16. IV Základy fyziky: príklady M. Gintner Teória merania 1. V experimente boli namerané nasledovné hodnoty: 3,47 cm; 3,42 cm; 3,51 cm; 3,44 cm;

Prepis

1 Základy fyziky: príklady M Gintner Teória merania 1 V experimente boli namerané nasledovné hodnoty: 3,47 cm; 3,42 cm; 3,51 cm; 3,44 cm; 3,49 cm; a) Vypočítajte strednú hodnotu, strednú odchylku a strednú odchylku od priemeru použijúc štandardné vzťahy b) Zaokrúhlite na dve platné číslice v chybe c) Nájdite interval, do ktorého spadne hodnota nasledujúceho merania s pravdepodobnosťou 2/3 d) Nájdite interval, v ktorom sa skutočná hodnota meranej veličiny nachádza z pravdepodobnosťou 96% e) Spočítajte a za použitia vzťahov pre malú štatistiku 2 Farmárove sliepky zniesli v jednotlivých dňoch po sebe nasledovné počty vajec: 346; 330; 348; 335; 340; 337; 351; a) Aká je priemerná denná znáška vajec? b) Aká je pravdepodobnosť, že sliepky znesú menej ako 326 vajec? 3 Vyjadrite nasledujúce čísla vo vedeckej notácii s chybou na dve platné číslice: a) b) c) d) 4 Počítačom riadený jadrový experiment zbiera dáta nepretržite celý jeden mesiac a vyprodukuje výsledok 177 ± 05 Ako dlho by musel bežať tento istý experiment, aby sa chyba výsledku zmenšila na 005? 5 Sklon lineárneho grafu (smernica) je daný vzťahom, kde Nájdite 1

2 6 Ak vieme, že, spočítajte, keď a), b), c), d) 7 Ktoré z nasledovných meraní je presnejšie? 100 ± 10 alebo 10 ± 02 8 Spočítajte vážený priemer nasledujúcej sady meraní 6023 ± 5; 6020 ± 2; 6017 ± 5; 6019 ± 2; Rozmerová analýza 1 Typický rozmer atómu vodíka je okolo m Vedeli by ste prísť k tomuto číslu pomocou rozmerovej analýzy? a) Vychádzajte len z predstáv newtonovskej fyziky Ukážte, že podľa klasickej newtonovskej mechaniky by atóm vodíka mohol mať akékoľvek rozmery Porozmýšľajte nad analógiou so slnečnou sústavou b) Skúste, či by nepomohlo, keby sme do hry zapojili Špeciálnu teóriu relativity Vychádzajte z toho, že všetky relativistické korekcie ku klasickej fyzike závisia na jednej konštante, ktorou je rýchlosť svetla ( ) Zatiaľčo v klasickej fyzike nebola rýchlosť svetla ničím výnimočnou veličinou, podľa ŠTR ide o fundamentálnu konštantu prírody Ak sa zahrnutím tejto konštanty podarí dostať správnu predpoveď pre rozmer atómu vodíka, potom nie je nerozumné očakávať, že typická veľkosť atómu vodíka je dôsledkom teórie relativity c) Alternatívne k ŠTR môžete vyskúšať Kvantovú mechaniku Novou fundamentálnou konštantou, ktorú nepoznala klasická fyzika, je podľa KM Planckova konštanta ( ) (Nápoveda: Hmotnosť protónu považujte za nekonečne veľkú v porovnaní s hmotnosťou elektrónu Podľa klasickej, relativistickej, aj kvantovej fyziky je elektrón k jadru viazaný Coulombovou silou, kde a je vzdialenosť elektrónu od jadra) 2 Vychádzajúc zo záverov príkladu 1, odhadnite pomocou RA typickú rýchlosť elektrónu v atóme vodíka Porovnajte ju s rýchlosťou svetla 3 Pomocou RA odhadnite typickú energiu elektrónu v atóme vodíka Vyjadrite ju v elektrónvoltoch 1 1 Elektrón získa energiu, keď ho urýchlime elektrickym poľom s potenciálovým rozdielom Menovite 2

