Testovanie kointegrácie nestacionárnych časových radov

Prepis

1

2 Recenzent Mchal ILLOVSKÝ (Katedra matematky a deskrptívnej geometre Stavebná fakulta STU) Lukáš PASTOREK (Fakulta nformatky a statstky, Vysoká škola ekonomcká v Praze) Tomáš ŽELINSKÝ (Ekonomcká fakulta, Techncká unverzta v Košcach) Vydala Slovenská štatstcká a demografcká spoločnosť Bratslava, 2014 ISBN

3 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] K organzovanu semnára a vydanu zborníka významne prspel hlavní sponzor podujata spoločnost T-Systems Slovaka, s. r. o. a SAS Slovaka, s. r. o.

4 2 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Obsah PREDSLOV... 3 INFORMÁCIE O SEMINÁRI... 4 Paula BANASOVÁ Analýza fertlty metódou ndexu premenlvého zložena Analyze of fertlty usng Index varable composton method... 5 Jakub DANKO Hľadane štruktúry kaptálových trhov Search the Structure of Captal Markets Lukáš KALINA Analýza sngulárneho spektra aplkovaná na časový rad prchádzajúcch hovorov Sngular spectrum analyss apled on call center arrvals tme seres Martn KAMENÍK Smuláca evolúce v opakovanej dleme samartána The Smulaton of Evoluton n the Iterated Samartan's Dlemma Mchal MEŠŤAN Komparáca aktívneho a pasívneho prístupu k úsporám v dôchodkových schémach Comparson of actve and passve savng approach n penson schemes Lukáš RIES Vzájomná súvslosť a predkca vývoja mery nfláce a nezamestnanost v podmenkach Slovenskej republky Mutual relaton and predcton of the nflaton rate and the unemployment rate n the condtons of Slovak Republc Zuzana ROŠŤÁKOVÁ Rozšírene pravdepodobnostného spánkového modelu Innovaton of probablstc sleep model Ľubca ŠTIBLÁROVÁ Fnančná ntegráca vs. vonkajša nerovnováha? Aplkáca medznárodnej nvestčnej pozíce Fnancal ntegraton vs. external mbalances? Applcaton of the nternatonal nvestment poston Martn ZORIČÁK Modelovane daňovej konkurence/kooperáce v systéme dvoch krajín Tax competton/cooperaton modellng n two countres system... 75

5 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Predslov Vážení kolegova a kolegyne, mlí študent, drahí pratela Mnulý rok sa nesol v duchu osláv Medznárodného roka štatstky, ktorý mal za ceľ zvýšť povedome o štatstke a zvdteľnť štatstku ako nástroj na rešene pálčvých problémov dnešného sveta. Do tejto osvety sa v prebehu mnulého roka zapojlo vac ako 2300 organzácí zo 128 krajín sveta. Nezostalo ba pr popularzác. V Londýne sa stretlo sto najpromnentnejších zástupcov štatstckého sveta, aby sformulovalo vízu budúceho vývoja štatstckej dscplíny (Statstcs and Scence: A Report of the London Workshop on the Future of the Statstcal Scences). Okrem vyzdvhnuta prínosu znovuzrodenej Bayesovskej štatstky, Markových reťazcov, nových prístupov v klnckom a expermentálnom bologckom výskume, sa vášnvo dskutovalo o úlohe štatstky a štatstkov pr analýze tzv. Bg Data. Malé štatstcké súbory s jasne defnovaným problémam sa v prebehu 20. storoča zmenl na obrovské dátové súbory s enormným n, veľkým p a komplexným otázkam. Domnelá prepasť medz štatstkm a počítačovým vedcam sa nezadržateľne zmenšuje. Zvládnute výpočtovej náročnost už ne je exkluzívny problém IT špecalstov. Na tento trend nadväzuje ná téma, ktorá zarezonovala na semnár v Londýne. Má štatstk budúcnosť? Nebude nutné preformulovať jeho schopnost v prospech čoraz častejše sa vyskytujúcej pozíce dátového vedca? Našou snahou je ukázať, že naprek menacemu sa svetu, názvoslovu alebo marketngu, štatstcké metódy zostávajú nevyhnutným nástrojom, ktorý nemá náhradníka. Som veľm rád, že sa tento rok našla skupna mladých a nadaných študentov, ktorí sa rozhodl preukázať, že aktívne využívajú štatstku ako jednu zo svojch kľúčových schopností. Nakonec to budú absolvent, ktorí ukážu odpoveď na otázku, s akou zo svojch schopností sa najvac dentfkujú. Lukáš Pastorek za organzačný výbor

6 4 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Informáce o semnár Výpočtová štatstka 2014 Computatonal Statstcs 2014 Prehladka prác mladých štatstkov a demografov Čas konana: decembra 2014 Mesto konana: Prezentačné centrum AMOS, pavlón B1, Prírodovedecká fakulta UK, Mlynská dolna, Bratslava 4. Slovenská štatstcká a demografcká spoločnosť (SŠDS) a Klub Dspersus zorganzoval celoslovenské stretnute študentov so záujmom o aplkácu matematcko-štatstckých výskumných metód v rámc 23. medznárodného semnára Výpočtová štatstka 2014 a jeho programovej čast Prehladka prác mladých štatstkov a demografov. Program pre študentov: (štvrtok): Fórum analytckých prác študentov 16:00 18:15 Prehladka prác mladých štatstkov a demografov 18:15 22:00 Panelová dskusa, stretnute členov klubu (patok): Analytka očam profesonálov 09:00 09:40 Behavorálna segmentáca klentov banky a jej použte Peter Kertys, VÚB banka 09:45 10:25 Štatstcké metódy v oblast trhu práce Mchal Páleník, Inšttút zamestnanost 10:30 11:10 Budúcnosť rodín a nerodín na Slovensku Branslav Bleha, Prírodovedecká fakulta UK 11:15 11:55 Vzualzáca štatstckých dát v prostredí Internetu nástroje a formáty Martn Řezáč, SAS Slovaka 12:00 Vyhlásene výsledkov študentskej súťaže, ocenene víťazov Lukáš Pastorek, Klub Dspersus

7 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Analýza fertlty metódou ndexu premenlvého zložena Analyze of fertlty usng Index varable composton method Paula Banasová Abstract: Ths artcle analyzes the fertlty Slovak women usng the method of the ndex varable composton, comparng the years 1996 and Z výsledkov vyplýva, že vyšší podel na plodnost majú ženy žjúce v mestách. Abstrakt: Príspevok analyzuje fertlty slovenských žen pomocou metódy ndexu premenlvého zložena, porovnáva roky 1996 a The results ndcate that a hgher proporton of fertlty had women lvng n ctes. Key words: fertlty, ndvdual ndex, ndex varable composton, urban and rural populaton Kľúčové slová: fertlta, ndvduálne ndexy, ndex premenlvého zložena, mestská a vdecka populáca 1. Úvod Príspevok sa venuje zmenám v plodnost žen vdeka a mest Slovenska v horzonte rokov Fertlta bola analyzovaná metódou rozkladu zložených ndvduálnych ndexov, konkrétne ndexu premenlvého zložena. Môžeme ho vyjadrť ako súčn dvoch ndexov, ndexu štruktúry a ndexu stáleho zložena, pomocou ktorých môžeme vyjadrť, do akej mery je všeobecná mera plodnost ovplyvnená zmenou vekovej štruktúry žen a do akej mery zmenou špecfckých mer plodnost žen podľa veku v sledovanom období. Týmto spôsobom bol rozložené ndvduálne ndexy populáce žen mest na jednej strane a populáce žen vdeckych sídel na strane druhej. Vyčlenene mestskej a vdeckej subpopuláce žen bolo zvolené na základe krtéra štatútu mesta t. j. za mestá bol považované te sídla, ktoré dsponoval štatútom mesta v roku Vo vyhodnocovaní výsledkov bol subpopuláce žen komparované. Zdrojové dáta pochádzajú z Pramenných del ŠÚ SR, tež z onlne dostupných databáz Infostatu. 2. Urbánny a rurálny prestor Článok sa venuje komparác ntenzty reprodukce mestských a vdeckych žen na Slovensku. Rozdelene populáce je opodstatnené, keďže 54% obyvateľov žje v mestách, 46% na vdeku. Z obr.1 vyplýva, že rozdely v zastúpení žen vo vekových kategórách vo fertlnom veku badáme pr roku 1996 rovnako ako pr roku Podel žen v reprodukčnom veku v mestách je vyšší ako na vdeku, teda sa ženy v mestách výraznejše môžu podeľať na celkovom počte narodených detí. V procese rozlšovana urbánneho a rurálneho prestoru de prmárne o problém vyhrančena, regonalzáce a defníce vdeka a mesta, ktoré zahŕňa šrokú škálu prestorových a neprestorových aspektov. [3] Všeobecne uznávanou defnícou je podľa Bednářovej [2] jedne medznárodná defníca OECD, ktorá vymedzuje vdek na základe hustoty zaľudnena, a to 150 ob./km 2, resp. 100 ob./km 2 a menej. Slovensko má premernú hustotu zaľudnena 110 ob./km 2, hlavné mesto 1124 ob./ km 2. Túto klasfkácu v upravenom spôsobe používa aj Eurostat. V príspevku bola použtá klasfkáca defnovaná Zákonom SNR č. 369/1990 Zb. o obecnom zradení a defníca mestského sídla podľa zákona NR SR č. 453/2001 Z. z. 22. Na

8 podel v %* 6 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV základe tohto krtéra má Slovenská republka 138 štatutárnych mest vyhlásených NR SR a obcí bez štatútu mesta, teda vdeckych obcí 1. 12,0 10,0 vdek 1996 vdek 2011 mestá 1996 mestá ,0 6,0 4,0 2,0 0, *100% - všetky ženy vo fertlnom veku v danom roku veková kategóra Obr.1: Podel žen vo fertlnom veku podľa bydlska a vekovej štruktúry v rokoch 1996 a Zdroj: ŠÚ SR, vlastné výpočty [5] 3. Index premenlvého zložena Indexy sú pomerným číslam, slúža na porovnávane ukazovateľov. V našom ponímaní ch budeme chápať ako te, ktoré vyjadrujú zmenu ukazovateľov v čase. Index premenlvého zložena patrí k skupne ndvduálnych (rovnorodých) zložených ndexov, ktoré sa používajú pr konštrukc ndexov homogénnych (sčítateľných) velčín. Pre tento príspevok bola zvolená metóda porovnávajúca zmeny vzhľadom na bázcký rok, teda pôjde o tzv. bázcký ndex premenlvého zložena. Do súčnu v tomto ndexe vstupujú dva častkové ndexy, a to ndex stáleho zložena, ktorý vyjadruje vplyv zmeny extenztnej zložky (zmeny počtu žen v jednotlvých vekových kategórách) a druhý, ndex štruktúry, vyjadrujúc vplyv zmeny ntenztnej zložky (zmeny ntenzty fertlít jednotlvých vekových kategórí žen). Index stáleho zložena dostaneme štandardzácou váh, keď obdva premery (premernú ntenztnú velčnu v obdvoch obdobach) stanovíme pr použtí len jednej nezmenenej štruktúry extenztných velčín. [1] Dferencácu vplyvu ntenztného ndexu zstíme tak, že stanovíme premernú ntenztnú velčnu v oboch obdobach na základe rovnakých údajov. [1]. Skonštruovaný ndex premenlvého zložena je potom nasledovný: I p = p1 p 0 = p1q1 q1 p0q0 q0 V konštrukc ndexu rozlšujeme nasledujúce premenné: q0 stredný stav žen v tsícoch v danej 5-ročnej vekovej kategór pre počatočný sledovaný rok, q1 - stredný stav žen v tsícoch v danej 5-ročnej vekovej kategór pre záverečný sledovaný rok, p0 - špecfcké mery (1) 1 Údaj platný k okamhu sčítana k 21. máju 2011.

9 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] fertlty pre 5-ročné vekové kategóre za počatočný sledovaný rok, p1 - špecfcké mery fertlty pre 5-ročné vekové kategóre za záverečný sledovaný rok. Index premenlvého zložena (IPZ) je rozložený dvoma spôsobm, aby bol porovnané zmeny a vplyvy jednotlvých komponentov vstupujúcch do konštrukce. V prvom spôsobe považujeme pr ndexe štruktúry (ISTR) vekovú štruktúru z počatočného roku (1996) za stablnú a mena sa ndvduálne fertlty pre počatočný a záverečný rok. Pr ndexe stáleho zložena (ISZ) sa štruktúra žen podľa veku mení, špecfcké plodnost ostávajú statcké, a to z posledného sledovaného roku (2011). Prvý spôsob rozkladu ndexu premenlvého zložena: IPZ = ISZ. ISTR p1q1 q1 p0q0 q0 = p1q1 q1 p0q1 q1. p0q1 q1 p0q0 q0 (2) Prepólovaním stablných hodnôt z predchádzajúceho spôsobu vznkne druhý rozklad, kde v ndexe štruktúry zostáva veková štruktúra z koncového roku stablnou (z roku 2011), meníme však ndvduálne hodnoty fertlít. V ndexe stáleho zložena zostane hodnota špecfckej plodnost z počatočného roku nemenná, veková štruktúra sa obmeňa z oboch porovnávaných rokov. Druhý spôsob rozkladu ndexu premenlvého zložena: IPZ = ISZ. ISTR p1q1 q1 p0q0 q0 = p1q0 q0 p0q0 q0. p1q1 q1 p0q0 q0 (3) Z konštrukce ndexu premenlvého zložena vyplýva, že odráža zmenu dvoch premerných úrovní, na ktorej sa podeľal jednak zmeny ntenztných velčín a jednak zmeny ch nosteľov. [1] Metóda bola aplkovaná na údaje z rokov 1996 a 2011 pre Slovensko, mestskú a vdecku populácu žen, dferencovanú na základe krtéra o štatúte mest podľa zákona platného k roku Analýza vplyvu vekovej štruktúry a ndvduálnych fertlít na plodnosť slovenských žen v mestách a na vdeku Vplyv vekovej štruktúry a samotnej fertlty na celkovú plodnosť na Slovenku za obdobe sumarzuje tab.1. Z výsledkov vyplýva, že ndex premenlvého zložena je u mest vyšší ako na vdeku. Znamená to, že ženy v mestách majú v roku 2011 vzhľadom na rok 1996 vyšší vplyv na reprodukcu ako ženy na vdeku. Premerná fertlta v meste sa zvýšla 1,161-krát, tj. o 16%. Na vdeku došlo k opačnému procesu, počas obdoba sa znížla 0,905-krát, čže takmer o 10%. V oboch prípadoch, zohrala na zmene celkovej fertlty slovenských žen prmárnu úlohu zmena vekovej štruktúry. Pr analýze jednotlvých častkových ndexov, badáme rozdely v možnom reprodukčnom správaní sa žen. V prípade, že by sme bral do úvahy len vplyv vekovej štruktúry žen z roku 1996, tak by premerná fertlta za sledované obdobe (smerom k roku 2011) stúpla v urbánnom prestore o 6,4% (ISTR1 2 =1,064) a v rurálnom o 9,56% (ISTR1=1,956). Ak by 2 ISTR1, ISTR2 ndex štruktúry vypočítaný prvým, resp. druhým spôsobom rozkladu ndexu premenlvého zložena

10 8 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV sme ponechal vekovú štruktúru z roku 2011, stúpla by u mestských žen plodnosť až o 11,6% (ISTR2=1,116). V subpopulác vdeckych žen naopak, len o 4,8% (ISTR2=1,048). Na základe porovnana výsledkov len pr zmene vekového zložena žen vdíme, že ak by ostalo vekové zložene žen z roku 1996, tak by ženy z rurálneho prostreda mal na plodnosť väčší vplyv ako mestské, paradoxne, z dlhodobého hľadska by takýto vývoj prnesol Slovensku nžšu celkovú plodnosť. Z pohľadu na stav ndexu štruktúry pre Slovensko môžeme na základe tab.1 konštatovať, že celková fertlta by pr podmenkach vekového zložena z roku 2011 bola vyšša, na úrovn 8,7% ako keby sme ponechal vekovú štruktúru z roku 1996, keďže tak by bol nárast len o 2,7%. Ak ponecháme plodnosť na úrovn aká bola v roku 1996, tak by plodnosť žen v mestách stúpl o 1,041-krát a u vdeckych žen o 0,864-krát. Rovnaký záver ukazuje aj stablzovane fertlty na hladne z roku 2011, keďže potvrdlo, že ženy z urbánneho prestoru ovplyvňujú vývoj plodnost o 1,091-krát, teda významnejše ako ženy z vdeka (ISZ1 3 =0,463). Tab.1: Indexy premenlvého zložena fertlít na Slovensku, na vdeku a v mestách v období Zdroj: ŠÚ SR, Infostat, vlastné výpočty [5] Spôsob rozkladu ndexu premenlvého zložena SR Mesto Vdek prvý druhý prvý druhý prvý druhý Index štruktúry 1,027 1,087 1,064 1,116 1,956 1,048 Index stáleho zložena 1,019 0,963 1,091 1,041 0,463 0,864 Index premenlvého zložena 1,046 1,046 1,161 1,161 0,905 0,905 V mestskej a vdeckej populác sa počas celého sledovaného obdoba mena role tzv. nostelek plodnost. Kým na začatku sledovaného obdoba to vďaka vekovej štruktúre a ntenzte fertlty bol ženy žjúce na vdeku, tak na konc skúmaného obdoba sú to ženy z mestského prostreda. Potvrdzuje aj Šprocha [4] a to tak, že rast ntenzty plodnost je v súčasnost väčší v mestách ako na vdeku. Významným faktorm ovplyvňujúcm tento vývoj sú okrem prevahy počtu žen z mest aj celkové zmeny spoločenskej klímy, globalzáca, žvotného štýlu, ndvdualzmu, nárastu propagáce rodovej rovnost a pod., čo demografa označuje ako druhý demografcký prechod. Komplex faktorov a aspektov, ktoré charakterzujú súčasné smerovane populáce, vytvára nový model rodnného a reprodukčného správana. 5. Záver Na základe podrobnej analýzy pomocou metódy ndexu premenlvého zložena môžeme zhodnotť, že ntenzta fertlty je pod väčším vplyvom subpopuláce žen z mest ako tých z vdeka. Článok ukazuje na zvyšujúc sa potencál vplyvu na celkovú plodnosť u žen z urbánneho prostreda počas celého sledovaného obdoba. Role nostelek plodnost sa za posledných 15 rokov vymenl v dôsledku zmen vekovej štruktúry významnejše, ako z dôsledku zmen ndvduálnych fertlít. 3 ISZ1, ISZ2 ndex stáleho zložena vypočítaný prvým, resp. druhým spôsobom rozkladu ndexu premenlvého zložena

11 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Lteratúra [1] BAKYTOVÁ, H., URGON, M., KONTŠEKOVÁ, O. (1975). Základy štatstky (druhé vydane. vyd.). Bratslava: ALFA, s [2] BEDNÁŘOVÁ, H : Vybrané problémy vymezení venkova. In: Forum statstcum Slovacum. 2011, č.6. s ISSN [3] KUSENDOVÁ, D. (2011). Problematka vyhrančena urbánneho a vdeckeho prestoru geografcký výskum a prax. In: Forum statstcum Slovakum. 2011, č. 6. s ISSN [4] ŠPROCHA, B : Reprodukčné správane mestského a vdeckeho obyvateľstva Slovenska. Bratslava. Výskumné demografcké centrum, Infostat s.72 [ ] ISBN Dostupné na: [5] ŠTATISTICKÝ ÚRAD SR, 2011.: Pramenné dela [ ] Dostupné na: Adresa autora: Paula Banasová, Bc. Prírodovedecká fakulta Unverzta Komenského v Bratslave 2. ročník, 2. stupeň paula.banasova@gmal.com

12 10 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Hľadane štruktúry kaptálových trhov Search the Structure of Captal Markets Jakub Danko Abstract: The artcle presents the method of dentfcaton of captal market structure n USA, whch s based on mutual relatonshps between ndvdual sub-ndces Dow Jones Industral Average (DJIA). Structure here s dentfed by R. Mantengna's (1999) methodology that s known as the methodology of Mnmum Spannng Tree. It dentfes the domnant correlaton relatonshps between ndvdual DJIA sub-ndces n the presented research. Mnmum Spannng Trees are assessed on the 20-day rollng wndows return of sector sub-ndces durng the perod of March September These were then grouped, usng the method of clusterng, nto groups whch nclude smlar graphcal representatons of captal market. Abstrakt: V článku je prezentovaný spôsob dentfkáce štruktúry kaptálového trhu v USA, ktorý je založený na vzájomných vzťahoch medz jednotlvým sektorovým podndexm Dow Jones Industral Average (DJIA). Štruktúra je tu dentfkovaná metodológou R. Mantegnu (1999) známej ako metodológa mnmálnej kostry grafu (Mnmum Spannng Tree). Tá v prezentovanom výskume dentfkuje domnantné korelačné vzťahy medz jednotlvým podndexm DJIA. Mnmálne kostry grafu sú tu odhadnuté na 20 dňových neprekrývajúcch oknách výnosností sektorových podndexov z obdoba marec september Te sme neskôr s pomocou zhlukovej analýzy zoskupl do skupín obsahujúcch podobné grafové reprezentáce kaptálového trhu. Key words: Mnmum Spannng Tree, Graph Theory, Clusterng, Dow Jones Industral Average. Kľúčové slová: Mnmálna kostra grafu, Teóra grafov, Zhluková analýza, Dow Jones Index. 1. Úvod Ceľom tohto článku je pomocou rôznych štatstckých metód a metód dskrétnej matematky nájsť a dentfkovať špecfcké režmy kaptálového trhu. Režm trhu chápeme ako určtý stav na trhu a jedným z jeho prejavov môžu byť napríklad stablta alebo nestablta, teda odchýlene od nejakého dlhodobého trendu. Našm ceľom je najmä dentfkovať tento režm a následne predkovať vývoj trhu v budúcnost. Základy metodológe mnmálnej kostry grafu s ceľom pochopena štruktúry kaptálových trhov položl Rosaro Mantegna (1999). [2] Onnela a Chakrabort (2003) tež vychádzajú z výpočtu mnmálnej kostry grafu, avšak na rozdel od predchádzajúceho prístupu má funkca mapujúca koreláce medz vrcholm na vzdalenost nelneárny prebeh. Túto novú seťovú štruktúru pomenoval dynamcký graf akcí. [7] Bonanno a Caldarell (2004) sa zaoberal tým, ako vplýva na výnosnosť fnančných nštrumentov časový horzont a zstl, že s klesajúcm časovým horzontom sa štruktúra grafu reprezentujúceho trh postupne mení z komplexnej na jednoduchú. Zaoberal sa tež volatltou časových radov cen akcí a fnančným trhm z globálneho pohľadu. [8] Následne začal autor využívať pr analýze pokročlejše metódy teóre grafov, napríklad reprezentácu trhu planárnym grafm (grafy, ktorých hrany sa nepretínajú). Podobná metodológa sa začala využívať aj pr analyzovaní trhu s menovým párm, teda pr analýze výmenných kurzov Mzuno, Takayasu (2005) [9], Naylor, Rose, Moyle (2007). [10] Medz najnovše analýzy patra práce autorov Kenett, Tummnello, Mantegna (2010) [11], kde sa autor zaoberajú takzvaným parcálnym korelácam. Teto parcálne koreláce následne využívajú ako nástroj na nájdene

13 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] najrelevantnejších hrán v grafe. Taktež vychádzajú z planárnych grafov a v prác popsujú aj nový typ závslej sete, u ktorej zahrnute hrán, respektíve prepojení závsí od stredných hodnôt a štandardných odchýlok jednotlvých uzlov (vrcholov) tejto sete. Vyšše spomenutí autor pr svojch analýzach prevažne využívajú údaje z New York Stock Exchange (NYSE), jedna z analýz vychádzala aj z Tel Avv Stock Exchange (TASE). [1] 2. Vstupné údaje a úvodné analýzy Amercký burzový ndex DJIA obsahuje sektorové podndexy (pozr Tab. 1), ktoré sme využl v našej analýze. Tab. 1: Podndexy ako vybrané sektory amerckej ekonomky, vlastné spracovane podľa: Skratka (označene) podndexu Celý názov podndexu A1ENE DOW JONES AMERICAS ENERGY STOCK INDEX A1BSC DOW JONES AMERICAS BASIC MATERIALS STOCK INDEX A1IDU DOW JONES AMERICAS INDUSTRIAL STOCK INDEX A1NCY DOW JONES AMERICAS CONSUMER NON-CYCLICAL STOCK INDEX A1TLS A1UTI A1FIN A1TEC A1HCR DOW JONES AMERICAS TELECOMMUNICATIONS INDEX DOW JONES AMERICAS UTILITIES STOCK INDEX DOW JONES AMERICAS FINANCIAL STOCK INDEX DOW JONES AMERICAS TECHNOLOGY STOCK INDEX DOW JONES AMERICAS HEALTHCARE STOCK INDEX Časové rady uzatváracích cen týchto deväť podndexov sme analyzoval v období od do Počas tohto obdoba sme získal takmer údajov o uzatváracích cenách. Pre každý z podndexov sme vypočítal logartmcké denné výnosnost. Pre lustrácu kumulatívny tvar prvých patch podndexov uvádzame na Obr. 1. Obr. 1: Kumulatívne výnosnost vybraných podndexov (vlastné spracovane v programe R)

14 12 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Pre názornosť uvádzame aj logartmckú výnosnosť podndexu A1ENE na Obr. 2. Z obrázku je zrejmé, že veľký pokles na Obr. 1 v roku 2008 sa prejavl v danom roku na Obr. 2 vysokou volatltou výnosnost tohto burzového podndexu. Obr. 2: Logartmcká výnosnosť podndexu A1ENE (vlastné spracovane v programe R) Na databáze denných výnosností sme vytváral neprekrývajúce časové okná dĺžky 20, kde sme sledoval vzájomné krížové koreláce. Vzhľadom k tomu, že sme mal necelých denných pozorovaní, vznklo 174 neprekrývajúcch sa časových oken. 3. Prístup na základe teóre grafov Ak by sme predpokladal, že naše magnárne portfólo tvorí práve týchto deväť podndexov, korelačná matca by predstavovala klascký pohľad na dané portfólo. Tento pohľad je relatívne jednoduchý, nedokáže však zachytť zložtejše väzby an štruktúru daného portfóla. Veľm vhodným reprezentantom vzťahu jednotlvých fnančných nástrojov tvoracch portfólo sa javí graf, ako nástroj dskrétnej matematky. Graf je defnovaný množnou vrcholov, ktoré v našom prípade predstavujú jednotlvé podndexy a množnou hrán, ktoré predstavujú nejaký vzťah medz vrcholm. My by sme chcel, aby hrany predstavoval vzdalenosť medz jednotlvým podndexm. Ak chceme uvažovať o vzdalenost, musíme defnovať konkrétnu metrku. Tu preberáme prístup vacerých autorov [2], [3], [4], ktorí využívajú vzťah: (1) kde ρ,j je Pearsonov korelačný koefcent -teho a j-teho podndexu v rámc vyšetrovaného okna Z korelačných matíc sme týmto spôsobom vytvorl matce vzdaleností. Získal sme teda 174 matíc vzdaleností. Teto matce sú symetrcké, rozmeru 9x9 (9 podndexov), na hlavnej dagonále majú nuly a hodnota v -tom radku a j-tom stĺpc predstavuje vzdalenosť -teho a j- teho podndexu. Takto defnované matce už môžu byť reprezentované kompletným grafm s devatm vrcholm a 36 hranam (každý z devatch vrcholov je spojený s každým, teda máme ( 9 2 ) = 36 hrán). Získal sme takto 174 kompletných grafov, ktoré lustrujú vzdalenost medz podndexam za dané časové okno. Celá analýza prebeha v prostredí programu R, ktorý pre prácu s grafm používa knžncu graph.

