59. ročník Fyzikánej oypiády v škosko roku 7/8 Kategória C doáce koo Riešenie úoh. Kúsok ľadu na oenej streche a) Prvá časť pohybu edzi bodi A je kĺzanie s trení po nakonenej rovine s uho skonu. V sere pohybu pôsobí zožka tiažovej siy F g sin a proti pohybu sia trenia f F g cos. eiesko nadobudne kinetickú energiu rovnú práci výsednice týchto sí v g sin f g cos L. V bode B á ľad rýchosť v g L sin cos. b f Pre dané hodnoty v s. b) Ďašia časť pohybu je šiký vrh nado so začiatočnou rýchosťou v a uho α. Pre súradnice vzhľado na bod B áe x v t cos y v t sin g t. Pre súradnice bodu C dopadu patí rovnica priaky y tan. C x C Po dosadení času etu τ a súradníc bodu dopadu áe xc v cos yc xc tan v sin g odkiaľ dostávae rovnicu g v cos tan sin ktorá á dve riešenia: τ = s (bod B) a v L f g g cos tan sin cos tan tan sin cos Pre dané hodnoty τ 4 s. b. 3 b b c) Vzdiaenosť d x C yc. Po dosadení áe d 4 Pre dané a vypočítané hodnoty d 4. xc yc v g v sin g. b b
. Rovnovážna pooha dvojice guľôčok v iske a) Obr. RC a správny opis sí b S F n r φ r F n φ α B F F g A α φ F F g Vektory sí pôsobiacich na guľôčky sú označené v obr. RC. Na guľôčky pôsobia zviso nado tiažové siy F g F g takové siy F n F n povrchu isky serujú do stredu S krivosti isky takové siy tyčky F F v sere tyčky. Hotnosť resp. tiaž tyčky ako vypýva z textu úohy neuvažujee. b) V stave rovnováhy (v pokoji) je výsednica sí a výsednica oentov sí pôsobiacich na sústavu nuová. Rovnica rovnováhy sí F F F F F ( F ) () b g g n n a rovnica rovnováhy oentov v sí vzhľado na stred otáčania S isky F r cos Obr. RC F g r cos g. () b oenty zvyšných sí sú nuové. Uho je daný geoetrickýi rozeri v rovnoraenno trojuhoníku SAB r cos resp. cos. r c) V rovnici () vyjadríe kosínusové funkcie súčtových a rozdieových uhov cos sin sin cos cos sin sin cos odkiaľ dostávae tan cos sin Pre dané hodnoty tan 6; 9. r r 4r. b b Výsednica oentov sí vzhľado na bod S ktoré pôsobia na guľôčku A
F r sin F r cos. g Rovnicu upravíe napr. na tvar F g tan cos g cos sin sin 4r Pre dané hodnoty F 9 N. cos g sin tan r tan tan tan g. b b 3. Pneuatické ovádanie piesta a) Ak sa piest posúva v označeno sere tak p vzduchu kesá a vzduch á tendenciu sa ochadzovať. Ak je pohyb piestu () veľi poaý stačí sa prestupo tepa cez steny rúrky vyrovnávať tepota vzduchu v rúrke s tepotou okoia dej bude izoterický. Ak pohyb piestu () veľi rýchy je prestup tepa stenai vaca veľi aý a ožno ho zanedbať dej bez výeny tepa je adiabatický. b b) V prvo prípade ide o izoterický dej pre ktorý patí p S p S x y. () Rovnováha piestu A je daná rovnosťou siy ťahu pružiny a rozdieu takových sí na piest A S p p k y. () Z týchto rovníc vyúčie tak p a získae hľadanú funkciu k x y y S p c) V druho prípade ide o adiabatický dej pre ktorý patí p f ( y). b p x y. (3) S použití funkcie () vyúčení taku p áe d) Graf k x y y g( y) S p. b 3
Obr. RC graf 3 b Pre x = 5 c áe z grafu pre izoterický dej y 63 c pre adiabatický y 9 c. b 4. Anaýza pádu s odporo vzduchu experientána úoha 5. ars a) Prieerná hustota je poer hotnosti a objeu panéty. Hotnosť určíe z paraetrov obehu esiaca okoo panéty. Pre pohyb po kružnici v centráno gravitačno poi arsu patí rovnica F D F Dz resp. π D G D RD RD D kde F D je gravitačná sia edzi arso a Deioso a F Dz zotrvačná (odstredivá) siy pôsobiaca na Deios na kružnicovej trajektórii. Z ostatného vzťahu áe hotnosť arsu 3 D G D 4 π R. Pre dané hodnoty 64 3 kg. b Z tretieho Keperovho zákona určíe pooer orbitánej trajektórie arsu R Z 3 3 RZ resp. R. Pre dané hodnoty R 9. 3 RZ Z V okaihu najväčšieho pribíženia je vzdiaenosť arsu od Zee d = R R Z. Uho pod ktorý ars v toto okaihu vidno je φ = r / d odkiaľ áe pooer arsu 4
