KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i i = Dané komplexné číslo znázornite a nájdite jeho goniometrický tvar 5 i i 5i i f i Vypočítajte zu, z u, zn z = (cos 7π 5 i sin 7π 5 ), u = (cos π i sin π ), n = 5 z = (cos π i sin π ), u = 6(cos π 8 i sin π 8 ), n = 00 5 V obore komplexných čísel riešte rovnicu z = z = z = 8i z = i z = i f z = i 6 Vypočítajt i 0, i 9 ( i) ( i ) 8 ( i) ( i) 6 a) 5 0i, b) 0i, c) 9 7 i, d) a b a b ab a b i, e) i a) x =, y =, b) x = ±, y = 0, c) x =, y = a) 5(cos π i sin π), b) (cos 7 π i sin 7 π), c) (cos 6 π i sin 6 π), d) 5(cos π i sin π), e) ( cos 5 π i sin 5 π ) f) cos π i sin π a) (cos 6 6 5π i sin 5 π), 6 6 (cos 5π i sin 5 π), 9 b) 8 ( cos 5 8 π i sin 5 8 π), ( cos 8 π i sin 8 π), 00 5 a) z k = ( cos k π i sin k π ), k = 0,,, b) z k = ( cos ( π k ) ( π i sin π k )) π, k = 0,,, c) z k = ( cos ( π k ) ( π i sin π k )) π, k = 0,, d) z 0 = i, z = i e) z 0 = i, z = i ) ) f) z 0 = ( i, z = ( i 6 a) i, b), c), d) 8i, e) 6 POLYNÓMY Určte stupeň polynómu f(x) f(x) = x ix f(x) = x 5x f(x) = x x x n, n N Vynásobte a nájdite stupeň súčinu f(x) g(x) f(x) = x, g(x) = x f(x) = x x, g(x) = (x i) Del te (určte podiel a zvyšok) (x ) : (x ), (x x x ) : (x ) (x x x ) : (x ) Daný polynóm rozložte na súčin mocnín ireducibilných polynómov nad R a nad C x x x x x x x x x x f x x 7x x g x 5 x 9x x 5x 5 Pomocou Hornerovej schémy vypočítajte hodnotu f(c), ak f(x) = x x 6x 0x 6, c = f(x) = 6x 7x x, c = f(x) = x 5 ( i)x ( i)x 7, c = i 6 Nájdite takú hodnotu parametra a, že c bude koreňom polynómu f(x) f(x) = x x ax, c = f(x) = x 6 ax x ax a, c = 7 Nájdite násobnosť koreňa c polynómu f(x) f(x) = x 6 x 5 6x 8x 0x 8x 8, c = f(x) = x 5 5x 7x x x 8, c = f(x) = x 5 7x 6x 8x 6x 6, c = f(x) = x 6 ix 5 x x ix, c = i 8 Nájdite všetky racionálne korene polynómu x 7 x 6 6x 5 x 8x 9x x 6x x x
9x x x 9x x 5 x 6x x x 9 Nájdite všetky korene polynómu x 0x 89 x i x 8 6 a), b), c) n a)x 5 x x, 5, b)x ix x ( i)x i, a)(x ) = (x )(x x x ), (zv ) b) (x x x ) = (x )(x ), (zv 0), c) (x x x ) = (x )(x ), (zv 0) Nad R: a) (x )(x ), b) x x, c) (x )(x ), d) (x x)(x x), e) (x x)(x ), f) (x )(x )(x ), g) (x) (x )(x ) nad C : a) (x )(x ), b) (x i 7 )(x i 7 ), c) (x i)(x i)(x ), d) (x i)(x i)(x i)(x i), e) (x )(x i i )(x ), f) (x )(x )(x i)(x i), f) (x ) (x )(x i)(x i) 5 a) 6, b), c) i 6 a) 7, b) 7 a), b), c), d), 8 a),,, b),, d),,,, c),,,, 9 a) ± ± i, b) i, ± i, c) ±, ±i, ± ± i RACIONÁLNE FUNKCIE Napíšte, či je daná funkcia elementárnym zlomkom nad R x x 5x 6 x (x x 5) n, n N x (x ) (x ) Rozložte rýdzo racionálnu funkciu na elementárne zlomky nad R, nad C x 6x x 9x 5 (x )(x 9) (x )(x x 6) x x (x ) x x Danú racionálnu funkciu napíšte v tvare