px (Prezentácia k prednáškam) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 21. marca 2019
Na úvod si zodpovedzme tieto otázky # 1 Prečo funkcia viac premenných? # 2 Čo sa očakáva, že v tejto chvíli mám v malíčku? # 3 Čo sa naučím? A kam smerujeme?
Prečo funkcia viac premenných?... LEBO jedna premenná veľakrát nestačí... A: Fyzika (Problém pohybu vibračnej struny (18. storočie) 1 ) The influence of physics in stimulating the creation of such mathematical entities as quaternions, Grassmann s hypernumbers, and vectors should be noted. These creations became part of mathematics. M. Kline, 1972 Nech u je funkcia popisujúca pohyb struny, konkrétne kolmú výchylku od rovnovážnej polohy u (x, t). Zrejme táto funkcia závisí od dvoch veličín: x pozícia bodu na strune t čas od začiatku vibrácie 1 Problém vibrácie struny bol študovaný J. R. d Alembertom, L. Eulerom, D. Bernoullim, J.-L. Lagrangeom a ďalšími. Popísanie tohoto pohybu výrazne prispelo k rozvoju akustiky a popísaniu mnoho ďalších javov, objektov ako gravitačné, zvukové, svetelné vlny, pozri brilliant.org.
Prečo funkcia viac premenných? B: Ekonómia (optimalizovanie nákladov na výrobu napr. materiálu, pracovnej sily, kapitálových výdavkov,...) Výnos firmy Apple v prepočte na jednu akciu (2005-2010) bol modelovaný funkciou f : R R R f(x, y) = 0.379x 0.135y 3.45, kde x - predaj, y - vlastný kapitál. Obr.: Apple company, 1976, Silicon Valley Funkcia viac premenných pre 2... problém maximalizovať zisk Napr. Ak náklady na výrobu závisia od materiálov, ktoré pri výrobe používame, ceny práce a výdavkov spojených s prevádzkou, pričom cena každého je známa. Potom sa môžeme pýtať ako tieto vstupy nastaviť, aby sme maximalizovali zisk. popis produkcie firmy, ekonomiky (Cobb-Douglas production function, pozri Zaujímavosti). 2 Správne nastavenie modelu, funkcie viac premenných môže pomôcť predpovedať výnosnosť firmy, vývoj ekonomiky v najbližších rokoch, vieme prispôbiť resp. zmeniť stratégiu firmy (nakúpiť viac materiálu, prepustiť zamestnancov, )
C: Architektúra (hyperbolický paraboloid) Funkcia dvoch premenných f : R R R daná predpisom je hyperbolický paraboloid. f(x, y) = x2 a 2 y2 b 2 Obr.: Areál oceánografie vo Valencii, Španielsko Obr.: Železničná zastávka vo Varšave, Poľsko
Čo by som mal vedieť predtým ako sa pustím do tejto kapitoly?... pracovať s funkciou 1 premennej je NUTNÉ ovládať definíciu, základné vlastnosti funkcie 1 premennej, pojem limity, spojitosti, derivácie funkcie je dobré si pamätať známe výsledky ako Weierstrassova veta, Lagrangeova veta, atď.... je dobré mať priestorovú predstavivosť (3D modely funkcií dvoch premenných)... pracovať s parametrom f(x) = ax 2, a R f(x, a) = ax 2... poznať predpisy a grafy elementárnych funkcií a elementárnych kriviek (stačia kužeľosečky :))
Pripomeňme si 3... Obr.: Rovnice známych kužeľosečiek, pozri http... 3 Pomocou kužeľosečiek budeme vytvárať ich 3D verzie, tzv. kvadratické plochy. Pre viac informácii pozri zaujímavosti v závere prezentácie.
Čo sa naučím? A kam smerujeme?... pracovať s predpisom a grafom funkcie viac premenných... pracovať s konvergenciou a spojitosťou funkcie viac premenných... smerujeme k riešeniu optimalizačných úloh, diferenciálnemu počtu funkcie viac premenných J. Kuben a kol: Diferenciální počet funkcí více proměnných, Brno a Ostrava, 2012. L. Kluvánek, I. Mišík, M. Švec: Matematika I, II, SVTL, Bratislava, 1959. I. Mojsej: Príklady ku predmetu Matematická analýza 2 pre informatikov a fyzikov, Košice, 2012. (str. 18,19/13-15).
... ZAČNIME!!!
Obr.: Funkcia ako priradenie vľavo, grafy niektorých funkcií dvoch premenných vpravo Definícia 2.1 (Reálna funkcia viac premenných) Nech množina M E n. Ak každému x M, x = (x 1, x 2,..., x n) je priradené práve jedno reálne číslo y E 1, tak hovoríme, že na množine M máme danú reálnu funkciu n reálnych premenných a zapisujeme y = f(x), x M. Množinu M nazývame definičný obor funkcie f (ozn. D f ).
