkosť už v známom merítku S = S. m F, = 1,2,...n, resp. R = m. R j, kde j = A, B Nektoré dôležté poznámky o rešení prútových sústav O možnom zjednodušení a zrýchlení rešena základnej úlohy prútových sústav vyplývajúcom z tvarovej symetre a zaťažena sme sa presvedčl už v príkladoch 5.11 a Všmnme s ešte nekoľkých ďalších zvláštne usporadaných prútov a zaťažena v uzloch, v ktorých je veľkosť osových síl zrejmá bez rešena (obr. 5.18): 112

113 Obr Pozn.: Zrejmosť týchto prípadov (veľm urýchľujúcch výpočet síl), s ľahko zapamätáme, keď s v každom uzle predstavíme súradncovú sústavu. Príklad 5.9: Majme vyrešť napr. tzv. francúzsku jednoduchú trojuholníkovú sústavu (obr. 5.19). S 3 = S 5 = S 7 = S 15 = S 17 = S 19 = 0 S 1 = S 6, S 16 = S 20, S 2 = S 4 = S 8 S 14 = S 18 = S 21 Prúty 3, 5, 7, 15, 17, 19 sú nezaťažené, brána ba vybočenu zaťažených prútov. Obr Podľa toho treba určť ba osové sly v (21-12) = 9-tch nosných prútoch! Na záver už stručne ba uveďme, že ľubovoľnú statcky určtú rovnnú prútovú sústavu môžeme vyrešť zostavením 2.u lneárnych rovníc typu F x = 0, F y = 0 pre každý uzol (u), ktoré v matcovom vyjadrení majú tvar: A. P + Q = 0 (5.5) v ktorom A... je štvorcová matca koefcentov n neznámych osových síl a reakcí typu 2.u P... je stĺpcová matca neznámych síl prútov a vonkajších väzbových reakcí Q... je stĺpcová matca vonkajších zaťažovacích účnkov v uzloch 0... je nulová stĺpcová matca. Keď je matca sústavy A regulárna (det. /A/ 0) je rešene dané vzťahom P = -A -1. Q čo v matcovom tvare je tzv. všeobecná uzlová metóda. (5.6) Porade uvoľnena uzlov pr zostavaní rovníc je ľubovoľné a všetky neznáme sa vypočítajú naraz. Použte tejto metódy na rešene skutočných prehradových konštrukcí s vyžaduje výpočtovú technku. 113

114 114

115 6. PASÍVNE ODPORY Pr rešení rovnováhy skutočných teles, okrem druhotných síl v deálnych väzbách (dokonale tuhé a deálne hladké), treba brať do úvahy aj ďalše pôsobace velčny, a to: šmykové trene a valvý odpor. Pasívne odpory sa môžu prejavť len vtedy, keď uložene telesa alebo sústavy je také, že sa pr danom zaťažení a deálnych väzbách môže teleso začať pohybovať. Pasívne odpory brána vzájomnému pohybu dotýkajúcch sa teles a pôsoba vždy prot ch možnému alebo relatívnemu pohybu. určený. Možným alebo relatívnym pohybom je teda aj smer a zmysel pasívnych odporov úplne V tejto kaptole sa budeme zaoberať aj tzv. čapovým trením, valvým odporom a trením vláken (pásov). 6.1 Šmykové trene, súčnteľ trena, súčnteľ adhéze V dôsledku drsnost povrchu dotýkajúcch sa teles (obr. 6.1a) pôsobí na každú elementárnu plošku da telesa 2 všeobecne orentovaná elementárna sla dr 12 prot zmyslu relatívneho pohybu telesa 2. Keď rozložíme túto slu na zložky dn 12 a dt 12 do normály a rovny styku, obdržíme dve sústavy elementárnych rovnobežných síl, ktoré možno nahradť výsledným účnkam. kde N 12 = p.da N 12 = A (p... tlak medz telesam v Nm -2 ) A d N 12 a T 12 = d T 12 (6.1) a) b) Obr. 6.1 S 115

