ELEKTROSTATIKA NÁBOJOV VO VÁKUU. SILOVÉ PÔSOBENIE NÁBOJOV. COULOMBOV ZÁKON Pi štúdiu elektomagnetických javov je otázkou zásadného významu silové pôsobenie medzi elektickými nábojmi. Toto silové pôsobenie je v skutonosti vemi zložité, petože závisí od množstva a pohybového stavu nábojov, ktoé sú v inteakcii, a aj od ozloženia nábojov v piestoe. Jednoduchý je iba pípad silového pôsobenia dvoch bodových nábojov (nap. nabitých elementánych astíc), ktoé sú vo zvolenom súadnicovom systéme v pokoji a sú umiestnené v istej vzájomnej vzdialenosti. Takýto systém nezodpovedá eálnej situácii, petože náboje v pokoji sa v píode nevyskytujú. Ak hovoíme o nábojoch v pokoji, obyajne máme na mysli veký štatistický súbo elementánych nábojov, ktoé síce v nejakom objeme môžu vykonáva fluktuaný tepelný pohyb, ale ich poet v danom objeme sa nemení (nap. náboj na nabitej guôke). Silové pôsobenie medzi dvoma bodovými nábojmi skúmal v polovici 8. stooia fancúzsky uenec Chales Augustin de Coulomb. Coulomb vykonal množstvo expeimentov na zaiadení nazývanom tozné váhy, na ktoých bodové náboje boli modelované kovovými nabitými guôkami. Z jeho meaní vyplynula skutonos, že bodové náboje (nabité guôky) pôsobia na seba silou, ktoá je úmená súinu nábojov a nepiamo úmená štvocu ich vzdialenosti. Sila je odpudivá, ak sú náboje ovnakého znamienka a píažlivá, ak sú znamienka opaného, a pôsobí pozdž spojnice nábojov. Silové pôsobenie spa tetí Newtonov zákon, t. j. pôsobiace sily na jednotlivé náboje sú v absolútnej hodnote ovnaké bez ohadu na vekos jednotlivých nábojov. Tieto expeimentálne zistené skutonosti možno vyjadi v nasledovnej matematickej fomulácii F k q q (.) kde F je sila pôsobiaca medzi nábojmi, q a q sú vekosti nábojov, je vzdialenos nábojov a k je ozmeová konštanta, ktoá závisí od výbeu sústavy jednotiek. V sústave fyzikálnych jednotiek SI (Systéme Intenational d Unités) je jej íselná hodnota k 8,98755786. 9 kg.m 3.s 4.A (.) Hodnota konštanty k vyplynie z alších našich úvah. Z dôvodov acionalizácie vzahov v elektodynamike je vhodnejšie konštantu k písa v tvae k (.3)
kde ε je univezálna píodná konštanta súvisiaca s ýchlosou svetla vo vákuu a nazýva sa elektická konštanta (staší názov pemitivita vákua). Jej íselná hodnota je ε 8,854 87 88. F.m (.4) Sila je ale vektoová veliina, a peto výaz pe u musí obsahova aj infomáciu o smee jej pôsobenia. Ak je náboj q vo vektoovej vzdialenosti od náboja q (pozi ob..), potom sila F pôsobiaca na náboj q od náboja q (náboje sú zadané s píslušným znamienkom) je uená vektoovým vzahom F q q 3 (.5) Ob.. kde je absolútna vzdialenos nábojov. Ak zavedieme jednotkový vekto potom výaz pe silu možno napísa v tvae F /, qq (.6a) 4 πε Existuje ešte jeden spôsob zápisu Coulombovho zákona, pi ktoom sa polohy nábojov q a q zadajú polohovými vektomi a vzhadom na nejaký efeenný bod ako na ob... V takom pípade a,, takže výaz (.6a) možno pepísa na tva F q q q q ( ) 3 (.6b) Posledný výaz je najvšeobecnejším matematickým vyjadením Coulombovho zákona, ale aj najzložitejším, a peto ho budeme využíva iba výnimone. Platnos zákona o silovom pôsobení bodových nábojov oveoval Coulomb postiedkami, ktoé mal v jeho dobe k dispozícii. Naša dôvea k silovému zákonu sa však nemôže
zaklada na expeimentoch, pi ktoých je ažko mea sily s pesnosou väšou ako niekoko pecent. Takéto meania nás nemôžu pesvedi, že závislos sily od vzdialenosti je skutone kvadatická, teda že mocnite je a nie nap.,. Neskô uvidíme, že platnos Coulombovho zákona možno dokáza nepiamo expeimentmi, poda ktoých mocnite sa ovná s pesnosou lepšou ako ±. 9. Ob.. Coulombov zákon ako základný expeimentálny zákon elektostatiky sa ukazuje ako mimoiadne vhodným na stanovenie jednotkového množstva elektického náboja. Skutone, ak vo vzahu (.) položíme k, potom za jednotkové môžeme vyhlási také dve množstvá elektického náboja, ktoé v jednotkovej vzdialenosti pôsobia na seba jednotkovou silou. Tak bola uená jednotka množstva elektického náboja v sústave jednotiek cgs (Gaussovej sústave), ktoá sa dnes v paxi nepoužíva, v ktoej jednotka náboja, a následne jednotka elektického púdu, nie je základnou, ale odvodenou jednotkou. Keže meanie sily medzi nábojmi (guôkami) je obtiažne a zaažené znanou chybou, je v sústave fyzikálnych jednotiek SI jednotka náboja uená iným spôsobom. V SI sústave je základnou elektickou jednotkou jednotka elektického púdu ampé (A), ktoý dokážeme pohodlne mea zo silových úinkov medzi púdmi. Keže elektický púd I je definovaný ako množstvo elektického náboja q, ktoé pejde pieezom vodia za jednotku asu t, teda I q/t, možno jednotkový náboj definova ako množstvo náboja, ktoé pi púde A peteie pieezom vodia za jednu sekundu (s). Toto jednotkové množstvo náboja sa nazýva coulomb (C). Teda C A s A.s. Teaz je jasný pôvod hodnoty konštanty k (.) vo vzahu (.). Dva bodové náboje, každý vekosti C, umiestnené vo vzájomnej vzdialenosti m pôsobia na seba obovskou silou, ktoá sa íselne (v newtonoch) ovná hodnote konštanty k, danej vyjadením (.). íselná hodnota konštanty k alebo ε sa však stanovuje iným spôsobom. V elektomagnetizme sa popi konštante ε zavádza ešte jedna univezálna konštanta poa, a to magnetická konštanta µ (staší názov pemeabilita vákua). Jej hodnota µ 4π. 7 H/m (.7) je daná definitoicky. Obidve konštanty poa súvisia s ýchlosou c svetla vo vákuu vzahom 3
ε µ c (.8) ktoý plynie z vlnových ovníc elektomagnetického poa. Z toho elektická konštanta ε µ c (.9) s íselnou hodnotou danou vyjadením (.4). Pesnos uenia ε je daná pesnosou, s ktoou je v súasnosti známa ýchlos svetla vo vákuu (pozi odsek.7). Ak je vo vzájomnom silovom pôsobení n nábojov, potom sila F i pôsobiaca na vybaný i-tý náboj poda pincípu supepozície je daná výazom F F + F + + F + F + + F F ( j i) i i i ii- ii+ in ij j Skladanie síl od niekokých nábojov ovnakého znamienka a ovnakej absolútnej hodnoty je v popocionálnej mieke znázonené na ob..3. n Ob..3 Jedna z už uvedených vlastností elektických nábojov hovoí o ich väzbe na mateiálne objekty, t. j. že náboje sú vždy viazané na isté elementáne astice. Medzi asticami ako nositemi elementánych nábojov pôsobia okem elektických aj gavitané sily. Je otázka, akou mieou sa podieajú gavitané sily v poovnaní s elektickými silami na vzájomnom silovom pôsobení dvoch elementánych astíc. Ako píklad možno posúdi silové pôsobenie medzi potónom a elektónom v danej vzdialenosti, napíklad v klasickom atóme vodíka. Medzi uvedenými asticami pôsobí píažlivá sila, ktoá je výsledkom supepozície píažlivej elektickej sily medzi dvoma nesúhlasnými elementánymi nábojmi a gavitanej píažlivej sily medzi hmotnosami potónu a elektónu. Ak uvážime, že hmotnos potónu m p,67. 7 kg, hmotnos elektónu m e 9,. 3 kg, elementány náboj e,6. 9 C, gavitaná konštanta κ 6,67. m 3.kg.s 4
