Zbierka úloh z Matematiky 2

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky Zbierka úloh z Matematiky Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 09

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky Zbierka úloh z Matematiky Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 09

Recenzovali: RNDr. Miriam Andrejiová, PhD. doc. RNDr. Viktor Pirč, CSc.. vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedajú autori. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou. c Anna Grinčová, Jana Petrillová ISBN 978-80-55-6-

Obsah Úvod 6 Nekonečné rady 7. Pojem nekonečného číselného radu a jeho súčet................. 7. Harmonický a geometrický rad........................... 8. Kritériá konvergencie číselných radov....................... 9.4 Funkcionálne a mocninové rady.......................... Diferenciálny počet funkcie viacerých premenných 6. Funkcia n premenných............................... 6. Parciálne derivácie funkcie n premenných..................... 7.. Parciálne derivácie zloženej funkcie.................... 9.. Dotyková rovina............................... 40. Lokálne extrémy funkcie n premenných...................... 4.4 Viazané extrémy funkcie dvoch premenných................... 44 Diferenciálne rovnice 57. Diferenciálne rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými....... 57. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu.................... 59. Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi... 6 4 Funkcia komplexnej premennej 75 4. Analytická funkcie a derivácia funkcie komplexnej premennej.......... 75 4. Rezíduum funkcie.................................. 77 4. Integrál funkcie komplexnej premennej...................... 78 5 Laplaceova transformácia 86 5. Laplaceova transformácia.............................. 86 5. Spätná Laplaceova transformácia......................... 9 5. Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou spätnej Laplaceovej transformácie.. 9 Použitá literatúra 99

6 Úvod Táto učebná pomôcka je určená pre študentov prvého ročníka bakalárskej formy štúdia Fakulty elektrotechniky a informatiky Technickej univerzity v Košiciach (FEI TU), ale môže poslúžiť aj študentom iných fakúlt. Učebnica je rozdelená do piatich kapitol, ktoré obsahujú základné teoretické poznatky potrebné k riešeniu príkladov, vzorové riešené aj neriešené úlohy k učivu, ktoré je preberané v predmete Matematika II. Cieľom tejto učebnej pomôcky nebolo podať ucelený teoretický prehľad riešenej problematiky, preto je vhodné kombinovať používanie tejto učebnice s vysokoškolskou učebnicou Matematická analýza II autorov Jozef Džurina, Anna Grinčová a Viktor Pirč aj s voľne dostupnými e-learningovými materiálmi Katedry matematiky a teoretickej informatiky FEI TU v Košiciach. Na záver ďakujeme RNDr. Miriam Andrejiovej, PhD. a doc. RNDr. Viktorovi Pirčovi CSc. za starostlivé prečítanie rukopisu a za cenné pripomienky, ktorými prispeli k zlepšeniu textu tejto učebnice. Zároveň sa chceme vopred ospravedlniť za možné jazykovo-štylistické chyby, pretože daný text neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou.

7 Nekonečné rady. Pojem nekonečného číselného radu a jeho súčet Definícia. Nech {a n } je postupnosť reálnych čísel. Potom výraz a n = a + a + + a n + nazývame nekonečný číselný rad, kde číslo a n nazývame n tým členom nekonečného číselného radu. Definícia. Postupnosť {s n } definovanú s = a, s = a + a, s = a + a + a,..., s n = a + a + + a n nazývame postupnosť čiastočných súčtov. Definícia. Ak existuje konečná ita s = s n, tak číslo s nazývame súčtom radu a n a hovoríme, že rad a n je konvergentný. Označujeme s = a n. Definícia.4 Ak neexistuje konečná ita s n, tak je rad a n divergentný. Definícia.5 Ak je nekonečný číselný rad a n = a + a + + a n + konvergentný, tak hovoríme, že nekonečný číselný rad a n je absolútne konvergentný. Definícia.6 Ak je nekonečný číselný rad a n konvergentný a rad a n je divergentný, tak hovoríme, že nekonečný číselný rad a n je relatívne konvergentný. Veta. Ak je rad a n absolútne konvergentný, tak je rad a n konvergentný. Veta. (Nutná podmienka konvergencie nekonečného číselného radu) Ak je rad a n konvergentný, tak a n = 0. Príklad. Nájdime súčet radu n + n +. Riešenie: Najprv urobíme rozklad n tého člena radu na súčet elementárnych zlomkov. Z toho vyplýva n + n + = (n + )(n + ) = ( n + ). n +

8 NEKONEČNÉ RADY Teda n tý čiastočný súčet je ( s n = ) ( + ) ( + 4 4 ) ( + + 5 n ) ( + n n ) ( + n + n + ). n + Vidíme, že niektoré členy sa odčítajú, preto po úprave dostaneme s n = n +. Súčet radu je ( s = s n = ) = n +.. Harmonický a geometrický rad Zovšeobecnený harmonický rad má tvar n α pre α > 0. Tento rad je divergentný pre α a konvergentný pre α >. Špeciálnym prípadom zovšeobecneného harmonického radu pre α = je harmonický rad a má tvar. Tento rad je divergentný. n Geometrický rad má tvar a q n = a +a q +a q + +a q n +, kde a 0. Tento rad n=0 je konvergentný pre q < a divergentný pre q. Súčet nekonečného geometrického radu je s = a, kde q <. q Príklad. Nájdime súčet radu ( n ( ) ) n+. n= Riešenie: Pre daný rad určíme prvý člen a a kvocient q. Prvý člen a získame dosadením n = do n-tého člena radu Kvocient q určíme takto a = ( ) + ( q = a n+ a n ) = 4 9. ( n+ = ) ( )n+ ( ) ( ) n+ n =. Pretože platí q = <, súčet tohto geometrického radu je s = a q = 4 9 ( ) = 4 5.

. Kritériá konvergencie číselných radov 9. Kritériá konvergencie číselných radov Veta. (D Alembertovo podielové kritérium) Nech a n je nekonečný číselný rad a nech n N platí, že a n 0. (a) Ak (b) Ak a n+ a n a n+ a n <, tak je rad a n absolútne konvergentný. >, tak je rad a n divergentný. Príklad. Vyšetrime konvergenciu radu ( Riešenie: n tý člen radu je rovný a n = n Na základe D Alembertovho kritéria dostávame ( a n+ n+ a n = n+ ( ) n = ) n n ( ) n. ) n a (n+) člen radu je rovný an+ = n+ Z toho vyplýva, že daný číselný rad konverguje. Veta.4 (Cauchyho odmocninové kritérium) Nech a n je nekonečný číselný rad. n n + = n n + = <. (a) Ak n a n <, tak je rad a n absolútne konvergentný. (b) Ak n a n >, tak je rad a n divergentný. ( ) n+ n Príklad.4 Vyšetrime konvergenciu radu. 5n + ( ) n+. Riešenie: n tý člen radu je rovný a n = ( n n+. 5n+) Na základe Cauchyho odmocninového kritéria dostávame n n an = = = ( 5 ( n 5n + ( ) ( n n. 5n + 5n + ) ( ) 0 = 8 5 5 <. ) n+ ( n = ) n Z toho vyplýva, že daný číselný rad konverguje. 5n + = ) n+ n ( n 5n + ( n = ). 5n + ( n 5n + ) + n = ) n =

0 NEKONEČNÉ RADY Poznámka: Ak jednotlivé ity pri D Alembertovom podielovom kritériu a Cauchyho odmocninovom kritériu sú rovné, potom pomocou týchto kritérií nevieme rozhodnúť, či daný rad je konvergentný alebo divergentný. Musíme teda použiť iné kritérium. Veta.5 (Cauchyho integrálne kritérium) Nech pre rad f(n) = a n. a n existuje spojitá funkcia f(x) nerastúca na K, ) a nech n > K: (a) Ak K (b) Ak K f(x)dx <, tak je rad a n absolútne konvergentný. f(x)dx =, tak rad je a n divergentný. Príklad.5 Vyšetrime konvergenciu radu n= n ln n. Riešenie: Položme f(x) =. Definičný obor tejto funkcie je D(f) = (0, ) {}. Funkcia x ln x je teda spojitá na intervale, ). Je zrejmé, že pre každé n je f(n) = = a n. Pretože f (+ln x) (x) = < 0, je funkcia f(x) klesajúca na intervale, ) a možno teda (x ln x) použiť Cauchyho integrálne kritérium. Platí x ln x a dx = a = a (ln ln a ln ln ) = Z toho vyplýva, že daný číselný rad diverguje. dx = x ln x [ln ln a x ]a = a ln ln a ln =. =. n ln n Veta.6 (Leibnizovo kritérium) Nech ( ) n+ a n je rad so striedavými znamienkami. Nech postupnosť {a n } je nerastúca. Potom rad ( ) n+ a n je konvergentný práve vtedy, ak a n = 0. Príklad.6 Vyšetrime konvergenciu radu Riešenie: ( ) n+. n ( ) n+ n je rad so striedavými znamienkami, kde a n = n. Naviac platí n N : n < n + n < (n + ) n < (n + ) n > (n + ).

