Microsoft Word - Praktikum_07.doc

Prepis

1 33 Praktikum 7: Lineárne optimalizačné úloh Cieľ: Grafick znázorniť množinu prípustných riešení, zobraziť účelovú funkciu, nájsť optimálne riešenie a interpretovať riešenie danej úloh. Metodický postup: InequalitPlot[ineqs, {x, x min, x max }, {, min, max }]... grafické riešenie sstému nerovníc ConstrainedMin[f, {inequalities}, {x,,...}]... určenie minimálne, resp. ConstrainedMax[f, {inequalities}, {x,,...]... maximálnej hodnot funkcie v danej sústave nerovníc Vzhľadom na rozsiahlosť úloh lineárnej optimalizácie forma uvedenia príkladov je zadanie a následne riešenie. Zadanie 1: V stolárskej dielni vrábajú stol a nočné stolík. Na ich výrobu potrebujú dva druh dreva. Na výrobu stola potrebujú 0,2 m 3 dreva prvého druhu a 0,1 m 3 dreva druhého druhu. Na výrobu nočného stolíka potrebujú 0,04 m 3 dreva prvého druhu a 0,06 m 3 dreva druhého druhu. Na sklade majú 80 m 3 dreva prvého druhu a 60 m 3 dreva druhého druhu. Z predaja jedného stola získajú 100,- Sk čistého zisku. Z predaja jedného nočného stolíka získajú 25,- Sk čistého zisku. Koľko stolov a nočných stolíkov z uvedenej zásob dreva môžu vhotoviť tak, ab dosiahli čo najväčší zisk?

2 34 Riešenie: Podmienk úloh vjadríme do tabuľk: VÝROBOK SPOTREBA DREVA (m 3 ) prvý druh druhý druh Stôl 0,2 0,1 Nočný stolík 0,04 0,06 Zásoba dreva Označme: x... počet vrobených stolov... počet vrobených nočných stolíkov podmienk úloh môžeme vjadriť sústavou lineárnch nerovníc: 0, 2x+ 0, ,1x+ 0, x 0 0 Celkovú trhovú produkciu môžeme vjadriť účelovou funkciou: In[1]:= <<Graphics`InequalitGraphics` In[2]:= Z = 100x+ 25, ktorú treba maximalizovať. InequalitPlot@ 0.2 x fl 0.1 x fl x 0 fl 0, 8x, 0, 500<, 8, 0, 1100<, AxesLabel 8"x", ""<, AspectRatio 0.875D Out[2]= x

3 35 In[3]:= <<Algebra`InequalitSolve` In[4]:= Out[4]= In[5]:= Out[5]= 0.2 x fl 0.1 x fl x 0 fl 0, 8x, <D 0 x 400.&& 0&& x&& x ConstrainedMax@100 x+ 25, 80.2 x , 0.1 x , x 0, 0<, 8x, <D , 8x 300., 500.<< In[6]:= Clear@sústava, priamkad In[7]:= sústava = InequalitPlot@ 0.2 x fl 0.1 x fl x 0 fl 0, 8x, 0, 500<, 8, 0, 1100<, AxesLabel 8"x", ""<, AspectRatio 0.875D Out[7]= In[8]:= x priamka = PlotA x , 8x, 1, 500<, AxesLabel 8"x", ""<, 25 AspectRatio 1.6E Out[8]= x

4 36 In[9]:= bod = Graphics@8PointSize@0.025D, RGBColor@1, 0, 0D, Point@8300, 500<D<D; In[10]:= Show@sústava, priamka, bodd x Out[10]= Záver: Pri x=300, =500 je Z max = Výrobu teda organizovať tak, ab vrobili 300 stolov a 500 nočných stolíkov. Vužijú sa pritom racionálne zásob dreva a dosiahne sa maximáln zisk ,- Sk. Zadanie 2: Na farme TOPMLIEKO kŕmia kravičk dvoma druhmi krmív: senom a silážou. Ab kravičk dávali kvalitné mlieko, sleduje sa splnenie určitých výživových noriem v dennej kŕmnej dávke: mala b obsahovať aspoň 1900 gramov bielkovín, aspoň 180 g vápnika a vitamínu C aspoň 5 gramov. Obsah jednotlivých výživných látok v používaných krmivách a ich cen sú uvedené v nasledujúcej tabuľke. bielkovin vápnik vitamín C CENA (Sk/kg) seno siláž