a elektická konštanta poa ε 8,854. a gavitanej F g je F.m, potom pome elektickej sily F e F F e e 39, 7.!!! κm m g p e Tento píklad svedí o tom, že elektická sila medzi nabitými elementánymi asticami je mnohokát väšia ako píažlivá sila medzi hmotnosami astíc, a peto gavitané pôsobenie medzi elementánymi asticami možno vždy zanedba. Uvedený píklad potvdzuje ešte jednu skutonos, že sily, ktoé džia atómy pohomade, sú sily elektického pôvodu. V tejto súvislosti je namieste otázka, o dží pohomade atómové jadá? Tie pozostávajú z neutónov a potónov a medzi potónmi pôsobia silné elektické odpudivé sily. Je zejmé, že ak sa pod úinkom takejto sily atómové jadá neozletia, musia medzi ich stavebnými kamemi pôsobi ešte iné píažlivé sily, ktoé musia by silnejšie než odpudivé sily potónov. Týmito silami sú jadové sily, sily kátkeho dosahu, ovea väšie ako gavitané a elektické sily, ktoé so vzdialenosou vemi ýchlo klesajú. Jadové sily sú zodpovedné za konzistenciu a stabilitu atómových jadie. ahké jadá, ktoé obsahujú ovnaký poet potónov a neutónov, sú elatívne stabilné. U ažkých jadie je stabilita zaistená väším potom neutónov, ktoé zmenšujú odpudivú silu potónov tým, že "zieujú" potóny v jade. Stabilita ažkých jadie je však vatká. Vemi ažké jadá s atómovým íslom väším ako 83 sú nestabilné a pi sebemenšej excitácii sa ozpadajú. Sily medzi nukleónmi (potónmi a neutónmi) v jadách atómov sú silné inteakcie, zatia o sily medzi jadom a elektónmi v atóme, pípadne sily medzi atómami v molekulách a v kyštáloch patia medzi elektomagnetické inteakcie. Vo svete, ktoý nás obklopuje, je elektické silové pôsobenie poda Coulombovho zákona jedno z najdôležitejších. Je zodpovedné za existenciu atómov, ale aj molekúl, teda za existenciu látok tak, ako ich v píode poznáme, so všetkými ich mechanickými vlastnosami. Tieto mechanické vlastnosti sú v skutonosti odazom pôsobenia elektických síl medzi základnými stavebnými kamemi látky. Platnos Coulombovho zákona bola expeimentálne oveovaná a potvdená v šiokom ozsahu vzdialeností od ozmeov atómového jada (ádovo 5 m) až do vzdialenosti ádovo 3 m a niet dôvodov pochybova, že platí aj pe väšie vzdialenosti. Na základe uvedených skutoností možno Coulombov zákon považova za jeden zo základných expeimentálnych zákonov elektomagnetizmu.. ELEKTRICKÉ POLE. INTENZITA ELEKTRICKÉHO POA Výpoet silového pôsobenia medzi bodovými nábojmi je jednoduchý, ak ide o inteakciu dvoch nábojov. V systéme viaceých nábojov potom možno využi pincíp supepozície, ale úloha sa stáva zložitejšou. Ešte zložitejšou je úloha, ak na bodový náboj pôsobí ozloženie nábojov, ktoé môžeme považova za spojité. Je zejmé, že piamy výpoet je znane sažený, alebo aj nemožný. Uvažujme ešte az systém n bodových nábojov q, q,, q n, ktoé silovo pôsobia na vybaný náboj q j. Sila F j pôsobiaca na náboj q j je poda Coulombovho zákona a pincípu supepozície 5
kde F j n F ( j i) (.) i ji q jq i q i Fji ji q j ji ( j i) (.) 3 3 ji ji je sila, ktoou i-tý náboj pôsobí na j-tý náboj. Výsledná sila pôsobiaca na j-tý náboj je teda n n q i Fj Fji q j ji 3 i i ji ( j i) (.) a je daná súinom náboja q j a súinitea v hanatej zátvoke, ktoý závisí iba od nábojov q až q n a ich vektoových vzdialeností k náboju q j. Výaz v zátvoke je matematicky vektoová funkcia polohy (ako uvidíme neskô v elektodynamike, aj funkcia asu) a fyzikálne pedstavuje vektoovú veliinu, ktoá sa íselne a smeom ovná sile pôsobiacej na jednotkový kladný náboj q j veký C. Túto vektoovú veliinu nazývame intenzita elektického poa a oznaujeme ju symbolom E. Piestoové ozloženie veliiny E nazývame elektické pole. Poda uvedených úvah je fomálne intenzita elektického poa daná podielom sily a náboja, na ktoý sila pôsobí, teda E F q (.3) Intenzita elektického poa je dôležitá fyzikálna veliina, pe meanie ktoej teba ui jednotku, najvhodnejšie piamo zo vzahu (.3). Vidíme, že takou jednotkou je N/C. astejšie sa však intenzita elektického poa uuje v ekvivalentných jednotkách V/m N/C, kde V (volt) je jednotka elektického potenciálu, alebo elektického napätia. Rozme jednotky intenzity elektického poa v sústave SI jednotiek je 3 V m N m.kg.s.a C Ak v nejakom bode piestou intenzitu elektického poa poznáme, potom sila pôsobiaca na náboj q v danom bode je vyjadená jednoduchým výazom F qe (.4) Tento vzah medzi intenzitou elektického poa a silou, ktoá v danom bode pôsobí na elektický náboj, je jedným zo základných vzahov elektostatiky. Pv, než pistúpime k výpotu elektostatických polí ôznych nábojových ozložení, odpovieme na jednu kadinálnu otázku: o je vlastne elektické pole? Je to fyzikálna ealita alebo iba bezobsažný pomocný pojem na popis silových inteakcií medzi elektickými nábojmi. Poda spôsobu jeho zavedenia sa totiž možno domnieva, že elektické pole je 6
