Miniteória pravdepodobnosti Beloslav Riečan 2015
MINITÓRIA PRAVDPODOBNOSTI Autor : Dr.h.c. prof. RNDr. Beloslav Riečan, DrSc. Recenzovali : doc. RNDr. Katarína Janková, CSc. doc. RNDr. Marta Vrábelová, CSc. Vydavateľ: BLIANUM. Vydavateľstvo UMB v Banskej Bystrici dícia: Fakulta prírodných vied Schválila dičná komisia Fakulty prírodných vied UMB v Banskej Bystrici ako vysokoškolský učebný text pre študentov FPV UMB v Banskej Bystrici. Za odbornú a jazykovú stránku tohto textu zodpovedá autor. ISBN 978-80-557-0908-6
Miniteória pravdepodobnosti Beloslav Riečan Kolmogorovova teória pravdepodobnosti založená na teórii množín patrí medzi najvýznamnejšie výsledky matematiky 20. storočia. Pravda, skutočnost, ktorá je jej prednost ou, totiž možnost používat výsledky modernej teórie miery, zvykne niekedy bránit jej širšiemu porozumeniu. Ciel om priložených listov je prispiet k preklenutiu tohto protikladu. Čitatel ovi chceme predložit text predovšetkým zrozumitel ný a nie príliš rozsiahly. Ved ked on pochopí základné myšlienky, l ahko sa sám bude pohybovat v príslušnej literatúre i dobroprajnej spoločnosti. Dovol te ešte pod akovat sa recenzentkám za podporu uvedenej myšlienky a starostlivé prečítanie rukopisu. 1
1. Pravdepodobnost Pravdepodobnost je funkcia, ktorá každej množine A z určitého systému množín S prirad uje číslo P (A) [0, 1]. O systéme S sa zvykne predpokladat, že je σ-algebrou. Definícia 1.1. Nech je neprázdna množina, S je systém podmnožín množiny. Povieme, že S je σ-algebra, ak platí (i) S, (ii) A S = A S, (iii) A n S(n = 1, 2,...) = n=1 A n S. Pravdaže, σ-algebra je uzavretá ku všetkým bežným operáciám. Napr. Ak = S. A 1, A 2,...A n S, tak aj n A i = A 1 A 2... A n... S. n=1 Podobne, ak A n S(n = 1, 2,...), tak či ak A, B S. A n = ( A n) S, n=1 n=1 n A i S, i=1 A B = A B S, Definícia 1.2. Nech S je σ-algebra podmnožín množiny, P : S [0, 1]. Povieme, že P je pravdepodobnost, ak platí (i) P () = 1, (ii) P je σ-aditívna, t.j. P ( A n ) = Σ n=1p (A n ) n=1 2
kedykol vek A n S(n = 1, 2,...), A n A m = (n m). Azda najjednoduchším príkladom pravdpodobnostného priestoru je konečná množina = {u 1,..., u n } so systémom S všetkých podmnožín množiny a pravdepodobnost ou P definovanou vzt ahom P (A) = carda card, kde carda je počet prvkov množiny A. Podl a predošlého je pravdepodobnost jednoprvkovej množiny A = {u} číslo P (A) = 1 card = 1 n. Črtá sa prirodzené matematické zovšeobecnenie tohto modelu, ked pravdepodobnosti jednotlivých prvkov u 1, u 2,..., u n sú nezáporné čísla p 1, p 2,..., p n také, že Σ n i=1p i = p 1 +... + p n = 1. Špeciálny prípad je ten, ked p i = 1 (i = 1, 2,..., n). V tomto prípade je n prirodzené a efektívne (aj z hl adiska Kolmogorovovej teórie) definovat L ahko vidiet, že P (A) = Σ ui Ap i = Σ{p i ; u i A}. P () = Σ{p i ; x i } = p 1 + p 2 +... + p n = 1. Z axiom 1 a 2 možno odvodit d alšie vlastnosti pravdepodobnosti. Propozícia 1.1. P ( ) = 0. Dôkaz. Položme A n = (n = 1, 2,...). Množiny A n S(n = 1, 2,...) a sú navzájom disjunktné. Preto P ( ) = P ( A n ) = Σ n=1p (A n ) = Σ n=1p ( ) = n=1 = lim n Σ n i=1p ( ) = lim n np ( ). Keby P ( ) > 0, tá limita by bola, čo nie je možné. Preto P ( ) = 0. Propozícia 1.2. Pravdepodobnost je aditívna, teda ak A 1,..., A n S, A i A j = (i j), tak 3
n P ( A i ) = Σ n i=1p (A i ). i=1 Dôkaz. Stačí položit A i = pre i n + 1. Potom n P ( A i ) = P ( A i ) = Σ i=1p (A i ) = Σ n i=1p (A i ). i=1 i=1 Propozícia 1.3. Ak A B, A, B S, tak Špeciálne Dôkaz. Zrejme Preto P (B A) = P (B) P (A), P (A) P (B). P (A ) = 1 P (A). A, B A S, A (B A) =. P (B) = P (A (B A)) = P (A) + P (B A) P (A). Ak položíme B =, tak A = A, teda 1 = P () = P (A) + P (A ). Propozícia 1.4. Nech A n S, A n A n+1 (n = 1, 2,...), A = n=1 A n (budeme značit A n A). Potom Dôkaz. Položme P (A) = lim n P (A n ). B 1 = A 1, B 2 = A 2 A 1,..., B n = A n A n 1,... Potom B n S (n = 1, 2,...) B i B j = (i j) a B i = A. i=1 Preto Ale P (A) = Σ i=1p (B i ) = lim n Σ n i=1p (B i ). 4
teda n Σ n i=1p (B i ) = P ( B i ) = P (A n ), i=1 P (A) = lim n Σ n i=1p (B i ) = lim n P (A n ). Propozícia 1.5. Nech A n S, A n A n+1 (n = 1, 2.,...), A = n=1 A n (budeme značit A n A). Potom P (A) = lim n P (A n ). Dôkaz. Položme B n = A n(n = 1, 2,...). Potom B n = A n A = B. Preto teda 1 P (A) = P (A ) = P (B) = lim n P (B n ) = = lim n P (A n) = lim n (1 P (A n )) = 1 lim n P (A n ), P (A) = lim n P (A n ). 5
2. Náhodná premenná Definícia 2.1. Nech (, S, P ) je pravdepodobnostný priestor, t. j. S je σ- algebra podmnožín množiny, P : S [0, 1] je pravdepodobnost. Náhodná premenná (= náhodná veličina) je taká funkcia ξ : R, že {ω ; ξ(ω) < x} S pre každé x R. Distribučná funkcia F náhodnej premennej ξ je funkcia F : R [0, 1] definovaná rovnost ou F (x) = P ({ω ; ξ(ω) < x}). Príklad. Nech = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 }, S je systém všetkých podmnožín množiny, P ({ω 1 }) = 1 2, P ({ω 2}) = 1 4, P ({ω 3}) = 1 8. P ({ω 4}) = 1 8. Ďalej definujme ξ({ω 1 }) = 0, ξ({ω 2 }) = 1, ξ({ω 3 }) = 2, ξ({ω 4 }) = 2. Ak x 1, tak {ω; ξ(ω) < x} = {ω; ξ(ω) < 1} =, teda F (x) = P ( ) = 0. Ak 1 < x 0, tak {ω; ξ(ω) < x} = {ω 2 }, teda F (x) = P ({ω 2 }) = 1. Ak 0 < x 2, tak 4 {ω; ξ(ω) < x} = {ω 1, ω 2 }, teda F (x) = P ({ω 1 }) + P ({ω 2 }) = 1 + 1 = 3. Ak 2 < x, tak 2 4 4 teda F (x) = P () = 1. {ω; ξ() < x} = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, }, Veta 2.1. Nech F je distribučná funkcia náhodnej premennej ξ. Potom platí (i)f je neklesajúca; (ii)f je spojitá zl ava v každom bode; (iii) lim x F (x) = 1; (iv) lim x F (x) = 0. 6
