1

Prepis

1 Techcká mechaka II BEK, BDS pre bakalárov, zmý sem. doc.ig.fratšek Palčák, PhD., ÚAMM Cvčee: Aalytcká mechaka, prcíp vrtuále práce. Pomy, prístupy a metódy v mechake Prístup Newtoovske mechaky Predurčeý prístup Poloha Stav a súmae sústavy teles použeme príčý (kauzály) prístup Newtoovske vektorove mechaky, tak treba zostavovť dyamcké pohybové rovce s vektorovým velčam (dráhová hybosť, sla,..) a väzobé rovce z geometrckých, kematckých a dyamckých väzeb pre každý prvok sústavy. Ide o lokály, bezprostredý prístup, bez pláovaa, pr ktorom správae sústavy vychádza z daého okamžtého stavu. Sústava e doúteá správať sa lokále podľa okamžtého stavu a epotrebue s pamätať čo sa udalo. Teto predurčeý (determstcký) spôsob správaa vylučue slobodú vôľu a tým vylučue a vzk rozporu medz tým, čo e prkázaé a čo by prípade sústava chcela urobť ak. Ceľom e kvattatívy výsledok. V teór radea sústav to e prípad radea bez späte väzby, teda edá sa o ovládae (útee). Vzáomá poloha (kofguráca) bodov a teles sústavy e daá súborom kartezáskych súradíc polohy x, y, z. = 1, 2,..., N Stav (okraové podmeky v kofgurác) bodu a teles sústavy e daý súborom kartezáskych súradíc polohy a ch dervácí (rýchlostí) x, y, z, x, y, z. = 1, 2,..., N Prístup aalytcke mechaky Ceľavedomý prístup Účelový (teleologcký) prístup aalytcke mechaky vychádza zo všeobecého pohľadu a sústavu a okolté prostrede ako a celok a amesto vektorových pohybových rovíc pre každý prvok sústavy v aalytcke mechake využívame zovšeobeceé prcípy, ktoré využívaú skaláre velčy (ketcká eerga, práca,..). Celok sa správa účele, ceľavedome tak, aby spll daú globálu požadavku (účel, ceľ) v každom okamhu od východskového po koečý stav. Pr okamžtom rozhodovaí celok koá lokále ale myslí globále. Ceľom e kvattatívy a kvaltatívy výsledok. V teór radea sústav to e prípad radea so spätou väzbou, teda de o regulácu a vo vyspele forme správaa sa sústavy o samoregulácu (dobrovoľosť).

2 Dferecál dt Varáca δq sa čas t v určtom okamhu zmeí o ekoeče malý prírastok (dferecál) dt, velča q(t) sa tež zmeí o dferecál dq. v čase t = x prpočítame k fukc y = f(x), ktorá reprezetue fyzkálu velču f, hodotu εg(x), kde g(x) e ľubovoľá rozumá fukca a ε e koštata s hodotou blížacou sa k ule, potom výraz δq = εg(x) azývame zochróou varácou fukce y = f(x). Zmea δq(x) astáva v rovakom okamhu t = x ako zmea fukce y = f(x), to zameá, že sa realzue pr zastaveom čase. Začatočé a koečé hodoty fukce y = f(x) a varovae fukce y = δf(x) sú a daom tervale (x R, x 0 ) rovaké a prebehaú vo väzobe rove O (x,y). by sme zvoll δf = df a pokúsl sa vzkutý výraz tegrovať, to by zamealo, že v zastaveom čase x = t prdáme k fukc q(x) hodotu qx ( ), teda bod qx ( ) sa premest a varácu by sme už emohl volť ľubovole (apríklad ulovú v kocových bodoch tegračého tervalu), lebo by bola daá hodotou derváce teto fukce. Obr.1 Prebeh fukce y = f(x) a e varáce y = δf(x) Dfereca Δx Pre koečý prírastok (rozdel, dferecu) Δx=h premee x sa hodota fukce y = f(x) zmeí o prírastok (rozdel, dferecu) Δy = Δf(Δx). Derváca f'(x 1 ) Rovcou f '(x 1 ) = Δy 1 /Δx 1 = tgα e daá derváca fukce y = f(x) v bode x 1. Dferecál df(δx) Dferecál df(δx) fukce y = f(x) pre koečý prírastok (rozdel, dferecu) Δx = h v bode x 1 = a e df(δx) = f (a)δx. Dferecál df(dx) Dferecál df(dx) fukce y = f(x) pre ekoeče malý prírastok (dferecál) dx(a) v bode x 1 = a e df(dx) = f (a)dx. Deváca Df(Δx) Deváca Df(Δx) e odchýlka pr ahradeí rozdelu (dferece) Δy = Δf(Δx) dferecálom df(δx). Varáca δf(a) Varáca δf(a) fukce y = f(x) prebeha v zastaveom čase x = a. Aproxmáca Newtoova aproxmáca e ahradee eleáre fukce y = f(x) v bode x 1 = a pramkou (dotyčcou).

