Microsoft Word - A3.seria.doc

Prepis

1 FYZIKÁLNY KOREŠPONENČNÝ SEMINÁR vzorové riešenia 3. série FKS, KTFF FMFI UK A kategória (starší) Mynská doina 24. ročník Bratisava zimný semester otazky@fks.sk škoský rok 2008/ A-3.1 Obyčajný pohyb po kružnici (opravova Robo) V kasickej súradnicovej sústave máme nakresenú kružnicu s poomerom R. Na nej, v bode [R,0] sa nachádza hmotný bod s hmotnosťou m, ktorý sa v čase t = 0 začne pohybovať otáčavým pohybom, s konštantnou uhovou rýchosťou ω, proti smeru hodinových ručičiek. a) Akú veľkú časť kružnice (v uhových jednotkách) má hmotný bod prejdenú v čase t? (v čase 0 ma prejdených 0 radiánov) b) Aké sú súradnice, y bodu v čase t? c) Aká veľká sia F je potrebná na to, aby sa bod pohybova popísaným spôsobom? Aký je jej smer? d) Ak siu vyrátanú v bode c) rozožíme na -ovú a y-ovú zožku, aká veľká bude -ová zožka? Inými sovami ako vyzerá závisosť F (t) t.j. -ovej zožky siy od času? e) Ako vyzerá F v závisosti od, teda F ()? f) Ako pomocou a) e) vyšetriť pohyb hmotného bodu viazaného na -ovú os, na ktorý pôsobí sia F() = -k kde k je nejaká kadná konštanta? Ahojte! Verím, že táto úoha patria do kategórie nenáročnejších, a preto hneď začnime sumarizujúcim obrázkom. Na ňom je znázornená situácia, v ktorej sa hmotný bod s hmotnosťou m nachádza v (nami zvoenom) čase t. Ako tiež vidieť, väčšina z podúoh a) až f) je geometrického rázu (hranie sa s goniometrickými funkciami a rozkad vektora na zožky). Ae poďme pekne systematicky. a) Z definície uhovej rýchosti je táto rovná podieu zmene uha, ktorú bod pri pohybe po kružnici prekoná za istý čas, a tohto času. Úpravou tohto vzťahu máme φ = ωt b) Z obrázku vidíme, ako ľahko vyjadriť cos φ a sin φ pomocou súradníc, y a R. Úpravou potom máme: = Rcos φ = Rcos (ωt) (1) y = Rsin φ = Rsin (ωt) (2) c) Hmotný bod je udržovaný na svojej kružnicovej trajektórii vďaka pôsobeniu dostredivej siy F, ktorá smeruje, ako už z jej názvu vypýva, do stredu kružnice (t.j. do súradnicového bodu [0, 0]). Pre jej veľkosť patí známy vzťah: F = ma d = mω 2 R, (3) kde a d je veľkosť dostredivého zrýchenia.

2 d) Podobne ako v podúohe b), apikovaním goniometrických funkcií cos φ a sin φ,ako to vypýva z obrázku, pre veľkosti -ovej a y-ovej zožky dostredivej siy F dostávame: F = Fcos φ = mω 2 Rcos φ F (t) = mω 2 Rcos (ωt) (4) F y = Fsin φ = mω 2 Rsin φ (5) Mínusko je pri oboch zožkách siy preto, ebo obe zožky siy majú smer opačný, než je smer súradnicových osí, ako je to viditeľné z obrázka. e) Závisosť F () získame, ak do vzťahu (4) pre závisosť -ovej zožky siy od času dosadíme vzťah (1), teda formáne zapísané: F () = mω 2 (6) f) Keď sme si už všetko potrebné postupne predpripravii, môžeme sa pustiť do zatého kinca úohy. Pohiadnime na vzťah (6) a porovnajme ho so siou F() = k zo zadania. Vidíme, že oba zápisy sa principiáne neíšia, pretože hmotnosť m aj uhová rýchosť ω sú konštantami. Teda konštantou k pre náš prípad bude: mω 2 = k k = mω 2 (7) Ak bude kadná konštanta k predstavovať tuhosť pružiny a sia F() = k predstavovať siu spôsobujúcu kmitanie hmotného bodu (závažia) zaveseného na pružinke, potom z posedného vzťahu (7) získame známy učebnicový vzťah pre uhovú frekvenciu vastných kmitov pružinového osciátora ω 2 = k/m. Ak si uvedomíme, že jeden kmit závažia na pružinke trvá presne toľko, koľko trvá prisúchajúcemu hmotnému bodu, kým raz obehne kružnicu, vieme z tohto veľmi eegantne odvodiť vzorec pre periódu takýchto kmitov. opočítajte si to, nezabudnite však pri tom na to, že ω sa meria v radiánoch za sekundu a kruh má cekovo 2π