3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1
Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky matematiky. Umožňuje formulovať prehľadným a jednotným spôsobom všetky oblasti matematiky prostredníctvom elementárnej štruktúry množiny a operáciami nad ňou. Teória množín vznikla koncom 19. storočia hlavne zásluhou nemeckého matematika Georga Cantora (1845 1918). Elementárnym pojmom teórie množín je element, pod ktorým budeme rozumieť nejaký reálny alebo abstraktný objekt, pričom postulujeme, že objekty medzi sebou sú dobre odlíšiteľné. Definícia. Množina je neusporiadaný súbor elementov. Priesvtika: 2
Poznámky k definícii: k sa nejaké dva elementy nachádzajú v tej istej množine, potom musia byť od seba odlíšiteľné, v množine sa neopakuje výskyt dvoch rovnakých (neodlíšiteľných) elementov v definícii množiny bol použitý elementárny pojem súbor, ktorý nebudeme bližšie špecifikovať Priesvtika: 3
Element a patrí do množiny označíme výrazom a. Tento výraz chápeme ako výrok, ktorý je pravdivý (nepravdivý), ak element a patrí (nepatrí, čo vyjadríme a ) do množiny. a 1 = 0 ( element a patrí do ) ( element a nepatrí do ) a 1 = 0 ( element a nepatrí do ) ( element a patrí do ) Priesvtika: 4
Špecifikácia množiny Prvý spôsob špecifikácie množiny je založený na vymenovaní všetkých elementov, ktoré do nej patria = { a,b,...,u} Tento spôsob je vhodný len na špecifikácie množín, ktoré obsahujú konečný počet elementov. = Michal,Jana,Eva Príklad. je množina mojich detí, { } Druhý spôsob špecifikácie množiny využíva predikát P(x), ktorý ak je pravdivý (nepravdivý), potom element x patrí (nepatrí) do množiny = x;p x { ( )} Príklad. Množina obsahujúca párne celé čísla = n;n N P n { ( )} Priesvtika: 5
Charakteristické funkcie Druhý spôsob špecifikácie množiny je pretransformovaný na koncepciu charakteristických funkcií. V tomto prístupe predikát P(x) je určený takto P x = µ x = 1 alebo ( ) ( ) ( ) 1 µ ( x) = 0 ( x ) ( x ) Uvažujme univerzum U, nad ktorou sú definované všetky ostatné množiny. Definícia. Množina (vzhľadom k univerzu U) je pomocou charakteristickej funkcie vyjadrená takto = x U ; µ x = 1 { ( ) } Priesvtika: 6
Príklad Vyjadrite množinu = (0, 1] pomocou charakteristickej funkcie. Univerzum U je totožné s množinou reálnych čísel R. Charakteristická funkcia ( x ) µ je definovaná takto ( x) ( x ) ( ) 1 pre0< 1 µ = 0 ináč µ () x 1 1 x Priesvtika: 7
Operácie nad množinami { ; 1} Definícia. Hovoríme, že množina x ( x) x; ( x) 1 { } = µ = sa rovná množine = µ =, =, vtedy a len vtedy, ak charakteristické funkcie oboch množín sú rovnaké ( ) ( = ) = ( x U) µ ( x) =µ ( x) def lternatívna definícia vzťahu rovnosti medzi množinami a je ( ) ( ) ( = ) = def ( x U) ( x ) ( x ) = ( x U) ( x x ) ( x x ) def Priesvtika: 8
{ ; 1} Definícia. Hovoríme, že množina x ( x) x; ( x) 1 { } = µ = je podmnožinou množiny = µ =,, vtedy a len vtedy, ak každý element z množiny patrí aj do množiny = x U µ x = 1 µ x = 1 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) def lternatívna definícia podmnožiny je = x U x x def ( ) ( ) ( ) ( ) V prípade, že, potom formula sa prepíše do tvaru. Hovoríme, že je vlastnou podmnožinou, ak a. Rovnosť medzi množinami. = platí vtedy a len vtedy, ak ( ) ( ) Priesvtika: 9