Poznámky: Zápis y = f(x), x M je ekvivalentný zápisu po zložkách y = f(x 1, x 2,..., x n), (x 1, x 2,..., x n) M Reálne číslo f(x) nazývame funkčnou hodnotou funkcie f v bode x D f Funkcia f je jednoznačne určená svojim D f a predpisom. Ak D f nie je uvedený, rozumie sa ním množina všetkých bodov x E n, pre ktoré má predpis zmysel. Ako by to mohlo vyzerať v 4D? Obr.: Funkcia dvoch premenných (vľavo) a troch premenných (vpravo)
Príklad funkcie viac premenných č.1 (Funkcia, ktorá je daná tabuľkou) Example: In regions with severe winter weather, the wind-chill index is often used to describe the apparent severity of the cold. This index W is a subjective temperature that depends on the actual temperature T and the wind speed v. So W is a function of T and v, and we can write W = f(t, v). Table 1 records values of W compiled by the NOAA National Weather Service of the US and the Meteorological Service of Canada. Z tabuľky vieme napríklad odčítať, že ak je teplota 5řC a rýchlosť vetra je 50km/h, tak subjektívna teplota 4, ktorú pociťuje pozorovateľ je 15řC v bezvetrí, t.j. f( 5, 50) = 15 4 A new wind-chill index was introduced in November of 2001 and is more accurate than the old index at measuring how cold it feels when it s windy. The new index is based on a model of how fast a human face loses heat. It was developed through clinical trials in which volunteers were exposed to a variety of temperatures and wind speeds in a refrigerated wind tunnel.
Príklad funkcie viac premenných č. 2 V teórii kódovania je Leeova 5 vzdialenosť ρ L (x, y) := n min( x i y i, q x i y i ). i=1 medzi dvoma textovými reťazcami x 1x 2... x n a y 1y 2... y n nad q-árnou abecedou, q 2, vlastne funkcia 2n premenných. Úloha: Určte definičný obor nasledujúcej funkcie ( ) f(x, y) = x 2 (y 2)2 + 1 (x 2 + y 2 6x). 4 Časť riešenia: Obr.: Definičný obor a graf funkcie f 5 Pre q = 2 sa zhoduje s Hammingovou vzdialenosťou.
Obr.: A scalar field such as temperature or pressure, where intensity is represented by different hues of color Obr.: Vrstevnice: World mean sea-level temperatures in January in C Obr.: Vrstevnice: Topographic maps of mountainous regions Definícia 2.2 Grafom funkcie f definovanej na množine M E n nazývame množinu G f = {(x 1, x 2,..., x n, x n+1) E n+1 ; (x 1, x 2,..., x n) M, x n+1 = f(x 1, x 2,..., x n)}. Poznámky: Pri načrtávaní grafu funkcie 2 (viac) premenných si pomáhame: rezmi grafu príslušnej funkcie rovinami x = 0 (rovina ρ yz), y = 0 (rovina ρ xz), z = 0 (rovina ρ xy) a rovinami rovnobežnými so súradnicovými rovinami, tzv. vrstevnicami funkcie f na úrovni c, c R, t.j. V c = {(x, y) E 2 : f(x, y) = c}. ak chápeme graf funkcie dvoch premenných ako reliéf krajiny, potom vrstevnica funkcie na úrovni c je množina všetkých bodov s nadmorskou výškou rovnou číslu c, vo vyšších rozmeroch sa tento geografický význam stráca.
Úloha: Načrtnite graf nasledujúcej funkcie 6 g(x, y) = 9 x 2 y 2. Riešenie: Úloha: Použitím vhodného kalkulátora vykreslite graf a vrstevnice Cobb-Douglas produkcie, ktorá sa riadi nasledujúcim vzťahom Riešenie: P(L, K) = 1.01L 0.75 K 0.25. 6 https:www.geogebra.org
Obr.: Eliptický paraboloid a hyperbolický paraboloid Ďalšie známe príklady funkcie viac premenných: (i) Funkcia f(x, y) = x 2 + y 2, (x, y) R 2 je reálnou funkciou dvoch reálnych premenných s D(f) = R 2, H(f) = [0, ) a jej graf predstavuje eliptický paraboloid. (ii) Funkcia g(x, y) = x 2 y 2, (x, y) R 2 je reálnou funkciou dvoch reálnych premenných s D(f) = R 2, H(f) = R a jej graf predstavuje hyperbolický paraboloid 7. 7 Ďalšie príklady kvadratických útvarov, presnejšie kvadratických plôch, pozri zaujímavosti v závere prezentácie. Pozor, nie každá z nich funkciou.
