Na zavlažovanie sa používa studničná voda

Prepis

1 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Pivo prúdi potrubím s kruhovým prierezom, ktorého priemer je 0 cm. Hmotnostný prietok piva v potrubí je 300 kg min. Vypočítajte priemernú rýchlosť prúdenia piva v potrubí a porovnajte ju s rýchlosťou prúdenia v potrubí s kruhovým prierezom, ktorého priemer je 6,5 cm, ak sa prietok piva nezmení. Hustota piva je 030 kg m 3. Riešenie: Na obrázku je znázornená situácia v širšom (miesto ) a zúženom (miesto ) priereze potrubia. Pri riešení aplikujeme zákon zachovania hmotnosti, t. j. skutočnosť, že pri ustálenom prúdení nestlačiteľnej kvapaliny (ρ = konštanta) v potrubí je jej objemový prietok v ľubovoľnom priereze potrubia konštantný (rovnica kontinuity) m m m V V V S S m S V V S Objemový prietok a rýchlosť prúdenia piva v potrubí s priemerom 0 cm vypočítame zo známych vzťahov m V 0, 9m min 4,8540 m s V 4V 44,8540 0,68ms S d 0, Keďže rovnaký objemový prietok piva je aj v zúženom priereze potrubia, pre známe rozmery dokážeme vypočítať rýchlosť prúdenia piva v tomto mieste 3 V 4V 44,854 0, 463ms S d 0,065 V

2 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Aký charakter má prúdenie kukuričného oleja, ktorý tečie cez rúrky kruhového prierezu s priemerom 5 mm. Prietok oleja je 4000 kg h. Pri teplote 40 C je hustota oleja 906 kg m 3 a kinematická viskozita ν = 30,5 0 6 m s. Riešenie: Charakter prúdenia posudzujeme na základe hodnoty bezrozmerového Reynoldsovho kritéria. Vieme, že ak je jeho hodnota Re 300, prúdenie tekutiny je laminárne. Naopak, ak je hodnota Reynoldsovho kritéria väčšia ako 0000, hovoríme o turbulentnom prúdení. Medzi týmito dvoma hodnotami je charakter prúdenia prechodný, t.j. na určitý čas sa môže vyvinúť v potrubí laminárne alebo turbulentné prúdenie. Na výpočet Reynoldsovho kritéria bola odvodená rovnica d e Re v ktorej symbol d e predstavuje ekvivalentný prierez potrubia, je rýchlosť prúdiacej tekutiny, ρ jej hustota a μ jej dynamická viskozita. V prípade potrubia s kruhovým prierezom je ekvivalentný priemer rovný priemeru potrubia. Vyplýva to z definičného vzťahu ekvivalentného priemeru potrubia 4Sž de Oz kde S ž predstavuje plochu prierezu cez ktorú tečie tekutina (živá plocha) a O z je zmáčaný obvod. V prípade potrubia s kruhovým priemerom, ktoré je zaplnené prúdiacou tekutinou platí d 4 d 4 e d d Rýchlosť prúdiacej tekutiny a jej dynamickú viskozitu vypočítame zo známych vzťahov V m 4m S S d kde ν predstavuje kinematickú viskozitu prúdiacej tekutiny. Po dosadení do jednotlivých rovníc (nesmieme zabudnúť dosadiť hodnoty veličín v konzistentných jednotkách) dostaneme 6 30, , 0763kg m s 0, 0763Pa s V m 4m 3600,498ms S S d 906 0, 05 d e 0, 05, Re , 0763 Z uvedeného vyplýva, že prúdenie kukuričného oleja v rúrke s priemerom 5 mm je laminárne.

3 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 Zadanie: Vypočítajte maximálny objemový prietok tekutiny prúdiacej v potrubí s kruhovým prierezom, ktorého priemer je d = 0 cm, aby bol charakter prúdenia laminárny. Pre vypočítaný objemový prietok zistite maximálnu dĺžku strany potrubia so štvorcovým profilom, v ktorom by daná tekutina mala vyvinutý turbulentný tok. Riešte pre prípad prúdenia dusíka a vody, ktorých teplota je v oboch prípadoch 30 C a tlak je atmosférický. Riešenie: Ak má byť prúdenie tekutiny laminárne, musí platiť nerovnica d e Re 300 Rýchlosť tekutiny dokážeme vyjadriť pomocou jej objemového prietoku. Pre kruhový prierez potrubia V 4V S d Kombináciou uvedených rovníc a úpravou potom dostaneme podmienku pre maximálny objemový prietok tekutiny, pre ktorý je prúdenie laminárne 300d V 4 V druhej časti príkladu máme zistiť maximálnu veľkosť strany potrubia so štvorcovým prierezom (strana štvorca, a), v ktorej by, pri objemovom prietoku vypočítanom v prvej časti príkladu, prúdenie tekutiny ešte bolo turbulentné, t.j. d e Re 0000 V prípade potrubia so štvorcovým prierezom ekvivalentný priemer potrubia vypočítame podľa vzťahu de 4Sž Oz pričom S ž je plocha prierezu a O z dĺžka obvodu prierezu potrubia, ktoré je zmáčané prúdiacou tekutinou. Pre potrubie so štvorcovým prierezom potom platí 4a de a 4a Po dosadení za rýchlosť prúdenia a ekvivalentný priemer štvorcového potrubia dostaneme av V Re 0000 S a V a 0000 Aby sme vypočítali maximálny objemový prietok a maximálny priemer potrubia pre dusík a pre vodu, musíme poznať vlastnosti týchto tekutín (hustotu a viskozitu) za podmienok, ktoré sú uvedené v zadaní. Ostatné veličiny vystupujúce v nerovniciach súvisia s tvarom potrubia, v ktorom dusík alebo voda prúdi. Hustotu dusíka vypočítame zo stavovej rovnice ideálneho plynu (predpokladáme ideálne správanie sa dusíka) pv nrt m V m nm pm RT

4 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 Mólová hmotnosť dusíka (M = 8,0 kg kmol - ) je uvedená v Chemickoinžinierskych tabuľkách (CHIT, tabuľka 6 na strane 9). Jeho hustota pri teplote 30 C a tlaku 0,35 kpa je 3 pm 0358, 00 3,6kg m RT 8,34 303,5 Pri výpočte nesmieme zabudnúť dosadiť hodnoty veličín v konzistentných jednotkách, najlepšie v základných jednotkách SI. Viskozitu dusíka za uvedených podmienok nájdeme v CHIT. Buď ju vypočítame podľa Sutherlandovho vzťahu (tabuľka 5b strana 30) alebo ju odčítame v nomograme na stranách 88 a 89 (pre plyny). Sutherlandov vzťah vyjadruje závislosť viskozity plynov od teploty, berúc do úvahy viskozitu tohto plynu pri teplote 0 C. 73 C T 0C T C 73.5 Hodnota parametra C v tejto rovnici súvisí s vlastnosťami plynu. Pre dusík sú v tabuľkách uvedené 6 hodnoty: 0C 6,5 0 Pas a C = 04 K. Uvedená hodnota je pre dusík platná v rozsahu teplôt 0 C až 80 C. Viskozita dusíka za podmienok uvedených v zadaní potom je ,50 7,90 Pa s Pri odčítaní viskozity plynov z nomogramu najskôr zistíme súradnice pre sledovaný plyn, ktoré sú uvedené v tabuľke na strane 89. Pre dusík nájdené súradnice sú X = 0,6 a Y = 0,0. Súradnice vynesieme do pravouhlej siete nomogramu, ktorá sa nachádza na strane 88. Potom nájdeme spojnicu tohto bodu a bodu na stupnici teploty, ktorý zodpovedá teplote plynu (30 C). Predĺženie spojnice pretne pravú os nomogramu v mieste, ktoré zodpovedá viskozite plynu. V tomto prípade je to približne 6 0,08mPa s 8 0 Pa s (viď nasledujúci obrázok). t/ C μ/(mpa s) t = 30 C Y Y = 0 X = 0,6 μ = 0,08 mpa s Za uvedených podmienok je maximálny objemový prietok laminárne prúdiaceho dusíka X