. Kritériá konvergencie číselných radov Postupnosť {a n } pre a n = n n = 0, podľa Leibnizovho kritéria je rad Definícia.7 Majme rady a n, je klesajúca, z čoho vyplýva, že je aj nerastúca. Keďže ( ) n+ n konvergentný. b n, pričom b n 0 pre všetky n N. Rad b n na- zývame majorantný rad k radu a n a rad a n nazývame minorantný rad k radu b n, ak pre každé n N a n b n. Veta.7 (Majorantné porovnávacie kritérium) Majme rady a n a b n, kde 0 a n b n pre n =,,.... Ak majorantný rad b n konverguje, tak konverguje aj rad a n. Ak minorantný rad a n diverguje, tak diverguje aj rad b n. Veta.8 (Limitné porovnávacie kritérium) Nech pre každé n N je a n 0 a b n > 0. a (a) Ak existuje vlastná ita n bn a rad b n konverguje, tak konverguje aj rad a n. a (b) Ak existuje vlastná ita n bn rôzna od nuly alebo je táto ita nevlastná a rad b n diverguje, tak diverguje aj rad a n. Poznámka: Použitie porovnávacieho kritéria vyžaduje skúsenosti na skonštruovanie majorantného resp. minorantného radu na základe hypotézy o konvergencii, resp. divergencii vyšetrovaného radu. Často sa používa na toto porovnávanie zovšeobecnený harmonický rad. Príklad.7 Vyšetrime konvergenciu radu n + n + 4n. Riešenie: n tý člen radu je rovný a n = n+. Skúsime porovnať daný rad s harmonickým n +4n radom, o ktorom vieme, že je divergentný. Teda položíme b n n =. Keďže platí n a n = b n n+ n +4n n Podľa itného porovnávacieho kritéria je aj rad Príklad.8 Vyšetrime konvergenciu radu = n(n + ) n + 4n = 0. n+ divergentný. n +4n n + 4n n 5 n +.

NEKONEČNÉ RADY Riešenie: n tý člen radu je rovný a n = n +4n n 5 n+. Skúsime porovnať daný rad s radom o ktorom vieme, že je konvergentný. Teda položíme b n = n. Keďže platí a n = b n n +4n n 5 n+ n n (n + 4n) = n 5 n + = n 5 + 4n 4 n 5 n + =. Táto ita je vlastná a podľa itného porovnávacieho kritéria je rad n +4n konver- n 5 n+ gentný., n.4 Funkcionálne a mocninové rady Definícia.8 Nech {f n (x)} je postupnosť funkcií definovaných na intervale a, b, potom výraz f n (x) nazývame nekonečný funkcionálny rad. Pre konvergenciu funkcionálnych radov môžeme použiť upravené D Alembertovo podielové a Cauchyho odmocninové kritérium. Teda ak f n+(x) n f n(x) < resp. fn (x) <, tak funkcionálny rad konverguje v x. Definícia.9 Ak f n (x) = a n (x a) n, rad stredom v bode a. n=0 a n (x a) n Pre každý mocninový rad a n (x a) n nastáva jeden z prípadov: n=0 rad konverguje len v bode x = a ρ = 0, rad konverguje pre x R ρ =, nazývame mocninový rad so ρ > 0, že na intervale (a ρ, a + ρ) daný rad konverguje a na množine R/ a ρ, a + ρ daný rad diverguje. Číslo ρ sa nazýva polomer konvergencie a interval (a ρ, a + ρ) označuje interval konvergencie. Ak existuje a n+ a n = λ resp. n a n = λ, tak pre polomer konvergencie mocninového radu a n (x a) n platí n=0 ρ = λ pre 0 < λ <, ρ = pre λ = 0, ρ = 0 pre λ =.

.4 Funkcionálne a mocninové rady Príklad.9 Nájdime interval, na ktorom mocninový rad Riešenie: Riešenie tejto úlohy urobíme dvoma spôsobmi. (x + ) n n (n + )(n + ) konverguje. Riešenie spôsobom A: Použijeme D Alembertovo kritérium pre konvergenciu funkcionálnych radov. f n (x) = f n+ (x) f n (x) (x+)n a f n (n+)(n+) n+(x) = (x+)n+. Potom n+ (n+)(n+) = (x+) n+ n+ (n+)(n+) (x+) n n (n+)(n+) = (n + ) (x + ) (n + ) = x +. f Podľa D Alembertovho kritéria je rad konvergentný vtedy, ak platí n+ (x) f n(x) <. Pre daný rad teda musí platiť podmienka x + <, z čoho dostávame x + < < (x + ) < < x + < 5 < x <. Pre všetky x ( 5, ) rad (x+) n n (n+)(n+) konverguje. Ešte musíme vyšetriť konvergenciu radu v krajných hodnotách a k tomu použijeme kritériá konvergencie číselných radov.. Pre x = 5 dostaneme číselný rad ( ) n n (n + )(n + ) = ( ) n (n + )(n + ). Dostávame rad so striedavými znamienkami, kde a n = { kritéria zistíme, či daný rad konverguje. O postupnosti nerastúca a keďže = 0, rad ( ) n (n+)(n+) (n+)(n+). Pre x = dostaneme číselný rad (n+)(n+) (n+)(n+) a podľa Leibnizovho } je konvergentný. n n (n + )(n + ) = (n + )(n + ). vieme, že je Daný číselný rad má súčet s = (pozri Príklad.) a teda je konvergentný. Obor konvergencie radu (x + ) n n (n + )(n + ) je interval 5,. Riešenie spôsobom B: D Alembertovo kritérium použijeme na určenie polomeru konvergencie mocninového radu. a n = n (n+)(n+) a a n+ = n+ (n+)(n+). Potom λ = a n+ a n = n+ (n+)(n+) n (n+)(n+) = (n + ) (n + ) =.

4 NEKONEČNÉ RADY Polomer konvergencie ρ = =. Stred radu je a =. Interval konvergencie je (a ρ, a+ρ) = λ (, + ) = ( 5, ). Konvergenciu radu v krajných hodnotách určíme rovnako ako v (x + ) n Riešení A. Obor konvergencie radu je interval 5,. n (n + )(n + ) Príklad.0 Nájdime interval, na ktorom mocninový rad x n 4 n konverguje. n Riešenie: Daný mocninový rad má stred v bode a = 0 a a n = 4n. Cauchyho odmocninové n kritérium použijeme na určenie polomeru konvergencie mocninového radu a využijeme vzťah n n =. Platí λ = n n a n = 4 n n = 4 n = 4 n n = 4. n Polomer konvergencie ρ = =. Stred radu je a = 0. Interval konvergencie je (a ρ, a + λ 4 ρ) = (0 4, 0 + 4 ) = ( 4, 4 ). Ešte musíme vyšetriť konvergenciu radu v krajných hodnotách a k tomu použijeme kritériá konvergencie číselných radov.. Pre x = 4 dostaneme číselný rad ( ) n n. Dostávame rad so striedavými znamienkami, kde a n = a podľa Leibnizovho kritéria n zistíme, či daný rad konverguje. O postupnosti { n} vieme, že je nerastúca a keďže = 0, rad ( ) n je konvergentný. n n. Pre x = 4 dostaneme číselný rad n. Tento rad je harmonický rad, preto je divergentný. x n 4 n Obor konvergencie radu je interval n 4, ). 4 Veta.9 (Veta o derivovaní a integrovaní mocninového radu) Nech ρ > 0 je polomer konvergencie mocninového radu a n (x a) n a nech funkcia s(x) = x (a ρ, a + ρ). Potom pre každé x (a ρ, a + ρ) platí n=0 a n (x a) n,

.4 Funkcionálne a mocninové rady 5 s (x) = n a n (x a) n, x s(t) dt = a n=0 a n (x n+ a)n+. Príklad. Derivovaním alebo integrovaním vhodného radu nájdime súčet radu na vhodnom intervale. n x n Riešenie: Keďže platí (x n ) = nx n, môžeme napísať ( ) n x n = x n. Rad x n je geometrický rad, kde a = x, q = x, a teda tento rad je konvergentný pre x <. Potom súčet tohto geometrického radu je s = a q = je rovný s = ( ) x = x ( x) pre x (, ). x. Teda súčet radu x n x n Definícia.0 Nech funkcia f(x) má v bode a derivácie všetkých rádov. Mocninový rad f (n) (a) (x a) n = f(a) + f (a) (x a) + f (a) (x a) + + f (n) (a) (x a) n + n!!! n! n=0 nazývame Taylorov rad funkcie so stredom v bode a. Uvedieme rozvoj niektorých funkcií do Taylorovho radu so stredom v bode a = 0: ln( + x) = sin x = cos x = e x = n=0 x n n! ( ) n=0 n+ xn pre x R, n ( ) n x n+ (n + )! ( ) n xn (n)! n=0 pre x (,, pre x R, pre x R.