Základné vlastnosti funkcie viac premenných Základné pojmy, ako operácie s funkciami, ohraničenosť funkcie (ohraničenosť zdola, zhora), maximum, minimum funkcie na množine sú definované ako u funkcie jednej reálnej premennej: Definícia 2.3 (operácie s funkciami) Nech f, g sú funkcie, ktorých definičné obory sú D f, D g. Potom ( x D f ) f (x) = f(x) Absolútna hodnota ( x D f D g) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x). Súčet(rozdiel) ( x D f D g) (f g)(x) = f(x) g(x). Súčin ( ( x D f {x D g : g(x) 0}) f f(x) (x) = g(x). Podiel Definícia 2.4 (ohraničenosť funkcie) Funkcia f sa nazýva ohraničená zhora (zdola) na množine M D f, ak množina jej funkčných hodnôt na množine M je ohraničená zhora (zdola), t.j. ak ( h R)( x M) f(x) h ( ( d R)( x M) f(x) d). Funkcia f sa nazýva ohraničená na množine M D f, ak je ohraničená zdola aj zhora na množine M. Funkcia f sa nazýva neohraničená na množine M D f, ak nie je ohraničená na M.
Definícia 2.5 (extrémy funkcie) (i) Ak ( a M, M D f )( x M)f(x) f(a), tak hovoríme, že funkcia f nadobúda v bode a maximum na množine M a píšeme f(a) = max f(x). x M (ii) Ak ( b M, M D f )( x M)f(x) f(b), tak hovoríme, že funkcia f nadobúda v bode b minimum na množine M a píšeme f(b) = min f(x). x M Úloha[ ]: Jednou z nutných a postačujúcich podmienok ohraničenosti funkcie jednej premenej je existencia ( K R, K > 0)( x M) f(x) K. Sformulujte analógiu tohoto tvrdenia pre funkciu viac premenných a overte jeho pravdivosť 8. 8 Funkcia f je ohraničená na M Df ( K R, K > 0)( x M) f(x) K.
Ako definovať skladanie funkcie viac premenných? Predtým ako zavedieme pojem zloženej funkcie viac premenných skúsme na základe definície skladania funkcie jednej premennej sami navrhnúť toto skladanie pre vyššie rozmery. Definícia 2.6 (Zložená funkcia) Nech funkcia y = f(t), kde t = (t 1, t 2,..., t m) je definovaná na množine P E m a nech t 1 = φ 1(x), t 2 = φ 2(x),..., t m = φ m(x), kde x = (x 1, x 2,..., x n), je m funkcií n -premenných, ktoré sú definované na množine M E n. Nech pre každý bod x M bod t = (φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)) P. Potom funkciu F(x) = f(φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)) nazývame zloženou funkciou definovanou na množine M. Poznámky: Funkcii f hovoríme hlavná zložka a funkciám φ 1, φ 2,..., φ m vedľajšie zložky zloženej funkcie. Schematicky: x φ 1,φ 2,...,φm t = (φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)) f f(t) (x 1, x 2,..., x n) φ 1,φ 2,...,φm t = (φ 1(x 1, x 2,..., x n),..., φ m(x 1, x 2,..., x n)) f f(t 1, t 2,..., t m)
Pozrime sa na údaje hodnôt vybraných bodov definičného oboru funkcií, znázornených v tabuľkách. Príklad: Porovnajme správanie sa funkcií f a g na okolí bodu (0, 0), pričom f(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 a g(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2. Pozorovanie: Zrejme hodnoty funkcie f na okolí bodu (0, 0) kolíšu okolo hodnoty 1, zatiaľ čo hodnoty funkcie g sa menia v riadku, stĺpci, na diagonále.
Zamyslime sa: a) Ak chceme hovoriť o limite v bode (0, 0) akú vlastnosť vzhľadom na D f tento bod musí spĺňať, aby sme mohli hovoriť o limite? b) Aké výsledky lim f(x, y) a lim g(x, y) očakávate? (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) Pripomeňme si: Limita funkcie 1 reálnej premennej Topologická super definícia limity funkcie lim f(x) = b ( O(b))( O (a))( x D f )) x O (a) f(x) O(b) Vlastná limita funkcie vo vlastnom bode lim f(x) = b ( ε > 0)( δ > 0)( x D f ) x O δ (a) f(x) Oε(b) lim f(x) = b ( ε > 0)( δ > 0)( x D f ) 0 < x a < δ f(x) b < ε Obr.: Vizualizácia konvergencie funkcie jednej premenných.
