60. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2018/2019 kategória A Riešenie úloh krajského kola Riešenie: Odpružený dopad a) Rýchlosť dopadu debnič

Prepis

1 6. ročník Fyzikánej oypiády v škosko roku 8/9 kategória A iešenie úoh krajského koa iešenie: Odpružený dopad a) ýchosť dopadu debničky na piest určíe zo zákona zachovania echanickej energie v g ( h b). ýchosť v piestu s debničkou krátko po nepružno náraze určíe podľa zákona zachovania hybnosti ( ) v + v, a teda v v g ( h b). () + + Pre dané hodnoty v, s. b) Na začiatku je tak pynu vo vaci g p pa +. S Pri stáčaní piestu pôsobí na piest tak p pynu vo vnútri vaca a atosférický tak p a. Taková sia pynu F p (p p a) S. Keďže dej v pyne vo vaci je adiabatický, patí, resp. + pv p V p p p p, a teda výsedná taková sia sero nado p ps Fp ( pa p) S pa p + S g. Pri výchyke zo začiatočnej poohy vykoná vzduch (vo vaci a vonkajší) prácu ps p p S W F d g d g. Okre toho vykoná tiažová sia prácu W Δ E ( + ) g. g p Počas stáčania pynu kesá kinetická energia. Pri aiánej výchyke je kinetická energia nuová, preto patí

2 p S Δ Ek Wg + Wp, resp. ( + ) v ( + ) g g +. Kvadratickú rovnicu upravíe na tvar Jej riešenie je a s použití () ( + ) ( + ) g v. ps ps ( + ) ( + ) g g v + + p S p S p S ( + ) ( ) ( ) + g + g g ( h b) + +. b p S p S p S ( + ) Pre dané hodnoty,5 c., b) Tepotu určíe podľa stavovej rovnice pre adiabatický dej v ideáno pyne V V T T T Pre dané hodnoty T K.. b iešenie: a) Absorpčné spektru sveta A A n L U U C U n Zdroj B Náhradný zdroj B Obr. A

3 Na určenie napätia U ožno použiť rôzne etódy. Výhodné je presunúť výstupný rezistor pred uzy AB, obr. A, a obvod naľavo od brány AB nahradiť ekvivaentný náhradný napäťový zdrojo s napätí U n U / U a odporo n /. Pozn.: Obidva zdroje ajú rovnaké napätie naprázdno U U / a prúd nakrátko U / sú rovnocenné. Po pripojení LC vetvy s ipedanciou Z + j L+, kde ω je uhová frekvencia napätia a j iaginárna jednotka. jc Výstupné napätie U určíe ako napätie na deiči napätia n, Z U U n n Z + Z. Pre anaýzu napätia je výhodné vyjadriť zenu výstupného napätia od hodnoty U n ΔU U U U U n + Z Z + n. U + + j L+ j C Veľkosť pokesu napätia ΔU U U L + + j C L + + C. () Maiána hodnota U zodpovedá iniánej hodnote enovateľa, tzn. L C, odkiaľ áe, resp. f C L π C L. () Δ U a U + b) Bez prítonosti absorpčnej vrstvy je výkon na záťaži P U. () U 4. (4) Pri frekvencii f je ipedancia Z a výstupné napätie

4 U U U n n + + Výkon na záťaží U U P. (5) 4 + Poer p určíe z (4) a (5) p P P +. c) eatívny pokes napätia U /U a vyjadríe z výrazov () a () ΔU ΔU a + L + C Medzné uhové frekvencie určíe z rovnice L, resp. L, + C + C ktorú upravíe na zákadný tvar kvadratickej rovnice +. L Jej riešenie á 4 korene + +,,,4 + 4L 4L z ktorých fyzikány význa ω > ajú iba dva korene + + π π 4 L 4 L + + f f +.,,5 b + +.,5 b π π 4 L 4 L Šírka absorpčnej čiary Δ f f f + π L a reatívnu šírku absorpčnej čiary určíe poocou výsedkov (6) a () Δ f f + C. L d) Pre optickú čiaru λ 4 n a λ / λ f / f, 4 a p,, 77 Ω a λ c / f áe (6) 4