5 37 Aké množstvá jednotlivých krmív majú dať do dennej kŕmnej dávk, ak ju chcú zostaviť tak, ab bola čo najlacnejšia? Riešenie: Označme: x... množstvo sena (v kg)... množstvo siláže (v kg) Údaje o jednotlivých krmivách, výživných látkach a cenách môžeme zapísať do tabuľk: bielkovin vápnik vitamín C CENA (Sk/kg) seno siláž výživové norm Matematické vjadrenie podmienok úloh: 50x x x x 0 0 Ak denná kŕmna dávka obsahuje x kg sena a kg siláže, za toto množstvo farma zaplatí 1x+2 Sk, teda účelovú funkciu Z = x + 2 treba minimalizovať. In[11]:=<<Graphics`InequalitGraphics` In[12]:= InequalitPlot@50 x fl 10 x fl 5x fl x > 0 fl > 0,8x, 0, 65<, 8, 0, 65<, AxesLabel 8"x", ""<, AspectRatio 0.875D

6 x Out[12]= In[13]:= <<Algebra`InequalitSolve` In[14]:= InequalitSolve@ 50 x fl 10 x fl 5x fl x > 0 fl > 0,8x, <D Out[14]= 0 < x 3&& 1 3 H90 5xL»»3 < x < 38&& 1 7 H190 5xL»»x 38 && > 0 In[15]:= ConstrainedMin@x+ 2,850 x , 10 x , 5 x , x > 0, > 0<, 8x, <D Out[15]= In[16]:= In[17]:= In[18]:= 838, 8x 38, 0<< bod = Graphics@8PointSize@0.025D, RGBColor@1, 0, 0D, Point@838, 0<D<D; Clear@sústava, priamkad sústava = InequalitPlot@50 x fl 10 x fl 5x fl x > 0 fl > 0,8x, 0, 65<, 8, 0, 65<, AxesLabel 8"x", ""<, AspectRatio 0.875D Out[18]= x

7 39 In[19]:= priamka = PlotA 1 2 x + 19, 8x, 1, 45<, AxesLabel 8"x", ""<, AspectRatio 1.2E x Out[19]= In[20]:= Show@sústava, priamka, bodd Out[20]= x Záver: Farma TOPMLIEKO b mala teda zostavovať dennú kŕmnu dávku z 38 kilogramov sena a 0 kilogramov siláže, ab mala čo najmenšie výdavk, konkrétne 38 Sk.

8 40 Zadanie 3: Úloh na riešenie a) Obchodník s uhlím má dva sklad D 1 a D 2, ktoré uskladňujú 30 ton a 15 ton uhlia. Traja zákazníci C 1, C 2, C 3 si podali objednávk na 20, 15, 10 ton uhlia. Vzdialenosť (v km) medzi rôznmi depami a zákazníkmi udáva nasledujúcu tabuľka: C 1 C 2 C 3 D D Ak predpokladáme, že cena doprav za uhlie je rovnaká pre tonu a km, rozhodnite, z ktorých skladov b mali bť objednávk vbavené pri najmenších výdavkoch na dopravu. 23 b) Výrobca chce maximalizovať zisk pre dva produkt. Prvý produkt posktuje zisk 1,50 peňažných jednotiek, druhý produkt posktuje zisk 2,00 peňažných jednotiek. Trhový test a disponobilné zdroje udávajú nasledovné obmedzenia: kombinovaná výroba produktov b nemala presahovať 1200 jednotiek za mesiac požiadavka na druhý produkt je menšia alebo rovnaká ako polovica požiadavk na prvý produkt výroba prvého produktu je menšia alebo sa rovná 600 jednotkám plus trojnásobok druhého produktu. 24 Vužitie vo výučbe matematik SŠ: lineárna optimalizácia, v predmete matematické metód otvorená hodina: december 2003 Zdrojový súbor na CD-R: Praktikum-07.nb 23 Por. KRIŽALKOVIČ K., CUNINKA A., ŠEDIVÝ O., Riešené úloh na nerovnice, ALFA Bratislava 1972, s Por. LARSON R. E., EDWARDS B. H., Finite Mathematics, LEXINGTON Toronto 1991, s. 152.