Definícia. Hovoríme, že množina je zjednotenie množín a, vtedy a len vtedy, ak = x; x x = x; µ x = 1 { ( ) ( )} ( ) ( x) max ( x ), ( x) { } { } def µ = µ µ Definícia. Hovoríme, že množina je prienik množín a, vtedy a len vtedy, ak = x; x x = x; µ x = 1 { ( ) ( )} ( ) ( x) min ( x ), ( x) { } { } def µ = µ µ Priesvtika: 10
Definícia. Hovoríme, že množina je doplnok množiny (vzhľadom k univerzu U), vtedy a len vtedy, ak = x;x = x; µ x = 1 def { } { } ( ) µ ( ) = µ ( ) 1 x x Definícia. Hovoríme, že množina (alebo \ ) je rozdiel množín (relatívny doplnok množín) a, vtedy a len vtedy, ak = x; x x = x; µ x = 1 def { ( ) ( )} ( ) ( x) min ( x ), 1 ( x) µ = µ µ { } { } Priesvtika: 11
Vennove diagramy C D E Priesvtika: 12
lgebra teórie množín vlastnosť formula teórie množín komutatívnosť =, = asociatívnosť ( C) = ( ) C, ( C) = ( ) C distributívnosť ( C) ( ) ( C) C = C De Morganove vzťahy =, = idempotentnosť =, = identita U =, = absorpcia =, U = U involúcia =, zákon vylúčenia tretieho = U zákon sporu = rozdiel množín = distributívne zákony pre ( C) = ( ) ( C), ( ) C = ( C) ( C) rozdiel =, ( ) ( ) ( ) Priesvtika: 13
Verifikácia korektnosti formuly ( C) = ( ) ( C) ( C) ( C) C C C C ( ) C C C C C Priesvtika: 14
Tabuľková metóda pre verifikáciu formúl teórie množín (analógia s výrokovou logikou) 1 2 3 5 6 7 8 C 4 oblasť C C C C C 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 0 1 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 1 0 0 5 1 0 1 0 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 7 0 1 1 0 0 1 0 0 8 0 0 1 0 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) Priesvtika: 15
Verifikácia korektnosti De Morganových formúl ( ) = a ( ) =. 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 Priesvtika: 16
Použitie charakteristických funkcií k dôkazu formúl v teórii množín Dôkaz De Morganovej formuly ( ) = { } { } ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) µ ( ) = 1 µ ( ) 1 µ ( ) µ x = µ x = max µ x, µ x x min x, x Použitím algebraickej identity 1 max{ a,b} = min{ 1 a, 1 b} dokážeme, že formule sú totožné pre ľubovolné charakteristické funkcie, čiže platí x U µ x =µ x ( ) ( ) ( ) ( ) Tým sme dokázali, že množiny ( ) a sa navzájom rovnajú. Priesvtika: 17
Dôkaz distributívneho zákona ( C) = ( ) ( C) { C } ( ) { ( ) C( )} ( )( ) ( ) ( ) { } µ x = max µ x, µ x = max µ x,min µ x, µ x C µ = µ µ { } { ( ) ( )} { ( ) C( )} ( ) ( ) min ( x ), C C( x ) { } = min max µ x, µ x,max µ x, µ x Použitím algebraickej identity { { }} = min max{ a,b },max{ a,c} max a,min b,c { } dostaneme, že vyššie uvedené charakteristické funkcie sa rovnajú ( ) ( x U) ( )( x C ) ( ) ( C) µ =µ Tým sme dokázali, že množiny ( C) a ( ) ( C) sa rovnajú Priesvtika: 18
Definícia. k množina je konečná (obsahuje konečný počet elementov), potom jej mohutnosť (kardinalita), označená, je počet elementov, ktoré obsahuje. k množina obsahuje nekonečný počet elementov, potom jej mohutnosť je nekonečná, =. Príklad (a) { x;x je celé číslo ohraničené 18 x 17 2} = < <, = 8, (b) { x; x je celé číslo } { 014916,,,,,...} = =, =, (c) { x;x 2 1alebo2x 2 1} { 1, 11, 2, 1 2} = = = =, = 4, { } (d) = a, { a,b },{ a,b,c}, = 3, (e) = { a, { a },{{ a} }}, = 3. (f) = { 123456,,,,, }, { 2, 1012,,, } =, = 4. Priesvtika: 19