Dôkaz. Ak x 1 < x 2, tak {ω; ξ(ω) < x 1 } {ω; ξ(ω) < x 2 }, teda F (x 1 ) = P ({ω; ξ(ω) < x 1 }) P ({ω; ξ(ω) < x 2 }) = F (x 2 ) a F je neklesajúca. Nech x 0 R je l ubovol ný bod. Nech x n x 0 je l ubovol ná postupnost. Máme dokázat, že lim n F (x n ) = F (x 0 ). Ale Preto A n = {ω; ξ(ω) < x n } A = {ω; ξ(ω) < x 0 }. F (x 0 ) = P (A) = lim n P (A n ) = lim n F (x n ). Ďalej nech (x n ) n je l ubovol ná neklesajúca postupnost taká, že lim n x n =. Potom 1 = P () = P ( {ω; ξ(ω) < x n }) = n=1 = lim n P ({ω; ξ(ω) < x n }) = lim n F (x n ). Preto lim x F (x) = 1. Konečne, nech (x n ) n je nerastúca, lim n x n =. Potom Preto lim x F (x) = 0. 0 = P ( ) = P ( {ω; ξ(ω) < x n }) = n=1 = lim n P ({ω; ξ(ω) < x n }) = lim n F (x n ). Ked že náhodná veličina je zobrazenie ξ : R, môžeme používat aj pojem vzor množiny A R, čo je množina Pri tomto označení ξ 1 (A) = {ω ; ξ(ω) A}. F (x) = P (ξ 1 ((, x))). Ale nielen vzor intervalov typu (, a) patrí do S. Veta 2.2. Nech ξ : R je náhodná veličina, T = {A R; ξ 1 (A) S} Potom T je σ-algebra podmnožín množiny R. 7
Dôkaz. V prvom rade ξ 1 (R) = S, teda R T. Ďalej nech A T, t.j. ξ 1 (A) S. Potom ξ 1 (A ) = (ξ 1 (A)) S, teda A T. Konečne, nech A n T (n = 1, 2,...), t.j. ξ 1 (A n ) S (n = 1, 2,...). Potom ξ 1 ( A n ) = ξ 1 (A n ) S, teda n=1 A n T. n=1 n=1 Pravda, takých σ-algebier ako systém T z vety 2.2 je vel a, napr. systém všetkých podmnožín množiny R. Používat budeme prienik všetkých σ-algebier obsahujúcich systém J intervalov typu (, a). Vôbec nad l ubovol ným neprázdnym systémom P podmnožín množiny R možno zostrojit najmenšiu σ-algebru obsahujúcu P. Veta 2.3. Nech P je l ubovol ný neprázdny systém podmnožín množiny R. Potom existuje taká σ-algebra σ(p) P, že σ(p) U pre všetky σ-algebry U P. σ-algebra σ(p) je určená jednoznačne. Dôkaz. Nech σ(p) je prienik všetkých σ-algebier obsahujúcich systém P. Ak A σ(p), P U. Potom A U, teda aj A U. Ked že U je l ubovol ná σ-algebra nad P, je aj A σ(p). Konečne, nech A n σ(p) (n = 1, 2,...), U je σ-algebra obsahujúca P. Potom A n U(n = 1, 2,...), teda aj n=1 A n U. Ked že U je l ubovol ná σ-algebra nad P, platí n=1 A n σ(p). Definícia 2.2. Nech J je systém všetkých intervalov typu (, x), x R. Potom σ-algebru σ(j ) budeme označovat znakom B(R) a množiny patriace do σ-algebry B(R) budeme nazývat Borelove. Veta 2.4. Nech ξ : R je náhodná veličina. Potom pre l ubovol nú množinu A B(R) platí ξ 1 (A) S. Dôkaz. Nech J je systém všetkých intervalov typu (, x), x R, U = {A R; ξ 1 (A) S}. Zrejme U J. Podl a vety 2.2 U je σ-algebra. Preto U σ(j ) = B(R). Ak teda A B(R), tak A U, teda ξ 1 (A) S. 8
Pravdaže, Borelove množiny môžeme charakterizovat všelijako. Ukážeme to na príklade. Príklad 2.1. Nech C = {[a, b]; a, b R}. Potom σ(c) = B(R). Máme ukázat dve inklúzie. Nech najprv [a.b] C. Vieme, že (, b+ 1 n ) J B(R) pre každé n N. Preto aj Odtial dostávame, že teda [a, b + 1 n ) = (, b + 1 ) (, a) B(R). n [a, b] = [a, b + 1 n=1 n ) B(R), C B(R). Ked že B(R) je σ-algebra nad C, máme σ(c) B(R). Naopak, nech (, c) J. Potom teda (, c) = [c n, c 1 n=1 n ] σ(c), J σ(c). Ked že σ(c) je σ-algebra, máme B(R) = σ(j ) σ(c). Každá náhodná veličina je charakterizovaná svojou distribučnou funkciou. Navyše aj pravdepodobnost ou na B(R). Veta 2.5. Nech ξ : R je náhodná premenná, F : R [0, 1] jej distribučná funkcia. Potom existuje práve jedna taká pravdepodobnost λ F : B(R) [0, 1], že λ F ([a, b)) = F (b) F (a) pre všetky intervaly [a, b). Dôkaz. 1. xistencia. Definujme pre A B(R), λ F (A) = P (ξ 1 (A)). Máme λ F (R) = P (ξ 1 (R)) = P () = 1. 9
Nech A n B(R)(n = 1, 2,...), A i A j = (i j). Potom Ale pre i j λ F ( A n ) = P (ξ 1 (( A n )) = P ( ξ 1 (A n )). n=1 n=1 n=1 ξ 1 (A i ) ξ 1 (A j ) = ξ 1 (A i A j ) = ξ 1 ( ) = 0. Preto Navyše λ F ( A n ) = P ( ξ 1 (A n )) = Σ n=1p (ξ 1 (A n )) = Σ n=1λ F (A n ). n=1 n=1 λ F ([a, b)) = λ F ((, b) (, a)) = = λ F ((, b)) λ F ((, a)) = = P (ξ 1 ((, b)) P (ξ 1 ((, a)) = F (b) F (a). 2. Jednoznačnost Nech µ : B(R) [0, 1] je taká pravdepodobnost, že µ([a, b)) = F (b) F (a) pre všetky intervaly [a, b). Definujme systém množín K = {A B(R); µ(a) = λ F (A)}. Z propozícií 1.4 a 1.5 vyplýva, že systém K je monotónny, t.j. A n K (n = 1, 2,...), A n A = A K, B n K (n = 1, 2,...), B n B = B K. Navyše K R, kde R je pozostáva z konečných zjednotení intervalov typu [a, b) a intervalov typu (, c). Nech M(R) je najmenší monotónny systém nad R. Podl a definície K M(R). Ak ukážeme, že M(R) je algebra, vyplynie z toho, že M(R) je σ-algebra nad J, teda K σ(j ) = B(R). Uvažujme A R pevne a položme K A = {B M(R); A B M(R)}. 10
Podl a predpokladu K A R. L ahko vidiet, že K A je monotónny, teda A B M(R) pre všetky B M(R). vezmime teraz pevne B M(R) a L B = {A M(R); A B M(R)}. Podl a predošlého L B R. Ked že L B je monotónny, máme L B M(R), teda pre l ubovol né A M(R) je A L B, teda A B M(R). Ukázali sme, že M(R) je uzavretý vzhl adom na zjednotenia. Podobne sa dá dokázat, že M(R) je uzavretý vzhl adom na rozdiel množín. Okrem toho R = (, n) M(R), n=1 teda M(R) je skutočne σ-algebra, čo sme mali dokázat. 11
3. Stredná hodnota Teória pravdepodobnosti má svoj predmet bádania, ktorým je fenomén náhody. Ale Kolmogorovova axiomatika vychádza z teórie miery. Základné jej pojmy sú tri: pravdepodobnost = miera náhodná veličina = meratel ná funkcia stredná hodnota = integrál. Uved me motiváciu strednej hodnoty ako integrálu (ξ) = Nech ξ nadobúda konečný počet hodnôt s pravdepobnost ami teda ξdp. α 1, α 2,..., α n p 1, p 2,..., p n, p i = P ({ω ; ξ(ω) = α i } = P (ξ 1 ({α i })). Potom stredná hodnota (ξ) je vážený priemer Ale (ξ) = Σ n i=1α i p i. Σ n i=1α i p i = Σ n i=1α i P ({ω; ξ(ω) = α i }) = = ξdp. Uvedenú definíciu rozšírime na širšiu triedu integrovatel ných funkcií, a to tak, ako je to v súčasnej matematike zvykom. Totiž, ak strednú hodnotu chápeme ako integrál, potrebujeme je mat k dispozícii pre mohutnejšiu množinu náhodných veličín. Definícia 3.1. Náhodná veličina ξ : R je jednoduchá, ak nadobúda konečný počet hodnôt α 1, α 2,..., α n. 12