15 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Ak je graf reprezentovaný matcou vzdalenost, dá sa v ňom vypočítať mnmálna kostra. Vychádzame pr tom z toho, že každý súvslý graf má kostru, prčom táto kostra predstavuje taký podgraf grafu, ktorý obsahuje všetky vrcholy (je faktorom), je súvslý a nemá kružnce (je stromom). Ak graf má nejaké hranové ohodnotene (v našom prípade dĺžka hrany), potom určte musí v grafe exstovať aspoň jedna taká kostra, ktorá má mnmálny súčet hranových ohodnotení a takúto kostru budeme nazývať mnmálna. Exstuje vacero algortmov na hľadane mnmálnej kostry grafu, reprezentovaného matcou vzdalenost, napríklad Kruskalov alebo Prmov algortmus. [5] Knžnca graph pr výpočte mnmálnej kostry využíva Prmov algortmus na hranovo vážených grafoch (reprezentovaných matcou vzdalenost). Algortmus je nasledovný: v prvom kroku zvolíme ľubovoľný vrchol a do kostry prdáme hranu s mnmálnym ohodnotením, ktorá s týmto vrcholom ncduje. Takto nám vznkne strom. Následne v ďalších krokoch k aktuálnemu stromu prdáme hranu, ktorej jeden vrchol leží v strome a druhý leží mmo stromu a to takú, ktorá má mnmálne ohodnotene. Mnmálna kostra súvslého grafu s n vrcholm teda predstavuje graf s n vrcholm a n 1 hranam. [5] Zo 174 kompletných hranovo ohodnotených grafov sme s vypočítal 174 mnmálnych koster. Príklad mnmálnej kostry prvého časového okna je na Obr. 3, prčom ako sme uvedl, de o graf o 9 vrcholoch (podndexoch) a 8 hranách (mnmálnych vzdalenostach medz nm). Obr. 3: Príklad odhadnutej mnmálnej kostry grafu (vlastné spracovane v programe R) Teto kostry sme z dôvodu počítačového spracovana potreboval nejako reprezentovať. Prvou možnosťou ako reprezentovať grafy je matca susednost. Túto sme uvažoval dvojako, buď ako hranovo váženú, teda dĺžka hrany predstavuje danú hodnotu v matc susednost alebo ako neváženú bnárnu matcu, ktorá vyjadruje susednosť (dvojca vrcholov sa nachádza v mnmálnej kostre) jednotkou a nesusednosť (dvojca vrcholov sa nenachádza v mnmálnej kostre) nulou. Takáto reprezentáca je úplne jednoznačná, nemôže sa stať, žeby poukazovala na rozdelne grafy. Pre počet koster úplného grafu môžeme použť Cayleho formulu, podľa ktorej pre každé n 3 je počet koster na daných n vrcholoch rovný n n 2. [5] Pr deväťprvkovej množne vrcholov je možné vytvorť až 9 7 = mnmálnych koster, čo sa nám zdalo byť pre naše účely pomerne veľa. Preto sme sa v ďalšom postupe snažl zamerať na modelovane tred ekvvalence mnmálnych koster, prčom kostry prslúchajúce k jednej trede ekvvalence by mal mať rovnako veľké početnost vrcholov prvého stupňa,

16 14 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV druhého stupňa až n-1. stupňa. Výhodou týchto tred ekvvalence je ch jednoduchosť a menša početnosť v porovnaní s matcou susednost. Na Obr. 4 môžeme vdeť rôzne reprezentáce mnmálnej kostry prvého časového okna: Obr. 4: Možnost reprezentáce mnmálnej kostry vybraným tredam ekvvalencí a neváženou matcou susednost (vlastné spracovane v programe R) Ako najvhodnejšu reprezentácu sme teda považoval reprezentácu okna n-1-prvkovým vektorom, ktorý obsahuje početnost stupňov vrcholov. 4. Zhluková analýza Na začatku zhlukovej analýzy sme mal 174 vektorov dĺžky 8, každý vektor za jedno časové okno. Ceľom je zhlukovaním dentfkovať určtý počet klastrov (zhlukov), prčom predpokladáme, že relatívne podobné mnmálne kostry sa budú zhlukovať do spoločných klastrov a budú tak predstavovať nejaký režm trhu (napríklad stabltu, prudký pokles a podobne). Zhlukovú analýzu sme realzoval taktež v prostredí programu R a využl sme prtom Wardovu metódu. Ide o metódu mnmálneho rozptylu a predstavuje zlučovacu herarchckú metódu. Pr tejto metóde sa podobnosť objektov, respektíve zhlukov, mera ako súčet štvorcov medz objektm z dvoch zhlukov, sčítaná cez všetky atrbúty daných objektov. Pr danej metóde sa snažíme o mnmalzácu súčtu rozptylov cez všetky novovytvorené zhluky. Je preto veľm vhodná, keďže ceľom je vytvárať zhluky tak, aby sme v rámc konkrétneho zhluku vytvorl čo najväčšu prevazanosť medz jeho objektm. [6] Za optmálny počet zhlukov sme zvoll 4. Výsledky zhlukovej analýzy uvádzame na Obr. 5. Ak sme dentfkoval 4 základné zhluky (klastre), veme o každom jednom časovom okne povedať, v ktorom z týchto zhlukov sa nachádza. Keďže sa do jedného klastra zhlukujú tredy ekvvalence predstavujúce také mnmálne kostry, ktoré majú veľm podobnú štruktúru, predpokladáme, že konkrétny klaster predstavuje konkrétny režm, ktorý sa nachádza na trhu. Tento predpoklad vychádza z emprckých pozorovaní, kedy napríklad v prípade veľkých poklesov na trhu majú výnosnost akcí tendencu skorelovať a teda byť pr sebe veľm blízko, čo by v našej mnmálnej kostre malo vytvorť tvar hvezdy (taký graf, ktorý má jeden vrchol stupňa n-1 a n-1 vrcholov stupňa 1. Na druhej strane emprcké pozorovana poukazujú na to, že v prípade stablného trhu sa výnosnost akcí vyvíjajú každá vlastným smerom, preto

17 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] tam nepredpokladáme, že akce budú až tak veľm blízko seba, teda uvažujeme, že v našch mnmálnych kostrách sa začnú objavovať dlhše cesty. Obr. 5: Výsledky zhlukovej analýzy a dentfkáca 4 zhlukov (vlastné spracovane v programe R) 5. Matca prechodu Zo zhlukovej analýzy sme pre každú jednu zo 174 tred ekvvalence určl zhluk, do ktorého by mala mnmálna kostra daného časového okna patrť. Identfkoval sme štyr režmy trhu, o ktorých zataľ nemáme žadne nformáce, poznáme ba štruktúry trhu reprezentované mnmálnym kostram, ktoré do nch patra. Ďalšou otázkou je, ako sa príslušnost k jednotlvým zhlukom vyvíjajú v čase. Ak predpokladáme, že amercké burzové ndexy vďaka svojej obrovskej lkvdte predstavujú trhy blízke efektívnym trhom, potom môžeme prjať predpoklad o neexstenc pamäte tohto trhu a výnosnost teda považovať za realzáce markovovského procesu. Pr prjatí tohto predpokladu uvažujeme o matc prechodu, ktorá predstavuje štvorcovú matcu rozmeru 4x4 (lebo sme dentfkoval 4 zhluky režmy trhu), ktorá v -tom radku a j-tom stĺpc vyjadruje počet režmov trhu, ktoré bol v nejakom časovom okne v -tom a v nasledujúcom časovom okne v j-tom zhluku. Súčet prvkov na hlavnej dagonále tejto matce preto predstavuje počet režmov, ktoré ostal v rovnakom zhluku aj v nasledujúcom období. Túto matcu uvádzame v Tab. 2: Tab. 2: Matca prechodu 174 časových oken (vlastné spracovane v programe R)

18 16 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Z tejto matce sme následne odhadl matcu pravdepodobnost prechodu z jedného zhluku do ného. Interpretáca tejto matce je nasledovná: hodnota v -tom radku a j-tom stĺpc predstavuje pravdepodobnosť, že ak trh nachádza v režme, v nasledujúcom období sa bude nachádzať v režme j. Danú matcu pravdepodobnost uvádzame v Tab. 3: Tab. 3: Matca pravdepodobnost prechodu 174 časových oken (vlastné spracovane v programe R) 6. Ďalše možnost analýzy V článku sme popísal doterajše výsledky, ktoré sme analýzou amerckého kaptálového trhu získal. Analýza tým samozrejme nekončí, avšak malý prestor tohto článku autorov neumožňuje, aby sa venoval všetkým častam, uvedeme však aké sú plány pre nasledovné analýzy. Nakoľko sme s v prípade jednej tredy ekvvalence rozdell trh na základe zhlukovej analýzy na nekoľko režmov, budeme zhlukovú analýzu vykonávať aj na ných tredach ekvvalence a na matc susednost, prčom výsledky porovnáme. Okrem toho by sme chcel získať aj nejaké nformáce o trhu, ktorý sa nachádza v konkrétnom zhluku, ktorý sme určl zhlukovou analýzou. Plánujeme to realzovať prostredníctvom súhrnného DJIA ndexu, kde na daných časových oknách vypočítame základné štatstky a budeme testovať, č teto charakterstky sú rovnaké pre všetky klastre alebo sa nám podarí dentfkovať nejaké základné charakterstky jednotlvých klastrov. Matcu pravdepodobnost prechodu by sme chcel použť pr výpočte takzvaných markovovských reťazcov, pr ktorých by sme chcel vedeť vypočítať pravdepodobnosť toho, že ak sa trh, ktorý dentfkujeme na základe vybraných charakterstík nachádza v určtom režme, v prebehu nasledujúceho krátkeho obdoba sa dostane do ného konkrétneho režmu. Taktež chceme zstť, č trhy v určtých režmoch majú tendencu po dlhšom čase konvergovať k nejakému konkrétnemu režmu alebo majú stredavý vývoj. Záver Článok predstavuje zhrnute doterajšej analýzy štruktúry kaptálového trhu v USA reprezentovaného podndexm DJIA ndexu. Za použta štatstckých metód a metód teóre grafov sa nám podarlo dentfkovať určté trhové režmy, ktoré máme v pláne v budúcnost ďalej analyzovať. Lteratúra [1] FINANCIAL NETWORK ANALYTICS (FNA): A Short Hstory of Correlaton Networks Research. [onlne]. [ct ]. Dostupné na: < [2] MANTEGNA, R.N Herarchcal structure n fnancal markets. In: The European Physcal Journal B, s [3] YINGHUA ZHANG Stock Market Network Topology Analyss Based on a Mnmum Spannng Tree Approach. Thess.

19 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] [4] MISKIEWICZ, J Analyss of Tme Seres Correlaton. The Choce of Dstance Metrcs and Network Structure. In: Acta Physca Polonca A, s. B89 B94. [5] CZAP, JÚLIUS Teóra grafov. Nepublkované študjné materály zverejnené v MOODLE, EkF TU v Košcach. [6] WARD, J.H. 1963, Herarchcal Groupng to Optmze an Objectve Functon. In: Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, s [7] ONNELA, J. P. CHAKRABORTI, A. KASKI, K. KERTÉSZ, J. KANTO, A Asset Trees and Asset Graphs n Fnancal Markets. In: Physca Scrpta, s [8] BONANNO, G. CALDARELLI, G. LILLO, F. MICCICHÉ, S. VANDEWALLE, N. MANTEGNA, R. N Networks of Equtes n Fnancal Markets. In: The European Physcal Journal B. [9] MIZUNO, T. TAKAYASU, H. TAKAYASU, M Correlaton Networks Among Currences. [10] NAYLOR, M. ROSE, L. MOYLE, B Topology of Foregn Exchanges Markets Usng Herarchcal Structure Methods. In: Physca A. [11] KENETT, D. TUMMINELLO, M. MADI, A. GERSHGOREN, G. MANTEGNA, R. N. BEN-JACOB, E Domnatng Clasp of the Fnancal Sector Revealed by Partal Correlaton Analyss of the Stock Market. Adresa autora: Jakub Danko, Bc. Ekonomcká fakulta Techncká unverzta 2. ročník, 2. stupeň dankojakub@gmal.com

20 18 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Analýza sngulárneho spektra aplkovaná na časový rad prchádzajúcch hovorov Sngular spectrum analyss apled on call center arrvals tme seres Lukáš Kalna Abstract: We present a model-free approach to analyse hgh frequency and nosy tme seres, whch lack structure and to decompose the orgnal seres nto a small number of addtve components such as trend, oscllatory components and nose. We apply the sngular spectrum analyss method on real call center arrvals, whch are known to be nosy and structureless, usng the SAS/ETS software. Abstrakt: Prezentujeme neparametrcký model na analýzu vysokofrekvenčných, nestaconárnych časových radov a na ch dekompozícu do malého počtu komponentov akým sú trend, harmoncký komponent a bely šum. Aplkujeme metódu analýzy sngulárneho spektra na reálne prchádzajúce hovory, ktoré bývajú zašumené a bez štruktúry, použtím SAS/ETS softvéru. Key words: sngular spectrum analyss, tme seres, call center arrvals, SAS/ETS Kľúčové slová: analýza sngulárneho spektra, časový rad, prchádzajúce hovory, SAS/ETS 1. Úvod V odbore zákazníckeho servsu je jednou z najťažších výzev práve odhad očakávanej práce, pod ktorou môžeme napríklad chápať prchádzajúce hovory, emaly, lsty alebo príchod zákazníkov do predajne ale aj v zdravotníctve napríklad počet pacentov prchádzajúcch na pohotovosť. Hstorcké dáta majú veľkú granulartu, nakoľko je dôležté aby prchádzajúce hovory, zákazníc alebo pacent bol čo v najkratšom čase obslúžený. Inak môže nastať levkový efekt, ktorý bude vesť k nespokojnost, stresu a stratám č už fnančným alebo v prípade zdravotníctva stratám na žvotoch. Tým že sa ale údaje zberajú s veľm vysokou frekvencou za krátke časové úseky sú nestaconárne v strednej hodnote alebo varablte. Vo väčšne prípadov tradčné metódy časových radov zlyhávajú vo vysvetlení funkčných závslostí a ne sú schopné zachytť dynamku systému. V našej prác by sme chcel predstavť modernú metódu nazývanú analýza sngulárneho spektra (ďalej SSA z anglckého názvu Sngular Spectrum Analyss), ktorá kombnuje prvky analýzy časových radov a metódy vacrozmernej štatstky. Jej výhodou je, že je neparametrcká a nepredpokladá staconartu časového radu alebo bely šum rezduí. Podľa [6,7,8] bola prvý krát predstavená v 80. rokoch mnulého storoča ale do dnešnej doby je spracovaná ba v nekoľkých ucelených publkácách z dôvodu jej výpočtovej náročnost a nízkej popularty. Zataľ sa nezaraďuje medz klascké štatstcké metódy, ktoré sa preberajú na základných kurzoch. 2. Informáce o vstupných dátach Zpracované údaje pochádajú z call centra jednej amerckej banky, ktorá má kontaktné centrá v New York, Pennsylvana, Rhode Island a Massachussets. Kontaktné centrá spracujú denne prblžne 300 tsíc hovorov a zabezpečujú služby pre rozlčné segmenty klentov. V našej prác sa zamerame na retal lnku, ktorá tvorí ¾ z celkového počtu prchádzajúcch hovorov. Budeme analyzovať prchádzajúce hovory v dňoch od pondelka do patka, v operačných časoch od 07:00 do 24:00, v kalendárnych dňoch od do Na obrázku 1 môžeme pozorovať počet prchádzajúcch hovorov za mesac jún Zvoll sme kratše obdobe aby bolo jednoduchše pozorovať časový rad. V tabuľke 1 zhrneme úvodné fakty o charaktere údajov:

21 03JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN JUN2002 Počet hovorov VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Tab.4: Sumár úvodných faktov analyzovanej databázy Fakt Hodnota Počet analyzovaných dní: 65 Počet svatkov 1 Dĺžka sledovanej peródy počas dňa [mn] 30 Počet peród počas dňa Obr.3: Počet prchádzajúcch hovorov za mesac jún Algebracký záps vstupnej databázy V našej prác budeme rozlšovať dva druhy zápsov vstupných dát: a) v matcovom tvare: Nech je počet prchádzajúcch hovorov zapísaný v matcovom tvare označený A kde počet prchádzajúcch hovorov v peróde dňa j, dňa a typu dňa d je označený a (d) j, kde j = 1,, m, = 1,, n, d {1,2,3,4,5} a n d je počet dní typu d. Napríklad počet prchádzajúcch hovorov v utorok od 07:00 do 07:30 môžeme zapísať a (2) 11,1. b) v tvare stĺpcového vektora (časového radu): Nech je počet prchádzajúcch hovorov zapísaný v tvare vektora A = (a 1,, a,, a N ) T. 4. Imputáca údajov Ako je z tabuľky 1 zrejmé v sledovanom období máme jeden svatok, pre ktorý je charakterstcký nžší počet hovorov ako je očakávaný počet charakterstcký pre daný typ dňa a ný vzor (pattern) prchádzajúcch hovorov počas jednotlvých peród. Z toho dôvodu sme sa rozhodl tento deň mputovať použtím nasledovného postupu: 1. Predpokladáme, že prchádzajúce hovory do retal lnky sú z dvojnásobne stochastckého modelu Possonovho pravdepodobnostného rozdelena s parametrom λ j (d). 2. Určíme neskreslený bodový odhad parametra λ j (d), ktorým je výberová charakterstka X (d) j = 1 n (d) a n =1 d j (1) Kde X (d) j môžeme nterpretovať ako premerný počet hovorov v peróde dňa j a v type dňa d. 3. Počet hovorov v špecálny deň, v danú peródu dňa nahradíme pomocou náhodného generátora čísel s Possonovým pravdepodobnostným rozdelením s parametrom X (d) j. Dáta spracovávame pomocou softvéru SAS a pokročlých programovacích techník. V prípade mputáce používame vyhľadávacu tabuľku, ktorá obsahuje nasledovné premenné:

22 20 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV typ dňa, peróda dňa, premerný počet hovorov pre daný typ dňa a peródu dňa (X (d) j) so zloženým ndexom na type a peróde dňa. Iterujeme cez tabuľku prchádzajúcch hovorov, ktorá obsahuje nasledovné premenné: kalendárny deň, peróda dňa, typ dňa, ndkátor špecálneho dňa a počet prchádzajúcch hovorov. V prípade, že je v programovom dátovom vektore ndkátor svatku nastavený na hodnotu 1 tak pomocou set key príkazu vybereme z vyhľadávacej tabuľky parameter X (d) j a nahradíme za počet prchádzajúcch hovorov hodnotu, ktorá sa nám vrát z funkce RAND( POISSON, X (d) j). Premerná absolútna relatívna zmena parametra X (d) j po mputác bola v porovnaní s parametrom pred mputácou ba 0,51 % preto môžeme konštatovať relatívne nízke skreslene údajov. 5. Použtá metodológa SSA analýza je neparametrcká metóda, ktorá dokáže pracovať s akýmkoľvek procesom: lneárnym, nelneárnym, staconárnym, nestaconárnym, gaussovým alebo negaussovým. Tradčné metódy analýzy časových radov predpokladajú staconartu časového radu a normaltu rezduí. SSA však nemá žadne predpoklady. Táto metóda dekomponuje časový rad na jej základné prvky a následne ju rekonštruuje [6,7,8]. Nech N > 2. Predpokladajme časový rad kladných reálnych čísel A = (a 1,, a,, a N ) T s dĺžkou N. SSA metóda pozostáva z týchto fáz a krokov: Prvá fáza: Dekompozíca 1. Krok: Premapovane V tomto kroku sa rozdelí pôvodný časový rad na nekoľko vacdmenzonálnych časových radov, ktoré sú závslé od toho stého časového radu, posunuté o L období dozadu. Nech je L konštanta, reprezentujúca dĺžku oneskorena, tak že 1 < L < N. A konštanta K pre ktorú platí K = N L + 1 reprezentuje počet oneskorených vektorov A = (a,, a +L 1 ) T, 1 K (2) ktoré majú dmenzu L. Trajekčná matca časového radu A: A = [A 1,, A K ] (3) má oneskorené vektory v stĺpcoch. Môžeme ju taktež zapísať nasledovne: a 1 a 2 a 3 a K a 2 a 3 a 4 a K+1 A = a j = (.. ) (4) a L a L+1 a L+2 a N Platí, že a j = a +j 1 a prvky na dagonále sú konštantné. Projekčná matca sa nazýva taktež aj Hankerova matca. L by sme mal zvolť dostatočne veľké aby sme zachytl základné vlastnost a dynamku pôvodného časového radu. V prípade, že pracujeme s dátam so sezónym komponentom tak by malo platť, že L s kde s je počet sezón. Ak zvolíme prílš malé L môžu sa zmešať komponenty časového radu a tým by sa nedal správne nterpretovať. 2. Krok: Sngulárna dekompozíca Na projekčnú matcu teraz aplkujeme sngulárnu dekompozícu (ďalej SVD z anglckého názvu Sngular Value Decomposton). Nech σ 1, σ 2,, σ L sú sngulárne čísla matce AA T zoradené vzostupne tak, že σ 1 σ 2 σ L 0 (v nektorej lteratúre sa používa názov odmocnené vlastné čísla lebo platí σ = λ ) a vlastné vektory u 1,, u L matce AA T korešpondujú s príslušným vlastným číslam. Nech d = max(, ktoré σ > 0). Ak platí v = A T u /σ môžeme SVD trajekčnej matce A zapísať nasledovne: A = a a d (5) Kde a = σ u v T. Stĺpcové vektory a majú hodnosť 1 preto ch môžeme považovať za elementárne matce. Kolekca (σ u v ) sa nazýva taktež -ta vlastná trojčka SVD (z anglckého názvu egentrple).

23 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Druhá fáza: Rekonštrukca 3. Krok: Zoskupovane vlastných trojček Po dosahnutí rozložena (5), rozdelíme vektory {1,, d} na dsjunktné skupny I 1,, I m. Nech je I = { 1,, p }. Potom výsledná matca A I korešpondujúca so skupnou I je defnovaná ako A = a a p. Teto matce sú vypočítané pre I = I 1,, I m a rozložene A = a a d vede k ďalšej dekompozíc, ktorú môžeme zapísať nasledovne: A = a I1 + + a Im (6) Proces hľadana ortogonálnych skupín I 1,, I m sa nazýva zoskupovane do vlastných trojček. Zoskupovane slúž na tvorbu adtívnych komponentov časového radu. 4. Krok: Dagonálne premerovane V poslednom kroku SSA metódy transformujeme každú matcu zoskupenej dekompozíce do nového časového radu s dĺžkou N. Nech Y je L K matca s prvkam y j, 1 L, 1 j K. Nastavíme L = mn(l, K), K = max(l, K) a N = L + K 1. Nech je y j = y j ak L > K a y j = y j ak L K. Dagonálnym premerovaním transformujeme matcu Y do časových radov y 1,, y N pomocou nasledovných vzorcov: 1 k pre 1 k < L, y k = y k m=1 m,k m+1 1 L y L m,k m+1 1 N K N k+1 m=k K +1 m=1 pre L k < K, y m,k m+1 pre K k < N. { Vzorec súvsí s premerovaním prvkov matce na jej dagonále + j = k + 1. Pr výbere k = 1 dostávame y 1 = y 1,1, pre k = 2 dostávame y 2 = (y 1,2 + y 2,1 )/2 a tak ďalej. Matca Y je podobne ako trajekčná matca - Hankelova matca. Dagonálne premerovane aplkované na matcu A Ik, tvorí časový rad A (k) = (a 1 (k),, a N (k) ). Jej ncalzačné časové rady a 1,, a N sú dekomponované do sumy m časových radov: m (k) a n = k=1 a n (8) 6. Softvérové rešene SSA Pr rešení používame SAS edukačný analytcký balíček a SAS JMP. Skôr ako sme začal analyzovať časový rad pomocou ďalej spomenutých procedúr bolo potrebné najskôr zadefnovať v SAS-e kustomzované ntervaly, ktoré zodpovedajú nam použtým dátam. V sledovanom období máme 3 mesace zachytávajúce pracovné dn od pondelka do patka a pracovný čas od 07:00 do 24:00 prčom jeden sledovaný nterval má 30 mnút. Vytvoríme tabuľku s atrbútm Begn, End a Season, obsahujúcu všetky polhodnové ntervaly, ktoré deme analyzovať. Tabuľkou ncalzujeme náš vlastný nterval WorkHours pomocou príkazu optons ntervalds = (<Nazov_Intervalu> = <Nazov_tabulky>); Pre techncký detal použta nastavena ntervalds odporúčame [5]. Čo sa týka metódy SSA exstuje nekoľko softvérov, ktoré nám poskytujú možnosť aplkáce metódy SSA a ako príklad môžeme uvesť mplementácu SSA do MATLAB alebo R. Zvoll sme s štatstcký softvér SAS/ETS 12.1, ktorý obsahuje na túto čnnosť špecálne nastavene SSA v rámc procedúry PROC TIMESERIES. Pre techncké detaly odporúčame [2, 4]. Implementáca SSA v SAS-e používateľa síce odľahčí od náročných kalkulácí, v metodke uvedených, krokov ale poskytuje podľa nášho názoru relatívne málo výstupov, ktoré by sme mohl využť pr hlbšej analýze. Ako príklad môžeme uvesť neprítomnosť výstupu, pomocou SVD dekomponovanej, trajekčnej matce a na vlastnú trojčku σ u v T. Na druhej strane s môžeme byť stý, správnosťou výsledkov nakoľko sa SAS používa hlavne na (7)

24 22 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV komerčné účely. Z toho dôvodu sa pr vývoj a testovaní nových metód zapája šroká odborná verejnosť a dôraz sa klade na kvaltu a presnosť, čo sa pr nekomerčných rešenach jednoznačne zaručť nedá. V rámc procedúry PROC TIMESERIES je možné s zvolť aj grafcké zobrazene použtím plot=(ssa), ktorý nám poskytne hstogram zobrazujúc sngulárne čísla, kumulatívny hstogram vysvetlenej varablty sngulárnych čísel a porovnane jednotlvých komponentov s orgnálnym časovým radom. Ďalej je možné presmerovať výstup do SAS tabuľky, ktorý obsahuje názov atrbútu, časový nterval, cyklus, sezónu, orgnálny časový rad a jednotlvé adtívne komponenty. 7. Praktcká časť Náš časový rad s dĺžkou N = 2210 dekomponujeme SSA metódou na jednotlvé komponenty, ktorým sú: trend, harmoncký sgnál a náhodný prvok. Najskôr ale zvolíme veľkosť oneskorena časového radu L. Obr.4: Analýza spektrálnej hustoty Rozhodneme sa na základe analýzy spektrálnej hustoty, ktorá je na obrázku 2. Jej myšlenkou je rozložť staconárny časový rad do kombnáce snusoíd s náhodným a nekorelovaným koefcentam. Testovaca štatstka je Fsher s Kappa, ktorá nadobúda hodnotu 813,20. Testujeme hypotézu H 0 podľa, ktorej sú hodnoty časového radu z normálneho rozdelena s rozptylom 1 prot alternatívnej hypotéze, že časový rad má perodcký komponent. Ak je phodnota (na obrázku 2 Prob >Kappa) väčša ako hladna významnost α zametame nulovú hypotézu. Ako je z obrázku zrejmé môžeme zametnuť hypotézu H 0, konštatovať prítomnosť perodckého komponentu a tým nastavť veľkosť oneskorena pôvodného časového radu na L = 34. V dole uvedenom kóde používame L = LENGTH = 34. Špecfkoval sme ho tež v nastavení SEASONALITY aby sme mohl zobrazť aj sezónne cykly. Do SAS príkazu GROUPS sa defnujú skupny, do ktorých je dekomponovaný pôvodný časový rad. Prvá skupna obsahuje prvý lag (lag = oneskorene), druhá skupna obsahuje druhý lag a tak ďalej. Namesto príkazu GROUPS môžeme použť napríklad THRESHOLDPCT, ktorým určíme veľkosť poslednej skupny na základe kumulatívneho percenta varablty sngulárnych čísel. Odporúčame ale manuálne určť komponenty v skupnách a až na základe ch grafckej analýzy rozhodnúť o zaradení oneskorení do skupín. Skupny nemusa nevyhnutne obsahovať lagy, ktoré dú bezprostredne za sebou.