5 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 V V 300 0,80 4,6,8880 m s Maximálna dĺžka strany potrubia so štvorcovým prierezom, v ktorom má uvedené množstvo dusíka prúdiť turbulentne, je 3,8880,6 a a 8,0 m Hustotu a viskozitu vody pri teplote 30 C môžeme odčítať v CHIT (tabuľka 0c na strane 4), pričom 3 3 tieto hodnoty sú 0,7977 mpa s 0, Pa s a 995,7kg m. V tom prípade, je maximálny objemový prietok laminárne prúdiacej vody v potrubí s kruhovým prierezom , 0, V 4995, 7 V 0,47 0 m s 3 3 Maximálna dĺžka strany potrubia so štvorcovým prierezom, v ktorom má uvedené množstvo vody prúdiť turbulentne, je 3 0, , 7 a , a 3 8,30 m

6 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 4 Zadanie: Porovnajte rýchlosť a charakter prúdenia vo valcovom potrubí s priemerom,5 cm a v potrubí so štvorcovým prierezom, ktoré má rovnakú plochu prierezu, ako spomínané valcové potrubie. Predpokladajte, že potrubím prúdi 9 L min benzénu, ktorého teplota je 30 C. Riešenie: Rýchlosť prúdenia vo valcovom potrubí vypočítame z objemového prietoku a charakter prúdenia benzénu posúdime na základe hodnoty Reynoldsovho kritéria V 4V S d Re d V prípade potrubia so štvorcovým prierezom je rýchlosť prúdenia rovnaká. Podľa zadania je totiž plocha prierezu potrubia rovnaká ako v prípade potrubia s kruhovým prierezom. Charakter prúdenia však je iný, nakoľko v rovnici na výpočet Reynoldsovho kritéria vystupuje ekvivalentný priemer potrubia. V S Re d d e 4S 4a ž e Oz 4a a S d 4 a Aby sme dokázali posúdiť charakter prúdenia benzénu, musíme poznať jeho vlastnosti, hustotu a dynamickú viskozitu. Viskozitu benzénu pri teplote 30 C môžeme zistiť v CHIT buď výpočtom (tabuľka 5a strana 8), alebo odčítaním v nomograme na stranách 90 a 9. V tabuľke 5a je na výpočet viskozity benzénu odporúčaná rovnica A B T CT DT ln (mpa s) K K K pričom parametre A, B, C, a D sú tabelované hodnoty pre rôzne látky. V prípade benzénu je rovnica platná v rozsahu teplôt od 6 C do 88 C. Pri teplote 30 C je viskozita kvapalného benzénu AB T K CT K DT K 4,6, ,5, ,5, ,5 e e 0,5673mPa s Pri odčítaní viskozity kvapalín z nomogramu najskôr zistíme súradnice pre benzén, ktoré sú uvedené v CHIT na strane 9 (X =,5 a Y = 0,9). Súradnice vynesieme do pravouhlej siete nomogramu, ktorá sa nachádza na strane 90. Potom nájdeme spojnicu tohto bodu a bodu na stupnici teploty, ktorý zodpovedá teplote benzénu uvedenej v zadaní (30 C). Predĺženie spojnice pretne pravú os nomogramu v mieste, ktoré zodpovedá viskozite benzénu. V tomto prípade je to približne 3 Hustotu benzénu nájdeme v CHIT (tabuľka 4 na strane 7), 868kg m. Rýchlosť a charakter prúdenia benzénu v potrubí kruhového priemeru je 3 4V 490 0,3056 ms d 600, ,57 mpa s 0,57 0 Pa s. 3 Re d 0, 050, , V prípade prúdenia benzénu v potrubí so štvorcovým prierezom a s rovnakou plochou prierezu ako je plocha prierezu kruhového potrubia v predošlom výpočte, je hodnota Reynoldsovho kritéria d a d e e 4 0,05 4 0,06m Re d 3 0, 06 0, ,

7 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 5 Zadanie: Vypočítajte straty tlaku v potrubí s celkovou dĺžkou 5 m, priemerom,5 cm a relatívnou drsnosťou 0,000. V potrubí prúdi voda s priemernou hodnotou teploty 5 C, pričom jej objemový prietok je a) 60 L h b),8 m 3 h. Riešenie: Na obrázku je schematicky znázornené potrubie a jeho jednotlivé rozmery a parametre z, p, L = 5 m d =,5 cm z, p, vzťažná rovina výška výstupkov, ε d =,5 cm Relatívna drsnosť potrubia je definovaná jako podiel výšky výstupkov na vnútornom povrchu rúrky a jej priemeru n d 0,000 Našim cieľom je vypočítať množstvo disipovanej mechanickej energie (straty tlaku) pri toku tekutiny v rovnom potrubí z miesta do miesta. Na tento účel nám poslúži Bernoulliho rovnica, ktorá bilancuje špecifickú (vztiahnutú na jednotku hmotnosti) mechanickú energiu prúdiacej tekutiny p p zg zg d is kde z, z predstavujú geodetickú výšku miest a vzhľadom na vzťažnú rovinu, a rýchlosť prúdiacej tekutiny v miestach a, α a α bezrozmerová korekcia špecifickej kinetickej energie prúdiacej tekutiny (korekcia nehomogénnosti rýchlostného poľa, pre laminárne prúdenie má hodnotu α = 0,5, pre turbulentnú oblasť platí α = ) v miestach a, p a p priemerná hodnota tlaku v priereze potrubia a, ρ je hustota prúdiacej tekutiny, ε dis predstavuje špecifickú disipovanú energiu, ε je špecifická energia dodaná do (napr. čerpadlom) alebo získaná (napr. prostredníctvom turbíny) z prúdiacej tekutiny a g je tiažové zrýchlenie. Ak predpokladáme, že tekutina prúdi vo vodorovnom potrubí kruhového prierezu s konštantným priemerom a do systému nie je zapojené žiadne zariadenie na dodávanie (získavanie) mechanickej energie, môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar p p dis pretože platí z z d d, S S (z rovnice kontinuity) 0J kg