radiánov. Toť vsio. A-3.2 Pružina (opravova Bzdušo) Homogénnu pružinu s pokojovou dĺžkou, cekovou hmotnosťou m a tuhosťou k zavesíme za jeden koniec a necháme natiahnuť sa vpyvom gravitácie. Aká bude dhá? Pružina čo? Visí. 1 A pod ťarchou vastnej tiaže sa nejako natiahne. Notorické pozorovanie je, že sa natiahne nerovnomerne. ôvod je jednoduchý: V každom mieste je pružina naťahovaná en tiažou tej svojej časti, ktorá je pod ním. Ako ceok je pružina natiahnutá nerovnomerne. No pokiaľ sa pozrieme na jej dosť maý úsek, ten je už natiahnutý pomerne rovnomerne (tým rovnomernejšie, čím menší úsek sedujeme). Nič nám nebráni predstaviť si, že ceá pružina je v skutočnosti zožená z viacerých menších pružín. 2 Označme ich počet N. No a predpokadajme, že každá z týchto častí je už natiahnutá rovnomerne (predpokad ). Ak chceme zistiť, ako sa natiahi tieto maé drobizgy (odtiaľ doný inde ), potrebujeme poznať ich parametre. Tie sú m = m = k = Nk, N N 1 Vzorové riešenie pre vetu Mama iša do obchodu a kúpia mieko, je napríkad Mama iša do obchodu a mieko čo? Kúpia. 2 Pre jednoduchosť si možno predstaviť, že týmito menšími pružinami sú jednotivé závity. My však v riešení pôjdeme v deení ešte ďaej.

3 kde sa pristavíme en pri posednej rovnici. Keby sme pružinu naťahovai konštantnou siou F, tak sa predĺži o F / k. Ak si ju predstavíme ako N menších častí, predĺži sa o N F / k. Ide však o to isté natiahnutie! To nás už dovedie k rovnosti k = Nk. Z obrázku vpravo vidno, že itu pružinu odspodu naťahuje tiaž ( i 1) pružín pod ňou. Jej dĺžka teda bude (podľa vzťahu = F / k ) i = = N + + ( i 1) m k ( i 1) g mg, N 2 k kde sme samozrejme nezabudi na pokojovú dĺžku každej pružinky. Cekovú dĺžku pružiny teraz získame jednoduchým sčítaním dĺžok všetkých natiahnutých drobizgov, teda N N L = i = i = 1 i = 1 ( N + 1) mg = + 2Nk N mg mg + i 2 2 N k N k mg Nk kde sme využii vzťah L + N = N( N + 1) / 2. Ak si teraz uvedomíme, že je spnené tým epšie, čím na menšie úseky deíme pružinu, stačí spraviť imitu N. Vtedy v druhom čene je ( N + 1) / N 1 a tretí čen kesá do nuy. Výsedok je preto mg L = +. 2k Viac už nemám čo dodať. Snáď en, že ma potešio veľké množstvo správnych riešení a že mám ešte jednu poznámku pod čiarou. 3, A-3.3 úfam, že všetci máte nainštaovaný Ece (opravova Fiip, vzorák Jakub)...pretože ak nie, ste masochisti, pre riešenie nasedujúcej úohy ho budete potrebovať. Z vraku športového auta vytiahi čiernu skrinku, ktorá obsahuje údaje o tom, čo sa stao pred haváriou. Konkrétne, obsahuje údaje o zrýchení auta v každej sekunde. Za koncom zadania naseduje 300 číse, ktoré sú zrýchenia auta v ms -2 za posedných 5 minút jazdy, každé číso odpovedá priemernému zrýcheniu v jednej sekunde, prvé číso prvá sekunda, atď... Z čiernej skrinky sme sa tiež dozvedei, že pred 5 minútami bo vypnutý motor a auto teda s najväčšou pravdepodobnosťou stáo. Zistite: a) (2body) Akú dhú dráhu auto za posedných 5 minút prešo? b) (1bod) Akú maimánu rýchosť pri svojom pohybe dosiaho? c) (2body) Akú rýchosť mao auto v poovici prejdenej dráhy? d) (1 bod) Snaži sa vodič tesne pred nárazom zabrzdiť? Snažte sa o čo najpresnejší výsedok (286 číse) Úvodom sa patrí ospravedniť za miernu dezinformáciu. Na vstupe sme zadai 301 číse. Ja som sa s tým bavi tak 20 minút. úfam, že vy menej. (Ja som to nebo!) Časť d) Poďme zodpovedať najprv to, čo ide najľahšie. Z posedných číse záznamu okamžite vidím, že v posedných 4 sekundách pred nárazom mao auto reatívne vysoké 3 Totiž, že na si môžu záujemci prečítať o probematike zavesených pružín ešte omnoho viac.

