Microsoft Word - 3CB DF-2604.rtf

Prepis

1 XIII ČASOVÉ RADY 3 lasfkáca a základné charakterstk časových radov Príklad: V okrese Lptovský Mkuláš sme v roku 993 sledoval počet nezamestnaných na jedno ponúkané voľné pracovné mesto: mesac počet nezam Pozorovana: sledovaná velčna sa vvíja v čase - je funkcou času hodnota v konkrétnom čase závsí na predchádzajúcch hodnotách, tj hodnot ne sú nezávslé sledovaná velčna môže závseť aj od ďalších faktorov (a táto aj závsí) Časový rad je rad hodnôt určtého štatstckého znaku usporadaný podľa časového sledu ch výsktu Hodnot sledovaného znaku sa obvkle zaznamenávajú v rovnako dlhých časových ntervaloch Pomocou časových radov charakterzujeme časové zmen a vývojové trend skúmaných javov Časové rad delíme: a) podľa charakteru sledovaného znaku na ) časové rad absolútnch velčín (extenztné velčn) ) časové rad odvodených velčín (ntenztné velčn) b) podľa spôsobu zhromažďovana údajov na ) ntervalové časové rad (hodnot sa vzťahujú k určtému časovému ntervalu) ) okamhové časové rad (hodnot sa nadobúdajú v určtom časovom okamhu) c) podľa spôsobu zobrazena na ) časové rad bežných hodnôt (pôvodné hodnot) ) časové rad kumulatívnch hodnôt (postupne sčítané pôvodné hodnot) 3) časové rad kĺzavých úhrnov (súčt rovnakého počtu po sebe dúcch hodnôt) d) podľa perodckost na ) perodcké časové rad ) neperodcké časové rad tvorbe hodnôt časového radu obvkle prspevajú vaceré faktor, ktorých vplv sa kombnuje (sčítaním, násobením) Hovoríme preto o zložkách (komponentách) časového radu Možné zložk časového radu sú: trend (trendová zložka) vjadruje dlhodobé správane sa hodnôt časového radu, ako rast, pokles, stagnáca atď cklcká zložka vjadruje kolísane hodnôt okolo trendu spôsobené cklckým vplvm (cklus ekonomckých kríz, výrobný cklus atď) s nepravdelnou peródou dlhšou ako jeden rok sezónna zložka pravdelné kolísane hodnôt okolo trendu s peródou, ktorá je kratša alebo rovná jednému roku (vplv ročných období, svatkov atď) epzodcká zložka nepredvídateľný odklon od dlhodobého trendu v dôsledku náhlej udalost (ako je napr zemetrasene, vojna, štrajk atď)

2 rezduálna (náhodná) zložka nepravdelné kolísane hodnôt radu v dôsledku náhodných alebo nedentfkovateľných vplvov Neked sa epzodcké fluktuáce zahŕňajú do rezduálnch Charakterstk vývoja: Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že máme rad hodnôt,, nameraných v rovnakých časových odstupoch Príslušné hodnot časovej premennej označíme t,,t (podľa druhu časového radu sú to buď časové okamh alebo stred príslušných ntervalov) Defníca 3: Absolútn prírastok je,,, Zrýchlene je, 3,, oefcent rastu je k,,, oefcent prírastku je k,,, empo rastu a tempo prírastku sú príslušné koefcent vjadrené v percentách Premerný koefcent rastu je k k k k 3 oefcent rastu tvora rad reťazových ndexov Neked sa používa aj rad bázckých ndexov rastu: IB,,,, kde 0 je zvolená bázcká hodnota (môže bť 0 totožná s nektorou z hodnôt,,, najčastejše ) Intervalové časové rad: Intervalové časové rad sa važu na určtý časový nterval a ch hodnota raste s dĺžkou ntervalu Pr spájaní ntervalov sa príslušné ntervalové absolútne velčn sčítajú (napr objem výrob) Pre spracovane ntervalových časových radov je dôležté, ab jednotlvé nterval mal rovnakú dĺžku Ak toto ne je splnené, je potrebné vkonať jeho opravu: hodnot sa prerátajú na nterval rovnakej dĺžk Opravený časový rad má hodnot z d,,,, d kde d je dĺžka -teho ntervalu a d stanovená dĺžka ntervalov Pr ntervalových časových radoch často potrebujeme poznať rad kumulatívnch hodnôt, ktorý obsahuje súhrnné hodnot od začatku sledovaného obdoba Pre porovnane dvoch období podobného charakteru sa zase často používa rad kĺzavých úhrnov Defníca 3: Rad kumulatívnch hodnôt je s Rad kĺzavých úhrnov je ε,,, j j,,, Počet období pr kĺzavých úhrnoch je vhodne zvolená konštanta, najčastejše 3 až 5