3 Derivácie 1 Zostrojte graf funkcie v intervale a narysujte jeho dotyčnice v bodoch 2 Nájdite body s vodorovnou dotyčnicou pre krivku 3 Spočítajte derivácie nasledovných funkcií: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 4 Meriame gravitačné zrýchlenie pomocou kmitov matematického kyvadla Perióda kmitov matematického kyvadla závisí na dĺžke závesu a gravitačnom zrýchlení nasledovne: Spočítajte, keď a Rýchlosť a zrýchlenie (1D) 1 Automobil sa na ceste z miesta A do miesta B pohyboval rýchlosťou o konštantnej veľkosti Z miesta B automobil pokračoval do C rýchlosťou o konštantnej veľkosti Aká bola priemerná veľkosť rýchlosti automobilu na ceste z miesta A do miesta C, keď vieme, že a) úsek z A do B prešiel za minút a úsek z B do C za minút; b) úsek z A do B meral a úsek z B do C meral 2 Dostavník A vyrazí po priamej ceste z mestečka Stinky Hole do mestečka Deadly Waters rýchlosťou Súčasne z Deadly Waters vyrazí rovnakou rýchlosťou opačným smerom dostavník B Vzdialenosť obidvoch mestečiek je míľ V okamihu štartu vzlietne z dostavníka A mucha rýchlosťou a vydá sa priamym letom v ústrety dostavníka B Keď dosiahne dostavník B, otočí sa a letí späť k dostavníku A, kde sa opäť otočí Toto poletovanie medzi dostavníkmi uskutočňuje nepretržite až do okamihu stretu dostavníkov Akú dráhu mucha preletí od svojho vzletu až po stret dostavníkov? (Poznámka: jednotka mph znamená míle za hodinu) 3 Parašutista opustí nehybne sa vznášajúcu helikoptéru, pričom začne padať s nulovou počiatočnou rýchlosťou Pred otvorením padáku rýchlosť parašutistu narastá s časom podľa vzťahu, kde Minútu ( ) po výskoku si parašutista otvorí padák Od tohoto okamihu sa rýchlosť parašutistu mení podľa vzťahu, kde je rýchlosť parašutistu v momente otvorenia padáku, a 3

4 a) Vysvetlite fyzikálne významy konštánt, ktoré v príklade vystupujú Ukážte, že a spočítajte Nakreslite graf závislosti rýchlosti parašutistu na čase a graf závislosti jeho zrýchlenia na čase b) Vypočítajte rýchlosť a zrýchlenie parašutistu v okamihu otvorenia padáku a tiež päť minút po výskoku, keď sa parašutista dotkne zeme 4 Aká je obvodová rýchlosť bodu na zemskom povrchu vzhľadom na stred Zeme, ak sa bod nachádza a) na rovníku; b) na severnej zemepisnej šírky; 5 Po akej trajektórii a akou rýchlosťou sa pohybuje bod na obvode kolesa automobilu idúceho konštantnou rýchlosťou vzhľadom na a) stred kolesa; b) povrch cesty; 6 HB obieha po kružnici rýchlosťou, ktorej veľkosť je daná funkciou a) Aká je jeho priemerná rýchlosť počas jedného obehu kružnice? b) Aká je priemerná veľkosť rýchlosti, ak sa nemení s časom? c) Aká je priemerná veľkosť rýchlosti, ak, kde je konštanta? d) Vyjadrite pomocou 7 Ukážte, že pohyb podľa vzťahu spĺňa podmienku pre jednoduchý harmonický pohyb 8 Odvoďte vzťah pre kolmý priemet rovnomerného pohybu po kružnici na priamku prechádzajúcu stredom kružnice Uvažujte kružnicu o polomere, po ktorej sa pohybuje HB konštantnou rýchlosťou Ďalej predpokladajte, že v čase sa tento HB nachádzal v mieste Ukážte, že priemet tohoto pohybu na uvedenú priamku je jednoduchý harmonický pohyb Načrtnite graf časovej závislosti polohy priemetu HB na priamku 9 HB sa pohybuje po priamke tak, že jeho poloha sa v čase mení podľa vzťahu, kde a sú konštanty a) Nájdite a b) Načrtnite graf funkcie c) Aká je zmena polohy HB v časových okamihoch, keď? d) Akú dráhu bude mať HB prejdenú v týchto časových okamihoch, ak? 10 Nájdite číselné hodnoty konštánt, a vo vzťahu opisujúcom pohyb HB, keď vieme, že v čase sa HB nachádzal v bode a mal rýchlosť Perióda tohto harmonického pohybu bola Aké mal HB v čase zrýchlenie? 4