25 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] proc tmeseres data = SE_ARSE_TS_INPUTED outssa = SSA_OUTPUT plots=(seres cycles ssa) SEASONALITY = 34; SSA / LENGTH = 34 groups = (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11) (12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26) (27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34); d DATE_TIME nterval = WorkHours; var RETAIL; run; (Pozn.: V uvedenom kóde v príkaze d je nterval = WorkHours. WorkHours je nam vytvorený nterval. Obyčajne sa používajú prednastavené ntervaly typu Weekday, Month, Year.) Obr.5: Graf sezónnych cyklov prchádajúcch hovorov počas dňa Obrázok 3 reprezentuje graf sezónnych vzorov, ktoré sú charakterstcké v prebehu dňa. Horzontálna os s názvom Season by sa dala substtuovať jednotlvým polhodnovým ntervalm počas pracovnej doby. Prblžne o 9:00 je počet hovorov najvyšší. Pomalým tempom klesá do 16:30 následne počet prchádzajúcch hovorov klesá rýchlejše až do konca prevádzkovej doby.

26 24 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Obr. 6: Vlastné spektrum prchádzajúcch hovorov V prvom hstograme na obrázku 4 môžeme pozorovať sngulárne čísla σ a v druhom ch kumulatívne percento vysvetlenej varablty trajekčnej matce. Z týchto grafov môžeme odpozorovať prvé náznaky spektrálnych skupín. Prvá skupna zrejme obsahuje 1. vlastnú trojčku a I1 = a 1 = σ 1 u 1 v T 1, druhá skupna 2. a 3. vlastnú trojčku a I2 = a 2 + a 3 = σ 2 u 2 v T 2 + σ 3 u 3 v T 7 3, treta skupna 4., 5., 6. a 7. vlastnú trojčku a I3 = =4 a a posledná skupna zachytáva zostávajúcu varabltu. O tvorbe skupín sa ale rozhodneme až na základe grafckej analýzy jednotlvých elementárnych matíc a Obr.7: Spektrálne skupny Na obrázku 5 môžeme pozorovať jednotlvé spektrálne skupny, ktoré sme s predbežne defnoval na základe sngulárnych čísel. Prvú skupnu môžeme nterpretovať ako trend. Ako je zrejmé z vertkálnej os zachytáva úroveň časového radu prchádzajúcch hovorov. Druhú

27 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] skupnu nterpretujeme ako harmoncký sgnál, ktorý pravdelne oscluje okolo horzontálnej osy so strednou hodnotou 0 a konštantným rozptylom. V tretej skupne (označenej a) 3.skupna) pozostávajúcej z 4. až 7. vlastnej trojčky neje jednoznačne zrejmý žadny funkčný vzťah preto sme sa ju rozhodl spojť zo zvyšným vlastným trojčkam, ktoré môžeme pozorovať na grafe s názvom b) 3.skupna a nterpretovať ako náhodnú zložku. Obr.8: Analýza náhodnej zložky Na obrázku 6 je grafcká analýza náhodnej zložky. Na základe Q-Q grafu a hstogramu môžeme predpokladať, že je normálne rozdelená so strednou hodnotou prblžne 0 a rozptylom Obr.9: Graf orgnálneho časového radu a jeho komponentov Na obrázku 7 môžeme pozorovať orgnálny časový rad, ktorý je dekomponovaný na jednotlvé adtívne komponenty. 8. Záver Ak sú jednotlvé komponenty separované, tak že zachytávajú ba jednečný a špecfcký funkčný vzťah akým je napríklad lneárny (alebo lnearzovateľný) trend, sezónne, harmoncké prvky, cykly (v prípade ročných časových radov) alebo náhodný prvok môžeme extrapolovať použtím prognostckých metód časových radov akým sú napríklad:

28 26 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV - modely s konštantnou úrovňou (Náhodná prechádzka, Brownow model jednoduchého exponencálneho vyrovnávana, Prognostcké kĺzavé premery) - modely časových radov s trendom (Modely s konštantným alebo varablným parametram v čase) alebo - modely perodckých časových radov (CENSUS X-11, Holtovo-Wntersovo exponenconálne vyrovnávane...). V [6,7,8] navrhujú okrem tradčných metód prognózovana časových metód použť lneárne rekurentné reláce. Myšlenkou tejto metódy, je že časový rad pozostáva z lneárnej kombnáce exponencálnych, polynomckých a harmonckých časových radov. Analýza sngulárneho spektra je neodmyslteľnou súčasťou analýzy časových radov tam kde tradčné metódy nedokážu zachytť komplexnú dynamku systémov, na základe ktorých sa rada prchádzajúce požadavky na zákaznícke centrum. Lteratúra [1] DENG, CH Tme Seres Decomposton Usng Sngular Spectrum Analyss. In: Electronc Theses and Dssertatons, Paper s [2] LEONARD, M., JOHN, M., ELSHEIMER, B., KESSLER, M An ntroducton to Sngular Spectrum Analyss wth SAS/ETS Software. In: SAS Global Forum s [3] GILLARD, J., KNIGHT, V., ANTHONY, V Usng sngular spectrum analyss to obtan staffng levels requrements n emergency unts. In: Journal of the Operatonal Research Socety, roč. 65, č.5, s [4] SAS INSTITUTE INC., SAS/ETS 12.1 Users Gude. Cary, NC, USA. In: [5] SAS INSTITUTE INC., JMP 11 Onlne Documentaton. Cary, NC, USA. In: [6] GOLYANDINA, N., NEKRUTKIN, V., ZHIGLJAVSKY, A., Analyss of tme seres structures. SSA and related technques. Chapman & Hall/CRC, s [7] GOLYANDINA, N., KOROBEYNIKOV, A Basc Sngular Spectrum Analyss and R Forecastng. In: Computatonal Statstcs & Data Analyss, s 1-7 [8] GOLYANDINA, N., ZHIGLJAVSKY, A., Sngular Spectrum Analyss for Tme Seres. SprngerBrefs n Statstcs Seres. s Adresa autora: Lukáš Kalna, Bc. Fakulta hospodárskej nformatky Ekonomcká unverzta v Bratslave 2. ročník, 2. stupeň lukas.kalna.89@mal.sk

29 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Smuláca evolúce v opakovanej dleme samartána The Smulaton of Evoluton n the Iterated Samartan's Dlemma Martn Kameník Abstract: In the followng thess a smulaton of co-evolutonary behavour of agents playng terated Samartan's dlemma aganst each other s presented. Strateges of agents n a populaton of Parastes and Samartans are evolved through a genetc algorthm, whch ncludes operators such as selecton, crossover and mutaton. Ths algorthm makes them relatvely better. Strateges are evaluated by ftness value n every generaton. Agents make decsons about next steps accordng to the hstory of three prevous games. The most common result of presented smulaton concernng co-evoluton of agents n an envronment of Samartan's dlemma was permanent explotaton of Samartan by Paraste. Only n one case, agents evolved nto a form n whch the Paraste was forced to work. Abstrakt: V článku prezentujeme smulácu koevolučného vývoja správana agentov, ktorí prot sebe hrajú opakovanú dlemu samartána. Stratége agentov v populác paraztov aj samartánov podlehajú evolúc genetckému algortmu, ktorého súčasťou sú genetcké operátory ako selekca, krížene a mutáca. Ten z nch robí relatívne lepše stratége, ktoré sú hodnotené v každej generác hodnotou ftness, prčom agent sa rozhodujú o voľbe nasledujúceho ťahu na základe hstóre troch predchádzajúcch ťahov. Najčastejším výsledkom našej smuláce koevolučného vývoja agentov v prostredí samartánovej dlemy je permanentné vykorsťovane samartána paraztom. Iba v jednom prípade sa agent vyvnul do podoby, v ktorej samartán prnútl parazta pracovať. Key words: samartan's dlemma, genetc algorthm. Kľúčové slová: dlema samartána, genetcký algortmus. 1. Úvod Evolúca je dokázaná forma adaptáce na dynamcké a komplexné prostrede. Genetcký algortmus predstavuje vyhľadávací algortmus, ktorý napodobňuje základné rysy prrodzenej evolúce. V tejto prác používame tento genetcký algortmus k učenu agentov hrať samartánovu dlemu, hru s nenulovým súčtom, ktorú prvý krát predstavl Buchanan a prostredníctvom matcovej hry znázornl negatívne dôsledky altrustckého správana. Inšprácou, ako vesť nasledujúcu smulácu, sa nám stal článok The Evoluton of Strateges n the Iterated Prsoner's Dlemma, v ktorom autor, okrem ného, využíva túto nedetermnstckú metódu rešena problému k tvorbe stratég a k smulovanu koevolučného vývoja agentov v prostredí opakovanej dlemy väzňa. Našm ceľom je však aplkáca tohto koevolučného prístupu na opakovanú dlemu samartána. Tento prístup predpokladá exstencu dvoch populác agentov, ktorí vola ťahy na základe výsledkov 3 predchádzajúcch kôl hry. Po odohraní hry sú prrodzenou selekcou zvolení najlepší agent a tí podlehajú genetckým operátorom, ktoré slúža k hľadanu lepších stratég. 2. Dlema samartána Buchanan predstavl pojem Dlemy Samartána v ekonóm, aby ukázal, že altruzmus môže vyvolať nežaduce správane príjemcov založené na zlyhaní samartána konať strategcky. Buchanan taksto dentfkoval, že Dlema Samartána odráža určté charakterstky moderného socálneho štátu, pretože výhody vo forme dávok socálneho zabezpečena sú dôvodom pre oslabene motváce pracovať. Dlemu znázornl ako

30 28 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV dvojmatcovú hru v aktívnej a pasívnej podobe, prčom v našej prác sa obmedzíme len na pasívnu Samartánovu dlemu. B 1 B 2 I II A 1 4 ; 2 1 ; 1 III IV A 2 2 ; 3 3 ; 4 Obrázok 10 Pasívna dlema samartána Máme hráča A Samartán reprezentovaný stratégam A 1 nepomáhať a A 2 pomáhať a hráča B, ktorý predstavuje Parazta so stratégam B 1 pracovať a B 2 nepracovať. Samartán v pasívnej forme preferuje stuácu v bunke I, ktorá predstavuje socálne optmálnu stuácu, zataľ čo Parazt preferuje stuácu v bunke IV nak aj socálne neakceptovateľnú stuácu, ktorej by sa spoločnosť chcela vyhnúť. Teto bunky sú Nashovou rovnováhou hry. Dlema Samartána vlastne predstavuje jeho vykorsťovane kvôl neschopnost odmetnuť pomáhať a teda Parazt strategckým chovaním vo forme voľby stratége B 2 nút Samartána použť stratégu A 2. Základným rozdelom medz aktívnym a pasívnym samartánom je, že v prvom prípade mu je určté strategcké správane naradené jeho domnantnou stratégou, zataľ čo v druhom prípade je mu dktované správane hernou stuácou, do ktorej ho donútl Parazt. 3. Smuláca Uvažujme o populác samartánov a paraztov v podobne r -tíc S s1, s2,..., s r P p1, p2,..., p r bnárnych l -tíc s, s s p, p p, j 1,2,..., r pozostávajúcch z r agentov so stratégam defnovaným v podobe s, 1,2,...,, l a p j j, 1 j,2,..., j, l,, prčom agent hrajú opakovanú dlemu samartána. Pre teto bnárne l -tce teda platí s p 0, 1, a, b 1,2,..., l., a, j, b Nasledujúcu časť analyzujeme z pohľadu samartána, ale analogcky môžeme dané postupy aplkovať aj na parazta. Počas exstence jedncov v generác t každý samartán s odohraje m kôl s každým paraztom p j z opoztnej populáce. Každému jedncov z populáce je po odohraní všetkých kôl prradená hodnota ftness, ktorá determnuje efektívnosť jednca pr rešení problému: kde s, p k j f t s m r k s, p k j 1 1 mr vyjadruje výplatu -teho samartána prot j - temu paraztov v k -tom kole hry. Ceľom agentov je teda maxmalzáca premernej výplaty. Jednc s vyššou premernou výplatou majú právo prspeť vacerým potomkam do generáce t 1. K vhodnému výberu jedncov využívame metódu nazývanú turnajová selekca (s vrátením) matematcky analyzovanú autorm Blckle a Thele. Tento selekčný mechanzmus náhodne zvolí dve l - tce s a s 1, 1,2,..., r 2 1,2 z S a za predpokladu ft s f 1 t s 2 postupuje do generáce t 1 agent s, v opačnom prípade postupuje s 1. 2 V prípade ak ft s f 1 t s 2 postupuje jednec s. Daný postup opakujeme r - krát. 1 j a (1)

31 Očakávaný počet výskytov ako: VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] za predpokladu f s f s... f s t p s potomkov jednca s v generác t 1 je potom daný p s r (2) r r 1 t 2 t r, teda že každý agent v populác dosahne unkátnu hodnotu ftness. V tom prípade môžeme nterpretovať ako počet agentov s hodnotou ftness f alebo nžšou. t s Nakoľko sa v generác t 1 objavuje potomok jednca, je potrebné ho vytvorť. Na to využívame dva genetcké operátory. V prvom rade de o genetcký operátor krížene. Majme náhodne vybrané l - tce s s, 1, s,2,..., s, l a s s, 1, s,2,..., s , l z S, ktoré úspešne prešl selekčným mechanzmom. Zvolíme pozícu 1 l na základe rovnomerného rozdelena pravdepodobnost, prčom vychádzajúc z jednobodového krížena nám vznkajú dve nové l - tce s, 1,..., s, 1, s,,..., s, l a s 2, 1,..., s, 1 s, s 2 2, 1,..., 1, l, ktoré predstavujú dvoch nových agentov s novým stratégam. Všetky l - tce, ktoré prešl selekčným mechanzmom sú náhodne spárované a preto daný postup opakujeme r / 2 -krát. Lteratúra odporúča, aby krížene bolo aplkované s určtou vysokou pravdepodobnosťou. V našom prípade to je pravdepodobnosť 0,85. Okrem toho sa pre zachovane dverzty v populác využíva genetcký operátor mutáca, ktorý je defnovaný ako náhodné prehodene každého btu l -tce s s, 1, s,2,..., s, l s pravdepodobnosťou 0, 005. Tento proces vede k vznku nových agentov a taksto nových populácí samartánov a paraztov, prčom stratégam sa jednc podobajú ch relatívne úspešnejším rodčom z predchádzajúcej generáce. Následne sa celý tento postup opakuje. V takomto koevolučnom procese prostrede pre prvú populácu pozostáva z druhej populáce a naopak, prčom začína sa s náhodným populácam s nízkym premerným výplatam. Prvá populáca sa pokúša adaptovať na prostrede druhej populáce a smultánne druhá populáca sa snaží adaptovať na prostrede pozostávajúce z prvej populáce. Predpokladáme, že hráč vola svoje ťahy (A 1 A 2, B 1 B 2 ) v nasledujúcom kole na základe hstóre 3 predchádzajúcch her, teda hstóre vlastných ťahov a ťahov prothráča. Hráčom je umožnené volť ba čsté stratége. Ďalej označme možnost A 1 A 2 resp. B 1 B 2 ako 1 0. Nakoľko hra v jednom kole môže nadobudnúť 4 rôzne výsledky, tak exstuje možných hstórí s pamäťou 3. Napríklad hstóra opakovaných voleb stratégí Pomáhať - Pracovať počas 3 predchádzajúcch kôl je (nepárna pozíca vyjadruje ťahy hráča a párna pozíca ťahy prothráča). Reakcu na takúto mnulosť sa nachádza v prvku s.takto má každá hstóra, ktorá môže vznknúť, prradený určtý prvok v l - tc. Avšak,64 v prvých troch kolách hry ešte nebola vytvorená hstóra s požadovanou veľkosťou, preto je kódovane nasledovné. Prvok s, 65 predstavuje počatočný ťah v prvom kole, s, 66 a s, 67 vyjadrujú aký ťah bude použtý v druhom kole v závslost od predchádzajúceho ťahu oponenta a prvky s, 68, s, 69, s, 70, s, 71 vyjadrujú, aký ťah bude použtý v treťom kole v závslost od ťahov oponenta vykonaných počas dvoch predchádzajúcch kôl. V našom prípade je teda l 71. Množna všetkých l - tíc predstavuje prehľadávaný prestor 0,1 l, v ktorom ak označíme každú l - tcu celým číslom, tak jej mohutnosť je

32 30 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV 71 2, čo je značne rozsahly počet dostupných stratégí. V našej prác ďalej uvažujeme s r 70 a m 70. Obrázok 11 Jednoduchý vývojový dagram smuláce 4. Výsledky Celá smuláca bola vytvorená v programovacom jazyku R s využtím balíkov GA a dagram. Je potrebné zdôraznť, že genetcký algortmus spadajúc do oblast heurstckých algortmov môže nadobúdať rôzne výsledky. Preto sme každú smulácu dlemy samartána zopakoval 30 krát pr rovnakých nastavenach, ale s náhodne vygenerovaným počatočným populácam samartánov a paraztov. Obrázok č. 3 zachytáva vývoj premerného ftness za populácu samartánov počas 60 generácí. Súhrne teda znázorňuje všetkých 30 smulác. Zároveň pre 4 smuláce sme zvýšl počet generác, počas ktorých pokračuje ch vývoj, ktorý nebol v prebehu 60 generácí jednoznačne ukončený. Obr. 12: Premerná výplata za populácu Samartánov v jednotlvých generácách

33 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Obdobný graf z pohľadu parazta zachytáva obrázok č. 4. Obrázok 13: Premerná výplata za populácu Paraztov v jednotlvých generácách Celkovo v 23 smulácách skonvergoval vývoj her počatočných náhodných agentov pomerne rýchlo do stavu, v ktorom je samartán v každom kole vykorsťovaný paraztom, teda Nashova rovnováha z bunky I na obrázku č. 1 má najväčšu početnosť výskytov. Už prblžne od 18. generáce táto socálne neakceptovateľná stuáca jednoznačne prevažovala vo väčšne smulácí. Intutívnejší pops prebehu opakovanej hry dvoch agentov znázorňuje prechodový dagram. Vrcholy reprezentujú hstóru 3 her, ktoré predchádzal danému stavu spolu s reakcou agenta na danú hstóru (v prípade prvého vrcholu hstóra ešte nebola vytvorená, zataľ čo ďalše dva vrcholy zobrazujú ba hstóru ťahov prothráča). Orentované hrany a slučky predstavujú ťah prothráča, ktorý taktež reaguje na hstóru predchádzajúcch her. Dagram grafu na obrázku č. 5 naznačuje ako môže vyzerať prebeh opakovanej dlemy samartána dvoch náhodne vygenerovaných stratégí. Obrázok 14 Dagram vývoja hry 2 náhodne vygenerovaných agentov Dagram na obrázku č. 6 hore zobrazuje vývoj hry premerného samartána 4 prot premernému paraztov z vybranej smuláce, ktorá skonvergovala do stavu vykorsťovana a dagram dole zobrazuje rovnakú stuácu, ale z pohľadu parazta. 4 Ak konkrétny prvok v l -tc je 0 pre vac ako 50% jedncov v populác tak de o premerný prvok - bt, následne podobným prepočtom všetkých btov dostaneme premerného jednca populáce.

34 32 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Obrázok 15 Typcký prebeh hry hráčov konečných populácí v 23 smulácách V prvom kole sa síce hráč voľbou stratégí Nepomáhať - Pracovať octnú v bunke I, ale hneď na to je voľba oboch opačná. Po odohraní ďalších 3 kôl je už počatočný ťah vylúčený z pamäte oboch hráčov a vyžaduje sa od nch reakca na opakované vykorsťovane samartána paraztom. Následná reakca Pomáhať - Nepracovať ch prvede do stavu, v ktorom je hstóra rovnaká ako v predchádzajúcom kole. V dôsledku toho dochádza k neustálemu opakovanu rovnakých ťahov hráčov vyjadrenej slučkou v oboch dagramoch. Obrázok 16 Vývoj premerných výplat v smulác č. 23 Väčšna zo spomínaných 23 smulácí mala podobný prebeh ako na obrázku č. 7. Premerná hodnota výplat všetkých počatočných populác samartánov bola 2,51 so smerodajnou odchýlkou 0,020. Pre populáce paraztov je počatočná premerná výplata 2,49 a smerodajná odchýlka 0,023. Následná selekca agentov s najvyššou premernou výplatou a vznk nových v podobe potomkov úspešných agentov pôsobí na rast premernej výplaty oboch populác v prebehu nasledujúcch generác. Avšak rast hodnoty premernej výplaty populáce paraztov je prudší ako v populác samartánov a tým prvky s, 43, p j, 22 (reakca na resp ) sa stávajú domnantným. V nasledujúcej tabuľke sú uvedené najvyšše početnost, ktoré vyjadrujú koľko premerných samartánov (paraztov) s osvojlo v rámc konkrétnej hstóre reakcu pomáhať

35 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] resp. nepomáhať (nepracovať resp. pracovať). Vychádzame z 23 smulácí, ktoré skonvergoval do stavu, kedy je samartán vykorsťovaný paraztom. Tab.: 1 Zhoda určtých prvkov stratégí v smulácách Hstóra Pomáhať Hstóra Nepomáhať Hstóra Nepracovať Hstóra Pracovať "000000" 20 "001011" 17 "000001" 16 "111000" 17 "000010" 16 "010011" 16 "000010" 16 "001010" 22 "010101" 17 "000101" 21 "010000" 18 "011111" 16 "001000" 18 "010100" 16 "111111" 16 "001101" 16 "011001" 17 "010000" 16 "011010" 21 "010001" 20 "100000" 16 "010101" 23 "101000" 16 "100001" 16 "101010" 23 "100101" 19 "101101" 16 "101001" 16 "110011" 16 "110101" 16 "110110" 18 "111010" 17 Všetc premerní samartán z 23 smulác reagoval stratégou Pomáhať na vykorsťovane počas predchádzajúcch troch kôl. Ak s z celej pamäte troch her vybereme ba hstóru posledného kola, tak vdíme často sa objavujúcu rovnakú reakcu na vyňatú hstóru ****10 ale aj ****00. Naopak, väčšna Samartánov zvolí stratégu Nepomáhať ak tejto voľbe predchádzala opakovaná kombnáca Nepomáhať - Pracovať alebo aj Pomáhať - Pracovať. Analogcky aj všetkých 23 premerných paraztov reagovalo rovnako na vykorsťovane samartána počas 3 prechádzajúcch kôl. Väčšna stratégí paraztov s vyvnulo rovnakú reakcu Nepracovať na hstóru posledného kola ****01. Tentoraz predpokladajme, že v smulácách, ktorých výsledkom je permanentné vykorsťovane dôjde u nektorého zo samartánov k mutác prvku s, 43, a to zo stratége Pomáhať na Nepomáhať. Môžeme to nterpretovať ako stuácu, kedy sa samartán po 3 kolách vykorsťovana rozhodne nepomáhať, zataľ čo l -tce paraztov ostávajú nezmenené. Vývoj takejto hry z pohľadu samartána zobrazuje nasledujúc dagram. Obrázok 17 Vývoj hry pr mutác prvku 43. prvku l -tce samartána Počatočný vývoj je zachovaný až do momentu, kedy sa od agentov vyžaduje reakca zakódovaná v prvkoch s, 43, p j, 22. Veme, že parazt zareaguje stratégou Nepracovať a samartán zmutovanou stratégou Nepomáhať. Pozoruhodným dôsledkom evolučného vývoja stratég je následný vývoj, kedy sa agent po ďalších 3 kolách dostanú do pôvodného stavu. Od samartána sa znova vyžaduje reakca na hstóru predstavujúcu jeho vykorsťovane počas troch predchádzajúcch kôl. Obdobný jav je zaznamenaný aj v ďalších smulácách, ktorých výsledkom bolo vykorsťovane samartána paraztom. Avšak samartán s takouto mutácou kvôl nžšej premernej výplate v populác Samartánov neprežje a bude počas nasledujúcch generác z populáce odstránený selekčným mechanzmom. Prebeh hry v tých smulácách, ktoré neskonvergoval do stavu opakovaného vykorsťovana (smuláce 1, 17, 19, 24 a 25) sa vyvíjal podobne ako na obrázku.