Definícia 2.7 (Cauchyho definícia vlastnej limity funkcie vo vlastnom bode) Nech bod a je hromadným bodom definičného oboru D f E n funkcie f. Hovoríme, že číslo b E 1 je limitou funkcie f v bode a, ak ( ε > 0)( δ > 0)( x D f ) 0 < ρ(x, a) < δ f(x) b < ε, čo zapisujeme lim f(x) = b. Poznámky: Prečo limita v izolovanom bode NIE? Vtedy by totiž definícii limity vyhovovalo ľubovoľné reálne číslo, a teda napríklad by neplatilao tvrdenie o jednoznačnosti limity, ktoré o chvíľu vyslovíme. Na bod a okrem toho, že má byť hromadným bodom D f nekladieme žiadne ďalšie požiadavky, napr. f nemusí byť definovaná v bode a a ak aj definovaná je, nezáleží aká je v ňom hodnota. V prípade funkcie dvoch premenných je okolie bodu a kruh, hodnoty funkcie potom musia ležať medzi dvoma rovinami ( ϵ pás v 3D ). Obr.: Vizualizácia konvergencie funkcie dvoch premenných.
Podobné výsledky ako pre funkciu jednej premennej stále platia 9... Obr.: Heinrich Eduard Heine (1821-1881) Veta ( Heineho veta) Nech bod a je hromadným bodom definičného oboru D f E n funkcie f. Číslo b E 1 je limitou funkcie f práve vtedy, keď pre každú postupnosť bodov {x k } k=1, x k D f konvergujúcu k a postupnosť {f(x k )} k=1 konverguje k číslu b. Poznámky: Schematicky: lim f(x) = b lim f(x k ) = b, {x k } k=1, x k D f x k a Konvergenciu postupnosti bodov {x k } k=1, x k D f E n rozumieme po zložkách Heineho vetu využívame na dokázanie toho, že limita funkcie v danom bode neexistuje (zdôvodnite prečo) Úloha: Vypočítajte nasledujúcu limitu a graf funkcie na vhodnom okolí vykreslite v softvéri lim x 0 y 0 x 2 y 2 x 2 + y 2. 9 Dôkazy týchto nečíslovaných tvrdení je možné nájsť v [2], budú predmetom malej písomky, nie však skúšky.
Tvrdenie ( ) Funkcia f má v bode a nanajvýš jednu limitu. Tvrdenie ( ) Nech bod a je hromadným bodom D f, D g E n. Ak lim f(x) = b 1 a lim g(x) = b 2, tak (i) existuje lim f(x) a platí lim f(x) = b 1 ; (ii) existuje lim (f ± g)(x) a platí lim (f ± g)(x) = b 1 ± b 2 ; (iii) existuje lim (f g)(x) a platí lim (f g)(x) = b 1 b 2 ; ) ( (x) a platí lim f g (iv) ak b 2 0, tak existuje lim ( f g Tvrdenie ( O zovretí) ) (x) = b 1 b 2. Nech bod a je hromadným bodom D f, D g, D h E n a nech existuje O (a) také, že ( x O (a) D f D g D h ) f(x) h(x) g(x). Ak lim f(x) = lim g(x) = b, tak lim h(x) = b.
Tvrdenie ( 0 ohraničená ) Nech bod a je hromadným bodom D f, D g E n. Ak lim f(x) = 0 a g je ohraničená na O (a), tak lim (f(x) g(x)) = 0. Úloha: Vypočítajte nasledujúcu limitu lim x 0 y 0 x 3 x 2 + y 2. Zamyslime sa: Daná je funkcia f(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2. a) Sformulujte hypotézu o hodnote lim f(x, y). x 0 y 0 b) Argumentujte predchádzajúci výpočet.
Ktoré situácie chceme vetou o limite zloženej funkcie obsiahnuť, ktoré nie? Chceme, aby sa limita zloženej funkcie počítala po častiach, t.j. spočítam limitu vnútornej funkcie v bode a spočítam limitu vonkajšej funkcie v hodnote limity vnútornej funkcie, a to by sme chceli, aby bola limita zloženej funkcie v bode a. Takýto výpočet nefunguje vždy!, viď. prednáška. Veta 2.8 (O limite zloženej funkcie ) Uvažujme zloženú funkciu F(x) = f(φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)). Nech existujú limity φ i(x) = b i, i = 1, 2,..., m a také O (a), že lim (φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)) = (t 1, t 2,..., t m) = t b, x O (a) D F, (1) kde b = (b 1, b 2,..., b m). Nech ďalej lim t b f(t) = c. Potom v bode a existuje limita zloženej funkcie a platí lim f(φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)) = lim f(t) = c. t b Úloha: ( ) Vymyslite príklad funkcie viac premenných, na ktorom ilustrujete potrebu podmienky(1). Pre jednorozmerný prípad pozri Prednášku MANb.
Ako zaviesť analógiu pojmu limita funkcie f sprava (zľava)? Problém: V prípade funkcií viac premenných sa môžeme k danému limitnému bodu blížiť nekonečne veľa možnosťami cestami. Obr.: Konvergencia vzhľadom na rôzne množiny. Vpravo napr. vzhľadom na priamky a špirálu. Definícia 2.9 (Cauchyho definícia limity v bode vzhľadom na množinu) Nech množina M D f a bod a je hromadný bod množiny M. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu číslo b E 1 vzhľadom na množinu M, ak čo zapisujeme lim f(x) = b. x M ( ε > 0)( δ > 0)( x M)(0 < ρ(x, a) < δ f(x) b < ε), Poznámka: Pre funkciu jednej premennej, napr. pojem lim f(x) predstavuje limitu funkcie v bode + a E 1 vzhľadom na množinu M = (a, + ) D f.