Jej strednú hodnotu definujeme ako integrál ξdp = Σ n i=1α i P ({ω; ξ(ω) = α i }). Ak je ξ nezáporná náhodná veličina, vezmeme takú postupnost (ξ n ) n, že ξ n ξ. Funkcia ξ je integrovatel ná, ak je lim n ξ ndp konečná. V tom prípade definujeme ξdp = lim ξ n dp. n Konečne, l ubovol ná náhodná veličina ξ : R je integrovatel ná, ak sú integrovatel né funkcie V tom prípade definujeme ξ + = max(ξ, 0), ξ = max( ξ, 0). ξdp = ξ + dp ξ dp. Pravda, aby definícia 3.1 bola korektná, treba dokázat : 1. K l ubovol nej ξ 0 existuje taká neklesajúca postupnost (ξ n ) n jednoduchých funkcií, že ξ = lim n ξ n, ξ n ξ.. 2. Číslo lim n ξ ndp nezávisí od výberu postupnosti (ξ n ) n, ale len od funkcie ξ. Veta 3.1. K l ubovol nej nazápornej náhodnej veličine ξ existuje taká postupnost (ξ n ) n nezáporných jednoduchých funkcií, že ξ n ξ.. Dôkaz. Položme ξ n (ω) = n, ak resp. ak kde j = 1, 2,..., 2 n. ξ(ω) n, ξ n (ω) = j 1 2 n j 1 2 n ξ(ω) < j 2 n, 13
Veta 3.2. Nech ξ je nezáporná náhodná veličina, (ξ n ) n, (η n ) n sú také postupnosti jednoduchých nezáporných náhodných veličín, že ξ n ξ, η n ξ. Potom lim ξ n dp = lim η n dp n n V dôkaze vety 3.2 použijeme dve lemy. Lema 3.1. Nech (ξ n ) n je taká postupnost jednoduchých náhodných veličín, že ξ n 0. Potom Potom lim ξ n dp = 0. n Dôkaz. Nech ε > 0 je l ubovol né číslo. Definujme ξ n dp = A n = {ω ; ξ n ε}. ξ n χ An dp + P (A n ) max ξ 1 + ε. ξ n χ A n dp Ale A n. Preto podl a propozície 1.5 lim n P (A n ) = 0. Preto lim ξ n dp ε n pre každé ε > 0, teda lim n ξ ndp = 0. Lema 3.2. Nech η n sú jednoduché, η jednoduchá, η n η. Potom lim η n dp = ηdp. n Dôkaz. Stačí vziat ξ n = η η n a použit lemu 3.1. Dôkaz vety 3.2. Nech 0 ξ n ξ, 0 η n ξ, ξ n, η n sú jednoduché. Pri pevnom m Preto podl a lemy 3.2 min(ξ n, η m ) min(ξ, η m ) = η m. η m dp = n lim min(ξ n, η m )dp 14
lim ξ n dp. n Z predošlej nerovnosti vyplýva lim η n dp lim n n ξ n dp. Tým, že sme strednú hodnotu definovali pomocou integrálu, môžeme používat bežné vety z teórie integrovania. Napr. ak ξ, η sú integrovatel né a α, β R, tak (αξ + βη) = α(ξ) + β(η). Teda napr. ak ξ 1,..., ξ n majú tú istú strednú hodnotu (ξ i ) = a a ξ je ich aritmetický priemer ξ = 1 n Σn i=1ξ i, tak ( ξ) = ( 1 n Σn i=1ξ i ) = 1 n (Σn i=1ξ i ) = = 1 n Σn i=1(ξ i ) = 1 na = a. n Trochu menej známa je veta o monotónnej konvergencii: Ak ξ n ξ, ξ n sú integrovatel né a lim n (ξ n ) <, tak ξ je integrovatel ná a (ξ) = lim n (ξ n ). Iná verzia pre nekonečné rady. Ak ξ n 0 sú integrovatel né a Σ n=1(ξ n ) <, tak (Σ n=1ξ n ) = Σ n=1(ξ n ). 15
4. Transformácia integrálu Pravda, najbežnejšie pravidlá pre integrovanie sú v euklidovskom priestore. My sme uviedli strednú hodnotu vzhl adom na danú σ-algebru S podmnožín množiny a danú pravdepodobnost P : S [0, 1]. V množine R máme σ-algebru B(R) a na nej (vzhl adom na náhodnú veličinu ξ s distribučnou funkciou F ) pravdepodobnost λ F : B(R) [0, 1]. Vezmeme najprv zloženú funkciu g ξ, kde g : R R. Totiž ak g(x) = x, dostaneme g ξ = ξ, teda (g ξ) = (ξ). Iný užitočný príklad je funkcia g(x) = (x (ξ)) 2, čo vedie k disperzii (g ξ) = ((ξ (ξ)) 2 ) = D(ξ). Jednou cestou môžeme dostat transformačný vzorec pre širokú triedu funkcií g : R R. Definícia 4.1. Funkcia g : R R sa volá borelovská, ak A B(R) = g 1 (A) B(R). Príklad 4.1. Každá spojitá funkcia je borelovská. Totiž, l ahko sa dokáže, že B(R) = σ(o), kde O je systém všetkých otvorených intervalov. Nech g je spojitá a K = {A B(R); g 1 (A) B(R)}. Potom K O, K je σ-algebra, teda K σ(o) = B(R). Veta 4.1. Ak ξ : R je náhodná veličina, g : R R je borelovská funkcia. Potom g ξ : R je integrovatel ná podl a P práve vtedy, ked g : R R je integrovatel ná podl a λ F. Vtedy platí g ξdp = R gdλ F. Príklad 4.2. Ak g(x) = x, tak g ξ = ξ, teda (ξ) = g ξdp = R gdλ F = xdλ F (x). 16
Príklad 4.3. Ak g(x) = (x (ξ)) 2, tak g ξ = (ξ (ξ)) 2, teda = D(ξ) = ((ξ (ξ)) 2 ) = (g ξ) = R g(x)dλ F (x) = (x (ξ)) 2 dλ F (x). Dôkaz vety 4.1. Nech g je jednoduchá g = Σ n i=1α i χ Ai, α i R, A i B(R), A i disjunktné. Potom teda g(ξ(ω)) = Σ n i=1α i χ ξ 1 (A i ), g ξdp = Σ n i=1α i P (ξ 1 (A i )) = Σ n i=1α i λ F (A i ) = = g(x)dλ F (x). Ak g 0, g n jednoduché, g n g, tak g n ξ g ξ, teda g ξdp = n lim g n ξdp = lim n g n dλ F = gdλ F. R R Konečne vo všeobecnom prípade teda g = g + g, g ξ = g + ξ g ξ, g ξdp = g + ξdp g ξdp = = R g + dλ F R g dλ F = R gdλ F. Zostáva nám odvodit si spôsob výpočtu strednej hodnoty tak, ako sa realizuje v bežných prípadoch tzv. diskrétnych a spojitých náhodsných veličín. Veta 4.2. Nech ξ : R je náhodná veličina nadobúdajúca hodnoty x 1,..., x n s pravdepodobnost ami p 1,..., p n. Potom (g ξ) = Σ n i=1g(x i )p i. 17
Dôkaz. Nech A = {x 1,..., x n }. Pretože λ F (R A) = 0, platí (g ξ) = gdλ F = χ A gdλ F = Potom R = Σ n i=1χ {xi }(x)g(x)dλ F ({x i }) = Σ n i=1g(x i )p i. Veta 4.3. Nech ξ : R je náhodná veličina s hustotou f, t.j. P (ξ < x) = (g ξ) = x R f(t)dt, x R. g(x)f(x)dx. Dôkaz. Nech g = Σ n i=1α i χ Ai. Potom (g ξ) = gdλ F = Σ n i=1α i λ F (A i ) = = R R = Σ n i=1α i R χ Ai (x)f(x)dx = Σ n i=1α i χ Ai (x)f(x)dx = R g(x)f(x)dx. Ak g n sú nezáporné jednoduché, g n g, potom aj g n f gf, teda g(x)f(x)dx = lim g n (x)f(x)dx = R n R = n lim g n dλ F = gdλ F = (g ξ). Konečne pre l ubovol né g R (g ξ) = (g + ξ) (g ξ) = = R g+ (x)f(x)dx R g (x)f(x)dx = R g(x)f(x)dx. Takže skutočne máme v diskrétnom prípade napr. a v spojitom (ξ) = (ξ) = Σ n i=1x i p i, D(ξ) = Σ n i=1(x i (ξ)) 2 p i R xf(x)dx, D(ξ) = 18 (x (ξ)) 2 f(x)dx.