4 spomaenie, porovnateľné s tiažovým zrýchením. To znamená, že vodič pred nárazom brzdi. Časť b) Zavediem označenie v(k) pre rýchosť na konci ktej sekundy. Podobne, priemerné zrýchenie počas ktej sekundy, ktoré mám v zadaní, označím a(k). Predpokadáme, že rýchosť na začiatku boa nuová, teda v(0) = 0. Keď poznám v(k), tak viem spočítať aj v(k + 1) = v(k) + a(k + 1) 1 sekunda. Takto postupne popočítam rýchosť na konci 1., 2., 3.,... až 301. sekundy. Spomedzi rýchostí nájdem maimánu. Najľahšie ju čovek nájde v grafe v(t) a potom si prísušnú hodnotu odčíta v tabuľke. Mai by sme určiť aj chybu nášho výsedku. Nie je to zožité, stačí si uvedomiť, že neistota vstupných dát a(k) je zhruba 0,005 ms -2, ebo zrýchenia sú udané (prevažne) na 2 desatinné miesta. Preto v každom výpočtovom kroku od v(k) ku v(k + 1) zväčšujem absoútnu chybu rýchosti o aspoň 0,005 m/s. Chyba určenia rýchosti v(k) je teda v = 0,005k m/s. Priožený graf dokumentuje rýchosť auta aj s odchýkou. Maimána dosiahnutá rýchosť auta boa (58,5 ± 1,5) m/s. Časť a) Keď som si už spočíta rýchosť na konci každej sekundy, tak už cekom ľahko spočítam aj dráhu prejdenú na konci každej sekundy. Anaogicky ako v predošom odstavci si označím s(k) dráhu prejdenú na konci ktej sekundy. Ak by som pohyb počas (k + 1)vej sekundy považova za prakticky rovnomerný, tak by som napísa rovnicu s(k + 1) = s(k) + v(k) 1 sekunda. (I) Keďže som bo však zadaním usmernený k tomu, aby som našie najpresnejší možný výsedok, tak skúsim niečo epšie. Môžem považovať pohyb auta počas (k + 1)vej sekundy za rovnomerne zrýchený. Potom bude patiť rovnica s(k + 1) = s(k) + v(k) 1 sekunda + ½ a(k + 1) (1 sekunda) 2. (II) Táto rovnica by maa byť presnejšia ako tá predošá, ebo zohľadňuje aj zmenu rýchosti počas bežiacej (k + 1)-vej sekundy. Nebude však úpne presná, ebo auto sa nepohybuje v každej sekunde rovnomerne zrýchene, hodnota a(k) je en hodnota priemerného zrýchenia počas k-tej sekundy. Všimnite si, že zatiaľ čo na výpočet rýchostí v(k) nám znaosť priemerného zrýchenia a(k) stačia dokonae, teraz nám stačí už iba pribižne! Opäť by sme sa mai zamysieť nad presnosťou. 4 V každom výpočtovom kroku k absoútnej chybe určenia s(k) pridávam chybu určenia výrazu v(k) 1 sekunda = 0,005k m a chybu ½ a(k + 1) (1 sekunda) 2 = 0,0025 m, ktorá je voči tej predošej zanedbateľná. Chyba v určení prejdenej dráhy potom je súčtom aritmetického radu a patí pre ňu vzťah s(k) 0,0025k 2 m. ráha prejdená automobiom je s = (9,4 ± 0,2) km. Pomocou rovnice (I) by sme dostai výsedok odišný o zhruba 15 m, z čoho vidno, že kompikácia so zrýcheným pohybom nevedie k hodnotnejšiemu 4 Treba si uvedomiť, že pre dráhu nemáme presný výpočet. Pre divoko sa meniace zrýchenie počas 1 sekundy dokonca vieme dostať ľubovoľne veľkú chybu určenia prejdenej dráhy! Zdá sa však cekom rozumné predpokadať, že auto sa nehrá na vypašeného býka dráždeného toreadorom, ktorý počas jednej sekundy zmení 8 smer a dokopy má prakticky nuové zrýchenie. V takom prípade sú naše počty v poriadku, avšak chybu výsedku nevieme určiť zodpovedne, vieme ju iba odhadnúť.