5 Inverzná úloha (1D) 1 Rýchlosť HB narastá v časovom intervale medzi a podľa vzťahu, kde a a) Spočítajte, ako sa zmení poloha HB na tomto časovom intervale b) Na intervale aproximujte funkciu schodovitou funkciou, kde, pričom symbol označuje celú časť čísla Krivky funkcií a narysujte do spoločného grafu, pričom použite c) Spočítajte zmenu polohy HB, keby sa tento pohyboval rýchlosťou opísanou funkciou, pre prípady a porovnajte získané výsledky so zmenou polohy vypočítanou v časti a) d) Napíšte, čomu sa rovná zmena polohy HB, ktorého rýchlosť je daná funkciou, pre všeobecné 2 Aké dráhy prejde HB za časy,, a, keď jeho rýchlosť sa mení podľa vzťahu, kde a sú konštanty a? HB bol na začiatku pohybu v čase nula v polohe 3 Uvažujme raketu v medzihviezdnom priestore, ktorá je na ceste k hviezde Proxima Centauri vzdialenej od nás štyri svetelné roky Z rôznych technických dôvodov môže raketa letieť maximálne rýchlosťou, kde je rýchlosť svetla Keď má raketa zapnuté motory, jej hmotnosť sa vďaka spotrebe paliva stále zmenšuje úmerne dobe horenia motorov Keďže ťah motorov sa nemení, spomalenie rakety s časom narastá podľa vzťahu, kde je konštanta a je čas, ktorý uplynul od okamihu naštartovania motorov a) Akú vzdialenosť predstavuje jeden svetelný rok v metroch? b) Vyjadrite rýchlosť svetla v sústave jednotiek, kde jednotkou dĺžky je svetelný rok ( ) a času rok ( ) c) Ako dlho by trval let, keby sa raketa celú cestu pohybovala rýchlosťou? d) Ako dlho pred pristátím v sústave Proxima Centauri musí raketa začať brzdiť? e) Ako ďaleko od cieľa musí raketa začať brzdiť? f) Aká bude maximálna veľkosť zrýchlenie rakety počas brzdenia? g) Ako dlho trvalo počiatočné zrýchľovanie, keď raketa zrýchľovala podľa vzťahu? h) Ako dlho bude trvať celá cesta zo Zeme k Proxima Centauri, keď zoberieme do úvahy počiatočné zrýchľovanie a koncové brzdenie? i) Akú časť dráhy letela raketa s maximálnou rýchlosťou? (Čiže s vypnutými motormi) Relatívnosť pohybu (1D) 1 Z miesta A pláva loďka proti prúdu rieky do miesta B a potom späť do miesta A Rýchlosť loďky vzhľadom k vode je stále rovnaká, a to 4 km h 1, rýchlosť prúdu vody v rieke je 1,6 km h 1 Určte pomer doby, za ktorú prejde loďka dráhu z miesta A do miesta B a späť, a doby, ktorú by loďka potrebovala na prejdenie tejto dráhy na jezere so stojatou vodou 5