6 NEKONEČNÉ RADY Príklad. Rozviňme funkciu f(x) = x ln( + x ) do Taylorovho radu. Riešenie: Ak namiesto x dosadíme x do vzťahu ln( + x) = ( ) n+ xn, dostaneme n ln( + x ) = ( ) Potom vynásobíme obe strany x a úpravou dostaneme n+ xn n. x ln( + x ) = x ( ) n+ xn n = ( ) n+ xn+ n pre x (,. Príklad. Nájdime prvé tri členy rozvoja funkcie f(x) = x e x do Taylorovho radu v bode a = 0. Riešenie: Z definície Taylorovho radu vyplýva f(x) f(0) + f (0)! (x 0) + f (0)! (x 0) + f (0)! (x 0) x e x. Keďže platí f (x) = e x + x e x f (0) =, f (x) = e x + e x + x e x = e x + x e x f (0) =, f (x) = e x + e x + x e x = e x + x e x f (0) =, rozvoj funkcie f(x) = x e x do Taylorovho radu v bode a = 0 je x e x 0 +! x +! x +! x. Definícia. Nech f(x), x l, l je po častiach spojitá, periodická funkcia s periódou T = l. Trigonometrický rad a 0 + a n cos πnx l + b n sin πnx, l kde a 0 = l l l f(x) dx,

.4 Funkcionálne a mocninové rady 7 a n = l l l f(x) cos πnx l dx, b n = l l l f(x) sin πnx l n =,,..., nazývame Fourierov rad funkcie f(x) a píšeme f(x) a 0 + ( a n cos πnx l dx, Koeficienty a 0, a n a b n nazývame Fourierove koeficienty. + b n sin πnx ). l Definícia. Nech f(x), x l, l je po častiach spojitá, párna, periodická funkcia s periódou T = l. Trigonometrický rad kde a 0 a n = l + l 0 a n cos πnx, l f(x) cos πnx dx, l n = 0,,..., nazývame kosínusový Fourierov rad funkcie f(x). Definícia. Nech f(x), x l, l je po častiach spojitá, nepárna, periodická funkcia s periódou T = l. Trigonometrický rad kde b n = l l 0 b n sin πnx, l f(x) sin πnx dx, l n =,,..., nazývame sínusový Fourierov rad funkcie f(x). V praxi sa stretávame s dejmi, ktoré sa pravidelne opakujú. Sú to tzv. periodické deje, ktoré možno popísať periodickými funkciami. Ak f(x) je periodická funkcia s periódou T, tak a D(f) platí a+t f(x) dx = T f(x) dx. a 0

8 NEKONEČNÉ RADY Fourierove rady sú funkcionálne rady, ktorými popisujeme periodicky sa opakujúce deje. Ak chceme pomocou kosínusového resp. sínusového Fourierovho radu vyjadriť po častiach spojitú funkciu f(x), ktorá nie je ani párna ani nepárna, musíme ju najprv párne resp. nepárne predĺžiť: Párne predĺženie funkcie f(x) z intervalu 0, l na interval l, l sa nazýva funkcia { f(x) pre x 0, l, f p (x) = f( x) pre x l, 0. Nepárne predĺženie funkcie f(x) z intervalu 0, l na interval l, l sa nazýva funkcia f(x) pre x (0, l, f n (x) = 0 pre x = 0, f( x) pre x l, 0). Príklad.4 Nájdime Fourierov rad funkcie f(x) = x + na intervale x,. Riešenie: Zo zadania vyplýva, že perióda je T = l =. Funkcia f(x) = x + nie je na intervale x, ani párna ani nepárna a pre n =,,... platí a 0 = l a n = l = l l l l f(x) dx = f(x) cos πnx l [ (x + ) sin(πnx) πn b n = l = l l [ x (x + ) dx = + x dx = ] f(x) sin πnx l [ (x + ) cos(πnx) πn dx = ] ] = + + = u = x + u = (x + ) cos(πnx) dx = v = cos(πnx) + sin(πnx) πn v = sin(πnx) πn = [ dx = cos(πnx) ] = cos(πn) cos( πn) = 0 π n π n π n u = x + u = (x + ) sin(πnx) dx = v = sin(πnx) cos(πnx) πn dx = ( )n πn = ( )n = ( )n+ πn πn Dosadením do predpisu Fourierovho radu dostávame f(x) a 0 + ( a n cos πnx + b n sin πnx ) = + l l [ sin(πnx) + π n [ ( ) n+ πn v = cos(πnx) πn ] ] sin(πnx). =

.4 Funkcionálne a mocninové rady 9 Príklad.5 Rozviňme funkciu f(x) = 4 x, x 0, π do kosínusového Fourierovho radu. Riešenie: Pretože hľadáme kosínusový Fourierov rad, musíme funkciu f(x) najprv dodefinovať tak, aby bola na rozšírenom intervale párna. Dostávame párnu funkciu { 4 x pre x 0, π, f p (x) = 4 + x pre x π, 0. y 4 π π x Obr. : Graf funkcie f p (x) Takto dodefinovaná funkcia má periódu T = π l = π a pre n =,,... platí a 0 = l l 0 l f(x) dx = π a n = l 0 u = 4 x = v = cos(nx) = [ cos(nx) π n b n = 0. π f(x) cos πnx dx = l π ] π 0 0 (4 x) dx = π u = v = sin(nx) = π π 0 ] π [4x x = 0 π (4 x) cos πnx π = π n ( cos(πn) + cos 0 n n dx = π [ (4 x) sin(nx) n ) ] π ) (4π π = 8 π, π 0 0 + π (4 x) cos(nx) dx = π = πn [ ( )n ], Dosadením do predpisu kosínusového Fourierovho radu dostávame 0 sin(nx) n dx = f(x) a 0 + a n cos πnx l = 8 π + πn [ ( )n ] cos(nx).

0 NEKONEČNÉ RADY Príklad.6 Rozviňme funkciu f(x) = 4 x, x 0, π do sínusového Fourierovho radu. Riešenie: Pretože hľadáme sínusový Fourierov rad, musíme funkciu f(x) najprv dodefinovať tak, aby bola na rozšírenom intervale nepárna. Dostávame nepárnu funkciu 4 x pre x (0, π, f n (x) = 0 pre x = 0, 4 x pre x π, 0). y 4 π 4 π x Obr. : Graf funkcie f n (x) Takto dodefinovaná funkcia má periódu T = π l = π a pre n =,,... platí a n = 0, l π b n = f(x) sin πnx dx = (4 x) sin πnx l l π π dx = (4 x) sin(nx) dx = π 0 0 0 u = 4 x u = = v = sin(nx) v = cos(nx) = [ (4 x) cos(nx) ] π π cos(nx) dx = π n n 0 π n 0 = [ (π 4) cos(nπ) + 4 ] [ ] π sin(nx) = π n n π n πn [(π 4) ( )n + 4]. Dosadením do predpisu sínusového Fourierovho radu dostávame 0 π f(x) b n sin πnx l = πn [(π 4) ( )n + 4] sin(nx).

.4 Funkcionálne a mocninové rady Neriešené úlohy: V nasledujúcich úlohách nájdite súčet radu:... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0.... 4. 5. 6. 7. 8. n=0 (n + )(n + ) (5n 4)(5n + ) (n )(n + ) n + 5n + 6 n + 7n + n + 9n + 0 n + 4n + n + 6n + 8 n + 8n + 5 n + 0n + 4 n + n n + 5n + 4 4n + 8n + 9n + n 9n n 7 49n 7n 7 49n n 0 7 49n + n 0 5 4 5 5 7 4 9 40 60 6 5

NEKONEČNÉ RADY 9. 0.... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0.... 4. 5. 6. 7. n= n= n=5 n= n= 9n + n 5 4 9n n 5 6 9n + 6n 8 6n n 5 n 6 4n 9 (n )(n 4) n n(n + )(n + ) n + n(n )(n ) (n + n + )(n + ) n + n + n n + n + n n n + n + n n + n n + n 5 n n 5 n ( ) n n 4 ( ) n n 5 7 0 5 5 4 4 5 4 4 6 4

.4 Funkcionálne a mocninové rady 8. 9. 40. 4. 4. 4. 44. 45. 46. 47. 48. 49. n=0 0 4 n+ 5 6 n n+ n=0 n+ 7 4 n n= ( ) n 5 ( ) n 5 7 ( ) n n+ 8 n 5 n= ( ) n+ ( ) n 45 n= ( ) n n+ ( ) n n+ ( ) 5 n n+ 6 4 n n n 6 n n 5 n + n 6 n 5 n 4 V nasledujúcich úlohách vyšetrite pomocou D Alembertovho kritéria konvergenciu radu: 50. 5. 5. 5. 54. 55. ( ) n n 8 ( ) n n + ( ) n 5 n 7 ( ) n 6 n + 5 ( ) n (n + )! 4 ( ) n 7 n 5 a n+ a n =, konverguje 8 a n+ a n =, konverguje a n+ a n = 5, konverguje 7 a n+ a n = 6, diverguje 5 a n+ a n = 0, konverguje a n+ a n = 7, diverguje 5