iba pomocná matematická funkcia, iba fikcia, ktoá neodáža nijakú objektívnu ealitu. Ak by to bola pavda, to by znamenalo, že elektické silové pôsobenie je okamžité pôsobenie nábojov na diaku, bez akejkovek úasti piestou a asu. Takýto názo na poblém sa všeobecne považoval za spávny alebo aspo logický až do vybudovania elektomagnetickej teóie, a v konenom dôsledku až do vybudovania teóie elativity. Silové inteakcie elektických nábojov sa však uskutoujú v piestoe a v ase, z oho plynie, že elektické pole je nositeom enegie. O tom sa možno pesvedi nasledovným myšlienkovým expeimentom: Dva bodové náboje sa nachádzajú vo vekej vzájomnej vzdialenosti. Pedstavme si, že jeden z nábojov v istom okamihu zmenil polohu, "uskoil". Pýtame sa: za akú dobu to pocíti duhý náboj? Ak by sa infomácia o zmene polohy náboja šíila okamžite s nekonenou ýchlosou, vtedy by sme mohli vyhlási, že vzájomné inteakcie nábojov sú okamžité v ase, a teda sa dejú bezpostedne, bez úasti spostedkovatea, ktoým je piesto a as. Dnes však vieme, že spomínaná infomácia o zmene polohy náboja sa šíi konenou ýchlosou, konkétne vo vákuu ýchlosou svetla c. Teda penos infomácie sa uskutoní v piebehu doby t l/c, kde l je vzdialenos medzi nábojmi. Poas tejto doby infomácia o "uskoení" náboja musí by v nieom zakódovaná, a tým nieím je ealita, ktoú nazývame elektické pole. Na zdôvodnenie existencie elektického poa neteba nám však obi nijaké myšlienkové expeimenty. Dnes nikto nepochybuje o eálnej existencii elektomagnetických vn, ktoé sa šioko využívajú na penos infomácií a o ktoých vieme, že sa šíia konenou ýchlosou, vo vákuu ýchlosou c. Penos infomácií je možný iba penosom enegie, teda elektomagnetické vlny pedstavujú toky enegie. Elektomagnetickým a tým aj elektickým poliam teda musíme pipísa enegiu, hybnos a dokonca aj moment hybnosti a považova ich za objektívnu ealitu, pe ktoé sú splnené aj zákony zachovania. Teba si uvedomi, že ak by pôsobenie nábojov bolo bez úasti piestou a asu, neexistovali by elektomagnetické vlny. Inteakcia elektických nábojov teda nie je bezpostedná, nie je to pôsobenie na diaku, ale pôsobenie postedníctvom eálneho elektického poa, ktoé je enegetickým pejavom náboja. Intenzita elektického poa n bodových nábojov. V tomto odseku uvedieme niekoko píkladov na výpoet elektostatických polí ôznych nábojových zoskupení. Jednoduchý je výpoet intenzity elektického poa skupiny bodových nábojov, alebo špeciálne jedného bodového náboja v bode, v ktoom neleží žiadny iný náboj. Intenzita systému bodových nábojov je daná výazom v zátvoke vzahu (.), teda qi E 3 i πε 4 n i i (.5) Intenzita elektického poa bodového náboja. Intenzita elektického poa od jediného bodového náboja q vo vektoovej vzdialenosti E q 3 (.6) Pedstavu o bezpostednom pôsobení nábojov na diaku zastával aj významný nemecký fyzik Wilhelm Eduad Webe (84 855) 7
Z posledných dvoch vzahov vidíme, že pe intenzitu elektického poa, podobne ako pe elektické sily, platí pincíp supepozície, totiž, že intenzita poa súbou bodových nábojov sa ovná vektoovému sútu intenzít jednotlivých bodových nábojov. O elektickom poli bodového náboja zatia môžeme poveda iba to, že je to vektoové pole, ktoé je adiálne so stedom symetie v mieste náboja, je piamo úmené vekosti náboja a nepiamo úmené duhej mocnine vzdialenosti od náboja, teda je funkciou /. V mieste náboja má pole singulaitu, intenzita poa v absolútnej hodnote tam astie nad všetky medze, a naopak, v nekonene vekých vzdialenostiach od náboja intenzita klesá k nule. Takúto infomáciu nám poskytuje výaz (.6). Intenzita elektického poa dvojice bodových nábojov. Duhým dôležitým systémom nábojov je dvojica bodových nábojov q a q uložených v istej vzájomnej vzdialenosti d. Intenzita poa v ubovonom bode piestou je daná supepozíciou polí dvoch nábojov a matematicky sútom dvoch výazov typu (.6). Ak sú náboje ubovoné, bližšie neuené, môže by pole vemi zložité. Polia ôznych dvojíc majú však niektoé spoloné ty; v miestach nábojov polia vykazujú singulaity (nekonene veké absolútne hodnoty), v nekonene pole zaniká, pole má valcovú (osovú) symetiu okolo osi pechádzajúcej nábojmi. Najjednoduchšie pole vytváajú dvojice v absolútnej hodnote ovnako vekých nábojov, piom obzvláš dôležitá je dvojica ovnako vekých nábojov opaného znamienka, ktoú nazývame elektický dipól. Pole elektického dipólu je vhodnejšie analyzova s využitím pojmu elektického potenciálu, peto na tomto mieste posúdime iba niektoé základné ty tohto poa. Ob..4 Na ob..4 je dvojica nábojov +q a q vo vzájomnej vzdialenosti d a. Os x pavouhlého súadnicového systému je totožná s osou dvojice nábojov a os y pechádza symeticky medzi nábojmi. Uíme intenzitu elektického poa na dvoch miestach v bode M(x; ) na osi x vo vzdialenosti x > a a vo zvolenom bode P(; y) na osi y. Teba si všimnú, že pole je osovo symetické, teda ovnaké pole ako v bode P je v každom bode na kužnici s polomeom y ležiacej v ovine kolmej na os x a so stedom na osi x. V bode + M je intenzita elektického poa E M daná vektoovým sútom polí E M a E M od jednotlivých bodových nábojov, teda 8
+ M M M E E + E kde E πε q M + 4 ( x + a) i a E M πε 4 q ( x a) i takže E M q 4axq ( x + a) ( x a) ( x a ) i qd i i (.7) a x x 3 Intenzita poa v bode M smeuje poti jednotkovému vektou i (do stedu súadnej sústavy). V symetickom bode vo vzdialenosti x má intenzita elektického poa ovnakú absolútnu hodnotu a smeuje v záponom smee osi x. So zväšovaním absolútnej vzdialenosti x klesá intenzita v absolútnej hodnote k nule. V bodoch, kde sídlia náboje, intenzita v absolútnej hodnote astie nad všetky medze (singuláne body). V bodoch na osi x pe x < a má intenzita sme kladnej osi x a jej vekos je daná výazom q x a Ex + πε ( a x ) (.8) o om sa itate môže ahko pesvedi. V stede súadnicovej sústavy (x, y ), symeticky medzi nábojmi q Ex πε a (.9) teda intenzita pedstavuje dvojnásobok intenzity poa bodového náboja, o sa dalo oakáva. Všimnime si teaz vlastnosti intenzity poa v bode P na osi y. Aj tam je intenzita poa E P daná supepozíciou dvoch vektoov E P + a E P, t. j. kde E + P P P E E + E + P P E q πε 4 a zložky týchto vektoov v smeoch osí x a y v bode P sú dané výazmi 9
E + Px Px E πε 4 q cos α E + Py Py E πε 4 q sin α Výsledná intenzita v bode P je daná vektoom + P P + Px Px E E + E ( E + E ) i + ( E + E ) j E i + j P kde j je jednotkový vekto v smee osi y. Ako vidíme z posledného výazu, pole v bode P má tiež iba zložku x E Px + Py Py + q aq EPx cos α 3 qd ( y + a ) qd a y + y + Px 3 / 3 3/ kde sme pi úpave využili skutonos, že a/ cosα a y + a Intenzita elektického poa v bode P je teda daná vektoom E P qd a y + y 3 i (.) 3/ a pe astúce y klesá k nule. Pe y, teda v stede symetie (v zaiatku súadnicového systému) q EP Exi i πε a o je taký istý výsledok, aký sme dostali pi analýze poa na osi dvojice nábojov [na osi dipólu pozi vzah (.9)]. Obzvláš dôležité je pole vo vekej vzdialenosti od dvojice nábojov, teda vo vzdialenostiach ovea väších ako je vzdialenos nábojov d a. Takáto dvojica nábojov pozoovaná z vemi vekej vzdialenosti sa nazýva bodový dipól. Intenzitu poa bodového dipólu na osiach x a y dostaneme tak, že vo vzahoch (.7) a (.) sa 3