6 2 Cestujúci Karol a Ján sedia spolu vo vlaku, ktorý sa pohybuje rýchlosťou Obaja sa súčasne vyberú na WC, Karol v smere jazdy vlaku a Ján proti smeru jazdy Obaja kráčajú voči podlahe vagónu štandardnou chodeckou rýchlosťou a) Akými rýchlosťami sa Karol a Ján pohybujú voči okolitej krajine? b) Akou rýchlosťou sa Karol a Ján od seba vzďaľujú? c) V protismere prichádza nákladný vlak rýchlosťou Aká je rýchlosť nákladného vlaku voči Karolovi, voči Jánovi a voči rušňovodičovi, ktorý sedí v kabíne lokomotívy? 3D kinematika 1 Polohový vektor HB závisí na čase podľa vzťahu, kde sú konštanty a) Ako vyzerá jeho trajektória? b) Kde smeruje vektor rýchlosti? c) Spočítajte skalárny súčin! d) Spočítajte vektorový súčin e) Spočítajte veľkosť rýchlosti HB, f) Nájdite smer a veľkosť zrýchlenia HB 2 HB sa pohybuje po kružnici, pričom jeho obvodová rýchlosť narastá lineárne s časom, a) Nájdite dostredivé, tangenciálne a celkové zrýchlenie, ako funkcie času b) Ako sa bude meniť s časom obežná doba? 3 Zem je rovnomerne rotujúca guľa o polomere a) Aké je dostredivé zrýchlenie človeka na rovníku Zeme? b) Ako sa toto zrýchlenie mení so zemepisnou šírkou? Porovnajte výsledok s gravitačným zrýchlením na zemskom povrchu 4 Vlak ide po priamom úseku trate konštantnou rýchlosťou Cestujúcemu vo vlaku vypadne z ruky minca, ktorá pod vplyvom príťažlivosti Zeme začne padať so zrýchlením zvisle nadol a) Po akej dráhe sa bude minca vo vlaku pohybovať? b) Ako sa táto trajektória zmení, ak vlak bude práve brzdiť s konštantným spomalením? 5 Spočítajte dostredivé zrýchlenia jednotlivých planét našej Slnečnej sústavy (včítane Pluta) predpokladajúc ich pohyb po kruhových dráhach Zaneste nájdené dostredivé zrýchlenia planét do log-log grafu závislosti na vzdialenosti od Slnka Pokúste sa narysovanými bodmi preložiť priamku so smernicou Ukážte, že závislosť daná touto priamkou znamená, že dostredivé zrýchlenie klesá so štvorcom vzdialenosti od Slnka Dynamika hmotného bodu 1 Možu akcia a reakcia pôsobiť niekedy na to isté teleso? 6

7 2 Traktor počas orby ťahá pluh silou a) Musí pôsobiť zem na pluh rovnako veľkou silou? b) Musí aj pluh pôsobiť späť na traktor rovnako veľkou silou? 3 Sedíte v strede dokonale hladkého zamrznutého jazera Nájdite spôsob, ako sa dostať z tejto nepríjemnej situácie 4 Keď kozmonaut vypne raketový motor, jeho kozmická loď sa pohybuje s nulovým zrýchlením Je to pravda alebo nie? 5 Tri rovnaké kvádre (A, B, C) ležia na dokonale hladkej vodorovnej podložke a vzájomne sa dotýkajú (A-B-C) Na kváder A pôsobí vodorovná sila v smere ku kvádrom B a C a) Aká výsledná sila pôsobí na kváder A? b) Aké je zrýchlenie kvádra C? c) Akou silou pôsobí kváder A na kváder B? 6 Dieťa ťahá štyri vzájomne zviazané vozne rovnakých hmotností tak, že silou pôsobí na prvý vozík šikmo hore pod uhlom k vodorovnému smeru Vláčik je ťahaný po vodorovnej rovine bez trenia Nájdite zrýchlenie vláčika a sily, ktoré napínajú lanká, spájajúce jednotlivé vozne 7 Traktor ťahá na reťazi peň rýchlosťou a pritom naň pôsobí silou Tiaž pňa je Aká výsledná sila pôsobí na peň? 8 Nakreslite vektory všetkých síl pôsobiacich na nasledovné telesá: a) na kváder ležiaci na stole; b) na kváder, ktorý sa kĺže dole naklonenou rovinou; c) na skalu padajúcu zo šikmej veže v Pise; d) na basketbalovú loptu hodenú na kôš; e) na Zem obiehajúcu okolo Slnka; f) na ponožku sušiacu sa na šnúre; g) na lietadlo letiace konštantnou rýchlosťou 9 Odhadnite, po akých trajektóriách sa budú telesá z predošlého príkladu pohybovať a ako sa budú meniť ich rýchlosti 10 Na lanku visí závažie o hmotnosti Z neho na ďalšom lanku visí závažie o hmotnosti a) Akou veľkou silou musíme pôsobiť na horné lanko, aby obidve závažia viseli nehybne? b) Akou veľkou silou musíme pôsobiť na horné lanko, aby sa obidve závažia pohybovali smerom nahor zrýchlením? c) Akou silou je napnuté lanko spájajúce závažia? 11 S akým zrýchlením by začalo padať jablko, keby Newtonova jabloň mala výšku km? 12 Výsledná sila, ktorá pôsobí na Mesiac, sa rovná súčtu dvoch síl, dostredivej sily a gravitačnej sily Je to pravda alebo nie? 7