3 Graf radu bežných hodnôt, kumulatívnch hodnôt a kĺzavých úhrnov má tpcký tvar písmena Z: Produkca mleka Bežné hodnot umulatívne hodnot ĺzavé súčt január 988 apríl 988 júl 988 október Okamhové časové rad: Sledovaná velčna nadobúda pozorované hodnot v určtom časovom okamhu; preto nemá význam teto hodnot sčítať a vtvárať kumulatívne rad Jednotlvé hodnot spájame premerovaním Občajne pr tom používame artmetcký premer, tj prebeh radu medz jednotlvým okamhm merana sa aproxmuje lneárnou funkcou Premerná hodnota na ntervale (t, t ) je teda Defníca 33: Chronologcký premer časového radu je ( t t) Ch t t ( ) Ak sú všetk časové nterval rovnako dlhé, dá sa predchádzajúc vzorec zjednodušť na tvar Časové rad odvodených velčín: Ch eto rad obvkle obsahujú podel dvoch absolútnch velčín Ak sú teto velčn okamhové, aj príslušná ntenztná velčna má okamhový charakter Ak sú teto velčn ntervalové, príslušný podel má charakter premeru a vzťahuje sa k stredu ntervalu V prípade, že ntenztná velčna je podelom ntervalovej a okamhovej velčn, má výsledok okamhový charakter a vzťahuje sa k stredu ntervalu Väčšnou sa jedná o časové rad bázckých a reťazových ndexov Pre teto časové rad nemá zmsel konštruovať kumulatívne rad, kĺzavé úhrn an chronologcké premer 3 Neperodcké časové rad

4 Perodcká zložka časového radu je súhrnom cklckej a sezónnej zložk Základný model časového radu je C S e,,,, kde je trendová zložka, C cklcká, S sezónna a e náhodná zložka Neked sa namesto tohoto adtívneho modelu uvažuje model multplkatívn: C S e,,, Multplkatívn model môžeme prevesť na adtívn logartmovaním; preto sa v ďalšom obmedzíme na adtívn model Neperodcký časový rad neobsahuje perodckú zložku: e,,, Pr jeho spracovaní sa snažíme nájsť jeho trendovú zložku očstenú od náhodných vplvov ento proces nazývame vrovnávane časového radu Vrovnané hodnot budeme vo všeobecnost označovať $ Podobne môžeme vrovnať aj perodcký časový rad, keď jeho hodnot očstíme od perodckej a náhodnej zložk Rôzne metód vrovnávana rozobereme v nasledujúcch oddeloch Vrovnávane časových radov kĺzavým premerm: Vrovnane spočíva v nahradení pôvodných hodnôt premerm nekoľkých za sebou dúcch okoltých hodnôt V prípade, že nterval majú nerovnakú dĺžku, používame vážené premer (s váham úmerným dĺžke ntervalov); v opačnom prípade občajné premer Prtom počet členov premeru je v celom rozsahu konštantný eďže získané premer prraďujeme prostrednému obdobu kĺzavej čast, je výhodné používať nepárn počet období Defníca 3: Rad -bodových kĺzavých premerov je p j j, j p,,-p, p kde p Je teda p Ak je nepárne, je p prrodzené číslo a hodnota j ( j p j j p) p je prradená času t j Pr takomto vrovnaní strácame na oboch koncoch radu p pozorovaní eďže hodnot kĺzavých premerov predstavujú trend časového radu, je to nepríjemné najmä na konc, kde nám chýbajú hodnot súčasného trendu, použteľné na prognózovane Prtom mera očstena radu od náhodnej alebo sezónnej zložk je pramo úmerná dĺžke kĺzavej čast Malá dĺžka kĺzavej čast má teda za následok výkv podobné výkvom v pôvodnom časovom rade Najmä pr časových radoch so sezónnou zložkou sa stretávame s nutnosťou použť párne (lebo počet období v peróde je párn, väčšnou 4 alebo ) V tom prípade je však problém rozmestnť párn počet hodnôt okolo aktuálnej smetrck, resp hodnotu premeru po sebe dúcch pozorovaní musíme prradť stredu príslušného ntervalu V takom prípade hovoríme o necentrovaných premeroch akéto hodnot sa však ťažko porovnávajú s pôvodným časovým radom Preto chceme aj v tomto prípade dostať rad centrovaných premerov:

5 Defníca 3: Nech je párne číslo a p Potom rad -bodových ľavých kĺzavých premerov je p L j j p rad -bodových pravých kĺzavých premerov je p R j j, p a rad -bodových centrovaných kĺzavých premerov je L j ( j j ) R, j p,,-p Aj tu strácame na oboch koncoch p pozorovaní Lemma 33: Centrovaný kĺzavý premer p pozorovaní v adtívnom model je ekvvalentný chronologckému premeru p pozorovaní smetrck rozložených okolo príslušnej hodnot p p Dôkaz: j ( j ) L R j j j p p p p ( ) j p j j p j j p p Exponencálne vrovnávane časových radov:, p p j j QED áto metóda je odvodená od metód kĺzavých premerov Odstraňuje jej najväčšu nevýhodu, totž chýbajúce pozorovana na koncoch Pr tejto metóde nahradíme pôvodný rad radom exponencálnch premerov, tj vážených premerov s exponencálne klesajúcm váham Defníca 34: Rad exponencálnch premerov je defnovaný rekurentným vzťahom A α α A, 3,,, kde α ( 0 ; ) je zvolená konštanta Všmnme s, že A ne je defnované A α α A A a ( ) Zrejme je ( ) α α( α ) ( α ) A 3 α α( α ) α( α ) 3 ( α ) A α( α ) α( α ) 3 α( α ) 4 ( α ) A 4 α atď Meru vrovnana určuje konštanta α Čím blžša je α k 0, tým hladší je prebeh vrovnaného radu Zároveň to však znamená, že veľká váha je prradená starým hodnotám a môžu nám ujsť najnovše trend Naopak α blízke teto trend síce zachtáva, ale vrovnane je slabé a vac podleha náhodným vplvom Výber optmálnej hodnot α je teda hlavný problém tejto metód

6 Defníca 35: Nech,, je časový rad a nech $,, $ je časový rad vrovnaných hodnôt (akoukoľvek metódou) Potom hodnot u $,,,, nazývame rezíduá časového radu (resp rad rezíduí) Pr exponencálnom vrovnávaní sa najčastejše volí také α, ktoré mnmalzuje štandardnú odchýlku súboru rezíduí, čo je ekvvalentné vzťahu ( ˆ ( α )) α arg mn opt Optmálnu hodnotu α nájdeme napr teračne tak, že najprv vrátame hodnot predchádzajúceho súčtu pre všetk hodnot α 0,, 0,,, 0,9; z nch s vbereme najmenšu a na jej okolí potom rátame hodnot súčtu pre α menace sa po stotnách atď ak optmálnu hodnotu postupne spresňujeme Pre výpočet optmálnej hodnot exstujú rýchlejše špecalzované algortm Neked sa táto metóda modfkuje tak, že vrovnávame už prvé pozorovane, tj A α ( α ) A,,, Vted ale musíme defnovať člen A 0 ; obvkle sa zaň bere hodnota hstorckého premeru (tzv terč), čo je najvac očakávaná hodnota eďže v tomto prípade pre α je vrovnaný rad totožný s pôvodným, nemožno použť predchádzajúce krtérum optmalt Obvkle sa používajú hodnot α medz 0, a 0,3, výber však obsahuje slný moment ľubovoľnost Pr tejto metóde vrovnávana je možné robť aj prognózu na obdobe dopredu; prognózou F hodnot je exponencáln premer v čase, teda F A Prognóza na vac období dopredu podľa toho stého prncípu dáva stále rovnakú hodnotu: F F F 3 Preto je táto metóda vhodná ba pre časové rad s konštantným trendom Vrovnávane časových radov regresným metódam: V tomto prípade vrovnané hodnot $ vjadríme ako funkcu neznámch parametrov β 0, β,, β k, resp vektora β ( β,, 0 βk ) o znamená, že trendová zložka f ( t,β ) Ak f je lneárna v parametroch β, hovoríme o lneárnej regres Optmálne hodnot (odhad) parametrov β získame metódou najmenších štvorcov: ( ( β) ) β arg mn $ Voľba regresnej funkce závsí od charakteru sledovaného časového radu Ako pomôcka často slúž graf hodnôt prot t ; lepše je však určť f na základe rozboru vlastností sledovanej velčn MNŠ dáva dobré výsledk, ak rezíduá sú navzájom (stochastck) nezávslé náhodné velčn Veta 36: Nech β0 β t e,,,, je časový rad Potom odhad parametrov β0, β metódou najmenších štvorcov je