36 34 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Obrázok 18 Typcký prebeh z pohľadu samartána konečných populácí v 5 smulácách Odlšnost sa v týchto smulácách vyskytoval ba počas prvých kôl, zataľ čo ch spoločným znakom bol rovnaký prebeh v posledných dvoch vrcholoch dagramu. Parazt nedokázal úplne prnútť samartána k permanentnej pomoc a v dôsledku toho dochádza od určtého kola k stredavej výmene reakcí a teda aj výplat hráčov. Hráč sa stredavo pohybujú medz bunkam I a IV, ktoré predstavujú Nashovu rovnováhu pasívnej dlemy samartána. Obrázok 19 Vývoj premerných výplat v smulác č. 24 Obdobný vývoj ako na obrázku č. 10 bol aj v smulácách č. 17 a 25, zataľ čo vo zvyšných dvoch sa samartán dokázal vyvnúť do podoby zobrazenej na obrázku č. 11 až v konečných generácách. Iba v smulác č. 8 nebol premerný parazt schopný permanentne a an stredavo vykorsťovať premerného samartána. Naopak, samartán sa vyvnul do podoby, v ktorej dokázal prnútť premerného parazta pravdelne pracovať, čo predstavuje socálne optmálny stav. Obrázok 20 Prebeh hry z pohľadu samartána konečných populácí v smulác č. 8 Tento vývoj ako naznačuje aj obrázok č. 12 nebol taký jednoznačný ako v predchádzajúcch dvoch prípadoch.

37 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Obrázok 21 Vývoj premerných výplat v smulác č Záver Kombnácou vhodnej reprezentáce stratég a genetckého algortmu bolo možné smulovať vývoj správana agentov založeného na evolúc v prostredí opakovanej dlemy samartána, ktorá bola predmetom našej analýzy. Z náhodných stratég sa prostredníctvom selekčného mechanzmu, krížena a mutáce tvora nové a lepše stratége, ktoré sú vhodnejše prspôsobené na prostrede opoztnej populáce. V dôsledku opakovana tohto procesu vývoj konverguje k určtému výsledku. Je ale potrebné dodať, že stratége vytvorené koevolúcou môžu byť účnné prot populácí predstavujúcu prostrede, na ktoré sa adaptujú, ale ch výkonnosť môže byť nžša, ak budú hrať opakovanú dlemu samartána prot nej populác. Aj keď stratége agentov a tým aj prebeh hry skonverguje do určtého stavu, neznamená to, že v prebehu nasledujúcch generácí nemôže nastať zmena vo vývoj. Vyplýva to z toho, že an jedna z populác neukončí svoj vývoj, ale pokúša sa o neustálu adaptácu na prostrede tvorace druhú populácu. Môžeme s však všmnúť, že z náhodných populácí pozostávajúcch z ne veľm raconálnych agentov, je častým výsledkom evolučného vývoja práve opakované vykorsťovane samartána paraztom, čo predstavuje socálne neakceptovateľnú stuácu. V menšom počte prípadov už vznkal populáce, ktorých agent sa stredavo nachádzal v bunke I a IV na obrázku č. 1 a ba v jednom prípade bola populáca samartánov schopná donútť populácu paraztov k opakovanej prác. Lteratúra AXELROD, R., The Evoluton of Strateges n the Iterated Prsoner's Dlemma. In: L. Davs, ed Genetc Algorthms and Smulated Annealng. London: Ptman, s BLICKLE, T THIELE, L A mathematcal analyss of tournament selecton. In: L. Eshelman, ed., Proceedngs of the 6th Internatonal Conference on Genetc Algorthms. San Francsco: Morgan Kaufmann Publshers, s URL: CA7CFCC?do= &rep=rep1&type=pdf BUCHANAN, J.M., The Samartan's Dlemma. In: E. Phelps, ed Altrusm, Moralty and Economc Theory. New York: Russell Sage, s

38 36 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV ENGELBRECHT, A. P Compuatonal Intellgence: An Introducton, Second Edton. John Wley & Sons, Ltd ERRITY, A., Evolvng Strateges for Prsoner s dlemma. Dubln: Dubln Cty Unversty FOGEL, D.B., Evolvng Behavors n the Iterated Prsoner's Dlemma. In: Evolutonary Computaton, roč. 1, č. 1, s KOZA, J. R., Genetc programmng: on the programmng of computers by means of natural selecton. Cambrdge, MA: MIT Press SCHMITT, L.M., Theory of genetc algorthms. In: Theoretcal Computer Scence, roč. 259, č. 1, s WEISE, T Global Optmzaton Algorthms Theory and Applcaton, Second edton. Thomas Wese Adresa autora: Martn Kameník, Bc. Ekonomcká fakulta Techncká unverzta v Košcach 2. ročník, 2. stupeň martnkamenk3@gmal.com

39 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Komparáca aktívneho a pasívneho prístupu k úsporám v dôchodkových schémach Comparson of actve and passve savng approach n penson schemes Mchal Mešťan Abstract: Man objectve of the paper s to assess valdty of assumpton whether the lfecycle savng strategy based on actve fund swtchng s sgnfcantly better performng than passve savng approach based on contnuous nvestments solely nto the bond penson fund usng dynamc mcrosmulaton model. Actve fund swtchng s based on a comparson of cumulatve daly return on penson funds over a certan perod and subsequent allocaton of savngs to the fund by the decson-makng mechansm.. Abstrakt: Ceľom príspevku je overť predpoklad, podľa ktorého sporteľ aktívnym prístupom k sporenu založenom na prestupovaní medz dvoma dôchodkovým fondm dosahne vyšší výnos ako pr pasívnom prístupe založenom na sporení s výlučne v jednom dôchodkovom fonde s využtým dynamckého mkrosmulačného modelu. Aktívny prístup k sporenu je založený na porovnávaní kumulatívnej dennej výnosnost dôchodkových fondov za určté obdobe a následnej alokáce úspor do fondu podľa rozhodovaceho mechanzmu. Key words: penson funds, savng strategy, nvestment strategy, actve nvestment strategy, passve nvestment strategy, mcrosmulaton model. Kľúčové slová: dôchodkové fondy, sporaca stratéga, nvestčná stratéga, aktívne nvestovane, pasívne nvestovane, mkrosmulačný model. 1. Úvod Pr sporení v kaptalzačnom pler na Slovensku majú sportela možnosť alokáce svojch úspor do dvoch fondov, z ktorých jeden musí byť vždy dlhopsový garantovaný dôchodkový fond. Väčšna sporteľov v kaptalzačnom pler pôsobí konzervatívne, nakoľko sa nachádzajú v dlhopsových dôchodkových fondoch, čo môže byť spôsobené podľa Baláža (2009) nelen ch averzou k rzku, ale aj ch nertným správaním. Vysokú nertnosť sporteľov potvrdl vo svojom výskume aj Šebo a Vrdzek (2013), ktorá je spojená najmä z nedostatočným poznaním fungovana systému a možnosťam, ktoré sporteľom poskytuje. Prostredníctvom mojej práce chcem sporteľom prezentovať možnost alokáce úspor do dvoch dôchodkových fondov a komparácou aktívneho a pasívneho prístupu k sporenu demonštrovať, že zvýšenou aktvtou v podobe prestupovana medz fondm môžu sportela dosahnuť vyšše zhodnotene svojch úspor ako pr nertnom prístupe (sporene výlučne v dlhopsovom dôchodkovom fonde počas celej doby sporena). 2. Mkrosmulačný model (MkroSIM) Všetky výpočty a smuláce bol uskutočnené prostredníctvom mkrosmulačného modelu (MkroSIM), ktorý postupne budujeme s kolegam z Inšttútu sporena a nvestovana a Ekonomckej fakulty UMB v Banskej Bystrc, v rámc rešena vacerých výskumných projektov, na ktorých sa v súčasnost podeľam. Vytvorený dynamcký mkrosmulačný model dôchodkového systému na Slovensku obsahuje deväť typov agentov v závslost od dosahnutého vzdelana a ch celožvotné príjmové funkce. Detalnejše metodologcké otázky modelovana celožvotnej príjmovej funkce v model MkroSIM ako aj samotnú podstatu fungovana MkroSIM uvádzajú vo svojch publkácách Šebo, Vrdzek a Šebová (2014) alebo Šebo a Šebová (2013). Pre potreby realzáce môjho výskumu som mal možnosť využívať funkce modelu MkroSIM, aj keď jeho funkčná stránka ne je podstatou môjho príspevku. Obrázok 1

40 38 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV poskytuje grafcké znázornene vývoja celožvotných príjmových funkcí jednotlvých agentov od 25 roku do 62 roku veku žvota. Obr. 22: Modelované celožvotné príjmové funkce vybraných 9 sporteľov Vrdzek (2012) vo svojej prác navrhol metodku zostrojena dlhopsového a ndexového dôchodkového fondu a pre každý fond aj aktuálnu hodnotu dôchodkovej jednotky (AHDJ). Pr ndexovom dôchodkovom fonde (IDF) de o kopírovane ndexu Dow Jones Industral Average (DJIA) a pr dlhopsovom dôchodkovom fonde (DDF) vývoj výnosov 20 ročných dlhopsov USA. Hstorckú výnosnosť IDF a DDF prezentuje graf na obrázku 2. K tomuto kroku nás vedla skutočnosť neexstence fnančných nástrojov na Slovensku a v ostatných európskych krajnách s dostatočne dlhou hstórou a lkvdtou ako to je pr nam zvolených podkladových nástrojoch. MkroSIM obsahuje aj časový rad nfláce meranej ndexom spotrebteľských cen (CPI) v USA. Hodnoty vyšše uvedených časových radov sú na dennej báze od januára 1919 do apríla 2014 (pr CPI sme mal prístup ba k mesačným dátam, ktoré sme jednoduchou lneárnou extrapolácou pretransformoval na denné dáta). Z príslušného časového radu sme pre každú smulácu vybral denné hodnoty nfláce, o ktoré sme navyšoval hodnotu celožvotnej príjmovej funkce sporteľa v čase. Tento krok vyplýva z ekonomckých poznatkov, ktoré hovora o vplyve nfláce na rast mzdy. Dôležtou súčasťou konštrukce MkroSIM bolo vytvorene systémových pravdel, na ktorých bude fungovať dôchodkový systém. Pravdlá pramo korešpondujú so zákonným nastavením fungovana starobného dôchodkového sporena na Slovensku v zmysle platnej legslatívy. V našom systéme uvažujeme o 18 % odvodoch do dôchodkového systému z vymeravaceho základu sporteľa, z ktorých 6 % bude odvedených do druhého (kaptalzačného) plera starobného dôchodkového sporena. Tu predpokladáme zjednodušený stav, ktorý nastane po postupnom navyšovaní príspevkov od roku 2017, a zároveň premeruje zmeny v odvodoch počas posledných 10 rokov.

41 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Obr. 23: Hstorcká denná výnosnosť (v %) ndexového dôchodkového fondu (IDF) a dlhopsového dôchodkového fondu (DDF) od 1919 do 2014 Vstupné podmenky pre modelovane výkonnost ndvduálnych sporvých stratégí v model MkroSIM sú nasledovné: I. Sporteľ môže presúvať úspory medz fondm maxmálne raz za mesac (aj keď legslatíva platná k dnešnému dňu umožňuje sporteľom menť pomer sporena svojch úspor medz dvoma fondm každý deň), II. Realzáca zmeny pomeru sporena nastáva o T + 3 dní, t.j. 3. deň po zadaní pokynu na zmenu pomeru sporena, III. Zákonné obmedzene prestupu medz fondm podľa Zákona č. 43/2004 Z. z. o starobnom dôchodkovom sporení 92 ods. 1 (znene účnné od ), ktoré ustanovuje, že sporteľ musí mať v dlhopsovom garantovanom dôchodkovom fonde v prvý deň kalendárneho mesaca, v ktorom dovŕš: a) 52 rokov veku, najmenej 10 % čstej hodnoty svojho majetku, b) 53 rokov veku, najmenej 20 % čstej hodnoty svojho majetku, c) 54 rokov veku, najmenej 30 % čstej hodnoty svojho majetku, d) 55 rokov veku, najmenej 40 % čstej hodnoty svojho majetku, e) 56 rokov veku, najmenej 50 % čstej hodnoty svojho majetku, f) 57 rokov veku, najmenej 60 % čstej hodnoty svojho majetku, g) 58 rokov veku, najmenej 70 % čstej hodnoty svojho majetku, h) 59 rokov veku, najmenej 80 % čstej hodnoty svojho majetku, ) 60 rokov veku, najmenej 90 % čstej hodnoty svojho majetku, j) 61 rokov veku, 100 % čstej hodnoty svojho majetku. IV. V tomto štádu sme abstrahoval pr vytváraní modelu od vplyvu poplatkov, prčom v realte majú výrazný vplyv na znížene výkonnost akejkoľvek nvestčnej stratége Mešárová (2014). S realzácou aktívnej nvestčnej stratége ne sú spojené žadne prame fnančné náklady v podobe poplatkov, pretože prestup medz fondm u toho stého správcu ne je zaťažený osobtným poplatkam.

42 40 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV 3. Vytvorene sporacej stratége Pr vytváraní sporacch stratégí som rešpektoval dferencované prístupy k nvestovanu v penzjných schémach, akým sú napríklad Mertonova-Samuelsonova celožvotná sporaca stratéga alebo stratéga, ktorú uvádza Sharpe (2011), založená na dynamckej optmalzác portfóla prostredníctvom dynamcky sa menacej averze k rzku. Uvedené prístupy ma vedl k vytvorenu vacerých sporacch stratégí, ktoré môže sporteľ uplatňovať pr správe svojch úspor v penzjných schémach.. V prác budem sledovať uplatnene stratége vyvnutej na základe porovnana výnosnost jednotlvých fondov v krátkom časovom období. Stratéga má názov SONYA. Stratéga sa a pror rozhoduje o alokác 100 % (0 %) alebo 0 % (100 %) úspor do IDF (DDF). Rozhodovací mechanzmus je n (IDF AHDJt IDF AHDJt 1 ) > m (DDF AHDJt DDF AHDJt 1 ) t=1 IDF t=1 (1) AHDJt 1 DDF AHDJt 1 kde IDF AHDJ - aktuálny kurz dôchodkovej jednotky(ahdj) ndexového dôchodkového fondu (IDF), DDF AHDJ - aktuálny kurz dôchodkovej jednotky (AHDJ) dlhopsového fondu (IDF), n počet dní, pre ktoré kalkulujem kumulatívny výnos v IDF dozadu od dnešného dňa, m počet dní, pre ktoré kalkulujem kumulatívny výnos v DDF dozadu od dnešného dňa, t je deň poslednej známej AHDJ (v našom model je to AHDJ z pred troch dní). Ak je ľavá strana nerovnce väčša ako pravá, sporteľ bude alokovať 100 % svojch úspor do IDF, ak je ľavá strana menša ako pravá, sporteľ bude alokovať 100 % svojch úspor do DDF, prčom budem rešpektovať zákonné obmedzene prestupu medz fondm uvedené v predchádzajúcej čast. 4. Komparáca aktívneho a pasívneho prístupu k radenu úspor v MkroSIM Prostredníctvom MkroSIM modelu som uskutočnl 55 smulácí sporteľa s dosahnutým II. stupňom vysokoškolského vzdelana (7. agent v našom MkroSIM). Pre každú smulácu bude dodržaný 40 ročný sporvý horzont, v ktorom smulujeme príjem sporteľa vo veku od 22 rokov do 61 rokov. Aktuálna hodnota dôchodkovej jednotky (AHDJ) na začatku každej smuláce bude vždy nastavená na hodnotu 0,3000, prčom vývoj AHDJ pre príslušný fond bude determnovaný hstorckou výnosnosťou fnančného nástroja uvedeného v predchádzajúcej čast príspevku. Pre každú smulácu sme s hstorckých dát použl 40 rokov dlhý spojtý časový rad pre IDF, DDF a aj nflácu. Sporteľ do systému pre potreby smulácí vstupuje po roku, t.j. prvá smuláca začína smulovaním výnosnost fondov z hstorckých dát od roku 1919 do 1958, druhá smuláca začína smulovaním výnosnost fondov z hstorckých dát od 1920 do 1959, a posledná smuláca od roku 1974 do roku Smuláce poskytnú sporteľov rôznu výšku naakumulovaných úspor v čase pr aktívnom respektíve pasívnom prístupe k sporenu. Pre lepšu prezentácu výsledkov dávam do pomeru konečnú hodnotu úspor pr aktívnom, respektíve pasívnom, prístupe k sporenu k celkovým zaplateným príspevkom (2), v ktorom hodnotím výlučne ba o koľkonásobne väčše zhodnotene by sme dosahl pr aktívnom, respektíve pasívnom, prístupe k sporenu a následne overujem predpoklad uvedený v úvode práce tým, že dávam do pomeru hodnotu úspor (ODÚ) dosahnutú pr uplatňovaní stratége SONYA k hodnote úspor pr pasívnom sporení do dlhopsového dôchodkového fondu (3). K t = K t = ODÚ DDF t ODÚ príspevkyt, t < 1919,2014 > (2) ODÚ Sonya t ODÚ príspevkyt, t < 1919,2014 > (3)

43 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] K t = ODÚ Sonya t ODÚ DDFt, t < 1919,2014 > (4) kde ODÚ hodnota úspor dosahnutá v čase t stratégou SONYA respektíve hodnotu úspor dosahnutú sporením v dlhopsovom dôchodkovom fonde, príspevky suma zaplatených príspevkov na osobný dôchodkový účet vedený v dôchodkovej správcovskej spoločnost počas celej doby sporena, Výsledky prezentujem prostredníctvom koefcentu, ktorý môžem nterpretovať nasledovne : - Ak hodnota K t > 1, aktívnym prístupom k úsporám sporteľ dosahol vyššu hodnotu úspor ako pr pasívnom sporení ba do DDF, - Ak hodnota K t < 1, aktívny prístup k úsporám neprnese sporteľov vyššu nasporenú sumu ako pasívne sporene do DDF, - Ak hodnota K t = 1, aktívnym prístupom k úsporám dosahne sporteľa rovnakú nasporenú sumu ako pr pasívnom sporení. Na obrázku 3 zobrazujem dva hstogramy, ktoré prezentujú o koľkonásobne vac zhodnotl sporteľ svoje úspory pr uplatňovaní aktívneho prístupu k sporenu, respektíve pr uplatňovaní pasívneho prístupu k sporenu. Z výsledkov prezentovaných na obrázku 3 vyplýva, že v prípade aktívneho prístupu ku sporenu sporteľ dokázal zhodnotť zaplatené príspevky do druhého plera od 150 % (aktívny prístup mu prnesol 1,5 násobok zaplatených príspevkov) do 500 %. Pasívny prístup k sporenu prnesol sporteľov zhodnotene zaplatených príspevkov na úrovn 1,5 násobku respektíve 4 násobku zaplatených príspevkov, čo predstavovalo mnmálne 50% zhodnotene a maxmálne 400 % zhodnotene. Obrázok 4 sumarzuje výsledky smulácí, prostredníctvom ktorých overujeme predpoklad, č aktívnym prístupom k sporenu a zvolenou sporacou stratégou sporteľ dosahne vyššu hodnotu úspor ako v prípade pasívneho prístupu. Môžeme konštatovať, že zvolená stratéga zabezpečla vo všetkých prípadoch vždy rovnakú alebo vyššu hodnotou úspor ako pr pasívnom prístupe. Výsledky výskumu naznačujú, že v prblžne 3,5 % prípadov sporteľ mohol dosahnuť aktívnym prístupom rovnakú konečnú hodnotu úspor ako pr pasívnom prístupe, prčom vo zvyšných 96,5 % prípadov dosahol relatívne vyššu konečnú hodnotu úspor.

44 42 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Obr. 24: Porovnane nasporena x-násobku úspor aktívnym prístupom a pasívnym prístupom k nvestovanu voč zaplateným príspevkom.

45 Početnosť (v %) VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] x-násobok úspor dosahnutých aktívnym prístupom k sporenu voč pasívnemu prístupu Obr. 25: Nasporene x-násobku úspor aktívnym prístupom k sporenu voč pasívnemu sporenu v dlhopsovom dôchodkovom fonde 5. Záver Ceľom môjho výskumu bolo overene predpokladu, č s sporteľ aktívnym prístupom k svojm úsporám prostredníctvom zvolenej stratége a sgnálov na prestup medz ndexovým dôchodkovým fondom a dlhopsovým dôchodkovým fondom dokáže zabezpečť vyšše zhodnotene svojch úspor ako v prípade pasívneho prístupu. Predpoklad z úvodu práce sa potvrdl. Z výsledkov môžem konštatovať, že v 96,5 % prípadoch dokázala zvolená stratéga dosahnuť vyššu hodnotu úspor ako v prípade pasívneho prístupu znamenajúceho sporene výlučne v dlhopsovom dôchodkovom fonde, prčom vo všetkých pozorovanach vytvorená sporaca stratéga nedosahla pre sporteľa nžšu hodnotu úspor ako sporene v dlhopsovom dôchodkovom fonde. Aktvta v podobe prestupovana medz fondm na základe zvolenej sporacej stratége prnesla sporteľov vo väčšne prípadov vyššu hodnotu úspor ako nertné správane znamenajúce sporene s v dlhopsovom fonde. V ďalšej čast výskumu sa sústredím na dopracovane súčastí modelu MkroSIM o rôzne determnanty vstupujúce do žvota jednotlvca, napr. nezamestnanosť, ochorene, materská dovolenka a podobne. Pokračovať budem v modelovaní celožvotnej nvestčnej stratége, prostredníctvom ktorej dokážem prepojť akumulačnú fázu s výplatnou (deakumulačnou) fázou a v neposlednom rade budem venovať pozornosť testovanu rôznych sporacch stratégí, na ktorých výskume v súčasnost pracujem.

