Počítačové modelovanie Šírenie vĺn v nehomogénnom prostredí - FDTD Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2016/2017
Úvod Hľadáme riešenia časovo závislej parciálnej diferenciálnej rovnice u tt = u xx + u yy + u zz u... skalár alebo vektor napr. intenzita EM poľa E. Dva typy fyzikálnych úloh: 1. EM vlny v homogénnom prostredí a na rozhran.í V homogénnom prostredí riešenie poznáme (rovinné vlny). Úlohou je správne zošiť známe riešenia na rozhraniach. 1.1 Vlnový balík v 1D 1.2 Vlnový balík v 2D 2. EM vlny v nehomogénnych (periodických) prostrediach. Numerické riešenie Maxwellových rovníc z prvých princípov. 2.1 Diskretizácia Maxwellovych rovníc 2.2 Numerické riešenie vlnovej rovnice pre EM vlny (FDTD)
Maxwellove rovnice - algoritmus Yee Cieľ: počítať šírenie EM vĺn v nehomogénnom prostredí: Fotonické kryštály Metamateriály Nehomogénne prostredie z x t y a r Metóda: diskretizácia časových Maxwellových rovníc v čase a v priestore, výpočet časového vývoja poľa.
Maxwellove rovnice - algoritmus Yee Úloha: diskretizácia priestoru, ktorá zachová platnosť Maxwellových rovníc H x z E z H x H y H z Diskretizácia E a H v rôznych bodoch. Fyzika: lokálne zachováme Maxwellove rovnice: H z H y H z E y y t D ds = H d l E x H y H x t B ds = x Zložky E a H sú definované na dvoch rôznych mriežkach. E d l
Maxwellove rovnice - algoritmus Yee v 2D Tri zložky poľa: napr. E z, H y a H z Pre každú z nich urobíme svoju diskretizáciu priestoru: H z H y H y H y E z E z E z H z H z Každý vektor je konštantný vo svojej elementárnej bunke (ohraničenej svojou farbou) Integrujem cez jednu malú plaketu S = δxδy: D ds t = H d l D z t δxδy = +δy [H y (x + δx/2) H y (x δx/2)] δx [H x (y + δy/2) H x (y δy/2)]
Maxwellove rovnice - algoritmus Yee v 2D D z t δxδy = +δy [H y (x + δx/2) H y (x δx/2)] δx [H [ x (y + δy/2) H x (y δy/2)] Hy = δxδy x H ] x y Dostali sme Maxwellovu rovnicu v diferenciálnom tvare. Podobne dostaneme rovnicu pre H y : domyslíme si plaketu" S = δxδz na ktorej je konštantné H y a obídeme ju v takom smere, aby vektor S bol rovnobežný s H y : B y t δzδx = δz [E z(x + δx/2) E z (x δx/2)] δx [E[ x (z + δz/2) E x (z δz/2)] Ez = δzδx x E ] x z druhý člen je teraz nulový, lebo E x 0. Všimnime si, že E x by bol lokalizovaný nad H y (posunutý o δz/2).
Časová diskretizácia Majme polia H x a H y v čase t, E z v čase t /2. Pole E z (t + /2) nájdeme pre každú plaketu z Maxwellovej rovnice [ Hy εe z (t + /2) = E z (t /2) + x H ] x y zo známych hodnôt E z (t + /2) nájdeme v čase t + hodnoty magnetických polí: Opakovanie: derivácia sa diskretizuje f (x) x = µh y (t + ) = H y (t) E z x µh x (t + ) = H x (t) + E z y f (x + δx/2) f (x δx/2) δx
Vzťah medzi t a δx Priestorový krok δx musí byť dostatočne malý, aby ohmatal nehomogenity vo vzorke. Vo všeobecnosti δ x < λ 10 Podobne ako pri difúznej rovnici nemôže byť priestorový krok príliš veľký: δ x > c t Dôvod: metóda FDTD je explicitná metóda, je potrebné ustrážiť numerické nestability.
Okrajové podmienky Nechceme, aby sa na hranici niečo odrazilo. Preto potrebujeme zabezpečiť nulový odraz dopadajúcej vlny totálnu absorpciu za hranicou Na rozhraní sa preto pridáva absorbujúce prostredie s čo najmenším koeficientom odrazu.
Zdroj EM vĺn Chceli by sme generovať monochromatickú EM vlnu s jedinou frekvenciou ω. Takú ale nevytvoríme. Najjednoduchší zdroj: v čase 0 t 2π ω generuje el. pole E sin ωt: Pole obsahuje rôzne frekvenčné zložky. Môžeme ho rozložiť do Fourierovho radu. Poloha zdroja: bodový, lineárny, plošný...
Energia Počítajme v každom čase celkovú energiu elektromagnetického poľa U = ij ε ij E ij 2 + µ ij H ij 2 (sumujeme cez jednotlivé body mriežky v 2D modeli) Celková energia bude rásť kým zdroj emituje žiarenie, potom musí zostať konštantnou až kým sa nezačne strácať absorpciou na hranici.