8 13 Kozmická stanica má podobu bicyklového kolesa o polomere Obytná zóna je vo vnútri pneumatiky, tj po vonkajšom obvode kozmickej stanice V snahe vytvoriť pre obyvateľov stanice umelú gravitáciu, stanica sa otáča okolo svojho stredu s konštantnou uhlovou rýchlosťou a) Kde sa budú, z pohľadu posádky stanice, nachádzať v obytnej zóne podlaha a strop? b) S akou frekvenciou/periódou sa musí stanica otáčať, aby posádka stanice pociťovala pozemskú gravitáciu? 14 Dieťa vyhodí z kočíka na chodník loptičku Opíšte trajektóriu loptičky (predpokladajte, že loptička nebude počas svojho pohybu rotovať) Aké bude zrýchlenie loptičky v jednotlivých bodoch jej trajektórie? 15 Teleso o hmotnosti je pripevnené k horizontálnej tyči dvoma rovnako dlhými dokonalými niťami, ktoré zvierajú medzi sebou uhol Akou silou bude napínané každé vlákno, ak budeme tyč dvíhať pri povrchu Zeme smerom nahor so zrýchlením? 16 Medzi dvoma nehybnými loďkami, ktoré sú na hladine jazera, je natiahnuté lano Človek v prvej loďke ťahá lano 5 sekúnd konštantnou silou Určte výslednú rýchlosť, ktorú každá z týchto lodí nadobudne voči vodnej hladine Aká bude relatívna rýchlosť prvej lode voči druhej? Hmotnosť prvej lode aj s človekom je, hmotnosť druhej loďky je Odpor vody, ani hmotnosť lana neuvažujte 17 Cez kladku je prevesená dokonalá niť, na ktorej koncoch sú zavesené telesá o hmotnostiach a Trenie medzi kladkou a niťou je nulové a) Aké sily pôsobia na telesá, niť a kladku? b) Ako sa budú telesá pohybovať? S akou rýchlosťou a zrýchlením? 18 Plť s dĺžkou a hmotnosťou stojí na pokojnej vodnej hladine Človek o hmotnosti, ktorý stál na jednom konci plte, prejde na jej druhý koniec O akú vzdialenosť sa loďka posunie voči brehu? 19 Aký je najväčší možný pracovný výkon vodného kolesa poháňaného vodou padajúcou na lopatky kolesa z výšky, keď za dobu dopadne na vodné koleso voda o objeme? 20 Uvažujme detskú hračko jojo, čiže koleso upevnené závesným lankom na hriadeli Nech je moment zotrvačnosti joja vzhľadom na os prechádzajúcu stredom kolesa, ktoré je súčasne ťažiskom, a nech je polomer hriadeľa Jojo uvoľníme z počiatočného stavu s nulovou rýchlosťou, pričom dĺžka lanka namotaného na hriadeli je Lanko po celý čas zostane nehybné Pretože koniec lanka je pevne spojený s hriadeľom, po úplnom odvinutí sa lanko zase začne namotávať na hriadeľ a jojo stúpať nahor Za aký čas sa jojo vráti do východiskovej polohy? Akékoľvek trenie, ako aj odpor vzduchu, zanedbávame Predpokladáme, že niť je nehmotná a dokonale tuhá 8