λ λi Príklad 4.4. Nech x i = i, p i = e (i = 1, 2,..., ). Potom i! λ i 1 (ξ) = Σ λ λi i=1ie i! = λe λ Σ i=1 (i 1)! = λ. Príklad 4.5. Nech f(x) = 0, ak x 0, f(x) = λe λx, ak x > 0. Potom (ξ) = 0 xλe λx dx = [xλ e λx λ ] 0 0 1.λ e λx λ dx = = [ e λx λ ] 0 = 1 λ. Pravdaže, tu sme pracovali so spočítatel nýnm priestorom namiesto s konečným, ale z matematickej stránky ide o prirodzené zvošeobecnenie. Z praktickej stránky máme navyše vhodný príklad na použitie. V prípade disperzie je užitočné umocnit dvojčlen (ξ (ξ)) 2, teda D(ξ) = (ξ 2 2ξ(ξ) + ((ξ)) 2 ) = = (ξ 2 ) 2(ξ)(ξ) + (((ξ)) 2 ) = (ξ 2 ) ((ξ)) 2. 19
5. Nezávislost Klasickým príkladom je nezávislé opakovanie pokusov. Napr. ked dvakrát hádžeme kockou a A znamená, že pri prvom hode padne nepárne číslo a B znamená že pri druhom padne šestka. Dvojnásobný hod môžeme opísat pomocou všetkých usporiadaných dvojíc čísel 1, 2,..., 6, Potom teda = {(1, 1), (1, 2),..., (1, 6),..., (6, 6)}. A = {(1, 1), (1, 2),..., (1, 6), (3, 1),..., (3, 6), (5, 1),..., (5, 6)}, B = {(1, 6), (2, 6),..., (6, 6)}, A B = {(1, 6), (3, 6), (5, 6)}, P (A) = carda card = 3.6 6.6 = 3 6 = 1 2, P (B) = cardb card = 6 36 = 1 6, P (A B) = 3 6.6 = 1 2.6 = 1 2.1 6 = = P (A).P (B). To vedie napr. k iste dobre známemu vzorcu ( ) n P n,k = p k (1 p) n k. k Tu je P nk pravdepodobnost toho, že pri n-násobnom nezávislom opakovaní nejakého pokusu, daný jav, ktorého pravdepodobnost je p, nastane práve k-krát. Definícia 5.1. Náhodné premenné ξ, η sú nezávislé, ak pre l ubovol né A, B B(R) platí P (ξ 1 (A) η 1 (B)) = P (ξ 1 (A)).P (η 1 (B)). Veta 5.1. Náhodné premenné ξ, η sú nezávislé práve vtedy, ak P (ξ 1 ((, x)) η 1 ((, y))) = P (ξ 1 ((, x))).p (η 1 ((, y))) 20
pre každé x, y R. Dôkaz. Ak ξ, η sú nezávislé a x, y R, stačí vziat A = (, x), B = (, y). Obrátene, nech platí rovnost uvedená vo vete. Vezmime (, y) pevne a uvažujme systém K = {A B(R); P (ξ 1 (A) η 1 ((, y))) = P (ξ 1 (A)).P (η 1 ((, y)))}. Potom je systém K monotónny a obsahuje systém J, teda P (ξ 1 (A) η 1 ((, y)) = P (ξ 1 (A)).P (η 1 ((, y)) pre všetky A B(R). Položme teraz pre pevné A B(R) L = {B B(R); P (ξ 1 (A) η 1 (B)) = P (ξ 1 (A)).P (η 1 (B))}. Podl a predošlého L J. Ked že L je monotónny, máme L M(J ) = B(R), teda rovnost z definície 5.1 platí pre všetky A, B B(R). a Veta 5.2. Ak ξ, η sú nezávislé a integrovatel né, tak ξη je integrovatel ná Dôkaz. Nech ξ, η sú jednoduché, (ξη) = (ξ)(η). Potom teda ξ = Σ n i=1α i χ Ai, η = Σ m j=1β j χ Bj. ξη = Σ n i=1σ m j=1α i β j χ Ai B j, (ξη) = Σ n i=1σ m j=1α i β j P (A i B j ) = = Σ n i=1σ m j=1α i β j P (A i )P (B j ) = = (Σ n i=1α i P (A i ))(Σ m j=1β j P (B j )) = (ξ)(η). Ak ξ, η sú nezáporné, vezmeme 0 ξ n ξ, 0 η n η, ξ n, η n jednoduché nezávislé (veta 3.1). Potom ξ n η n ξη, teda (ξη) = lim n (ξ n η n ) = lim n (ξ n )(η n ) = = lim n (ξ n ) lim n (η n ) = (ξ)(η). 21
Vo všeobecnosti ξ = ξ + ξ, η = η + η. Funkcie ξ +, ξ na jednej strane, resp. η + η na strane druhej, sú po pároch nezávislé. Totiž a podobne η +, η. Preto (ξ + ) 1 (A) = ξ 1 (A [0, )), (ξ ) 1 (A) = ξ 1 (( A) [0, )) (ξη) = ((ξ + ξ )(η + η )) = = (ξ + η + ) (ξ η + ) (ξ η + ) + (ξ η ) = = (ξ + )(η + ) (ξ )(η + ) (ξ )(η + ) + (ξ ) ( η ) = = ((ξ + ) (ξ ))((η + ) (η )). Veta 5.3. Nech ξ, η sú nezávislé s integrovatel ným štvorcom. Potom je taká aj ξ + η a D(ξ + η) = D(ξ) + D(η). Preto Dôkaz. Máme ((ξ + η) 2 ) = (ξ 2 + 2ξη + η 2 ) = = (ξ 2 ) + 2(ξ)(η) + (η 2 ), ((ξ + η)) 2 = ((ξ) + (η)) 2 = = ((ξ)) 2 + 2(ξ)(η) + ((η)) 2. ((ξ + η) 2 ) ((ξ + η)) 2 = = (ξ 2 ) ((ξ)) 2 + (η 2 ) ((η)) 2 = = D(ξ) + D(η). V znení vety 5.3 sme sa nezmienili o existencii strednej hodnoty (ξ i ). Tá vyplýva z existencie (ξ 2 i ). Máme totiž 0 ( ξ 1) 2 = ξ 2 i 2 ξ + 1, ξ 1 2 (ξ2 i + 1). Ked že 1 2 (ξ2 + 1) je integrovatel ná, je integrovatel ná aj ξ. 22
6. Odhad momentov Môže sa stat, že meriame nejakú veličinu. Urobíme to niekol kokrát a potom vypočítame aritmetický priemer tých meraní. Matematický model je v konečnej postupnosti nezávislých náhodných veličín s tým istým rozdelením pravdepodobnosti. Veta 6.1. Nech ξ 1,..., ξ n sú náhodné veličiny s tou istou strednou hodnotnou a = (ξ i ), i = 1, 2,..., n.. Nech ξ = 1 n Σn i=1ξ i. Potom Dôkaz. Platí (pozri str. 15) ( ξ) = a. ( ξ) = ( 1 n Σn i=1ξ i ) = 1 n Σn i=1(ξ i ) = = 1 n Σn i=1a = 1.na = a. n Podobne môžeme odhadnút disperziu. Veta 6.2. Nech ξ 1,..., ξ n sú nezávislé náhodné veličiny so strednou hodnotou (ξ i ) = a a disperziou D(ξ i ) = σ 2 (i = i, 2,..., n). Potom Dôkaz. Platí ( 1 n Σn i=1(ξ i a) 2 ) = σ 2. ( 1 n Σn i=1(ξ i a) 2 ) = 1 n Σn i=1d(ξ i ) = = 1 n Σn i=1σ 2 = σ 2 Pravda pri odhade čísla σ 2 strednú hodnotu a nepoznáme. Preto namiesto nej používame aritmetický priemer ξ = 1 n Σn i=1ξ i, teda hl adáme (Σ n i=1(ξ i ξ) 2 ) = 23
= (Σ n i=1ξi 2 2 ξσ n i=1ξ i + n ξ 2 ) = = ((Σ n i=1ξi 2 ) n ξ 2 ) = Σ n i=1(ξi 2 ) n( ξ 2 ) = = n(σ 2 + a 2 ) n( ξ 2 ). Zostáva nám vypočítat ( ξ 2 ) = (( 1 n Σn i=1ξ i ) 2 ) = = 1 n 2 (Σn i=1ξ 2 i + Σ i j ξ i ξ j ) = = 1 n 2 (Σn i=1ξ 2 i ) + 1 n 2 Σ i j(ξ i )(ξ j ) = = 1 n 2 n(σ2 + a 2 ) + 1 n 2 n(n 1)a2 = = σ2 n + a2 n + a2 a2 n = Preto = σ2 n + a2. (Σ n i=1(ξ i ξ) 2 ) = nσ 2 + na 2 n σ2 n na2 = = nσ 2 σ 2 = σ 2 (n 1). Dokázali sme teda nasledujúcu vetu: Veta 6.3 Nech ξ 1,..., ξ n sú nezávislé náhodné veličiny s disperziou D(ξ i ) = σ 2 (i = 1,..., n). Potom 1 ( n 1 Σn i=1(ξ i ξ) 2 ) = σ 2. 24