Enumerácia elementov v množinách Jednoduchý príklad. Nech a sú disjunktné množiny ( = ), potom mohutnosť ich zjednotenia je určená súčtom mohutností jednotlivých množín = +... = + +... + 1 2 n 1 2 n Veta. Mohutnosť množiny je určená formulou = + Priesvtika: 20
= + + Mohutnosť samotných množín a je určená takto = + = + 1 2 n n n... = + +... n i i j i j k i= 1 i,j= 1 i,j,k= 1 ( 1) n+ 1 ( i< j) ( i< j< k)... 1 2 n Priesvtika: 21
Príklad Dokážte formulu indukciou C = + + C C C + C ( ) ( ) C = + C C ( ) ( ) ( ) = + + C C C ( ) ( ) ( ) = + + C + C C = + + C C C + C Priesvtika: 22
Dokážte formulu Príklad 1 2 = 1 1 2 1 2 1 2 Dokážte formulu 1 2 = N 2 + 1 2 ( ) ( ) 1 2 = 1 + 2 1 2 = 1 + N 2 1 U 2 1 1 2 ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 = N + = N + = N + Priesvtika: 23
Upozornenie Pojem množina môže byť zovšeobecnený tak, že elementy množiny môžu byť taktiež množiny. k pristúpime na túto terminológiu, potom je korektný výrok množina, ktorá obsahuje všetky možné množiny Russell poukázala na skutočnosť, že takto formulované výroky sú vnútorne rozporné (pokúste sa rozhodnúť, či táto množina obsahuje samu seba) Russell navrhol prekonať túto vnútornú kontradikčnosť intuitívnej teórie množín tak, že pojem množina sa môže používať len na prvej úrovni, t. j. keď elementami tejto množiny sú elementy, ktoré nemajú svoju štruktúru. Na druhej úrovni používal termín rodina množín, jej elementy sú množiny z prvej úrovni. Na ďalšej tretej úrovni môžeme hovoriť o triede množín, jej elementy sú rodiny množín z predchádzajúcej druhej úrovne. Výrok množina, ktorá obsahuje všetky možné množiny je nekorektný, jeho správna forma je rodina všetkých možných množín. Priesvtika: 24
Nech I { 12,,...,n} Rodina množín = je množina indexov, ktorá obsahuje prvých n kladných celých čísel. Predpokladajme, že pre každý index i I má definovanú množinu i, potom rodina množín je definovaná takto { ;i I} {,,..., } = = i 1 2 n Pre rodinu množín môžeme definovať operáciu prieniku a zjednotenie jej množín i I { ( )} =... = x; i x i I i 1 2 n i { ( )} =... = x; i x i 1 2 n i Priesvtika: 25
Príklad i = {množina obsahuje binárne reťazce, ktorých dĺžka nie je väčšia ako i} i I i 1 = {0,1} 2 = {0,1,00,01,10,11}... =... = i I 1 2 n 1 =... = i 1 2 n n Priesvtika: 26
Potenčná množina Definícia. Množina P() sa nazýva potenčná množina vzhľadom k množine vtedy a len vtedy, ak obsahuje všetky možné podmnožiny množiny P = ; ( ) { } P ( ) a P ( ) Veta. Potenčná množina P() spĺňa tieto vlastnosti ( ) ( ) P( ) P ( ) P( ) P( ) P ( ) P( ) P( ) = P ( ) Priesvtika: 27
Príklad = P ( ) = { } = {a} P ( ) = {,a { }} = {a,b} P ( ) = {,a,b,a,b { } { } { }} = {a,b,c} P ( ) =,a,b,c,a,b,b,c,a,c,a,b,c { } { } { } { } { } { } { } { } Poznámka. Pri práci s potenčnými množinami musíme veľmi starostlivo rozlišovať medzi symbolmi a. k a a a P. { } Študujme množinu 12,,{ 1} P, potom { } alebo { } ( ) =, potom potenčná množina P() je ( ) = { } { } { } { } { } { { }} { { }} { { }} { 1 2 1 12 1 1 2 1 12 1 },,,,,,,,,,,, Pripomíname, že elementy 1, {1} {{1}} sú rôzne. Priesvtika: 28
Veta. Mohutnosť potenčnej množiny P() je určená jednoduchým vzťahom P ( ) = 2 Nech množina obsahuje n elementov, { a,a,...,a } = 1 2 n, každá podmnožina môže byť určená pomocou binárneho vektora dĺžky n, ak v i-tej polohe tohto vektora je 1 (0), potom a i ( a i ). Každá podmnožina z potenčnej množiny P ( ) je jednoznačne špecifikovaná binárnym vektorom dĺžky n. Pretože celkový počet rôznych binárnych vektorov dĺžky n je 2 n, toto číslo špecifikuje aj P =, kde = n. Tento jednoduchý mohutnosť potenčnej množiny, ( ) 2 n výsledok viedol niektorých autorov k tomu, že potenčnú množinu označili symbolom 2, jej mohutnosť sa rovná 2. Priesvtika: 29
