VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV POČÍTAČOVÝCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SYSTEMS EXPLICITNÍ A IMPLICITNÍ METODY PRO NUMERICKÉ ŘEŠENÍ ODR BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR ATTILA CSOLTKÓ BRNO 00
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV POČÍTAČOVÝCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SYSTEMS EXPLICITNÍ A IMPLICITNÍ METODY PRO NUMERICKÉ ŘEŠENÍ ODR EXPLICIT AND IMPLICIT METHODS FOR NUMERICAL SOLUTION OF ODE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR ATTILA CSOLTKÓ Ig. PAVLA SEHNALOVÁ BRNO 00
Abstrakt Tato prác aalyzuj a primtuj s mtodami umrického řší obyčjých difrciálích rovic (ODR). Přdstavuj a srovává jdotlivé mtody. Poukazuj a problmatiku plicitích mtod. Přdvším j zaměřa a výpočt pomocí implicití mtody Taylorovy řady a určí jj vhodého použití a důkazu stability i při tuhých systémch s ukázkovými příklady. Abstract This work is dalig with th aalysis of mthods for solvig ordiary diffrtial quatios (ODE) umrically. I this documt I prst ad compar particular mthods i focus with th possibl wak poits of th plicit solutios. Th major part of my work dals with th problm wh is appropriat to us th implicit Taylor mthod ad prov that this mthod ca bcom stabl i a stiff systm. Klíčová slova Obyčjé difrciálí rovic (ODR), umrické řší, Taylor, Eulr, RK4, Stiff systém, stabilita, plicití, implicití mtoda Kywords Ordiary diffrtial quatio (ODE), umrical solutio, Taylor, Eulr, RK4, Stiff systms, stability, plicit, implicit mthod Citac Csoltkó Attila: Eplicité a implicité mtódy pr umrické riši ODR, bakalářská prác, Bro, FIT VUT v Brě, 00
Eplicité a implicité mtódy pr umrické riši ODR Prohláší Prohlašuji, ž jsm tuto bakalářskou práci vypracoval samostatě pod vdím Ig. Pavly Shalové. Další iformac mi poskytl Ig. Šátk Václav. Uvdl jsm všchy litrárí pramy a publikac, z ktrých jsm črpal. Attila Csoltkó 9.5.00 Poděkováí Tímto bych chtěl poděkovat svému vdoucímu Ig. Pavl Shalové za poskytutou pomoc, strpí a motivaci, za užitčé iformac a rady pau Ig. Václavovi Šátkovi, bz ktrých by tato prác mohla vzikout. Attila Csoltkó, 00 Tato prác vzikla jako školí dílo a Vysokém učí tchickém v Brě, Fakultě iformačích tchologií. Prác j chráěa autorským zákom a jjí užití bz udělí oprávěí autorm j zákoé, s výjimkou zákom dfiovaých případů.. 4
Obsah Obsah... Úvod... Difrciál rovic...3. Obyčajé difrciál rovic...4. Sparácia prmých...4.3 Difrciála rovica homogého tvaru...5.4 Difrciál rovic homogého tvaru, ktoré sa dajú prvisť a homogéy tvar...5.5 Nhomogéa difrciála rovica...6.6 Rády difrciálych rovíc...6.6. Riši difrciálych rovíc vyššiho rádu...7 3 Numrické mtódy pr riši ODR...8 3. Počiatočé úlohy...9 3. Lokála a globála chyba...9 3.. Rád mtódy... 3.3 Viackrokové mtódy... 3.4 Eplicité a implicité mtódy... 3.5 Prdbžá úvaha o istcii rišia... 3.6 Eulrova mtóda...3 3.6. Výpočt s Eulrovou mtódou...3 3.6. Chyba a rád Eulrovj mtódy (opt. h)...4 3.6.3 Implicitá Eulrova mtóda...6 3.7 Taylorova vta...6 3.8 Modifikáci Eulrovj mtódy...7 3.9 Mtódy typu Rug-Kutta...8 3.0 Lichobžíková mtóda...9 3. Odhad chyby. Riadi dĺžky kroku...0 4 Riši ODR a porovai mtód... 4. Dôlžitosť kroku... 4. Rozdily mdzi mtódami...3 4.3 Stiff systémy...8 4.4 A-stabilita...30 5 Aalýza Taylorovj mtódy...3 5. Prsosť...3 5. Porovai implicitých mtód...38 6 Návrh aplikáci...43 6. Implmtácia...43 6. Príklad a použiti...45 7 Závr...47
Úvod Hlavým prdmtom tjto prác sú umrické mtódy pr riši obyčajých difrciálych rovíc, al prdovštkým sa musím zozámiť samými difrciálymi rovicami aby sm ich mohli v ďalších častiach rišiť. Poukážm a rozdily mdzi typmi, zobrazím a prvdim si ich do viacrých tvarov. Ukážm si ako môžm pomocou rovíc prvého rádu rišiť difrciál rovic vyšších rádov. Kď sm si už tito vdomosti osvojili môžm sa zaobrať ich riším, prdovštkým ich umrickým riším, al samozrjm kvôli porovaiu a možosti určovaia chýb ich budm musiť aj aalyticky rišiť. Uvdomím si, ž umrické rišia sú l približé rišia a tak u ich trba počítať odchýlkami. Budm si musiť vybrať počiatočé úlohy a to vhodé rovic aby sa tito odchýlky v rišiach objavili a kryštalizovali. Kď si už budm vdiť vypočítať chyby rôzych typov umrických rovíc budm vdiť im určiť aj rád. Čím viac ich pozám tým ám bud jasjši, ž sú také, ktoré sú založé a mtódach ižších rádov. Jdou ajdôlžitjšou častou tjto prác bud to, ž sa pokúsim dokázať, ž plicité mtódy a prvý pohľad sa kvôli jdoduchému rišiu síc môžu zdať sympatické, al bohužiaľ ich môžm použiť u každého príkladu. Pokúsim sa ájsť takéto príklady, dfiovať ich a pozriť sa či sa implicité mtódy chovajú tiž pri ich riší. Ukážm si aplikáciu, s ktorou si tito výpočty pokúsim uľahčiť, a aj to pri jj implmtácií sm aké problémy musli rišiť, a ako v j grujm vzorc pr viacčlé mtódy. Naučím sa aalyzovať jj výsldky. Zázorím si potrbé grafy aby sm mohli dfiovať výrazy ako A- stabilita a tuhý systém. Dôlžitou časťou bud primtácia s dĺžkami krokov pri riší a odvodi, akým spôsobom ovplyvím týmto približé rišia. V závrčj časti si z aalyzujm Taylorovu implicitú mtódu. Najprv ju porovám zo sbou, l s viacrými člmi aby sm ho potom mohli porovať ostatými implicitými mtódami. Odvodím si jj charaktristiky a určim možosti použitia.