3 Hstorcký vývo fyzky V prírode pozáme štyr slové terakce: 1. gravtačú, 2. elektromagetckú, 3. slú a 4. slabú. Gravtačá terakca pôsobí a všetky častce bez výmky, ale pre gravtačú terakcu kvatová teóra predpokladá exstecu zataľ hypotetckých termedálych častíc: gravtóov. Elektromagetcká terakca pôsobí le a častce s elektrckým áboom, slá terakca pôsobí a hadróy (hadros = slý) - hadróy delíme a mezóy zložeé z kvarkov a atkvarkov a baryóy zložeé z troch kvarkov. Slabá terakca pôsobí a leptóy a hadróy. V súčasost prebeha tegračý proces - saha o edotý ops fyzkálych avov. Spozaím spoloče podstaty elektrckých a magetckých avov (Oersted, Faraday, Maxwell) a vkla v mulom storočí teóra elektromagetckého poľa. Po vzku kvatove teóre sa obavla príslušá kvatová aalóga - kvatová elektrodyamka a kvatová teóra elektromagetckého poľa. V relatíve edáve dobe sa podarlo "spoť" elektromagetckú a slabú terakcu do teóre elektroslabe terakce (Weberg, Salam). Teraz prebehaú tezíve pokusy prpoť k teór elektroslabe terakce ešte terakcu slú (veľké zedotee) a s gravtačou slovou terakcou utvorť teóru všetkého.

4 Hstorcký vývo aalytcke dyamky Isaac Newto ( ) Prvou uceleou teórou pohybu mechackých sústav bola Newtoova formuláca klascke mechaky v Matematckých prcípoch prírode flozofe (1687). Základým zákoom teóre bol druhý Newtoov záko, ozačovaý tež ako pohybový záko, pretože sa z eho dalo staovť po ake krvke sa bude pohybovať hmotý obekt, a ktorý pôsobí daá sla: "Zmea pohybu e úmerá pôsobace sle a dee sa pozdĺž osteľky pôsobace sly." Iým slovam, ak a kokréte teleso s kokrétou hodotou hmotost a hybost pôsobí kokréta sla, tak ho út, aby sa pohybovalo po kokréte dráhe. A keď sa rôze obekty sa podraďuú tomu stému zákou, leže zo zákoa sa edaú získať a obekty (s kokrétou hodotou hmotost a hybost, a ktoré pôsoba kokréte sly) a odlšost medz m. Pre každý kokréty prípad (sly, hybost, hmotost, pohybu) treba hľadať ový postup rešea mechacke úlohy. Leohard Euler ( ) Ďalší krok vo výve mechaky urobl Euler, keď preformuloval druhý Newtoov záko. Eulerova formuláca pohybového zákoa sa líš od Newtoove v tom, že: 1. prbudla vzťažá sústava - zrýchlee a defueme buď cez F2 a m2, alebo cez F1 a m1, 2. dostávame všeobecý záko v podobe dferecále rovce, ktorá poskytue možosť uverzálym spôsobom rešť akékoľvek mechacké úlohy. Jea Baptste le Rod d Alembert ( ) 1. d Alembertov prcíp meí dyamckú úlohu o pohybe účkom sly a statckú úlohu o rovováhe vacerých síl. Iým slovam zrovoprávňue poko a pohyb, čže opäť astoľue rovováhu, ktorá sa porušla pr prechode od statcke rovováhy k dyamckému pohybu; 2. zavedeím ove zotrvače sly zedotl a zrovoprávl všetky druhy síl: aktíve sly, sly od väzby sly zotrvačost; 3. vďaka tomu sa do edého opsu zedotl rôze druhy pohybu: a) pohyb voľe častce (F = O, R = O), b) častce bez väzby pohybuúce sa účkom sly F (R = 0), c) vazae častce (eulové R) pod účkom sly F. Joseph Lous de Lagrage ( ) Vyvrcholeím vývoa klascke mechaky bol práce Josepha Lousa Lagragea, zavŕšeé vydaím eho Aalytcke mechaky (1788). Lagrage vyslovl prcíp vrtuáleho premestea: " hmotý bod vazaý obostraou hladkou väzbou e v rovováže polohe, elemetára práca aktívych síl sa pr ľubovoľom vrtuálo premesteí z teto polohy rová ule." Kombácou prcípu vrtuáleho posuuta a d Alembertovho prcípu (tzv. Lagrageovd Alembertov prcíp) potom J. L. Lagrage odvodl všeobecú rovcu mechaky. Keď apoko Lagrage zavedol tzv. zovšeobeceé súradce a zovšeobeceé sly, dostal zo spomíae rovce dve sústavy dferecálych rovíc: Lagrageove rovce prvého druhu a Lagrageove rovce druhého druhu. Z ch sa daú získať: 1. charakterstky pohybu akekoľvek sústavy teles: voľe v šršom zmysle (bez väzby bez účku akýchkoľvek síl), teles bez väzby pod účkom sly vazaých teles, a ktoré pôsoba sly, 2. pohybové rovce pre te avšeobeceší prípad a) pre akýkoľvek pohyb (voľý, vazaý),