považuje x, y» a, takže veliiny a /x «a a /y «môžeme zanedba. Oznaíme p qd, potom p E M i (.a) 3 πε x 4 E P p 4 y3 πε i (.b) Veliina p je absolútna hodnota dipólového momentu. Vidíme, že intenzita poa vo vekej vzdialenosti na osi dipólu (osi x) je v absolútnej hodnote dvakát väšia ako intenzita v ovnako vekej vzdialenosti kolmo na os dipólu (na osi y). Vzhadom na vekú dôležitos dipólového poa vátime sa k nemu podobne po zavedení pojmu elektického potenciálu. Zatia si všimnime iba to, že dipólové pole v poovnaní s poom bodového náboja je slabé a klesá s teou mocninou vzdialenosti na ozdiel od poa bodového náboja, ktoé, ako vieme, klesá s duhou mocninou vzdialenosti. V ubovoných iných bodoch piestou v okolí dvojice nábojov je pole dané vektoovým sútom polí jednotlivých nábojov. Jeho matematické vyjadenie môže by zložité a obyajne neposkytuje názonú pedstavu o piestoovom piebehu poa. Názonú pedstavu o poli možno získa, ak ho nejakým spôsobom gaficky zobazíme. Poda už uvedených matematických vyjadení je elektické pole spojitá vektoová funkcia polohy v piestoe, v blízkosti bodového náboja astie nad všetky medze a smeom do nekonena klesá k nule. Túto funkciu by teda bolo možné znázoni pomocou nejakých ia. Existuje viaceo spôsobov ako gaficky zobazi elektické pole. Najozšíenejší spôsob zobazenia poa je pomocou siloia. Siloiay v piestoe, kde existuje elektické pole, sú myslené oientované iay, ktoé majú nasledovné vlastnosti:. V každom bode poa má vekto intenzity sme dotynice k siloiae. Táto vlastnos implikuje skutonos, že siloiay sa nemôžu petína.. Siloiay zaínajú na kladných a konia na záponých nábojoch alebo v nekonene. 3. Siloiay znázoujeme tak, že ich poet penikajúci jednotkovú plochu je úmený intenzite poa v danom bode. Tam, kde sú siloiay hustejšie, je intenzita poa väšia, a tam kde sú edšie, je intenzita menšia. Nie je celkom tiviálne, že existuje súbo siloia, ktoé majú uvedené vlastnosti. Možno sa pesvedi, že ak by neplatil Coulombov zákon, takýto súbo siloia by neexistoval. Neteba však zabúda, že elektické siloiay sú iba pomocný postiedok na zobazenie poa, že nijaké eálne iay v piestoe neexistujú. Na ob..5 sú znázonené siloiay kladného a záponého bodového náboja. Z kladného náboja siloiay adiálne vychádzajú a stácajú sa v nekonene. Na záponom náboji majú siloiay opaný sme. Na ob..6 sú siloiay dvojice opaných ovnako vekých nábojov, na ob..7 sú siloiay dvojice ovnakých kladných nábojov a napokon na ob..8 siloiay dvojice opaných nábojov ôznej vekosti. Vidíme, že najmä posledné siloiay sú elegantné a zobazujú elatívne zložité, v piestoe osovo symetické pole. 3
Ob..5 Ob..6 Ob..7 Ob..8 3
.3 INTENZITA ELEKTRICKÉHO POA NÁBOJOV SPOJITE ROZLOŽENÝCH NA IARACH, PLOCHÁCH A V OBJEME V paxi je elektický náboj asto spojito ozložený na telesách ôznych geometických foiem, piom spojitos musíme chápa v uvedenom zmysle ozloženia vekého množstva elementánych nábojov na objektoch konených ozmeov. Pod pojmom ozložený náboj tu ozumieme dodatoný náboj, ktoý bol na teleso pivedený alebo z neho odvedený vo fome nap. istého potu elektónov. Bez tohoto dodatoného náboja sa teleso javí ako elekticky nenabité, t. j. úinok náboja všetkých potónov je kompenzovaný úinkom náboja pesne ovnakého potu elektónov. Je samozejmé, že túto kompenzáciu teba chápa v elatívne vekom objeme, v ktoom veký poet kladných a záponých nábojov je ovnaký. V blízkosti jednotlivých elementánych nábojov v telese existujú silné lokálne polia, ktoé v dôsledku chaotického tepelného pohybu majú fluktuaný chaakte a ich piestoová a asová stedná hodnota sa ovná nule. Ak teda pivedieme na teleso dodatoný náboj iná povedané, elekticky ho nabijeme zaujmú tieto náboje na telese isté polohy závislé od štuktúy a elektických vlastností telesa. Na tomto mieste teba poveda, že v píode sa vyskytujúce látky delíme z hadiska ich základných elektických vlastností na: a) látky elekticky nevodivé, nazývané nevodie, izolanty, pípadne dielektiká, b) látky elekticky vodivé, alebo jednoducho vodie. Pojem "vodivos látok" zavedieme neskô ako fyzikálnu veliinu, na tomto mieste definujeme vodivos ako mieu vonosti pohybu nábojov v látke. V nevodioch, dielektikách, sa pivedené náboje nemôžu pohybova, teda zotvávajú na tých miestach, na ktoé boli vonkajšími silami pinesené. Vo vodioch sa náboje môžu pohybova, takže pivedený náboj si na vodivom telese nájde sám miesto, na ktoom je ochotný stabilne zotva. Toto ozmiestnenie nábojov na vodivom telese je "kolektívne", po dohode s ostatnými nábojmi. Dá sa ukáza, že ozloženie nábojov na vodivom telese zodpovedá pincípu najmenšieho úinku náboje sa na vodivom telese ozložia tak, že enegia ich elektického poa je minimálna (Thomsonova veta). Uvedené tiedenie látok na vodivé a nevodivé je vemi hubé, petože v píode v skutonosti neexistujú ideálne látky, ktoé by patili do jednej alebo duhej skupiny. Všetky tuhé látky sú viac-menej vodivé alebo nevodivé. Naviac, popi tuhých látkach existujú aj látky kvapalné a plynné, ktoé majú svoje špecifické zvláštnosti, najmä plyny, ktoé ke sú ionizované, pedstavujú osobitné skupenstvo hmoty nazývané fyzikálna plazma. Keže sa na tomto mieste nemienime zaobea vnútonou štuktúou látok, uspokojíme sa s týmto hubým tiedením, ktoé potebám elektostatiky dostatone vyhovuje. Látkové nabité postedie samo vplýva na intenzitu elektického poa. Pedbežne si však tento vplyv nebudeme všíma a výsledné elektické pole budeme považova iba za pole dodatoných, pinesených nábojov. Venujme sa teda spôsobom výpotu intenzity poa od ôznych nábojových ozložení. Všetky tieto výpoty sú založené na platnosti pincípu supepozície a vedú na integáciu píspevkov k intenzite od jednotlivých elementov nábojového ozdelenia. Ako pvé peskúmame elektické pole budené nábojom ozloženým na geometickom útvae, podobnom matematickej iae, ktoá môže modelova nap. tenký vodivý nabitý dôt alebo nabité vlákno z umelej hmoty. Džka nosia náboja (iay) nech je l a môže by konená alebo nekonená. Na iae je ozložený náboj s džkovou hustotou λ, piom λ môže by konštanta (kladná alebo záponá), ak je náboj na iae ozložený ovnomene, 33
