Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky
Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom poli. mr mg F mg v mg r Fyzikálny zákon r(0) r(0) h v 0 Počiatočné podmienky
Rovnica, v ktorej vystupuje neznáma funkcia spolu so svojimi deriváciami sa nazýva diferenciálna rovnica.
Klasifikácia DR Rovnica, v ktorej vystupuje neznáma funkcia spolu so svojimi deriváciami sa nazýva diferenciálna rovnica. druh DR analytický tvar najvyšší stupeň derivácie obyčajné parciálne lineárne nelineárne d dt v 1 sin t prvého druhého n-tého rádu f d a dt t = cos = 0 t at f = ept Hľadaná funkcia so všetkými svojimi deriváciami sa vyskytuje iba linearne
Stupeň DR najvyšší stupeň derivácie najvyšší stupeň derivácie
dy d y e Všeobecné riešenie y e Ce Obsahuje toľko konštánt, koľkého rádu je DR, tieto konštanty sa určujú s počiatočných podmienok, ktorých je toľko, koľkého rádu je DR Partikulárne riešenie y e y e 10e y e 3e Neobsahuje žiadnu neznámu konštantu Počiatočná podmienka vybere jednu krivku: počiatočné podmienky hodnoty hľadanej funkcie a jej derivácii až do n-1 stupňa (vrátane)
Počiatočné podmienky DR rôznych rádov počiatočné podmienky hodnoty hľadanej funkcie a jej derivácii až do n-1 stupňa (vrátane)
DIFERENCIÁLNE ROVNICE PRVÉHO RÁDU
Smernicová metóda Informácia o smerniciach hľadanej funkcie y f (, y) V podstate hľadáme krivku, ktorej smernicu v jednotlivých bodoch poznáme y y Smerové pole
y y
y 0.y y,0 y 0, y 0 Horizontálne elementy Pri fiovanom smernica rastie so zväčšovaním y
Diferenciálne rovnice so separovanými alebo separovateľnými premennými y = f, y h( ) g( y) dy g y = h d Úprava: Každá strana rovnice obsahuje len jednu premennú y = e y Rádioktívny rozpad
1 dy yd 0 dy d y 1 Tvary konštant mnohokrát volíme tak, aby sa nám ľahšie vyjadroval výsledok
dy 4y y0 1 d dy y 4 d y 1 C
dy d y y 4 3
1 p v gy konst 1 1 1 gh 1 v v gh Q=Sv Prietok kvapaliny mnozstvo kvapaliny pretecenej za jednotku casu
Za čas dt vytečie z nádoby objem dv, ktorý sa rovná úbytku kvapaliny v nádobe Vo valcovej nádobe s prierezom S siaha kvapalina do výšky H. Určte závislosť výšky kvapaliny v nádobe od času Určte čas, za aký vytečie voda z nádoby cez otvor s prierezom s. Nájdite taký tvar nádoby, aby hladina kvapaliny klesala s konštantnou rýchlosťou, tj. dh/dt=a v gh Za čas dt vytečie z nádoby objem dv, ktorý sa rovná úbytku objemu kvapaliny v nádobe: dh s h S gdt Počiatočná podmienka: h0 H Zmena objemu kvapaliny v nádobe Sdh Vytečený objem kvapaliny: dv=svdt
TERMODYNAMIKA
1. Veta termodynamická ZZE: Q du A p konst : Q C nt V konst : Q C nt p v U f T A pv pdv NkT
Práca plynu Práca sa číselne rovná ploche pod krivkou S ds p V V dv A pdv A F ds ps ds pdv A V V f i pdv Izobarická zmena A p V V nrt f Izochorická zmena A 0 i
Bez ujmy na všeobecnosti vyberme dve blízke izotermy, líšiace sa o dt IZOCHORICKÝ DEJ Q C ndt V Q du A CV ndt du V pdv V dv T dt Q C ndt Izobarická zmena p Q du A du C ndt V C ndt C ndt nrdt p V C C R p V
ADIABATICKÝ DEJ Q 0 pv κ konst TV κ 1 konst T p 1 konst
Adiabatický dej C p p v Cv C C R 1. veta termodynamická Q W du 0 pdv nc dt v Stavová rovnica pv nrt dpv pdv nrdt
Tlak plynu v homogénnom gravitačnom poli Určte, ako sa mení tlak a hustota plynu v atmosfére. Na povrchu zeme h=0 je tlak p 0. Objem plynu ds p(+d) p() Predstavme si stĺpec plynu s teplotou T. Zvoľme v tomto stĺpci vo výške infinitezimálnu vrstvu d Plyn pôsobí na túto vrstvu zhora tlakom p(+d) a silou F(+d) =Sp(+d) Zdola tlakom p()a silou F()=Sp() Tiaž vybranej vrstvy: G=nSdmg F 0 Podmienka pre termodynamickú rovnováhu: dp nmg 0 p nkt d dp mg d p k T ( )
Homogénne diferenciálne rovnice, y sa vyskytuje vo forme podielu y y f substitúcia y y yy y y y y 0 u y 3 y y y sin y y y cosln y y y yu u du d f ( u) u Vedie k separovateľnej DR Dá sa upraviť na rovnicu so separovanými premennými
Metóda variácie konštánt y y e y y 0 y y y y e 1 y ytg sin 1 y y e y y Aj separovateľná aj homogénna
Partikulárne, homogénne a všeobecné riešenia y P y = Q Partikulárne riešenie hocijaké konkrétne riešenie vyhovujúce rovnici: = y h P yh =0 y P y Q p p Všeobecné riešenie y y y p h Homogénne riešenie riešenie vyhovujúce rovnici: y y P y y Q = = = p h p h y y P y P y Q h p p h y P y y P y Q h h p p Homogénne riešenie má v sebe konštantu, ktorá sa určí z počiatočných podmienok Nájdi hocijaké partikulárne riešenie a keď k nemu pripočítaš homogénne, dostaneš všeobecné
Zníženie rádu DR Všeobecný tvar DR druhého rádu y f (, y, y) DR možno zavedení vhodnej substitúcie previesť na DR prvého rádu, ak sa v nich nevyskytuje jedna z premenných,y y y f ( ) f (, y) Chýba y hľadaná funkcia Substituovaná funkcia bude obsahovať tú druhu premennú y z y f ( y, y) Chýba premenná, podľa ktorej derivujeme y z y
Fo = v pád nadol vrh nahor Sústava č.1 m = mg m = mg Sústava č. m = mg m = mg F o = v Sústava č.1 Sústava č. m = m = pád nadol mg v mg v m = m = vrh nahor mg v mg v Fo v sign v
m mg dv vt dt dv separovateln m mg v dt LDR a dv v v d dv vdv m v mg v m d d mg v