súčtu polynómu a elementárnych zlomkov nad R aj nad C x x x x x x x x x x x x 6x 7 x 6x x x x x x x 6x x x x 7x x 8 (x x ) f x x 9x 5x (x )(x x ) Napíšte tvar rozkladu danej racionálnej funkcie na súčet elementárnych zlomkov nad R, nad C f(x) (x ) (x ) (x x ), stf(x) = 6 x (x ) (x ) a) D = 5 6 = > 0 = nie je, b) D = < 0, st(x ) = = áno, c) nie je, d) áno a) x 6 x 9 nad R, x i b) x (x ) nad R, nad C, c) x 6 (x ) 9 (x ) d) (i/) xi (i/) x i nad C x i i xi nad R, nad C a) (x ) x x x x nad R (x ) x (/) xi (/) x i nad C nad C
b) (x) x, c) (x ) (x ) d) (x ) x (x ) x, e) x x x x (x x) nad R xi i (xi) f) x i x i i xi a) nad R: a fxg x x nad C : a x i x (x x) nad R, i (x i) i (x i) i (x) b (x), a, b, c, d, e, f, g R (xi) nad C nad C c x d (x ) e x (x) b (x) c x d (x ) e x f x (i)/ g x ( i)/, a, b, c, d, e, f, g C b) nad R axb (x ) cxd (x ) exf x l (x) m (x) n x a Nad C : (xi) b (xi) c xi g (x ) h (x ) k x a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n C g (x ) h (x ) k, a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n R d (x i) x e (x i) f x i l (x) m (x) n x, SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC Riešte systémy lineárnych rovní x x = x = 6 x x x = 5 x x = i x = i x x x = x x = 7x = x x x = x x = Napíšte sústavu lineárnych rovníc a množinu všetkých jej riešení, ak jej rozšírená matica je 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 i i 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 ( 0 0 0 ) ( f 0 0 0 0 ) Rozhodnite, či je daná matica stupňovitá 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Riešte sústavy lineárnych rovníc x x = x x = x x 5x = 0 x x x = 7x x x = 5 7x x x = x 6x x = 0x 5x x = x x x = f g x x x = x x x = 5 x x 6x x = x x x x = x x x x = 5x x 9x = 5 x x x 6x = x x 6x x = x 6x x x = 6x x x x = x ( i) x = 9 x x = i h x x x = i x x 7x = i x x x = 8 i 5 Riešte dva systémy s rovnakou maticou pomocou eliminácie na matici 5 x x x = x 5x x = 9 x x x = 9 x x x = 9 x 5x x = 9 x x x = 6 Riešte homogénne sústavy lineárnych rovníc x x x x = 0 x x x x = 0 x x x = 0 x x x x = 0 x x x x = 0 x x x = 0 x x x x = 0 a) (, ), b) (,, ), c) ( i,, i) d) {( a, a, a): a R} a) {( p, p, 0, ): p R}, b), c) ( i, i, i), d) {(a,, 0, ): a R}, e) {( b a, b, 0, a): a, b R}, f) {( p q, p, p, q ) : p, q R } a) áno, b) nie, c) áno