46 44 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Lteratúra BALÁŽ V Rzko a nestota úvod do behavorálnej ekonóme a fnancí. Bratslava: Veda. ISBN EVENSKY, H. HORAN, M. S. ROBINSON, R. T The New Wealth Management. JohnWlley & Sons, Inc.ISBN MELICHERČÍK, I. ŠEVČOVIČ, D Dynamc Model of Penson Savngs Management wth Stochastc Interest Rates and Stock Returns. In: Mathematcal and Statstcal Methods for Actuaral Scences and Fnance. Sprnger. ISBN MEŠÁROVÁ, N Strata úžtku sporteľa v dôsledku poplatkovej poltky. In: Sporene & Investovane 3/2014. ISSN , s SHARPE, W Post-Retrement Fnancal Strateges: Forecasts and Valuaton. In: European Fnancal Management Assocaton Annual Meetng. Dostupné na nternete: ŠEBO, J. - VIRDZEK, T Dsmantlng the myths about the penson funds performance from the saver s perspectve. In: Szczepansk, M. (ed.) "Penson Reforms Comparson and Evaluaton?". Poznan : Publshng House of Poznan Unversty of Technolgy. pp ISBN ŠEBO, J. - ŠEBOVÁ, Ľ. - VIRDZEK, T Challenges n Slovak PAYG and DC schemes. In: Szczepańsk-Brzeczek-Gajowak (ed.). Socal Securty systems - aganst the challenges of demographcs and market. Poznan : Publshng House of Poznan Unversty of Technology ISBN ŠEBO, J. - ŠEBOVÁ, Ľ Penson Schemes as Complex Soco-Economc Dynamc Systems. In: Journal of Economcs and Socal Research. No. 2/2013. ISSN VIRDZEK, T Výkonnosť kaptalzačných systémov dôchodkového sporena. Banská Bystrca: Ekonomcká fakulta UMB Dzertačná práca: 0d50d1ac-3b63-4c5e-93d3- f8bb35f5a316 Adresa autora: Mchal Mešťan, Bc. Ekonomcká fakulta Unverzta Mateja Bela Tajovského 10, Banská Bystrca 1. ročník, 2. stupeň mestan.mchal@gmal.com

47 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Vzájomná súvslosť a predkca vývoja mery nfláce a nezamestnanost v podmenkach Slovenskej republky Mutual relaton and predcton of the nflaton rate and the unemployment rate n the condtons of Slovak Republc Lukáš Res Abstract: In ths paper I present the results of analyss causal relatons between nflaton rate and unemployment rate followed by verfyng valdaton of Phllps curve n condtons of Slovaka n tme Also I predct the varables usng by vector autoregresson model for the next four quarterly tme perod, use mpulse response functon, forecast error varance decomposton for varables. I vsualze the tme seres usng by chosen graphcal components. The value added of ths paper consst of descrpton causal relatons and predcton nflaton rate and unemployment rate based on usng VAR model. Abstrakt: V tomto príspevku prezentujem výsledky analýzy vzájomnej súvslost mery nfláce a nezamestnanost s následným overením valdty Phllpsovej krvky pre podmenky Slovenskej republky za sledované obdobe Taktež predkujem dané premenné pomocou modelu vektorovej autoregrese na najblžše štyr kvartálne obdoba, využívam funkcu reakce mpulzov, dekompozícu rozptylu chyby prognózy pre premenné. Časové rady vzualzujem vybraným grafckým prvkam. Prdaná hodnota príspevku spočíva v deskrpc grangerovských kauzálnych väzeb a prognóze nfláce a nezamestnanost pre podmenky Slovenskej republky. Key words: Inflaton, unemployment, Phllps curve, vector autoregresson, Granger smply causalty, Granger nstantaneous causalty Kľúčové slová: Infláca, nezamestnanosť, Phllpsova krvka, vektorová autoregresa, Grangerova jednoduchá kauzalta, Grangerova okamhová kauzalta Úvod Náplňou príspevku je deskrpca súvslostí a grangerových kauzálnych väzeb v časovom horzonte rokov nfláce a nezamestnanost s ceľom následnej valdáce platnost Phlpsovej krvky pre Slovenskú republku. V príspevku využívam pracovné prostrede štatstckého programu R verze Pumpkn Helmet. (R Development Core Team, 2014). Pracujem s knžncam aplpack (Wolf, 2014), car (Fox, Wesberg, 2011), forecast (Hyndman, Rasbash, Schmdt, 2012), MASS (Rpley, 2002), MSBVAR (Brandt, Davs, 2014), MVN (Korkmaz, 2014), lmtest (Hothorn, Zechles, Farebrother, Cummns, Mllo, 2014), tcltk (Grosjean, 2014), tseres (Traplett, Hornk, LeBaron, 2013), urca (Pfaff, 2011), vars (Pfaff, 2008). Modelujem sledované premenné pomocou vektorovej autoregrese (ďalej len VAR), ktorá je vacrovncovým modelom, v ktorom sú všetky premenné považované za endogénne, a každá z nch je vysvetľovaná zvyšným premenným oneskoreným v čase o určtú hodnotu - p (rád vektorovej autoregrese). Takýto model sa potom označuje VAR(p). Následne predkujem vývoj daných časových radov pomocou VAR s analýzou funkcí reakcí na mpulz a dekompozícou rozptylu chyby predkce pre dané časové rady. Overujem taktež kauzálne väzby v grangerovskom zmysle (okamhová a jednoduchá kauzalta). Taktež stručne popíšem podstatu Phllpsovej krvky ako súvslosť nfláce a nezamestnanost, súčasné prístupy k modelovanu Phllpsovej krvky. Pre odporúčanú a

48 46 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV maxmálnu dĺžku príspevku neuvádzam samozrejme všetky grafcké štatstcké výstupy ale len te, ktoré nutné súvsa s vzualzovaním č doložením najvýznamnejších skutočností. Skúmané časové rady pochádza z údajov z makroekonomckej databázy Národnej banky Slovenska. Jedná sa o sezónne očstené dáta, v kvartálnej perodcte a to od 1. kvartálu 1997 do 3. kvartálu 2014, sumárne 71 pozorovaní [ct ]. Dostupné na Prvá premenná je mera nfláce, ktorú som vypočítal nasledovne: HICP t 100* 1 t (1) HICP t 1 kde HICP je harmonzovaný ndex spotrebteľských cen všetkých položek sezónne očstených. Druhá premenná je mera nezamestnanost vypočítaná Úradom práce, socálnych vecí a rodny ako nezamestnanosť z celkového počtu uchádzačov o pracovné mesto ktoré sú sezónne očstené. Náčrt do teóre Phllpsovej krvky Phllpsova krvka v ekonomckej teórí vysvetľuje vzťah medz nflácou a nezamestnanosťou asymetrckým substtučným klesajúcm nverzným exponencálnym charakterom. Pôvodná Phllpsova krvka (1958, A. W. Phllps,) avšak zobrazuje vzťah medz nezamestnanosťou a mernou zmeny nomnálnych mezd pre pozorovana v spojenom kráľovstve ( ). Neskôr však neokeynesovc modfkoval krvku o doplnene vzťahom nfláce. Mala vyjadrovať substtučnú teóru nfláce (určtá zmena nfláce sa vykompenzuje-kúp určtou zmenou nezamestnanost). Za predpokladu mery zmeny zotrvačnej nfláce dôjde k posunu krvky v dôsledku adaptívnych očakávaní ekonomckých subjektov (posun červená krvka obrázku 1). Platnosť tohto predpokladu sa potvrdla len častočne, následne nastala krtka zo strany monetarstov (M. Fredman), a následná vlastná teóra tejto krvky. Fredman predpokladá vertkálny tvar krvky v dlhom období, nemôže exstovať permanentná substtúca nfláce a nezamestnanost. V dlhom období len prrodzená mera nezamestnanost je zlučteľná so stablnou nflácou. Grafcká analýza súvslostí a časového prebehu skúmaných premenných Ako prvý krok pr analýze dátovej vzorky som vykonal vzualzovane dát pomocou grafu vývoja časového radu nfláce a nezamestnanost zobrazený obrázkom 1. Na prvý pohľad je jasná nestaconarta časového radu nezamestnanosť, nfláca sa javí ako staconárny heteroskedastcký proces s dlhodobo klesajúcm trendom. Daný časový rad možno považovať za homoskedastcký najmä za posledné obdoba cca od roku 2004, čo je spôsobené vplyvom vstupu do Európskej úne a následné dodržavane stanovenej hladny nfláce. Infláca bola v celom sledovanom období v patch prípadoch záporná (kvartálne zmeny bol analogcky záporné). Modelujem a analyzujem celé skúmané obdobe ako celok, na základe prvotného grafckého nahladnuta na prebeh časových radov by stálo za úvahu modelovať dané časové rady od roku 2009 po súčasnosť (majme ale na pamät prílš málo pozorovaní).

49 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Obr. 1: Časový prebeh nfláce a nezamestnanost Na obrázku 2 je možné vdeť bagploty daných premenných avšak s rozdelnou orentácou v grafe ako závslú premennú som dátové vzorky navzájom vymenl a porovnal. Tmavším farebným odteňom v grafe je cca 50 % hodnôt, zvyšných 50 % je označených svetlejším odteňom. Pozorovana nezahrnuté do útvaru sú označené ako outlery. Takmer všetky pozorovana nfláce sú z rozmedza 0-2 %, s pomerne vdteľným takmer vertkálnym útvarom dátovej vzorky, oprot prebehu nezamestnanost ako nezávslej premennej, kde je prebeh pomerne rovnomerne rozptýlený v danom rozsahu nfláce (0 2 %). Infláca je absolútne nectlvá na zmeny nezamestnanost, čo sa potvrdí aj v ďalšom grafe. Dané prvotné úvahy z grafu sa môžu javť mylne, nakoľko treba brať v úvahu pomer merok na grafoch, avšak považujem grafckú analýzu a vzualzovane vzorek za prmárnu analýzu a pochopene súvslostí medz daným premenným. Obr. 2: Bagploty skúmaných premenných Na obrázku 3 je možné vdeť scatterploty dátových vzorek, kde som taktež komparoval nflácu a nezamestnanosť separátne v 2 grafoch. Na základe prvotného náhľadu na dáta zhruba štyr pozorovana sa java ako outlery (v prípade scatterplotu naľavo) ale v prípade výmeny premenných ako závslej a nezávslej možno považovať dané pozorovana za vplyvné (obrázok vpravo, nfluental observatons). Rozdely v sklone pramok odhadnutej regresnej robustnej a nerobustnej alternatívy bol veľm mnmálne. Táto skutočnosť ma pomerne prekvapla. Vdteľné zakrvene je možné vdeť len na neparametrckom odhade trendovej krvky dátovej koncentráce vyobrazený plnou hrubšou červenou čarou s následným

50 48 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV prerušeným čaram zobrazujúc nterval spoľahlvost, t.j. pr akých hodnotách nezávslej premennej zoskupené dáta tvora akýs zhluk. Následne sa daná krvka zakrví v smere tohto zhluku, resp. zhusteného výskytu pozorovaní. Obr. 3: Scatter ploty skúmaných premenných s odhadom robustnej regresnej pramky V prípade závslej premennej nfláca (obrázok vľavo) je sklon robustnej regresnej pramky len veľm merny a súvslosť medz daným premenným je veľm nízka. V tomto prípade je trend regresnej pramky pomerne očakávaný, t.j. merny nárast, resp. očakával som že dané outler vychýla robustnú regresnú pramku v smere polohy outlerov. V prípade závslej premennej nezamestnanosť (obrázok vpravo) je vdteľný takmer vertkálny zhluk dát, ktorý narušuje 4 outlery. Regresná pramka je o nečo menej strmša ako bol moje očakávana. Preložená odhadnutá robustná regresná pramka naznačuje pramu súvslosť. Teto predbežné úvahy o sklone regresnej pramky a koncentrácí dát do určtých tvarov sa môžu javť ako nepresné, nakoľko je rozdel v osach pomerne rôzny a prspôsobením osí by sa teto úvahy možno zmenl. V komparácí s ekonomckou teórou pôvodnej Phllpsovej krvky (1958) sa vzualzovaním dátovej vzorky daný predpoklad nepreukázal (s rastúcou nezamestnanosťou by mala nfláca asymetrcky klesať). V tomto prípade je nfláca takmer nectlvá na zmeny nezamestnanost, t. j. valdáca platnost Phlpsovej krvky sa nepotvrdla (uvažujem o pôvodnej krvke modfkovanú neokeynesovcam, kde platí asymetrcký substtučný vzťah nezamestnanosť nfláca). Konštrukca odhadu Phllpsovej krvky a predkca skúmaných premenných Následne zostrojím odhad VAR pre Phllpsovu krvku, overím grangerovské kauzálne väzby aj s testom na okamhový varant, predkcu pomocou rekurzívnej predkce, ktorá využíva predkčnú chybu kovarančnej matce, grafcké vzualzovane reakcí na mpulz (IRF), a tabuľkový a grafcký výstup dekompozíce rozptylu chyby prognózy (FEVD). Prvým krokom k testu bolo overene staconarty dátovej vzorky (využl som kombnácu ADF a KPSS testu, taktež vzualzáca pôvodných, 1x dferencovaných a 2x dferencovaných hodnôt spolu s výstupm ACF a PACF). Časový rad nfláce nemá dôvod nebyť staconárnym procesom, aj následné spomínané spôsoby valdáce staconarty potvrdl daný predpoklad. Časový rad nezamestnanost možno považovať za I(1) proces (ntegrovaný rádu 1). Dané

51 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] časové rady možno považovať aj za kontegrované (na základe Phllps - Oulars testu ale aj Engel - Granger testovacej procedúre na overene kontegráce radov). Pre overene grangerovej kauzalty v daných prípadoch testovana pracujem s pôvodným hodnotam nfláce a prvým dferencam nezamestnanost. Využívam funkcu na testovane jednoduchej a okamhovej grangerovej kauzalty pre model VAR, ale testujem aj jednoduchú grangerovu kauzaltu len samotných časových radov nfláce a prvých dferencí nezamestnanost (pomocou nej funkce ako pre overene kauzalít pre VAR). Overením kauzálnych väzeb odhadu VAR s konštantou sa nepodarlo jednoznačne potvrdť daný typ kauzalty pre rôzne rády oneskorena (od 2 do 7, pr ráde 8 nezametame predpoklad o žadnom grangerovskom zmysle aj to veľm tesne na 10 % hladne významnost s využtím bootstrapovej smuláce s počtom ). Pr následnom overovaní jednoduchej kauzalty ba samotných časových radov je preukázateľný vplyv premennej nfláca na prvú dferencu nezamestnanost v grangerovskom zmysle až pr ráde 5 (na 10 % hladne významnost) a pr ráde 6 (už na 5 % hladne významnost), pr ráde 7 (aj na 1 % hladne významnost). Treba mať na pamät počet pozorovaní (70) a znžovane stupňov voľnost pre danú testovacu štatstku. Pr voľbe rádu vektorovej autoregrese som sa operal o 3 nformačné krtérá (Akakeho, Schwarzovo a Hannovo - Qunnovo) a o výslednú strednú kvadratckú chybu predkce (FPE). Teto krtérá v snahe o ch mnmalzácu za predpokladu združeného gaussovského rozdelena novácí vedl k voľbe oneskorena 3 obdoba do mnulost. Odhad VAR (3) modelu má po prepse nasledovnou symbolkou nezamestnanosť = U, a nflácu = tvar: 0, , ,46955 U 0,11019 U t 3 U 0,6025 0,05374 t 3 t 1 t 1 0,67203 U 1,54599 U t 1 t 1 0, ,01434 t 2 t 2 1,05344 U 0,48037 U t 2 t 2 0, ,11512 (5) Uvedené odhady VAR(3) predstavujú odhad v aktuálnom čase, resp. v krátkodobom horzonte (short run). Daný odhad sa dá prepísať za určtých podmenok (predpoklad staconarty modelu, predpoklad blížacch sa velčín k svojm dlhodobým rovnovážnym ekvlbrstckým úrovnam,...). Následne možno uvažovať odhad nfláce VAR (ako vzťah Phllpsovej krvky - nfláca ako závslá premenná) nasledovne: 0, , ,67203 U 0, ,05344 U 0,00533 e 0,46955 U e e e kde e a Ue sú hodnoty nfláce a nezamestnanost v ekvlbru (dlhodobá rovnovážna úroveň, long run). Následným úpravam rovnce (6) dostávane dlhodobý tvar Phllpsovej krvky: e U e e 0, , (7) Analogcky úpravou rovnce (5) VAR(3) modelu dostávame vzťah súvslost nezamestnanost od nfláce: U e e e e t 3 (4) t 3 (6) 13,5181 1,05542 (8)

52 50 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Pr testovaní odhadnutého VAR(3) na stabltu parametrov, a stabltu modelu ako celku, som našel korene charakterstckého polynómu. Model je stablný ako celok, nemá jednotkový. Následné CUSUM, MOSUM, RE a ME testy nepreukázal defekty v stablte parametrov VAR(3). Model možno považovať za stablný vo svojch parametroch. Obr. 4: Fancharty pre ročnú predkcu VAR s konfdenčným pásm spoľahlvost 90 % (šedý odteň) Rekurzívnu predkcu so zohľadnením predkčnej nestoty zobrazuje fanchart s 90 % ntervalm spoľahlvost pre predkcu nasledujúcch štyroch kvartálov. Na obrázku 4 je možné vdeť pomerne vysokú chybu predkce pr predkovaní nfláce. Možno usúdť aj na základe strmšeho a rýchlejšeho nárastu ntervalu spoľahlvost (zobrazený desatm stupňujúcm sa odteňm šedej) predkovaných hodnôt už pr prvom kvartál predkce). Model predkuje veľm merne rastúce hodnoty nfláce pre nasledujúce obdoba. Možno usudzovať relatívne horšu predkčnú schopnosť pre nflácu ako nezamestnanosť (čo vyplýva aj z grafckého výstupu emprckých a odhadovaných hodnôt pomocou VAR(3)) ale aj na základe fanchartu. Predkce pre nflácu majú merne rastúc trend (najtmavší odteň predkce) s vysokou varabltou avšak cca od druhého kvartálu pomerne konštantným ntervalom spoľahlvost. Uvedené predkce zobrazuje tabuľka 1. Tab. 1: Predkca hodnôt premenných pomocou VAR s 90 % ntervalom spoľahlvost Predkca pomocou VAR s ntervalom spoľahlvost Infláca [%] Nezamestnanosť [%] kvartál 90 % konfdenčný 90 % konfdenčný hodnota hodnota nterval nterval 1 0,589 1,897 14,048 0, ,648 1,992 13,868 1, ,759 2,085 13,704 2, ,809 2,107 13,594 2,678

53 následok nezamestnanosť následok nflác VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Náhodné nováce (mpulzy) jednotlvých premenných na né premenné a samé seba som vyobrazl grafcky (obrázok 5) pomocou funkce reakce premennej na mpulz nej premennej vplyvom šokov v časovom horzonte 6 rokov s využtím bootstrapových konfdenčných pásov o spoľahlvost 95 % o počte smulácí Dané obrázky zachytávajú prebeh nekumulatívnej funkce odozev mpulzov. Prerušované čarkované= pásy predstavujú bootstrapový 95 % nterval spoľahlvost. Impulzné odozvy bol ortogonalzované. Je nutné zohľadnť nelen tvar funkce reakce mpulzov premennej na danú premennú ale aj jej ntenztu vyjadrenú na vertkálnej os. Vrchné grafy predstavujú vplyv reakcí mpulzov na nflácu, spodné grafy predstavujú vplyv reakcí mpulzov na nezamestanosť. Grafy na ľavej strany sú reakce mpulzov nezamestnanost, na pravej strane reakce mpulzov nfláce. V prípade reakcí mpulzov nezamestnanost na nflácu (ľavý vrchný graf) je vplyv najmenší v druhom oneskorení, následne sa vplyvy v párnych oneskorenach vyskytujú v menšej mere ako v nepárnych, postupne sa však vplyv vytráca, zhruba v 4 roku je mnmálny. Funkca reakce mpulzu nezamestnanost Funkca reakce mpulzu nfláce Obr. 5: Graf nekumulatívnych ortogonalzovaných funkcí reakce mpulzov nezamestnanost a nfláce V prípade vplyvu mpulzov nezamestnanost na samotnú premennú (ľavý spodný graf) je stuáca pomerne nežadaná, najslnejší vplyv majú šoky z oneskorena 5 kvartálu, následne polynomcky klesajú, efekt sa vytráca až v horzonte 5 rokov. V prípade efektu mpulzov nfláce na samotnú premennú (pravý vrchný graf) je stuáca vývoja pomerne žadaná, t. j. neočakávané zmeny nfláce na samú seba sa relatívne rýchlo strata, už po zhruba 5 kvartály je vplyv mnmálny, najslnejší je v prípade šoku oneskorenom v čase o jedno pozorovane. Impulzy nfláce ma nezamestnanosť (pravý spodný graf) sú mnmálne v prvom a druhom oneskorení, následne sa efekt stupňuje, je najslnejší zhruba v 8 kvartály a následne merne klesá. Efekt sa vytráca veľm pomaly, stratí sa v horzonte zhruba 5 a vac rokov. Celkovo možno konštatovať, že šoky spôsobené samotným premenným vplývajú na samé seba s rastúcm oneskorením klesajúco konvergentne k 0 (ak merne abstrahujem v prípade šoku nfláce na nezamestnanosť opätovným sa vrátením vplyvu šoku a následným poklesom). Šoky spôsobené premenným sa v čase vytrácajú, avšak šoky spôsobené

54 52 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV nezamestnanosťou na samotnú premennú sa vytrácajú pomalše oprot vytrácanu sa šokov spôsobených nflácou s rastúcm oneskorenam na samé seba (aj na základe kumulatívnych ortogonalzovaných funkcí reakce mpulzov). Prebeh kumulatívnych funkcí má konvergentný charakter vo všetkých prípadoch. Najslnejší efekt šokov s následným pretrvávaním je v prípade nezamestnanost na samotnú premennú a šokov nfláce na nezamestnanosť (avšak ne v takej slnej mere ako nezamestnanosť na samú seba) Na obrázku 6 je vyobrazená dekompozíca percentuálneho podelu rozptylov chýb, ktoré nastanú pr predkc jednotlvých premenných. Ako je možné vdeť na týchto dvoch grafoch, v horzonte 6 rokov je rozptyl chyby prognózy nfláce tvorený mpulzm nfláce v mere zhruba do 85%, mera vplyvu pr oneskorení 1 je nulová, následne veľm merne narastá a zotrváva na určtej relatívne konštantnej úrovn (obrázok vľavo). Veľm podobný prebeh je vdteľný na stuácí zobrazujúcej prebeh zložena rozptylu chyby prognózy nezamestnanost (obrázok vpravo). Najnžší vplyv mpulzu (špecfckého šoku) nfláce na prognózu nezamestnanost je v 3 kvartál a následne raste na určté percento a zotrváva v časovom horzonte zhruba od 4 roku sa už vplyv nemení a je ustálený (obrázok vpravo). Obr. 6: Graf dekompozíce rozptylov chyby prognózy pre nflácu a nezamestnanosť Prebeh je pomerne podobný, až na rozdel v percentuálnom podele rozptylu chyby na prognózy premenných do obdoba do 8 kvartálov. V obdvoch prípadoch je rozptyl chyby predkce danej premennej spôsobený špecfckým šokm nej premennej najnžší v 3 oneskorení (s výnmkou šokov nezamestnanost na rozptyl predkce nfláce, kde je nulový vplyv v oneskorení jedného kvartálu). Konkrétnejše hodnoty rozptylov chyby predkce vyobrazuje tabuľka 2. Rozptyl chyby, ktorý nastane pr prognóze premennej nfláce je do časového horzontu 1 roka spôsobený špecfckým šokm nezamestnanost v mere merne prevyšujúcej 8% (ľavá časť tabuľky 1), zataľ čo v prípade rozptylu chyby predkce nezamestnanost vplyvom šokov nfláce (pravá časť tabuľky) je len v mere 2%, t. j. zhruba len štvrtnový vplyv šokov nfláce na rozptyl predkce nezamestnanost v komparác vplyvu šokov nezamestnanost na rozptyl predkce nfláce. Ak bereme do úvahy časový horzont 2 roky, stuáca je obdobná, avšak pomer šokov premenných ne je štvrtnový, ale menej ako polovčný. V horzonte 6 rokov je vplyv takmer rovnaký. Predkca nezamestnanost je menej náchylná na špecfcké šoky premennej nfláca do časového horzontu 2 rokov, následne sa vplyv postupne takmer vyrovná a jednotlvé vplyvy šokov na predkcu sú relatívne rovnaké v dlhom období, čo je aj v súlade s fanchartom predkce (pozr obrázok 4),

55 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] kvartál Tab. 2: Dekompozíca rozptylu chyby prognózy Dekompozíca rozptylu chyby prognózy (FEVD) pre: Infláca [%] Nezamestnanosť [%] Infláca[%] Nezamestnanosť [%] Infláca[%] Nezamestnanosť [%] 100,00 0,00 4,28 95,72 92,75 7,25 2,43 97,57 93,35 6,65 1,54 98,46 91,84 8,16 2,01 97,99 91,74 8,26 2,73 97,27 90,61 9,39 3,77 96,23 89,32 10,68 5,92 94,08 87,26 12,74 9,47 90,53 86,27 13,73 11,30 88,70 85,94 14,06 11,97 88,03 85,85 14,15 12,16 87,84 Záver Na základe vykonaných analýz možno konštatovať pre podmenky Slovenskej republky absolútnu neplatnosť Phllpsovej krvky (aj z krátkodobého neokeynesovského ale aj dlhodobého monetarstckého poňata). Skôr možno vzájomnú súvslosť chápať ako relatívne nepružnú s takmer horzontálnym prebehom, čo je spôsobené hlavným ceľom Európskej centrálnej banky stablzáca mery nfláce do určtej hrance. Hodnoty nfláce osclujú v škále zhruba do 2 % čo je dôsledkom menovej poltky centrálnej banky. Dlhodobý trend vývoja nfláce za sledované obdobe je klesajúc, čo je následkom zlepšujúceho sa makroekonomckého a poltckého prostreda, čo determnovala snaha o splnene Maastrchtských krtérí pre vstup do Európskej menovej úne. Volatlta nfláce je nžša a ustálenejša (rozmedze do cca 2 %) od vstupu Slovenskej republky do Európskej úne, do tohto obdoba je vdteľná väčša varablta aj lokálne maxmá nfláce. Závery týkajúce sa vývoja a predkce nezamestnanost možno rozdelť zhruba na tr obdoba ( éra Mečarzmu, poltka M. Dzurndu, dopad vplyvu hospodárskej krízy). Spomenuté prvé obdobe je charakterstcké rastúcm trendom s globálnym maxmom, čo bolo spôsobené najmä poltckou nestabltou, rzkovým bankovým sektorom, nepraznvá stuáca podnkateľského prostreda. Markantný obrat v vývoj trendu nastal zmenou poltckej garntúry a nastolením poltcko-ekonomckých opatrení vedúcch k stablte ekonomky, vnímana krajny pre nvestorov, čo sa prejavlo klesajúcm trendom vývoja nezamestnanost, samozrejme s tým spojená aj lepša podnkateľská stuáca. Za tretí zlom vo vývoj možno považovať dopad globálnej hospodárskej krízy spolu so zmenou poltckého vedena v krajne spôsobené sgnfkantným nárast nezamestnanost, čo bolo následkom destablzáce podnkateľského prostreda globálne. Následne sa rastúc trend stablzoval, avšak zachoval s rastúc charakter. Posledné zhruba 2 roky je vdteľné častočné zlepšene, čo sa prejavlo opätovným klesajúcm trendom. Pr celkovej analýze súvslostí týchto dvoch premenných by stálo za úvahu zvážť prdať né premenné (hrubý domác produkt, menový agregát M3, premernú úrokovú meru, ročná nflácu nomnálnych mezd,...) a následne skúmať dané kauzálne vzťahy, ako je to aj obvyklé v medznárodnom ponímaní ekonometrckých analýz makroekonomckých procesov. Lteratúra ATKESON, A. OHANIAN, L.E Are Phllps Curves Useful for Forecastng Inflaton? [onlne ct ]. Dostupné na

56 54 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV EGGER, C. FELBER, C. WILDAUER, R Estmatng The US Phllps Curve. [onlne ct ]. Dostupné na HUŠEK, R Ekonometrcká analýza. Oeconomca. ISBN s. 368 KIRCHGÄSSNER, G. WOLTERS, J Introducton to Modern Tme Seres Analyss. Sprnger. ISBN s. 274 KOOP, G. ONORANTE, L Estmatng Phllps curves n turbulent tmes usng The ESB surveys of proffesonal forecasters. (URL dostupné dňa KULISH, M. PAGAN, A, Issues n Estmatng New-Keynesan Phllps Curves n the Presence od Unknown Structural Change. [onlne ct ]. Dostupné na LUKÁČIK, M Vektorovo autoregresné modely v ekonometr. In: Ekonomka a nformatka, roč. 10, č. 1, s LUKÁČIK, M. PEKÁR, J Kontegračná analýza v ekonometr. [onlne ct ]. Dostupné na Pekar2006.pdf LÜTKEPOHL, H New Introducton to Multple Tme Seres Analyss. Sprnger. ISBN s. 764 MAKROEKONOMICKÁ DATABÁZA NBS. [onlne ct ]. Dostupné na PFAFF, B Analyss of Integrated and Contegrated Tme Seres wth R. Sprnger. ISBN s. 188 R Development Core Team, R: A language and envronment for statstcal computng. Venna, Austra: R Foundaton for Statstcal Computng, URAMOVÁ, M. LACOVÁ, Ž. HRONEC, M Makroekonóma 1. Brata Sabovc, s.r.o., Zvolen s. 277 Adresa autora Lukáš Res Ekonomcká fakulta Unverzta Mateja Bela Banská Bystrca 2. ročník, 2 stupeň Lukas.Res@yahoo.com