Difrciál rovic V aalýz, v gomtrii, v aalytickj mchaik mohé úlohy vdú k problému, ž trba určiť fukciu jdj albo viac prmých, kď j daý súvis mdzi fukciou, jj sukcsívymi driváciami a závislými prmými. Takýto súvis sa muj difrciálou rovicou. Schlsigr L. [3] Algbraické rovic zazamávajú súvisy mdzi zámymi a zámymi číslami, v ktorých súvisoch vlastosti čísil sa mia, zostaú vždy rovaké. V prírod sa však ajčastjši ukazuj zma, prto sa dá viac použiť tá časť matmatiky, ktorá bri do ohľadu zmu vličí. Difrciálymi rovicami modlujm mohé zákoy rôzych vdckých disciplí, počúc tchickými, koomickými, prírodovdými až po spoločské. Sú to súvisy mdzi prmou, rsp. prmými, fukciou y a driváciou dy, rsp. driváciami. V prípad jdj prmj sú to d rovic tvaru: dy F( y,, ) = 0 d dy Kd = y ' j už driváciou fukci. Tto súvis môž obsahovať aj vyšši driváci. Pri jdj d závislj prmj ozačujm: F yy y y = ( ) (,, ', '',..., ) 0 Formula obsahuj: prmé (jdu albo viac), fukci, koštaty a aj driváci fukcií. Podľa počtu závislých prmých a stupňa driváci rozlišujm rôz typy difrciálych rovíc, ktorými sa zozámim v asldujúcich kapitolách. Pri tjto kapitol som použil iformáci k tórií z litratúry [], [3]. 3
. Obyčajé difrciál rovic Obyčajé difrciál rovic sú častou základého rozdli difrciálych rovíc podľa typu obsiahutých drivácii. Ozačujm ich skratkou ODR albo ODE. Sú to rovic obsahujúc driváci l podľa jdj prmj. Ti, ktoré obsahujú driváci podľa viacrých prmých azývam parciál difrciál rovic. (skratka PDR albo PDE). Rozlišujm št stochastické difrciál rovic (skratka SDR albo SDE) - rovic zahŕňajúc ajmj jd stochastický procs a difrciál algbraické rovic (skratka DAE) - difrciál rovic, v ktorých sa achádzajú aj čisto algbraické vdľajši podmiky. Prsjši, obyčajá difrciála rovica -tého rádu j rovica tvaru () F (, y, y',..., y ) = 0 kd y j záma fukcia. V prípad, ž sm schopý vyjadriť uvdý vzorc vo tvaru () ( ) y = f(, y, y',..., y ) tak hovorím, ž rovica j rozrišá vzhľadom k ajvyššj drivácii.. Sparácia prmých Podľa [3] v prípad kď mám fukciu y = f(), kd j prmá a y fukcia, vtdy z tóri fukcií j zám, ž za určitých prdpokladov práv tak môžm vziať y za prmú a za fukciu = ϕ(y) Vzájomý vzťah vličí a y j vyjadrý matmatickým výrazom y matmatickým výrazom = f() ako aj = ϕ(y). Tto určitý súvis vličí a y umoží itgrovať tak podľa, ako aj podľa y a tto vzájomý vzťah sa po itgrácií zmí. Túto vlastosť fukcií môžm použiť a to, ž v iktorých prípadoch sa dajú výrazy difrciálych rovíc zoskupiť tak, ž v jd skupi sú čly, ktoré obsahujú fukciu vličí y a dy a druhj zas čly, ktoré obsahujú fukciu vličí a d. Kď sa toto podarí hovorím, ž sm prmé v difrciálj rovici sparovali vtdy skupiu, obsahujúcu l prmú, itgrujm podľa a skupiu, obsahujúcu zas l y, itgrujm podľa y. Jda z týchto prmých j vlast fukciou, lbo pr ob platí súvis, vyjadrý difrciálou rovicou. Obyčajá difrciála rovica prvého rádu y' = f(,y) pokiaľ j sparovatľá získa tvar Rovica po oddlí prmých získava tvar dy ghy ( ) ( ) d = dy gd ( ) hy ( ) = 4
.3 Difrciála rovica homogého tvaru Homogéa fukcia -tého stupňa prmých a y má takýto tvar: f( y, ) = a + a y+ a y +... + a y + ay = 0 y y y y y = a0 + a + a +... + a + a = f Difrciál rovic homogého tvaru majú tvar asldujúci: d y + f = 0 dy albo M( yd, ) + N( ydy, ) = 0 y Kd f j racioála fukcia clistvá -tého stupňa a (, ) M y, N ( y, ) sú homogé fukci -tého stupňa prmých a y..4 Difrciál rovic homogého tvaru, ktoré sa dajú prvisť a homogéy tvar Rovic takéhoto typu majú tvar: kd j: Položm: d a+ by+ c = dy a+ by+ c a b 0 a b = z+ h, y = v+ k kd h a k sú koštaty, ktoré majú vyhovovať liárym roviciam ah+ bk+ c= 0 ah+ bk + c = 0 a vtdy difrciála rovica prjd do difrciálj rovic homogého tvaru dv az+ bv =. dz az+ bv 5
.5 Nhomogéa difrciála rovica Nhomogé difrciál rovic prvého radu, čili liár difrciál rovic s pravou straou albo taktiž úplé liár difrciál rovic majú tvar asldový: dy Ay ( ) B ( ) d + =. kd A, ( ) B ( ) sú spojité fukci a B ( ) 0 Liárou difrciálou rovicou (LDR) prvého rádu s pravou straou azývam taktiž ODR tvaru y' = p() y+ q ( ) kd p, q sú fukci prmj dfiovaé a itrval I a q() j rôz od uly pr každé I. Ak sú fukci p() a q() spojité a itrval (a,b), potom fukcia p d y = q ( ) d+ c ( ) p( d ) kd c j ľubovoľá koštata, j riším difrciálj rovic a itrval (a,b). Každým bodom možiy ( ab, ) (, ) prchádza jdiá krivka rovic y' = p() y+ q ( ), ktorú dostam vhodou voľbou koštaty c. Túto fukciu azývam všobcým riším difrciálj rovic. Riším (itgrálom) sústavy difrciálych rovíc j možia fukcií s driváciami potrbého rádu, ktoré vyhovujú vštkým roviciam daé sústavy. Okrm všobcého rišia pozám št partikulár (čiastočé), ktoré získam prirazím určité číslé hodoty každj itgračj koštat obcého rišia, albo sigulár (výimočý) ti rišia, ktoré sa dajú získať z obcého rišia, ktoré sa vyskytujú l u iktorých rovíc a bodoch oboru. Partikulár riši môžm v prípad jdoduchých difrciálych rovíc vypočítať aalyticky. Pričom vo vľkom možstv prípadov j aalytické riši príliš obťiaž a difrciál rovic sa rišia umricky. V tjto časti bola použitá litratúra []..6 Rády difrciálych rovíc Podľa ajväčšj výšky radu drivácii s ulovým koficitom rozpozávam difrciál rovic prvého, druhého,..., -tého rádu. Napríklad: y'' = my j obyčajá difrciála rovica druhého rádu, kým j parciála rovica druhého rádu. z z + z = 0 y y 3 Ak difrciála rovica obsahuj driváci l prvého stupňa, tak ju azývam liárou. Kd ajvyšší stupň fukci albo jj drivácii v j vystupujúcich j, vtdy ju azývam difrciálou rovicou -tého stupňa.[3] 6
.6. Riši difrciálych rovíc vyššiho rádu Podľa pozatkov s [] obyčajú difrciálu rovicu -tého rádu s začiatočými podmikami () ( ) y = f(, y, y',..., y ), y( ) = y, y'( ) = y',..., y ( ) = y ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 môžm prvisť a sústavu difrciálych rovíc prvého rádu, a to asldujúcim spôsobom: Ozačím y = y, y = y',..., y = y ( ) Podľa zadaé difrciálj rovic má platiť y'. Potom zrjm platí, ž = y, y' = y3 () ( ) y = f(, y, y',..., y ), atd. kď to y' prvdim a aš ozači získam vzorc = f(, y, y,..., y ). Takýmto spôsobom sm získali sústavu difrciálych rovíc prvého rádu: y' y' = y = y 3... y' = f(, y, y,..., y ) y( ) = y 0 0 y( ) = y' 0 0 y( ) = y ( ) 0 0... ktorú môžm rišiť akoukoľvk mtódou pr riši sústav difrciálych rovi. Riším pôvodj rovic -tého rádu j potom prvá zložka riší sústavy. Príklad: Difrciálu rovicu druhého rádu s počiatočými podmikami y'' = y y' y( 0 ) =, y'0 ( ) = prvdim a sústavu dvoch rovíc prvého rádu. Ozačím z = y'. Sutaa rovíc prvého rádu potom bud vypadať asldov: ( ) ( ) y' = z y0 = z' = y z z 0 = 7