a) (, ), b) (,, ), c) ( 60, 8 80, ) d) (, 0, ) (, e) 0,, ), f), g) (, i), h) (i, i, ) 5 (,, ), (,, ) 6 a) {a(,,, 5): a R}, b) {(0, 0, 0, 0)} 5 MATICOVÉ OPERÁCIE Vypočítajte A, A B, AB, BA (ak existujú) pre matice: 0 A =, B = 0 A =, B = 0 0 A = 0, B = 0, 0 0 0 A = 0, B =, 0 0 K danej matici nájdite inverznú maticu 5 cos α sin α sin α cos α 0 f 5 g 6 5 0 0 0 0 h 0 0 0 0 i 5 0 0 0 j 0 6 5 k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 ( ) 0 a) A =, ( ) 5 0 A B =, AB, BA 0 0 b) A =, A B =, 6 0 AB =, BA =, 0 0 0 c) A = 0, AB = 0, 0 0 6 0 A B, BA d) A = 6 0, AB = 0, 0 0 A B, BA 5 a), b), c), ( ) cos α sin α d), e) 5 7 6 8, sin α cos α f) 0, g), 9 5 0 0 0 0 h), i), 0 0 0 0 7 5 9 5 8 j), 0 69 59 99 59 5 0 0 0 0 0 0 k) 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 6 DETERMINANTY Vypočítajte nasledujúce determinanty,, i 5 5 i 0, a a b b, f sin α cos α cos α sin α Pre maticu A = 5 7 0 0 (a) Vypočítajte hodnoty det A, det A, det A, kde A ij je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním riadku R i a stĺpca S j (b) Vypočítajte hodnoty algebraických doplnkov ã, ã, ã (c) Pomocou výsledkov z častí a), b) vypočítajte det A Platí tvrdenie: Ak A, B C, tak det(a B) = det A det B? Svoje tvrdenie odôvodnit Napíšte hodnotu determinantu, 0 0 0 0 0 5 0, 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 7, 0 0 0 0, f 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0
5 Vypočítajte determinanty 0 0 a b 0 0 c d,, 5 7 a b a b 6 0 7 0 c d c d 0 5 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 7, 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 5 5 5 5 6 Vypočítajte determinanty matíc stupňa n, n > n n n n n n n n n n n n n n n x x x n x x x n x x x n x n x n x n n 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 8 0, 5 0 0 5 0 Zistite aká je dimenzia podpriestoru M R tak, že ho vyjadríte ako lineárny obal lineárne nezávislej množiny M = {(x, x, x, x ) R : x x x x = 0} M = {(x, x, x, x ) R : x x x x = 0, x x = 0} 5 a), b) 0, c) i, d), e) (a b), f) a),,, b),,, c) Ni Návod na odôvodnenie: nájdite maticu A C, pre ktorú det A det A a) 0, b) 0, c) 5, d) 5, e) 5, f) 5 a) 0, b) (ad bc), c) 8, d), e) 9 6 6 a) ( ) n n, b) (x i x j ) j<i n a) nezávislá, b) závislá, c) nezávislá a) nie je, b) je, c) je, a), b), c), d), e) M = {( a b c, a, b, c): a, b, c R} = Lo{(,, 0, 0), (, 0,, 0), (, 0, 0, )}, dim M = M = Lo{(,, 0, 0), (, 0,, )}, dim M = 8 VEKTORY V ROZMERNOM PRIESTORE 7 LINEÁRNA ZÁVISLOSŤ A NEZÁVISLOSŤ V C n Rozhodnite, či sú nasledujúce podmnožiny C lineárne nezávislé, tie ktoré sú nezávislé doplňte na bázu C {(,, ), (,, )}, {(,, ), (,, ), (0, 0, )}, {(,, ), (,, 0), (, 0, 0)}, Zistite, či b je lineárnou kombináciou prvkov množiny {b, b, b }, ak b = (,, ), b = (,, ) b = (,, ), b = (0, 0, )} b = (,, ), b = (,, ) b = (,, 0), b = (0,, )} b = (,, ), b = (,, 0) b = (,, ), b = (0, 0, )} Určte hodnosť matice: 0 0, Vypočítajte skalárny súčin u v a zistite, či je ich uhol α ostrý, tupý alebo pravý u = (,, ), v = i j k u = (,, ), v = i j k u = (,, ), v = i j k Nájdite ortogonálnu projekciu vektora u do