57 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Rozšírene pravdepodobnostného spánkového modelu Innovaton of probablstc sleep model Zuzana Rošťáková Abstract: In ths work we modfy and valdate the probablstc sleep model (PSM) of Lewandowsk, Rospal and Dorffner (2012). Instead of a sngle channel electrophysologcal (EEG) sgnal we consder nformaton from three spatally dfferent EEG channels represented wth autoregressve model of order 10 or 5. For better detecton of the REM stage we use electromyogram (EMG) sgnal. We analyze and valdate these model extensons by comparng the obtaned posteror curves wth the curves of the orgnal PSM. Fnally, we study and analyze stablty of the PSM tranng step. Addton of EMG to PSM and nformaton from three dfferent EEG channels led to mprove PSM n comparson to orgnal model. We dentfy the best model canddate for our further studes of relatng the sleep process profles wth daytme behavor. Abstrakt: V tejto prác sa zaoberáme zlepšením, resp. rozšírením pravdepodobnostného spánkového modelu (PSM) opísaného v článku Lewandowsk, Rospal a Dorffner (2012). Namesto sgnálu z jednej elektródy sme uvažoval nformáce z troch rôznych EEG kanálov reprezentované cez autoregresný model 10., resp. 5. rádu. Na zlepšene detekce REM stavov sme použl aj nformáce z elektromyogramu (EMG). Rozšírena tohto modelu sme analyzoval a overoval porovnaním krvek posterórnych pravdepodobností s krvkam pôvodného PSM. Nakonec sme analyzoval stabltu PSM v rámc jednotlvých trénovacích behov. Prdane EMG ako aj nformáce z 3 EEG kanálov vedl k zlepšenu PSM oprot pôvodnému modelu. Z vytvorených modelov sme zvoll najlepšeho kanddáta pre ďalše štúde týkajúce sa spojena spánkového proflu s každodenným správaním. Key words: probablstc sleep model, autoregressve model, spectral theory of tme seres, Rechtschaffen & Kales scores. Kľúčové slová: pravdepodobnostný spánkový model, autoregresný model, spektrálna teóra časových radov, Rechschaffen & Kales skóre. 1. Úvod Spánok tvorí neoddelteľnú súčasť žvota každého človeka. Pre normálne fungovane človeka počas celého dňa, ako aj pre zdrave vo všeobecnost, je dôležtá najmä jeho kvalta. Ako však charakterzovať zdravý spánok? Respektíve položme s možno jednoduchšu otázku: Ako charakterzovať spánok vo všeobecnost? V súčasnost sa nelen v oblast medcíny používa delene spánku na nekoľko spánkových stavov v zmysle skórovana, ktoré zavedl Allan Rechtschaffen a Anthony Kales v roku 1968 (tzv. RK skórovane). Na základe spomínaného prístupu delíme spánok na dve základné fázy, tzv. REM a nonrem stavy. REM alebo rapd eye movement stav je charakterstcký svalovým tonusom a, ako už napovedá samotný názov, rýchlym, vedome nekontrolovateľným pohybm očí za zavretým večkam. Táto fáza spánku sa spája so snam a opakuje sa prblžne 3- až 4-krát počas doby spánku. Prvá REM fáza sa zvyčajne vyskytuje prblžne 90 až 120 mnút po zaspatí a trvá oveľa kratše než REM stavy objavujúce sa pred koncom spánkového cyklu. K nonrem stavom zaraďujeme stavy wake, S1, S2, S3 a S4. Wake môžeme ešte častočne defnovať ako stav bdelost. Trvá pomerne krátko, osoba má pr ňom zatvorené oč, avšak je pr vedomí alebo je pomerne jednoduché sa z tohto stavu prebrať. Pr stave S1 môžeme už hovorť o zaspávaní, zataľ čo stav S2 je akýms prechodom medz ľahkým

58 56 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV a hlbokým spánkom. Pôvodné stavy S3 a S4 sa v súčasnost súhrnne označujú ako SWS (slow wave sleep) 5 a reprezentujú hlboký spánok. Naprek tomu, že tento systém sa aj dnes využíva v mnohých oblastach zaoberajúcch sa spánkom, často sa stával terčom krtky. Pomerne často sa ako jeden z jeho nedostatkov uvádza, že uvažuje delene spánku na prílš malý počet fáz a nezohľadňuje možné odlšnost v rámc jednotlvých stavov. Z tohto dôvodu bol snahy o modelovane, resp. charakterzácu spánku rôznym ným metódam, napríklad metódam matematckej štatstky. Jednou z nch je práve pravdepodobnostný spánkový model (PSM) z článku Lewandowsk, Rospal a Dorffner (2012). Autor článku ukázal, že PSM môže prnesť vac doplňujúcch nformácí o štruktúre spánku než samotné RK skórovane. V rámc tejto práce bolo naším ceľom okrem samotného popsu PSM aj jeho rozšírene a možné zlepšene. Všetky výsledky bol porovnané s klasckým skórovaním pomocou RK. K dspozíc sme mal EEG (elektroencephalogram) sgnál z 3 párov elektród Fp1 a Fp2, C3 a C4, O1 a O2. Okrem toho sme sa snažl zapojť do modelu aj EMG (elektromyogram) sgnál z jednej elektródy umestnenej na brade subjektu. 2. Pravdepodobnostný spánkový model PSM sa snaží spánok modelovať pomocou posterórnych pravdepodobností konečného počtu tzv. mkrostavov. Rovnako ako v článku Lewandowsk, Rospal a Dorffner (2012) sme uvažoval 20 mkrostavov. V prvom kroku predspracovana EEG sgnálu dochádza k jeho delenu na 3-sekundové okná. Už tu je možné vdeť rozdel oprot klasckému prístupu cez RK skórovane, kde sa zvyčajne uvažujú 20 až 30 sekundové ntervaly. Na každom zo spomínaných 3-sekundových oken bol pomocou Burgovej metódy odhadnuté koefcenty autoregresného modelu rádu n (AR(n)). Vo vyšše spomínanom článku autor zvoll n = 10, my sme uvažoval 2 prípady: n = 10 a n = 5. Okrem toho sme pomocou počítačového softwaru detekoval tzv. vretenka (angl. spndles), ktoré sú typcké pre stav S2. V prípade vretenok bol na základe dskrmnačnej analýzy rozlšované 4 prípady: 0 = žadny výskyt vretenok, 1 = možný výskyt vretenok, 2 = pravdepodobný výskyt vretenok, 3 = stý výskyt vretenok. Pre každé 3-sekundové okno bola detekovaná prítomnosť artefaktov. Pr prechádzaní jednotlvých EEG sme sa snažl nahradť autoregresné koefcenty a detekované typy vretenok v segmentoch s artefaktam pomocou AR koefcentov a typov vretenok z párovej elektródy 6. Takto nahradené okno bolo potom považované za čsté. Ak to nebolo možné vykonať, t.j. artefakt sa nachádzal na tom stom meste aj v rámc sgnálu z párovej elektródy, ponechal sme údaje získané z EEG prmárnej elektródy, ale príslušné okno bolo označené za chybné a v nasledujúcch výpočtoch sme ho už neuvažoval. V ďalšom kroku sme v prestore autoregresných koefcentov dmenze n odhadl zmes normálnych rozdelení podľa vzorca: 5 podľa AASM (Amercan Academy of Sleep Medcne) 6 V pôvodnom model bola prmárnou elektródou elektróda C3, pod párovou elektródou bola chápaná elektróda C4.

59 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] p(a) = =1 π N(a μ, Σ ), (1) kde a reprezentuje vektor autoregresných koefcentov an(a μ, Σ )označuje dstrbučnú funkcu normálneho rozdelena so strednou hodnotou μ a kovarančnou matcou Σ. π 1, π 2,, π 20 sú tzv. váhy, pre ktoré platí 20 =1 π = 1. Okrem toho autor článku odvodl vzťahy medz mkrostavm PSM a pôvodným spánkovým stavm. Tento krok bol nutný nelen z dôvodu nterpretáce mkrostavov, ktoré ne vždy musa odzrkadľovať klncky jednoznačne defnovaný fyzologcký pôvod, ale aj kvôl snahe porovnať výsledky PSM s RK skórovaním. Pred popísaním samotného trénovaceho algortmu sme s pre zlepšene prehľadnost zavedl nasledovné označena. Latentnú premennú, ktorá charakterzuje mkrostavy, t.j. môže nadobúdať hodnoty 1,...,20, sme s označl z. Pod p R (r z) z článku Lewandowsk, Rospal a Dorffner (2012) rozumeme pravdepodobnosť, že subjekt sa v danom 3-sekundovom segmente nachádza v stave r podľa RK skórovana (r {wake, S1, S2, SWS, REM}) za predpokladu, že sa nachádza v mkrostave z. Pravdepodobnosť, že vretenka v danom okne patra do tredy s, za predpokladu, že subjekt sa práve nachádza v mkrostave z, sme zapsoval v tvare p s (s z). Podľa pravdel elementárnej pravdepodobnost a na základe nezávslost medz vektorom autoregresných koefcentov a, RK skórovaním r a tredou vretenok s platí: Potom p(z, a, r, s) = p(a, r, s z)p(z) = p(z)p(a z)p R (r z)p s (s z). 20 p(a, r, s) = p (z, a, r, s) = p (z)p(a z)p R (r z)p s (s z), (2) z=1 20 z=1 kde p(a z) = N(a μ z, Σ z ), z {1,...,20} z (1) a p(z) = π z, čo možno zapísať aj v tvare: 20 z p(z) = π k k, kde z k = 1, ak latentná premenná z nadobúda hodnotu k, nak z k = 0. Našou úlohou pr trénovaní modelu bolo na základe reálnych dát odhadnúť pravdepodobnost uvedené v (2). Nech N je počet pozorovaní (pod pozorovaním tu rozumeme 3-sekundové okno). V rámc každého pozorovana, {1,..., N}, sme mal k dspozíc vektor autoregresných koefcentov a, RK skóre r a zaradene do tredy vretenok s. Nakoľko PSM je založený na nepozorovanej (latentnej) premennej z, vhodným nástrojom na získane odhadov pravdepodobností uvedených v (2) bol expectaton-maxmzaton algortmus (EM algortmus). Ide o teračný algortmus opakujúc 2 kroky. Uvažujme logartmus verohodnostnej funkce: ln (p(a, R, S, Z Σ, μ, π, p R, p s )) = N n=1 20 =1 = z n [ln π + ln (N(a n μ, Σ )) + ln(p Rn (r )) + ln(p sn (s ))], kde A je matca autoregresných koefcentov, R je vektor RK skóre a S je vektor tred vretenok pre N pozorovaní. Vektory z n = (z n1,... z n20 ), n {1,..., N}, sme spojl do =1 (3)

60 58 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV matce Z. Z dôvodu väčšej prehľadnost sme zvoll skrátené označene μ, Σ, π, p R, p s pre zodpovedajúce neznáme parametre. V prvom kroku (E-kroku) sme odhadl (očakávanú) hodnotu logartmu verohodnostnej funkce (3) s ohľadom na podmenenú pravdepodobnosť (Z X, μ, Σ, π, p R, p s ). V M-kroku sme túto hodnotu maxmalzoval cez všetky možné hodnoty neznámych parametrov μ, Σ, π, P R, P s. Získané odhady neznámych parametrov bol potom použté v ďalšom E-kroku. Podrobnejší pops EM algortmu a prebehu trénovana modelu je možné nájsť v Dodatku A v článku Lewandowsk, Rospal a Dorffner (2012). 3. PSM založený na EEG z vacerých elektród a EMG V článku Lewandowsk, Rospal a Dorffner (2012) bol pr vytváraní modelu uvažovaný len EEG sgnál z centrálnej elektródy C3, resp. C4. Takto vytvorený model sa veľm dobre zhodoval s RK skórovaním, najmä čo sa týka stavov S2 a SWS. Menší problém nastával pr stave REM, pretože PSM detekoval REM stavy aj na začatku noc, ešte pred alebo počas zaspávana, čo je klncky považované za patologcké. Tento nedostatok sme sa snažl odstránť prdaním nformácí z EMG sgnálu do modelu. Okrem toho sme v rámc tvorby a trénovana modelu použl aj EEG sgnály z frontálnych (Fp1, Fp2) a occptálnych elektród (O1,O2). Vedla nás k tomu úvaha, že EEG sgnály z vacerých elektród môžu prnesť vac nformácí o štruktúre spánku a mohl by vesť k zlepšenu PSM. Napríklad už vyšše spomínané spndles (vretenka) sú často pozorované nelen v centrálnej, ale aj vo frontálnej čast mozgu. EEG sgnály sme spracoval analogcky ako v pôvodnom model, t.j. reprezentoval každý 3-sekundový segment pomocou AR(n) a vyhľadal sme spndle a artefakty. Pr použtí vacerých elektród bolo okno vyhlásené za chybné v prípade, že exstoval aspoň jeden pár elektród (frontálnych, centrálnych alebo occptálnych), v ktorom sa artefakt nachádzal v danom okne v EEG sgnáloch oboch elektród. AR koefcenty z jednotlvých elektród sme spojl do jedného vektora dĺžky 3n, resp. 2n, ak sme uvažoval prípad dvoch elektród. Predpokladal sme totž, že jednotlvé EEG sgnály ne sú nezávslé. EMG sgnál bol meraný pomocou elektródy umestnenej na brade subjektu. Táto elektróda zachytávala svalovú aktvtu subjektu počas noc. Pre REM stav je charakterstcký svalový tonus, t.j. stuhnute svalov a následné prudké uvoľnene svalového tkanva pred výskytom REM stavu. Na základe toho sme očakával, že pr pohľade na EMG sgnál predchádzajúc REM stavu by malo dôjsť k nárastu ampltúdy EMG a následne k jej poklesu. Vďaka tomuto predpokladu by model mohol lepše rozpoznávať skutočné REM stavy od mernych pohybov očí a svalovej aktvty na začatku noc. Podobne ako v prípade EEG sgnálu, aj EMG sme rozdell na dsjunktné okná dĺžky 3 sekundy. EMG bolo merané pr frekvencí 200 Hz, t.j. na každú sekundu merana sme mal k dspozící 200 bodov. Otázkou teraz bolo, ako reprezentovať EMG na každom 3- sekundovom segmente. Prvým uvažovaných prístupom bol pops EMG pomocou výberovej varance na každom okne. Vedla nás k tomu úvaha, že výberová varanca by mala dobre zachytávať nárast, resp. pokles ampltúdy EMG. Nakoľko sme však chcel prpojť túto hodnotu pre každý 3- sekundový nterval k vektoru autoregresných koefcentov z EEG, musel sme hodnoty varance v rámc zachovana kontnuty s hodnotam autoregresných koefcentov preškálovať do rozpäta -10 až 10. V tejto fáze prípravy modelu sa tež vyskytl otázky, č je vhodné spájať autoregresné koefcenty EEG s varancou EMG, keď de v podstate o 2 rôzne charakterstky sgnálov. Z toho dôvodu sme zvoll aj ný pohľad na reprezentácu EMG a to práve pomocou

61 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] autoregresných koefcentov. V článku Shokrollah et. al. (2009) autor využl na pops EMG autoregresný model rádu 25, avšak táto hodnota sa nám zdala prílš vysoká. Okrem toho sme musel brať ohľad aj na to, že autoregresné koefcenty EMG budeme prdávať k vektoru AR koefentov z vacerých elektród EEG. Ak by sme zvoll rád AR koefcentov EMG napr. m, pr trénovaní modelu by okrem ného bolo potrebné odhadovať kovarančnú matcu rozmeru (30 + m) (30 + m) resp. (15 + m) (15 + m), čo by pr prílš vysokých hodnotách m mohlo vesť k nestablným odhadom. Z týchto dôvodov sme za m zvoll najskôr hodnotu 2 a potom aj hodnotu 5. Koefcenty autoregresných modelov príslušných rádov bol rovnako ako v prípade EEG odhadované pomocou Burgovej metódy. Pred použtím týchto reprezentácí EMG v model sme chcel overť, ako dobre charakterzujú nárast, resp. pokles ampltúdy EMG. Pre každé 3-sekundové okno sme na základe AR koefcentov a spektrálnej teóre časových radov vypočítal spektrum v rozsahu 10 až 40 Hz. To znamená, že pre každý segment sme získal 31 hodnôt. Jednotlvé 3- sekundové okná sme potom reprezentoval ch medánovou hodnotou. Na Obr. 1 sú vykreslené teto hodnoty pre autoregresné modely 2. a 5. rádu. Okrem toho sme pre porovnane prdal aj varancu a stavy REM detekované na základe RK skórovana. Obr. 1: Porovnane medánových hodnôt spekter AR(2) (modrá farba), AR(5) (červená farba) a varance (zelená farba) EMG. REM stavy detekované pomocou RK sú označené falovou farbou. Z grafu na Obr. 1 je zrejmé, že krvky majú podobný prebeh, rozdely sú len v rámc škály. Pr detalnejšom pohľade na segmenty predchádzajúce REM stavom sa nám ako najlepší prístup javla reprezentáca EMG cez autoregresný model rádu Trénovane modelu a pops dát Pr trénovaní sme uvažoval 4 typy modelu: model bez EMG, model s EMG reprezentovaným cez výberovú varancu, model s EMG reprezentovaným cez AR(2), model s EMG reprezentovaným cez AR(5). Čo sa týka EEG, vytvorl sme model z EEG sgnálu z 1 elektródy (C3, resp. C4), dvoch (C3, O1, resp. C4, O2), resp. všetkých troch elektród. Na trénovane modelu sme použl dáta z projektu Sesta, uvedené v Klösch, Kemp et. al. (2001). Pôvodne sme uvažoval 175 subjektov, pre každého z nch sme mal k dspozíc

62 60 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV merana z dvoch po sebe nasledujúcch nocí. Po spracovaní EEG a EMG sgnálov týchto subjektov, výpočte AR koefcentov a detekc artefaktov, sme vypočítal percentuálny podel artefaktov pre jednotlvé osoby a noc a na základe toho sme sa rozhodl pred trénovaním vylúčť záznamy 2 subjektov z prvej noc. V prípade prvej noc prvého subjektu sme zstl 100 %-ný podel artefaktov pr použtí všetkých troch elektród, v druhom prípade bol podel vyšší ako 50 %. Pr trénovaní modelu sme síce uvažoval len segmenty bez artefaktov, avšak pr vyššom podele artefaktov v EEG zázname sme náchylní pochybovať o vhodnost použta zvyšného záznamu. Nakonec sme teda pr trénovaní použl 348 záznamov, prčom trénovane modelu sme vždy spustl 5-krát. Vytvorené PSM sme potom hodnotl nelen z hľadska porovnana s RK skórovaním, ale aj v rámc stablty spomínaných 5 behov. To znamená, že sme zsťoval, č daných 5 modelov obsahuje tých stých 20 mkrostavov, alebo zakaždým skonvergujú k ným mkrostavom. 5. Porovnane modelov Po natrénovaní sme mal k dspozíc nekoľko modelov. Každý z nch sme porovnal s pôvodným modelom a nakonec defnoval najvhodnejší model pre naše ďalše štúde. V jednotlvých prípadoch sme vždy natrénoval 5 modelov a pr porovnávaní sme použl ch premer pre stavy wake, S1, S2, SWS a REM. Obr. 2: Porovnane pôvodného modelu (modrá farba) s modelom založeným na sgnál z 3 elektród (červená farba) Na Obr. 2 je modrou farbou znázornený pôvodný model s jednou elektródou a červenou farbou model trénovaný na základe 3 elektród, v oboch prípadoch bez EMG. Rozdely sú zreteľné najmä na úplnom začatku a konc noc v rámc stavu wake, ale aj S2, kedy model s 3 elektródam lepše kopíruje RK skórovane než pôvodný model. Ako sme neskôr zstl, prspevajú k tomu najmä nformáce z frontálnych elektród. Vylúčením EEG sgnálu z Fp1, resp. Fp2 z modelu a porovnaním pôvodného modelu a modelu založeného len na zvyšných dvoch elektródach sme opäť zaznamenal zhoršene na začatku a konc merana. Celkovo tak môžeme konštatovať, že použte EEG sgnálov z troch elektród, namesto z jednej, nášmu modelu pomohlo.

63 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] V druhom prípade sme porovnával 2 modely založené len na centrálnej elektróde, prčom v jednom prípade sme uvažoval pôvodný model bez EMG a v druhom EMG reprezentované varancou. Výsledok je uvedený na Obr. 3. Už na prvý pohľad je zrejmé zlepšene nelen v rámc stavu REM, ale aj v stave wake na začatku noc. Model založený na EEG z 2 elektród nadobúdal v úvode noc vyšše hodnoty než pôvodný model a vac sa tak prblížl k RK skórovanu. Na základe toho môžeme skonštatovať poztívny príspevok EMG sgnálu v model. Ďalej sme uvažoval model s 3 elektródam a EMG. Reprezentácu EEG sme vo všetkých 3 prípadoch ponechal na autoregresnom model rádu 10 a EMG postupne charakterzoval cez varancu, AR(2) a AR(5). Všetky 3 modely sme porovnal navzájom a zhodnotl sme, č došlo k zlepšenu alebo k zhoršenu modelu. Výsledok je uvedený na Obr. 4. Porovnane s pôvodným modelom už neuvádzame, nakoľko vyšše sme ukázal poztívny prínos EMG ako aj EEG zo všetkých troch elektród. Obr. 3: Porovnane pôvodného modelu (modrá farba) s modelom založeným na sgnál z C3 a EMG reprezentovaným varancou (červená farba)

64 62 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Obr. 4: Modely s 3 elektródam (AR(10)) a EMG reprezentovanom varancou (modrá farba), AR(2) (žltá farba) a AR(5) (červená farba) Tr modely z Obr. 4 sa vac-menej zhodoval, rozdely sme našl len v prípade REM stavu, kde bol prvý model (varanca EMG) o nečo horší než zvyšné dva. Medz zvyšným dvoma modelm sme mohl rozhodnúť napr. na základe SWS alebo S2 stavu, kde sa model s EMG charakterzovaným cez AR(2) lepše zhodoval s RK skórovaním než posledný spomínaný model. V poslednom kroku sme uvažoval model s 3 elektródam, reprezentovaným však autoregresným modelom rádu 5. V prípade EMG sme vzal do úvahy všetky 3 vyšše spomínané prístupy. Obr. 5: Modely založené na 3 elektródach AR(5) a EMG reprezentovanom varancou (modrá farba), AR(2) (žltá farba) a AR(5) (červená farba)

65 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Opäť nám ako najlepší vyšel model s EMG charakterzovaným cez autoregresný model 2. rádu. Na Obr. 5 s je možné všmnúť, že model s varancou mal opäť problém s REM stavom na začatku noc. Model s EMG AR(2) bol oprot modelu s EMG AR(5) vdteľne lepší v stavoch S2 a SWS. Na poslednom grafe (Obr. 6) je znázornené porovnane posledných dvoch modelov. Oba sú založené na EEG sgnály z 3 elektród a EMG AR(2), len v prvom prípade je EEG reprezentované pomocou AR(10) (zelená farba) a v druhom cez AR(5) (žltá farba). Najlepše sa nám teda javl model, kde EEG bolo popísané pomocou AR(5) v prípade všetkých troch elektród. Tento model bol aj pomerne stablný. Pr porovnaní mkrostavov z jednotlvých patch verzí tohto modelu sme našl až 17 mkrostavov z 20, ku ktorým trénovane vždy dospelo. Obr. 6: Porovnane modelov s 3 elektródam reprezentovaným pomocou AR(10) (zelená farba) a AR(5) (žltá farba) a EMG AR(2) 6. Záver V tomto príspevku sme sa zaoberal rozšírením a zlepšením pravdepodobnostného spánkového modelu opísaného v článku Lewandowsk, Rospal a Dorffner (2012). Postupne sme PSM vytvorl na základe EEG sgnálu z jednej (C3, C4), dvoch (C3, C4, O1, O2) alebo všetkých troch elektród, ktoré sme mal k dspozíc. Porovnaním všetkých vytvorených modelov sme mohl skonštatovať, že model využívajúc všetky 3 elektródy sa lepše zhoduje s RK skórovaním na začatku a konc noc jednotlvých subjektov. Vynechaním frontálnej elektródy z modelu sme zaznamenal zhoršene v rámc stavu wake. Samotné použte 3 elektród namesto jednej však ešte nevyrešlo problém s detekcou REM stavov. Pr pohľade na prebehy nocí jednotlvých subjektov sme síce zaznamenal určté zlepšene oprot pôvodnému modelu, ale ešte stále dochádzalo k detekc REM stavu aj na začatku noc. To nás vedlo k prdanu EMG sgnálu do modelu. EMG sgnál sme reprezentoval pomocou varance, AR(2) a AR(5). Na základe porovnana prebehu varance, spekter jednotlvých autoregresných modelov EMG a REM stavov určených cez RK skórovane, sme usúdl ako najvhodnejšu reprezentácu EMG cez AR(2). Nakoľko však šlo len o subjektívne hodnotene, pr tvorbe modelov sme použl všetky tr spomínané prístupy.