8 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 5 Množstvo disipovanej energie (straty tlaku) môžeme vypočítať podľa Darcyho rovnice L dis d Ak skombinujeme Darcyho rovnicu s upravenou Bernoulliho rovnicou, platí L p p p d kde λ je súčiniteľ disipácie mechanickej energie v dôsledku trenia, d priemer kruhového potrubia a L dĺžka potrubia. Vo všeobecnosti hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením závisí od charakteru prúdenia (Re) a relatívnej drsnosti (n) potrubia, v ktorom tekutina prúdi f ( Re, n) Preto budeme musieť najskôr zistiť charakter prúdenia vody a aj jej vlastnosti. Hustotu a dynamickú viskozitu vody pri teplote 5 C odčítame v CHIT (tabuľka 0c na strane 4), ,kg m a 0,89mPa s 0,89 0 Pa s a) Ak je objemový prietok vody v rúrke 60 L h, potom je rýchlosť prúdiacej vody a príslušná hodnota Reynoldsovho kritéria 3 V 4V ,034ms S d 36000, 05 3 Re d 0, 050, , 0, Znamená to, že za týchto podmienok je prúdenie vody laminárne. V tom prípade na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením použijeme rovnicu k Re Pre potrubie kruhového prierezu má parameter k hodnotu 64. Potom k Re ,06730 Disipácia mechanickej energie spôsobená trením po dĺžke zodpovedá zníženiu (strate) tlaku prúdiacej tekutiny L 5 0, 034 p p p 0, , 3, 7 Pa d 0, 05 b) Ak je objemový prietok vody,8 m 3 h, charakter prúdenia je turbulentný V 4V 4,8,09ms S d 36000, 05 Re d 3 0, 05, , 0, V tom prípade potrebujeme zistiť, aký je vplyv relatívnej drsnosti na hodnotu súčiniteľa disipácie mechanickej energie. Najskôr si overíme, či drsnosť na jeho hodnotu vplýva. Vieme, že ak je splnená nasledujúca nerovnosť, potrubie môžeme považovať za hydraulicky hladké 5 5 n 0,875 0,875 d Re 850 0, 000 0,

9 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 5 Pretože je táto podmienka splnená, na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Blaziovu rovnicu, ktorej platnosť je obmedzená na prúdenie tekutín v hydraulicky hladkom potrubí, pričom hodnota Reynoldsovho kritéria je v rozsahu 300 až ,364 0,364 0, ,5 0,5 Re 850 Disipácia mechanickej energie (prejaví sa ako zníženie tlaku) pri prietoku,8 m 3 h je L 5, 09 p p p 0, , 7564 Pa d 0, 05 Výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme uskutočniť aj bez overovania predošlej podmienky. Nakoľko poznáme relatívnu drsnosť potrubia a máme k dispozícii vypočítanú hodnotu Reynoldsovho kritéria, môžeme na výpočet použiť niektorú z rovníc, v ktorých tieto veličiny vystupujú. Jednou z takýchto rovníc je Roundova rovnica, ktorá je platná pre široký rozsah hodnôt relatívnej drsnosti, n (0; 0 ), a Reynoldsovho kritéria, Re (4000; 0 7 ). Re,8log 0,35 Ren 6,5 Úpravou Roundovej rovnice dokážeme vyjadriť súčiniteľ disipácie mechanickej energie trením 0, 0359 Re 850,8log,8log 4 0,35 6,5 0, ,5 Ren Hodnotu súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením vieme pre známu hodnotu Reynoldsovho kritéria a relatívnej drsnosti odčítať aj v Moodyho diagrame (CHIT, obrázok 5 na strane 93). Odčítaná hodnota je približne 0,03.

10 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 6 Zadanie: Jablčná šťava má hustotu 046 kg m 3. Šťava odteká samospádom z otvorenej zásobnej nádrže do filtračného zariadenia, v ktorom je tlak 37,3 kpa. Ako vysoko, vzhľadom na ústie potrubia do filtračného zariadenia, musí byť hladina šťavy v zásobnej nádrži? Rýchlosť prúdenia jablčnej šťavy v potrubí je m s, disipácia mechanickej energie v potrubí zodpovedá h dis =,5 m a prúdenie je turbulentné. Riešenie: Na nasledujúcom obrázku je schematické znázornenie zariadenia so znázornením polohy bilancovaných miest. p zásobná nádrž z z z p filtračné zariadenie Cieľom je zistiť hodnotu rozdielu geodetických výšok, ktoré zodpovedajú hladine jablčnej šťavy v zásobnej nádrži () a ústiu potrubia do filtračného zariadenia (), ako je znázornené na obrázku ( z). Pre bilancované miesta dokážeme napísať Bernoulliho rovnicu (bez člena, ktorý zodpovedá dodávaniu alebo odoberaniu energie zo systému prostredníctvom mechanických zariadení) p p zg zg dis Predtým, ako tento problém vyriešime, si musíme uvedomiť niekoľko faktov. V porovnaní s priemerom potrubia, ktoré spája zásobnú nádrž a filtračné zariadenie, je priemer zásobnej nádrže nepomerne väčší. V tom prípade, berúc do úvahy rovnicu kontinuity, môžeme rýchlosť prúdenia v mieste hladiny jablčnej šťavy (), považovať za zanedbateľne malú v porovnaní s rýchlosťou prúdenia šťavy v ústí potrubia do filtračného zariadenia S S S S 0J kg Na základe tohto predpokladu môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar p p z z z hdis g g Jedinou neznámou na pravej strane tejto rovnice je tlak v mieste. V zadaní však bolo uvedené, že šťava odteká z otvorenej zásobnej nádrže, tlak v mieste jedna sa bude rovnať okolitému (atmosférickému) tlaku. Potom rozdiel medzi výškou hladiny v zásobnej nádrži a ústím potrubia do filtračného zariadenia má byť

11 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie ,5 6,m z 9, ,8

12 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 7 Zadanie: Pri teplote 0 C prúdi pivo novým hydraulicky hladkým potrubím s kruhovým prierezom s vnútorným priemerom 3 cm. Hustota piva pri uvedenej teplote je 030 kg m 3 a jeho kinematická viskozita je,4 0 6 m s. Vypočítajte straty tlakovej energie v dôsledku trenia na dĺžke potrubia m, ak je objemový prietok piva 4 m 3 h. Riešenie: Našim cieľom je vypočítať množstvo disipovanej mechanickej energie (prejaví sa ako zníženie tlaku prúdiacej tekutiny) pri toku tekutiny v rovnom hydraulicky hladkom potrubí z miesta do miesta, ktoré sú od seba vzdialené m. Na tento účel nám poslúži Bernoulliho rovnica v tvare p p zg zg dis Nakoľko platí z z S S S môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar p p dis pričom na výpočet disipácie mechanickej energie trením použijeme Darcyho rovnicu L dis d L p p p d V upravenej Bernoulliho rovnici zostávajú dve neznáme, súčiniteľ strát mechanickej energie v dôsledku trenia a rýchlosť prúdenia. Vieme, že hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením závisí od charakteru prúdenia (Re) a relatívnej drsnosti (n) potrubia, v ktorom tekutina prúdi. Rýchlosť prúdenia piva vypočítame zo známeho objemového prietoku a plochy prierezu potrubia. V 4V 4 4,57 ms S d 36000, 03 Re d d 6 0, 03,57, Pretože nové potrubie je hydraulicky hladké, na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Blaziovu rovnicu 0,364 0,364 0, 067 0,5 0,5 Re 9649 Okrem toho, môžeme hodnotu λ odčítať v CHIT (obrázok 5 na strane 93) pre minimálnu hodnotu relatívnej drsnosti potrubia ( 0 6 ). Z grafu odčítaná hodnota je približne λ = 0,06. Disipácia mechanickej energie (prejaví sa ako zníženie tlaku prúdiacej tekutiny) na dĺžke potrubia m je L,57 p p p 0, Pa d 0, 03