7 Dôkaz: vď Veta QED t $ β t t $ β $ β t 0 t, Poznámka: ak s hodnot časovej premennej t zvolíme tak, že počatku), dostaneme jednoduchše vzorce pre odhad $ β, $ 0 β : $ β, $ β 0 t oto sa nazýva kódovaná metóda výpočtu odhadov parametrov t t 0 (vhodnou voľbou Pr tejto metóde vrovnávana môžeme predkcu na ľubovoľné časové obdobe dopredu vjadrť v tvare: Ft f( t, $ β ) t > Presnosť predkce ale s rastúcm t klesá Najčastejše používané nelneárne trendové funkce sú: kvadratcký trend: β0 βt βt e Jedná sa o lneárnu regresu, keďže model je lneárn v parametroch Prítomnosť kvadratckého trendu sa prejaví tým, že prvé dference sú prblžne lneárne a druhé dference sú prblžne konštantné v čase t exponencáln trend: B0 B E ento trend veme prevesť na lneárnu regresu logartmovaním: ln β0 β t e Prítomnosť exponencálneho trendu sa prejaví tým, že koefcent rastu sú prblžne konštantné v čase B mocnnový trend: B0 t E Aj tento prevedeme na lneárnu regresu logartmovaním: ln β0 β ln t e B0 logstcký trend: B B t E e rvka tvaru S s asmptotou B 0 Nutné špecálne metód odhadu parametrov t B Gompertz-Makehamov trend: B B 0 E Používa sa na modelovane dĺžk žvota B 0 je asmptota Používajú sa špecálne metód odhadu parametrov vrdene 37: Nech Y (,, ), β ( β β ) x ( x x ) 0,, k a matca X obsahuje radk,,, k, prčom pre hodnot časového radu platí β0 βx βkxk e,,,, tj Y Xβ e Nech matca X má hodnosť k Potom MNŠ-odhad vektora β je $ β ( XX ) XY

8 áto veta nám dáva všeobecný návod na výpočet MNŠ-odhadov v lneárnom regresnom model Špecálne pre kvadratckú regresu bude x t a x t ; v prípade exponencálnej regrese dáme do Y hodnot ln namesto Vrovnané hodnot potom budú Y $ X $ β 33 Mer presnost vrovnávana Ak sme zostavl model časového radu a z dát odhadl jeho parametre, resp nejakým ným spôsobom urobl vrovnane jeho hodnôt, môže nás zaujímať kvalta tohoto modelu Vo všeobecnost za najlepší považujeme ten model, ktorý dá najmenše rezíduá (výnmk však exstujú) Podobne ako v druhej kaptole defnujeme nasledujúce mer presnost vrovnana časového radu: Defníca 33: Premerná absolútna chba rezíduí je PAC u $ Premerná kvadratcká chba rezíduí je PC ( ) Štandardná odchýlka rezíduí je SO Defnujeme tež relatívne mer: PC $ u $ Defníca 33: Relatívna absolútna chba rezíduí je RAC oefcent determnáce je R ( $ ) ( ) oefcent determnáce sa používa najmä pr regresnom vrovnávaní Nadobúda hodnot z ntervalu 0 ; eďže s rastúcm počtom odhadovaných parametrov R raste, na porovnávane modelov s rôznm počtom parametrov sa používa upravený koefcent determnáce R ( R ) a, k kde k je počet regresných premenných (tj k je počet odhadovaných parametrov) Pr vrovnávaní časového radu regresným modelm predpokladáme nezávslosť rezíduí Merou ch nezávslost je Durbn-Watsonova charakterstka DW ( u u ) u DW vo všeobecnost nadobúda hodnot z ntervalu 0; 4 V prax sa na nterpretácu DW používajú zjednodušené krtérá:

9 ak DW, rezíduá sú nezávslé a model je dobrý ak DW je výrazne väčše alebo menše ako, model je nevhovujúc a rezíduá sú kladne, resp záporne autokorelované Zo štatstckého hľadska je Durbn-Watsonov postup testom hpotéz, že autokorelačný koefcent je rovný nule; krtcké hodnot tohto testu možno nájsť v špecalzovaných tabuľkách Pre posúdene mer nezávslost rezíduí sa tež často používa autokorelačná funkca: Defníca 333: Autokorelačná funkca časového radu je r oefcent r d nadobúdajú hodnot z ntervalu ; d uu d d d, d, u 34 Perodcké časové rad Časové rad s perodckou zložkou sledujeme počas nekoľkých peród Budeme predpokladať, že v každej peróde máme k dspozíc rovnaký počet pozorovaní Pozorovana je výhodné označovať dvoma ndexm:,,, v peróde n, n,, n v n-tej peróde eto rad môžeme vrovnávať vacerým spôsobm: môže nás zaujímať rad očstený od trendovej zložk, od perodckej zložk, od náhodnej zložk č rad očstený od kombnáce nektorých z predchádzajúcch zložek V ďalšom budeme uvažovať model časových radov ba s jednou perodckou zložkou; bez ujm na všeobecnost ju budeme považovať za sezónnu zložku Model konštantnej sezónnost: V tomto model predpokladáme, že hodnot sezónnch výchlek v rovnakej sezóne sú v rôznch peródach rovnaké: j j S ej,,,, j,,n, tj S j S,j Odhad trendovej zložk môžeme dostať rovnakým postupom ako u neperodckých časových radov, teda napr regresnou metódou, exponencálnm vrovnávaním alebo metódou kĺzavých premerov Označíme j j $ j hodnot časového radu očstené od trendovej zložk (klademe $ j v prípade časového radu bez trendu) Potom odhad sezónnej zložk je n $S j n j V prípade vrovnávana pomocou kĺzavých premerov nebudeme mať pre všetk k dspozíc plný počet k hodnôt; vted musíme predchádzajúc premer príslušne upravť Odhadom náhodnej zložk sú rezíduá u $ S$, j j j j

10 Časový rad očstený ba od sezónnej zložk je zrejme j S $ Predkcou na čas t je Ft $ t S$,,,, t n,, kde $ t je prognóza trendu na príslušné obdobe Model proporconálnej sezónnost: Neked je realstckejše predpokladať, že sezónna výchlka je pramo úmerná dosahnutej úrovn trendu, tj j j s j ej,,,, j,,n, kde koefcent s je parameter sezónnost (je teda Sj s j, j) V tomto model sa namesto absolútnch odchýlek používajú tzv perodcké (sezónne) ndex: j I j $, j kde j $ je odhad trendovej zložk Pr časových radoch bez trendovej zložk defnujeme perodcké ndex I j j Medz vrovnaným a pôvodným hodnotam prtom platí vzťah ( ) j s $ j Na základe toho potom odhadujeme ndex sezónnost s vzťahom n I Ij n Vrovnávane regresným metódam: Nevýhodou predchádzajúcch metód je postupné oddeľovane jednotlvých zložek, lebo pr tomto postupe ľahko môže dochádzať ku kumulác chýb Lepše je mať jeden model zahŕňajúc trendovú perodckú zložku, ktorého parametre odhadujeme naraz U regresných modelov sa to dá dosahnuť zavedením umelých premenných Q t, ktoré nadobúdajú hodnotu v t-tej sezóne a 0 v ostatných Je teda j β0 βxj βk xjk γ Qj γ Qj ej, kde x sú regresné (teda časové) premenné a Q sezónne (perodcké) premenné oto sa dá zapísať v tvare Y ( X, Q) e β γ a odhad $, $ βγ môžeme dostať naraz metódou najmenších štvorcov Predkca sa robí štandardným spôsobom v danom regresnom model j