3 Numrické mtódy pr riši ODR Difrciál rovic sú jdým z ajčastjších matmatických prostridkov, ktoré používam k popisu ajrozmaitjších procsov z oblasti fyziky, biológi, koómi a rady ďalších oborov. V prdošlých kapitolách sm sa zozámili s iktorými typy rovíc, ktorých riši sa dá ájsť aalyticky. V praktických problémoch sa však vyskytujú aj zložitjši rovic a iktoré z ich sú aalyticky rišitľé l obťiaž a iktoré aalyticky vyrišiť jd. Sm prto útí vľmi často využívať pr riši difrciálych rovíc približé mtódy, V tjto kapitol sa budm vovať tým približým mtódam, ktoré radím mdzi umrické približé mtódy. Pomocou týchto mtód hľadám umrické riši l a zvolj moži bodov v daom itrvalu. Itrpoláciou z týchto hodôt potom môžm ájsť približé hodoty riší takisto pr ostaté body zo zvolého itrvalu. Spoločým zakom vštkých týchto mtód j, ž riši hľadám ako spojitú fukciu, dfiovaú a clom skúmaom itrvalu ab,, al hodoty približého rišia počítam l v kočom počtu bodov a = 0 < < < = b. Týmto bodom hovorím uzlové body albo uzly,,..., hovorím siť. Rozdil h i = i+ isa azýva krok sit v sit a moži { } 0 uzlu i. Približé hodoty riší v uzlových bodoch, vypočítaé jakou umrickou mtódou, budm začiť y, 0 y,..., y, a rozdil od hodôt prsého rišia, ktoré budm začiť y( 0), y( ),..., y( ). Pri tjto kapitol som použil zdroj [], [], [4]. Príklad: Obrázok : Prsé (plá čiara) a približé riší difrciálj rovic (krúžky) [] Krok h mdzi jdotlivými uzlami bol koštatí bola použitá pravidlá siť. 8
3. Počiatočé úlohy Obyčajé difrciál rovic prvého rádu zo zadaou počiatočou podmikou: y' = f( y, ), y ( ) = y 0 0 Základom, z ktorého vychádza väčšia umrických mtód rišia začiatočých úloh j diskrtizácia prmých. Zamá to, ž približé riši sa koštruuj ako spojitá fukcia, al postup sa pr možiu avzájom rôzych bodov 0, (bod, v ktorom j daá začiatočá podmika),,,... hľadajú čísla y 0 (hodota začiatočj podmiky), y, y,..., ktoré aproimujú hodoty y( 0 ), y( ),... prsého rišia v bodoch sit 0,,.... Body sit (uzly) musia byť kvidistaté to jst vzdialosť mdzi imi, tzv. krok mtódy h i = i + i môž závisiť a i. Pritom aproimácia y prsého rišia y( ) v bod sa počíta z hodôt približého rišia v už vypočítaých uzloch. Týmto mtódam hovorím mtódy diskrétj prmj albo difrčé mtódy. Mtóda, ktorá k tomuto rišiu používa rkurtý vzťah, v ktorom j y + vyjadrá pomocou k hodôt y,y -,,y +-k sa azýva k-kroková mtóda. Ak j k=, hovorím o jdokrokovj mtód. [] 3. Lokála a globála chyba Ako sm už zmiili v prdošlých častiach u umrický mtódach sa jdá o približé mtódy. To zamá, ž dosiahuté výsldky budú stoprct prsé. U každj mtód budm musiť počítať s jakou chybou, a v ašj práci bud zohrávať vľmi dôlžitú rolu, lbo ám bud určovať prsosť mtódy a umoží ám ich porovávať. V tjto časti sa zozámim s typy jdotlivých chýb. Obrázok : Na obrázku môžm vidiť príklad Eulrovj mtódy (podrobjši sa zozámim v ďalších častiach) ako sa odchyľuj od prsého rišia a ako sa chyba zvyšuj každým krokom. Šdé šípky ukazujú smrové pol.[] 9
Jak sm sa v prdošlj časti dozvdli, pri umrických riší počiatočých úloh môžm vypočítať približou hodotu riší v ďalšom uzlovom bod pomocou hodoty rišia v uzlovom bod prdchádzajúcom. Takýmto mtódam hovorím mtódy jdokrokové. U iktorých iých mtódach postupujm dômysljši a využívam iformáci z ikoľkých prdošlých krokov. Tito mtódy azývam mtódy viackrokové. J vclku jasé, ž akoľko sa priblížim k prsému rišiu, závisí a diaľk kroku h, ktorý použijm. Základú vlastosť, ktorou od použitľé umrické mtódy požadujm, j, aby umrické riši získaé touto mtódou pr h 0 kovrgovalo k prsému rišiu daé úlohy. Povdzm, ž mtóda j kovrgtí, kď pr ľubovoľú počiatočú úlohu platí pr každé ab,, ž lim y= y ( ),kd = 0 + h h 0 U každj mtódy j dôlžitá otázka, jak sa približé riši získaé touto mtódou líši od rišia prsého albo ako vypadá globála diskrtizačá chyba. i = y( i) - y i Pr získai prdstavy o globálj diskrtizačj chyb sa musím ajprv zozámi s takzvaou lokálou diskrtizačou chybou daé mtódy. J to chyba, ktorj sa dopustím v jdom kroku daé mtódy za prdpokladu, ž vštky hodoty, ktoré sm pri výpočtu použili, boli prsé. Lokálu diskrtizačú chybu v i-tom uzlu budm začiť di. Na obrázku 3 vidím globálu diskrtizačú chybu i a lokálu diskrtizačú chybu d i u približého rišia získaého Eulrovou mtódou. [] Lokála chyba Eulrovj (aj hocijakj ij jdokrokovj) mtódy v uzlu i j rozdil približého rišia a rišia, ktoré splňuj počiatočú podmiku y( i-) = y i- Pri umrických riší difrciálych rovíc sa dopúšťam lokálj diskrtizačj chyby v každom kroku. Globála diskrtizačá chyba j vtdy výsldkom azhromaždia lokálych chýb, pričom trba brať do úvahy, ž každý krok vychádza z hodôt, ktoré už sú zaťažý chybou z prdošlého pribhu. J žiaduc, aby u daj mtódy dochádzalo ku katastrofálj akumulácii lokálych diskrtizačých chýb. Tória z []. 0
3.. Rád mtódy Pr popis rýchlosti kovrgci mtódy používam pojm rád mtódy. Zhruba povdaé j rád mtódy prirodzé číslo p také, ž pr malé h j lokála diskrtizačá chyba di rádovo vľkosti h p+. U jdokrokových mtód p-tého rádu sa dá dokázať, ž globála diskrtizačá chyba j rádovo vľkosti h p. Eulrova mtóda j rádu prvého, čo v ďalších častiach budm dokazovať. [] 3.3 Viackrokové mtódy Prdošlých častiach sm hovorili o jdokrokových mtódach, kd pri výpočt postupujm pomocou hodoty rišia prdošlého uzlového bodu. U viackrokových mtódach j hodota y + vypočítaá z prdošlých hodôt y i. Rspktív f i, i = 0...k, prtož pritom používam il hodoty približého rišia, al taktiž hodoty pravj stray f(, y) v týchto bodoch, budm používať ozači fj = f(j, yj). Obc vypadá liára k-kroková mtóda takto: y = ay + ay +... + ay + hbf ( + bf +... + bf ) albo + k k+ 0 + k + k r y = α y + h β f + i i j j i= 0 j= kd k j prirodzé číslo a aspoň jda z koštát a k, b k j rôza od uly. Zrjmou výhodou k-krokovj mtódy j, ž riši v prvých k uzlových bodoch 0,..., k musím získať jakým iým spôsobom. K tomuto účlu sa spravidla používa jdokroková mtóda takého istého rádu prsosti, aký má ďalj použitá viackroková mtóda. 3.4 Eplicité a implicité mtódy Kď sa b0 = 0albo β = 0 v mtódach v prdošlj kapitol, tak ju azývam plicitým. V tomto prípad môžm hodotu v ovom uzlovom bod priamo vypočítať dosadím do vzorca. V iých prípadoch kď b0 0 albo β 0, mtóda sa azýva implicitá. Tak sa a pravj stra rovic okrm zámych hodôt vyskytuj taktiž f + = f( +, y + ), takž y + môžm vypočítať priamo, al v každom kroku musím rišiť rovicu y = hb f(, y ) + g + 0 + + s zámou y +, kd g = ay + h bf k j + j j + j j= j= k s zám číslo (v každom kroku ié). V prípad iktorých pravých strá f túto rovicu vyrišim prs, obc j však potrba túto rovicu ršit umricky, väčšiou mtódou jdoduchj itráci. Táto výhoda j však vyvážá priazivými vlastosti implicitých mtód. Tito mtódy sú pri daom k prsjši a sú taktiž stabiljši ako plicité mtódy, prtož plicité mtódy sa môžu stať stabilým pri vľkých, ako budt vidiť v ďalších častiach.