5 b) pod účkom sly akéhokoľvek pôvodu (gravtače, elektrcke, magetcke a.), c) pre kozervatíve ekozervatíve typy síl, d) vzhľadom a akýkoľvek typ súradíc, č už maú eaký geometrcký výzam, alebo charakterzuú ba stupe voľost v ašršom zmysle slova (zovšeobeceé súradce). Dá sa povedať, že tým sa zavŕšl vývo mechaky ako opsu mechackého pohybu hmotých, teda látkových obektov - č už e teto ops charakterzovaý ako zmea geometrckých súradíc v čase alebo ako časová zmea akýchkoľvek charakterstík príslušého počtu stupňov voľost. Carl Gustav Jacob( ) a Wllam Rowa Hamlto ( ) Výv mechaky sa kocom 18. storoča ezastavl, ale pokračoval a v 19. storočí, meovte v prácach C. G. Jacobho a W. R. Hamltoa. Hamlto sformuloval všeobecý prcíp, a základe ktorého zedotl ops pohybu častíc šírea svetla. Teda z Hamltoovho prcípu vyplývaú tak Lagrageove rovce pre ops pohybu látkových obektov, ako a rovce vlove geometrcke optky (zedotee rôzych pohľadov a povahu svetla z hľadska opsov eho šírea). Z Hamltoovho prcípu mmáleho účku sa daú odvodť všetky predchádzaúce varačé prcípy, ech už bol v mulost odvodeé v oblast optky č mechaky, teda Heroov, Fermatov, Lebzov, Maupertusov Eulerov prcíp. Okrem toho sa v Hamltoovom formalzme úple abstrahue od kokréteho tvaru dráhy, po ktore sa obekt pohybue, lebo účok e ba fukcou začatočých a kocových súradíc. Prcípy v aalytcke mechake V aalytcke dyamke sú dspozíc edak dferecále prcípy platé pre ekoeče malé zmey velčí a tegrále prcípy pre koečé zmey velčí s kombácou evaračého prcípu a varačého prcípu a formulácu podmeok pre extrém velčy pr e ekoeče male, alebo koeče zmee v rámc možých stavov. a) Podľa tohto tredea medz dferecále evaračé prcípy patra apoužívaeše Newtoove zákoy a Lagrageove rovce prvého a druhého druhu a b) do skupy dferecálych varačých prcípov patrí aedoduchší prcíp vrtuálych prác a D`Alambertov prcíp, avšeobeceší Gaussov prcíp amešeho útea a Hetzov prcíp aprameše dráhy. c) Do skupy tegrálych evaračých prcípov patrí prcíp zachovaa eerge a d) medz tegrále varačé prcípy patrí Marpertusov, Eulerov a Jakobho prcíp amešeho účku a adôležteší Hamltoov prcíp. Hamltoov varačý prcíp Každý zo dferecálych, alebo tegrálych prcípov má svoe špecfcké poslae o pre algortmzácu umercke tegráce zmešae sústavy dferecálych pohybových a algebrckých väzobých rovíc DAE sa alepše osvedčl Hamltoov varačý prcíp: t2 a b I (L+ F.r λ )dt = 0 t 1 A k A k k=1 1 I e varáca fukcoálu I, pre ktorý hľadáme extrém L EK- EP e Lagragá ako rozdel ketcke E K a potecále F sú akčé sly, k 1,2,...,a r sú sprevodče pôsobísk akčých síl F λ sú Lagrageove súčtele, 1,2,...,b e artmetcký vektor väzobých rovíc Φ E P eerge systému