Karteziánsky súčin množín V mnohých matematických disciplínách alebo v ich aplikáciách vystupujú usporiadané dvojice elementov. Napríklad, komplexné číslo môže byť charakterizované, ako usporiadaná dvojica reálnych čísel, z = (x,y), kde x (y) je reálna (komplexná) časť. Základná relácia pre usporiadané dvojice je rovnosť: (x,y) = (x,y ), ktorá platí vtedy a len vtedy, ak sú si rovné ich prvé a druhé časti, x = x a y = y. Táto podmienka rovnosti platí aj pre komplexné čísla, ktoré sú si rovné vtedy a len vtedy, ak sa rovnajú ich reálne a imaginárne časti. Definícia. Množina X vtedy a len vtedy, ak Y sa nazýva kartézianský súčin dvoch množín X a Y {( ) } X Y = x,y ;x X ay Y Priesvtika: 30
Poznámky V prípade, že X = Y, potom X X X 2 =. k aspoň jedna z množín X alebo Y je prázdna množina, potom aj karteziánsky súčin X Y je prázdny. k množiny X a Y sú obe neprázdne, potom X Y = Y X vtedy a len vtedy, ak X = Y Priesvtika: 31
Znázornenie kartézianského súčinu pomocou Vennových diagramov Nech X = { 12, } a Y { a,b,c} =, potom {( 1 ) ( 1 ) { 1 } ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )} X Y =,a,,b,,c,,a,,b,,c reprezentácia tohto súčinu pomocou Vennovho diagramu je znázornená a (1, a) (2, a) Y b (1, b) (2, b) X Y c (1, c) (2, c) X 1 2 Priesvtika: 32
Nech X = [ 01, ] a Y [ 11, ] Príklad = sú uzavreté intervaly reálnych čísel, karteziánsky súčin týchto dvoch intervalov poskytuje obdĺžníkovú oblasť reálnych čísel 1 Y X Y -1 X 0 1 Priesvtika: 33
Nech { 2 2 X ( x,y );x y 1} súradnicového systému a Y [ 01, ] Príklad = + = je kružnica o polomere 1 so stredom v centre = je jednotková úsečka, karteziánsky súčin týchto dvoch oblastí produkuje povrch valca dĺžky 1 a s polomerom 1 Y 1 0 X Priesvtika: 34
Koncepcia usporiadanej dvojice môže byť zovšeobecnená na usporiadanú n-ticu, pomocou karteziánskeho súčinu n množín. (( x 1,x 2,...,xn) = ( x 1,x 2,...,x n) ) i( xi = x i) Definícia. Množina X1 X 2... Xn sa nazýva karteziánsky súčin n množín X 1, X 2,..., X n vtedy a len vtedy, ak X X... X = x,x,...,x ; x X, x X,..., x X {( ) } 1 2 n 1 n 1 1 2 2 n n k všetky množiny z karteziánskeho súčiny sa rovnajú množine X, potom výraz X1 X 2... Xn je zjednodušený na X n. Kartézianský súčin môžeme taktiež vyjadriť symbolicky takto n 1 2 n =X i= 1 X X... X X i Priesvtika: 35
Nech = { 12, }, = { a,b} a C {, } Príklad = αβ, potom karteziánsky súčin týchto množín má tvar C = 1,a, α, 1,a, β, 1,b, α, 1,b, β, 2,a, α, 2,a, β, 2,b, α, 2,b, β {( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )} Príklad Nech X1 = X 2 =... = Xn = R, kde R je množina reálnych čísel. Potom R n je množina obsahujúca n-tice reálnych čísel {( 1 2 n) 1 2 n } n R = x,x,...,x ; x,x,...,x R a môže byť interperetovaná ako n-rozmerný lineárny priestor. Priesvtika: 36
Veta. Mohutnosť karteziánskeho súčinu X Y dvoch množín X a Y s konečnou mohutnosťou, X = m a Y = n, sa rovná súčinu mohutností jej zložiek X Y = X Y = m n X X... X = X X... X = m m... m 1 2 n 1 2 n `1 2 n Veta. Karteziánsky súčin množiny s prienikom alebo zjednotením dvoch množín X a Y vyhovuje podmienkam distributívnosti ( X Y) = ( X) ( Y) ( X Y) = ( X ) ( Y ) ( X Y) = ( X) ( Y) X Y = X Y ( ) ( ) ( ) Priesvtika: 37