alebo veliina závislá od polohy na iae. V takom pípade je λ matematickou funkciou polohy, piom poloha môže by daná ôznym spôsobom; najastejšie ako piebežný bod v pavouhlých súadniciach (x, y, z ), teda vzdialenosou uvažovaného bodu na iae od vhodne zvoleného zaiatku, pozi ob..9, teda λ( ). V tomto bode na iae zvolíme nekonene kátky úsek dl, na ktoom je celkový nekonene malý náboj dq( ) λ( )dl. Tento náboj má vo vekej vzdialenosti vlastnosti bodového náboja, teda budí nekonene malé pole de() úmené dq a klesajúce ako funkcia / so smeom pozdž vektoa. Pole de() možno vyjadi matematickými vzahmi d Q( ) ( ) ( )( ) d E ( λ λ ) d l d l (.) 3 3 3 kde (pozi ob..9). Výsledná intenzita poa od celej nabitej iay je daná vektoovým sútom nekonene malých píspevkov de od jednotlivých nábojových elementov pozdž celej iay l. Matematicky je tento súet daný integálom píspevkov (.), teda λ( ) E( ) d l 3 4 ε l (.3) Ob..9 Vzah (.3) pe intenzitu elektického poa od nabitej piamky má iba fomálny význam, petože nevieme piamo poíta integály z vektoových funkcií. Ak máme šastie, že polia od všetkých elementov majú ovnaký sme, v takom pípade ide o obyajnú integáciu, ale to je ziedkavos. Vo všeobecnosti teba píspevky typu (.) ozloži na vektoové zložky a tieto jednotlivo integova. Výsledok dostaneme v tvae toch zložiek vektoa intenzity elektického poa. iastone sa výpoet zjednoduší aj v pípade, ke je nábojová hustota konštantná. 34
Intenzita elektického poa v okolí nabitej piamky. Ako užitoný píklad uvedieme výpoet intenzity elektického poa v okolí nekonene dlhej piamky nabitej nábojom s konštantnou hustotou λ. Na ob..a je znázonená as nekonenej nabitej piamky. V kolmej vzdialenosti od piamky (bod je vzažný bod) v bode P je intenzita elektického poa od každého z dvoch zvolených elementov λdl daná výazom kde sme využili skutonos, že λ d l λ d E d E dϕ (.4) ρ l tgϕ d l d cos ϕ ϕ ρ cosϕ Ob.. Tieto elementáne píspevky majú smey spojníc ρ a v bode P sa vektoovo sítajú na výslednú intenzitu dvojice v absolútnej hodnote λ d E d E cosϕ cosϕ dϕ πε (.5) Sme tohoto píspevku je pozdž spojnice. Teaz môžeme integova všetky takéto dvojice pozdž nekonenej piamky, teda 35
E λ ( ) ε / cosϕdϕ λ ε (.6) Vidíme, že pole nábojov ozložených ovnomene na nekonenej piamke je adiálne okolo piamky a intenzita poa klesá ako funkcia /. Na ob..b sú znázonené siloiay poa v okolí nabitej piamky. Intenzita elektického poa od náboja na kužnici. Pouným píkladom je výpoet intenzity elektického poa na osi kužnice polomeu R s nábojom Q ovnomene ozloženým pozdž nej s džkovou hustotou λ Q/(πR), pozi ob..a. Intenzitu poa vypoítame vo vzdialenosti z od stedu kužnice. Na kužnici zvolíme dva poti sebe ležiace nábojové elementy λdl, ktoé dávajú dva ovnako veké píspevky intenzity λ d l d E d E ρ λrdα cos ϕ z Ob.. kde ρ z/cosϕ a dl Rdα. Tieto dva píspevky sa v bode P vektoovo skladajú a vytváajú pozdž osi z element intenzity d Ez d E cosϕ λr πε 3 cos ϕ d α z Po jednoduchej integácii elementov dα od po π dostaneme pe intenzitu poa na osi kuhu vo vzdialenosti z v mieste, odkia oblúky kuhu vidie pod uhlom ϕ, výaz v tvae 3 R Q z Ez λ cos ϕ ε z + ( z R ) 3 / (.7) 36
Z tohoto výazu môžeme uobi niektoé výpovede o piebehu poa pozdž osi z. Pedovšetkým v zaiatku, v stede kužnice (z ), je intenzita nulová. To síce piamo z posledného výazu nevyplýva, petože by tam mohli okem zložky v smee z existova i nejaké piene zložky, ale aj tie by sa v dôsledku osovej symetie ozloženia náboja v stede kužnice museli uši. Pe záponé hodnoty z je intenzita poa na osi záponá, o znamená, že tam intenzita poa smeuje poti smeu osi z, a v nekonene vekých vzdialenostiach napavo a naavo od stedu sa intenzita poa ovná nule. Posledný výaz môžeme písa aj v tvae E z ( z) 4 Q ε z R + z 3/ (.8) odkia vidíme, že vo vzdialenosti z» R je pole dané pibližným výazom Q E z ( z) z Vo vekej vzdialenosti od kužnice nielen na osi, ale v ubovonom bode piestou je pole dané posledným výazom, inak povedané, z vekej vzdialenosti pozoujeme nabitú kužnicu ako bodový náboj. Zistili sme, že intenzita poa v zaiatku a v nekonene sa ovná nule, musí teda na osi z existova miesto, kde intenzita poa má maximum. Možno sa ahko pesvedi, ke sa vypoíta extém funknej závislosti (.7), že intenzita nadobúda absolútne maximá vo vzdialenostiach ±R od stedu kužnice, kde dosahuje hodnoty Q Emax 6 3πε R Pole siloia v bezpostednom okolí kužnice je pomene zložité. O jeho piebehu si možno uobi pedstavu z ob..b. Náš výpoet sa týka iba bodov na osi kužnice, vo všetkých iných bodoch výpoty sú zložité a vedú na eliptické integály. Duhým, v paxi sa asto vyskytujúcim nábojovým ozložením, je spojité ozloženie náboja na ploche. Na ob.. je znázonená plocha S, ktoá tiež môže by konená alebo nekonená, na ktoej je ozložený náboj s plošnou hustotou σ. Vo vektoovej vzdialenosti od vzažného bodu je na ploche zvolená elementána plocha ds, na ktoej sídli nekonene malý náboj dq σds. Tento náboj podukuje vo vektoovej vzdialenosti elementáne malú intenzitu elektického poa d E( ) 4 ε σ ( ) d S 3 (.9) kde je vektoová vzdialenos bodu P, v ktoom poítame intenzitu. Výsledná intenzita poa v bode P je daná integálom výazu (.9), teda 37
