Pokročilé programovanie II Nelineárne iteračné schémy, chaos, fraktály Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-253 Letný semester 27/28
Obsah Logistická mapa - May Period doubling, podivný atraktor, fraktál Iné typy diferenčných schém Intermitencia, phase locking
May Najjednoduchšia diferenčná schéma: + = f ( ) = λ ( ).8 λ =.5.8 λ = 2.5.6.6 + +.4.4.2.2.2.4.6.8.2.4.6.8 Pre λ > existuje stabilný pevný bod ˆx = λ ktorý je riešením rovnice Ale... ˆx = f (ˆx)
May Podmienka stability: f x < x=ˆx Pevný bod sa stane nestabilným, ak λ > 3 lebo f = 2 λ,8 x x=ˆx λ = 3.2 Vzniknú miesto neho dva nové stabilné body +2 = f (f ( )) = f (2) ( ) nastal period doubling (vidličková bifurkácia),6 +,4,2,2,4,6,8
May,8 λ = 3.2,8 λ = 3.2,6,6 + +2,4,4,2,2,2,4,6,8,2,4,6,8 Dva stabilné pevné body, medzi nimi jeden nestabilný. Kritérium stability: F (x = ˆx) x <
May Ďalší nárast parametra λ spôsobí nárast periódy:,8 λ = 3.53,9 λ = 3.53,6 +4,4 +4,85,2,8,2,4,6,8,75,8,85,9,8,8 λ = 3.97,6 +,4,6 +,4,2 λ = 3.5699,2,4,6,8,2,2,4,6,8
May Feigenbaum: séria kritických hodnôt λ n v ktorých dochádza k zdvojnásobeniu periódy (period doubling) univerzálne škálovanie: α n = λ n λ n 2 λ n λ n n perioda λ n α n 2 3 2 4 3.4494897 3 8 3.54493 4.754 4 6 3.564473 4.6562 5 32 3.5687594 4.6683 6 64 3.569696 4.6686 7 28 3.569893 4.6692 8 256 3.569934 4.6694 https://en.wikipedia.org/wiki/feigenbaum constants
May Zostrojme pravdepodobnostné rozdelenie hodnôt (n < N) Ak < λ < 3 tak p(( ) = Nδ xn,ˆx Pre periodický dej s periódou P iteračná schéma prechádza bodmi ˆx, ˆx 2,... xˆ P a p(x) = P i N P δ x, ˆx i
May Existujú hodnoty λ, pre ktoré nenájdeme periodický režim. Napr. pre λ = 3.56995 Pozorujeme deterministický chaos 3e+6 2e+6 e+6,2,4,6,8 Pravdepodobnostné rozdelenie p(x) po N = 9 iteráciách.
May Postup (Algoritmus výpočtu pravdep. rozdelenia). rozdeľ interval (, ) na M dielov (napr. M = 5 ) deklaruj pole h(m) = a = M iteruj N iterácií x i = f (x i ), i =, 2,... N (N 9 ) po každej iterácii počítaj index = INT(x i M) + h(index) = h(index)+ po skončení iterácii vypíš výsledok: pre i=,m ak h(i)> tak print i/m, h(i) Normovanie: h(index) N h(index) Normovanie potrebujeme, aby platilo N N p(x)dx = p(x i ) = h i = V našom prípade ho môžeme preskočiť. i i
May: self-similarity 3e+6 2e+6 e+6,2,4,6,8 3e+6 2e+6 e+6,8,85,9
May: self-similarity 3e+6 2e+6 e+6,8,85,9 e+6 5e+5,83,835,84 Typická vlastnosť fraktálnej množiny.
Cantorova množina Algoritmus: nekonečný počet iterácií: Fraktál s fraktálnou dimenziou d f = ln 2 ln 3 Pretože: ak meriam jeho hmotnosť M meradlom dĺžky, dostanem M = d f Obyčajná úsečka má samozrejme d f =, pretože získaná hmotnosť nezávisí od delenia.
Fraktálna dimenzia Ak vyplníme len intervaly, v ktorých h(i), dostaneme fraktálnu množinu: Nájdeme jej fraktálnu dimenziu: zvolím m = 2, 3,... a rozdelím interval (,) na 2 m dielikov nájdem N(m) - počet dielikov, v ktorých leží časť nášho fraktálu urobím log-log plot N m vs ln 2 m a nájdem d f zo smernice
Diskusia: Interval som rozdelil na M = 2 m dielikov. veľmi malé m - nedôveryhodné výsledky veľké m - d f pretože sme fraktál zostrojili len z konečného počtu intervalov. Záver: fraktál vidíme len v oblasti, kde M > 2 m. ln N(m) 5.597.967 5 5 ln 2 m
Úlohy. Napíšte program pre nelineárnu schému (May). Presvedčte sa, že zmenou parametra λ zmeníte periódu deja. 2. Pre λ = 3.56995 iterujte nelinárnu schému (aspoň 9 iterácií. Zostrojte pravdepodobnostné rozdelenie p(x) ukážte jeho self-podobnosť. 3. Nájdite fraktálnu dimenziu.
Iná nelineárna schéma - phase locking Nelineárny iteračný proces (má základ vo fyzikálnych dejoch) + = + Ω k 2π sin(2π) (mod ) k... koeficient nelinearity Omega=.5, k= Omega=.5, k=.5 Omega=.5, k=.95,8,8,8,6,6,6 + + +,4,4,4,2,2,2,2,4,6,8,2,4,6,8,2,4,6,8 Phase locking - proces je periodický aj keď Ω p/q.
Intermittencia Omega=.8, k=.44 Omega=.8, k=.44,8,8,8,6,6,6 +,4 +,4,4,2,2,2,2,4,6,8,2,4,6,8 2 4 n Pre niektoré hodnoty parametrov systém veľmi dlho zotrvá v blízkosti nejakých hodnôt, a potom sa prudko v krátkom období zmení. Ukážka, ako nelinearita ovplyvňuje stabilitu systému.