4 NEKONEČNÉ RADY 56. 57. 58. 59. 60. 6. 6. 6. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 7. 7. 7. 74. n= n= 4n + n. n ( ) n 5 a n+ a n =, konverguje 5 n n n + n. n. n n + 4 a n+ a n a n+ a n a n+ a n (n ) n n (n + ) n (n + 4) n n n! n + n (n )!. 0 n. n! (n + )! n (n )! 5 n n! n! n (n + ) 6 n (n ) n! n (n + )! n n (n + )! ( ) n (n )! 7 n! ( ) n n 7 (n + )! (n!) (n)! a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n =, konverguje =, konverguje =, konverguje =, diverguje =, konverguje =, konverguje =, diverguje = 0, konverguje = 0, konverguje = 0, diverguje = 5, konverguje =, diverguje = 0, konverguje =, diverguje = 0, konverguje = 7, konverguje = 0, konverguje = 4, konverguje

.4 Funkcionálne a mocninové rady 5 75. 76. 77. 78. 79. 80. 8. 8. 8. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 9. 9. n! (n)! n (n)! (n + )! n (n + 5) n! n n n n (n!) n (n + )! n n! n n n n! n n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n (n + )! 0 n n. 0 n. n! (n)! a n+ a n a n+ a n n e n n n n! n n (n + )! ( ) n (n + )! ( ) n n (n + )! ( ) n n a n+ a n a n+ a n a n+ a n a n+ a n e n n + n (n )! a n+ a n a n+ a n (n )! 0 n+ (n )!. 0 n+ a n+ a n a n+ a n a n+ a n = 0, konverguje = 0, konverguje =, diverguje = e, konverguje = 0, konverguje = 0, konverguje = e, konverguje = e, diverguje =, diverguje = 0, konverguje = e, konverguje = e, konverguje = 6, diverguje = 0, konverguje = e, konverguje = 0, konverguje =, diverguje =, diverguje V nasledujúcich úlohách vyšetrite pomocou Cauchyho odmocninového kritéria konvergenciu radu:

6 NEKONEČNÉ RADY 9. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 00. 0. 0. 0. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 0.. n a n n =, konverguje 4 ( + ) n an = n, konverguje n 6 ( ) n n + n an =, konverguje n ( 4n + n 5 n= ( n 4n ( 5n n + arctg n n ( n n + ( 8n + n ( n + 5 n ( n + n + ( 4n + n ( 0n + n ( n n + ( n + n ( 5n + n n ( n ( n + 5 n ( n n + n= ) n ) n ) n ) n ) n + ) n+ ) n ) n+ ) n+ ) n+ ) n ) n ) n ) n+ ) n n an =, diverguje n an =, konverguje 4 n an = 5, diverguje n an = 0, konverguje n an = 4, konverguje 9 n a n =, diverguje n an =, konverguje 9 n an = 4, konverguje 9 n an = 4, diverguje n an = 0, diverguje n an =, konverguje 9 n an =, konverguje n 5 an =, diverguje n an =, konverguje e n an = e 7, diverguje n an =, konverguje e 4

.4 Funkcionálne a mocninové rady 7.. 4. 5. 6. 7. 8. 9. n ) n ( n + n ( n + n + ( + n ) n ) n ( ) n ( 6 + ) n 5 n ( ) n ( ) n n + 7 n n an = e 0, diverguje n an =, diverguje n an = e, konverguje n an = 6e, diverguje 5 n an = e, konverguje 7 (n ) n n n n n a n = e, konverguje (n + ) n n n n n a n = e, konverguje n (n + ) n n a n n = e, diverguje (n + ) n V nasledujúcich úlohách vyšetrite pomocou Cauchyho integrálneho kritéria konvergenciu radu: 0.... 4. 5. 6. 7. 8. n= n= n= 4n + n 5 n + 4n + 7 diverguje diverguje diverguje diverguje n + n diverguje n n + n n n + n n + diverguje diverguje konverguje konverguje

8 NEKONEČNÉ RADY 9. 0.... 4. 5. 6. 7. 8. 40. n + n n n + n= n= n= n + 9 n 4 n 4 7n + n 6 n ln n n ln n ln n n ln n n ln n n e n n diverguje diverguje diverguje konverguje konverguje diverguje konverguje diverguje konverguje diverguje konverguje V nasledujúcich úlohách vyšetrite pomocou Leibnizovho kritéria konvergenciu radu: 4. 4. 4. 44. 45. 46. 47. ( ) n+ n ( ) n+ ln(n + ) ( ) n+ (n + ) n + ( ) n+ n ( ) n+ n ( ) n+ (n + ) n ( ) n+ (n) n a n = 0, konverguje a n = 0, konverguje a n =, diverguje a n = 0, konverguje a n = 0, konverguje a n =, diverguje a n =, diverguje

.4 Funkcionálne a mocninové rady 9 48. 49. 50. ( ) n+ n ln n ( ) n+ n n= a n = 0, konverguje n a n = 0, konverguje ( ) n+ sin π n a n = 0, konverguje V nasledujúcich úlohách vyšetrite pomocou porovnávacieho kritéria konvergenciu radu: 5. 5. 5. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 6. 6. 6. 64. 65. n= n= n= 4n + n 5 n + 4n + 7 diverguje diverguje diverguje diverguje n + n diverguje n n + n n n + n 4 n + 9 n 4 n 4 7n + n 6 n,6 5 n n 7 n diverguje diverguje konverguje konverguje konverguje konverguje konverguje konverguje diverguje diverguje

0 NEKONEČNÉ RADY 66. 67. 68. 69. 70. ( ) n 5 konverguje 7 ( ) n 7 diverguje 5 ( ) n konverguje n+ konverguje 6 4 n 5 n n diverguje V nasledujúcich úlohách nájdite interval, na ktorom daný funkcionálny rad konverguje: 7. 7. 7. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 8. 8. 8. x n (n )! n! x n x n n n n x n 9 n n x n 4 n (, ) {0}, ) (, ) (, ) x n (, ) n x n n, n (x + ) n n ( x ) n (, ) (, ) ( ) n x(x + n) (, ) n n e nx (0, ) nx e nx 0, ) ln n x ( ) e, e

.4 Funkcionálne a mocninové rady V nasledujúcich úlohách určte polomer konvergencie mocninového radu: 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 9. 9. 9. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 00. 0. 0. n xn (n ) (x )n x n n! n! x n 0 5 n n 5 n x n 5 n n xn n xn 5 ( ) n x n n n n (n + ) n xn (n + )(n + ) (x + n )n n k n! xn n! x n (n )! 0 n x n n 0 00 n x n n + 00 n n xn n n (x + ) n 0 (n )! n n x n e n n n! xn e n! (x )n e nn

NEKONEČNÉ RADY 0. 04. (n)! (n)! n n xn (n!) x n (n)! 4e 7 4 V nasledujúcich úlohách nájdite interval, na ktorom daný mocninový rad konverguje: 05. 06. 07. 08. 09. 0.... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0. n xn, (n ) (x )n 0, ) x n n! (, ) n! x n {0} n 5 n x n 5 n n n xn n xn ( ) n x n n n n (n + ) n xn ( 5, ) 5, ) 5, ) 5, ) (, ) (n + )(n + ) n (x + )n 4, n k n! xn n! x n (n )! 0 n n x n 00 n n + x n n n xn n n (x + ) n (, ) (, ) 0, ) 0 ) 00, 00 ( ), { }

.4 Funkcionálne a mocninové rady V nasledujúcich úlohách derivovaním alebo integrovaním vhodného radu nájdite súčet daného radu na vhodnom intervale:. (n + )x n ( x) n=0. (n + )(n + )x n ( x) n=0 n 5. 5 n xn (5 x) 4. (n + )x n + x ( x ) n=0 5. (x )n ln x + n ln (x ) n=0 V nasledujúcich úlohách pomocou základných mocninových radov určte Taylorov rad danej funkcie so stredom v bode a = 0: 6. f(x) = e x n=0 x n n n! 7. f(x) = e x n n! xn n=0 8. f(x) = e x ( ) n n n! xn n=0 x n+ 9. f(x) = x e x n! n=0 0. f(x) = xe x n n! xn+ n=0. f(x) = x e x ( ) n n. f(x) = xe x n=0 n=0 x n+ n n!. f(x) = x ( ) n e x n! n=0 4. f(x) = x e x x n+ n! n=0 5. f(x) = x e x ( ) n 6. f(x) = x ln( + x) n! ( ) n+ n=0 n n! xn+ x n+ x n+ x n+