smeru vektora v a nájdite zložku kolmú na v u = (, 5, ), v = (, 0, ), u = (,, ), v = (,, ) Ukážte, že A = (,, ), B = (,, ) a C = (7, 0, ) sú vrcholy pravoúhleho trojuholník Pri ktorom vrchole je pravý uhol? Vypočítajte jeho obsah P ABC Vypočítajte u v u = (,, ), v = (0,, ) u = (,, ), v = (,, 6) 5 Nájdite vektor dĺžky kolmý aj na u aj na v u = (,, ), v = (0,, ) u = (,, 0), v = (0,, ) 6 Nájdite obsah trojuholníka ABC A = (, 0, ), B = (,, ), C = (,, ) A = (,, ), B = (5,, ), C = (,, )
6 7 Nájdite objem rovnobežnostena vytvoreného vektormi AB, AC, AD a) A = (,, ), B = (,, ), C = (,, 0), D = (,, ) b) A = (,, ), B = (,, ), C = (0,, ), D = (, 6, ) 8 Vypočítajte a b, ak a =, b = a uhol medzi a a b je 60 a = 5, b = 8 a a b = 9 Vypočítajte (a b) (a b), ak a =, b = a uhol medzi a a b je π 6, a =, b = a a b = a) 0, pravý, b), tupý, c), ostrý a) P v u = 5 (, 0, ), (, 5, ) 5 (, 0, ), b) P v u = (,, ), (,, ) (,, ) Pri vrchole B P ABC = 7 6 a) (,, ), b) (0, 0, 0) ± 5a) 6 (,, ), b) ± 6 (,, ) 6a) 6, b) 7a), b) 5 8a), b) 9a) 5, b) 0 p: x = t, y = t, z = t, t R; ρ: x y 5z 7 = 0 p: x = t, y = t, z = t, t R; ρ: xy 5z = 0 5 Rozhodnite, či sú priamka p a rovina ρ kolmé p: x = t, y = t, z = t, t R; ρ: x y 8z = 0 p: x = t, y = t, z = t, t R; ρ: x 5y z 7 = 0 6 Nájdite parametrické rovnice priamky p, ktorá je priesečnicou rovín a) ρ : x y 7z = 0, ρ : x y z 5 = 0 b) ρ : x 5y z = 0, ρ : x z = 0 7 Nájdite rovnicu roviny prechadzajúcej cez bod (,, ), ktorá je kolmá na priamku x = t, y = t, z = t, t R 8 Nájdite rovnicu roviny ρ prechadzajúcej cez bod (,, ), ktorá je rovnobežná s rovinou xy, xz, x y z = 0 9 Nájdite rovnicu roviny, prechádzajúcej cez bod (,, ), ktorá obsahuje priesečnicu rovín x y z = 0 a x y z = 0 0 Nájdite rovnicu roviny, ktorá je rovinou súmernosti bodov (, -, ) a (,, 5) Nájdite priesečník priamok p: x = t, y = t, z =, t R a q : x = t, y = 6t, z = t, t R p: x = t, y = t, z =, t R a q : x = t, y = 6t, z = t, t R 9 PRIAMKY A ROVINY V PRIESTORE Nájdite všeobecnú rovnicu roviny s normálovým vektorom n, ktorá prechádza bodom P P = (,, ), n = (,, ) P = (,, 5), n = (, 7, ) Nájdite všeobecnú rovnicu roviny prechádzajúcu cez body A, B, C A = (, 0, ), B = (0,, ), C = (,, ) A = (,, ), B = (,, ), C = (,, ) Rozhodnite, či roviny sú rovnobežné x y z = 0, x y 9z = 0 x y z = 0, x 6y z 5 = 0 Rozhodnite, či priamka p a rovina ρ sú rovnobežné a) x y z = 0, b) x 7y z 5 = 0 a) y z = 0, b) x 9y 5z 6 = 0 a) rôznobežné, b) rovnobežné a) nie, b) áno p ρ 5a) áno, p ρ, b) ni 6a) p: x = t, y = t, z = 7t, t R, b) p: x = 5t, y = t, z = 5t, t R 7 ρ: (x ) (y ) (z ) = 0 8a) ρ: z =, b) ρ: y =, c) ρ: (x ) (y ) (z ) = 0 9 x y z = 0 ( 0 x 5 ) y (z ) = 0 a) p q = ( 7,, ), b) p q =