3.5 Prdbžá úvaha o istcii rišia V asldujúcich častiach sa budm podrobjši zaobrať jdotlivými umrickými mtódami rišia difrciálych rovíc. Prdovštkým však musím pouvažovať či difrciála rovica: dy y' = = f( y, ) (A) d má vždy riši, albo či v každom prípad jstvuj roviá čiara, určá touto rovicou. Hor uvdou rovicou j určý smrový tags hľadaj rovij čiary y(). Kď vzmm pravouhlú súradicovú sústavu o osiach a y, vtdy d dy = 0 y= y 0 = f(, y ) zamá určitú albo určitú hodotu. V prvom prípad smrový tags tčy pri čiar y() v bod o súradiciach 0, y 0 môžm určiť. Avšak tča obsahuj aj dosť blízky bod tjto čiary o súradiciach 0 + =, y0 + y = y, prto a základ (A) môžm zas určiť smrový tags a tak aj tču v ľubovoľ blízkom bod tjto čary. Kď takto postupujm ďalj a spojím úsčkami vždy dva susdé body, dostam schodkovú čiaru, ktorá k hľadaj čiar difrciálj rovic (A) sa môž priblížiť tak prs, ako l chcm. Tým j hrubo azačé, ž taká čiara albo riši difrciálj rovic (A) jstvuj. Toto riši j také, ž pri 0 má hodotu y 0, t.j. roviá čiara y(), určá difrciálou rovicou, musí prhádzať začiatočým bodom P 0 ( 0,y 0 ), prto riši difrciálj rovic závisí št aj od začiatočého bodu, od začiatočj podmiky. Táto podmika zodpovi ľubovoľj koštat, ktorá sa vyskytuj pri riší itgráciou. Ak túto podmiku vzmm za paramtr, riši difrciálj rovic zamá gomtricky sústavu roviých čiar. Toto riši okolitých bodov, určých začiatočou hodotou, ktoré sú jho rgulárymi bodmi, j holomorfé, t.j. jdozačé, spojit a kočj hodoty. Kď rovica (A) pri určitých hodotách, y spojit za sbou asldujúcich má určitú hodotu, vtdy v bod, určom týmito hodotami, gomtrická čiara má siguláry bod.[3] 0 0
3.6 Eulrova mtóda Eulr použil prdchádzajúcho paragraf a to, aby mohol určiť približé riši difrciálj rovic (A). K tomu trba určiť difrciál y. Tto dostam, kď fukciu y()=f() rozviim podľa Taylorovho radu v okolí začiatočého bodu P 0 ( 0,y 0 ), ktorý môž byť sigulárym bodom a dostam: kd sú: albo 3 () (3) y0 = F'( 0) + F ( 0) + F ( 0) +...,! 3! F'( ) = d = f( y, ), dy f f F () ( ) = + f = f + fy f dy F ( ) = f + f f + f f + f ( f + f f). (3) y yy y y df y'' = ( y, ) = f( y, ) + fy( yy, ) ' = f( y, ) + fy( y, ) f( y, ) d kd id rspktív y zamá parciálu driváciu vzhľadom k albo y. Trtiu driváciu sa dá aalogicky získať: y''' = f + ff + f f + f f + ff y yy y y V špciálych prípadoch sa používa táto mtóda Taylorov rozvoj. Kď j fukcia f v rovici (A) difrcovatľá do dostatoč vysokého rádu. Iformáci o Eulrovj mtód som črpal z []a [3]. 3.6. Výpočt s Eulrovou mtódou Eulrova mtóda j ajjdoduchšou mtódou a umrické riši difrciálych rovíc. Postup od daj začiatočj dvojic hodôt 0, y 0, ktoré určujú začiatočú podmiku úlohy, sa určujú hodoty, y,,, y asldov: Zvolím počiatočý krok h 0 a hodota bud potom = 0 + h0. Potom vypočítam hodotu y. Najskôr ájdm pr hľadaú fukciu y() Taylorov polyóm prvého stupňa v bod 0. Pri prdpokladu, ž ami zvolý krok h 0 j malý, y ( ) y ( ) + hy' ( ) 0 0 0 V tjto aproimácii traz ahradím hodotu y ( 0 ) hodotou f( 0, y 0) z pôvodj rovic a dostávam: y ( ) y ( ) + hf(, y ) 0 0 0 0 3
Na základ tjto úvahy vypočítam traz y takto: y = y + hf(, y ) 0 0 0 0 Z vyšši uvdého vyplýva, ž hodota y bud aproimovať prsú hodotu y( ), a postup môžm zopakovať pr, y atď. Rkurt dostávam: Ak mám vypočítaé hodoty, y pr jaké, zvolím h a potom = + h, y = y + hf(, y ). + + Pr kvidistatý krok h to jst h h,,, 0 = h h dostávam schému = + h, y = y + hf(, y ) + + 3.6. Chyba a rád Eulrovj mtódy (opt. h) Zaujíma ás, s akou prsosťou sm vypočítali hodoty zámj fukci y() v bodoch,...,, tda aký j rozdil y ( ) y, aproimácia a kovrgcia mtódy, rád rýchlosti kovrgci mtódy. Lokála diskrtizačá chyba (d ), ktorj sa dopustím v jdom kroku výpočtu Eulrovj mtódy, to jst chybu, s akou hodoty prsého rišia spĺňajú rkurtý vzťah: y ( + ) = y ( ) + hf(, y ) + d Mradlom, ako prs aproimuj postuposť hodôt y, y,, y prsé riši daj začiatočj úlohy, j globála diskrtizačá chyba. Začím ju ako sm sa už prdošlých častiach dozvdli = y ( ) y. V stručosti zopakujm, ž rád mtódy j ajväčši prirodzé číslo p také, ž pr daú mtódu aplikovaú a ľubovoľú začiatočú úlohu s dostatoč hladkým riším. Riši j spojitá fukcia, ktorá má aj spojité driváci prvého a prípad vyšších rádov. Platí pr ľubovoľé a h 0 odhad d = Oh + p ( ) Ozači a= Oh ( ) zamá, ž istuj také číslo C > 0, ž a Ch. Rád Eulrovj mtódy odvodím opäť vľmi ľahko použitím Taylorovho radu a jho zvyšku. Mám Prto Ak j y ohraičá, potom d = y ( ) y ( ) hy' ( ), + y ( + ) = y ( ) hy '( ) + hy ''( ψ), pr ψ (, + ). d ( ) d = hy ''( ψ ). al dostatoč hladká fukcia, iak sa rád mtódy zíži. = Oh a tda Eulrova mtóda j prvého rádu. Riši musí byť 4
Odvodím traz globálu chybu Eulrovj mtódy pr prípad kvidistatého kroku, to jst h = h = h = = h Odčítam rovic algoritmu Eulrovj mtódy a lokálj chyby: : 0 Mám y = y + hf(, y ), + y ( ) = y ( ) + hf(, y ) + d + = + h( f(, y ( )) + f(, y)) + d. Ku globálj chyb sa tak v každom kroku pripočíta lokála diskrtizačá chyba, a prto sa v globálj chyb + prjavia prsosti miulých diskrtizačých krokov. V prípad, ž fukcia f j l fukciou prmj a tda závisí a y(), ihď dostávam N N = d = 0 tda N Kďž už z vyšši uvdého vim, ž lokála chyba j typu Oh ( ) a N 0 = Nh, h N 0 =, dostávam N = Oh ( ) čiž globála diskrtizačá chyba j mšia ako Ch pr jaké rál číslo C > 0. Nsmim zabudúť ai o vplyv zaokrúhľovacích chýb, kd zahrňujm vštky prsosti spôsobé ralizáciou algoritmu v počítači, vráta prsého vykoávaia aritmtických oprácií. Podob ako mpirické chyby vo vstupých údajoch, aj zaokrúhľovacia chyba má áhodý charaktr, a prto i j ľahké ju vyštriť. Nch ε j maimála zaokrúhľovacia chyba v jdom kroku Eulrovj mtódy. Ozačili sm y skutočé približé riši a traz ozačm y približé riši, ktoré skutoč vypočítam a ktoré sa od rišia y líši vplyvom zaokrúhľovacích chýb. Takéto riši potom spĺňa pr kvidistatý krok rovicu y = y + hf(, y) + + ε, = 0,, Clková chyba vzikutá zaokrúhľovaím bud tda Nε, kd N j posldý krok, ktorý sm vypočítali. Z vľkosti N, ktorú sm odvodili vyšši, vidím ž clková zaokrúhľovacia chyba ε ( N 0 ) bud. Prto clková chyba výpočtu v bod bud súčtom globálj diskrtizačj h chyby (chyby mtódy) a globálj zaokrúhľovacj chyby: ε ( N 0) y ( N) yn Ch+ : = gh ( ) h isté h opt ε( N 0 ) Fukcia g bud miimála pr h= C. Tda chyba bud miimála pr. Ďalším zmšovaím h ám budú arastať zaokrúhľovaci chyby ( kroky budú mši, a prto ich bud viac). Ak zvolím h väčši ako j h opt bud zas prvládať chyba diskrtizačá. Tto jav j typický aj pr ié difrčé mtódy. 5
3.6.3 Implicitá Eulrova mtóda Vzorc implicitj mtódy, azývaj tiž ako backward Eulr mthod j asldový: y = y + hf(, y ) + + + Ako vidím vo vzorci vystupuj y + a ako u každj implicitj mtódy všobcosti riši difrciálj formuly vdi k liárj algbraickj rovici, ktorú môžm rišiť apríklad Nwtoovou itráciou. J tiž mtódou prvého stupňa, al jj výhodou j, ž pri j môžm použiť väčši h a udržať pri tom stabilitu aj pri takzvaých stiff systémy. S stiff rovicami, u ktorých sa iktoré mtódy chovajú stabil, sa podrobjši zozámim s ďalších častiach. Musím tda pouvažovať o tom, pri vdomí toho, ž výpočt implicitých mtód j ovľa áročjší ako pri plicitých mtódach, v akom prípad mtódu použiť. 3.7 Taylorova vta Eulrova mtóda ako aj ié mtódy sú rozviuté podľa Taylorovho radu, tak si povim pár slov o j. Mtódy a pricíp aproimáci fukci Taylorovým polyómom, volám mtódy Taylorovho typu. Tito môžu byť aj vyšších rádov ako j Eulrova mtóda, a druhj stra zas trba počítať aj driváci daj fukci. Tito mtódy sú prto prsjši, ako j Eulrova, al sú aj omoho prácjši. Nch fukcia f má v bod a vštky driváci až do rádu. Potom mohočl prmj ( ) f ( a) f ( a) f ( a) T ( f, a, ) = f( a) + ( a) + ( a) + + ( a) =!!! k k f ( a) k d f( a, ) = ( a) = k! k! k= 0 k= 0 volám Taylorov mohočl (polyóm) fukci f v bod a. Taylorova vta vyjadruj fakt, ž spomdzi vštkých mohočlov stupňa mšiho albo rového práv mohočl T (,, ) f av ajlpši aproimuj hodoty fukci f v blízkom okolí bodu a. Taylorova vta: Nch fukcia f má v itrval ab, spojité driváci ( ) a driváciu f, f,, f itrval ( ab, ). Potom pr každé ab, istuj také číslo r ( a, ), ž platí ( + ) f () r f( ) = T ( f, a, ) + ( a) ( + )! Všimim si: Pr hodoty blízk číslu a j posldý čl (zvyšok) blízky 0 a prto f( ) T ( f, a, ) pr z blízkho okolia čísla a. V prípad =0 sa Taylorova vta zhoduj s Lagragovou vtou o strdj hodot, ako sm sa dozvdli z []. + f ( + ) v 6
