Cvičenie Cvičenie 8.. ko je šecifikovaný argument? Riešenie. rgument je usoriadaná dvojica = ( Φ, ), kde {,,, } Φ = ϕ ϕ ϕ n je teória tvorená množinou formúl, ktorá vyhovuje odmienkam: () Φ (odmienka konzistentnosti), () Φ (z odmnožiny Φ logicky vylýva formula ), (3) Φ je minimálna množina vyhovujúca odmienke () (stačí, ak odstránime jeden rvok odmnožiny Φ a restane latiť odmienka Φ ). Formula sa nazýva dôsledok argumentu a odmnožina Φ sa nazýva odora (suort) = Φ, argumentu. Schematické znázornenie argumentu V hornej časti diagramu sú uvedené východiskové redoklady argumentu (konzistetná odora argumentu), v dolnej časti diagramu je uvedený dôsledok (výsledná formula), ktorý je odvodený omocou zásad rirodzenej dedukcie výrokovej logiky (táto ostunosť oerácií rirodzenej logiky je rerezentovaná šíkami idúcimi zhora nadol). Cvičenie 8.. Nech Δ = {, β, γ β, γ, δ, δ β,, γ }, otom nad touto množinou formúl môžeme definovať tieto argumenty: = β,, β, ({ } ) {, }, 3 = ({ δδ β, }, β ), 4 = ({ }, ), 5 = ({ γ }, γ ), 6 {, }, 7 ({ }, ) = γ βγ β, = β β, = γ δ γ. Dokážte re tieto argumenty korektnosť ich dôsledkov. Riešenie. rgument. likácia modus onens na teóriu Φ = {, β }, Φ β. rgument. likácia modus onens na teóriu Φ = { γ β, γ }, Φ β. -6 (8. kaitola, verzia 0. 4. 009 o 3:09:0)
rgument 3. likácia modus onens na teóriu Φ = { δ, δ β }, Φ rgument 4. Koírovanie redokladu z teórie Φ = { }, Φ. rgument 5. Koírovanie redokladu z teórie Φ = { γ }, Φ γ. rgument 6. likácia modus onens na teóriu Φ = {, β }, Φ rozšírený omocou disjunkcie o, otom Φ β β. β, tento dôsledok je rgument 5. Koírovanie redokladu z teórie Φ = { γ }, otom Φ γ, tento dôsledok je rozírený omocou disjunkcie o δ, dostaneme Φ ( δ γ) ( δ γ) Cvičenie 8.3. ko je definovaná relácia konzervatívný argument? Riešenie. Hovoríme, že argument = ( Φ, ) je konzervatívnejší ako argument = ( Ψ, β ) vtedy a len vtedy, ak Φ Ψ a β. Obrazne môžeme ovedať, že konzervatívnejší argument má všeobecnejší charakter, kladie menšie ožiadavky na odoru a menej šecifický na dôsledok. Význam tohto ojmu je znázornený na obrázku Cvičenie 8.4. Vysvetlite reláciu konzervatívnejší re dva argumenty = {, q },q 443 { a Φ = {, q,q r },q { r. 4 44443 Ψ β Riešenie. Pretože latí Φ Ψ a β, argument je konzervatívnejší ako argument., ričom latí q { r q {. Túto skutočnosť môžeme alternatívne vyjadriť takto β ({, q },q) ({, q,q r },r q) { q,q r} r q t. j. rozšírením argumentu = ({, q },q) o ďalší člen q r ({, q,q r },r q) dostaneme nový argument =, ričom argument je konzervatívnejší ako argument. Cvičenie 8.5. ko je definované sochybnenie argumentu iným argumentom? -6 (8. kaitola, verzia 0. 4. 009 o 3:09:0)
= Ψ β ráve vtedy, ak dôsledok argumentu je negácia niektorých redokladov argumentu, t. j. β ( ϕ ϕ n ), kde { ϕ,, ϕn} Φ. Táto formulácia sochybnenia jedného argumentu druhým je ekvivalentná s tým, že asoň jeden redoklad argumentu je negáciou dôsledku argumentu., ozri riložený obrázok Riešenie. Hovoríme, že argument = ( Φ, ) je sochybnený argumentom (, ) Φ Ψ ( ϕ ϕ n ) (sochybnenie) Cvičenie 8.6. ko je definované vyvrátenie argumentu iným argumentom? = Ψ β ráve vtedy, ak dôsledok argumentu je negácia dôsledku argumentu, t. j. β, ozri riložený obrázok Φ Ψ Riešenie. Hovoríme, že argument = ( Φ, ) je vyvrátený argumentom (, ) β B (vyvrátenie) Príklad 8.7. Nech univerzálna množina oznatkov má tvar Δ = {, β, γ, γ }, z tejto množiny vytvoríme dva argumenty = ({ β, }, β ) a = ({ γγ, }, ). Dokážte, že argument sochybňuje argument. Riešenie. Záver argumentu atakuje odoru Φ = {, β} argumentu = {, β}, β, ozri obrázok 3-6 (8. kaitola, verzia 0. 4. 009 o 3:09:0)