5 výsedku. To sa však nedá ľahko povedať vopred, iba overiť dodatočne. Časť c) je teraz už brnkačka. Stačí nám v tabuľke hodnôt s(k) nájsť hodnotu s/2 a už vieme čas t = k sekúnd, v ktorom auto prechádzao poovicu dráhy a stačí nám kuknúť do tabuľky v(k) a určiť požadovanú rýchosť. Opäť, v záujme spresnenia výsedkov by sme mohi nájsť také k, pre ktoré bude patiť s(k) < s/2 < s(k + 1) a v rámci (k + 1)vej sekundy uvažovať rovnomerný pohyb a nájsť ten čas presnejšie. Keďže však ani prejdenú dráhu s vieme en s veľkou neistotou, tak aj k viem určiť en pribižne a to k = 171 ± 6. Chyba určenia v(k) pre prísušné k je na úrovni 0,9 m/s. Rozdie rýchostí pre prípustné káčka je v rovnakom ráde. Vďaka tomu nemá zmyse počítať rýchosť v čase t = 170, s. Hľadaná rýchosť je pribižne (28,5 ± 1) m/s (103 ± 4) km/h. Hodnotenie : Numerické hodnoty výsedkov boi v tejto úohe dôežité, preto som strháva body podľa presnosti. V časti a) som stŕha 1 bod ak riešiteľ použi rovnicu (I) kvôi tomu, že zadaním bo motivovaný snažiť sa viac. V časti c) sa ambiciózne spresňovanie výsedku nestreto s bodovým zvýhodnením. Za neurčenie chýb zisťovaných veičín som nestŕha, za ich určenie som body upravova smerom nahor. Avšak ak niekto chyby ani nespomenu, tak bo odmenený pobodovou stratou. A-3.4 Skutočný príbeh(opravova Samo) V miestosti FKS máme skenú nádobu s objemom V, ku ktorej je pripojená výveva. Staa sa však nepríjemná vec, v miestnosti sa nám premnožii moe a po tom, ako skonzumovai vifon, Fajove staré topánky a Spišskú borovičku, vyhrýzi do skenenej nádoby maý otvor o poche S. Na aký minimány tak je možné teraz nádobu vývevou vyčerpať? Predpokadajte, že výveva nezávise na taku v nádobe z nej odčerpáva vzduch konštantným objemovým výtokom Q (itrov za sekundu). Vo FKS máme normány atmosférický tak a tepotu 20 C. Mié deti, tento príkad boa asi tyčka. Jedine tak si viem vysvetiť to, že ste ho nikto nezrátai a to, že tento vzorák sa rodi tak dho:-). Ono to ae predsa nemôže byť až také zé, všakže? Odvážnemu šťastie praje, pusťme sa preto odvážne do riešenia probému! Skôr, než začneme riešiť samotnú úohu zo zadania, skúsme vyriešiť jednoduchší probém. Predstavme si maú uzavretú nádobu tvaru kocky, v ktorej sa nachádza pyn. My sa pokúsime zistiť, koľko častíc dopadne na stenu tejto nádoby za krátky čas t. Označme n( v ) počet častíc, ktorých veľkosť zožky rýchosti v smere komom na stenu je z intervau v dv,v + dv. Poovica týchto častíc zrejme bude mať smer rýchosti k stene, poovica od steny. Zaujíma nás teda en n( )/ 2 v častíc, ktoré sa pohybujú v správnom smere. Aby tieto častice stihi za čas tvraziť do steny, nesmú byť od nej ďaej ako v t. Ak má strana kocky dĺžku a, tak moekú, ktoré spĺňajú tieto podmienky bude: n( v ) v t. 2a Všetkých moekú bude teda spou: kde n je počet všetkých častíc a i= i= ( v ) n v t n t = 0 2a 2a v = i dv i= i= 0 n ( v ) Všimnime si, že čen vpravo je priemerná veľkosť v. Vzťah sa teda dá prepísať ako: n t v 2a Potrebujeme už en vyjadriť priemernú veľkosť v pomocou v priemernej veľkosti rýchosti moekú. Pri odvodzovaní budeme predpokadať, že všetky moekuy majú veľkosť n v