66 64 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Konečným porovnaním všetkých dostupných modelov sa nám ako najlepší javl model s 3 elektródam charakterzovaným cez AR(5) a EMG reprezentovaným cez AR(2). Tento model vykazoval aj pomerne vysokú stabltu čo sa týka trénovana. Lteratúra KLÖSCH, G. KEMP, B. PENZEL, T. SCHÖGL, A. RAPPELSBERGER, P. TRENKER, E. GRUBER, G. ZEITLHOFER, J. SAETU, B. HERRMANN, W.M. HIMANEN, S.L. KUNZ, D. BARBANOJ, M.J. RÖSCHKE, J. VÄRRI, A. DORFFNER, G The SIESTA project polygraphc and clncal database. In: Medcne and Bology Magazne, roč. 20, č. 3, s LEWANDOWSKI, A. ROSIPAL, R. DORFFNER, G Extractng more nformaton from EEG recordngs for a better descrpton of sleep. In: Computer methods and Programs n Bomedcne, roč. 108, č. 3, s RECHSCHAFFEN, A. KALES, A Manual of Standardzed Termnology, Technques and Scorng System for Sleep Stages of Human Subject, U.S. Dept. of Health, Educaton, and Welfare, Bethesda, MD. SHOKROLLAHI, M. KRISHNAN, S. JEWELL, D. MURRAY, B. Autoregressve and Cepstral Analyss of Electromyogram n Rapd Movement Sleep. In: IFMBE Proceedngs, roč. 25, č. 4, s Adresa autorky: Zuzana Rošťáková, Bc., 2. ročník, 2.stupeň Fakulta matematky, fyzky a nformatky Unverzta Komenského v Bratslave zuzana.rošťáková@gmal.com Ústav merana SAV Dúbravská cesta 9, Bratslava

67 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Fnančná ntegráca vs. vonkajša nerovnováha? Aplkáca medznárodnej nvestčnej pozíce Fnancal ntegraton vs. external mbalances? Applcaton of the nternatonal nvestment poston Ľubca Štblárová Abstract: The am of ths paper s to quantfy nternatonal fnancal ntegraton and external mbalances through created volume ndcators. Internatonal nvestment poston was selected as a data source. We use panel data analyss to examne ndcators of fnancal ntegraton n condtons of the European Unon n tme perod Results showed bggest nfluence of economc development and sze of populaton. We also examned mutual relaton between ndcators of fnancal ntegraton and external mbalances. Abstrakt: Ceľom tohto príspevku je kvantfkáca medznárodnej fnančnej ntegráce a vonkajšej nerovnováhy pomocou vyjadrena objemových ukazovateľov. Za zdroj pre výpočet týchto ukazovateľov bol zvolený štatstcký výkaz medznárodná nvestčná pozíca. Na skúmane týchto ukazovateľov sme využl analýzu panelových dát, ktorá bola zameraná na krajny Európskej úne v časovom období Analýzy preukázal, že najväčší vplyv má ekonomcký rozvoj a veľkosť populáce. V závere sme skúmal ukazovatele fnančnej ntegráce a vonkajšej nerovnováhy a ch vzájomný vzťah. Key words: Panel data, nternatonal nvestment poston, fnancal ntegraton, external mbalances, European Unon. Kľúčové slová: Panelové dáta, medznárodná nvestčná pozíca, fnančná ntegráca, vonkajše nerovnováhy, Európska úna. 1. Úvod Otázke medznárodnej fnančnej ntegráce je prkladaná v dnešnej dobe značná pozornosť, č už v celosvetovom meradle alebo v podmenkach Európskej úne. Väčšna štúdí sa zamerava na kvantfkácu fnančnej ntegráce z pohľadu fnančných trhov a sledovana príslušných výnosností (pozr napríklad Baele a kol., 2004; Kehlborn a Metzner, 2005), čím sa overuje zákon jednej ceny, a teda exstenca ntegrovaného fnančného trhu. V rámc nášho príspevku však pre zhodnotene tejto problematky volíme v súčasnost ešte málo v analýzach využívaný výkaz medznárodnej nvestčnej pozíce (Jánošík, 2010). Údaje čerpané z tohto výkazu veme využť nelen na výpočet ukazovateľov fnančnej ntegráce, rovnako tak čstá nvestčná pozíca môže slúžť ako jeden z ukazovateľov vonkajšej nerovnováhy. 2. Metodka práce a. Medznárodná nvestčná pozíca a voľba ukazovateľov Medznárodná nvestčná pozíca poskytuje nformáce o pozící danej krajny voč zahranču z hľadska jej fnančných nvestící, prchádzajúcch a odchádzajúcch zo zahranča. Čím vac cezhrančných fnančných tokov krajna zaznamenáva, tým vac môžeme považovať ntegrácu jednotlvých krajín za ntenzívnejšu (Európska komsa, 2014). Na druhej strane je dôležté, č dané nvestíce vstupujú do krajny (pasíva) alebo smerujú do zahranča (aktíva). Ak prevažujú zahrančné fnančné aktíva nad pasívam, krajna vystupuje voč zahranču ako čstý verteľ, v opačnom prípade ako čstý dlžník (Tab.3). Toto rozlíšene je kľúčové, pretože sa jedná sa o nerovnovážny stav krajny vo vzťahu k zahranču, a teda môžeme čstú nvestčnú pozícu využť aj ako ndkátor vonkajšej nerovnováhy.

68 66 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Tab.3: Štruktúra medznárodnej nvestčnej pozíce Čstá pozíca krajny = Aktíva - Pasíva Aktíva (FA) Pasíva (FL) Prame nvestíce (DIA) Prame nvestíce (DIL) Portfólové nvestíce Portfólové nvestíce majetková časť (PEA) majetková časť (PEL) dlhová časť (PDA) dlhová časť (PDL) Ostatné nvestíce Ostatné nvestíce Rezervné aktíva Zdroj: vlastné spracovane podľa IMF(2009) Prstúpme teda k zadefnovanu jednotlvých ukazovateľov. Ukazovateľ vonkajšej nerovnováhy (tak ako ho používa napr. Európska komsa, 2014) predstavuje rozdel medz celkovým aktívam a pasíva, predelený nomnálnym HDP: Ukazovateľ vonkajšejnerovnováhy VN FA FL (1) HDP nom. Naopak, objemový ukazovateľ fnančnej ntegráce predstavuje súčet aktív a pasív predelený nomnálnym HDP. Pre účely našej analýzy sme okrem základného tvaru vypočítal aj dve modfkáce. V prvej modfkác uvažujeme len s pramym a portfólovým nvestícam, pretože tvora najvýznamnejšu časť, v druhej modfkác upúšťame aj od dlhovej zložky portfólových nvestíc a zameravame sa len na majetkovú časť. Ceľom takejto modfkáce je zstť, ktorý varant najvac odráža stupeň fnančnej ntegráce, resp. prítomnosť ktorých podpoložek je pre posúdene fnančnej ntegráce kľúčová. FA FL Ukazovateľ fn. n. FI I. (2) HDP nom. Ukazovateľ DIA DIL PEA PEL PDA PDL fn. n. FI II. (3) HDP nom. DIA DIL PEA PEL Ukazovateľ fn. n. FI III. (4) HDP nom. b. Analýza a použté údaje V rámc tohto príspevku sa venujeme analýze krajín Európskej úne za časové obdobe , teda za celé obdobe fungovana spoločnej meny, euro. Ukazovatele fnančnej ntegráce a vonkajšej nerovnováhy bol vypočítané na základe údajov z databázy MMF. Z dôvodu extrémnych hodnôt ukazovateľov fnančnej ntegráce sme sa rozhodl z analýzy vylúčť Luxembursko a Írsko. V obdvoch prípadoch merane pomocou objemového ndkátora ne je vhodné, pretože sa domnevame, že neprmerane vysoká zásoba fnančných aktív a pasív ne je spôsobená úrovňou ch fnančnej ntegráce, ale najmä výhodnou daňovou poltkou (pozr napr. Regert, 2013). Hodnoty ukazovateľa FI I. sa pre Luxembursko pohybujú v prebehu sledovaného obdoba od 100 až 160, prčom v ostatných krajnách ne je jeho hodnota vyšša ako 10, čo by mohlo výrazne ovplyvnť našu analýzu. Celkovo sme tak mal k dspozíc 390 pozorovaní za 26 krajín a 15 časových období. Prehľad determnantov, ktoré bol zvolené na základe doteraz publkovaných analýz (pozr napr. Lane a Ferrett, 2008), vrátane ch vyjadrena a zdrojov môžeme vdeť v Tab.4:

69 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Tab.4: Prehľad skúmaných determnantov Vyjadrene Obchodná otvorenosť Export mport HDP Fnančný rozvoj kaptalzáca bankové depoztá Zdroj Internatonal Fnancal Statstcs Trhová World Development HDP Indcators Ekonomcký rozvoj HDP per capta World Bank Veľkosť populáce Celková populáca World Bank Kaptálová otvorenosť Chnn-Ito Index otvorenost Chnn-Ito Index dataset Účasť v ntegračnom zoskupení 1- krajna je členom eurozóny 0- krajna ne je členom eurozóny Zdroj: vlastné spracovane podľa Lane a Ferrett (2008) c. Voľba modelu Ako už vyplýva z opsu použtých údajov, budeme pracovať s prerezovým údajm týkajúcm sa krajín Európskej úne, rovnako tak budeme sledovať ako sa mena v prebehu časového obdoba, teda naša analýza bude zameraná na longtudnálne (panelové) dáta. Pr použtí takéhoto typu údajov môžeme v zásade uvažovať s dvoma typm modelov, a to s modelom fxných efektov alebo modelom náhodných efektov. Predpokladom použta modelu náhodných efektov je nekorelovanosť vysvetľujúcch premenných s náhodnou zložkou. Ak neveme s stotou splnť tento predpoklad, je vhodné využť tzv. opatrnejší prístup a použť model fxných efektov (Želnský, 2013). Dopustíme sa tak menšej chyby pr použtí modelu fxných efektov (ak je zároveň možné použť model náhodných efektov), než by sme použl model náhodných efektov, keď to je neprípustné. V oboch prípadoch rozhodujeme, č sú v model prítomné ndvduálne efekty, časové efekty alebo obdve naraz. Ak sú jednotlvé pozorovana špecfcké, odlšné pre jednotlvé objekty, de o ndvduálne efekty. Ak sa pozorovana líša z dôvodu času, hovoríme o časových efektoch. V našom prípade predpokladáme, že jednotlvé krajny majú špecfká a pozorovana v závslost od nch budú odlšné, teda v model by mal byť významné ndvduálne efekty, čo následne aj otestujeme. Vo všeobecnost takýto model môžeme podľa Wooldrdga (2002) zapísať ako y, t x, t c u, t (5) kde y,t predstavuje vysvetľovanú premennú pre -tu krajnu a časové obdobe t (v našom prípade príslušné ukazovatele), x,t vysvetľujúce premenné pre -tu krajnu a časové obdobe t (vď Tab.4), β regresné koefcenty, u, t náhodnú zložku a c špecfcký efekt pre -tu krajnu (heterogentu) pre =1, 2 N a t=1, 2, T. Uvažujeme s premenným v logartmckom tvare. Na odstránene c z modelu je využívaná transformáca modelu Wthn, pr ktorej nestrácame žadne pozorovane (na rozdel od využta prvých dferencí), od modelu (1) odpočítame výraz: y x c u (6) prčom platí y 1 T y, t T t 1 x 1 T x, t T t 1 Následne dostávame výraz u 1 T u, t T t 1 (7)

70 68 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV x, t x c c u t u y t y, ~ y ~, t x, t u~ ~, t y, t y, t y ~ x, t x, t x u, t u, t u,, (8) po fnálnej úprave ako (9) prčom platí ~. (10) Jednotlvé modely, s ktorým budeme pracovať je potrebné a pror otestovať, č vyhovujú predpokladom kladeným na modely panelových dát. V prvom rade sa jedná o Chowov test tzv. poolablty, na základe ktorého môžeme rozhodnúť, č je potrebné uvažovať s panelovou štruktúrou modelu. Na určene štatstckej významnost ndvduálnych, časových resp. dvojtých efektov bol použtý LM test (Honda), ďalej bolo potrebné vykonať testovane poradovej koreláce pomocou Breusch-Godfrey/Wooldrdgeovho testu poradovej koreláce, Pesaranov CD test prerezovej závslost v paneloch, test jednotkového koreňa (Maddala-Wu test) a Breusch-Paganov test heteroskedastcty (Baltag, 2005). Ako už bolo spomenuté na začatku, budeme uvažovať s modelom fxných efektov, teda volíme opatrnejší prístup. Na rozhodnute aký model použť je v prax využívaný aj tzv. Hausmanov test, avšak ak sa v model potvrdí prítomnosť prerezovej závslost alebo poradovej koreláce, estmátor náhodných efektov ne je efektívny, čo môže vesť k skreslenému výsledku tohto testu (Wooldrdge, 2002). Keďže je to náš prípad, neprstúpme k tomuto testu v našej analýze. Výpočty a odhady modelov bol uskutočnené v prostredí programu R (R Core Team, 2012). Na prácu s panelovým dátam bol použtý balík plm (Crossant a Mllo, 2008), rovnako tak balíky lmtest (Zeles a Hothorn, 2014) a fbascs (Rmetrcs Core Team, 2014). 3. Výsledky a dskusa a. Fnančná ntegráca- súhrnný model Ako prvý bol odhadnutý model fxných efektov pre všetky skúmané krajny a celé sledované obdobe Vysvetľovanou premennou sú postupne ukazovatele FI I., FI II. a FI III., teda uvažujeme s jeho troma varantm. Tab.5: Fnančná ntegráca- testy súhrnných modelov (Modely fxných efektov) Model FI I. Model FI II. Model FI III. test. štat. p-hodnota test. štat. p-hodnota test. štat. p-hodnota Test poolablty 5,764 <0,001 3,279 <0,001 2,690 <0,001 Indvduálne efekty 53,013 <0,001 38,465 <0,001 32,692 <0,001 Časové efekty 1,461 0,129 0,985 0,465 0,939 0,512 Dvojté efekty 74,918 <0,001 48,872 <0,001 34,397 <0,001 Poradová koreláca 3,407 0,001 2,625 0,008 2,941 0,003 Prerezová závslosť 19,660 <0,001 26,862 <0,001 22,586 <0,001 Staconarta 161,42 <0, ,02 <0, <0,001 Heteroskedastcta 15,632 0,016 40,701 <0,001 20,922 0,002 Zdroj: vlastné spracovane Ako môžeme vdeť z Tab.5, modely sme podrobl jednotlvým testom pre modely panelových dát- uvedená je testovaca štatstka a príslušná p-hodnota. Podľa Chowovho testu poolablty platí, že pre všetky tr varanty modelov je potrebné uvažovať s ch panelovou štruktúrou. Rovnako tak sú všetkých troch prípadoch štatstcky významné ndvduálne efekty, časové efekty nevykazujú sgnfkantnosť. Ako štatstcky významné vychádzajú aj dvojté efekty, avšak je to predovšetkým spôsobené slnou významnosťou ndvduálnych efektov, teda ďalej budeme uvažovať len s ndvduálnym efektm.

71 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Keďže je v modeloch prítomná prerezová závslosť, poradová koreláca, rovnako tak aj heteroskedastcta, odhad štandardných odchýlok odhadnutých koefcentov bude skreslený, teda testy významnost odhadnutých koefcentov sú nesprávne. V takomto prípade na posúdene významnost koefcentov použjeme robustnú varačno-kovaračnú matcu (Crossant a Mllo, 2008): Tab.6: Fnančná ntegráca- súhrnné modely (Modely fxných efektov- ndvduálne efekty) Model FI I. Model FI II. Model FI III. odhad β p-hodnota odhad β p-hodnota odhad β p-hodnota obch. otvorenosť 0,094 0,643 0,198 0,307 0,134 0,539 ekon. rozvoj 1,321 <0,001 *** 1,241 <0,001 *** 0,895 <0,001 *** populáca 3,726 <0,001 *** 3,219 <0,001 *** 1,161 0,073. fnančný rozvoj 0,172 0,057. 0,203 0,007 ** 0,439 <0,001 *** kap. otvorenosť 0,066 0,229 0,191 0,003 ** 0,314 <0,001 *** eurozóna- účasť 0,211 <0,001 *** 0,237 <0,001 *** 0,068 0,404 R 2 0,6650 0,7933 0,6475 R 2 korgované 0,6066 0,7497 0,5906 Veľkosť vzorky: n=26, T=15, N=390 Zdroj: vlastné spracovane Označene štatstckej významnost koefcentov: 0 *** ** 0.01 * Veľkosť vzorky: n- počet krajín, T- počet časových radov, N- celkový počet pozorovaní. Budeme teda vychádzať z výsledkov robustnej varačno-kovaračnej matce (Tab.6). Modfkáce ukazovateľa fnančnej ntegráce FI I., FI II. a FI III. ponúkajú odlšné výsledky. Zataľ čo v prvom model so základným ukazovateľom FI I. sú štatstcky významné 3 premenné, a to ekonomcký rozvoj, populáca a účasť v eurozóne (uvažujeme s hladnou významnost 0,05), v treťom model nemôžeme za štatstcky významnú označť premennú účasť v eurozóne, an populácu. Rovnako nemôžeme za významnú označť v prvom na rozdel od ďalších dvoch modelov kaptálovú otvorenosť a fnančný rozvoj. Ako najvhodnejší nám teda pre posúdene fnančnej ntegráce vychádza druhý model s uvažovaným ukazovateľom FI II., pomocou ktorého veme vysvetlť prblžne 79 percent varablty daného ukazovateľa. Ukazovateľ FI I. predstavuje prílš hrubé vyjadrene, obsahuje v sebe zložky, ktoré neodzrkadľujú úroveň fnančnej ntegráce (napríklad rezervné aktíva). Tretí ukazovateľ zase vynecháva dlhovú zložku portfólových nvestíc, ktorá má podstatný vplyv a zastúpene, a teda ne je vhodné ju zanedbať. Z tohto dôvodu, rovnako tak z dôvodu obmedzeného rozsahu príspevku budeme v ďalších analýzach uvažovať už len s FI II. ukazovateľom. Ak sa pozreme na hodnotu jednotlvých odhadnutých regresných koefcentov, dostávame opäť zaujímavé výsledky. Predpokladal sme poztívny vplyv ekonomckého, fnančného rozvoja, kaptálovej otvorenost č účast krajny v eurozóne na príslušný ukazovateľ fnančnej ntegráce, čo sa nám aj potvrdlo. Avšak neočakávaný výsledok dostávame pr premennej veľkosť populáce, ktorá má v našch modeloch najväčší poztívny vplyv na hodnotu ukazovateľa fnančnej ntegráce. Predpokladal sme, že sa preukáže neprama závslosť medz veľkosťou populáce krajny a úrovňou fnančnej ntegráce, pretože populačne menše krajny majú sklon byť obchodne otvorenejše a závslejše na zahrančí, teda mal by mať rozsahlejše kaptálové toky vo vzťahu k zahranču. Avšak na našej vzorke sa tento predpoklad nepotvrdl, na základe nam defnovaných ukazovateľov populačne väčše krajny prejavujú vyššu úroveň fnančnej ntegráce než menše.

72 70 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV b. Častkové modely Z dôvodu rešpektovana nerovnomernej úrovne fnančnej ntegráce v rámc krajín EÚ sme sa rozhodl pre hlbšu analýzu vykonať dezagregácu súhrnného modelu dvoma spôsobm. Prvý spôsob spočíva v rozdelení analyzovaných krajín na 2 skupny- na skupnu EÚ-15 7, ktorú v rámc našej analýzy označíme ako jadro Európy (Core Europe) a druhú skupnu, ktorú budú tvorť neskôr prčlenené krajny, teda tzv. okrajová Európa 8. Pre takéto delene sme sa rozhodl z dôvodu, že pr krajnách EU-15 očakávame vyšší stupeň fnančnej ntegráce oprot neskôr prčleneným krajnám, nakoľko by malo takéto dlhoročné zoskupene zohrávať významnú úlohu. Druhým rozdelením je rozdelene časového obdoba. V súhrnom model analyzujeme celé obdobe , čím abstrahujeme od vplyvu krízy na analyzované dáta. Avšak po roku 2008 môžeme sledovať výrazné zmeny, č už v prípade vysvetľovanej premennej alebo jednotlvých vysvetľujúcch faktorov. Preto preskúmame nakoľko kríza ovplyvňuje daný model. Už z Obr.1 a 2 môžeme vdeť, že krajny EÚ-15 vykazujú oprot neskôr prčleneným krajnám vyšše hodnoty ukazovateľa fnančnej ntegráce. Zataľ čo u krajín EÚ-15 ukazovateľ FI II. dosahuje hodnotu v rozmedzí od 2 po 6, v prípade neskôr prčlenených krajín je úroveň daného ukazovateľa omnoho nžša a nepresahuje hodnotu 2 (s výnmkou Maďarska, Cypru a Malty). Obr.7 a Obr.8: Vývoj ukazovateľa FI II. v krajnách EÚ-15 a neskôr prčlenených krajnách, obdobe (vlastné spracovane) Odhad častkových modelov pr členení krajín môžeme vdeť v Tab.7. V oboch prípadoch sa ako významné potvrdl ndvduálne efekty, rovnako tak sme zaznamenal prítomnosť prerezovej závslost, poradovej koreláce a heteroskedastcty, teda opäť pr posudzovaní významnost odhadovaných koefcentov vychádzame z robustnej varačno-kovaračnej matce. V prípade krajín EÚ- 15 sú v našom model významné 4 parametre, a to ekonomcký a fnančný rozvoj, kaptálová otvorenosť a účasť v ntegračnom zoskupení. V model s neskôr prčleneným krajnam sa premenná fnančný rozvoj nepotvrdla ako významná, oprot tomu však vykazuje štatstckú významnosť premenná populáca. 7 EÚ-15 predstavuje 12 zakladajúcch krajín EÚ- Belgcko (BE), Dánsko (DN), Francúzsko (FR), Talansko (IT), Írsko (IR), Luxembursko (LU), Nemecko (DE), Holandsko (NL), Portugalsko (PR), Veľká Brtána (GB), Španelsko (SP), spolu s Rakúskom (AU), Švédskom (SW) a Fínskom (FI), ktoré prstúpl k EÚ v roku Okrajová Európa : BG- Bulharsko, CY- Cyprus, CZ- Česká republka, ET- Estónsko, HR- Chorvátsko, HU- Maďarsko, LT- Ltva, LV- Lotyšsko, ML- Malta, PO- Poľsko, RO- Rumunsko, SK- Slovenská republka, SV- Slovnsko

73 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Tab.7: Fnančná ntegráca- častkové modely podľa rozdelena krajín (Modely fxných efektov- ndvduálne efekty) EÚ-15 Jadro Európy Neskôr prčlenené krajny odhad β p-hodnota odhad β p-hodnota obchodná otvorenosť 0,088 0,834 0,137 0,211 ekonomcký rozvoj 1,649 <0,001 *** 1,071 0,004 ** populáca 2,900 0,327-0,237 0,005 ** fnančný rozvoj 0,236 <0,001 *** 0,912 0,212 kap. otvorenosť 0,578 0,006 ** 0,200 0,008 ** eurozóna- účasť 0,217 <0,001 *** 0,251 0,009 ** R 2 / R 2 korgované 0,633/0,567 0,764/0,681 Veľkosť vzorky n=13, T=14, N=182 n=13, T=14, N=182 Testy: test. štatstka p-hodnota test. štatstka p-hodnota Indvduálne efekty 22,58 <0,001 27,55 <0,001 Časové efekty 1,328 0,201 1,47 0,129 Dvojté efekty 36,31 <0,001 36,79 <0,001 Poradová koreláca 110,5 <0, ,64 <0,001 Prerezová závslosť 13,56 <0,001 6,219 <0,001 Heteroskedastcta 15,78 0,014 14,264 0,026 Zdroj: vlastné spracovane Na vzorke okrajovej Európy sa nám potvrdl očakávana ohľadom negatívneho vzťahu populáce a fnančnej ntegráce. Rovnako tak vdíme, že práve premenná ekonomcký rozvoj zohráva pr tejto skupne významný vplyv na fnančnú ntegrácu- jedná sa o krajny, ktoré v hlavnej mere prjímajú kaptál zo zahranča, sú závslé na ekonomcky vyspelejších krajnách a čím vac sú ekonomcky výkonné, tým vac sú zaujímavejše pre nvestorov kaptálu, čo sa v konečnom dôsledku odrazí na ch úrovn fnančnej ntegráce. Na druhej strane krajny EÚ- 15 v zásade poskytujú tejto skupne krajín kaptál a sú ekonomcky vyspelejše, rovnako tak sa nachádzajú na vyššej úrovn fnančnej ntegráce. Jedná sa tež o populačne rozsahlejše krajny, a teda predpoklad o nepramej závslost medz populácou a úrovňou fnančnej ntegráce nemohol byť dokázaný. V zásade nám vychádzajú logcké výsledky pr štatstckej významnost premenných, lebo v tejto skupne krajín má štatstcký význam ekonomcký rozvoj, kaptálová otvorenosť, fnančný rozvoj, pretože vo väčšne de o krajny s rozvnutým fnančným systémom čo napomáha ch úrovn ntegráce, rovnako tak účasť v menovej ún. Tá v obdvoch skupnách krajín podporuje ch cezhrančnú kooperácu a zvyšuje tak veľkosť zahrančných fnančných aktív a pasív. Rozdelením časového obdoba sme dostal odlšné výsledky pre obdobe pred krízou a po nej. Od roku 2008 môžeme sledovať odlšný vývoj vysvetľovanej premennej, ako aj skúmaných determnantov. Prepad nastal už v roku 2008, preto sme tento rok zaradl až do druhého časového obdoba. V oboch sledovaných časových obdobach bol potvrdené štatstcky významné ndvduálne efekty. Najlepší výsledok v rámc celej analýzy a potvrdene významnost všetkých skúmaných premenných reprezentuje model všetkých krajín uvažujúc časové obdobe pred krízou- model vysvetľuje prblžne 81 percent celkovej varablty ukazovateľa fnančnej ntegráce (vď Tab.8).

74 72 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Tab.8: Fnančná ntegráca- častkové modely podľa rozdelena času (Modely fxných efektov- ndvduálne efekty) Obdobe Obdobe odhad β p-hodnota odhad β p-hodnota obchodná otvorenosť 0,512 0,007 ** 0,585 0,014 * ekonomcký rozvoj 1,316 <0,001 *** 0,98 0,002 ** populáca 6,359 <0,001 *** 1,472 0,243 fnančný rozvoj 0,156 0,018 * 0,050 0,815 kaptálová otvorenosť 0,196 <0,001 *** 0,166 0,628 eurozóna- účasť 0,327 <0,001 *** -0,095 0,448 R 2 / R 2 korgované 0,818/0,706 0,228/0,164 Veľkosť vzorky n=26, T=9, N=234 n=26, T=6, N=156 Testy: test. štatstka p-hodnota test. štatstka p-hodnota Indvduálne efekty 61,70 <0,001 20,57 <0,001 Časové efekty 1,192 0,304 1,09 0,364 Dvojté efekty 57,14 <0, ,2 <0,001 Poradová koreláca 149,1 <0,001 46,90 <0,001 Prerezová závslosť 3,55 <0,001 19,51 <0,001 Heteroskedastcta 31,86 <0,001 18,91 0,004 Zdroj: vlastné spracovane Pôsobene krízy má zásadný vplyv na skúmané premenné a celý náš model. Ako môžeme vdeť, za štatstcky významné v období môžeme považovať len premenné obchodná otvorenosť a ekonomcký rozvoj. V predchádzajúcch prípadoch sme štatstckú významnosť obchodnej otvorenost okrem tohto časového delena vôbec nezaznamenal, model po kríze celkovo an z pohľadu koefcentu determnáce ne je vyhovujúc. 4. Porovnane fnančnej ntegráce a vonkajšej nerovnováhy Na posúdene vzájomného vzťahu fnančnej ntegráce a vonkajšej nerovnováhy sme na začatok zvoll grafcké znázornene. Na Obr.9 môžeme vdeť vývoj ukazovateľa FI II. a VN v najaktuálnejšom pozorovaní z roku Pre lepšu lustrácu a pochopene ch vzájomného vzťahu je znázornená premerná hodnota ukazovateľa FI II. pre Európsku únu v danom roku, rovnako tak hrančná hodnota pre ukazovateľ VN. Hrančnú hodnotu sme stanovl na úroveň -0,35 na základe odporúčana Európskej komse. V prípade, že krajna dosahuje nžšu hodnotu, vonkajša nerovnováha je v značne krtckom pásme (Európska komsa, 2014). V sledovanom období vdíme, že sa prejavuje stá závslosť medz ukazovateľom fnančnej ntegráce a vonkajšej nerovnováhy. Nam vytvorené hrance vytvárajú vo väčšne prípadov pravdlo, že ak je krajna v značnej nerovnováhe, jej ukazovateľ fnančnej ntegráce je nžší ako premer, resp. krajna s vysokou úrovňou fnančnej ntegráce nevykazuje výraznejšu vonkajšu nerovnováhu. Čže nedostávame sa do stuáce trade-off, keď by mala krajna snahou zvýšť fnančnú ntegrácu vykazovať vyššu vonkajšu nerovnováhu. Pre posúdene vzájomného vzťahu týchto dvoch ukazovateľov sme sa ďalej rozhodl ísť cestou skúmana determnantov, ktoré ovplyvňujú dané ukazovatele a cez ne sa pokúsť odvodť vzájomnú spojtosť. Ak sa preukázal v prechádzajúcch analýzach štatstcký význam daných premenných v prípade fnančnej ntegráce, zaujíma nás, č budú vykazovať štatstckú významnosť aj v prípade vonkajšej nerovnováhy.

