Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Spojitosť funkcie viac premenných Nech je funkcia f(x) definovaná na okolí bodu A = [a 1, a 2,..., a n], ktorý je hromadným bodom jej oboru definície D(f). Hovoríme, že funkcia f(x) je spojitá v bode A, ak platí lim f(x) = f(a). X A Hovoríme, že funkcia f(x) je spojitá v A vzhľadom na množinu M ak: ɛ > 0 δ > 0; x O δ A M : f(x) f(a) < ɛ Ak je funkcia f spojitá v každom bode množiny M D(f), hovoríme, že je spojitá na množine M.
Spojitosť funkcie viac premenných Nech funkcie f(x) a g(x) spojité v bode A. Potom 1. f(x) je spojitá v A, 2. c 1 f(x) ± c 2 g(x) je spojitá v bode A, kde c i R sú konštanty, 3. f(x) g(x) sú spojité v bode A. 4. Nech platí g(a) 0. Potom f(x) je spojitá v bode A. g(x) 1. Nájdite body nespojitosti funkcie: f : z = x+y x y. 2. Dodefinujte funkciu, ak sa dá, na spojitú v bodoch nespojitosti g : z = arctan y x 2
Spojitosť funkcie viac premenných Funkcia viac premenných, ktorá je spojitá na uzavretej oblasti, má podobné vlastnosti ako funkcia jednej premennej spojitá na uzavretom intervale. Ak je funkcia f spojitá na ohraničenej uzavretej oblasti M E n, potom platí: 1. funkcia f je ohraničená na M, teda existuje také číslo K > 0, že f(x) < K pre každý bod X M. 2. funkcia f nadobúda na množine M svoje maximum aj minimum, teda existuje aspoň jeden bod P 1 M a aspoň jeden bod P 2 M taký, že f(x) f(p 1), f(x) f(p 2) pre každý bod X M. 3. ak A, B sú dva rôzne body z oblasti M také, že f(a) f(b), funkcia f nadobudne každú hodnotu medzi f(a) a f(b) aspoň v jednom bode oblasti M, teda existuje aspoň jeden bod C M taký, že f(a) < f(c) < f(b).
Spojitosť zloženej funkcie Nech funkcie ϕ 1(X),..., ϕ m(x) sú spojité na množine M E n. Nech funkcia f(y ); kde Y = [y 1,..., y m] je spojitá na množine N E m a nech pre každý bod X M je bod Y = [ϕ 1(X),..., ϕ m(x)] z množiny N. Potom aj zložená funkcia f(ϕ 1(X),..., ϕ m(x)) je spojitá na množine M. Zdôvodnite spojitosť funkcie v E 2 f(x, y) = cos(x 2 + y 2 )
Parciálne derivácie Nech f je funkcia n 2 premenných x 1,..., x n definovaná na nejakom okolí bodu A = [a 1,..., a n]. Hovoríme, že funkcia f má v bode A parciálnu deriváciu podla premennej x i, ak existuje limita f(a 1,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n) f(a 1,..., a i 1, a i, a i+1,..., a n) lim. x i a i x i a i Hodnotu tejto limity označujeme f(a) x i alebo f x i (A).
Výpočet parciálnej derivácie Ak je daná funkcia f n-premenných, tak pri počítaní jej parciálnej derivácie podľa premennej x i postupujeme rovnako, ako pri počítaní derivácie funkcie jednej premennej. (Teda použitím vzorcov pre derivovanie elementárnych funkcií a viet pre derivovanie.) Pri derivovaní funkcie f podľa premennej x i budeme funkciu f považovať za funkciu jednej premennej a to premennej x i, ostatné premenné v predpise funkcie f budeme považovať za konštanty. Parciálna derivácia funkcie f je takisto funkciou n-premenných. 1. Zderivujte nasledujúce funkcie podľa oboch premenných: a) f(x, y) = x 2 + xy + 2y 2 b) g(x, y) = arctan (x 2 + y 2 ) c) h(x, y, z) = x sin (y + z) + e x+y+z 2. Určte parciálne derivácie predchádzajúcich funkcií podľa oboch premenných v bode A = [1, 2].
Parciálne derivácie vyšších radov Nech f je funkcia n-premenných, ktorá má na množine M parciálne derivácie f x 1,..., f x n. Parciálna derivácia druhého rádu funkcie f podľa premenných x i ( a x 2 f k je parciálna derivácia podľa x k parciálnej derivácie funkcie f podľa x i. Označenie: x i x k ) 2 f x i x k Ak x i = x k, píšeme 2 f. x 2 i
Zameniteľnosť parciálnych derivácií vyšších rádov Veta Nech f je funkcia n premenných, nech parciálne derivácie f x i a f x j podľa niektorých premenných x i, x j existujú na nejakom okolí bodu A a nech parciálna derivácia derivácia 2 f x j x i 2 f x i x j a platí je spojitá v A. Potom v A je definovaná aj parciálna 2 f(a) x i x j = 2 f(a) x j x i Dokážte, že funkcia z = y + e x2 y 2 vyhovuje parciálnym diferenciálnym rovniciam z xx + z xy = 1 a z xy + z yy = 1
Dotyková rovina Veta Ak funkcia f(x, y) je v bode A = [x 0, y 0] diferencovateľná, tak jej graf má v bode P = [x 0, y 0, f(x 0, y 0)] dotykovú rovinu. Jej rovnica je: z f(a) = f(a) x f(a) (x x0) + (y y 0) y Príklad: Nájdite rovnicu dotykovej roviny ku grafu funkcie f(x, y) = 9 x 2 y 2 v bode P 0 = [1, 2, z 0].
f(x, y) = 9 x 2 y 2 a bod P 0 = [1, 2, z 0 ] 3 2.5 z 2 1.5 1 2 1 0 y 1 2 2 1 x 0 1 2
f(x, y) = 9 x 2 y 2 a bod P 0 = [1, 2, z 0 ] dotyková rovina: τ : x 2y + 2z 9 = 0 8 7 6 5 z 4 3 2 1 2 1 0 y 1 2 2 1 x 0 1 2
Príklad Nájdite bod, v ktorom dotyková rovina ku grafu funkcie f(x, y) = 5 x 2 + 2x y 2 8y je rovnobežná so súradnicovou rovinou R xy. 40 20 0 20 z 40 60 80 100 5 0 y 5 5 x 0 5
Zoznam použitej literatúry Eliáš J., Horváth J., Kajan J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky 3, Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, Bratislava, 1967. Ivan J.: Matematika 2, Alfa, Bratislava, 1989, ISBN: 80-05-00114-2. Kluvánek I., Mišík L., Švec M.: Matematika 1, Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, Bratislava, 1959.