6 rýchosti v, pozorný čitateľ odôvodní, prečo si to môžeme dovoiť. Veľkosť v nejakej častice je potom jednoznačne určená smerom, ktorým sa táto častica hýbe. Ak vektory rýchosti všetkých častíc presunieme do spoočného počiatku, ich konce vytvoria sféru s poomerom v. Naše v je potom rovné -ovej súradnici bodu na sfére, ktorý zodpovedá danej častici. Rozdeíme sféru na dve posféry tak, aby rez bo komý na -ovú os. Keďže chceme spočítať priemer absoútnej hodnoty v obmedzíme sa iba na posféru, s kadnými hodnotami v a zrátame priemernú hodnotu jej -ových súradníc. Lež, čo to, finta! Tento priemer má predsa svoje meno! Voajú ho ťažisko! Priemerná hodnota v bude -ová súradnica ťažiska, teda vzdiaenosť ťažiska posféry od jej stredu. A z tabuiek snaživý čitateľ vyčíta, že táto vzdiaenosť je rovná poovici poomeru sféry, v našom prípade v / 2. Za čas t do steny teda narazí n t v 4a častíc. Tento výsedok teraz využijeme na to, aby sme spočítai, koľko častíc prejde dierkou, ktorú vyhrýzi moe. Stačí dierku zakryť množstvom mysených kociek a čitateľ sa presvedčí, že vzťah na počet častíc, ktoré preetia dierkou v jednom smere, bude: Sc1 t v1 4 Kde c 1 je koncentrácia častíc mimo nádoby a S je pocha dierky. Častice však neietajú en z nádoby s vyšším takom do nádoby s nižším takom. Niektoré častice, bude ich však menej, ietajú aj v smere opačnom, tých bude zrejme Sc2 t v2 4 Kde c 2 je koncentrácia častíc v nádobe. Cekový tok častíc dierkou do nádoby preto bude: S ( v1 c1 v2 c2 ) 4 Pekný vzťah, no nie veľmi užitočný. Ujo internet a teta Wikipédia nám však prezradii, že: 8RT v = πm kde M je moárna hmotnosť vzduchu. Ujo vedúci Kubo nám zas prezradi, že sa nedopustíme veľkej chyby, ak budeme predpokadať, že v oboch nádobách má pyn rovnakú tepotu T. Ak teraz využijeme stavovú rovnicu, ktorá hovorí: p= n V R T = crt ostaneme pre tok častíc dierkou do nádoby vzťah: S ( p p ) 1 2πMRT Výveva odčerpáva častice objemovým tokom Q, prepočítané na tok častíc to je: p 2 Q RT V ustáenom stave musí pritekať rovnako veľa častíc, ako odteká, oba toky sa preto musia rovnať. Z toho dostávame rovnosť: S( p1 p2 ) p2q = 2πMRT RT 2

7 Keď vyjadríme tak v nádobe: p 2 = S S RT RT +Q 2πM A máme výsedok. Ostáva otázka, nie nepodstatná, nakoľko je tento výsedok správny. Nuž, dovoii sme si počas riešenia množstvo zanedbaní. Predpokadai sme, že tepoty v oboch nádobách budú rovnaké, predpokadai sme, že pyn je ideány a tvárii sme sa, že cez dierku prejde rovnako veľa častíc, ako by dopado na terčík rovnakej pochy. To však nie je úpne to isté, pretože po dopade na terčík sa častice odrazia späť, avšak po prejdení dierkou sa nám späť neodrazí nič a v okoí dierky bude po čase menšia koncentrácia moekú ako inde v nádobe. Preto tento výsedok netreba brať príiš vážne a uvedomiť si, že je en pribižný. Toľko vzorové riešenie, teraz trocha kritiky našich riešiteľov. Kritika padá havne na pecia riešieľov, ktorí získai viac ako po