13 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 8 Zadanie: V potrubí, ktorého celková dĺžka je 50 m, priemer kruhového prierezu 3 palce a drsnosť (výška výstupkov) 0,03 cm, prúdi vodný roztok metanolu (40 hmot. %). Teplota roztoku je 0 C. Potrubie ústi do otvorenej nádrže (p atm ) nad hladinou kvapaliny, ktorá je v nádrži. V potrubí sú zaradené dva otvorené posúvače, dva priame ventily, otvorený uzatvárací ventil, päť pravouhlých a dve 45 -ové kolená. Ústie potrubia leží vo výške 5 m nad jeho začiatkom. Zistite, aký má byť tlak na začiatku potrubia, aby ním mohlo prúdiť 300 L min roztoku. Riešenie: Na nasledujúcom obrázku je znázornená schéma sledovaného zariadenia so základnými parametrami p = 0,35 kpa nádrž Δz = 5 m z p z Vzťažný bod sa nachádza v strede plochy prierezu potrubia a vzťažný bod v strede ústia potrubia do nádrže. Ak chceme zistiť, aký tlak je na začiatku sledovaného úseku potrubia, musíme opäť bilancovať mechanickú energiu prúdiacej kvapaliny p p zg zg dis Pretože rýchlosť prúdenia v oboch vzťažných bodoch je rovnaká (rovnica kontinuity), Bernoulliho rovnicu môžeme upraviť na tvar p p z z g dis kde disipáciu mechanickej energie môžeme rozdeliť na časť, ktorá je spôsobená trením po dĺžke potrubia, ε dis, L, a druhú časť v dôsledku miestnych strát, ε dis, M. L dis dis, L dis, M i d i Ako vidno, v týchto rovniciach vystupuje niekoľko premenných, ktorých hodnotu nepoznáme. Aby sme mohli vypočítať hodnotu súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením, λ, budeme potrebovať vypočítať hodnotu Reynoldsovho kritéria a relatívnej drsnosti potrubia. Kvôli výpočtu Re potrebujeme zistiť hustotu a viskozitu prúdiacej tekutiny.

14 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 8 Hustoty a viskozity vodných roztokov s rôznym obsahom metanolu a rôznou teplotou sú uvedené v CHIT (tabuľky 30a a 30c na strane 5). Hodnoty nájdené pre roztok s obsahom 40 hmot. % metanolu pri teplote C sú 934,5kg m a,84mpa s,84 0 Pa s. Viskozitu roztoku by sme mohli odčítať aj v nomograme na stranách 90 a 9. Rýchlosť a charakter prúdenia roztoku v rúrkach vypočítame na základe známeho objemového prietoku a priemeru potrubia (3'' = 3,54 cm = 7,6 cm = 0,076 m) 3 V 4V 43000,096ms S d 600, 076 Re d 3 0, 076, ,5, Kvôli výberu vhodnej rovnice na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením potrebujeme zistiť, či je potrubie hydraulicky hladké 5 n 0,875 d Re n 3, , , ,875 0,875 Re 443 Porovnaním ľavej a pravej strany nerovnice je vidno, že potrubie je drsné a preto musíme na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením použiť rovnicu, ktorá zahŕňa aj údaj o relatívnej drsnosti. Jednou z takýchto rovníc je Roundova rovnica Re,8log 0,35 Ren 6,5 Úpravou tejto rovnice dokážeme vyjadriť priamo súčiniteľ disipácie mechanickej energie trením 0, ,8log 0, , ,5 Podobný výsledok by sme dokázali odčítať aj v CHIT (obrázok 5 na strane 93). Nakoniec musíme spočítať hodnoty koeficientov miestnej disipácie mechanickej energie. Údaje sú uvedené v CHIT (tabuľka 47a na strane 66). Nasledujúca tabuľka sumarizuje súčet hodnôt jednotlivých miestnych odporov. Potom, požadovaný tlak na začiatku potrubia je Armatúra ξ i Počet Spolu Koleno 45 0,5 Pravouhlé koleno,6 5 6,3 Otvorený uzatvárací ventil 3 3 Posúvač 0,5 0,3 Priamy ventil 0,8,6 Spolu,

15 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 8 L p p z z g i d i 934,5, p ,5 9,8 0, 0308, Pa 0, 076

16 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 Zadanie: Toluén sa prepravuje samospádom zo zásobnej nádrže do reaktora (viď obrázok). Jeho teplota je 0 C. V zásobnej nádrži je vtok do potrubia umiestnený 3 m pod hladinou. Pretože nádrž je dostatočne veľká, výška hladiny toluénu v nádrži sa prakticky nemení. V nádrži aj v reaktore je atmosférický tlak. Dĺžka potrubia a počet a druh armatúr zaradených v potrubí je jasný z obrázka. Vypočítajte: a) rýchlosť prúdenia a objemový prietok toluénu, ak má potrubie kruhový prierez s priemerom 5 cm a priemernou výškou výstupkov ε = 0,5 mm, b) priemer potrubia s kruhovým prierezom a rýchlosť prúdenia toluénu, ak je výška výstupkov na vnútornej strane potrubia 0,5 mm a objemový prietok toluénu je 500 L min. Riešenie: Na obrázku je schematicky znázornená nádrž a reaktor spojené potrubím, v ktorom je zaradených niekoľko armatúr, spolu so základnými údajmi pre výpočet. Vzťažné body a sú umiestnené v ústiach potrubia do zásobnej nádrže a do reaktora. zásobná nádrž p = p atm h h = 3 m uzatvárací ventil p, spätná klapka koleno 90 rotačný prietokomer h = 0 m z koleno 90 priamy ventil l = 30 m p, z p = p atm reaktor Nakoľko vieme, že potrubím má tiecť toluén, ktorého teplota je 0 C, môžeme v tabuľkách nájsť jeho viskozitu a hustotu, ktoré potrebujeme pri výpočte. Hustota toluénu je uvedená v CHIT (tabuľka 4 na strane 7) a jeho dynamickú viskozitu vypočítame na základe údajov v CHIT (tabuľka 5a na stranách 8 a 9), alebo ju odčítame z nomogramu na strane kg m AB T K CT K DT K 5,878,87 0 /83,5 0, ,5 0, ,5 e e 0,677 mpa s Pri riešení budeme vychádzať z Bernoulliho rovnice v tvare

17 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 p p zg zg dis Pretože priemer potrubia je v oboch vzťažných miestach rovnaký, z rovnice kontinuity vyplýva, že aj rýchlosť prúdenia toluénu (jeho špecifická kinetická energia) je v oboch miestach rovnaká. V mieste je tlak kvapaliny určený súčtom atmosférického tlaku a hydrostatického tlaku stĺpca toluénu nad vzťažným bodom p p h g atm h V mieste je tlak rovnaký ako v nádobe reaktora, t. j. atmosférický tlak. Rozdiel v geodetických výškach vzťažných bodov je v obrázku označený ako h = 0 m. Špecifickú disipovanú energiu vypočítame ako súčet energie disipovanej v dôsledku trenia po dĺžke potrubia a v dôsledku prítomnosti armatúr zaradených v potrubí. Vtedy môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar p p z z g dis L Lekv L Lekv dis dis, L dis, M d i d i d i d i Spojením oboch rovníc a dosadením za rozdiel geodetických výšok a rozdiel tlakov dostaneme p p patm hh g patm L Lekv z z g hg h hh g dis d i d i Ekvivalentná dĺžka potrubia, t. j. dĺžka potrubia, na ktorej by sa hodnota mechanickej energie disipovanej trením po dĺžke rovnala hodnote disipovanej energie spôsobenej prítomnosťou príslušnej armatúry, je ďalší spôsob vyjadrenia miestnej disipácie energie. Hodnoty ekvivalentnej (bezrozmerovej, vztiahnutej na priemer potrubia s kruhovým prierezom) dĺžky sú spolu s hodnotami súčiniteľa miestnej disipácie mechanickej energie uvedené v CHIT (tabuľka 47a na strane 66). Nasledujúca tabuľka sumarizuje súčet hodnôt jednotlivých ekvivalentných dĺžok potrubia Armatúra (L ekv /d) i Počet Spolu Vtok do potrubia 0 0 Pravouhlé koleno Otvorený uzatvárací ventil Priamy ventil 5 5 Spätná klapka Rotačný prietokomer Spolu 75 a) Z matematického hľadiska máme za úlohu vyriešiť problém, v ktorom v jednej rovnici vystupujú dve premenné, a λ. Tento problém nezjednodušíme ani použitím definičného vzťahu na výpočet Reynoldsovho kritéria, pretože tak okrem druhej rovnice pribudne ďalšia premenná, Re. Re d