3.8 Modifikáci Eulrovj mtódy Pri modifikáciách Eulrovj mtódy budm postupovať podob ako u Eulrovj mtódy. Najprv vypočítam pomocé hodoty k a k a pomocou ich potom približú hodotu rišia v ďalšom uzlovom bod. U prvj modifikovaj Eulrovj mtód počítam podľa vzorca: k = f(, y ) k = f( + h, y + hk ) y = y + hk + u druhj modifikáci podľa vzorca: k = f(, y ) k = f( + h, y + hk ) y+ = y + h(k+ k) Obidv modifikovaé Eulrové mtódy sú druhého rádu. Gomtricky sa dá tito mtódy itrprtovať podob ako Eulrovu mtódu. Na obrázkoch 4 a 5 vidím jd krok prvj, rsp. druhj modifikovaé Eulrovj mtódy.[] U prvj modifikáci ajprv ájdm pomocý bod P, a to asldujúcim spôsobom. Z bodu [, y ] idm po priamk zo smricou f(, y ), tj. takisto ako u Eulrovj mtód, al dôjdm l do bodu s -ovou súradicou + h/. Približou hodotu rišia v bod + potom získam tak, ž z bodu [, y ] pôjdm takisto po priamk, al zo smricou určou smrovým polom v bod P, kým dôjdm do bodu s -ovou súradicou +. U druhj modifikáci skoštruujm dva pomocé body P a P. Bod P dostam jdým krokom obyčajj Eulrovj mtódy. Bod P potom získam tak, ž z bodu [, y ] pojdm po priamk zo smricou daou smrovým polom v bod P do bodu s -ovou súradicou +. Nový bod [ +, y + ] potom bud lžať v strd úsčky PP.[] 7
3.9 Mtódy typu Rug-Kutta Mtódy typu Rug-Kutta sú jdou z ajdôlžitjších skupí jdokrokových mtód, sú vľmi uivrzál a v tchickj prai užitočé prto sa používajú vľmi často. Tiž sú v podstat založé a Taylorovom rozvoji fukci, al priamo tak, aby sm musli určovať hodoty drivácií fukci - tito sa aproimujú výpočtom samotj fukci vo vhod zvolých stratgických bodoch. Zo dvoma jdoduchými príkladmi mtód Rug-Kutta, prvou a druhou modifikovaou Eulrovou mtódou, sm sa už zozámili v prdchádzajúcj kapitol. Obcý tvar mtódy typu Rug-Kutta j y = y + hwk ( + + + wk s s), kd k = f(, y ) i k = f( + α hy, + h β k ), i =,..., s i i ij j j= a w i, αi a βij sú koštaty zvolé tak, aby mtóda mala maimály rád. U prvj modifikovaj Eulrovj mtód bolo w = 0; w = ; α = a β =, u druhj modifikáci w = w = ; α = a β =. Najzámjšia j asldujúca mtóda Rug-Kutta 4. rádu. Často, hovorí sa o mtódy typu Rug-Kutta, myslí sa tým práv táto kokréta mtóda. h y+ = y + ( k+ k + k3 + k4) 6 k = f y (, ) (, ) 4 3 h h k = f +, y + k h h k3 = f +, y + k k = f + hy + hk V asldujúcom častiach budm porovávať mtódy a uvidím, ž riši získaé mtódou Rug-Kutta 4. rádu j oproti rišia pomocou Eulrovj mtódy podstat prsjšia. Nvýhodou j, ž v každom kroku musím štyrikrát počítať hodotu fukci f. Obc pri vyšších rádoch m>4 j vždy trba viac ž m dosadí. 8
3.0 Lichobžíková mtóda Lichobžíková mtóda svoj ázov dostala od pravidla, ktoré j v j použité a itgráciu, tzv. lichobžíkové pravidlo. Má vclku jdoduchý vzorc: = + h + y = y + hf [ (, y ) + f(, y )]/ + + + al ako môžm vidiť tiž id a implicitú mtódu, takž pri jj riší musím byť pripravý a zvláduti liárj algbraickj rovic. Táto lichobžíková mtóda spolu zo implicitou Eulrovou mtódou sú prvými dvoma člmi rodiy Adams-Moulto pr riši ODR. Obrázok 6: Lichobžíkové pravidlo Pr zvýši prsosti sa itrval <a, b> rozdlí a m mších itrvalov dĺžky h = (b a)/m. Na každom mšom itrval sa použij lichobžíkové pravidlo. [] Platí b f( d ) = f( d ) + f( d ) +... + f( d ) B m a 0 m h h h B ( f ( 0) + f ( ) ) + f ( ) + f ( ) + + f + f ( )... ( ( m ) ( m) ) takž b f( d ) B h f( 0) + f( ) +... + f( m ) + f( m) a Zo vzorca vidiť, ž čím viac itrval <a, b> adlím, tým prsjší bud výsldok. 9
3. Odhad chyby. Riadi dĺžky kroku Tortické odhady chýb u jdokrokových mtód sa líši od prai. V prai sa väčšiou používa takzvaá mtóda polovičého kroku. Zjdoduš ju môžm popísať: Majm umrickou mtódu pr riši počiatočých úloh, ktorá j rádu p. Prsé riši úlohy budm aďalj začiť y(), al ako y(,h) ozačím približou hodotu rišia v bod, ktorou sm dostali použitím ašj umrické mtódy s krokom h. Prtož mtóda j p-tého rádu, pr chybu platí kd c závisí a, al a h i, lbo y ( )- y (, h) B c h p y ( ) B y (, h) + c h. p platí Do takého istého bodu sa môžm dostať aj pomocou polovičého kroku. V tomto prípad p h h y ( ) B y, + c Rovici môžm vyásobiť p a odpočítať od prdošlj rovic. Tím sa vylúči čl obsahujúci zámou koštatu c a po mirj úprav dostam ové približé vyjadri y(), p h y (, ) - y (, h) y ( ) B, (B) p - ktoré j prsjši ako obidva približé hodoty y(,h) a y(,h/). Z posldého vzťahu môžm vyjadriť chybu v bod pr krok h/ rsp. pr krok h h h y ( ) - y, B y, - y (, h) p - p h y ( ) - y(, h) B y, - y (, h) p - Tto vzorc pr odhad chyby sa dá použiť pr riadi dĺžky kroku h. Vypočítam vždy približú hodotu rišia v bod i jdým krokom mtódy s použitím kroku h a dvoma kroky mtódy s použitím kroku h/. Potom môžm pomocou týchto dvoch hodôt odhadúť chybu. Kď j príliš vľká, vrátim sa do prdchádzajúcho uzlového bodu a pokračujm s polovičým krokom, iakšom prípad, kď j chyba vzhľadom k ašim požiadavkám a prsosť príliš malá, pokračujm ďalj s väčším krokom, apr. dvojásobým. Ako výsldú aproimáciu potom môžm vziať kombiáciu oboch hodôt vypočítaých podľa vzorca (B). Tato mtóda j dosť práca, al účiá. V prai sa tiž pr riadi dĺžky kroku používa kombiácia dvoch rôzych mtód. Približé riši v bod i ájdm dvoma rozličými jdokrokovými mtódami. Na základ týchto dvoch výsldkov j odhadutá chyba. V prípad, ž j dostatoč malá, môžm pokračovať, kď j príliš vľká, vrátim sa a pokračujm s mším krokom. 0
4 Riši ODR a porovai mtód Kď sm sa už zozámili jdotlivými mtódami, ktoré budm skúmať, j ačas aby sm ich porovali a zistili, ktoré v akých okolostiach sa dajú používať. Iformáci o mtódach v prdošlých častiach a ámt pr príklady som črpal z skrípt []. 4. Dôlžitosť kroku Vzmim si jdoduchý príklad počiatočj úlohy y' = y, y(0) = a rišm plicitou Eulrovou mtódou pr ODR a itrval <0;.5> v prvom prípad pr h=0.65 a potom pr h=0.5. Na riši použijm vzorc (3.6.), dosadím hodoty a tým dostam ďalší vzorc: y = y + + 0,65( - y), = 0,..., 4 pomocou, ktorého už ľahko vim vypliť dolú tabuľku. y\eu- y() 0 0 0.65 0.375 0.60536357.5 0.38476565 0.77599503 3.875.0849609.670033 4.5.675849 3.679500 Riadok y() j prsé riši v daých uzlových bodoch, ktorú sm dostali použitím aalytického rišia z dol uvdj rovic, a požijm ju a výpočt chyby: y - ( ) = - + - + Podobou mtódou vypočítam hodoty aj pr krok h=0.5 a výsldky zapíšm do grafu: 3.5 3.5 y.5 y() y y-big h 0.5 0 0 0.5.5.5 3 Obrázok 7: Prsé a približé rišia Na obrázku pk vidiť, ž riši y-big h pri ktorj sm použili väčši h=0.65 má podstat vyššiu chybu ako riši y s použitím mším krokom h=0.5. Chyby sm graficky zobrazili a obrázku 8.