7. Intervalový odhad. Videli sme, že aritmetický priemer ξ nameraných hodnôt je dobrý odhad strednej hodnoty a. Pravda, merané hodnoty sa sústred ujú okolo nej, bližšie k nej častejšie, vzdialenejšie od nej zriedkavejšie. Teoretickým modelom je veta 7.1. Spomenutú zákonitost opisuje tzv. Gaussova krivka tradične uvádzaná v tvare y = e x2 2. K uvedenej funkcii sa nedá nájst primitívna funkcia v tvare elementárnej funkcie. Vieme však (Dodatok 1), že e x2 2 dx = 2π. Definícia 7.1. Náhodná premenná ξ má normálne rozdelenie s parametrami a R, σ (0, ), (ξ N(a, σ)), ak má hustotu Ak označíme f(x) = 1 σ (x a) 2 2π e 2σ 2. ϕ(t) = 1 σ t 2 2π e 2, tak f(x) = 1 σ ϕ(x a σ ). Propozícia 7.1. Ak ξ má normálne rozdelenie s parametrami a, σ(ξ N(a, σ)), tak (ξ) = a, D(ξ) = σ 2. Dôkaz. Myšlienku predvedieme na prípade a = 0, 2 = 1. Vo všeobecnom prípade je dôkaz analogický. Tak (ξ) = x 1 2π e x2 2 dx. Ked že funkcia y = xe x2 2 je nepárna a integrovatel ná. máme (ξ) = x 1 2π e x2 2 dx = 0 25
Ďalej, pomocou metódy per partes dostávame x 2 e x2 2 dx = x.(xe x2 2 dx) = [x( e x2 2 )] e x2 2 dx = teda D(ξ) = = 0 + 2π = 2π, (x 0) 2 e x 2 2 dx = 1. 2π Z praktických dôvodov je vhodné pracovat s rozdelením N(0, 1). Preto si používaný aritmetický priemer znormujeme. Ved vieme, že ( ξ) = a, D( ξ) = σ 2, pravda, za predpokladu, že ξ 1,..., ξ n sú nezávislé a integrovatel né, (ξ i ) = a, D(ξ i ) = σ 2 (i = 1,..., n). Lemma 7.1. Ak (ξ) = a, D(ξ) = σ 2, σ > 0 a η = 1 (ξ a), tak σ (η) = 0, D(η) = 1. Dôkaz. Máme (η) = 1 (ξ a) = σ = 1 σ ((ξ) a) = 1 (a a) = 0, σ D(η) = ( 1 σ 2 (ξ a)2 ) = = 1 σ 2 ((ξ a)2 ) = 1 σ 2 σ2 = 1. Dôsledok. Ak ξ 1,..., ξ n sú nezávislé s tým istým rozdelením, (ξ) = a, D(ξ) = σ 2, σ > 0, tak 1 ( σ n (Σn i=1ξ i na)) = ( ξ a σ ) = 0, n 1 D( σ n (Σn i=1ξ i na)) = D( ξ a σ ) = 1. n Ohlásená limitná veta (jedna z možností) má teda nasledujúcu formu. 26
Veta 7.1 (Centrálna limitná veta). Nech (ξ n ) n=1 je postupnost nezávislých, rovnako rozdelených náhodných premenných so strednou hodnotou (ξ n ) = a) a disperziou D(ξ) = σ 2, σ > 0(n = 1, 2,...). Potom pre každé x R platí lim P ({ω; Σn i=1ξ i (ω) na n σ n < x}) = 1 2π x e t2 2 dt. Dôkaz je uvedený v kapitole 8. Príklad 7.1. Majme n nezávislých meraní ξ 1,...ξ n, δ > 0. Aká je pravdepodobnost toho, že ξ a < δ? Máme P ( ξ a < δ) = P ( ξ a < δ) P ( ξ a < δ) = kde εσ n = δ, teda ε = nδ. Preto = P ( ξ a < εσ n ) P ( ξ a < εσ n ), σ P ( ξ a < δ). = = ε ε ε Ak označíme Φ(ε) = ε 0 ϕ(t)dt, máme 1 ε e t2 1 2 dt e t2 2 dt = 2π 2π ε ϕ(t)dt = 2 ϕ(t)dt. 0 P ( ξ a < δ). = 2Φ(ε) = 2Φ( nδ σ ) = α. Z vety 7.1 vyplýva klasický výsledok spojený s menami Movrea a Laplacea. Ide o náhodnú premennú s binomickým rozdelením k n, ktorá má hodnoty s pravdepodobnost ami 0, 1,..., n p k = P ({ω; k n (ω) = k}) = ( ) n p k (1 p) (n k). k 27
Veta 7.2. Nech k n je náhodná premenná s binomickým rozdelením s parametrami n, p. Potom pre všetky x R platí lim P ({ω; k n(ω) np n np(1 p) < x}) = 1 x 2π e t2 2 dt. Dôkaz. Položme ξ n = χ An, kde A n sú nezávislé a P (A n ) = p (n = 1, 2,...). Potom (ξ n ) = 1.p + 0.(1 p) = p = a, D(ξ n ) = (1 p) 2.p + (0 p) 2.(1 p) = p(1 p), teda σ = p(1 p). Navyše Σ n i=1ξ i = k n. Preto k n (ω) np np(1 p) = Σn i=1ξ i na σ. n 28
8. Dôkaz centrálnej limitnej vety Jednou z možných techník dôkazu je technika tzv. charakteristických funkcií. Je založená na Taylorovom rozvoji f(x) f(0) + f (0) 1! Dobre známe sú rovnosti x + f (0) 2! e x = 1 + x 1! + x2 2! x 2 +... + f (n) (0) x n +... n! +... + xn n! +..., sinx = x x3 3! + x5 5!... + ( 1)n 1 x 2n 1 (2n 1)! +..., cosx = 1 x2 2! + x4 x2n... + ( 1)n 4! (2n)! +... Niektoré vzt ahy platia aj pre komplexné čísla, teda e ix = 1 + ix 1! + (ix)2 + (ix)3 + (ix)4 + (ix)5 +... = 2! 3! 4! 5! = 1 x2 2! + x4 x3... + i(x 4! 3! + x5 5!...) = = cosx + isinx. Definícia 8.1. Ak ξ je náhodná premenná, tak jej charakteristická funkcia ψ : R C je definovaná vzt ahom ψ(t) = (e itξ ) = (costξ) + i(sintξ). za predpokladu, že tá stredná hodnota existuje. Príklad 8.1. Nech ξ má normálne rozdelenie N(0, 1). Potom ψ(t) = e t2 2. Podl a definície a vety 4.3 ψ(t) = (e itξ ) = e itx ϕ(x)dx = e itx 1 2π e x2 2 dx. 29
Ale itx x2 2 = 1 2 (x2 2itx) = = 1 2 [(x it)2 (it) 2 ] = 1 2 (x it)2 t2 2. Preto ψ(t) = 1 2π = e t2 2 e (x it)2 2.e t2 2 dx = ϕ(x)dx = e t2 2. V našich úvahách sú dôležité charakterizácie exponenciálnej funkcie, napr. e = lim n (1 + 1 n )n. Vo všeobecnejšom tvare hovorí o tom nasledujúca lema, ktorú budeme potrebovat. Lema 8.1. Ak lim n z n = z, tak lim (1 + z n n n )n = e z. Dôkaz. Použijeme Taylorovu vetu na funkciu f(x) = ln(1 + x), teda f (x) = 1 1+x, f (x) = (1 + x) 2. Ak položíme a = 0, dostaneme kde c leží medzi 0 a x. Preto Vezmime n také, aby zn n ln(1 + x) = f(0) + f (0) 1! = 0 + x x + f (c) x 2 = 2! 1 2(1 + c) 2 x2 ln(1 + z n n ) = z 2 n n z n 2n 2 (1 + c). 2 < q < 1. Potom ln(1 + z 2 n z n n )n = z n 2n(1 + c). 2 30
Ak označíme zn2 2n 2 (1+c) 2 = R n, tak teda lim n nr n = 0. Preto nr n 1 2n, teda lim ln(1 + z n n n )n = n lim z n = z, lim (1 + z n n n )n = e z. Veta 8.1. Nech (ξ n ) n=1 je postupnost nezávislých rovnako rozdelených náhodných premenných, (ξ n ) = a, D(ξ n ) = σ 2, σ > 0, ψ n je charakteristická funkcia náhodnej premennej (n = 1, 2,...). Potom Σ n j=1ξ j na σ n lim ψ n(t) = e t n pre každé t R. Dôkaz. Označme η j = ξ j a σ j = 1, 2,... Všetky η j majú rovnakú charakteristickú funkciu g(t) = (e itη j ), j = 1, 2,... Nech ψ n je charakteristická funkcia náhodnej premennej Ked že η j sú nezávislé, platí Σ n j=1ξ j na σ n ψ n ( nt) = (e itσn j=1 η j ) = = (Π n j=1e itη j ) = Π n j=1(g(t)) = g(t) n, 31 2 2
teda ψ n (t) = g( t n ) n. Ale, ak F je distribučná funkcia náhodnej premennej η j, tak g(t) = (e itη j ) = e itx df (x), teda g (t) = i g (t) = xe itx df (x), x 2 e itx df (x), g(0) = (1) = 1, g (0) = i(η) = i 1 (ξ a) = 0, σ Podl a Taylorovej vety g (c) = x 2 e icx df (x). g(t) = g(0) + g (0) 1! t + g (c) t 2 = 2! = 1 t2 2 + t2 2 t2 2 x 2 e icx df (x) = 1 t2 2 + ϱ(t). Pritom kde ϱ(t) = 1 t 2 2 1 x 2 e icx df (x), 2 lim x 2 e icx df (x) = x 2 df (x) = t 0 = (η 2 ) = 1 σ 2 (ξ2 ) = 1. Preto ϱ(t) lim = 0. t 0 t 2 32