Dôkaz vlastnosti ( X Y) = ( X) ( Y) Nech ( a,x) ( X Y), potom a a x ( X Y). Z posledného výrazu vyplýva, že x sa súčasne vyskytuje v X a taktiež aj v Y. Potom ( a,x) X a taktiež aj ( a,x) Y, čiže ( a,x) ( X ) ( Y), čo bolo potrebné dokázať. Nech = { a,b}, X = { x,y} a Y { y,z} =. Príklad ( ) { } { } { } ( ) ({ } { }) {( a,x ),( a,y ),b,x ( ),b,y ( )} {( a,y ),a,z ( ),b,y ( ),b,z ( )} {( a,y ),( b,y) } ( ) { } { } { } = ( a,y ),( b,y) X Y = a,b x,y y,z = a,b y ( ) ( ) { } { } X Y = a,b x,y a,b y,z = = Priesvtika: 38
Veta. Pre ľubovolné tri množiny, a X platí implikácia X X ( ) ( ) ( ) ( ) k X je neprázdna množina, potom X X (( ) ( )) ( ) X X X Priesvtika: 39
Množina ako dátová štruktúra v informatike V mnohých aplikáciách množinová dátová štruktúra podstatne uľahčuje implementáciu algoritmov, ktoré sú založené na formalizme teórie množín. ko príklad takýchto algoritmov môže slúžiť teória grafov, ktorej jednoduchá a súčasne aj elegantná teória je založená na množinách. Základný prístup k implementácii dátovej štruktúry množiny je jej charakteristická binárna funkcia, ktorá môže byť reprezentovaná binárnym vektorom. Maximálna dĺžka tohto vektora (napr. 2 8 = 256) špecifikuje maximálnu mohutnosť implementovanej množiny. Priesvtika: 40
Uvažujme binárne vektory dĺžky 2 3 = 8, ktoré určujú množiny v rámci univerzálnej množiny U={1,2,3,4,5,6,7,8}. inárny vektor (11001100)špecifikuje množinu ={1,2,5,6}. k binárny vektor obsahuje len nuly, potom množina = ; ak binárny vektor obsahuje len jednotky, potom = U. Priesvtika: 41
Operácia zjednotenia množín a, C =, ktoré sú reprezentované binárnymi vektormi µ = ( a 1,a 2,...,an ), µ = ( b 1,b 2,...,bn ) je realizovaná pomocou binárnej operácie disjunkcie µ = ( c 1,c 2,...,cn) = ( a 1,a 2,...,an) ( b 1,b 2,...,bn) kde c = max a,b { } i i i Operácia prieniku množín a, C =, je realizovaná pomocou binárnej operácie konjunkcie µ = ( c 1,c 2,...,cn) = ( a 1,a 2,...,an) ( b 1,b 2,...,bn) kde c = min a,b { } i i i Priesvtika: 42
Operácia rozdielu množín a, C =, je realizovaná pomocou binárnej operácie rozdielu µ = ( c 1,c 2,...,cn) = ( a 1,a 2,...,an) ( b 1,b 2,...,bn) kde c = min a, 1 b { } i i i Operácia komplementu množiny, C =, je realizovaná pomocou binárnej operácie komplementu µ = ( ) = ( 1 1 1 ) c 1,c 2,...,c n a 1, a 2,..., an Priesvtika: 43
Príklad Definujme dva binárne vektory dĺžky 8 (t. j. univerzum U={1,2,3,4,5,6,7,8}) µ =(11001111) ={1,2,5,6,7,8} µ =(00011001) ={4,5,8} Zjednotenie je určené pomocou binárnej operácie disjunkcie (11001111) (00011001)=(11011111) Výsledný vektor špecifikuje množinu C = {1,2,4,5,6,7,8}. Prienik je určený pomocou binárnej operácie konjunkcie (11001111) (00011001)=(00001011) Výsledný vektor špecifikuje množinu C = {5,7,8}. Priesvtika: 44
Rozdiel je určené pomocou binárnej operácie rozdiel (11001111) (00011001)=(11000110) Výsledný vektor špecifikuje množinu C = {1,2,6,7}. Komplementy a sú vykonané pomocou operácie negácie pre binárne vektory µ = (11001111)=(00110000) µ = (00011001)=(11100110) Výsledné vektory reprezentujú množiny C = = { 34, } a C { 12367,,,, } = =. Priesvtika: 45