d r. Pre dané hodnoty r 34 6. Prieerná hustota arsu 3 3 V 4 π r. Pre dané hodnoty ρ 386 3 kg 3. b b) Panéty ars a Ze obiehajú okoo Snka s uhovýi rýchosťai ω a ω Z v rovnako sere. Uhová rýchosť vzájoného pohybu je ω = ω Z ω. Situácia axiáneho pribíženia sa pravidene opakuje s časový intervao daný vzťaho ω t o = π. Odtiaľ áe π Z to. Pre dané hodnoty t o 78 dní. b Z Z Ak k dátuu. 5. 6 pripočítae 78 dní dostávae dátu. 7. 8. b c) Ak predpokadáe že ars je hoogénna guľa s hotnosťou intenzita gravitačného poľa na jeho povrchu g G. r áto hodnota predstavuje gravitačné zrýchenie na póe pre dané hodnoty g 367 s. b Na rovníku pôsobí proti seru gravitačnej siy zotrvačná (odstredivá) sia v dôsedku rotácie panéty vr g G. Pre dané hodnoty g r 365 s. b r r r d) V tabuľkách ožno nájsť hodnoty ρ = 3934 3 kg 3 = 6485 3 kg dátu nasedujúceho axiáneho pribíženia k Zei 3. 7. 8 a tiažové zrýchenie na rovníku arsu g r = 369 s. 4 5 b Ako vidíe výsedky získané pri našich zjednodušujúcich predpokadoch sa veľi bížia k pubikovaný hodnotá. Havnou príčinou tohto rozdieu je nenuová excentricita trajektórií panét predpokad hoogénnej gue je tiež zjednodušujúci. b 5
6. Hokej a) Obrázok RC3 b d b č b S O d s s b α x β X X 3b Obr. RC3 b) Ak označíe b = (d d 3 )/6 867 vzdiaenosť edzi odrou a červenou čiarou je vzdiaenosť edzi odrou a bránkovou čiarou b. Čas t = b/v. Pre dané hodnoty t 36 s čo je veľi krátka doba na reakciu brankára. c) Streec S vystreí puk rýchosťou v do bodu X odrazu puk príde rýchosťou v a po odraze od antineu á rýchosť v 3. Uhy dopadu a odrazu sú α a β. Pre zožky rýchosti rovnobežné s antineo a koé na antine v bode X áe v3 cos v cos a v3 sin pv sin d d kde tan a tan. ( b x) 3bx Po úprave tan p tan ako vypýva zo zadania a po úprave áe 3p x b. p Pre dané hodnoty x = 69 α 453 β 37. d) Pohyb puku je rovnoerne spoaený so zrýchení a = g f. Označe čas od okaihu vystreenia až po dopad na antine t. Poto pre dráhu s puku (obr. RC3) áe d s v t g f t b x. () Pre dané hodnoty s. Z () určíe čas t t v s t g f g f resp. v v s t g f g f g f () b b b 6
Fyzikány význa á znaienko ínus. Pre dané hodnoty s t 765 s. Pri rýchosti výstreu v dopadne puk na antine rýchosťou v = v g f t. Rýchosť po odraze 3 cos sin cos tan v v pv v g f t p. Pre dané a vypočítané hodnoty v 3 49 s. b b Čas pohybu puku po odraze od antineu až po prechod stredo bránky t určíe poocou dráhy puku po odraze od antineu d s v3t g f t 3b x odkiaľ áe s 486 a rovnako ako v prípade () určíe čas t v 3 v 3 s t. g f g f g f Pre dané hodnoty t 39 s. b Cekový čas pohybu puku t = t + t 8 s < t ( s) preto obranca puk nedostihne pred dosiahnutí bránky. b b 7
7. Zrážka s eteoroido Pre prúdenie vzduchu otvoro použijee Bernouiho rovnicu. Pre body vo vnútri ode kde je tak vzduchu p a v ieste tesne pred otvoro na vonkajšej strane ode kde je nuový tak áe p v b čo predstavuje zákon zachovania energie pre expanziu vzduchu do vákua. Predpokadáe že pred expanziou á hustota (a teda aj tak) vzduchu pred otvoro rovnakú hodnotu hustoty ako vo vnútri ode. Hustotu vzduchu určíe zo stavovej rovnice ideáneho pynu p V R odkiaľ Objeový tok vzduchu otvoro QV S v S S p R. () b p R. () b Ak predpokadáe že úbytok vzduchu je tak aý ( %) že tepotu i hustotu ožno považovať za konštantnú pre aý úbytok hotnosti vzduchu za čas τ áe Q V. (3) b Úbytok taku vzduchu Δp vo vnútri ode určíe zo stavovej rovnice () p k p R V kde k je predpokadaný úbytok taku vzduchu % tzn. k a poocou () a (3) určíe tou zodpovedajúci čas V k S R. b Pre dané hodnoty τ 4 s. b 59. ročník Fyzikánej oypiády Úohy doáceho koa kategórie C Autori návrhov úoh: Ľuboír Konrád 3 6 7 Ivo Čáp 4 5 Spracovanie návrhov úoh a riešení: Ivo Čáp Ľuboír Konrád Recenzia a úprava úoh a riešení: Danie Kuvanec Ľuboír ucha Prekad textu úoh do aďarského jazyka: Aba eeki Redakcia: Ivo Čáp Sovenská koisia fyzikánej oypiády Vyda: IUVENA Sovenský inštitút ádeže Bratisava 8 8