Máme ψ n (t) = g( t n ) n = = (1 t2 2n + ϱ( t n )) n = Ale n ) = (1 + t2 2 + nϱ( t n lim z n = lim ( t2 n n 2 ) n = (1 + z n n )n. + t2 ϱ( t n ) t 2 n ) = Preto podl a lemy 8.1 = t2 2 + ϱ(u) t2 lim = t2 u 0 u 2 2. lim ψ n(t) = lim (1 + z n n n n )n = e t 2 2. V Dodatku 2 je dokázané, že ak F n je odpovedajúca distribučná funkcia, tak x lim F n(x) = lim ϕ(t)dt, n n kde Preto z vety 8.1 vyplýva veta 7.1. ϕ(t) = 1 2π e t2 2. 33
9. Zákon vel kých čísel Centrálna limitná veta nám dáva cenný nástroj pre odhad strednej hodnoty pomocou aritmetického priemeru. Ked že však máme k dispozícii abstraktný kolmogorovovský aparát, bolo by hriechom nespomenút dve iné, všeobecne známe formulácie. Veta 9.1 (Čebyševova nerovnost ). Nech ξ je náhodná veličina, ktorá má disperziu D(ξ). Potom pre každé ε > 0 platí P ({ω; ξ(ω) (ξ) ε}) D(ξ) ε 2. Dôkaz. Položme B = {ω; ξ(ω) (ξ) ε}. Potom D(ξ) = (ξ (ξ)) 2 dp B (ξ (ξ)) 2 dp ε 2 P (B). Veta 9.2 (pravidlo 3σ). Nech ξ je náhodná veličina s kladnou disperziou D(ξ) = σ 2, σ > 0. Potom P ({ω; ξ(ω) (ξ) 3σ}) 1 9. Dôkaz. Vo vete 9.1 stačí položit ε = 3σ. Veta 9.3 (slabý zákon vel kých čísel). Nech (ξ n ) n=1 je postupnost nezávislých, rovnako rozdelených náhodných veličín majúcich disperziu. Potom pre každé ε > 0 platí lim P ({ω; 1 n n Σn i=1ξ i (ξ 1 ) ε}) = 0. Dôkaz. Vo vete 9.1 treba položit ξ = 1 n Σn i=1ξ i. Potom (ξ) = 1 n Σn i=1(ξ i ) = 1 n n(ξ 1) = (ξ 1 ), D(ξ) = 1 n 2 Σn i=1d(ξ i ) = 1 n 2 nd(ξ 1) = 1 n D(ξ 1). Preto P ({ω; 1 n Σn i=1ξ i (ξ 1 ) ε}) 1 ε 2 1 n D(ξ 1). 34
Veta 9.4 (Bernoulliho zákon vel kých čísel). Ak k n je náhodná premenná s binomickým rozdelením s parametrami n N, p [0, 1], (n = 1, 2,...), tak pre l ubovol né ε > 0 platí lim P ({ω; k n(ω) p ε}) = 0. n n Dôkaz. Vo vete 9.3. položme ξ i = χ Ai, kde A 1, A 2,... sú nezávislé udalosti, P (A i ) = p, (i = 1, 2,...). 35
10. Podmienená pravdepodobnost Nech priestor má n prvkov, podmnožina A množiny má m prvkov, teda P (A) = m/n. Z tých m prvkov je k takých, že v nich nastane aj B, teda Preto P (B A) = k m = k n m n = P (A B). P (A) P (A B) = P (A).P (B A). Ak sú A, B nezávislé, tak P (A B) = P (A).P (B), pravdepodobnost prieniku sa rovná súčinu pravdepodobností. Vo všeobecnosti pravdepodobnost množiny B závisí od podmienky A. Predpokladajme, že podmienky A sa menia. Dané sú rozkladom Γ množiny Γ = {A 1, A 2,..., A n }, kde P (A i ) > 0 (i = 1, 2,..., n), A i A j = (i j), n i=1 A i =. Rozkladu Γ zodpovedá σ-algebra S 0 = σ(γ) ním vytvorená. Ak nastane A i, tak podmienená pravdepodobnost javu B je P (B A i ). Môžeme teda definovat P (B Γ) = P (B S 0 ) ako reálnu funkciu na, ktorá má na kažom prvku ω z množiny A i hodnotu P (B A i ). To môžeme zapísat ako P (B S 0 )(ω) = Σ n i=1p (B A i )χ Ai (ω). Táto funkcia má dve vlastnosti: 1. Funkcia P (B S 0 ) je S 0 -meratel ná. 2. Pre l ubovol né S 0 platí P (B S 0 )dp = P (B ). Skutočne, ak S 0, tak = i α A i, teda = P (B S 0 )dp = Σ n i=1p (B A i )χ Ai dp = Σ i α χ Σ n i=1p (B A i )χ Ai dp = P (B A i )χ Ai dp = P (B A i ) = Σ i α P (B A i )P ( A i ) = Σ i α P (A i ) = P (A i ) 36
= Σ i α P (B A i ) = P (B i α A i ) = P (B ). Ale uvedenými dvoma vlastnost ami možeme definovat podmienenú pravdepodobnost javu vzhl adom na l ubovol nú σ-algebru S 0. Veta 10.1. Nech (, S, P ) je pravdepodobnostný priestor, S 0 S je σ-algebra, B S. Potom existuje taká S 0 -meratel ná funkcia f : [0, 1], že fdp = P ( B) pre l ubovol nú množinu S 0. Dôkaz. Definujme na S 0 dve miery µ, ν predpisom µ() = P (), ν() = P ( B). Potom ν je absolútne spojitá podl a µ (µ() = 0 = ν() = 0). Preto podl a Radonovej - Nikodymovej vety (Dodatok 3) existuje taká S 0 -meratel ná funkcia f, že P ( B) = ν() = fdµ = fdp pre všetky S 0. Pravdaže, funkcia f nie je určená jednoznačne, ale skoro jednoznačne. Definícia 10.1. Nech f, g sú meratel né funkcie na priestore (, S, µ). Funkcie f, g sa rovnajú µ skoro všade, ak µ({ω ; f(ω) g(ω)}) = 0. Veta 10.2. Nech fdµ = gdµ pre všetky S 0. Potom µ-skoro všade f = g. Dôkaz. Položme h = f g. Potom h je S 0 -meratel ná a hdµ = 0 pre všetky S 0. Ak je h nezáporná, jednoduchá, tak h = Σ n i=1α i χ Ai, A i S 0 (i = 1, 2,...), A i A j = (i j). Potom 0 = hdµ = Σ n i=1 α i χ Ai dµ = Σ n i=1α i µ(a i ), teda α i = 0, alebo µ(a i ) = 0. Preto h = 0 skoro všade. Ak je h nezáporná S 0 -meratel ná, vezmeme jednoduché h n, 0 h n h. Ked že 0 h ndµ hdµ = 0, sú h n skoro všade nulové a preto aj h. 37
Konečne pre l ubovol nú S 0 -meratel nú h, množiny + = {ω; h(ω) > 0}, = {ω; h(ω) < 0} sú S 0 -meratel né, hdµ = 0, + hdµ = 0, teda h = f g je µ-nulová skoro všade na + aj a preto aj na. To ale znamená, že µ skoro všade f = g. Definícia 10.2. Nech (, S, P ) je pravdepodobnostný priestor, S 0 S je σ-algebra, B S. Potom P (B S 0 ) : R je l ubovol ná taká S 0 -meratel ná funkcia, že P (B S 0 )dp = P ( B) pre všetky S O. Veta 10.3. Nech (, S, P ) je pravdepodobnostný priestor, S 0 S je σ-algebra. Potom 1. P -skoro všade P ( S 0 ) = 0, P ( S 0 ) = 1. 2. P -skoro všade 0 P (A S 0 ) 1, A S. 3. Ak A n S(n = 1, 2,...), A i A j = (i j), tak P -skoro všade P ( A n S 0 ) = Σ n=1p (A n S 0 ). n=1 Dôkaz. Prvá vlastnost vyplýva z toho, že 1dP = P () = P ( ), 0dP = 0 = P ( ), teda P -skoro všade P ( S 0) = 1, P ( S o ) = 0. Aby sme dokázali druhú vlastnost, vezmime = {ω ; P (A S 0 ) < 0}. Keby P () > 0, potom by P ( A) = P (A S 0)dP < 0, čo nie je možné. Analogicky sa dokáže druhá nerovnost. Konečne, nech A n S(n = 1, 2,...), A i A j = (i j). Nech S 0. Potom P (A n ) = P (A n S 0 )dp. Preto P (( A n ) ) = P ( (A n )) = n=1 Σ n=1p (A n ) = Σ n=1 = n 1 (Σ n=1p (A n S 0 ))dp. P (A n S 0 )dp = 38