4 NEKONEČNÉ RADY 7. f(x) = x ln( + x) 8. f(x) = ln( + x ) 9. f(x) = x ln( + x ) 40. f(x) = x sin x 40. f(x) = x cos x 4. f(x) = sin x V nasledujúcich úlohách nájdite Fourierov rad funkcie na danom intervale: ( ) n+ n ( ) n+ n ( ) n+ n=0 n=0 n=0 n x n+ x n x n+ ( ) n (n + )! xn+ ( ) n (n)! xn+ ( ) n (n + )! x4n+ ( ) n+ 4. f(x) = x, x, sin(nπx) nπ sin(nx) 4. f(x) = x, x 0, π π n 4 44. f(x) = x, x π, π n ( )n+ sin(nx) 45. f(x) = x, x π, π ( ) n+ sin(nx) n 46. f(x) = x, x 0, π π 4 n sin(nx) { 0, pre x π, 0) 47. f(x) =, pre x (0, π + πn [ ( )n ] sin(nx) { π x, pre x π, 0) 48. f(x) = 0, pre x (0, π 49. f(x) = x, x π, π 50. f(x) = x, x π, π π 4 + [ ( ) n cos(nx) + ( )n πn n V nasledujúcich úlohách rozviňte funkciu f(x) do kosínusového radu: ] sin(nx) π + πn [( )n ] cos(nx) π + 4 n ( )n cos(nx)

.4 Funkcionálne a mocninové rady 5 5. f(x) = x, x 0, + (π n) [( )n ] cos(nπx) 5. f(x) = x, x 0, π π 4 + π n [( )n ] cos(nx) 5. f(x) = π 4 x, x 0, π π n [( )(n+) + ] cos(nx) 54. f(x) = x π, x 0, π + 4 n ( )n cos(nx) π 55. f(x) = x(π x), x 0, π 6 n [( )n+ ] cos(nx) 56. f(x) = x x, x 0, + 4 (π n) [( )n+ ] cos nπx V nasledujúcich úlohách rozviňte funkciu f(x) do sínusového radu: ( ) n+ 57. f(x) = x, x 0, sin(nπx) nπ 58. f(x) = x, x 0, π ( ) n+ sin(nx) n 59. f(x) = π 4 x, x 0, π n [( )n + ] sin(nx) [ ] 60. f(x) = x ( ) n, x 0, π π ( ) n sin(nx) π n n 4 6. f(x) = x(π x), x 0, π πn [ ( )n ] sin(nx) 6. f(x) = x x, x 0, 8 (π n) [( )(n+) + ] sin nπx

6 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH Diferenciálny počet funkcie viacerých premenných. Funkcia n premenných Definícia. n rozmerný euklidovský priestor E n je množina všetkých usporiadaných n tíc X = (x, x,..., x n ) reálnych čísel, pričom je definovaná vzdialenosť ρ ľubovoľných dvoch n tíc X = (x, x,..., x n ), Y = (y, y,..., y n ) vzťahom ρ = (x y ) + (x y ) + + (x n y n ). n ticu X = (x, x,..., x n ) reálnych čísel nazývame bodom priestoru E n a čísla x, x,..., x n súradnice tohto bodu. Definícia. Okolie bodu A resp. ɛ ové okolie O ɛ (A) bodu A E n je množina všetkých bodov X E n, ktorých vzdialenosť od bodu A je menšia ako ɛ. Platí O ɛ (A) = {X E n, ρ(a, X) < ɛ}. Definícia. Nech M E n. Bod A nazývame hromadným bodom množiny M, ak v každom okolí bodu A existuje aspoň jeden bod množiny M rôzny od bodu A. Poznámka: Hromadný bod množiny M nemusí patriť do množiny M. Definícia.4 Nech M E n. Funkcia n premenných je predpis f, ktorý každému X M priradí práve jedno y R. Píšeme y = f(x) alebo y = f(x, x,..., x n ). Definícia.5 Množinu M nazývame definičným oborom funkcie f a označujeme D(f). Príklad. Nájdime definičný obor funkcie f(x, y) = ln(9 x y ). Riešenie: Funkcia f(x, y) je definovaná pre body [x, y] spĺňajúce podmienku 9 x y > 0. Po úprave dostávame x + y < 9. Definičný obor funkcie f(x, y) je vnútro kruhu so stredom v bode [0, 0] a polomerom r = (pozri Obr. ). Definícia.6 Nech je funkcia f(x) definovaná v istom okolí bodu A = (a, a,..., a n ), ktorý je hromadným bodom jej definičného oboru D(f). Číslo b nazývame itou funkcie f(x) v bode A, ak pre každé ɛ > 0 existuje také δ > 0, že pre všetky X O δ (A), X A je f(x) O ɛ (b). Píšeme X A f(x) = b. Ak existuje f(x) = b, tak pre každú podmnožinu M D(f), ktorej hromadným bodom X A je bod A, platí f(x) = b a hovoríme, že b je ita funkcie f v bode A vzhľadom X A A M na množinu M.

. Parciálne derivácie funkcie n premenných 7 y x Obr. : Grafické zobrazenie definičného oboru funkcie ln(9 x y ) v rovine Poznámka: Ak pre dve množiny M D(f) a L D(f) sú ity X A X M rôzne, potom X A f(x) = b neexistuje. Základné vlastnosti ity funkcie viacerých premenných: f(x) a f(x) X A X L Nech funkcie f a g majú v bode A itu, f(x) = b R a g(x) = b R. Potom X A X A má v bode A itu aj funkcia: c f +c g, kde c, c sú ľubovoľné konštanty a platí X A (c f(x)+c g(x)) = c b +c b, f. g a platí X A f(x). g(x) = b b, f g f(x) a platí = b X A g(x) b, ak b 0. Príklad. Vypočítajme itu funkcie Riešenie: x y (x,y) (0,0) x +y (x,y) (0,0) x y x + y. je typu 0. Keďže ju nevieme ďalej upraviť, overíme si, či vôbec 0 daná ita existuje. Položíme y = kx, k 0 (sú to priamky prechádzajúce bodom (0, 0)). Po dosadení dostávame (x,y) (0,0) x y x + y = (x,y) (0,0) x kx x + (kx) = (x,y) (0,0) k + k = k + k. Daná ita závisi od k a teda pre rôzne hodnoty k, je hodnota ity rôzna. Z toho vyplýva, že x y (x,y) (0,0) x +y neexistuje.. Parciálne derivácie funkcie n premenných Definícia.7 Nech f je funkcia n premenných (x, x,..., x n ), n, definovaná na nejakom okolí bodu A = (a, a,..., a n ). Hovoríme, že funkcia f má v bode A konečnú parciálnu

8 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH deriváciu prvého rádu podľa premennej x i, ak existuje konečná ita f(a,..., a i, x i, a i+,..., a n ) f(a,..., a i, a i, a i+,..., a n ). x i a i x i a i Hodnotu tejto ity označujeme (A) x i alebo f x i (A). Ak je daná funkcia f n premenných, tak pri počítaní jej parciálnej derivácie podľa premennej x i postupujeme rovnako, ako pri počítaní derivácie funkcie jednej premennej. Teda použitím vzorcov pre derivovanie elementárnych funkcií a viet pre derivovanie. Pri derivovaní funkcie f podľa premennej x i budeme funkciu f považovať za funkciu jednej premennej a to premennej x i. Ostatné premenné v predpise funkcie f budeme považovať za konštanty. Parciálna derivácia funkcie f je opäť funkciou n premenných. Definícia.8 Nech f je funkcia n premenných, n, ktorá má na množine M parciálne derivácie prvého rádu x, x,..., x n. Parciálna derivácia druhého rádu podľa premených x i a x j je parciálna derivácia podľa premennej x i parciálnej derivácie funkcie f podľa premennej x j. Označujeme f x j x i a špeciálne, ak x i = x j, píšeme f. x i Poznámka: Ak sú parciálne derivácie f(a) x j x i = f(a) x i x j. f x j x i a f x i x j spojité v bode A D(f), tak platí Príklad. Určme parciálne derivácie funkcie f(x, y) = x y + y + x e 5y podľa jednotlivých premenných. Riešenie: Pri počítaní (x,y) premennú y považujeme za konštantu a funkciu f(x, y) derivujeme ako funkciu jednej premennej x, čím x dostaneme (x, y) x = 6xy + e 5y. Podobne pri počítaní (x,y) premennú x považujeme za konštantu a funkciu f(x, y) derivujeme y ako funkciu jednej premennej y, čím dostaneme (x, y) y = x + + 5x e 5y. Príklad.4 Nájdime parciálne derivácie funkcie f(x, y, z) = x + y z y z x premenných v bode A = (,, ). podľa jednotlivých Riešenie: Najprv nájdeme parciálne derivácie funkcie f(x, y, z) podľa jednotlivých premenných (x, y, z) x = y + z x, (x, y, z) y = x y + z, (x, y, z) z = y z x.