boda. Potešii ma najväčšími budmi. Čo ma pri opravovaní najviac hnevao boo, že rátate príkad o pyne a nikomu ani en nenapadne uvažovať, že by snáď moho byť aj stačiteľný. Takmer všetci ste svorne tvrdii, že objemové prietoky musia byť rovnaké a netrápite sa detaiom, že pri rôznych takoch môže mať to isté množstvo vzduchu rôzny objem. Niektorí ste na mňa vytiahi nové pojmy ako taková energia a tvrdii, že je rovná súčinu taku a objemu. Iné riešenie sa ma snažio presvedčiť, že pri izotermickom deji sa nedodáva tepo. A zakincova to epert, ktorý vyhási, že moekuy sa môžu hýbať iba v šiestich smeroch a dosť. Úpne všetci bernouisti a energetisti zabudi vo svojich rovniciach na čen za vnútornú energiu pynu a vôbec nikomu nenapado, že rýchosť tečúceho vzduchu nemusí byť v každom bode komá na dierku. Riešenia na mňa robii dojem snahy nasiu poskadaných vzorcov opísaných z učebnice fyziky bez štipky snahy porozumieť tomu, čo píšem. Takto sa však fyzika nerieši, to nie je súťaž, kto si tipne epší vzorec. Píšem en to, čomu naozaj rozumiem, inak spodím krásne budy. To by však asi chceo začať riešiť ten seminár skôr ako pať minút pred záverečnou pošty, všakže?:-) Nuž, nepotešii ste ma, ani ja Vás nepoteším a bodíkov veľa nerozdám:-( FYZIKÁLNY KOREŠPONENČNÝ SEMINÁR výsedková istina A kategórie po 3. sérii zimného semestra 24. ročníka Meno a priezvisko Škoa A- 3.1 A-3.2 A-3.3 A Σ 1 Bogár Ján G Ľ. Štúra Trenčín Honzáková Kateřina GJK Praha Bačo Ladisav G KE Poštová Hruška Eugen G Hohovec Poačko Martin G KE Aejová Matejovičová Lenka G BA J.Hronca Vanta Radovan G BA Metodova Mainer Micha OG ZA Varšavská Štyráková Kamia G POH, oný Kubín Kováč Jakub GsvCaM Lešková Andrea G Lipany Jursa Jakub G KE Aejová Midik Adam G J.A.R. Prešov Hagara Micha G BA J.Hronca Kieferová Mária GSF Žiina Horňák Fiip G BA Grössingova

8 17 Rohár Pavo G KE M.R.Štefánika Hudák Adam G KE M.R.Štefánika Batmendijnová Kristína G Stará Ľubovňa Petrucha Micha G BA Metodova Hašík Juraj G BA Grössingova Chudjak Martin SPŠ Martin Vanya Peter G BA J.Hronca Bosák Radomír G BA Grössingova Ďurian Micha G Piešťany Rigdová Emíia OG Kukučínova Poprad Cocuľová Zuzana G KE Poštová Kuzma Tomáš G KE Aejová Kukišová Nina G BA Metodova Zajaček Micha Ev. Lýc. BA Pinnaka Prabhat Rao G India Kramárik Lukáš G Ľ. Štúra Trenčín Cuc Bruno G BA Grössingova Baová Katarína G Ľ. Štúra Trenčín Kubinová Mária G POH, oný Kubín Výška Martin G Aej, Praha Eiben Eduard G KE Poštová Šimko Stanisav G BA J.Hronca Hojčka Micha G Partizánske Krejčír Andrej G P Prievidza Katsiaryna Artsiushina G Minsk Görcsösová Andrea G KE Aejová Liščinský Mirosav G KE Aejová Sádek Fiip GAB Námestovo Baranová Jana G KE Aejová Bendová Lenka G BA J.Hronca Vaváčková Martina G Tábor Matuová aniea G BA Papánka Stripajová Svetana G POH, oný Kubín Marcinek Ján G Kremnica Stupka Roman G Kremnica Suchomeová ana G Ľ. Štúra Trenčín Mohammad Adam Ostrava Marhefka Eduard G Spišská Stará Ves Kňažeková Petra G Ľ. Štúra Trenčín Maiková Lucia ZŠsMŠ Liptovská Tepička Sedačková Barbora G Sereď