1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a súradnicovými osami sú [ ] ; b) pretože celá plocha leží pod osou x a na osi x jej zodpovedá interval ;, jej obsah vypočítame ako ( x ) ignorujeme dx, pričom znamienko x 9 9 9 = = = = = ( x ) dx x x x ( ) Obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x je 9.
. Vypočítajte objem útvaru, ktorý vznikne rotáciou plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x okolo osi x. O aký útvar sa jedná? a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so súradnicovými osami sú [ ; ] a ; b) pretože celá plocha leží pod osou x a na osi x jej zodpovedá interval ;, objem útvaru, ktorý vznikne jej rotáciou okolo osi x, vypočítame ako ( x ) x ( ) ( ) x dx= x 1x+ 9 dx= 6x + 9x = 9 7 7 9 = 6 + 9 6 + 9 = + = Objem útvaru, ktorý vznikne rotáciou plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x okolo osi x, je 9. dx Jedná sa o kužeľ s polomerom podstavy a výškou /. Jeho objem sme mohli určiť aj rv 9 takto: V = = = =.
. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovou osou y, priamkou x= a grafom funkcie y = x. a) priesečník grafu funkcie so súradnicovými osami je bod [ ; ] b) pretože celá plocha leží nad osou x a na osi x jej zodpovedá interval ;, jej obsah vypočítame ako xdx 1 x x x 16 xdx = x dx = = = = = Obsah plochy ohraničenej súradnicovou osou y, priamkou x= a grafom funkcie y = x je 16.
. Vypočítajte objem útvaru, ktorý vznikne rotáciou plochy ohraničenej súradnicovou osou y, priamkou x= a grafom funkcie y = x okolo osi x. O aký útvar sa jedná? a) priesečník grafu funkcie so súradnicovými osami je bod [ ; ] b) pretože celá plocha leží nad osou x a na osi x jej zodpovedá interval ;, objem útvaru, ktorý vznikne jej rotáciou okolo osi x, vypočítame ako ( x) ( ) x x dx= xdx= = = 8 Objem útvaru, ktorý vznikne rotáciou plochy ohraničenej súradnicovou osou y, priamkou x= a grafom funkcie y = x okolo osi x, je 8. Jedná sa o rotačný paraboloid. dx
5. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovou osou y a grafom funkcie y = sin x. a) priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami sú [ ;] a [ ;] b) pretože celá plocha leží nad osou x a na osi x jej zodpovedá interval ;, jej obsah vypočítame ako sin xdx [ x] ( ) ( ) ( ( )) ( ) sin xdx = cos = cos cos = 1 1 = 1+ 1 = Obsah plochy ohraničenej súradnicovou osou y a grafom funkcie y = sin xje.
6. Vypočítajte objem útvaru, ktorý vznikne rotáciou plochy ohraničenej súradnicovou osou y a grafom funkcie y = sin xokolo osi x. O aký útvar sa jedná? a) priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami sú [ ;] a [ ;] b) pretože celá plocha leží nad osou x a na osi x jej zodpovedá interval ;, objem útvaru, ktorý vznikne jej rotáciou okolo osi x, vypočítame ako ( sin x) dx. u = sin x v' = sin x sin x dx= sin x sin xdx= sin x cos x cos xdx= u' = cos x v= cos x Najprv vypočítame ( sin x) ( ) ( ) sin cos + cos = sin cos + 1 sin = sin cos + sin ( ) ( ) ( sin x) x x xdx x x xdx x x x xdx sin x dx= sin x cos x+ x sin xdx sinx dx= x sinx cosx x sin x cos x dx= ( ) x sin x cos x sin cos sin cos sin x dx= = = = = Objem útvaru, ktorý vznikne rotáciou plochy ohraničenej súradnicovou osou y a grafom funkcie y = sin xokolo osi x, je. Jedná sa o rotačný elipsoid. dx
7. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej grafmi funkcií y = x x a y 5 x x = +. a) vypočítame priesečníky grafov funkcií y = x x a y = 5+ x x x x = 5+ x x = x 6x 9 ( ) ( ) D = 6 9 = 18 D = 18 = 6 = 6 ( 6) ± 6 ± x1, = = + b) pretože na intervale ; je graf funkcie y = 5+ x x nad grafom funkcie y = x x, obsah plochy medzi grafmi + vypočítame ako ( 5+ ) ( ) x x x x dx + + + x ( ) ( ) ( ) 5+ x x x x dx = 9+ 6x x dx = 9x + x = + + + = 9 9 + + = 7 + 7 18 + 5 7 + 16 7 7 18 5 7 16 = + + = 1 1 16 + 16 + + 16 7 16 16 16 + 16 7 + 16 = = 1 1 16 + 16 16 16 = = = 7 1 1 1 Obsah plochy ohraničenej grafmi funkcií y = x x a y x x = 5+ je 7.