0.75 0.5 /y-big h /y 0.5 0 0 3 Obrázok 8: Chyby približých riší Pozámka: Kď a riši použijm Eulrovu implicitú mtódu, jj výpočtom sa zozámim v ďalšj kapitol, dostam prsjši výsldky. Ako vidiť aj z obrázku 9. Potvrdili sm tda to čo sm sa dozvdli v tortickj časti, ž implicitá mtóda j prsjšia a chová sa stabiljši pri väčších h ako plicitá. 0.75 0.5 0.5 /y-big h /y i/y i/y-big h 0 0 0.5.5.5 3 Obrázok 9: Porovai chýb plicitj () a implicitj (i) mtódy
4. Rozdily mdzi mtódami Príklad.: Vzmim si tú istú počiatočú úlohu ako prdošlom prípad y y y ' =, (0) = a rišm vštkými umrickými mtódami pr ODR ktorými sm sa obozámili. Majm itrval <0;.5> a krok h=0.5. Riši pr Eulrovu plicitú mtódu pozám z prdošlj časti. Popíšm tak mtódu rišia Rug-Kutta štvrtého rádu (RK4). Dosadím do vzorcou (3.8) dostam: 0.5 y+ = y + ( k+ k + k3 + k4 ) 6 k = f y = y (, ) h h 0.5 0.5 k = f +, y + k = + y + k h h 0.5 0.5 k3 = f +, y + k = + y + k (, ) ( + 0.5) ( + 0.5 ) k = f + hy + hk = y k 4 3 3 Postup vypočítam hodoty k, k,k3,k4 a dosadím dostávam asldujúcu tabuľku: k k k3 k4 y\rk4 0 0 - -0.859375-0.8769535-0.78679 0.5-0.775-0.559358-0.57396984-0.39099 0.783775 0.5-0.393493364-0.0368694-0.740853-0.04436 0.643493364 3 0.75-0.07667765 0.7895706 0.530977 0.3755904 0.59067765 4 0.367836059 0.5874855 0.56005865 0.79039593 0.636394 5.5 0.786453539.067846 0.987544558.7067399 0.77604646 6.5.3073.460836.43095493.67779859.0697868 7.75.6737049.97638.8873476.394703.38878985 8.35666.38398385.3589370.60954386.864733388 9.5.60536455.857785648.86849 3.0866939.45773545 0.5 3.08008803 3.33738703 3.305460965 3.5684356 3.679997 3
Ostali ám implicité mtódy pri, ktorých ako vim výpočt j troška áročjší. Môžm si však výpočt v tomto prípad zjdodušiť dosadím do vzorca a vyjadrím y +. Modifikujm vzorc kým ám a ľavj stra osta ié l y +, v tomto kokrétom prípad sm pri Eulrovj implicitj mtód postupovali asldov a hodoty sm zapísali do tabuľky: y = y + hf(, y ) + + + y = y + h ( y ) + + + y = y + h hy y y y + + + + + + + + + hy = y + h = = y y + h+ h + + 0.5 h + + y\eu-i 0 0.000.00000000 0.50 0.850000 0.500 0.70000000 3 0.750 0.6750000 4.000 0.73800000 5.50 0.9090000 6.500.73000 7.750.55035600 8.000.0408480 9.50.6447784 0.500 3.365787 Podob sm postupovali aj pri lichobžíkovj implicitj mtód. Výpočty a tabuľka sú asldové: y = y + hf [ (, y ) + f(, y )]/ + + + h y+ = y + [ y + + y+ ] h h h h y + y = y y + + h h y + ( + + ) y + = h + + + + y\l-i 0 0.000.00000000 0.50 0.7847 0.500 0.6450673 3 0.750 0.599946 4.000 0.63404969 5.50 0.7778798 6.500.08665 7.750.390376 8.000.86608037 9.50.4583409 0.500 3.6898689 4
Dosiahuté výsldky sm zhruli do jdj tabuľky pr ľahši porovai: y() y\eu- y\rk4 y\eu-i y\l-i 0 0.000.00000000.00000000.00000000.00000000.00000000 0.50 0.783699 0.75000000 0.783775 0.850000 0.7847 0.500 0.64346934 0.578500 0.64349336 0.70000000 0.6450673 3 0.750 0.5903345 0.49609375 0.5906776 0.6750000 0.599946 4.000 0.63056 0.56953 0.636394 0.73800000 0.63404969 5.50 0.7759950 0.634548 0.77604646 0.9090000 0.7778798 6.500.0686984 0.86656.069787.73000.08665 7.750.3887606.38708.38878985.55035600.390376 8.000.8646647.674953.86473339.0408480.86608037 9.50.4570078.568649.4577355.6447784.4583409 0.500 3.679500.95776486 3.67990 3.365787 3.6898689 a zobrazili sm ich v grafu:.60 Y.40.0.00 0.80 0.60 0.40 X 0.400 0.600 0.800.000.00.400.600 y() y\eu- y\rk4 y\eu-i y\l-i Obrázok 0: Graf približých riší príkladu 5
Pr porovai mtód však bud ajjdoduchši zobraziť ich globálu diskrtizačú chybu jdotlivých. i = y( i) - y i y() \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i 0 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.5 0.783699 0.033699 0.000053 0.0880078 0.00030 0.5 0.64346934 0.06534434 0.000040 0.05653066 0.005939 3 0.75 0.5903345 0.09403970 0.0000343 0.0836655 0.008590 4 0.63056 0.9455 0.00004338 0.0587944 0.00993 5.5 0.7759950 0.44737 0.000056 0.690480 0.0087678 6.5.0686984 0.6035373 0.00005803 0.454506 0.00758 7.75.3887606 0.7633897 0.00006379 0.66994 0.005956 8.8646647 0.8974940 0.00006867 0.756008 0.004565 9.5.4570078 0.00949 0.0000777 0.876706 0.00395 0.5 3.679500 0.0504 0.0000760 0.978677 0.000789.00000000 0.000 0.500.000.500.000.500 3.000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i Obrázok : Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu. Z grafu môžm vidiť, ž postup s každým krokom sa globála diskrtizačá chyba zvyšuj. Všimim si aj to, ž mtódy ižšiho rádu (Eulrova plicitá a implicitá mtóda) ám dávajú prsjši výsldky ako ostaté mtódy vyšších radov, pritom v tomto prípad j miimály rozdil mdzi implicitou a plicitou Eulrovou mtódou. Môžm tda povdať, ž pr riši tohto príkladu postačuj plicitá mtóda, ktorá má podstat jdoduchší výpočt. 6
Príklad. Zopakujm si pr zaujímavosť príklad tak isto v 0. krokoch pr pomr vysoké h=3. Dostam asldové výsldky: y() y\eu- y\rk4 y\eu-i y\l-i 0 0.000000.000000.000000.000000.000000 3 4.9503 -.000000 8.687500 7.000000 5.00000 6 5.9975 3.000000 36.383 8.750000 5.960000 3 9 64.999877 46.000000 83.9957 67.937500 65.008000 4.999994 5.000000 53.80786 4.984375.998400 5 5 97.000000 30.000000 44.93608 99.996094 97.00030 6 8 90.000000 45.000000 360.9746 9.99903 89.999936 7 40.000000 4.000000 503.6559 403.999756 40.00003 8 4 530.000000 039.000000 676.098 53.999939 59.999997 9 7 677.000000-350.000000 883.0099 679.999985 677.00000 0 30 84.000000 887.000000 30.45363 844.999996 84.000000 zázorím ich v grafu: 3500 y 3000 500 000 500 000 500 0 0,00 5,00 0,00 5,00 0,00 5,00 30,00 35,00-500 -000 y() y\eu- y\rk4 y\eu-i y\l-i Obrázok : Graf približých riší príkladu pr h=3 Na grafu môžm vidiť zaujímavé chovai Eulrovj plicitj mtódy. Pozrim sa a globál diskrtizačé chyby. y() \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i 0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 3 4.9503 6.9503 3.73787.049787 0.49787 6 5.9975 5.00479 0.359.75479 0.0375 3 9 64.999877 8.999877 8.9954.93763 0.0083 4.999994 9.000006 3.8079.98438 0.00594 5 5 97.000000 67.000000 47.93608.996094 0.00030 6 8 90.000000 5.000000 70.9746.99903 0.000064 7 40.000000 59.000000 0.6559.999756 0.00003 8 4 530.000000 509.000000 46.098.999939 0.000003 9 7 677.000000 07.000000 06.0099.999985 0.00000 0 30 84.000000 045.000000 88.45363.999996 0.000000 7