. Parciálne derivácie funkcie n premenných 9 Nakoniec dosadíme súradnice bodu A do jednotlivých parciálnych derivácií, čím dostaneme [ (A) = x y + z ] = x + = [, (A) = x y y + ] = z 4 + = 4, A (A) z = [ y z ] = =. x A A Príklad.5 Vypočítajme všetky parciálne derivácie druhého rádu funkcie f(x, y) = x y + y + xe 5y. Riešenie: Parciálne derivácie prvého rádu funkcie f(x, y) = x y + y + xe 5y sme vypočítali v Príklade.. Potom parciálne derivácie druhého rádu funkcie f(x, y) sú rovné f(x, y) x = x (6xy + e5y ) = 6y, f(x, y) x y = y (6xy + e5y ) = 6x + 5e 5y, f(x, y) y = y (x + + 5x e 5y ) = 5x e 5y, f(x, y) y x = x (x + + 5x e 5y ) = 6x + 5e 5y. Vidíme, že f(x, y) x y = f(x, y) y x... Parciálne derivácie zloženej funkcie Definícia.9 Nech funkcia f je definovaná na množine M E m a nech X = (x, x,..., x n ). Nech g (X), g (X),..., g m (X) je m funkcií n premenných, ktoré sú definované na množine P E n. Nech pre každé X P je bod (g (X), g (X),..., g m (X)) M. Potom funkciu F (X) = f(g (X), g (X),..., g m (X)) nazývame zloženou funkciou, ktorej definičný obor je množina P. Definícia.0 Nech X = (x, x,..., x n ) a F (X) = f(g (X), g (X),..., g m (X)) je zložená funkcia. Nech funkcie g i (X), i =,,..., m sú v bode A = (a, a,..., a n ) D(g i ) diferencovateľné. Nech funkcia f je v bode B = (g (A), g (A),..., g m (A)) D(f) diferencovateľná. Potom zložená funkcia F je diferencovateľná v bode A, pričom pre jej parciálne derivácie platí: F (A) x i = (B) g (A) g x i + (B) g (A) g x i + + (B) g m (A), i =,,... n. g m x i Príklad.6 Vypočítajme parciálne derivácie prvého rádu funkcie f(u, v) = uv, ak u = x 5y, v = xy + y.

40 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH Riešenie: Máme zloženú funkciu F (x, y) = f(u, v), pričom u = ϕ(x, y), v = ψ(x, y). Potom parciálne derivácie danej zloženej funkcie sú F x = u u x + v v x F y = u u y + v v y = v + u y = (xy + y) + y(x 5y), = v ( 5) + u (x + ) = 5(xy + y) + (x 5y)(x + ). Príklad.7 Vypočítajme parciálne derivácie prvého rádu funkcie f(u, v) = u v, ak u = ex, v = x. Riešenie: Máme zloženú funkciu F (x) = f(u, v), pričom u = ϕ(x), v = ψ(x). Potom parciálne derivácie danej zloženej funkcie sú df dx = du u dx + dv v dx = v ex + u ( v ) ( x ) = xe x + e x. Príklad.8 Vypočítajme parciálne derivácie prvého rádu funkcie f(u) = ln u, ak u = xy. Riešenie: Máme zloženú funkciu F (x, y) = f(u), pričom u = ϕ(x, y). Potom parciálne derivácie danej zloženej funkcie sú F x = df du u x = u y = xy y = x, F y = df u du y = u x = xy x = y... Dotyková rovina Definícia. Nech funkcia z = f(x, y) je spojitá a diferencovateľná v okolí bodu A = (x 0, y 0, z 0 ). Potom rovnica dotykovej roviny ρ ku grafu tejto funkcie v bode A je ρ : (x 0, y 0 ) x (x x 0 ) + (x 0, y 0 ) (y y 0 ) (z z 0 ) = 0 y a rovnica normály n ku grafu tejto funkcie v bode A je kde z 0 = f(x 0, y 0 ). n : x = x 0 + (x 0, y 0 ) t, x y = y 0 + (x 0, y 0 ) t, y z = z 0 t, t R.

. Lokálne extrémy funkcie n premenných 4 Príklad.9 Nájdime rovnicu dotykovej roviny ρ a normály n ku grafu funkcie danej rovnicou f(x, y) = arctg y x v bode A = (,,?). Riešenie: Z rovnice dotykovej roviny (x 0, y 0 ) x vyplýva, že potrebujeme určiť z 0 (x x 0 ) + (x 0, y 0 ) (y y 0 ) (z z 0 ) = 0 y z 0 = f(x 0, y 0 ) = f(, ) = arctg = π 4 a parciálne derivácie funkcie f(x, y) = arctg y x v bode A = (,, π 4 ) (x 0, y 0 ) x [ = ( y )] + ( y x ) x (x 0,y 0 ) Dosadením do rovnice dotykovej roviny dostávame =, (x 0, y 0 ) y ρ : (x ) + ( (y ) z π ) = 0, 4 [ ] = + ( y x ) x (x 0,y 0 ) =. po úprave ρ : x y + z π = 0. Zostáva nájsť rovnicu normály n ku grafu funkcie f(x, y) v bode A. Normála je priamka kolmá na dotykovú rovinu ρ a normálový vektor dotykovej roviny ρ je smerový vektor normály. Rovnica dotykovej roviny je ρ : x y + z π = 0, súradnice normálového vektora dotykovej roviny ρ sú (,, ). Potom parametrický tvar normály n ku grafu funkcie f(x, y) v bode A = (x 0, y 0, z 0 ) = (,, π) je 4 x = x 0 + t = + t, y = y 0 t = t, z = z 0 + t = π 4 + t, t R.. Lokálne extrémy funkcie n premenných Definícia. Hovoríme, že funkcia f(x) n premnenných má v bode A ostré lokálne maximum (lokálne maximum), ak pre každý bod X, X A z okolia bodu A platí f(x) < f(a) (f(x) f(a)). Definícia. Hovoríme, že funkcia f(x) n premnenných má v bode A ostré lokálne minimum (lokálne minimum), ak pre každý bod X, X A z okolia bodu A platí f(x) > f(a) (f(x) f(a)).

4 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH Definícia.4 Bod A, v ktorom parciálne derivácie prvého rádu sú rovné nule, nazývame stacionárny bod. Definícia.5 Stacionárne body a body, v ktorých parciálne derivácie neexistujú, sa nazývajú kritické body. Poznámka: Funkcia môže mať lokálny extrém len v kritickom bode. Nech bod A je stacionárnym bodom funkcie f(x) a nech v bode A je funkcia f(x) dva razy diferencovateľná. Potom: funkcia f(x) má v bode A ostré lokálne minimum (maximum), ak druhý diferenciál d f(a, X) > 0 (d f(a, X) < 0) pre každý bod X A, funkcia f(x) nemá v bode A lokálny extrém, ak existujú body X, X také, že d f(a, X ) a d f(a, X ) majú rôzne znamienka. Veta. (Postačujúca podmienka existencie extrému funkcie dvoch premenných) Nech bod A je stacionárnym bodom funkcie f(x, y) a nech má funkcia v okolí bodu A spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Nech determinant f(a) f(a) x = x y > 0. f(a) y x f(a) y Potom, ak = f(a) x 0, má funkcia f(x, y) v bode A lokálny extrém, a to lokálne minimum, ak súčasne platí = f(a) x > 0, lokálne maximum, ak súčasne platí = f(a) x < 0. Ak (A) < 0, tak nemá funkcia f(x, y) v bode A extrém (bod A sa nazýva sedlový bod). Poznámka: Ak (A) = 0, tak o lokálnom extréme pomocou uvedenej vety nevieme rozhodnúť. Je potrebné vyšetrovať funkciu f(x, y) v okolí stacionárneho bodu A inými metódami (napríklad testujeme funkčné hodnoty v okolí bodu A). Veta. (Postačujúca podmienka existencie extrému funkcie troch premenných) Nech bod A je stacionárnym bodom funkcie f(x, y, z) a nech má funkcia v okolí bodu A spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Nech determinant f(a) f(a) x = x y > 0. f(a) y x f(a) y Potom má funkcia f(x, y, z) v bode A lokálny extrém, a to