18 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 Ďalším krokom by bolo použitie niektorej kriteriálnej rovnice na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie f ( Re, n) Výber vhodnej kriteriálnej rovnice je však podmienený znalosťou hodnoty Re. Z uvedeného vyplýva, že priame analytické riešenie problému (výpočet rýchlosti prúdenia a následne objemového prietoku toluénu) neexistuje. Preto, všeobecné riešenie tohto problému je založené na postupnom iterovaní. Na začiatku si zvolíme rozumnú hodnotu rýchlosti prúdenia tekutiny. Tento údaj použijeme na výpočet Reynoldsovho kritéria a hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením. Získanú hodnotu dosadíme do upraveného tvaru Bernoulliho rovnice a vypočítame opravenú hodnotu rýchlosti prúdiacej tekutiny. Hodnotu porovnáme s nastreleným údajom. Iteračný výpočet opakujeme dovtedy, kým nie je splnená požiadavka na presnosť výsledku (zvyčajne má byť rozdiel hodnôt rýchlosti prúdenia, ktoré sme získali vo dvoch po sebe idúcich iteráciach, menší ako vopred stanovená presnosť). Rozumná rýchlosť v prípade prúdenia kvapalín, napr. toluénu pri teplote 0 C, je 3 m s (ak je prúdiacou tekutinou plyn, hodnota rýchlosti sa volí okolo 0 m s ). Pre zvolený nástrel, I = m s, potom platí I I 3 Re d 0, , Ďalej sa potrebujeme presvedčiť, či môžeme potrubie považovať za hydraulicky hladké 5 n 0,875 d Re 4 50 n 0 0, , ,875 0,875 Re 6533 Porovnaním ľavej a pravej strany nerovnice je vidno, že potrubie je drsné a preto musíme nájsť vhodnú rovnicu na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením. Jednou z vhodných rovníc je Roundova rovnica. I Re,8log I 0,35 I Re n 6,5 I 6533,8log 0, ,5 0, V nasledujúcom kroku pomocou Bernoulliho rovnice vypočítame novú hodnotu rýchlosti prúdenia toluénu. Horný index (I, II, III,...) označuje iteráciu. h h g 0 3 9,8,090ms I L L 30 0 ekv 0, ,05 d i d i II h

19 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 Ak porovnáme vypočítanú hodnotu s pôvodným odhadom rýchlosti prúdenia, vidíme výrazný rozdiel. Preto budeme musieť v iteračnom výpočte pokračovať. Nasledujúca tabuľka sumarizuje výsledky jednotlivých iterácií. Iterácia /(m s ) Re 5/Re Rovnica λ Presnosť I , Roundova nedosiahnutá II, , Roundova nedosiahnutá III, , Roundova dosiahnutá IV,0 Vidno, že iteračný výpočet pomerne rýchlo konverguje k výsledku. Tento postup je univerzálny a presný vzhľadom na to, že hodnoty premenných nepotrebujeme odčítať v grafe. Objemový prietok toluénu je V S d 4 0,05,0 4 4,50 m s 3 3 Výpočet môžeme uskutočniť aj bez iterovania, ale len v prípade, ak dokážeme separovať neznáme v Bernoulliho rovnici (λ a Re). Aby sme to dokázali, rýchlosť prúdenia vyjadríme z definičného vzťahu Reynoldsovho kritéria Re d Re d z z g L d i p L d z z g L d L ekv p p i ekv i d i p V CHIT (obrázok 6 na strane 94) je k dispozícii graf, z ktorého pre známu hodnotu ľavej strany tejto rovnice, Re, a relatívnu drsnosť potrubia, n, dokážeme odčítať hodnotu. V našom prípade d h h g 0, ,8 h Re L L 30 0 ekv 0, d i d 0,05 i Z čoho pri relatívnej drsnosti potrubia n = 0,0 vyplýva Re 5,5 Re 66375, Re 0, ,06 ms d 0, Hodnota získaná odčítaním v CHIT sa len málo líši od hodnoty vypočítanej pri iterovaní. b) V druhej časti príkladu je neznámou priemer potrubia a rýchlosť prúdiacej kvapaliny, pričom je známy jej objemový prietok. Riešenie je opäť iteračné. Zvolíme si rýchlosť prúdenia toluénu. Z tohto údaja

20 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 pomocou známej hodnoty objemového prietoku vypočítame priemer potrubia a ďalej pokračujeme, ako v predošlom prípade. Naviac, pri každej iterácii musíme okrem priemeru počítať aj hodnotu relatívnej drsnosti. Dobrým nástrelom prvej iterácie môže byť rýchlosť, ktorú sme vypočítali v časti a). d I 3 4V , 0708m I 60, I I I 3 Re d 0,0708, 875/ 0, n I I 0,875 d Re n 7, , ,780 I 0,875 0,875 Re I I Re,8log 0,35 I Re n 6,5 I ,8log 0, , ,5 h h g 0, ,8,409ms I L L 30 0 ekv 0, I 0, 0708 d i d i II h Aj v tomto prípade je rozdiel medzi hodnotami rýchlosti prúdenia pomerne veľký a preto je potrebné pokračovať v iteračnom výpočte. Výsledky sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke Iterácia /(m s ) d/m Re n 5/Re Rovnica λ Presnosť I, 0, , , Roundova 0,034 nedosiahnutá II,409 0, , ,0 0 4 Roundova 0,03477 nedosiahnutá III,35 0, ,44 0 3, 0 4 Roundova 0,03465 nedosiahnutá IV,36 0, , ,9 0 4 Roundova 0,03467 nedosiahnutá V,359 0, , ,0 0 4 Roundova 0,03467 dosiahnutá VI,359 Kvôli urýchleniu je aj v tomto prípade možné riešenie za pomoci CHIT (závislosť 5 f Re 5, obrázok 7 na strane 95). Opäť však musí byť splnená podmienka, že neznáme v Bernoulliho rovnice dokážeme odseparovať od ostatných premenných. V prípade, ak je hodnota miestnej disipácie mechanickej energie nezanedbateľne malá (čo je aj náš prípad), táto podmienka nie je splnená a grafické riešenie nie je možné (bez zjednodušenia).