75 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Obr.9: Porovnane ukazovateľov FI II. a VN, rok 2013 Použjeme obdobný model, avšak v tomto prípade vysvetľovanou premennou bude ukazovateľ vonkajšej nerovnováhy. Robíme tak z toho dôvodu, aby sme dentfkoval, č exstuje spojtosť medz vplyvom faktorov na fnančnú ntegrácu a vonkajšou ntegrácou, resp. č pôsoba v rovnakom alebo odlšnom smere. Výsledky sa vzťahujú k modelu všetkých krajín EÚ pre časové obdobe do krízy ( ), keďže pr danom model sme dosahl najlepše výsledky (neuvádzame už vykonané testy, opäť vychádzame z varačno-kovaračnej matce kvôl prítomnost poradovej koreláce, prerezovej závslost a heteroskedastcty). Tab.9: Porovnane fnančnej ntegráce a vonkajšej nerovnováhy (Modely fxných efektovndvduálne efekty) Fnančná ntegráca Vonkajša nerovnováha odhad β p-hodnota odhad β p-hodnota obchodná otvorenosť 0,512 0,007 ** 0,573 0,004 ** ekonomcký rozvoj 1,316 <0,001 *** 4,8e-05 0,022 * populáca 6,359 <0,001 *** -4,2e-08 0,080. fnančný rozvoj 0,156 0,018 * -3,5e-03 0,049 * kaptálová otvorenosť 0,196 <0,001 *** -0,199 0,049 * eurozóna- účasť 0,327 <0,001 *** -0,373 0,031 * R 2 / R 2 korgované 0,818/0,706 0,562/0,503 Veľkosť vzorky n=26, T=9, N=234 n=26, T=9, N=234 Zdroj: vlastné spracovane Výsledky po predchádzajúcej grafckej analýze sú o trochu zaujímavejše, potvrdla sa významnosť všetkých determnantov okrem populáce. Čím je ukazovateľ vonkajšej nerovnováhy nžší, tým je stuáca horša, teda ak by bol koefcenty pr determnantoch kladné, nárast premenných by neprehlboval nerovnováhu. To však nemôžeme tvrdť pr premenných fnančný rozvoj, kaptálová otvorenosť, č účasť v eurozóne, výsledky na základe skúmaných determnantov je ťažko zovšeobecňovať na vzájomný vzťah fnančnej ntegráce a vonkajšej nerovnováhy. Vdíme, že medz nm exstujú prepojena, avšak ch vzájomné hodnotene s vyžaduje hlbšu analýzu.

76 74 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV 5. Záver Aj keď sme dosahl odlšné výsledky pr rôznych častkových varantoch modelu, analýzy preukázal, že najväčší vplyv na úroveň fnančnej ntegráce z daných determnantov má veľkosť populáce a ekonomcký rozvoj meraný ako HDP per capta. Pre obmedzenú dĺžku príspevku sme v závere len jednoduchou obmenou modelu poukázal na možný vzájomný vzťah ukazovateľov fnančnej ntegráce a vonkajšej nerovnováhy meraných na základe MIP. Predmetom ďalšeho skúmana bude preto blžša analýza štruktúry jednotlvých zahrančných fnančných aktív a pasív krajny, prdane nových premenných do modelu pr posudzovaní vonkajšej nerovnováhy a fnančnej ntegráce, rovnako tak úprava modelu na jeho dynamckú podobu. Lteratúra BAELE, L. a kol Measurng fnancal ntegraton n the euro area. Frankfurt: ECB. BALTAGI, B. H Econometrc Analyss of Panel Data- Thrd edton. Chchester: John Wley & Sons. ISBN CROISSANT Y. MILLO, G Panel Data Econometrcs n R: The plm Package. In: Journal of Statstcal Software, roč. 27, č. 2, s ISSN EUROPEAN COMMISSION Alert Mechansm Report 2014 [onlne]. EC: Brussels. Dostupné na:< 2014_en.pdf>. IMF Balance of Payments and Internatonal Investment Poston Manual. Washngton: Internatonal Monetary Fund. ISBN JÁNOŠÍK, P Medznárodná nvestčná pozíca. In: Batec, roč. 18, č. 5, s KIEHLBORN, T. MIETZNER, M EU fnancal ntegraton: Is there a 'core Europe'? [onlne]. Frankfurt. [ct ]. Dostupné na:< papers.cfm? abstract_d=675822>. LANE, P. R. MILESI- FERRETTI, G. M The Drvers of Fnancal Globalzaton [onlne]. Washngton: IMF. [ct ]. Dostupné na:< annual_mtg_ papers/2008/2008_576.pdf>. R CORE TEAM R: A language and envronment for statstcal computng. Vedeň: R Foundaton for Statstcal Computng. ISBN RIEGERT, B Luxembourg: the EU's top tax haven. Deutsche Welle. RMETRICS CORE TEAM Rmetrcs - Markets and Basc Statstcs [onlne]. [ct ]. Dostupné na:< WOOLDRIDGE, J. M Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data. Cambrdge: The MIT Press. ISBN ZEILEIS, A. HOTHORN, T Testng Lnear Regresson Models [onlne]. [ct ]. Dostupné na:< ŽELINSKÝ, T Envronmentálna Kuznetsova krvka a pozíca Slovenska a Českej republky v Európskej ún. In: E+M Ekonome a Management, roč. 16, č. 3, s Informáce o autorov: Ľubca Štblárová, Bc. Ekonomcká fakulta Techncká unverzta v Košcach 2. ročník, 2. stupeň lubca.stblarova@gmal.com

77 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Modelovane daňovej konkurence/kooperáce v systéme dvoch krajín Tax competton/cooperaton modellng n two countres system Martn Zorčák Abstract: Poor condton, as well as the development of publc fnances currently forcng the countres to consoldaton of t. Process of consoldaton n the publc fnance s accompaned wth changes n tax polcy, where country decdes whether to jon to other countres to create coherent system t s the case of tax coordnaton, resp. harmonsaton or on the another hand country mght choose to compete wth other countres wth ts own tax polcy. In the paper, we examne a model, whch conssts of set of rules of behavour for countres on the bass of economc ndcators. Results mply that t s better for country to focus on tax cooperaton, where countres establsh equlbrum wth hgher tax rate. Abstrakt: Nepraznvý stav, ako aj vývoj verejných fnancí v súčasnej dobe nút krajny k ch konsoldác. Konsoldáca verejných fnancí je sprevádzaná zmenou daňovej poltky, kde sa krajna môže rozhodnúť, č sa zapojí do vytvárana jednotnejšeho systému vacerých krajín teda do daňovej koordnáce, resp. harmonzáce alebo bude ostatným krajnám konkurovať svojou daňovou poltkou. V článku sme skúmal model, v ktorom bol vytvorené pravdlá správana sa krajín na základe ekonomckých ukazovateľov. Výsledky použtého modelu naznačujú, že pre krajny je výhodnejše zamerať sa na daňovú kooperácu, pr ktorej sa krajny vytvora rovnováhu pr vyššej daňovej sadzbe. Key words: tax competton, tax cooperaton, tax harmonsaton, economc model, moble tax base. Kľúčové slová: daňová konkurenca, daňová kooperáca, daňová harmonzáca, ekonomcký model, moblný daňový základ. 1. Úvod Krajny na celom svete ctlvo nastavujú svoje daňové systémy, ako súčasť hospodárskych poltík. Daňovou poltkou môže krajna výrazne zmenť ekonomcké prostrede v rámc vnútra krajny, ale č už úmyselne, alebo neúmyselne, pôsobí aj na ostatné krajny. Zmeny daňových systémov sú o to podstatnejše v krajnách, ktoré sú nejakou formou zoskupené, č už de o OSN, OECD alebo EÚ (Tanz, V. Davood, H 1995). Čím užše zoskupene, tým väčší dopad má každá zmena na ostatných členov zoskupena. V zoskupenach ako je Európska menová úna, kde menová poltka je pod centralzovanou kontrolou ECB, je fškálna, resp. daňová poltka jedným nástrojom, ktorým krajna ve ovplyvňovať ekonomku svojej krajny. Zoskupena sa preto môžu rozhodnúť uplatnť jednu z dvoch stratégí a to buď daňovú konkurencu, alebo daňovú kooperácu (Troeger, V. E. 2013). 2. Teoretcké aspekty Daňová konkurenca K daňovej konkurenc môže dochádzať tam, kde subjekty môžu alokovať svoje zdroje, resp. môže dôjsť k presunu samotných subjektov do jursdkcí s nžším daňovým zaťažením oprot domácej, pôvodnej krajne. V tomto bode treba podotknúť, že nezáleží od nomnálnej daňovej sadzby, ale od efektívnej daňovej sadzby. Efektívna daňová sadzba zohľadňuje nomnálnu daňovú sadzbu, ako aj daňovú základňu, teda predmet zdanena. Efektívna daňová sadzba je vhodná aj na medznárodné porovnávana a má lepšu vypovedacu schopnosť ako nomnálna daňová sadzba. Dobrým príkladom je daňová poltka v USA (Desa, M. A. 2012), kde došlo k zníženu nomnálnej daňovej sadzby, ale zároveň došlo k rozšírenu daňovej

78 76 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV základne, aby pokryla čo najväčšu časť hospodárstva. Daňová konkurenca sa týka hlavne moblných základov dane, de hlavne o príjmy z fnančného kaptálu, zsky spoločností a pod (Láchová, L. 2007). Daňovú konkurencu môžeme členť na (Kovács, L. 2005): poctvú - vyplývajúcu z rozdelnej úrovne celkového daňového zaťažena obyvateľstva, ktorá je výsledkom preferencí volčov, ktoré prkladajú stupn zabezpečovaných verejných statkov, škodlvú - ak je zameraná na preťahovane zahrančného kaptálu (daňových základov) a vytvára tak podmenky pre nezamestnanosť, spornú taká, ktorá sa hlavne týka vlažnost odovzdávana daňových nformácí a prípadne prelomena bankového tajomstva. Daňová kooperáca a harmonzáca Spolupráca krajín v oblast daňovej poltky môže byť na rôznych úrovnach, v závslost od vacerých faktorov, ako napríklad už spomínané členstvo v zoskupenach, ekonomcká stuáca krajny, ale aj hospodársky cyklus. Prvým stupňom je daňová kooperáca. Daňová kooperáca je typcká pre zóny spoločného, resp. voľného obchodu, vo vnútr OECD, MMF ako aj pre EÚ. Jej podstatou sú blaterálne a multlaterálne modely zdanena s ceľov obmedzť arbtrážne obchody, stanovujú sa odporúčana napríklad prot škodlvej daňovej konkurenc. Základné prvky sú transparentnosť a nformovanosť štátov o príjmoch rezdentov (Nerudová, D. 2005). Druhým, hlbším stupňom je daňová harmonzáca. Tá predstavuje tému vacerých dskusí členských štátov EÚ, v snahe o harmonzácu daňových systémov vo vnútr EÚ. Avšak kroky v poslednej dobe naznačujú odklon od tejto stratége z dlhodobejšeho hľadska. Dôvodom je, že ceľ harmonzáce je zblžovane a prspôsobovane jednotlvých daní v rámc zoskupena, ako aj daňových systémov na základe spoločných pravdel, na základe čoho by jednotlvé štáty pršl o ďalšu časť autonóme (Nerudová, D. 2005). 3. Ekonomcký model Použtý model predstavuje teoretcké východsko pre skúmane dopadov daňovej konkurence. Model uvažuje o dvoch krajnách, medz ktorým je možné presúvať kaptál bez obmedzení. Subjektm modelu sú dve krajny a frma, o ktorej kaptál súpera dané krajny. Krajny Každá z krajín formuluje vlastnú daňovú poltku a sleduje produkt krajny (1), daňové príjmy (2), nvestíce do nfraštruktúry (7), úrokovú meru 9 (8), dlh (9), bohatstvo (10), defct a daňovú sadzbu krajny (obr. 1). Základným východskom pre krajnu je maxmalzáca bohatstva krajny, pr čo najvyšších daňových príjmov a najnžšom dlhu, resp. zachovaní pomeru medz daňovým príjmam a dlhom. Model uvažuje krajnu ako 100 % raconálny subjekt, čo sa odráža na tom, že celé daňové príjmy nvestuje do nfraštruktúry a jej hlavným ceľom je maxmalzáca bohatstva krajny (nemá teda postranné, poltcké zámery). Súčasťou 9 Pre porovnane je vhodnejše použť reálnu úrokovú sadzbu, aby sme porovnane mohl uskutočnť v stálych cenách. Z toho dôvodu sme fxoval úrokovú sadzbu krajny B a úroková sadzba krajny A je tak navazaná na cenovú hladnu v krajne B.

79 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] modelu sú parametre a potencálny produkt t-tej krajny, d odpsová sadzba v -tej krajne, r 2 úroková mera krajny B. Y t = a. (1 e K ), (1) R t = τ t. Y t, (2) Π t = [2 max ( Ynf j t Ynf, 2)]. Y t R t, (3) t Π t = Π t + Π t, (4) = Π t. j, (5) τ t +τ t I t+1 τ t j K t+1 = max{[(1 d ). K t + I t ], 0}, (6) Ynf t+1 = (1 d ). Ynf t + def t. R t, (7) r t+1 = ( Dlh j j j t +(deft 1).Rt Dlh t +(def t 1).R ), (8) t Dlh t+1 = [Dlh t + (def t 1). R t ]. r t+1, (9) W t+1 = K t+1 + Ynf t+1 Dlh t+1. (10) Krajny na dosahnute maxmálneho blahobytu môžu upravovať dva parametre, ktoré sú v kompetencí ch vlád. Krajny môžu upravovať daňovú sadzbu a koefcent defctu, čím aktívne môžu menť hospodárene krajny, ako aj výsledný blahobyt. Rozhodovací proces krajín je zobrazený v obr. 2. Základným prvkom rozhodovaceho procesu pre daňovú sadzbu, ako aj pre defctný koefcent je vzťah podelu daňový príjmov na dlhu krajny v období t a t +1. Pr sledovaní tohto ukazovateľa je krajna schopná v relatívne krátkej dobe reagovať na zmeny v ekonomke. Ako už bolo uvedené, základným ceľom krajny je maxmalzáca blahobytu. Použtím vybraných ukazovateľov ve krajna reagovať rýchlejše na menace sa prostrede oprot prípadu, ak by sa rozhodovala na základe zmeny blahobytu. Rozhodovace krtéra pre výpočet zmeny defctného koefcentu: τ t+1 = def t+1 = { 0,9. def t, 1,1. def t, { { 0,98. τ t, τ t > τ t 1 τ t, τ, t τ t 1 1 0,98. τ t, R t Dlh t R t Dlh t > R t 1 Dlh t 1 R t 1 Dlh t 1 Rozhodovace krtéra pre výpočet zmeny daňovej sadzby: R t Dlh t R t Dlh t > R t 1 Dlh t 1 R t 1 Dlh t 1 Obr. 26: Rozhodovace procesy pre defctný koefcent a daňovú sadzbu

80 78 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV V model vystupujú premenné: Y t - produkt -tej krajny v čase t, R t - daňové príjmy -tej krajny v čase t, Π t, Π t - celkový zsk,zsk v -tej krajne v čase t, - nvestíce -tej krajny v čase t, I t+1 K t - kaptál -tej krajny v čase t, Ynf t - nvestíce do nfraštruktúry -tej krajny v čase t, r t - úroková sadzba v čase t, Dlh t - dlh -tej krajny v čase t, W t - bohatstvo -tej krajny v čase t, τ t - daňová sadzba -tej krajny v čase t, def t - defctný koefcent -tej krajny v čase t. Frma Frma vystupuje v model ako reprezentatívny subjekt, ktorý dsponuje moblným základom dane vo forme kaptálu. Východskom je, že frma začína z určtým objemom kaptálu, ktorý môže zvyšovať cez nvestíce. Frma vytvára zsk, na ktorého výšku pôsobí nfraštruktúra produkt ako aj daňové výnosy(daňové zaťažene z pohľadu frmy). Tento zsk ve následne frma presúvať medz jednotlvým krajnam a rozhoduje sa ba na základe daňovej sadzby, teda presúva ho tam, kde ho ve lepše zhodnotť. 4. Aplkáca modelu a výsledky Po aplkovaní vyšše uvedených vzťahov v časovom horzonte 50 období sme získal vývoj jednotlvých ukazovateľov a vzťahy medz ukazovateľm, ako aj krajnam navzájom. V model bol nasledovné parametre prednastavené, ch počatočné hodnoty pre obdobe t = 1 sú uvedené v tab. 1. Tab. 5:Počatočné hodnoty parametrov a premenných Parameter/Premenná Hodnota a 1, a 2 5,0 d 1, d 2 0,2 r 1, r 2 1,0 K 1, K 2 5,0 I 1, I 2 1,0 Ynf 1, Ynf 2 1,0 Dlh 1, Dlh 2 1,0 def 1, def 2 1,1 τ 1, τ 2 0,2 W 1, W 2 1,0 R 1, R 2 0,0

81 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Produkt Produkt oboch krajín (obr. 2) sa v prebehu prvých patch období dostal na úroveň potencálneho produktu. Vývoj kaptálu, ktorý pramo vplýva na výšku produktu prestáva od určtého objemu vplývať na vývoj produktu v danej krajny. Tento fakt je zreteľný, nakoľko ako je ďalej ukázané (obr. 6), kaptál po 20 období začne klesať, avšak tento pokles sa neprejaví na produkte krajín. Túto skutočnosť môžeme vysvetlť tak, že ak krajna, ktorá sa orentuje na kumulovane kaptálu, prekročí určtý objem, ktorý ve daná ekonomka absorbovať, prestane kaptál vplývať na produkt danej krajny. Obr. 27: Produkt krajny A a B Daňové výnosy Z vyšše uvedeného vzťahu pre daňové výnosy (2) môžeme konštatovať, že te tvora určtý podel z produktu v závslost od daňovej sadzby. Vývoj daňových príjmov(obr. 3), ako môžeme vdeť, závsí od 5 obdoba (keď obe krajny dosahl potencálny produkt) sú v plnej mere závslé od daňovej sadzby. Obr. 28: Daňové príjmy krajny A a B

82 80 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Zsk frmy Frma generuje v oboch krajnách zsk, ktorý následne prerozdeľuje formou nvestící. Zsk závsí od produktu, daňových príjmov ale aj pomerového ukazovateľa nfraštruktúry oboch krajín, ktorý odzrkadľuje podmenky, za akých v danej krajne dosahuje spoločnosť zsk v porovnaní s nou krajnou. Prebeh tvorb zsku je zobrazený v obr. 4 Obr. 29: Zsk frmy v krajne A, B a celkový zsk Investíce frmy Investíce sú ovplyvňované dvoma atrbútm a to výškou zsku, ktorý frma dosahla a daňové sadzby v jednotlvých krajnách. Nárast daňových sadzeb, ktorý sa odzrkadľuje v zvýšení daňových príjmov (obr. 5) a následne v poklese zsku frmy, má negatívny dopad na vývoj objemu nvestící v oboch krajnách. Frma umestňuje celý svoj zsk vo forme nvestící do krajny A alebo B. Z toho dôvodu tu nedochádza k špekulatívnym dôvodom poklesu nvestící, tento pokles je výlučne spôsobený poklesom dsponblného zsku. Obr. 30: Investíce v krajne A a B Kaptál frmy Na výšku kaptálu frmy v danej krajne vplýva výška odpsovej sadzby, ktorá je v kompetenc krajny a výška nvestící, o ktorých rozhoduje frma, avšak nepramo na ne vplýva aj krajna prostredníctvom daňovej poltky(konkrétne pomerom daňovej sadzby voč

83 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] druhej krajne). Pre zachovane konštantnej výšky kaptálu je potrebné, aby výška nvestíc bola rovná výške odpsom. Keďže,ako už oblo vyšše uvedené, objem nvestící začne klesať, tento pokles sa prejaví aj vo výške kaptálu v oboch krajnách (obr. 6). Pokles kaptálu je však oneskorený, nakoľko maxmálna výška nvestící je nad spomínaným rovnovážnym bodom. Obr. 31: kaptál v krajne A a B Infraštruktúra krajny V našom model uvažujeme, že krajny sa správajú 100 % raconálne. Úplná raconalta sa prejavuje v rozhodovaní použta daňových príjmov a to buď na tvorbu novej nfraštruktúry, alebo na splatene defctu 10. Na základe obr. 4 a obr. 7 môžeme konštatovať, že exstuje závslosť medz zskom frmy v danej krajne a nvestícam do nfraštruktúry. Príčnou tejto závslost je zmena daňovej sadzby. Obr. 32: Investíce do nfraštruktúry v krajne A a B 10 K splácanu defctu dochádza v prípade, ak koefcent defctnej sadzby je menej ako 1.

84 82 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV Dlh krajny Predpokladom modelu je, že exstujú dve krajny v uzavretom systéme. Z uvedeného vyplýva, že jedna krajna vystupuje v pozíc verteľa (v našom prípade de o krajnu A) a druhá krajna v pozíc dlžníka (krajna B). Túto skutočnosť môžeme pozorovať v nverznom vývoj dlhu jednej krajny vzhľadom na dlh druhej krajny (obr. 8). Obr. 33: Dlh krajny A a B Bohatstvo krajny Model uvažuje o troch velčnách vplývajúcch na bohatstvo krajny, teto velčny sú kaptál, nvestíce do nfraštruktúry a dlh krajny. Snahou krajny je maxmalzáca bohatstva krajny. Maxmalzácu môže dosahnuť pramym ovplyvňovaním dlhu prostredníctvom defctnej sadzby alebo nvestícam do nfraštruktúry cez zmenu daňovej sadzby. Do určtej mery ve krajna nepramo ovplyvnť aj výšku kaptálu nastavením daňovej sadzby s ohľadom na daňovú sadzbu druhej krajny. V súčasnej mplementác sa však krajna rozhoduje výhradne na základe vnútornej stuáce (na základe podelu daňových príjmov na dlhu krajny) pr určení daňovej sadzby. Ako môžeme vdeť na obr. č. krajna A dosahuje vyššu úroveň bohatstva 90 % sledovaného obdoba. Vyšša úroveň bohatstva je spôsobená praznvejším výsledkam kaptálu, ako aj dlhu (presnejše záporného dlhu nakoľko de v danom systéme o verteľa). Počatočný poztívny vývoj v oblast nvestící do nfraštruktúry ako aj verteľská pozíca má slnejší vplyv ako nžša úroveň nvestící do nfraštruktúry v ostatnom období (obr. 9). Obr. 34: Bohatstvo krajny A a B

85 VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA [COMPUTATIONAL STATISTICS] Defctný koefcent Defct oboch krajín oscluje prblžne okolo hodnoty 1 (obr. 10). Premerný defctný koefcent za sledované obdobe je v krajne A 0,955, krajne B 0,996, z čoho vyplýva že z dlhodobého hľadska krajny hospodára s vyrovnaným rozpočtom. Obr. 35: Defctný koefcent krajny A a B Daňová sadzba Daňová sadzba oboch krajín za sledované obdobe prevažne raste, exstujú však určté hladny, na ktorých sa dočasne ustál (obr. 11). Obr. 36: Daňová sadzba krajny A a B

86 84 PREHLIADKA PRÁC MLADÝCH ŠTATISTIKOV A DEMOGRAFOV 5. Záver V modelovanom systéme dvoch krajín sa jedna z krajín vyprofluje do pozíce verteľa a druhá krajna do pozíce dlžníka. Verteľská pozíca prnáša krajne vacero výhod a to v prvom rade vyšše bohatstvo krajny. Ďalšou výhodou je väčší prestor v možnost zadlžena sa cez vyšší defctný koefcent v prvých obdobach, ako aj vyšše daňové príjmy. Vývoj oboch krajín je však podobný a je vdteľná závslosť krajín na sebe, napr. v oblast presúvana kaptálu, ako aj fnancovana dlhu. Lteratúra LÁCHOVÁ, L Daňové systémy v globálním světě. 1. vyd. Praha: ASPI NERUDOVÁ, D Harmonzace daňových systémů zemí Evropské une. Praha: ASPI KOVÁCS, L Tax harmonsaton versus tax competton n Europe. SPEECH/05/624. Dostupné na: TANZI, V. DAVOODI, H Corrupton, Publc Investment, and Growth. WP/97/139. Dostupné na: TROEGER, V. E Tax Competton and the Myth of the Race to the Bottom. Dostupné na: VARTIA, L How do Taxes Affect Investment and Productvty? An Industry-Level Analyss of OECD Countres. OECD workng papers: Eoconomc Department workng papers. Vydane 656. Dostupné na: DESAI, M. A A Better Way to Tax U. S. Busnesses. Dostupné na: KOMJATIOVÁ, G Daňová konkurenca a daňové prspôsobovane v Európskej ún. Dplomová práca. Košce: TUKE, EkF Adresa autora: Martn Zorčák, Bc. Ekonomcká fakulta Techncká unverzta v Košcach 2. ročník, 2. stupeň martn.zorcak@student.tuke.sk

87

88

89

90