6 Eulerove-Lagrageove rovce Z Hamltoovho tegráleho varačého prcípu vyplývaú pohybové dferecále Eulerove- Lagrageove rovce druhého rádu a b d L L r Φ ( ) ( ) F. λ 0, 1,2,...,c dt q q q q k=1 1 a b L L r k=1 1 d ( ) ( ) F. 0 dt q q q q kde q e artmetcký vektor celkového počtu c zovšeobeceých súradíc q, 1,2,...,c, F e počet a akčých síl a e artmetcký vektor počtu b väzobých eleárych algebrckých rovíc Φ. Druhy súradíc polohy - ak má zovšeobeceá súradca polohy rozmer dĺžky, zovšeobeceá sla má rozmer sly, - ak má zovšeobeceá súradca polohy rozmer uhla pootočea, zovšeobeceá sla má rozmer vazaého mometu, Druhy väzeb Holoóma väzba: - väzobá fukca obsahuúce le súradce polohy (alebo prmtívu fukcu rýchlost), - obmedzue le polohu telesa, - azývame u geometrcká väzba, Neholoóma väzba: - väzobá fukca obsahuúca súradce a rýchlost, - súčase obmedzue polohu a rýchlosť, - azývame u kematcká väzba (alebo dferecála-vystupue v e derváca podľa času), Ideála geometrcká väzba, Geometrcká väzba s pasívym odporm. Druhy síl čé sly môžu byť väzbové (epracové reakce) a pracové, pr deálych väzbách (euvažueme pasíve odpory) e e rozdel medz slam reakčým a väzbovým a tež e e rozdel medz pracovým a akčým slam. Pomy v aalytcke mechake q, 1,2,...,c e zovšeobeceá súradca polohy, dq e dferecál zovšeobecee súradce polohy r dr dq q e dferecál polohového vektora, q, q e vrtuále premestee zovšeobecee súradce polohy q, r r q e vrtuále premestee kocového bodu polohového vektora, q m r Q F. e zovšeobeceá sla, =1 q =1 W Q q e vrtuála práca zovšeobeceých síl v rovovážom stave,

7 W (F m a ) r e vrtuála práca akčých a zotrvačých síl pohybuúce sa sústavy, =1 =1 P (F m a ) r e vrtuály výko akčých a zotrvačých síl pohybuúce sa sústavy. Prcíp vrtuálych prác sa voľé teleso v rovovážom stave, (teda pr pôsobeí rovováže sústavy síl a slových dvoíc e v poko, alebo koá rovomerý pramočary pohyb) vrtuále premest, výsledá vrtuála práca δ W akčých slových účkov a vrtuálych premeseach, ktoré prebehaú v zastaveom čase (realzuú se okamžte, sú zochróe), bude ulová δ W 0. Vrtuále premestea δ q (posuuta a pootočea) sú le testovace premestea, ktoré sa môžu, ale emusa uskutočť, teda patra do možy geometrcky a kematcky prípustých zovšeobeceých premesteí pôsobísk zovšeobeceých síl, ktoré m umožňuú väzobé podmeky. Vrtuále premestea sú ekoeče malé, aby ebolo potrebé brať do úvahy zmeu vzáome polohy (geometrcke kofguráce). by sa vrtuále premestea uskutočl v reálom čase, bol by to dferecály a vykoaá elemetára práca by sa za daých podmeok mohla tegrovať. Potom by bolo potrebé vzať do úvahy závslosť zovšeobeceých síl a zovšeobeceých premesteach. Vrtuála práca akčých slových účkov (vo forme zovšeobeceých síl a vrtuálych premesteach-zochróych varácách zovšeobeceých súradíc polohy) pôsobacch a teleso alebo a sústavu teles v rovovážom stave bude ulová: δw Q δ q 0 =1 Táto rovca ahrádza rovováže rovce dyamcke sústavy, ktoré treba písať pre edotlvé telesá zo sústavy uvoľeé od väzeb a tým, že eobsahue eakčé väzobé sly (teda reakce), má meší počet velčí a výpočet zovšeobeceých súradíc polohy pre rovovážy stav sa zedoduší. Prcíp vrtuálych výkoov pohybuúce sa sústavy bez pasívych odporov P (F m a ) r 0 =1 mechacká sústava sa pohybue tak, aby sa algebrcký súčet vrtuálych výkoov síl pracových (akčých) síl a zotrvačých síl roval ule.