σ ( ) E( ) d S 3 4 ε S (.3) Integál v poslednom výaze je vo všeobecnosti dvojným integálom a spôsob jeho výpotu závisí od spôsobu voby plošného elementu ds. Ob.. Intenzita elektického poa od náboja na kuhovej ploche. Ako píklad uvedieme výpoet intenzity elektického poa na osi kuhu s polomeom R vo vzdialenosti z od náboja Q ovnomene ozloženého s plošnou hustotou σ Q/(πR ) na kuhu, pozi ob..3a. Na kuhu si zvolíme koncentické medzikužie s polomeom, s píastkom d a na om vybeieme dva poti sebe ležiace plošné elementy ddα, na ktoých sú nekonene malé náboje dq σddα. Tieto náboje vytvoia v bode P intenzity elektického poa s absolútnymi hodnotami kde sme pi zápise využili ovnosti d d d E d E σ α σ tgϕ dϕdα ρ 4π ε ρ z ϕ ϕ z z tg d d cos cos ϕ ϕ Tieto dva píspevky sa v bode P vektoovo skladajú a vytvoia elementáne pole σ σ d E d E cosϕ tgϕ cosϕ dϕdα sinϕdϕdα πε πε Po pvej integácii tohto výazu cez elementy dα od po π dostaneme elementánu intenzitu od celého medzikužia d E z σ sinϕdϕ ε 38
a ak tú integujeme cez uhol ϕ od po ϕ, dostaneme Pe funkciu cosϕ platí takže Q E z σ ( cos ϕ ) ε ( ε R cos ϕ ) π z cosϕ z + R z Q Ez ( z ) σ z + R R ε πε R + z (.3) (.3) Ob..3 Z výazov (.3) a (.3) môžeme získa zaujímavé infomácie o poli. Pedovšetkým vidíme, že v nekonene vekej vzdialenosti (pe ϕ alebo z ) pole vymizne a v stede kuhu (pe ϕ π/, alebo z ) má konenú hodnotu σ Q Ez ε πε R (.33) Vo vekej vzdialenosti od kuhu pe z» R, môžeme pevátenú hodnotu odmocniny vo výaze (.3) ozvinú do mocninového adu a obmedzi sa na pvé dva leny ozvoja, teda R + z R z 39
a uvedený výaz nadobudne tva Q Ez 4 πε z Vidíme, že vo vekých vzdialenostiach od kuhu je jeho pole podobné ako pole bodového náboja. Na plošný náboj ozložený na kuhovej ploche je možný ešte iný dôležitý pohad. Pedpokladajme, že polome plochy R budeme zväšova do nekonena. Kuhová plocha pejde na nekonenú ovinu. Ak vo výaze (.3) ϕ π/ alebo vo výaze (.3) R, dávajú tieto výazy intenzitu elektického poa ped nekonenou ovinou v tvae E z σ (.34) ε Keže nekonená ovina nemá os symetie, intenzita daná posledným výazom je ovnako veká v každom bode ped a za ovinou. Ak je σ kladné, potom pole má sme od oviny na každú stanu. Ide o homogénne polia. Samozejme nekonene ozahlé oviny v paxi nemáme, ale naše úvahy sú platné pe každý pípad, v ktoom z «R, kde R je najmenší lineány ozme ovinnej plochy. Pole v dostatone malej blízkosti od stedu nabitej oviny môžeme považova za viac alebo menej homogénne s hodnotou intenzity σ/(ε ) poda výazu (.34). Siloiay v okolí ovnomene nabitého kuhu sú znázonené na ob..3b. Ob..4 Podobne ako v pípade nabitej iay a oviny môžeme vypoíta intenzitu elektického poa aj v pípade náboja ozloženého v objeme s objemovou hustotou ρ v objeme τ poda ob..4. Intenzita elektického poa v ubovonom bode P danom polohovým vektoom je daná výazom E( ) πε 4 τ ρ( ) dτ 3 (.35) 4
kde je polohový vekto nábojového elementu dq σ( )dτ a je vektoová vzdialenos bodu P. Bod P pitom môže leža mimo objemu τ, ale môže leža aj v tomto objeme alebo na haninej ploche objemu. Je zaujímavé, že pole zostane konené aj v týchto vnútoných bodoch objemu. Takisto pole na ploche s plošnou hustotou náboja je konené, avšak ak sú náboje ozložené na iaach, pole na samotnej iae má singulaitu, o si možno všimnú napíklad v pípade nekonene dlhého piamkového náboja [výaz (.6)]. Intenzita elektického poa od náboja v guli. Uvedieme píklad výpotu intenzity elektického poa pe náboje ozložené s objemovou hustotou. Ako uvidíte, takéto výpoty zaínajú by nepíjemne zložité. Relatívne jednoduchý je výpoet intenzity v okolí gule s polomeom R nabitej ovnomene v objeme celkovým nábojom Q, teda s konštantnou hustotou náboja ρ 3Q/( 4 3 πr ). Vypoítame intenzitu vo vzdialenosti R > R od stedu gule. Na guli zvolíme element objemu dτ v tvae nekonene tenkého ezu tvau disku poda ob..5, ktoého obsah 3 3 d τ πr sin ϑ d ϑ Ob..5 Význam symbolov je zejmý z obázku, z ktoého takisto vidíme, že R sinϑ l R cosϑ x R l R R cosϑ x x + cosϕ Na objemovom elementánom disku je náboj 3 3 d Q ρdτ Qsin ϑ dϑ 4 ktoý v bode P vo vzdialenosti x od neho vytvoí osovú intenzitu poa vekosti d Q 3Q ( R R cos )sin d E ( cos ) ϑ ϑ ϕ sinϑ dϑ πε 8πε R R + R RR cosϑ 4
Kal Fiedich GAUSS (777 Baunschweig 855 Göttingen) Wilhelm Eduad WEBER (84 Wittenbeg 855 Göttingen) 4
Tento výaz sme získali ako analógiu k výazu pe intenzitu poa plošného ovinného disku [pozi vzah (.3)]. Výsledné pole dostaneme integáciou cez všetky elementáne objemové disky, teda v danom vyjadení poda uhla ϑ od po π, takže π Q R R 3 Q E ( cos ϑ )sinϑ R sinϑ dϑ 8πε R + R RR R 4 π cosϑ ε Pi výpote integálu možno s výhodou využi substitúciu R + R RR cosϑ t S pekvapením zisujeme, že výsledok integácie je neobyajne jednoduchý. Pole mimo objemu gule je také isté adiálne pole, ako pole ovnako vekého bodového náboja umiestneného v stede gule, teda Q E( ) 4 πε (.36) pe všetky > R. Vo vnúti guového ozloženia je tiež nenulové pole, je takisto jednoduché, ale jeho výpoet je zložitý, a peto ho na tomto mieste neuvádzame. Uvedené ilustácie svedia o tom, že výpoet poa zložitejších ozložení nábojov piamou integáciou je možný, ale je pinajmenšom nepohodlný. Našastie existuje metóda, ktoá, aj ke nie je univezálna, umožuje v niektoých pípadoch ui intenzity polí takme spamäti a ušetí itatea od úmoných výpotov. Metóda spoíva na jednom zo základných zákonov elektomagnetizmu, ktoý dostal názov poda jeho objavitea volá sa Gaussov zákon..4 GAUSSOV ZÁKON. TOK VEKTORA PLOCHOU Pojem toku vektoa je jedným zo základných pojmov teóie vektoového poa. Vo fyzike sa s ním stetávame asto, napíklad v hydodynamike. Staviteov hydocentál samozejme vemi zaujíma, aké množstvo vody peteie za jednotku asu pívodným potubím k tubíne. Množstvo peteenej vody, nap. v m 3 /s, závisí pedovšetkým od pieezovej plochy potubia, ale aj od chaakteu púdenia a od ýchlosti molekúl vody v jednotlivých bodoch pieezovej plochy. Ak by púdenie bolo lamináne, v tom pípade úloha o množstve peteenej vody alebo fyzikálne povedané úloha o toku vektoa ýchlosti by bola vemi jednoduchá. Ak však podmienka laminánosti púdenia nie je splnená, úloha sa môže ukáza náoná na výpoet. Duhý píklad toku vektoovej veliiny je tok enegie elektomagnetického poa, ak chcete, tak nap. žiaivej elektomagnetickej enegie Slnka, ktoá peniká cez okno do Vašej izby. Neskô zavedieme vektoovú veliinu, ktoá sa nazýva Poyntingov vekto a fyzikálne udáva množstvo elektomagnetickej enegie penikajúcej kolmo jednotkovou plochou za jednotku asu alebo výkon pechádzajúci kolmo jednotkovou plochou. Ak 43