Z asldujúcho grafu vidiť, ž pri tomto prípad riši plicitých mtód sa dá použiť. Môžm pozorovať aj to ako sa Eulrova plicitá mtóda stala stabilou. Pritom implicité mtódy dávajú clkom prijatľý výsldok aj pri trém vysokom h. Kvôli tomu sa prai pri plicitých mtódach používa mši krok, al ako sm sa dozvdli v kapitol o h opt aj príliš malé h môž spôsobiť vľkú chybu kvôli zaokrúhliu. 0000,00000000 000,00000000 00,00000000 0,00000000,00000000 0,000 0,0000000 5,000 0,000 5,000 0,000 5,000 30,000 35,000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i Obrázok 3: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu pr h=3. 4.3 Stiff systémy Príklad 3.: Rišm počiatočú úlohu y = -0y, y(0)= a vštkými umrickými mtódami pr ODR ktorými sm sa obozámili. Majm krok h=0.5 a =0. Postup pri riší a zjdoduší j obdobý ako v prdošlých prípadoch budm pr uvádzať už l tabuľky a grafy pr porovai výsldkov. Hodoty y() prsého rišia v daých uzlových bodoch, sm dostali použitím aalytického rišia z rovic y() = -0. y() y\eu- y\rk4 y\eu-i y\l-i 0 0.00.00000000.00000000.00000000.00000000.00000000 0.5 0.0808500 -.50000000 0.64843750 0.85749-0. 0.50 0.00673795.5000000 0.40479 0.086365 0.034568 3 0.75 0.00055308-3.37500000 0.76499 0.03336-0.003774 4.00 0.00004540 5.0650000 0.767960 0.00666389 0.00054 5.5 0.00000373-7.59375000 0.4647 0.0090397-0.0000694 6.50 0.0000003.3906500 0.07433763 0.00054399 0.0000088 7.75 0.00000003-7.08593750 0.048033 0.0005543-0.000000 8.00 0.00000000 5.689065 0.035683 0.0000444 0.0000000 9.5 0.00000000-38.44335938 0.00680 0.000069 0.00000000 0.50 0.00000000 57.66503906 0.03460 0.00000363 0.00000000 8
Porovajm Eulrovu plicitú mtódu z ostatými mtóda. Kým sa ostaté mtódy podob, ako prsé riši, približujú k ul, Eulrova plicitá mtóda sa odďaľuj., y 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, 0 0,5,5,5 3 y() y\rk4 y\eu-i y\l-i Obrázok 4: Riši príkladu 3. 6 y 4 0 0,0 0,5,0,5,0,5 3,0 - -4-6 y() y\eu- Obrázok 5: Nstabilita Eulrovj plicitj mtódy. 9
Pri takzvaých stiff vzorcoch si môžm všimúť, ž plicité mtódy vyšších rádov dávajú prsjší výsldok, ako implicité mtódy ižších rádov. 00,00000000 0,00000000,00000000 0,000 0,0000000 0,500,000,500,000,500 3,000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,00000000 0,00000000 \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i Obrázok 6: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 3. y() \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i 0 0.00.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.5 0.0808500.5808500 0.5663550 0.03699 0.9396 0.50 0.00673795.43605 0.437334 0.0748947 0.00560773 3 0.75 0.00055308 3.37555308 0.70960 0.077053 0.009483 4.00 0.00004540 5.0645460 0.767506 0.0066849 0.000070 5.5 0.00000373 7.59375373 0.463744 0.009004 0.0000066 6.50 0.0000003.3906469 0.07433733 0.00054369 0.0000058 7.75 0.00000003 7.08593753 0.048038 0.0005540 0.0000003 8.00 0.00000000 5.689065 0.035683 0.0000444 0.0000000 9.5 0.00000000 38.44335938 0.00680 0.000069 0.00000000 0.50 0.00000000 57.66503906 0.03460 0.00000363 0.00000000 4.4 A-stabilita Pri príkladoch, ako j aj príklad 3, ktoré majú formu y (t)=k*y(t), kd k<0 sa riši približuj k ul v. Mtóda j A-stabilá, v prípad, kď umrické približé riši má takú istú vlastosť závisl od kroku. Id o vľmi silú podmiku, takéto mtódy prakticky ukazujú problémy so stabilitou. A-stabilá j apr. implicitá Eulrova formula a lichobžíková formula. 30
Pri mšom kroku apr. h=0.0 sa stabilita ukazuj:,00000000 0,000 0,050 0,00 0,50 0,00 0,50 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i Obrázok 7: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 3 pr h=0.0 Výsldky zapísaé v tabuľkách: y() y\eu- y\rk4 y\eu-i y\l-i 0 0.00.00000000.00000000.00000000.00000000.00000000 0.0 0.8873075 0.80000000 0.8873333 0.83333333 0.8888 0.04 0.6703005 0.64000000 0.670347 0.69444444 0.669449 3 0.06 0.548864 0.500000 0.548868 0.57870370 0.54770849 4 0.08 0.4493896 0.40960000 0.44933463 0.485309 0.44853 5 0.0 0.36787944 0.3768000 0.3678854 0.4087757 0.36664783 6 0. 0.3094 0.64400 0.30999 0.33489798 0.9998459 7 0.4 0.4659696 0.09750 0.466040 0.790865 0.454494 8 0.6 0.08965 0.67776 0.0906 0.356804 0.00863 9 0.8 0.659889 0.34773 0.6530358 0.9380670 0.64304 0 0.0 0.353358 0.073748 0.3533955 0.650558 0.3443063 y() \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i 0 0.00.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.0 0.8873075 0.0873075 0.0000058 0.046058 0.00054893 0.04 0.6703005 0.0303005 0.0000043 0.04440 0.00089856 3 0.06 0.548864 0.036864 0.0000059 0.098907 0.00035 4 0.08 0.4493896 0.0397896 0.00000566 0.0394 0.000384 5 0.0 0.36787944 0.0409944 0.00000580 0.0339983 0.0036 6 0. 0.3094 0.039050 0.00000570 0.03370376 0.00096 7 0.4 0.4659696 0.0368876 0.00000544 0.0348468 0.005503 8 0.6 0.08965 0.034436 0.00000509 0.030675 0.0008039 9 0.8 0.659889 0.03086 0.00000469 0.085078 0.00099478 0 0.0 0.353358 0.07960 0.0000047 0.067030 0.00090465 3