. Lokálne extrémy funkcie n premenných 4 lokálne minimum, ak súčasne platí = f(a) x f(a) f(a) x x y = f(a) f(a) y x f(a) z x y f(a) z y lokálne maximum, ak súčasne platí = f(a) x f(a) f(a) x x y = f(a) f(a) y x f(a) z x y f(a) z y > 0 a zároveň > 0, f(a) x z f(a) y z f(a) z < 0 a zároveň < 0. f(a) x z f(a) y z f(a) z Príklad.0 Nájdime lokálne extrémy funkcie f(x, y) = x + y + x y x 4. Riešenie: Najprv potrebujeme určiť stacionárne body. Nato musíme vypočítať parciálne derivácie prvého rádu funkcie f(x, y) (x, y) x = 6x + 6x, Stacionárne body nájdeme riešením sústavy rovníc (x, y) y = y. 6x + 6x = 0 y = 0. Stacionárne body sú A = (, ), B = (, ) C = (, ) a D = (, ). Využitím Vety. overíme extrémy v týchto stacionárnych bodoch. Vypočítame druhé parciálne derivácie f(x, y) x = x (6x + 6x ) = x + 6, f(x, y) x y = y (6x + 6x ) = 0, f(x, y) y = y (y ) = 6y, f(x, y) y x = x (y ) = 0. a určíme postupne hodnoty determinantov a v stacionárnych bodoch. 8 0 Pre stacionárny bod A platí (A) = 0 6 = 08 > 0 (A) = 8 > 0 v bode A je lokálne minimum. 8 0 Pre stacionárny bod B platí (B) = 0 6 = 08 < 0 (B) = 8 0 v bode B nie je extrém a bod B je sedlový bod. 8 0 Pre stacionárny bod C platí (C) = 0 6 = 08 < 0 (B) = 8 0

44 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH v bode C nie je extrém a bod C je sedlový bod. 8 0 Pre stacionárny bod D platí (D) = 0 6 v bode D je lokálne maximum. = 08 > 0 (D) = 8 < 0.4 Viazané extrémy funkcie dvoch premenných Definícia.6 Nech funkcia f(x, y) je definovaná na množine M a množinu L nech tvoria všetky body z M, ktoré vyhovujú rovnici g(x, y) = 0. Lokálne extrémy funkcie f(x, y) na množine L nazývame viazanými lokálnymi extrémami a podmienku g(x, y) = 0, ktorá určuje množinu L, nazývame väzbou. Pri hľadaní extrémov môžu nastať dva prípady: ak sa z väzby g(x, y) = 0 dá jednoznačne vyjadriť niektorá premenná, dosadíme ju do funkcie f(x, y), dostaneme funkciu jednej premennej a viazaný extrém danej funkcie hľadáme ako lokálny extrém funkcie jednej premennej, ak sa z väzby g(x, y) = 0 nedá jednoznačne vyjadriť žiadna premenná, zostrojíme Lagrangeovu funkciu L(x, y) = f(x, y) + λg(x, y), λ R. Vypočítame jej parciálne derivácie podľa premenných x a y L x = x + λ g x, L y = y + λ g y a stacionárne body Lagrangeovej funkcie L(x, y) nájdeme riešením sústavy rovníc x + λ g x = 0 y + λ g y = 0 g(x, y) = 0. Závery pre existenciu viazaného lokálneho extrému sú rovnaké ako pri lokálnych extrémoch, avšak ak Lagrangeova funkcia nemá lokálny extrém, o existencii viazaného lokálneho extrému funkcie f(x, y) nevieme povedať nič. V takom prípade musíme hľadať viazaný extrém iným spôsobom. Poznámka: Ak Lagrangeova funkcia L(x, y) má extrém, tak tento extrém je extrémom funkcie f(x, y) (naopak to neplatí). Príklad. Nájdime viazané extrémy funkcie f(x, y) = e xy, ak x + y =.

.4 Viazané extrémy funkcie dvoch premenných 45 Riešenie: Z funkcie g(x, y) = 0, t. j. x+y = 0, predstavujúcej väzbu môžeme jednoznačne vyjadriť ľubovoľnú z dvoch premenných, napr. y = x. Takto vyjadrené y dosadíme do funkcie f(x, y) a dostaneme funkciu jednej premennej f(x) = e x( x) = e x x. Vypočítame deriváciu prvého rádu funkcie f(x) f (x) = ( x)e x x a položíme ju rovnú nule, čím dostávame rovnicu ( x)e x x = 0. Riešením danej rovnice dostaneme stacionárny bod A = (, ). Potom určíme hodnotu derivácie druhého rádu funkcie f(x) v stacionárnom bode A f (A) = [( x)e x x] [ = (4x 8x + )e x x] = e < 0. A A Funkcia f(x, y) = e xy s väzbou x + y = má v bode A lokálne maximum a f(a) = e. Príklad. Nájdime viazané extrémy funkcie f(x, y) = x + y, ak x + y = 5. Riešenie: Keďže z funkcie g(x, y) = 0, t. j. x + y 5 = 0, predstavujúcej väzbu nemôžeme jednoznačne vyjadriť žiadnu z dvoch premenných, zostrojíme Lagrangeovu funkciu L(x, y) = x + y + λ(x + y 5), λ R a hľadáme jej extrémy. Najprv vypočítame parciálne derivácie prvého rádu Lagrangeovej funkcie L x = + xλ, L y = + yλ. Stacionárne body funkcie L(x, y) nájdeme riešením sústavy rovníc + xλ = 0 + yλ = 0 g(x, y) = x + y 5 = 0. Ak z prvej rovnice vyjadríme x, z druhej y a dosadíme ich do tretej rovnice, tak dostaneme rovnicu 4λ + λ 5 = 0. Riešením danej rovnice dostaneme λ =, λ = a určíme stacionárne body v závislosti na λ, λ. Pre λ = je A = (, ), pre λ = je B = (, ). Ďalej postupujeme podobne ako v Príklade.0. Vypočítame parciálne derivácie druhého rádu a určíme ich hodnoty v stacionárnych bodoch. Platí

46 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH L(x, y) x = λ, L(x, y) y x = 0, L(x, y) L(x, y) = λ, = 0. y x y 0 Pre stacionárny bod A platí (A) = 0 = > 0 (A) = > 0 v bode A viazané lokálne minimum a f(a) = 5. 0 Pre stacionárny bod B platí (B) = 0 = > 0 (B) = > 0 v bode B je viazané lokálne maximum a f(b) = 5. Neriešené úlohy: V nasledujúcich úlohách určte definičný obor funkcie f(x, y) a znázornite ho graficky:. f(x, y) = x + y x y x. f(x, y) = x + 7 ex y. f(x, y) = x + y x +. f(x, y) = x + y 4 + 9 x y. f(x, y) = xy x + y 4. f(x, y) = y xy x y 4. f(x, y) = ln x x y + x + y 5. f(x, y) = e xy x 6 + xy x 4 5. f(x, y) = y x y + ex+y 6. f(x, y) = ln ( + xy) + e x y 6. f(x, y) = + x y 7. f(x, y) = ln (xy 4) + y x + y 5 x + 7. f(x, y) = y x + 5 8. f(x, y) = x ln ( x y ) 8. f(x, y) = y x 9. f(x, y) = ln (x + e y ) + y x + 9. f(x, y) = 4 y x 0. f(x, y) = x ln y y ln x + xy 0. f(x, y) = 6 x y. f(x, y) = x+y + x y ln(x y). f(x, y) = x + y + x + 5 V nasledujúcich úlohách vypočítajte itu danej funkcie:. x + y (x,y) (0,4). (x,y) (4, ) 4. (x,y) (0,0) 5. (x,y) (0,) x y 9 x y 6 x + y 4 x y x + (y ) + x + (y ) 4

.4 Viazané extrémy funkcie dvoch premenných 47 6. arcsin (x,y) (0, ) x y x sin(xy) 7. (x,y) (,0) ( xy ) sin x 8. (x,y) (0, ) 9. (x,y) (4,0) x tg (xy) y + y 0. arctgy neexistuje (x,y) (0,0) x xy. neexistuje (x,y) (0,0) x + y x + y. neexistuje (x,y) (0,0) x y x + y. neexistuje (x,y) (0,0) y x y 4. neexistuje (x,y) (0,0) x + y xy x y + 5. neexistuje (x,y) (,) x + y x 4y + 5 xy x + y 6. neexistuje (x,y) (,) (x + ) + (y ) x 7. neexistuje (x,y,z) (0,0,0) x + y + z (x z + ) 8. neexistuje (x,y,z) (,0,0) (x + ) + y + z V nasledujúcich úlohách určte parciálne derivácie funkcie f(x, y) podľa jednotlivých premenných: 9. f(x, y) = x + y 5xy 40. f(x, y) = ln(y 4x + 8) 4. f(x, y) = arctg x + y 4. f(x, y) = (x + 5y) sin x 4. f(x, y) = x + y x 44. f(x, y) = x y x + y 45. f(x, y) = 9 y x x + 7 ex y x = x 5y, x = 4 y 4x + 8, y = y = y 5x π 4 y y 4x + 8 x = 8x 8 + (x + y ), y = 8y 8 + (x + y ) = sin x + (x + 5y) cos x x = 5 sin x y x = y + ( x), y = x x = 4xy (x + y ), y = 4x y (x + y ) x = y x 4x (x + 7) ex y