11. Podmienená stredná hodnota Podobne ako sme zaviedli podmienenú pravdepodobnost, môžeme zaviest aj podmienenú strednú hodnotu. Tak ako definícii 10.2 predchádzali existenčné vety 10.1 a 10.2, aj teraz uvedieme existenčnú vetu. Veta 11.1. Nech (, S, P ) je pravdepodobnostný priestor, S 0 S je σ algebra, ξ : R je integrovatel ná náhodná premenná. Potom existuje taká S 0 -meratel ná funkcia f : R, že pre všetky S 0 platí fdp = ξdp. Ak g je iná taká funkcia, tak P -skoro všade g = f. Dôkaz. Definujme na S 0 tri miery µ, ν 1, ν 2 : S 0 [0, 1], µ() = P (), ν 1 () = ξ + dp, ν 2 () = ξ dp. Potom ν 1 je absolútne spojitá podl a µ, ν 2 je absolútne spojitá podl a µ. xistujú teda také S 0 -meratel né funkcie f 1, f 2 : R, že ν 1 () = f 1 dµ, ν 2 () = f 2 dµ. Ak položíme f = f 1 f 2, tak pre každé S 0 platí fdp = = f 1 dp ξ + dp f 2 dp = ν 1 () ν 2 () = ξ dp = ξdp. Ak zároveň gdp = ξdp pre každé S 0, tak gdp = fdp pre každé S 0, teda P -skoro všade f = g podl a vety 10.2. Definícia 11.1. Nech (, S 0, P ) je pravdepodobnostný priestor, S 0 S je σ-algebra, ξ : R je integrovatel ná náhodná premenná. Potom podmienená stredná hodnota (ξ S 0 ) : R je taká S 0 -meratel ná funkcia, že (ξ S o )dp = ξdp pre všetky S 0. 39
Veta 11.2. Nech (, S, P ) je pravdepodobnostný priestor, S 0 S je σ-algebra, ξ je nezáporná, integrovatel ná náhodná premenná. Potom (ξ S 0 )dp 0 P - skoro všade. Dôkaz. Nech = {ω; (ξ S 0 )(ω) < 0}. Keby P () > 0, potom by 0 (ξ S 0 )dp < 0, čo je spor. Veta 11.3. Nech (, S, P ) je pravdepodobnostný priestor, S 0 S, ξ, η integrovatel né náhodné premenné α, β R. Potom P -skoro všade (αξ + βη S 0 )) = α(ξ S 0 ) + β(η S 0 ). Dôkaz. Ked že pre každé S 0 platí (ξ S 0 )dp = ξdp, (η S 0 )dp = pre S 0 platí tiež (αξ + βη)dp = α = α = (ξ S 0 )dp + β ξdp + β ηdp = (η S 0 )dp = (α(ξ S 0 ) + β(η S 0 ))dp. ηdp, Veta 11.4. Nech (, S, P ) je pravdepodobnostný priestor, S 0 S je σ- algebra, (ξ n ) n=1 postupnost integrovatel ných náhodných premenných, ξ n 0. Potom P -skoro všade (ξ S 0 ) 0. Dôkaz. Pre S 0 χ ξ n 0, teda 0 = lim ξ n dp = lim n n = ( lim n (ξ n S 0 ))dp. (ξ n S 0 )dp = 40
Dodatok 1. Laplaceov integrál e x 2 Veta. Pre Laplaceov integrál platí 2 dx = 2π. Dôkaz. Urobíme ho pomocou dvojných integrálov. Nech A je štvorec, A = [ t, t] [ t, t]. Podl a Fubiniho vety platí A e x2 +y 2 t t ( 2 dxdy = dx e x2 2.e y2 t )( 2 dy = e x2 t ) 2 dx e y2 2 dy = t t t t = ( t t e x2 2 dx ) 2. Nech B je kruh so stredom v začiatku a polomerom r. Ak použijeme polárne súradnice, dostaneme B e x2 +y 2 2π r [ ] 2 dxdy = dϕ e ϱ2 2.ϱdϱ = 2π e ϱ2 r 2 0 0 0 r 2 = 2π(1 e 2 ). Ak B je kruh opísaný štvorcu A (má teda polomer t 2) a B b je kruh vpísaný do štvorca A (polomer t), tak B b e x 2 +y 2 2 dxdy = e x2 +y 2 2 dxdy e x 2 +y 2 2 dxdy, A B Preto 2π(1 e t2 2 ) ( t ( t lim t lim t t t t t e x2 2 dx ) 2 2π(1 e t 2 ). e x2 2 dx ) 2 = 2π, e x2 2 dx = 2π. 41
Dodatok 2. Distribučné a charakteristické funkcie Ciel om tohto dodatku je dôkaz nasledujúcej vety. Veta. Nech (F n ) n=1 je postupnost distribučných funkcií, ψ n zodpovedajúce charakteristické funkcie, t.j. ψ n (t) = e itx df n (x), t R. Ak lim n ψ n (t) = e t2 2 pre všetky t R, tak x lim F 1 n(x) = e t2 2 dt n 2π pre všetky x R. Dôkazu vety predošleme tri tvrdenia. Propozícia 1. Nech (G k ) k je postupnost distribučných funkcií. Potom existuje z nej vybraná (G kl ) l=1 (označme G kl = H l ) a taká neklesajúca spojitá zl ava funkcia G : R [0, 1], že lim H l(x) = G(x) l pre všetky x R. Dôkaz. Nech Q = (x i ) i=1 množina všetkých racionálnych čísel. Pretože (G k (x 1 )) k=1 je ohraničená, existuje z nej vybraná konvergentná (G (1) k (x 1)) k=1, taká, že existuje lim k G (1) k (x 1) = g(x 1 ). Podobne z postupnosti (G (1) k ) k=1 vyberieme (G (2) k ) k=1, aby existovala lim k G 1 k(x 2 ) = g(x 2 ) Takto dostaneme postupnost postupností G (1) 1, G (1) 2, G (1) 3,... G (2) 1, G (2) 2, G (2) 3,... G (3) 1, G (3) 2, G (3) 3,...... pričom nasledujúca je vybraná z predchádzajúcej a pre každé i existuje lim k G(i) k = g(x i ). 42
Potom postupnost (G (n) n ) n=1 je vybraná z postupnosti (G k ) k=1 a pre každé i. Položme H k = G (k) k, teda lim n G(n) n (x i ) = g(x i ) lim H k(x i ) = g(x i ), i = 1, 2,... k Naostatok stačí položit pre l ubovol né x R G(x) = lim u x sup{g(x i); x i u}. Propozícia 2. Nech (H k ) k=1 je postupnost distribučných funkcií, ψ k zodpovedajúce charakteristické funkcie, t.j. ψ k (t) = eitx dh k (x). Nech lim k ψ k (t) = e t2 2, t R, lim k H k (x) = G(x), x R. Potom G je distribučná funkcia a e itx dg(x) = e t2 2. Preto Dôkaz. Máme u u e t2 2 dt = 0 0 lim ψ k(t)dt = k u 0 lim k u = lim [ e itx dt]dh k (x) = lim k 0 k = e iux 1 dg(x) = ix = e t2 2 u 0 [ = [ u 0 e itx dg(x)]dt. e itx dg(x), t R. Ak v tejto rovnosti položíme t = 0, dostaneme 1 = λ G (R), e itx dh k (x)dt = e iux 1 dh k (x) = ix e itx dt]dg(x) = teda G je distribučná funkcia, ktorej charakteristická funkcia je ψ(t) = e t2 2. 43
Propozícia 3. Nech F, G sú také distribučné funkcie, že e itx df (x) = e itx dg(x). Potom F (x) = G(x), x R. Dôkaz. Najprv uvažujme funkciu ψ v tvare ψ(x) = Σ n j=1c j e ixt j. Zrejme ψ(x)df (x) = ψ(x)dg(x). Pretože každá spojitá funkcia f na R nulová mimo nejakého kompaktného intervalu sa dá aproximovat funkciami predošlého typu, máme f(x)df (x) = f(x)dg(x). Ale takými funkciami sa zase dajú aproximovat funkcie typu χ [a,b). Preto Napokon λ F ([a, b)) = χ [a,b) df (x) = χ [a,b) dg(x) = λ G ([a, b)). F (x) = lim n λ F ([x n, x)) = lim n λ G ([x n, x)) = G(x). Dôkaz vety. Nech (G k ) k=1 je l ubovol ná postupnost vybraná z postupnosti (F n ) n=1. Potom podl a propozície 1 existuje taká neklesajúca spojitá funkcia G : R [0, 1] a taká postupnost (H l ) l=1 vybraná z postupnosti (G k ) k=1, že G(x) = lim l H l (x), x R. Podl a propozície 2, funkcia G je distribučná a e itx dg(x) = e t2 2. Definujme F (x) = x 1 2π e t2 2 dt. 44