5 Aalýza Taylorovj mtódy Jdá sa o mtódu o ktorj istuj l málo iformácií, a tória skoro vôbc žiada. Ciľom tjto prác j práv to, aby sm Taylorovu mtódu aalyzovali a určili jj vlastosti a možosti použitia. To bud ajjdoduchši pomocou príkladov a porovaím s prdošlými mtódami. Pozrim si však ajprv vzorc mtódy pr riši dif. rovíc. Vychádzam samozrjm z Taylorovj rady, s ktorou sm sa už prdošlých častiach zozámili. Pr plicitú mtódu platí 3 i h h h h vzorc: y( ) = y + y' + y'' + y +... + y +!! 3! i! (3) () i 3 h h h y( ) = y + f(, y) + f '(, y) + f ''(, y) +... +!! 3! 3 i h h h h a pr implicitú mtódu: y( ) = y + y( ) ' + y( ) '' + y( ) +... + y + + + + ( + )!! 3! i! (3) () i h h h y( ) = y + f y + f y + f y + +!! 3! 3 ( +, + ) '( +, + ) ''( +, + )... Na prvý pohľad si môžm všimúť hď dv vci. Na to aby sm vdli rišiť difrciálu rovicu Taylorovou mtódou musím pozať vyšši driváci fukci a ak si pozor pozrim začiatok rovic môž si tam všimúť vzorc pr Eulrovu mtódu. 5. Prsosť Prsosť mtódy závisí a počtu člov, prsjši ju môžm určiť z rozdilu posldých dvoch člov. Z toho vyplýva aj to, ž samozrjm prsosť závisí aj a kroku h, al pozrim si to a kokrétom príklad. Príklad 4.: Porovajm rišia z príkladu s riším takj istj počiatočj úlohy s Taylorovými mtódami. Ako už vim, k tomu potrbujm pozať vyšši driváci fukci: y' = y, y(0) =. Postupujm asldov: Kď y'' = y' tak dosadím y dostam y'' y = + potom (3) y y = + ' po dosadí (3) y y = + a tak ďalj... Rišm pr rôz kroky a porovajm výsldky kď použijm viac člov Taylorovj rady. Pr plicitú mtódu po dosadí dostam vzorc: 3 h h y( ) = y + h ( y) + ( + y) + ( + y) +... + 3! Hodoty z pravj stray, y, h pozám, dosadím do vzorca a dostam hodotu y +. Zložitjši j to však u implicitj mtód kd vzorc po dosadí musím upraviť: 3 h h y( ) = y + h ( y ) ( y ) ( y )... + + + + + + + + + + + + + + 3! Musím vyjadriť hodotu y + aby sm mohli ďalj počítať: y ( + ) 3 3 3 h h h h y + + ( h + ) + + ( h ) + = 3! 3 3 h h + h + 3! 3 3
y ( + ) = Rovic pr 6 člov po upraví hor uvdým postupom sú asldové: Eplicitá, Implicitá, h y( ) = y + h ( y) + ( + y) + + 3 4 h h + ( + y) + ( + + y) + 3! 4! 5 6 h h + ( + y) + ( + + y) 5! 6! 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 h h h h h h h h h h h h h y + ( h + + ) + ( h + + ) + + + + = 3! 4! 5! 6! 3 60 360 3 60 360 3 4 5 6 h h h h h + h + + 3! 4! 5! 6! Rišm tda úlohu pr h=0.5 s počiatočou podmikou y(0)= a zapíšm ich do tabuľky: y() y\t y\ti y\tp y\tip y\tp6 y\tip6 0 0.5 0.783699 0.785 0.844553 0.783694 0.8459866 0.783699 0.84599 0.5 0.6434693 0.6396484 0.763478 0.643457 0.76566 0.6434693 0.765638 0.75 0.590334 0.585668 0.7658665 0.5909 0.76885 0.590334 0.7686 0.6306 0.6747 0.85975 0.63058 0.86380 0.6305 0.86387.5 0.775995 0.77467.049534 0.7759808.05347 0.775995.05358.5.068698.0663.349084.068564.3436.068698.343303.75.38876.3848643.740476.388739.74994.38876.7407.8646647.86.485958.8646539.4869.8646647.48693.5.457008.4540798.869040.457093.8685053.457008.8685036.5 3.6795 3.65967 3.604084 3.679068 3.609384 3.6795 3.609347 Kd T zamá Taylorovu mtódu, /i plicitú/implicitú mtódu, p/p6 ž id o prsjši mtódy s viacrými člmi 4 a 6. y() \T \Ti \Tp \Tip \Tp6 0 0 0 0 0 0 0.5 0.783699 0.00449 0.06085 7.8E-06 0.06874.74E-08 0.5 0.6434693 0.003809 0.00086.7E-05 0.566.89E-08 0.75 0.590334 0.0044706 0.75733.4E-05 0.78085.37E-08 0.6306 0.0046496 0.705.476E-05 0.9595.9E-08.5 0.775995 0.0045335 0.7358.437E-05 0.75358.6E-08.5.068698 0.004435 0.350386.343E-05 0.363563.08E-08.75.38876 0.003867 0.35750.E-05 0.354733.834E-08.8646647 0.003446 0.38393.086E-05 0.384064.63E-08.5.457008 0.0030 0.49394 9.54E-06 0.44045.43E-08.5 3.6795 0.00683 0.43669 8.33E-06 0.435034.38E-08 33
Zobrazm hodoty v grafu: 0. 0.0 0.00 0.000 0.0000 0.00000 0.000000 0.0000000 0 0.5.5.5 3 \Eu- \T \Tp \Tp6 Obrázok 8: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 4 pr plicité mtódu 0 0.5.5.5 3 0. 0.0 \Eu-i \Ti \Tip \Tip6 Obrázok 9: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 4 pr implicitú mtódu Z obrázku 8 pk vidiť ako u plicitých mtódach pri malých h rasti spolu s počtom člov aj prsosť mtódy. Pritom z grafu 9 by sm si mohli mysliť, ž u implicitých mtódach to už tak i j a oplatia sa ám rastúc ároky a výpočt s zvýšým počtom člov. Vď aj s Eulrovou implicitou mtódou sm dostali lpši výsldky, al pozrim si čo sa sta kď zvýšim krok h a : 34
0 0. 0.0 0.00 0.000 0.0000 0.00000 0.000000 0.0000000 0.00000000 0 5 0 5 0 5 \Eu- \T \Tp \Tp6 Obrázok 0: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 4 pr plicité mtódu h= 00 0 0 5 0 5 0 5 \Eu-i \Ti \Tip \Tip6 Obrázok : Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 4 pr implicitú mtódu h= Z obrázkov vidiť, ž zvýším kroku plicité mtódy dávajú prsjši výsldky al musím si všimúť aj to, ž sa ám objavili rozdily mdzi implicitými mtódami s rôzymi člmi. Zaujímavosť sa sta kď zvýšim h a pomr vysokú hodotu 0: 35
E+50 E+45 E+40 E+35 E+30 E+5 E+0 E+5 E+0 00000 0.000 50.000 00.000 50.000 00.000 50.000 \Eu- \T \Tp \Tp6 Obrázok : Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 4 pr implicitú mtódu h=0 00 0 0. 0 50 00 50 00 50 0.0 \Eu-i \Ti \Tip \Tip6 Obrázok 3: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 4 pr implicitú mtódu h=0 Pri takomto vysokom h už plicité mtódy i sú použitľé. Pritom zaujímavo implicité mtódy pri čoraz vyššom h dávajú prsjši výsldky. A pk sa ám vykryštalizovali rozdily mdzi Ti, Tip a Tip6. Pri h=00 chyba Tip6 sa íži približ a 0.00005. Príklad 5: Môžm si však položiť otázku platí to aj pr Stiff systémy? Použij pr zodpovdai tjto otázky príklad 3 z prdošlj časti. Potrbujm k tomu pozať vyšši driváci poč. úlohy y = -0y. Postupom z prdošlj časti sa dostam k vzorcu ( ) y = 0 y => uvdim vzorc pr 5 člov, ižši sa ľahko dajú zj vyjadriť: 3 4 5 h h 3 h 4 h 5 y( ) = y + h( 0) y + ( 0) y + ( 0) y + ( 0) y + ( 0) y +... + 3! 4! 5! y y( ) = + 3 4 5 h 3 h 4 h 5 h + 0 h + ( 0) + ( 0) + ( 0) + ( 0) 3! 4! 5! 36
Ako sm si už u plicitých mtód zvykli staú sa stabilým u stiff mtódach, zálží však a kroku. Nižši mtódy ako Eulr a Taylor s dvomi člmi sa staú stabilým už pri kroku h=0.5, al aj Taylor s šistimi člmi sa vzdá pri h=0.5. Zamá to však pr ás aj to, ž j možé rišiť stiff systém s Taylorovou plicitou mtódou l si musím vypočítať dostatok člov, avšak sa ám to oplatí kďž Eulrova implicitá mtóda pri kroku 0.5 ám dáva také prsé riši ako áročý Tp6. Ako môžm vidiť s asldujúcich grafov: 5 4 3 y 0-0.000 0.500.000.500.000.500 3.000 - -3-4 -5 y\eu- y\t y\tp y\tp6 y() Obrázok 4: Graf plicitých riší - stabilita h=0.5 00 0 0. 0.0 0.00 0.000 E-05 E-06 E-07 E-08 E-09 E-0 E- 0 0.5.5.5 3 \Eu- \T \Tp \Tp6 Obrázok 5: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 5 pr plicitú mtódu h=0.5 37