48 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH 46. f(x, y) = x + y x + 47. f(x, y) = ln x x y + x + y 48. f(x, y) = y x y + ex+y 49. f(x, y) = + x y x + y 5 50. f(x, y) = y x + 5 5. f(x, y) = y x y = x + 7 + e x (y ) x = x (x ) y (x + ), y = x + x = y ln x x 4x (x y) (x + y ) y = 5. f(x, y) = 4 y x x = 5. f(x, y) = 6 x y x = 54. f(x, y) = x + y + x + 5 55. f(x, y) = y xy x y 56. f(x, y) = e xy x 6 57. f(x, y) = ln ( + xy) + e x y x = 58. f(x, y) = ln (xy 4) + y x + 59. f(x, y) = x ln ( x y ) ln x (x y) 4y (x + y ) x(y ) = x (x y ) + ex+y y = x y + 6y + e x+y (x y ) x = x + y x + xy 5 (x + y 5) y = yx + 8y xy (x + y 5) x = y x + 5, y = y x + 5 x = y x, y = y y x x 4 (y x ), y = y 4 (y x ) x 6 x y, y = y 6 x y x = x x + y + x x + 5 y = y x + y x = y xy (x y) x y y = xy + x y 4x y (x y) x y x = exy (yx 6y x) (x 6) x 6, y = xexy x 6 y + xy + ex y, y = y (x + ), y = x = y xy 4 x = ln ( x y ) y = xy x y x + xy ex y x x y x xy 4 + x +

.4 Viazané extrémy funkcie dvoch premenných 49 60. f(x, y) = ln (x + e y ) + y x + 6. f(x, y) = x ln y y ln x + xy 6. f(x, y) = x+y x y + ln(x y) x = x x + e y y x + y = ey x + e + y y x + x = ln y y x + y xy y = ln x + x y + x xy x = y x y (x y) x + y + x x y y = x x y (x y) x + y x y 6. f(x, y) = x + y 4 + 9 x y 64. f(x, y) = xy x + y x = y = x = y = x x + y 4 y x + y 4 x 9 x y y 9 x y xy + y 4y (x + y ) x + y 65. f(x, y) = e x y + x y x = y e x y + yx y, 66. f(x, y) = xye x+y x = yex+y ( + x), 67. f(x, y) = xe x y x = ( + x)ex y, 68. f(x, y) = ye x +y x xy + x 4x (x + y ) x + y y = x y e x y + x y ln x +y = xyex, 69. f(x, y) = (x y )e xy x = ( + xy y4 )e xy 70. f(x, y) = cos(x y) x + y 7. f(x, y) = cotg x y x + y 7. f(x, y) = (x + y) sin xy y = xex+y ( + y) y = xex y y = ( + y x +y )e y = ( y + x xy )e xy (x + y) sin(x y) cos(x y) = x (x + y) (x + y) sin(x y) cos(x y) = y (x + y) x = y (x + y) sin x y, y = x (x + y) x+y sin x y x+y x = x sin xy + (yx + y ) cos xy y = sin xy + (x + yx) cos xy

50 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH 7. f(x, y) = x sin y + ln tg x y x = sin y x sin y + y sin x cos x y y y = x cos y x sin y x y sin x cos x y y V nasledujúcich úlohách určte parciálne derivácie danej funkcie podľa jednotlivých premenných v bode A: 74. f(x, y) = arctg x y, A = (0, ) (A) (A) =, = 0 x y 75. f(x, y) = x y + e xy (A), A = (, ) = + e (A), = + e x y 76. f(x, y) = e sin y (A) (A) x, A = (, 0) = 0, = x y 77. f(x, y) = 4 y x, A = (0, ) x = 0, y = 78. f(x, y) = (A) 6 x y, A = (, ) = x, (A) = y 79. f(x, y) = ln ( + xy) + e x y (A), A = (, ) = x 4, (A) = 5 y 8 80. f(x, y) = ln x x y + (A), A = (, ) = x + y x, (A) = y ( π 8. f(x, y) = y sin(x y ), A =, π ) (A) = π x 4, (A) = π y 4 8. f(x, y, z) = y cos x + z cos y + x sin z, ( A = 0, π, π ) 8. f(x, y, z) = ln(x + y + z ), A = (,, ) (A) = x (A) x, (A) y = 7, (A) y = π, (A) z = 7, (A) z = 7 = 0 V nasledujúcich úlohách určte parciálne derivácie zloženej funkcie podľa jednotlivých premenných: df 84. f(x, y) = x y, x = t, y = t + dt = 85. f(x, y) = x y, x = e t, y = e 5t df dt = 4et + 5e 5t 86. f(x, y) = x y, x = ln t, y = df t dt = t + t 87. f(x, y) = df xy, x = t, y = t + dt = t + t + t 88. f(x, y) = xy, x = e t, y = e 5t df dt = et + e t e t e t 89. f(x, y) = xy, x = ln t, y = df t dt = ln t t ln t t

.4 Viazané extrémy funkcie dvoch premenných 5 90. f(x, y) = y ln x, x = t, y = t + df dt = ln t + t + t 9. f(x, y) = y ln x, x = e t, y = e 5t df dt = e 5t ( 0t + ) 9. f(x, y) = y ln x, x = ln t, y = t df dt = ln t ln(ln t) t ln t 9. f(x, y) = x y, x = ln t, y = + e t df dt = + e t t + et ln t + e t 94. f(x, y) = arcsin (x y), x = t, y = 4t df dt = t (t 4t ) 95. f(x, y) = x y y x, x = u + v, y = u v u = u u + 4u + v v v u v v = u + u + u v v + u v 96. f(x, y) = x y y x, x = e u, y = e v u = eu+ v e u+ v 97. f(x, y) = x y y x, x = ln(u + v), y = u + v v = eu+ v + e u+ v u = v = ln(u + v) ln (u + v) ln(u + v) (u + v) (u + v) x 98. f(x, y) = y, x = (u + v), y = v u x 99. f(x, y) = y, x = e4u v, y = uv 00. f(x, y) = x y, x = u v, y = u + v u = v (v u), v = u = eu v (u ) uv v = eu v (v + ) u v u = v = 0. f(x, y) = x ln y, x = u v, y = u v u = u v 0. f(x, y) = x, x = u v, y = v + u y u (v u) v (u + v) u v u+v u (u + v) u v u+v ( ln(u v) + u ) u v ( ) ln(u v) + v u v v = u v u v = (u v)(u + v) (u + v) = (v u)(9u + v) (u + v)

5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIACERÝCH PREMENNÝCH V nasledujúcich úlohách nájdite rovnicu dotykovej roviny ρ a normály n ku grafu funkcie f(x, y) v dotykovom bode A: 0. f(x, y) = (y x ), A = (,,?) ρ : 4x 4y z + 4 = 0 n : x = + 4t, y = 4t, z = 4 t, t R 04. f(x, y) = 4 x y, A = (,,?) ρ : x + y + z 4 = 0 n : x = + t, y = + t, z = + t, t R 05. f(x, y) = x 4y, A = (,,?) ρ : 8x 8y z 4 = 0 06. f(x, y) = x + y, A = (, 4,?) ρ : x + 4y 5z = 0 07. f(x, y) = sin x, A = (π,,?) ρ : x πy + z = 0 y n : x = + 8t, y = 8t, z = 4 t, t R n : x = + t, y = 4 + 4t, z = 5 5t, t R ( π ) 08. f(x, y) = e y sin x, A = 4, 0,? n : x = π + t, y = πt, z = t, t R ρ : x + y z + ( π ) = 0 4 n: x = π 4 + t, y = t, z = t, t R V nasledujúcich úlohách nájdite rovnicu dotykovej roviny ρ ku grafu danej funkcie, pričom dotyková rovina je rovnobežná s danou rovinou σ: 09. f(x, y) = 4x + y, σ : x + y z + = 0 ρ : 8x + 8y 4z 5 = 0 0. f(x, y) = 4 x y, σ : x + y z = 0 ρ : x + y z + 6 = 0. f(x, y) = x + y, σ : x + y + z = ρ : 6(x + ) + (y + 4 ) + ( z 45 6) = 0. f(x, y) = + (x ) + y, σ : z = 0 ρ : z = 0 V nasledujúcich úlohách nájdite lokálne extrémy funkcie f(x, y):. f(x, y) = 4 x y lok. max. v (0, 0) 4. f(x, y) = 0 x y lok. max. v (0, 0) 5. f(x, y) = x + y lok. min. v (0, 0) 6. f(x, y) = x + y + lok. min. v (0, 0) 7. f(x, y) = x + y x + lok. min. v (, 0) 8. f(x, y) = x + y + 4y + lok. min. v (0, ) 9. f(x, y) = 4 x y x lok. max. v (, 0) 0. f(x, y) = x + y 4x + 4y + 8 lok. min. v (, ). f(x, y) = x y + x y nemá extrém. f(x, y) = x y + 6x + y lok. max. v (, ) f(x, y) = (x ) + 4y lok. min. v (, 0)