Tvrdenie 2.10 (Nutná a postačujúca podmienka existencie limity) Nech bod a je hromadným bodom definičného oboru D f E n funkcie f. Číslo b E 1 je limitou funkcie f práve vtedy, keď lim f(x) = b x M vzhľadom na každú množinu M, M D f takú, že bod a je jej hromadný bod. 10 Zamyslime sa: Aký význam má predchádzajúce tvrdenie pri výpočte limít? Komentár: Táto veta sa používa hlavne na dokazovanie neexistencie limity. Ak nájdeme dve množiny ( cesty ) M 1 D(f), M 2 D(f), pričom bod a je ich hromadným bodom a lim f(x) lim f(x), x M 1 x M 2 potom podľa predchádzajúcej vety lim f(x) neexistuje. Úloha: Vypočítajte nasledujúce limity a) lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 2 +y 2, b) lim (x,y) (0,0) x 2 y x 4 +y 2, c) lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 4 +y 2. 10 Tvrdenie vyplýva priamo z definície limity funkcie a Heineho vety.
Pre nadšencov: Čo s nevlastnou limitou alebo limitou v nevlastnom bode? Všetky typy limít je možné odvodiť zo všeobecnej (topologickej) Cauchyho definície limity funkcie, t.j. Nech funkcia f je definovaná na nejakom O (a). kde a R n, b R. lim f(x) = b ( ε > 0)( δ > 0)( x D f )(x O δ (a) f(x) Oε(b)), Napríklad v priestore E 2 je možné definovať limitu funkcie v nevlastných bodoch [, + ], [, ], [+, + ], [+, ] a tiež v bodoch [c, + ], [c, ], [, c], [+, c], kde c E 1. Úloha ( ): Na základe všeobecnej definície limity funkcie definujte v priestore E 2 nevlastné limity funkcie f vo vlastnom bode a vlastné limity v nevlastných bodoch. Vlastná limita v bode [, + ]. Definícia Poznámka: Ak v definíciách jednotlivých typov Matematická limít funkcie analýza v bode IVnahradíme RNDr. D f množinou Lenka Halčinová, M D f PhD., pričom bod a je jej hromadným bodom,
Výpočet limít pomocou polárnych súradníc Polohu bodu v rovine často charakterizujeme dvojicou čísel, súradnicami. Najčastejšie používame karteziánske súradnice ( priame vzdialenosti od odpovedajúcich na seba kolmých osí). Karteziánske súradnice nie sú jediný spôsob ako polohu bodu jednonačne popísať. Iný spôsob a ich vzťah ku karteziánskym súradniciam uvádzame nižšie, tzv. polárne súradnice. Obr.: Transformácia pomocou polárnych súradníc Definícia 2.11 Nech (x 0, y 0) E 2. Zobrazenie Φ, ktoré každej dvojici čísel (r, θ) priradí bod (x, y) podľa vzťahov x = x 0 + r cos θ, y = y 0 + r sin θ sa nazýva transformácia pomocou polárnych súradníc.
Veta 2.12 Predpokladajme, že funkcia f(x, y) sa dá vyjadiť v polárnych súradniciach so stredom v bode (x 0, y 0) v tvare f(x, y) = L + g(r)h(r, θ), L R, kde i) lim g(r) = 0, r 0 ii) h(r, θ) je ohraničená na obdlžníku 0, r 0 0, 2π, kde r 0 > 0. Potom lim x x0 y y 0 f(x, y) = lim + g(r)h(r, θ)) = L. r 0 +(L Úloha: Pomocou transformácie do polárnych súradníc vypoočítajte nasledujúce limity a) lim (x,y) (0,0) x 2 y x 2 +y 2, b) lim (x,y) (0,0) (x 4 +y 2 ) sin(x 2 +y 2 ) (x 2 +y 2 ) 3. Diskutujte riešenie oboch úloh aj bez pomoci transformácie do polárnych súradníc.
Polárne súradnice - ponaučenie! 1. Ak výsledok limity závisí od uhla θ, t.j. limita nedáva pre všetky θ [0, 2π[ rovnaký výsledok, tak určite limita lim (x,y) (x 0,y 0 ) f(x, y) neexistuje. Napr. xy prevod = r2 cos θ sin θ = cos θ sin θ. x 2 + y 2 r 2 cos 2 θ sin 2 θ 2. Opačne, ak je limita pre všetky θ rovnaká, neznamená to, že limita existuje. Napr. 3x 2 y prevod 3r cos 2 θ sin θ = x 4 + y 2 r 2 cos 4 θ + sin 2 θ 2 3r cos Zrejme, lim θ sin θ = 0, dá sa však ukázať, že po parabolách je výsledok r 0 + r 2 cos 4 θ+sin 2 θ limity vždy rôzny.