116 Na hranc pokoja a pohybu alebo pr pohybe telesa 2 je možno uvažovať s jednoduchým výpočtovým modelom, určeným vzťahom kde μ je tzv. súčnteľ šmykového trena. dt 12 max = df 12 = μ N 12 (6.2) dt 12 = df 12 je elementárna treca sla medz oboma telesam. Ak bude μ na celej stykovej ploche konštantné, je F 12 = A d F 12 = μ dn = μ N 12 (6.3) Rovnca (6.4) F 12 = μ N 12 (6.4) je najjednoduchším výpočtovým modelom pasívnych odporov dvoch dotýkajúcch sa teles pr ch vzájomnom pohybe alebo na medz pokoja a pohybu - tzv. Coulombov vzťah ( ). Geometrckým modelom je rovná styková plocha (obr. 6.1b), kde v meste S pôsoba sly N 12, T 12 a ch výslednca R 12 = F 12 + N 12 (6.5) Výsledná reakca je odklonená prot zmyslu relatívneho pohybu a uhol φ, pre ktorý platí F12 tgφ = N = μ (6.6) 12 plôch. Uhol φ je tzv. trecí uhol, ktorého tangenta je rovná súčnteľom trena stýkajúcch sa Podľa toho, č de o prípad na medz pokoja a pohybu alebo už pr pohybe, sú hodnoty trecej sly F s = μ s. N... treca sla z pokoja - statcké trene F k = μ k. N... treca sla pr pohybe - knetcké trene kde μ s = tgφ s je súčnteľ statckého trena μ k = tgφ k je súčnteľ knetckého trena 116

117 Zo skúsenost veme, že μ s > μ k, (φ s > φ k ). (6.7) V nasledujúcej tabuľke 6.1 sú na porovnane uvedené nektoré hodnoty súčnteľov pr suchom trení. Tab 6.1 Súčnteľ šmykového trena Materály teles μ s (z pokoja) μ k (pr pohybe) Oceľ na ocel 0,15 0,03-0,09 Oceľ na bronze 0,11 0,105 Oceľ na ľade 0,027 0,014 Dub na dube v smere vláken 0,62 0,48 napreč vláknam 0,7 Pr rovnných úlohách vymedzuje uhol φ tzv. trecí trojuholník. Pr možnom pohybe vo všetkých smeroch vznkne tzv. trecí kužeľ. Podľa toho, keď uhol α odklonena výslednce R 12 od normály (n) šmykovej plochy (obr. 6.1b) bude mať hodnotu: α φ s bude teleso v pokoj pr ľubovoľne veľkej reakc R α φ s teleso sa začne pohybovať Príklad 6.1: Medz typcké a v prax časté úlohy patrí rovnomerný pohyb telesa taže G, na ktoré pôsobí sla F na naklonenej rovne (obr. 6.2). Dané: G, α, β, a, b, μ s, μ k. Máme určť veľkosť sly F potrebnej na zdvíhane a spúšťane telesa (v smere os x, obr. 6.2.a,b) po naklonenej rovne. T Obr

118 1. Zdvíhane telesa (translačný posun smerom nahor) Na uvoľnené teleso pôsobí všeobecná rovnná sústava síl s neznámym F, F t, F n, c (obr. 6.2a). Pre sústavu síl môžeme okrem troch rovníc rovnováhy napísať aj rovncu pre trecu slu Obr. 6.2a F t = μ k. F n Zo sústavy rovníc F x = Fcosβ- Gsnα - F t = 0 F y = Fsnβ- Gcosnα + F n = 0 M T = F t.b - F n.c = 0 po úprave dostaneme (po dosadení za F t, F n z rovnce pre trecu slu) F = G. snα + μ.cosα cos β + μ.sn β k k (6.8) Treba však skontrolovať, č nedôjde skôr k preklopenu telesa okolo hrany A. Sla F vytvára destablzujúc (sklápajúc) a sla G stablzujúc moment (stablzujúc účnok). Ak nemá teda dôjsť k neželateľnému sklopenu telesa okolo hrany A, musí platť: F (asnβ + bcosβ) G(bsnα + acosα) (6.9) a po dosadení za F z rovnce (6.8) dostaneme snα + μ cosα bsnα + a cosα cos β + μ sn β asn β + bcos β odkaľ a μ (μ = μ s ) (6.10) b a pokaľ bude μ s, teleso sa okolo hrany preklopí. b 118