21 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 0 Zadanie: Pivo prúdi z tlakového zásobníka do otvorenej nádrže. Tlak v zásobníku je 5 kpa a výška hladiny v zásobníku je 5 m vzhľadom na podlahu vo výrobnej hale. V otvorenej nádrži je výška hladiny piva 3 m nad úrovňou podlahy. Pivo prúdi v novom potrubí s priemerom 0. m, v ktorom sú zaradené uzatváracie ventily, 3 pravouhlé kolená a krátka usadzovacia časť potrubia s priemerom 0,3 m (rozšírenie potrubia ξ = 0,79, zúženie potrubia ξ = 0,47). Disipácia mechanickej energie trením v hladkom potrubí je zanedbateľná vzhľadom na straty mechanickej energie spôsobené prítomnosťou miestnych odporov proti prúdeniu. Vypočítajte prietok piva v potrubí, ak je jeho hustota 035 kg m 3 a jeho dynamická viskozita má hodnotu μ = 8, Pa s. Riešenie: Schéma technologického zariadenia je spolu s dôležitými údajmi znázornená na nasledujúcom obrázku. tlaková zásobník p = 5 kpa p = 0,35 kpa z = 5 m usadzovacia časť potrubia z = 3 m nádrž Našou úlohou je vypočítať objemový prietok piva z tlakového zásobníka do otvorenej nádrže, pričom poznáme len rozmery potrubia a armatúry, ktoré sú v potrubí zapojené. Opäť budeme vychádzať z Bernoulliho rovnice p p zg zg dis Treba si uvedomiť, že v porovnaní s priemerom potrubia, ktoré spája tlakový zásobník a nádrž, je priemer zásobníka a nádrže nepomerne väčší. V tom prípade môžeme rýchlosť prúdenia v miestach (hladina kvapaliny v zásobníku) a (hladina kvapaliny v nádrži) považovať za zanedbateľne malú 0 J kg 0 J kg Podľa zadania platí, že disipácia mechanickej energie v dôsledku trenia po dĺžke potrubia je zanedbateľne malá v porovnaní s množstvom energie, ktorá disipuje v dôsledku miestnych strát v armatúrach. Preto na vyjadrenie disipácie mechanickej energie v Bernoulliho rovnici použijeme nasledujúci vzťah dis dis, L dis, M dis, M i i p p V 6V i i i 4 i i S i d z z g

22 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 0 4 d V z z g 8 i i p p V predchádzajúcich vzťahoch vystupuje rýchlosť prúdenia piva v potrubí, ktoré spája tlakový zásobník s otvorenou nádržou. Disipáciu mechanickej energie v armatúrach spôsobuje zmena charakteru prúdenia v dôsledku zmeny rýchlostného poľa prúdiacej kvapaliny (turbulencia, ktorá spôsobuje vyššiu intenzitu trenia prúdiacej tekutiny v armatúre). Informácie o hodnote súčiniteľa miestnej disipácie mechanickej energie pre rôzne typy armatúr nájdeme v CHIT (tabuľka 47a na strane 66). Nasledujúca tabuľka sumarizuje súčet hodnôt súčiniteľov miestnych odporov. Armatúra ξ i Počet Spolu Vtok z nádrže do potrubia 0,5 0,5 Pravouhlé koleno,6 3 3,78 Otvorený uzatvárací ventil 3 6 Rozšírenie potrubia 0,79 0,79 Zúženie potrubia 0,47 0,47 Výtok z potrubia Spolu,54 Objemový prietok piva, jeho rýchlosť a charakter prúdenia v potrubí je 4 0, V 5 39,8 0,080m s 8, V 40, 080,88ms d 0, Re 4 0,, ,

23 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Z veľkého uzavretého zásobníka, v ktorom je tlak nad hladinou kvapaliny, bar, sa cez hydraulicky hladké potrubie prečerpáva heptán do pripravenej cisterny. Celková dĺžka potrubia je 70 m, v potrubí sú zaradené 4 pravouhlé kolená, jeden priamy ventil a jeden posúvač (plne otvorené). Časť potrubia je ponorená do hĺbky,5 m pod hladinu kvapaliny v nádrži. Táto časť potrubia slúži ako nasávacie potrubie odstredivého čerpadla, ktoré heptán dopravuje do výšky 6 m nad hladinu kvapaliny v nádrži. Cisterna je otvorená voči atmosfére. Teplota prečerpávaného heptánu je 0 C. Za týchto podmienok je dynamická viskozita heptánu 0,4 cp ( cp = mpa s). Vypočítajte: a) priemer potrubia s kruhovým prierezom, cez ktoré máme za uvedených podmienok prepraviť 0,5 0 3 m 3 s heptánu, pričom výkon čerpadla je 63 W a jeho účinnosť je η = 70 %; b) ako dlho sa bude cisterna plniť, ak je priemer potrubia 0. m a množstvo energie dodanej čerpadlom jednotkovej hmotnosti kvapaliny ako v prvom prípade. Cisterna má valcový tvar s eliptickým prierezom (hlavná poloos je dlhá,5 m a vedľajšia m) a dĺžkou 6 m. Aké množstvo energie spotrebováva čerpadlo? Riešenie: Náčrt k tejto úlohe je znázornený na nasledujúcom obrázku. p = p atm b = m a = 3 m l = 6 m p =, bar h d = 6 m h h =,5 m p, z z Oproti predošlým zadaniam nastala jedna zmena. Do potrubia je zaradené čerpadlo, preto pri riešení použijeme Bernoulliho rovnicu v tvare p p zg zg d is a) Vzťažné body sú umiestnené v ústí nasávacieho potrubia (,5 m pod hladinou kvapaliny v zásobníku () a na konci výtlačného potrubia, kde kvapalina vteká do otvorenej cisterny (). Pretože nasávacie a výtlačné potrubie má rovnaký priemer, špecifická kinetická energia prúdiaceho heptánu je v oboch miestach rovnaká. Tlak prúdiacej kvapaliny v mieste je daný súčtom tlaku na hladinu v zásobníku a hydrostatického tlaku stĺpca kvapaliny nad ústim nasávacieho potrubia. Tlak na konci výtlačného

24 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie potrubia sa rovná atmosférickému tlaku. Disipácia mechanickej energie v potrubí je spôsobená trením po dĺžke a tiež v dôsledku prítomnosti rôznych armatúr. Na vyjadrenie množstva disipovanej energie použijeme Darcyho rovnicu a rovnicu na výpočet miestnej disipácie mechanickej energie 5 p.0 hh g p patm L L i d i d dis dis, L dis, M i i Množstvo energie, ktoré dodáva kvapaline čerpadlo vypočítame zo zadaného príkonu a účinnosti podľa vzťahu Pv 63 86,74 J kg 3 V 0, Na základe týchto úvah môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar p p L Pv z z g dis hd hh g I i d i V Ani v tomto prípade nedokážeme separovať neznáme veličiny (, d) od ostatných premenných a preto budeme pri riešení postupovať iteračne. Najskôr však musíme zistiť hustotu dopravovanej kvapaliny a vyjadriť celkové množstvo disipovanej mechanickej energie. 3 Hustota heptánu je uvedená v CHIT (tabuľka 4 na strane 7), 684kg m. Údaje o hodnote koeficienta miestnej disipácie mechanickej energie sú uvedené v CHIT (tabuľka 47a na strane 66). Nasledujúca tabuľka sumarizuje hodnoty jednotlivých súčiniteľov miestnych odporov. Armatúra ξ i Počet Spolu Vtok do potrubia s ostrým okrajom 0,5 0,5 Pravouhlé koleno,6 4 5,04 Posúvač 0,5 0,5 Priamy ventil 0,8 0,8 Spolu 6,49 Výsledky pri prvej iterácii sú uvedené na nasledujúcich riadkoch, pričom odhadovaná rýchlosť prúdenia heptánu je m s. 3 I 4V 40,50 d 0,56 m I I I I 3 Re d 0, / 0, Pretože sa jedná o hydraulicky hladké potrubie, na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Nikuradzeho rovnicu (platnosť Blaziovej rovnice je obmedzená hodnotou Re < 00000) I 0, 0, 0, 003 0, 003 0, 055 0,37 0,37 Re 9895