Pripomeňme si spojitosť funkcie jednej premennej: Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a D f, ak ( ε > 0)( δ > 0)( x D f )( x a < δ f(x) f(a) < ε). Malým zmenám argumentu odpovedajú malé zmeny funkčných hodnôt. Predtým ako sa pustíme do nových pojmov, spomeňme si: Je postupnosť podľa tejto definície spojitá v každom bode svojho definičného oboru? Ako a kedy súvisí spojitosť s limitou? Definícia 2.13 Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a D f, ak ( ε > 0)( δ > 0)( x D f )(ρ(x, a) < δ f(x) f(a) < ε). }{{}}{{} x O δ (a) f(x) O ε(f(a)) Poznámka: Z definície vyplýva, že ak bod a je izolovaným bodom definičného oboru funkcie f, tak funkcia f je v ňom triviálne spojitá. Zdôvodnite tento fakt. Úloha: [ ] Zdôvodnite platnosť nasledujúceho tvrdenia: Nech bod a D f. Funkcia f je spojitá v bode a D f práve vtedy, keď a je izolovaným bodom D f alebo a je hromadným bodom D f a platí lim f(x) = f(a).
Analógia pojmu funkcia f je spojitá sprava (zľava)? Definícia 2.14 Nech bod a M, M D f. Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a vzhľadom na množinu M, ak ( ε > 0)( δ > 0)( x M)(ρ(x, a) < δ f(x) f(a) < ε). Poznámka: Aj tu platí analogické tvrdenie ako pri spojitosti funkcie v bode: Nech bod a M. Funkcia f je spojitá v bode vzhľadom na množinu M práve vtedy, keď a je izolovaným bodom M alebo a je hromadným bodom M a platí lim f(x) = f(a). x M Úloha: Zdôvodnite nasledujúce tvrdenie: Funkcia f je spojitá v bode a práve vtedy, keď je spojitá v bode a vzhľadom na každú množinu M D f, ktorá obsahuje bod a. Úloha: Nech funkcia f je daná predpisom { x 2 y f(x, y) = x 4 +y 2, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0), Vyšetrite a) Spojitosť funkcie f v bode (0, 0), b) Spojitosť funkcie f v bode (0, 0) vzhľadom na množinu priamok y = kx, k R.
Analógia pojmu funkcia spojitá na množine Definícia 2.15 Hovoríme, že funkcia f je spojitá na množine M D f, ak je spojitá v každom bode x 0 M vzhľadom na množinu M. Poznámky: Ak funkcia f je spojitá v každom bode x 0 D f svojho definičného oboru vzhľadom na D f, t.j. M = D f, budeme stručne hovoriť, že funkcia f je spojitá. Spojitosť funkcie f na množine M nezávisí na hodnote funkcie f v izolovaných bodoch množiny M. Súhrne porovnajme analogické pojmy pre funkiu jednej a viac premenných 1 premenná Viac premenných spojitosť v bode spojitosť v bode sprava/zľava spojitosť na množine spojitosť v bode spojitosť v bode vzhľadom na množinu spojitosť na množine
Príklad: Majme funkciu { 1 x2 y f(x, y) = 2, x 2 + y 2 < 1, 1, x 2 + y 2 = 1. Zrejme f C(S 0 ) ale f C(S), kde S = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. Poznámky: K tomu, aby sme zdôvodnili, že predchádzajúca funkcia je spojitá na danej množine je vhodné vedieť, ktoré operácie a za akých predpokladov zachovávajú spojitosť. Tomu sa budeme venovať v článku Vlastnosti spojitej funkcie viac premenných. Podobne ako v prípade funkcie jednej premennej boli elementárne funkcie spojité v každom bode svojho definičného oboru, aj tu ak vyjdeme z elementárnych funkcií jednej premennej vzhľadom na jednotlivé premenné, tak odpovedajúce funkcie dvoch premenných budú spojité na svojom definičnom obore. Napr. nasledujúca funkcia je spojitá na svojom D f (x + y)2 f(x, y) = tg x + sin y
Podobné výsledky ako pre funkciu jednej premennej stále platia 11... (Vlastnosti spojitej funkcie viac premenných na množine) Veta ( O operáciách so spojitými funkciami v bode.) Nech funkcie f, g sú spojité v bode a. Potom aj funkcie f + g, f g, f g sú spojité v bode a. Naviac, ak g(a) 0 je aj funkcia f spojitá v bode a. g Veta ( O spojitosti zloženej funkcie) Nech funkcie t i = φ i (x), i = 1, 2,..., m sú spojité v bode a = (a 1, a 2,..., a n). Označme si b = (φ 1 (a), φ 2 (a),..., φ m(a)) a nech funkcia y = f(t) = f(t 1, t 2,..., t m) je spojitá v bode b. Potom zložená funkcia je spojitá v bode a. F(x) = f(φ 1 (x), φ 2 (x),..., φ m(x)) Poznámka: Špeciálne, keď bod a je hromadným bodom D f, spojitosť v bode prepisujeme pomocou limity. Vtedy je táto veta podobná vete o limite zloženej funkcie, od tejto vety sa líši v tom, že predpoklad (φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)) (b 1, b 2,..., b m) = b pre každé x O (a) D(F) je nahradený spojitosťou funkcie f v bode b (t.j. spojitosťou vonkajšej zložky zloženej funkcie v bode b). 11 Dôkazy týchto tvrdení je možné nájsť v [2], budú predmetom malej písomky, nie však skúšky.