119 2. Spúšťane telesa Pr spúšťaní telesa (obr. 6.2b) sa v rovncach rovnováhy zmení znamenko trecej sly F t. Sla F na spúšťane telesa má veľkosť F = G snα μ cosα cos β μ sn β k k (6.11) Obr. 6.2b Keď vyjde hodnota F záporná, je treba pr pohybe nadol teleso tlačť. Pre α = φ k je hodnota snα - μ k cosα = snα - tgαcosα = snα - snα = 0, a teda tež sla F = 0. Teleso sa v takomto prípade bude pohybovať po naklonenej rovne rovnomerne smerom dole bez pôsobena vonkajšej sly F. Z tejto úvahy vyplýva expermentálne určovane súčnteľa trena. Keď uvedeme teleso naklonením rovny do rovnomerného pohybu, potom musí zrejme platť α = φ k, a teda súčnteľ trena je μ k = arctg φ k = arctgα Príklad 6.2: Treba vypočítať veľkosť sly F, potrebnej na posunute homogénnej tyče s hmotnosťou m = 40 kg, dĺžkou l = 3,6 m opretej o stenu vysokú 1,8 m. Súčntele trena sú v mestach A, B rovnaké μ = 0,60 (obr. 6.3). Tr podmenky rovnováhy sú: F x = 0: F A - F - F B cosα + N B snα = 0 F y = 0: N A - G + N B cosα - F B snα = 0 l M A = 0: G. cosα - NB. BA = 0 2 a doplňujúce väzobné rovnce F A = μn A, F B = μn B Obr

120 Po dosadení hodnôt 2 2 BA = 1,8 + 2,4 = 3 m; G = m. g = 40. 9,81 = 392,4 N a 1, 8 α = arctg 2, 4 = 36,87 o dostaneme po vyrešení rovníc rovnováhy N B = 188 N, F B = 112,8 N, N A = 309,7 N, F A = 185,8 N a hľadanú slu potrebnú na posunute tyče F = 388,8 N. 6.2 Čapové trene Pasívne odpory pôsobace na čapy rotujúcch teles sa rozdeľujú na dva základné druhy: - radálne (obr. 6.4a) - axálne (obr. 6.4b) r a) b) Obr. 6.4 Pasívne odpory pôsoba prot otáčanu pohybu čapu tzv. momentom čapového trena. Moment čapového trena je vyjadrený vzťahom M č = Q. r. μ č (6.12) kde Q... je sla zaťažujúca čap [N] r... polomer čapu [m] μ č... súčnteľ čapového trena, závslý na druhu materálu čapu a rozložení merného tlaku p [N.m -2 ] v stykovej ploche. Krtérum rozdelena na čapy radálne a axálne závsí, ako je to zrejmé z obr. 6.4, na smere pôsobacej sly Q voč os rotáce čapu. 120

121 V nasledujúcej tabuľke 6.2 sú na lustrácu uvedené súčntele čapového trena pre nektoré druhy čapov a rovnomerné premenlvé rozložene merného tlaku pr suchom trení v stykovej ploche čapu. RADIÁLNE A AXIÁLNE ČAPY PODĽA TVARU STYKOVEJ PLOCHY Radálny čap Tab. 6.2 SÚČINITEĽ ČAPOVÉHO TRENIA PRE MERNÉ TLAKY p. r/ cosφ = konšt p = konšt p. r = konšt α p. r/ cosφ = konšt μ č = μ sn 2α α 4sn α = π: μ č = 1,57 μ μ č = μ 2 α + snα α = π: μ č = 1,27 μ Axálny čap plný μ č = 3 2 μ μč = 2 1 μ Axálny čap prstencový r 2 Axálny čap guľový r 1 r1 3 1 ( ) 2 r μ č = μ 2 3 r1 2 1 ( ) r μ č = 2 1 μ 2 2α snα 2 sn α r 1+ r μ č = μ 2 2 sn α μ č = 2μ 2 2α + sn α