Ale aj e itx df (x) = e t2 2. Pretože z rovnosti charakteristických funkcií vyplýva rovnost funkcií distribučných (propozícia 3), vidíme, že z l ubovol nej postupnosti (F ni ) i=1 vybranej z (F n ) n=1 existuje taká postupnost (F nik ) k vybraná z nej, že x lim F 1 n ik (x) = F (x) = e t2 2 dt k 2π Z toho ale vyplýva, že pre všetky x R. lim F n(x) = F (x) n 45
Dodatok 3. Radonova - Nikodymova veta Ak (, S, µ) je pravdepodobnostný priestor, f nezáporná, integrovatel ná funkcia, tak zobrazenie ν : S R definované rovnost ou ν() = fdµ, je miera. Navyše platí implikácia µ() = 0 = ν() = 0. Poslednej implikácii hovoríme, že je ν absolútne spojitá podl a µ. Radonova - Nikodymova veta tvrdí opak. Veta 1 (Radon - Nikodym). Nech (, S, µ) je pravdepodobnostný priestor, ν : S R konečná miera, absolútne spojitá podl a µ (t.j. µ() = 0 = ν() = 0). Potom existuje taká integrovatel ná funkcia f, že pre každé S. ν() = fdµ V dôkaze uvedenej vety sa vyskytujú množinové funkcie, ktoré sú σ- aditívne, no nemusia byt nezáporné. Prototypom je funkcia κ definovaná vzt ahom κ() = fdµ, pričom f nie je nezáporná. Definícia. Nech S je σ-algebra podmnožín množiny. Funkcia κ : S R sa nazýva zovšeobecnená miera, ak pre l ubovol né množiny A n S (n = 1, 2,...), také, že A i A j = (i j) platí κ( A n ) = Σ n=1κ(a n ). n=1 Veta 2 (Hahnov rozklad). Nech κ je zovšeobecnená miera na σ-algebre S podmnožín množiny. Potom existujú také množiny A, B S, že A B =, A B = a κ() 0 pre S, A, 46
κ() 0 pre S, B. Dôkaz. Ak je κ nezáporná, stačí vziat A =, B =, ak je κ nekladná zase stačí vziat A =, B =. Rozoberme všeobecný prípad. Množinu C S nazveme zápornou, ak κ() 0 pre všetky S, C. Uvažujme disjunktné systémy záporných množín C, ktoré majú zápornú mieru κ(c) < 0. Nech B je maximálny systém s uvedenou vlastnost ou. Uvážme, že B je spočítatel ný systém. Totiž kde B = B n, n=1 B n = {C S; κ(c) < 1 n }. Pritom B n je dokonca konečný systém, lebo miera κ je konečná. Ked že systém B je spočítatel ný, B = {B 1, B 2,...}, môžeme položit B = i=1b i S. Ak B, tak = i=1 ( B i ), teda κ() = Σ i=1κ( B i ) 0, ked že každá B i je záporná. Definujme A = B. Nech S, A. Máme dokázat, že κ() 0. Nech to nie je pravda. Potom existuje S, A, κ() < 0. Keby množina bola záporná, bol by to spor s maximalitou systému B, lebo B {} = {, B 1, B 2,...} by bol väčší ako maximálny. xistuje teda F S, F, κ(f ) > 0. Podobnou metódou ako sme získali B 1, B 2,..., môžeme získat maximálny disjunktný systém {G 1, G 2,...} podmnožín množiny kladnej miery κ(g i ) > 0 (i = 1, 2,...). Potom G = i=1 G i má kladnú mieru, ale množina G už podmnožinu kladnej miery neobsahuje, teda je záporná. Navyše 0 > κ() = κ( G) + κ(g). Ked že κ(g) > 0, je κ( G) < 0, pričom G je záporná. To je spor s maximalitou systému B, lebo systém { G, B 1, B 2,...} 47
je väčší ako maximálny. Vidíme teda, že κ() 0 pre všetky S, A. Ozbrojení takým silným prostriedkom, akým je veta 2, môžeme sa pustit do dôkazu vety 1. Najprv hl adanú funkciu zostrojíme. Nech K = {f; fintegrovatel ná, S : fdµ ν()}. Pretože fdµ ν(), je množina { fdµ; f K} ohraničená, existuje teda a = sup{ fdµ; f K}. Nech (g n ) n=1 je taká postupnost funkcií z K, že a = sup{ g n dµ; n N}. Ak položíme f n = max(g 1,..., g n ), (n = 1, 2,., ), dostaneme takú neklesajúcu postupnost z K, že a = lim f n dµ. n Ak položíme f = lim n f n, tak fdµ = n lim f n dµ = a. Navyše pre l ubovol né S platí fdµ = fχ dµ = lim n f n χ dµ ν(). Teda aj f patrí do K. Vieme, že fdµ ν() pre l ubovol né S. Máme dokázat rovnost. Ak tá rovnost neplatí všade, existuje také F S, že F fdµ < ν(f ). Ak definujeme ν 0 : S R rovnost ou ν 0 () = ν() fdµ, tak ν 0 je miera, ktorá nie je identicky nulová. Pre l ubovol né n N položme ν n () = ν 0 () 1 n µ(). 48
Nech A n, B n je Hahnov rozklad vzhl adom na zovšeobenenú mieru ν n, teda ν n () 0, ak A n, ν n () 0, ak B n. Položme Potom teda A = A n, B = B n. n=1 n=1 ν n (B n ) = ν 0 (B n ) 1 n µ(b n) 0, ν 0 (B) ν 0 (B n ) 1 n µ(b n), (n = 1, 2,...) odkial dostávame, že ν 0 (B) = 0. Ale B = B n = ( B n ) = A n = A. n=1 n=1 n=1 Ked že ν 0 nie je identicky nulová, máme ν 0 (A) > 0. xistuje teda také m N, že 0 < ν 0 (A m ) = ν(a m ) dµ. A m Označme A m = C, 1 m = ε, teda ν 0(C ) εµ(c ) 0. Pretože ν je absolútne spojitá podl a µ, je tak ν(c) > 0 ako aj µ(c) > 0. Definujme čo je integrovatel ná funkcia, gdµ = g = f + εχ C, fdµ + εµ(c) > fdµ = a. Ak teda ukážeme, že g K dôjdeme k sporu. Nech teda S je l ubovol né, potom gdµ = fdµ + εµ(c ) fdµ + ν 0 (C ). Ale fdµ + ν 0 (C ) = = C fdµ + ν(c ) fdµ + ν(c ) ν( C) + ν(c ) = ν(). C fdµ = 49
Literatúra [1] Janková K., Pázman A.: Pravdepodobnost a štatistika. UK Bratislava 2011. [2] Riečan B.: O pravdepodobnosti a miere. Alfa Bratislava 1971. [3] Riečan B., Neubrunn T.: Teória miery. VDA Bratislava 1992. [4] Zvára K., Štěpán J.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Matfyzpres 1997. 50
Obsah 1. Pravdepodobnost... str. 2 2. Náhodná premenná... str. 6 3. Stredná hodnota... str. 12 4. Transformácia integrálu... str. 16 5. Nezávislost... str. 20 6. Odhad momentov... str. 23 7. Intervalový odhad... str. 25 8. Dôkaz cetrálnej limitnej vety... str. 29 9. Zákon vel kých čísel... str. 34 10. Podmienená pravdepodobnost... str. 36 11. Podmienená stredná hodnota... str. 39 Dodatok 1. Laplaceov integrál... str. 41 Dodatok 2. Distribučné a charakteristické funkcie...str. 42 Dodatok 3. Radonova - Nikodymova veta...str. 46 Literatúra...str. 50 51
Názov: MINITÓRIA PRAVDPODOBNOSTI Autor: Beloslav Riečan Vydavateľ: BLIANUM. Vydavateľstvo UMB v Banskej Bystrici dícia: Fakulta prírodných vied Vydanie: prvé Počet strán: 52 Formát: CD Rok vydania: 2015 Miesto vydania: Banská Bystrica ISBN 978-80-557-0908-6