APROXIMÁCIA BINOMICKÉHO ROZDELENIA NORMÁLNYM A PRÍKLAD JEJ APLIKÁCIE V AKTUÁRSTVE S VYUŽITÍM JAZYKA R Abstrakt Príspevok sa zamerava na prezentácu lmtných vet v analýze rzka v nežvotnom postení. Jednoducho a prehľadne uvádza teoretcké východská aj praktckú ukážku aplkáce. Numercké výpočty bol realzované v programovom jazyku R. Študent má možnosť použť uvedený zdrojový kód a po voľbe vstupných parametrov aplkáca demonštruje dôležté vzťahy medz bnomckým a normálnym rozdelením. Analýza je podporená grafckým výstupm. Kľúčové slová jazyk R, bnomcké rozdelene, normálne rozdelene, lmtné vety, aktuárstvo, Galtonova doska 1 MOIVREOVA-LAPLACEOVA INTEGRÁLNA VETA Nech náhodné premenné X 1,..., X n sú nezávslé so strednou hodnotou a dsperzou kde 1,,..., n. Potom náhodná premenná E( X ); D( X ) X = X 1 +...+ X n má za určtých podmenok pre dostatočne veľké n asymptotcky normálne rozdelene. Rozlšujeme lokálne lmtné vety (lmta postupnost funkcí hustôt resp. pravdepodobnostných funkcí) a ntegrálne lmtné vety (lmta postupnost dstrbučných funkcí). Tento predpoklad sa využíva v prax. Ak skúmané náhodné velčny v jednotlvých pokusoch nemajú normálne rozdelene, tak s ch súčtom sa pr dostatočne veľkom počte pracuje ako s normálne rozdelenou náhodnou premennou. Lndebergova-Levyho centrálna lmtná veta. Nech X 1,..., X n je postupnosť nezávslých náhodných premenných, ktoré majú dentcký zákon rozdelena s konečnou strednou hodnotou a dsperzou E( X ) ; D( X ) kde 1,,..., n. Defnujme náhodnú premennú Y, ktorá je súčtom náhodných premenných X 1,..., X n, teda platí Y = X 1 +...+ X n 1
Potom normovaná náhodná premenná U Y E( Y ) DY ( ) má asymptotcky normované normálne rozdelene pravdepodobnost, teda U N (0;1). A platí lm P( U u) ( u) n kde ( u) je dstrbučná funkca normovaného normálneho rozdelena. Špecálnym prípadom Lndebergovej-Levyho vety je Movreova-Laplaceova ntegrálna veta. Nech náhodná premenná Y B( n; p ). Potom pre ľubovoľné x platí Y np lm P x ( x) n np q kde ( x) je dstrbučná funkca normovaného normálneho rozdelena. Podľa [1], [3]. PRAKTICKÁ UKÁŽKA APLIKÁCIE Posťovňa v rámc produktu povnného zmluvného postena motorových vozdel odhaduje rzko týkajúce sa portfóla 50 postných zmlúv uzavretých na jeden rok. Posťovňa zstla z hstorckých údajov, že 10 % postencov malo aspoň jednu postnú udalosť za rok. Zstme pravdepodobnosť, že vac ako 1 % postencov v tomto portfólu bude mať počas roka aspoň jednu postnú udalosť. Nech náhodná premenná X predstavuje počet postencov v tomto portfólu s aspoň jednou postnou udalosťou (nahlásenou). Predpokladáme, že sa jedná o nezávslé udalost v súlade s hstórou. Potom X B (50;0,1) Našou úlohou je teda zstť pravdepodobnosť PX ( 30) a teda P( X 30) 1 P( X 30) Za predpokladu, podľa [], že n a n p > 5 môžeme využť aproxmácu normálnym rozdelením kde P( X 30) P( Y 30) Y N (5;,5)
prčom DY EY ( ) 50 0,1 5 ( ) 500,10,9,5 Potom ak Z N (0;1) platí P( Y 30) 1 P( Y 30) 1 P( Y 30) Y 5 30 5 1 P 1 PZ 1, 0541,5,5 1 1, 0541 1 0,85408 0,1459 Spresnť výpočet možno korekcou na spojtosť, podľa [] potom a teda P( X x) P x 0,5 Y x 0,5 P( X 30) P( Y 30,5) PY ( 30,5) = 0,13158 Dostávame pravdepodobnosť, že vac ako 30 postencov v tomto portfólu bude mať aspoň jednu postnú udalosť je 1,3158 %. Možno ukázať, že ak X B (50;0,1) P( X 30) 1 P( X 30) = 0,146714 a môžeme tvrdť 0,146714 0,13158 VYUŽITIE JAZYKA R PRE VÝPOČET V tejto kaptole ukážeme formulácu problému a jeho výpočet pomocou jazyka R. Pre ďalše nformáce o jazyku R pozr napr. []. Pre výpočet PY ( 30,5) dostávame n <- 50 p <- 0.1 k <- n*0.1 mean <- n*p sd<-sqrt(n*p*(1-p)) P1 <- 1-(pnorm(((k-mean+0.5)/sd),0,1)) 0.13158 3
A ak X B (50;0,1), potom pre pravdepodobnosť P( X 30) 1 P( X 30) 1 F(30) dostávame P <- 1 - pbnom(30, n, p) 0.146714 Grafcky môžeme danú stuácu zobrazť nasledovne x<-0:50 plot(dnorm(x,n*p,sd),type="l",ylab="p.m.f. and p.d.f.",xlab="x") lnes(dbnom(x,n,p),type="p") a dostávame grafcký výstup (obr..1), ktorý rovnako potvrdzuje, že pre n platí B( n; p) N( n p; n p(1 p)) Obr..1 Pre komparácu nžše uvádzame aj grafcký výstup, ak by sme uvažoval n = 40 Obr.. 4
Poznámka.1. Aproxmácu bnomckého rozdelena normálnym vysvetľuje aj Galtonova doska (angl. Galton box; bean machne resp. aj quncunx), obr..3. Pre vac nformácí pozr napr. [1]. Použtá lteratúra Obr..3 [1] HORÁKOVÁ, G. HUŤKA, V. 010. Teóra pravdepodobnost 1. Bratslava : Vydavateľstvo EKONÓM, 010. s. 0 ISBN 978-80-5-888-7 [] JONES, O. MAILLARDET, R. ROBINSON, A. 009. Introducton to Scentfc Programmng and Smulaton usng R. New York: CRC Press, 009. ISBN 978-1- 400-687-6 [3] PÁLEŠ, M. 014. Využte centrálnych lmtných vet pr vlastnom posúdení rzka a solventnost. In Vývojové trendy v posťovníctve 014 : recenzovaný vedecký zborník vedeckých prác [elektroncký zdroj]. - Bratslava : Vydavateľstvo EKONÓM, 014. ISBN 978-80-5-3846-6, s. 03-10 CD-ROM. Kontaktné údaje Páleš, Mchal, Ing., PhD., Katedra matematky a aktuárstva, Fakulta hospodárskej nformatky, Ekonomcká unverzta v Bratslave, Dolnozemská cesta 1, 85 35 Bratslava, tel. +41 /67 95 841, e-mal: pales.euba@gmal.com 5