5 p p. Pre dané hodnoty 8 Ω. Zo vzťahov ( p ) C Δ a LC L π c určíe Δ C ( π c p), pre dané hodnoty C 5, F L, pre dané hodnoty L 8,8 H. π p c Δ iešenie: Mikroskop a) Body s uhovou vzdiaenosťou δ zo vzdiaenosti ajú vzájonú vzdiaenosť v rovine koej na optickú os δ φ, pre dané hodnoty δ (,5 ) (π rad/8 /6) (,5 ) (,9 4 rad) 7,7 μ.,5 b b) Potrebné zväčšenie z δ /(λ/), pre dané hodnoty z 9.,5 b c) Obr. A : V schée ikroskopu sú označené šošovky, ich ohniská, predet P, výsedný obraz O, obraz O vytvorený šošovkou Š, ktorý je predeto šošovky Š, predetové vzdiaenosti a a b, obrazová vzdiaenosť, priečne veľkosti predetu y, reáneho obrazu y a výsedného zdanivého obrazu y a vzdiaenosť šošoviek d. a d f f b f y P y () oko (4) F y F F () F (5) () O Š Š O Obr. A Obr. A b 5

6 Opis kresenia schéy: Na optickú os uiestnie Š a označíe poohu jej ohnísk. Nakresíe pozorovaný obraz O vo vzdiaenosti. Stredo Š vediee úč () do bodu O a z obrazového ohniska F do bodu O úč (), ktorý zodpovedá ou úča () rovnobežného s osou na šošovke Š. V priesečníku účov () a () je obraz O, ktorý usí byť skutočný. Uiestnie Š tak, aby ohnisko F boo pred ohnisko F. Predet P je na priesečníku účov (4) stredo Š a (5) prechádzajúci ohnisko F a šošovkou Š sa áe na úč () rovnobežný s osou. Pre iustráciu je zakresené aj oko pozorovateľa, do ktorého dopadajú úča zo zdanivého obrazu O. Pre zobrazenie šošovkai patia zobrazovacie rovnice +, () a d b f. () b f Pre zväčšenie patí y d b z, y a z y y b. Cekové zväčšenie je y y d b z zz. () y y a b Z rovníc (), () a () vyúčie vzdiaenosť + a d f a, (4) f f + d + f z f z. (5) Zo sústavy dvoch rovníc pre neznáe veičiny a a z určíe hľadané veičiny. Z (5) vyjadríe d a dosadíe do (4). Po úprave áe + a f + f zf Po dosadení (6) do (5) dostanee f f d + z+ + f + f. (6) Pre dané hodnoty a 6, d c.. (7) 6

7 d) Aby sa získa obraz predetu (vizuány aebo fotografický), usí sa vytvoriť reány obraz buď šošovkou oka aebo objektívo fotoaparátu. V oboch prípadoch sa usí obraz zaostriť do detekčnej roviny (očnej sietnice aebo záznaového édia). okuár ikroskopu detekčná pocha objektív fotoaparátu (a) (b) (c) Obr. A Obr. A a vysvetenie b Pre pozorovanie oko obraz predetu zaostrujee na zrakovú vzdiaenosť, pre fotografovanie sa zvyčajne zaostruje ikroskop na obraz v nekonečne (úče vystupujúce z okuáru sú rovnobežné), obr. A (a), a bodový predet ikroskopu sa zobrazí ako bod v detekčnej rovine. Ak je bod predetu ikroskopu vo vzdiaenosti enšej ako je vzdiaenosť zaostreného bodu, na ktorý je ikroskop zaostrený, sú úče vychádzajúce z okuáru rozbiehavé a obraz vzniká za detekčnou rovinou, obr. A (b). V detekčnej rovine zväzok sveta pokrýva pôšku označenú v obrázku. Obraz bodu predetu je v detekčnej rovine rozazaný. Podobná situácia nastane, ak je bod predetu ďaej ako je zaostrený bod, úče vychádzajúce z okuáru sú zbiehavé a obraz bodu sa vytvorí pred detekčnou rovinou, obr. A (c). Zväzok sveta v detekčnej rovine pokrýva pôšku označenú v obrázku. Obraz bodu predetu je v detekčnej rovine rozazaný. Ak sa fotografuje cez ikroskop hrubá (priestorová) vzorka, zobrazí sa ostro iba jedna rovina vzorky, ae body io tejto roviny spôsobujú rozazanie obrazu (neostrý obraz). Obyčajný ikroskopo sa preto fotografujú iba tenké (dvojrozerné) vzorky. Pri pozorovaní oko probé neostrosti odpadá, keďže oko je schopné akoodovať na rôzne vzdiaenosti, ako keď bežne pozorujee očai priestorové predety. Keď pozorujee oko priestorový predet, v dano okaihu vníae ostro detaiy iba v určitej vzdiaenosti. Oko je však schopné rýcho preaďovať túto vzdiaenosť, a tak sa v ozgu vytvára priestorový obraz predetu. Pozn.: Na zobrazovanie priestorových vzoriek sa používajú zožitejšie ikroskopy, napr. konfokány ikroskop. 7