Poyntingov vekto vhodne integujeme, dostaneme celkový slnený výkon cez Vaše okno alebo inak povedané tok Poyntingovho vektoa danou plochou. V uvedených dvoch píkladoch ide o skutoný tok eálnej fyzikálnej veliiny (hmotnos, enegia). Ukazuje sa však, že niekedy je vhodné zavies aj tok vektoovej veliiny, pi ktoej v známom zmysle ni neteie. Takýmto abstaktným tokom je nap. tok intenzity elektického poa alebo tok magnetickej indukcie. Ich zavedenie nám umožuje elegantne sfomulova niektoé základné zákony elektomagnetizmu. Pokúsme sa naše úvahy o toku vyjadi matematicky. Ob..6 Pedstavme si, že v nejakej asti piestou je dané nejaké vektoové pole. Pe jednoznanos pedpokladajme, že je to pole vektoa ýchlosti púdiacej kvapaliny ako funkcie piestoových súadníc. Pe zaiatok tiež pedpokladajme, že ide o pole homogénne. Vložme do tejto púdiacej kvapaliny myslený ovinný ámek s obvodom l, nap. štvouholník ako na ob..6a tak, že vekto je kolmý na ovinnú plochu S ohanienú ámekom. Potom množstvo kvapaliny, ktoé pi ýchlosti peteie plochou S za jednotku asu je S. Toto množstvo vyjadené napíklad v m 3 /s nazveme tokom kvapaliny alebo tokom vektoa plochou S a oznaíme ho Ψ S Ak by plocha ámeka nebola kolmá na sme vektoa, ale kolmica k ploche by zvieala s plochou uhol ϕ ako na ob..6b, potom tok ámekom by bol Ψ Scosϕ (.37) Špeciálne v pípade, ak kolmica zviea s vektoom uhol ϕ 9 ako na ob..6c, potom tok Ψ. Vo všetkých pedošlých pípadoch sme pedpokladali, že vekto ýchlosti je konštantný vekto, teda jeho pole je homogénne. Ak sa ýchlos kvapaliny od miesta k miestu mení, v tom pípade výsledný tok cez ovinnú plochu bude daný integálnym sútom nekonene malých tokov dψ cez nekonene malé plôšky ds, na ktoé musíme plochu S ozloži. Podobne ako vo vzahu (.37) dostaneme dψ dscosϕ (.38) 44
kde ϕ je uhol medzi vektoom a kolmicou na píslušnú plôšku ds. Vzniká tu však jedna ažkos, že na jednotlivých plôškach je sme vektoa ôzny, a teda ϕ je funkciou polohy. Pi zápise posledného výazu možno s výhodou využi pojem plošného vektoa je to vekto, ktoého modul sa ovná vekosti ovinnej plochy a sme je daný smeom kolmice na plochu. Plocha má však dve stany, peto v konkétnom pípade teba nejakým pavidlom tento sme vyba. V danom pípade je to sme eálneho toku. Náš plošný element ds budeme teda stotožova s vektoom ds a keže ýchlos je tiež vekto, výaz (.38) pe dψ môžeme napísa ako skalány súin vektoov a ds, teda dψ.ds (.39) Celkový tok udáva integál jednotlivých píspevkov (.39) po celej ploche S Ψ.d S S (.4) Ob..7 Zovšeobecníme teaz naše úvahy o toku kvapaliny. Plocha S nemusí by ovinná, ale ubovoná, a dokonca aj ámek haniná iaa l, nemusí leža v ovine, pozi ob..7a. Aj v takomto pípade tok kvapaliny je daný integálom (.4), hoci jeho paktický zmysel sa stáca, nie však v pípade iných, abstaktných vektoových polí. V abstakcii môžeme pokaova tak, že haninú iau l budeme skacova na nulu, až z plochy s haninou iaou vznikne uzavetá plocha S ako na ob..7b, ktoá uzatváa nejaký objem τ. Vypoítajme tok kvapaliny takouto uzavetou plochou. Bezpochyby takýto integál po uzavetej ploche z ýchlosti púdiacej nestlaitenej kvapaliny sa ovná nule, o môžeme matematicky napísa Ψ.d S S (.4) Integál, teda tok vektoa, sa ovná nule, petože koko kvapaliny do objemu τ plochou zava na ob..7b vteie, toko jej plochou vpavo z objemu vyteie kvapalina sa totiž vo vnúti plochy nehomadí. 45
Existuje vea vektoových polí, ktoých integál toku cez ubovonú uzavetú plochu sa ovná nule, ale aj vea takých, ktoých tok sa nule neovná. Nulovým je tok páve diskutovanej nestlaitenej kvapaliny chaakteizovanej jej ýchlostným poom, alej tok vektoa magnetickej indukcie, na duhej stane, nenulovým je nap. tok intenzity elektického poa, tok intenzity gavitaného poa a i. Venujme sa teda toku intenzity elektického poa, ktoý bude teaz stedobodom nášho záujmu. Analogický postup a agumentáciu, aké sme aplikovali pi zavedení toku ýchlosti, môžeme aplikova aj pi zavedení toku vektoa intenzity elektického poa E. Ak v elektickom poli intenzity E zvolíme uzavetú plochu S, fomálne je tok vektoa E daný integáciou píspevkov dψ E.dS po uzavetej ploche S, teda Ψ E.d S S (.4) Položme si teaz zásadnú otázku omu sa takýto integál vo všeobecnosti ovná, omu sa ovná tok intenzity elektického poa uzavetou plochou, ak zobeieme do úvahy, že v piestoe, kde existujú polia, sa nachádzajú aj ich zdoje bodové alebo nejako ozložené náboje. Pedovšetkým si teba všimnú, že tok akéhokovek vektoového poa je skalána veliina. alej, intuitívne cítime, že hodnota integálu bude pincipiálne iná cez také plochy, ktoé vo svojom vnúti obsahujú náboje, a iná v pípade, ak vo vnúti plochy náboje neexistujú. Otázku o toku nemožno zodpoveda na základe žiadnych poznatkov z elektomagnetizmu, to musel niekto pís so spásnou myšlienkou hodnou génia. Taký génius sa objavil na konci 8. stooia v Nemecku a volal sa Kal Fiedich Gauss, ktoý vyslovil Zákon. Slávny zákon o toku však Gauss nesfomuloval pe elektické, ale pe gavitané pole, ktoé je ovnakého fyzikálneho duhu, a ktoé v jeho dobe bolo študované intenzívnejšie ako vtedy takme neznáme elektické pole. Gauss vo svojom zákone pedovšetkým stanovil, že tok vektoa intenzity elektického poa je vo všeobecnosti nenulový. Zákon v jeho dnešnej fomulácii znie: Gaussov zákon Tok intenzity elektického poa E uzavetou plochou S sa ovná náboju Q uzavetému plochou a delenému elektickou konštantou poa (pemitivitou vákua) ε. V matematickej fomulácii: E. d Q S (.43) ε S Teba zdôazni, že náboj Q je celkový náboj v objeme τ uzavetom plochou S bez ohadu na to, ako je tam ozložený; môže to by jeden bodový náboj q, teda Q q, alebo súbo n bodových nábojov q i, teda Q n i q i 46