Poyntingov vektor Tok energie W (t) cez nami zvolené rozhranie získame integráciou Poyntingovho vektora: W (t) = ds P P = E H Samozrejme závisí od času. S
Fotonický kryštál: frekvenčné spektrum 0,8 0,6 Frequency 0,4 0,2 0 Γ X M Γ Teória hovorí, že frekvenčné spektrum FK má zakázané a povolené frekvenčné pásy. EM vlny s frekvenciou v zakázanom páse sa naprieč FK nemôžu šíriť.
Pedagogická ukážka Vonkajší lineárny zdroj, vlna prechádza cez fotonickú vrstvu. Dve frekvencie zdroja. Ktorá patrí do povoleného pásu?
FDTD a frekvenčné spektrum Umiestnime zdroj EM vĺn do vnútra fotonického kryštálu a počítajme pomocou FDTD časový vývoj vlny. Očakávame, že niektoré Fourierove zložky poľa zostanú uzamknuté v okolí zdroja.
FDTD a frekvenčné spektrum Ľahko vidíme, ktorá frekvencia patrí do zakázaného pásu. [Ivan Lapin, bakalárska práca, FEI STU 2010]
Poyntingov vektor Tok energie jednotkovou plochou za jednotku času P = E H Plochu definujme tak, aby uzatvárala zdroj P(t) závisí od času, preto nájdeme Fourierov obraz P(ω)
Energia Koľko energie mi zostáva v okolí zdroja? Časový vývoj pre štyri frekvencie zdroja.
Prechod EM vlny lineárnou kavitou Lineárna porucha v periodickej štruktúre má vlastný stav - frekvencie, pre ktoré sa vlna môže šíriť. Ak tieto frekvencie ležia v zakázanom páse, vlna z kanálu nemôže odísť - vlnovod. 300 20 200 0 100-20 Tok energie 0-100 -200 Tok energie -40-60 -300-80 -400 x=700-100 x=795-500 -120 0 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 0 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 Čas Čas Energia: EM vlna sa odráža od vyústenia kavity do voľného priestoru, preto tok energie mení znamienko vo vnútri kavity.
Prechod EM vlny cez fotonické štruktúry Prechod EM vlny cez zložitejšie vlnovody: FDTD simulácia šírenia EM vĺn v reálnom čase. Zdroj je umiestnený tesne pred ľavým vyústením kavity. Frekvencia zdroja leží v zakázanom páse. [M. Rudolf, dipl. práca FEI STU 2012]
Záver Sledovať časový vývoj elektromagnetických vĺn je zaujímavé, lebo vidíme celý proces šírenia môžeme ho kvantitatívne vyhodnotiť Numericky náročné: diskretizácia musí zodpovedať fyzikálnym rovniciam počítame všetky zložky elektromagnetického poľa E, H okrajové podmienky (nehovorili sme o nich) numerická presnosť Fourierova analýza Dodatok: Numerické problémy stability vlnovej rovnice, Laxova metóda.
Dodatok: Vlnová rovnica 2 u(x, t) t 2 = v 2 2 u(x, t) x 2 Zaveďme dve funkcie r = v u(x, t) u(x, t), s = t x Potom vlnovú rovnicu môžeme transformovať na systém dvoch jednoduchších rovníc: r(x, t) t ( ) r = s s(x, t) = v x ( 0 v v 0 ) ( r s s(x, t) t ) r(x, t) = v x
Vlnová rovnica Najjednoduchšia rovnica: u(x, t) t Naivná diskretizácia u(x, t) = v x u t = 1 [u(x, t + ) u(x, t)] u x = 1 [u(x + δ, t) u(x δ, t)] 2δ vedie k systému rovníc 1 a 0... 0 a 1 a.... u(x, t + ) =. 0 a.. u(x, t),... 0... a 1 a = v 2δ. Vlastné hodnoty matice sa nájdu ľahko
Vlnová rovnica Vlastné hodnoty matice sa nájdu ľahko: Λ = 1 i v δ Takže vidíme problém: Λ > 1 sin πn N + 1 Metóda je preto brutálne nestabilná.
Laxova metóda Upravíme časovú deriváciu: [ u(x, t + ) u t = 1 ] u(x + δ, t) + u(x δ, t) 2 Tým dostaneme iteračnú schému 0 1/2 + a 0... 0 1/2 a 0 1/2 + a.... u(x, t + ) =. 0 1/2 a..... 0... 1/2 a 0 S vlastnými hodnotami Λ n = cos α n i v δ sin α n, α n = πn N + 1
Laxova metóda Λ n = cos α n i v δ sin α n, α n = πn N + 1 a teda Λ < 1, ak v δ 1 Fyzika: vlna musí mať dostatok času na šírenie sa z jedného bodu mriežky na druhý. Ak má dlhý časový krok, nestihne sa poobzerať po okolí a program havaruje. Stabilita riešenia: podobná, ako pri difúznej rovnici. Explicitná metóda je stabilná len ak 2 δ 2 v 2 < 1. Napriek tomu sa explicitná metóda používa najčastejšie (programy FDTD).