8 iešenie: Eotický ató bária a) Pre atóovú hotnosť A 8 je pooer jadra 6, f.,5 b b) Sia, ktorá pôsobí na ión v eektricko poi jadra Z eq F r pre r, () 4π Z eq F pre r, () 4π r kde Q Z e je náboj jadra, Z atóové číso (počet protónov v jadre), e,6 9 C eeentárny náboj, 8,85 F eektrická konštanta a q e náboj iónu. Dôkaz: QS Gaussova veta E ds, kde QS je náboj vo vnútri pochy S. Vzhľado na stredovú S syetriu jadra sa za integračnú pochu zvoí guľová pocha so stredo v strede jadra a pooero r. Z e Z e Ak je integračná pocha S vo vnútri jadra, je náboj QS VS r V, a obsah S 4 π r. Vektor E eektrickej intenzity je na guľovú pochu S koý a na ceej poche á rovnakú veľkosť, preto Ze E ds E S E 4πr r. S Ze F qe r, pre r. () 4π Ak je integračná pocha S io jadra, je Q S Z e a patí Ze E ds E S E 4πr, odkiaľ áe S Ze F q E pre r. () 4π r 8

9 F> O r F() Z e 4 π ε - 5 N F< Obr. A-4 Obr. A 4 Sia á ser ku stredu atóu, F() 5 N.,5 b c) Pre pohyb na kružnicovej orbite patí rovnováha dostredivej (eektrickej) a zotrvačnej (odstredivej) siy 4π v pre r, () r Z e r 4π v pre r. (4) r r Z e Súčasne patí kvantová podienka L r p vr n. (5) Z () a (5), resp. (4) a (5) áe 4π 4 A n r n r n pre r, (6) Z e 4π n r n r n pre r. (7) Z e Pre dané hodnoty r 5,77 f (r 8, f), r 4,54 f (r 8, f). Z výsedku je zrejé, že prvá orbita s pooero r < je vo vnútri jadra a druhá r už io jadra. Prvá orbita r je vo vnútri jadra a druhá s pooero r > je io jadra. Stavo n a n zodpovedajú trajektórie s pooeri r r a r r.,5 b 9

10 d) ýchosti určíe zo vzťahu (5) pre fyzikáne reáne orbity, teda po dosadení za r z (6), resp. za r zo (7) Ze v, pre dané hodnoty v 9,7 7 s, ci A 4 4π Ze v, pre dané hodnoty v 6, 7 s, c. 8π Hodnoty rýchostí sú bízke rýchosti sveta a preto určíe reativistické hodnoty hotností a zodpovedajúce pooery trajektórií v c v c, pre dané hodnoty,6 a r 5,69 f.,5 b, pre dané hodnoty, a r 7,8 f.,5 b Vidíe, že zanedbaní reativistickej zeny hotnosti sa výsedky zenia iba veľi áo,,4 % pre r a, % pre r. Kasický výpočet poskytuje dobrú predstavu o stavoch iónu v atóe.,5 b Pozn.: prideiť pný počet bodov aj za správne výsedky na dve patné čísice. 6. ročník Fyzikánej oypiády Úohy krajského koa kategórie A Autor návrhov úoh: ecenzia a úprava úoh a riešení: edakcia: Vyda: Ivo Čáp Danie Kuvanec, Ľuboír Mucha Ivo Čáp Sovenská koisia fyzikánej oypiády IUVENTA Sovenský inštitút ádeže, Bratisava 9