Predtým ako vyslovíme Weierstrassove vety pre funkciu viac premenných si pripomeňme: Aké špeciálne vlastnosti mali spojité funkcie jednej premennej v súvislosti s ohraničenosťou, existenciou extrémov? V spojení s akými dodatočnými predpokladmi tieto vlastnosti platili? Veta ( Weierstrassova veta o ohraničenosti) Nech funkcia f je spojitá na uzavretej, ohraničenej množine M E n. Potom je funkcia f ohraničená na množine M. Veta ( Weierstrassova veta o minime a maxime) Nech funkcia f je spojitá na uzavretej, ohraničenej množine M E n. Potom funkcia f nadobúda svoje maximum a minimum na množine M (t.j. existujú body d, c M také, že pre všetky x M platí f(d) f(x) f(c)). Poznámka: Obidva predpoklady týchto dvoch viet, spojitosť funkcie f a uzavretosť, ohraničenosť množiny M, sú dôležité a nedajú sa vynechať. Úloha: ( ): Nestačí v predpokladoch predchádzajúcich viet len spojitosť funkcie a uzavretosť množiny? Úloha: ( ): Zdôvodnite potrebu každého predpokladu v predchádzajúcich vetách.
Zamyslime sa: Aké bude znenie Darbouxovej vety o medzihodnote v E n? Pripomeňme si... (Darbouxova veta o medzihodnote pre funkciu 1 premennej) Nech funkcia f je spojitá na uzavretom intervale a nech na ňom nadobúda hodnoty a, b E 1. Potom f nadobúda na tomto intervale všetky hodnoty ležiace medzi hodnotami a, b. Čo bude analógiou uzavretého intervalu (v čo možno najvšeobecnejšej podobe) v E n? Definícia 2.16 Otvorenú množinu M bodov priestoru E n, ktorej každé dva body vieme spojiť spojitou krivkou 12, ktorá celá leží v množine M (t.j. množina M je súvislá) nazývame oblasť. Veta 2.17 (Darbouxova veta o medzihodnote) Nech funkcia f je spojitá na oblasti G E n a nech na nej nadobúda hodnoty a, b E 1. Potom f nadobúda na G všetky hodnoty ležiace medzi hodnotami a, b. Dôsledok 2.18 (Bolzanova veta) Nech funkcia f je spojitá na oblasti G E n a nech pre body a, b G platí f(a) f(b) < 0. Potom existuje aspoň jeden bod c G taký, že f(c) = 0. 12 Spojitou krivkou v E n nazývame množinu bodov {(x 1, x 2,..., xn) E n : x i = φ i (t), t a, b, i = 1, 2..., n}, kde φ i, i = 1, 2,..., n sú spojité funkcie na intervale a, b.
ROZŠIRUJÚCE UČIVO...
Dvojné versus dvojnásobné limity Vieme previesť dvojnú limitu na dvojnásobnú, t.j. lim f(x, y) = lim (x,y) (x 0,y 0 ) x x 0 ( lim f(x, y) = lim (x,y) (x 0,y 0 ) y y 0 ( lim f(x, y) y y 0 lim f(x, y) x x 0 ) ),? Otázky: Za akých predpokladov to je možné urobiť? Pozri [1, Podkapitola 1.5] Vieme uviesť príklad, kedy to nefunguje? Uvažujme nasledujúcu funkciu Potom platí f(x, y) = x2 y 2 + x 3 + y 3 x 2 + y 2 φ(x) = lim f(x, y) = 1 + x, x 0 lim φ(x) = 1 y 0 x 0 ψ(y) = lim f(x, y) = 1 y, y 0 lim ψ(y) = 1 x 0 y 0
ZAUJÍMAVOSTI...