Príklad 8.8. Nech univerzálna množina oznatkov má tvar Δ = {, β, γ, β η γ }, z tejto množiny vytvoríme dva argumenty = ({ β, }, β ) a = ({ γβ η γ, }, β ). Dokážte, že argument vyvracia argument. Riešenie. Pre úlnosť znázorníme omocou rirodzenej dedukcie odvodenie záveru β re argument, ozri nasledujúcu tabuľku γ. redoklad β η γ. redoklad 3 γ (β η) alikácia transozície imlikácie na 4 γ β η reis 3 omocou DeMorganovho zákona 5 β η alikácia modus onens na a 4 6 β alikácia eliminácie konjunkcie na 5 Na nasledujúcom obrázku sú znázornené argumenty a, je ukázané, že tieto argumenty sú vo vzájomnom konflikte nazývanom vyvrátenie, ich závery sú vo vzájomnej kontradikcii. Cvičenie 8.9. Nech Δ = {, β,, β} je univerzálna množina oznatkov, zostrojíme nad ňou tieto argumenty 0 = ({ β, }, β ) = ({ }, ( β )) = ({ β }, ( β )) Dokážte, že argumenty a sú sochybnenia argumentu 0. Riešenie. Pre úlnosť ešte uvedieme tabuľku rirodzenej dedukcie re jednotlivé argumenty, ktoré z redokladov každého argumentu vedú k jeho záveru. argument 0 argument argument β β β β β β ( β ) Cvičenie 8.0. Dokážte, že vzťah sochybnenia medzi dvoma argumentmi je symetrický. 4-6 (8. kaitola, verzia 0. 4. 009 o 3:09:0)
Riešenie. Z redokladu, že ( Ψβ, ) je sochybnenie argumentu (, ) Φ= { ϕ,, ϕ n} ; otom (, ) (, ( n )) vylýva Ψ β, alebo Ψ ( ϕ ϕn ) n ( n) n ( n) Φ ( ψ ψn ). čiže môžeme zostrojiť argument (, ( n )) sochybnenie argumentu ( Ψβ, ). Φ vylýva, re Ψβ = Ψ ϕ ϕ. Pre záver β z definície argumentu, čo môžeme reísať ako imlikáciu ψ ψ ϕ ϕ, oužitím transozície imlikácie dostaneme ϕ ϕ ψ ψ. Týmto sme dokázali, že z redokladu latnosti vety vylýva Φ ψ ψ, ktorý je Cvičenie 8.. Dokážte, že vzťah vyvrátenia medzi dvoma argumentmi je symetrický. Riešenie. Z redokladu, že ( Ψβ, ) je vyvrátením argumentu (, ) β, otom latí aj β, t. j. argument ( Φ, ) je vyvrátením argumentu (, ) bolo otrené dokázať. Φ vylýva ekvivalencia Ψ β, čo Cvičenie 8.. ko je šecifikovaný strom argumentácie? Riešenie. Pod argumentáciou rozumieme roces, ktorý je zahájený očiatočným argumentom, = ( Φ, ), ktorého záver logicky vylýva (čo môžeme nar. verifikovať omocou rirodzenej dedukcie) z odory Φ, formálne Φ. Námietka (rvý rotiargument) je vytvorený omocou ataku = ( Φ, ), kde dôsledok je v kontradikcii asoň s jedným redokladom ϕ Φ (sochybnenie), alebo je v kontradikcii so záverom,. Týchto atakov očiatočného argumentu môže byť vytvorených niekoľko. Tento roces oakujeme tak dlho, ako je možné vytvárať neekvivalentné ataky argumentov z redchádzajúcej etay. Konštrukciu týchto argumentácií a ich rotiargumentácií môžeme znázorniť omocou stromu argumentácie, ktorý je koreňovým stromom, kde koreňom je očiatočný argument, v nasledujúcej vrstve sú umiestnené rotiargumenty k ôvodnému argumentu, atď. Príklad 8.3. Nech { rs,,, ( r ) q, ( s) q} databázy oznatkov vytvoríme tieto argumenty Δ=. Z tejto univerzálnej ({ } ) = r, r q, q, 5-6 (8. kaitola, verzia 0. 4. 009 o 3:09:0)
() ({ } ) = s, s q, q, ( ) ({ } ) ({ } ) = s, s q, r q, r, () 3 =, r q, q. Zostrojte ich strom argumentácie. Cvičenie. Inferenčné schémy re jednotlivé argumenty sú uvedenbe v tabuľke argument r r q r r q argument ( ) ( ) argument s s q s s q s s q r q ( ) s s q q r ( ) ( r ) ( r) ( ) argument ( ) r q r r q 3 Pre každý argument zostrojíme ríslušné schéma usudzovania rirodzenej dedukcie, omocou ktorého z redokladov argumentu uvedených v zložených zátvorkách zostrojíme dôsledok Strom argumentácie má tvar znázornený na nasledujúcom obrázku. 6-6 (8. kaitola, verzia 0. 4. 009 o 3:09:0)