25 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie II p p v hd hh g V I L I d i i P 5, 0,5 6849, (6,5)9,8 3 II 684 0,50 684,636ms 70 0, 055 6, 49 0,56 ˇ Ako vidno, iteračný postup treba zopakovať. Výsledky sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke. Iterácia /(m s ) d/m Re Rovnica λ Presnosť I 0, Nikuradzeho 0,055 nedosiahnutá II,636 0, Nikuradzeho 0,04 nedosiahnutá III,33 0, Nikuradzeho 0,0438 nedosiahnutá IV,364 0, Nikuradzeho 0,0436 nedosiahnutá V,358 0, Nikuradzeho 0,0436 nedosiahnutá VI,359 0, Nikuradzeho 0,0436 dosiahnutá VII,359 Na čerpanie benzénu zo zásobníka je potrebné potrubie s priemerom približne 7,5 cm (3 palce). b) Zmena priemeru potrubia spôsobí zmenu hydrodynamických podmienok pre prúdenie heptánu. Musíme preto zistiť, aká bude rýchlosť prúdenia tejto kvapaliny a jej objemový prietok. Ďalej musíme vypočítať objem cisterny, ktorá sa má plniť heptánom. Na riešenie znovu použijeme iteračný výpočet. Výsledky pri prvej iterácii sú uvedené na nasledujúcich riadkoch, pričom odhadnutá rýchlosť prúdenia heptánu je m s. I I 3 V d 4 0, 4 0,057m s I I I 3 Re d 0, 684 / 0, Pretože sa jedná o hydraulicky hladké potrubie, na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Nikuradzeho rovnicu I 0, 0, 0, 003 0, 003 0, ,37 0,37 Re 9895 II p p hd hh g I L I i d i 5, 0,5 6849,8035 6,59,886, , , 49 0,,598ms II

26 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Ako vidno, iteračný postup treba zopakovať. Jeho výsledky sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke. Iterácia /(m s ) V /(m 3 s ) Re Rovnica λ Presnosť I 0, Nikuradzeho 0,0405 nedosiahnutá II,598 0, Nikuradzeho 0,0340 nedosiahnutá III,635 0, Nikuradzeho 0,0336 nedosiahnutá IV,637 0, Nikuradzeho 0,0336 dosiahnutá V,637 0,007 Objem valca s eliptickou podstavou vypočítame podľa vzťah 3 V Sl abl,5 6 8, 7 m Cisterna sa naplní za t V V 8, 7 0, s,75min Spotreba elektrickej energie za uvedených podmienok (predpokladáme, že množstvo energie dodávané čerpadlom sa pri zmene prietoku nemení) je P P V 86,74 0, ,7 755W p v E tp p ,396 0 J,396 MJ 0, 665kW h

27 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Na zavlažovanie sa používa studničná voda. Pretože jej teplota je 0 C, najskôr sa prečerpáva do otvorenej zásobnej nádrže. Rozdiel výšok hladín vody v studni a v zásobnej nádrži je 4 metre. Na dopravu vody sa používa odstredivé čerpadlo s nasledujúcou charakteristikou (pri frekvencii otáčania 000 min ). V /(dm 3 min ) h č /m 9 9,8 0 9,5 8,5 6,8 3,5 Okrem čerpadla je v potrubí s kruhovým prierezom (priemer 5 cm, priemerná výška výstupkov 0, mm) zaradený nasávací kôš s priemerom 0 cm, šesť pravouhlých kolien, jeden priamy a jeden uzatvárací ventil. Čerpadlo je ponorené 00 cm pod hladinou vody v studni. Miestne odpory proti prúdeniu spôsobené čerpadlom sú započítané v jeho charakteristike. Celková dĺžka potrubia (t. j. dĺžka od výtlačného hrdla čerpadla po jeho ústie do zásobnej nádrže je 00 metrov. Zistite, aký je objemový prietok vody v potrubí, aký je príkon a výkon čerpadla, ak je jeho účinnosť 55 %. Aký je tlak vo výtlačnom hrdle čerpadla? Ako by sa zmenil prietok vody v potrubí, keby ste na jej čerpanie použili dve rovnaké čerpadlá (s rovnakou charakteristikou) zapojené v sérii, alebo paralelne? Riešenie: Na nasledujúcom obrázku sú schematický znázornené najdôležitejšie informácie pre riešenie tohto problému. p = p atm z zásobná nádrž p = p atm z Δz = 4 m h = m nasávací kôš studňa čerpadlo Polohu vzťažných bodov a môžeme určiť sami. Pri voľbe sa snažíme čo najviac zjednodušiť ďalší výpočet. Napr. pri tejto voľbe sme jednak použili informáciu zo zadania (Rozdiel výšok hladín vody v studni a v zásobnej nádrži je 4 metre). Navyše je zrejmé, že rýchlosť prúdenia v miestach a je výrazne nižšia (zanedbateľná) v porovnaní s rýchlosťou prúdenia v potrubí (v Darcyho rovnici vystupuje rýchlosť prúdenia tekutiny v potrubí).

28 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Vzťažný bod sme mohli zvoliť aj inakšie, do stredu prierezu studne v mieste ústia nasávacieho koša. V tom prípade by sa rozdiel geodetických výšok zmenil na Δz = 5 m. Súčasne by sa však zmenil aj tlak v mieste na hodnotu p = p atm + hρg. Keby sme porovnali nasledujúce dva členy Bernoulliho rovnice pre prvú (horný index ) a druhú (horný index ) voľbu vzťažných bodov, zistíme, že ich číselné hodnoty sa rovnajú. V tomto prípade sa potenciálna energia mení na tlakovú. p p p p z g z g patm patm patm hg patm 4g 5g g 4g 5g Na základe triviálneho riešenia predchádzajúcej rovnice vidíme, že voľba polohy vzťažných bodov nemá vplyv na riešenie nášho problému. Pri riešení problému opäť použijeme Bernoulliho rovnicu, v ktorej vystupuje aj člen označujúci dodávanie mechanickej energie prúdiacej kvapaline prostredníctvom čerpadla. Na základe prijatého úzu, hodnota ε je kladná, ak kvapalina odovzdáva mechanickú energiu (napríklad pri výrobe elektrickej energie v turbíne). Zápornú hodnotu má veličina ε vtedy, keď mechanickú energiu dodáva stroj, napr. čerpadlo, kvapaline. p p zg zg d is Berúc do úvahy spomínané umiestnenie vzťažných bodov a vyjadrenie disipácie mechanickej energie, môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar L zg i d i Ako vidno, získali sme jedinú rovnicu o troch neznámych, ktorými sú súčiniteľ disipácie mechanickej energie trením, rýchlosť prúdenia a množstvo energie, ktoré prúdiacej kvapaline dodáva čerpadlo. Aj keby sme charakteristiku čerpadla vyjadrili ako závislosť h = f(v), získali by sme nedourčený systém nelineárnych rovníc. V tomto prípade nepoužívame iteračný postup riešenia. Stále však platí, že pri vyjadrení hodnoty λ budeme musieť poznať hodnotu Re a preto je potrebné zistiť vlastnosti prúdiacej kvapaliny a tiež zistiť, aká je hodnota súčtu jednotlivých koeficientov miestnej disipácie mechanickej energie. Hustotu a viskozitu vody pri teplote 0 C odčítame v CHIT (tabuľka 0c na strane 4), ,7kgm,, Pa s. Hodnoty koeficientov miestnej disipácie mechanickej energie (CHIT, tabuľka 47a na strane 66) sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke. Armatúra ξ i Počet Spolu Nasávací kôš 7 7 Pravouhlé koleno,6 6 7,56 Uzatvárací ventil 3 3 Priamy ventil 0,8 0,8 Výtok z potrubia Spolu 9,36