# 1 Funkcia viacerých premenných v ekonómii Example: In 1928 Charles Cobb and Paul Douglas published a study in which they modeled the growth of the American economy during the period 1899 1922. They considered a simplified view of the economy in which production output is determined by the amount of labor involved and the amount of capital invested. While there are many other factors affecting economic performance, their model proved to be remarkably accurate. The function they used to model production was of the form P(L, K) = 1.01L 0.75 K 0.25 Cobb and Douglas used economic data published by the government to obtain Table 2. They took the year 1899 as a baseline, and P, L, and K for 1899 were each assigned the value 100. The values for other years were expressed as percentages of the 1899 figures. The production function (1) has subsequently been used in many settings, ranging from individual firms to global economic questions. It has become known as the Cobb-Douglas production function. Tabuľka: Charles Cobb s and Paul Douglas s study
# 2 Kvadratické plochy
# 3 Iná definícia limity funkcie v bode - rozdiely Definícia 2.19 (Vlastná limita funkcie vo vlastnom bode- iný prístup) Nech funkcia f je definovaná na nejakom O δ (a). Hovoríme, že číslo b E 1 je limitou funkcie f v bode a, ak ( ε > 0)( δ > 0)( x D f ) 0 < ρ(x, a) < δ f(x) b < ε, čo zapisujeme lim f(x) = b. Úloha: Uvažujme dva hore spomenuté prístupy k pojmu limita funkcie v bode a) Porovnajte oba prístupy k definovaniu pojmu vlastná limita funkcie vo vlastnom bode. b) Ktorá definícia je všeobecnejšia, resp. umožňuje vyšetrovať limitné správanie sa pre širšiu triedu funkcií a bodov? c) Na konkrétnom príklade demonštrujte svoju predchádzajúcu odpoveď. d) Rozhodnite o pravdivosti nasledujúceho tvrdenia v zmysle oboch prístupov: d 1 ) prístupu definície limity funkcie definovanej na prstencovom okolí d 2 ) prístupu definície limity funkcie definovanej cez hromadný bod lim f(x) = b lim f(x) = lim f(x) = b. +
Iná definícia spojitosti funkcie v bode - rozdiely Definícia 2.20 (Spojitosť funkcie v bode- iný prístup) Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a D f, ak lim f(x) = f(a). Úloha: Uvažujme dva (vyššie spomenuté) prístupy k pojmu spojitosť funkcie v bode a) Porovnajte oba prístupy k definovaniu pojmu spojitosť funkcie v bode vzhľadom na definíciu limity za predpokladu existencie hromadného bodu. b) Porovnajte oba prístupy k definovaniu pojmu spojitosť funkcie v bode vzhľadom na definíciu limity za predpokladu, že funkcia musí byť definovaná na prstencovom okolí bodu. c) Rozhodnite o pravdivosti nasledujúceho tvrdenia v zmysle hore uvedenej definície spojitosti c 1 ) a prístupu definície limity funkcie definovanej na prstencovom okolí c 2 ) a prístupu definície limity funkcie definovanej cez hromadný bod Funkcia f je spojitá v bode a práve vtedy, keď f je spojitá vzhľadom na každú množinu M, ktorá obsahuje bod a.
Súhrne: Limita cez okolie Limita cez hromadný bod limita v bode: spojitosť v bode:..
# 4 Polárne súradnice a parametrické vyjadrenie krivky História polárnych súradnic Polárne súradnice do matematiky zaviedol Isac Newton, avšak tento koncept bol použitý už v antickom Grécku, napr. Archimedova špirála alebo v snahách astronómov 8. storočia n.l pri popisovaní cesty a vypočítavaní smeru do Mekky. Parametrické vyjadrenie známych kriviek A: Azda najznámejšia parametricky zadaná krivka: Kružnica 13 B: Iné x = cos t y = sin t; t [0, 2π] Obr.: Rôzne parametricky zadané krivky. 13 Eliminovať parameter t sa nám podarí, ak sa pozrieme na súčet x 2 + y 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1.
Parametricky zadané krivky a ich použitie C: Ďalšia známa krivka: Cykloida Ide o cyklickú krivku, ktorú vytvorí bod kružnice točiacej sa po priamke, viď. odkaz. Obr.: Parametrické rovnice popisujúce cykloidu. Použitie parametricky zadaných kriviek Parametric equations and polar coordinates enable us to describe a great variety of new curves some practical, some beautiful, some fanciful, some strange. Stewart, J. 14 vytváranie dizajnu podporovaného počítačom najčastejšie tzv. Bézierove krivky sa požívajú pri vykresľovaní kriviek softvérom, v automobilovom priemysle, pri špecifikovaní tvarov a písmen v laserových tlačiarňach Experiment: Správnym nastavením kontrolných bodov vieme napodobniť až sa úplne priblížiť napr. písmenu C, pozri Geogebra-experiment 14 J. Stewart: Calculus: Early transcendentals, Brooks Cole (Thomson), Toronto, 2008.