29 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Ďalší postup riešenia spočíva v úprave Bernoulliho rovnice na tvar, ktorý sa označuje ako charakteristika potrubia. Charakteristika potrubia vyjadruje závislosť množstva energie, ktoré potrebujeme do systému dodať (napríklad pomocou čerpadla), aby sme dosiahli určitý objemový prietok kvapaliny ( f V ). L h g zg i d L V zg i d i S L zg i 4 d i d A BV A zg L B d i 8 i d 4 i 8V Rovnica charakteristiky potrubia sa podobá na kvadratickú rovnicu bez lineárneho člena. Treba si však uvedomiť, že hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením, ktorý vystupuje v parametri B, závisí od objemového prietoku (rýchlosti prúdenia, resp. hodnoty Reynoldsovho kritéria). Preto sa hodnota parametra B v tejto kvadratickej rovnici pozvoľna mení. Požadovaný údaj, objemový prietok dopravovanej vody, zistíme tak, že vypočítame niekoľko hodnôt množstva energie, ktoré zabezpečia určité objemové prietoky dopravovanej kvapaliny. Z tejto závislosti zostrojíme charakteristiku potrubia a vynesieme ju do spoločného grafu s charakteristikou čerpadla. Priesečník charakteristiky čerpadla a charakteristiky potrubia určuje jednak prepravované množstvo kvapaliny a tiež množstvo energie, ktoré dodá čerpadlo prepravovanej kvapaline. Objemové prietoky pre výpočet charakteristiky potrubia sa obvykle volia podľa toho, aké hodnoty sú uvedené v tabuľke na zostrojenie charakteristiky čerpadla. V /(dm 3 min ) h č /m 9 9,8 0 9,5 8,5 6,8 3,5 ε č /(J kg ) 88,9 96,4 98,0 93,0 83,38 66,7 34,34 Aj keď potrubím netečie žiadna kvapalina, na udržanie hladiny prepravovanej kvapaliny v zásobnej nádrží musí čerpadlo dodávať kvapaline určité množstvo energie (inak by z potrubia samospádom vytiekla) A BV A B0 A zg 49,8 39,4J kg V prípade nenulového objemového prietoku vody, je výpočet potrebného množstva energie trochu komplikovanejší. Pre prvú nenulovú hodnotu objemového prietoku v predchádzajúcej tabuľke platí 3 4V ,546ms d 600, 05 Re d 3 0,05 0, ,7,

30 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Predpokladajme, že potrubie je hydraulicky drsné (dokázali by sme si overiť, či je tento predpoklad správny). V prípade drsného (ale aj hydraulicky hladkého) potrubia môžeme na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením po dĺžke použiť Roundovu rovnicu Re,8log 0,35 Ren 6,5 9734,8log 0, ,5 0, 0365 Vtedy platí L B i 0, ,36,9 0 J kg m s 4 4 0,05 d i d 0, A BV 39, 4, / J kg 6 6 Výsledky výpočtov charakteristiky potrubia spolu s údajmi charakteristiky čerpadla sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke. V /(dm 3 min ) ε č /(J kg ) 88,9 96,4 98,0 93,0 83,38 66,7 34,34 /(m s ) 0 0,546 0,5093 0,7639,086,73,579 Re λ 0,0365 0,0399 0,0375 0,0309 0, ,03040 B 0 6 /(J kg m 6 s ),9.07 0,75 0,58 0,47 0,40 ε /(J kg ) 39,4 4, 50,3 63,4 8,54 04,7 3,8

31 ε č /(J kg ), ε /(J kg ) Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 0 charakteristika čerpadla charakteristika potrubia V V/(dm 3 min ) Na predchádzajúcom obrázku sú znázornené charakteristiky čerpadla a potrubia. Ich priesečník nám umožňuje určiť objemový prietok prepravovanej kvapaliny (,5 dm 3 min ) a množstvo energie, ktoré dodáva čerpadlo kvapaline (8,5 J kg ). Výkon a príkon čerpadla za uvedených podmienok je. 3,5 0 Pv čm čv 8,5 999,7 67,0 W 60 P P 67,0 0,55 303,7 W p v p = p atm z Δz = z z 0 m 0 Tlak vo výtlačnom hrdle čerpadla opäť vypočítame na základe Bernoulliho rovnice, pričom už poznáme objemový prietok prúdiacej kvapaliny. Musíme si však zvoliť iné vzťažné body, pre ktoré výpočet uskutočníme. Kvôli jednoduchosti je asi najvhodnejšie vzťažný bod ponechať ako v predchádzajúcom výpočte a nový vzťažný bod (nazvime ho 0) umiestniť do osi potrubia na výstupe z čerpadla. Táto voľba je graficky znázornená na obrázku p 0 p0 zg z0g dis 0 z 0 studňa p 0 0 V tomto prípade môžeme špecifickú kinetickú energiu v mieste zanedbať vzhľadom na prakticky nulovú rýchlosť prúdenia v priereze studne. Okrem toho môžeme zanedbať disipáciu mechanickej energie v dôsledku trenia po dĺžke, nakoľko dĺžka potrubia od nasávacieho koša po ústie výtlačného hrdla čerpadla je veľmi malá. Podľa nákresu je zjavné, že jediným miestom, v ktorom dochádza k miestnej disipácii mechanickej energie je vtok kvapaliny do nasávacieho koša ( i 7 ). Hodnota súčiniteľa α 0 je, pretože pri uvedenom objemovom prietoku je charakter prúdenia vody turbulentný. Disipácia i 0

32 ε č /(J kg ), ε /(J kg ) Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie mechanickej energie trením v čerpadle je zahrnutá v práci konanej čerpadlom, t.j. aj v množstve energie dodávanej prúdiacej vode. Na základe týchto úvah môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar vhodný na výpočet tlaku vo výtlačnom hrdle čerpadla. p0 p 0 z z0 g dis p p zg i 0 i p p zg p 0 8V 0 i 4 0 i d , ,8 7 8,5999, Pa 0, Záverečná úloha je porovnať, ako ovplyvní množstvo prepravovanej kvapaliny použitie dvoch čerpadiel s pôvodnou charakteristikou zapojených v sérii a paralelne. V prípade sériového zapojenia dvoch rovnakých čerpadiel sa pri konštantnom objemovom prietoku zdvojnásobí množstvo energie dodanej kvapaline, t. j. pri približne rovnakom prietoku dokážeme kvapalinu dopraviť do dvojnásobnej výšky. V prípade paralelného zapojenia dvoch rovnakých čerpadiel sa zdvojnásobí prepravná kapacita (objemový prietok) prepravovanej kvapaliny, pričom kvapalinu dokážeme dopraviť do približne rovnakej výšky, ako v prípade jediného čerpadla. Charakteristiky takto usporiadaných čerpadiel sú uvedené na nasledujúcom obrázku a v tabuľke. 00 dve čerpadlá zapojené v sérii jedno čerpadlo dve čerpadlá zapojené paralelne charakteristika potrubia V V/(dm 3 min ) 40 60

33 Príklady z toku tekutín a dopravy tekutín (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Usporiadanie V /(dm 3 min ) čerpadlo ε č /(J kg ) 88,9 96,4 98,0 93,0 83,38 66,7 34,34 čerpadlá v sérii ε č /(J kg ) 76,6 9,3 96, 86,4 66,8 33,4 68,68 čerpadlá paralelne ε č /(J kg ) 88,9 96,4 98,0 93,0 83,38 66,7 34,34