alebo náboj ozložený spojito v objeme τ s objemovou hustotou ρ, t. j. Q ρ d τ τ Ak v objeme uzavetom plochou nie sú žiadne náboje, vtedy sa tok uzavetou plochou ovná nule, teda E.d S S Uvedená fomulácia Gaussovho zákona (.43) je známa ako integálny tva Gaussovho zákona, petože udáva vlastnosti poa vo vekom objeme. Neskô sfomulujeme difeenciálny tva, ktoý opisuje vlastnosti poa v bode piestou. Všimnime si teaz niektoé základné vlastnosti elektického poa tak, ako plynú z Gaussovho zákona. Skutonos, že tok je nenulový, ak plocha obsahuje náboje, a naopak, je nulový, ak tam náboje nie sú, je znakom, že pole je žiedlové a žiedlami sú elektické náboje elektické siloiay vystupujú z kladných nábojov a vstupujú do záponých. Takúto vlastnos nemá nap. magnetické pole, ktoého tok ubovonou uzavetou plochou je vždy nulový. Magnetické pole je peto poom nežiedlovým, poom víovým. Ob..8 Duhá závažná skutonos, ktoá plynie z Gaussovho zákona, je intenzita poa bodového náboja. Ak okolo bodového náboja q zvolíme Gaussovu plochu v tvae koncentickej guovej plochy s polomeom (ob..8) a ak uobíme jediný pedpoklad o poli, že je adiálne, potom vo výaze (.43) skaláne súiny E.dS sú súiny absolútnych hodnôt EdS, petože vektoy E a ds sú všade na uvažovanej guovej ploche paalelné. alej, E je všade na ploche konštantné, teda ho možno spod integálu vyba, a nakoniec, S d S obsahu guovej plochy, teda 47
z oho q E.dS EdS E ds 4π E ε S S S E q 4 πε To je nám už známy výaz pe intenzitu elektického poa v okolí bodového náboja. Ak na plochu S umiestnime alší naboj q, potom sila F pôsobiaca na tento náboj F q E 4 πε q q o je Coulombov zákon, ku ktoému sme takto dospeli isto teoetickými úvahami z Gaussovho zákona. Mohli by sme však naše úvahy aj obáti a z Coulombovho zákona dokáza platnos Gaussovho zákona. Vzniká tak bludný kuh ciculus vitiosus in pobando! Ak sa mu chceme vyhnú, musíme si ujasni otázku pioity a ozhodnú, ktoý z týchto dvoch zákonov je pvotný. Pvotný je taký zákon, ktoý logicky nevyplýva z iných zákonov, má neobmedzenú platnos a pitom neodpouje žiadnemu javu pozoovanému v píode. Takéto atibúty má Gaussov zákon, a peto ho považujeme za pvotný zákon elektostatiky. Coulombov zákon, ktoý platí pe bodové náboje vo vákuu ho expeimentálne potvdzuje..5 VÝPOET INTENZÍT ELEKTRICKÝCH POLÍ S VYUŽITÍM GAUSSOVHO ZÁKONA Gaussov zákon nám v niektoých pípadoch umožuje neobyajne jednoducho a elegantne vypoíta intenzitu poa. Jeden takýto výpoet sme uobili v pedchádzajúcom odstavci pe bodový náboj. Ak chceme využi Gaussov zákon na výpoet intenzity polí, potebujeme iba dve veci. Ma pedstavu o piestoovom ozložení poa, t. j. ma pedstavu nap. o piebehu siloia, a na jej základe nájs Gaussovu plochu tak, aby v každom jej bode bola intenzita poa ovnaká a bola kolmá na plochu. V takom pípade integál E. d S pejde na súin plochy S a vekosti intenzity E, teda E. d S ES. Je zejmé, že S S nie vždy vieme nájs vhodnú plochu, a peto poet takto iešitených úloh je obmedzený. Umenie vhodne zvoli Gaussovu plochu je mieou úspešnosti iešenia. Intenzita elektického poa v okolí nabitej piamky. Váme sa teaz znovu k nekonene dlhej piamke nabitej nábojom s konštantnou hustotou λ a vypoítajme intenzitu elektického poa v jej okolí ešte az, teaz s využitím Gaussovho zákona. Pole je adiálne, lebo je valcovo symetické s osou symetie na nabitej piamke. Ak zvolíme ako Gaussovu plochu koaxiálny valec s polomeom a džkou l ako na ob..9, bude ma pole na plášti valca všade ovnakú hodnotu a bude smeova kolmo na valcovú plochu. Celkový náboj uzavetý plochou Q λl a tok valcovou plochou je daný iba tokom cez pláš valca, petože tok základami je nulový (vektoy intenzity ležia v ovine základní). S využitím Gaussovho zákona (.43) dostaneme 48
Ob..9 a odtia λl E.d S πle ε S E λ πε o je ten istý výsledok ako (.6), ktoý sme dostali integáciou. Poovnajte a posúte, ktoý postup je jednoduchší. Intenzita elektického poa od náboja ozloženého v nekonene dlhom valci. Pedpokladajme teaz, že náboj je ozložený nie na piamke, ale s nejakou konštantnou objemovou hustotou ρ v nekonene dlhom valci s polomeom R (ob..a). Aj v takom pípade výpoet intenzity poa je možný piamou integáciou, avšak je zložitý. Využime k výpotu Gaussov zákon. Peskúmame zvláš pole mimo objemu valca ( > R) a vo valci ( < R). Zavedieme si džkovú hustotu náboja (náboj na mete džky valca) λ πr ρ. Ob.. 49
V bodoch > R môžeme aj teaz oakáva adiálne pole, takže Gaussovou plochou môže by zase koaxiálny valec ako v pípade piamkového náboja. Rovnakými úvahami dostaneme pe intenzitu poa výaz λ πr ρ ρr E πε πε ε (.44) teda piebeh poa ako funkciu /, podobne ako u piamkového náboja. Ak vo vnúti valca (pe body < R) existuje pole, tak z dôvodov symetie musí by tiež adiálne a vyhovujúcou Gaussovou plochou je zase koaxiálny valec s polomeom a džkou l. Celkový uzavetý náboj Q π ρl, a teda poda Gaussovho zákona (.43) platí z oho Q π ρl πle ε ε ρ E (.45) ε Vidíme, že vo vnúti valca existuje adiálne pole s nulovou hodnotou intenzity na osi valca, vekos intenzity poa lineáne naastá až na hodnotu ρr/(ε ) a z tejto hodnoty klesá ako funkcia / poda výazu (.44). Na ob..b je gaficky znázonená závislos absolútnej hodnoty intenzity poa ako funkcie (vzdialenosti od osi valca). Ob.. Intenzita elektického poa od náboja na valcovej ploche. Ak je náboj ozložený s konštantnou plošnou hustotou σ po povchu valca, môžeme tiež oakáva, že vo vonkajšom piestoe ( > R) bude intenzita smeova adiálne od osi valca, a teda vhodnou Gaussovou plochou je valec džky l s polomeom. Vo vnúti valca je uzavetý celkový náboj Q πrlσ. S využitím Gaussovho zákona pe intenzitu poa dostaneme 5
E R σ (.46) ε Ako vidíme, pole je také isté, ako pole nabitej piamky s džkovou hustotou λ πrσ. Zaujímavá je otázka o poli vo vnúti valcovej plochy, pe < R. Ak vo vnúti valca zvolíme akúkovek uzavetú plochu S, nebude obsahova žiadny náboj, petože náboj je uložený s plošnou hustotou po povchu valca. To ale znamená, že E.d S po ubovonej ploche vo vnúti valca sa ovná nule, teda že samotná integovaná funkcia sa musí ovna nule. Vo vnúti valca E, o om sa ahko môžeme pesvedi aj piamou integáciou. Gafický piebeh absolútnej hodnoty E v závislosti od pe nekonene dlhý valec nabitý povchovo nábojom s hustotou σ je na ob... Intenzita elektického poa od náboja na nekonenej ovine. Dôležitý je pípad poa nekonenej oviny nabitej nábojom s konštantnou hustotou σ. Je logické pedpoklada, že na obidvoch stanách oviny je homogénne elektické pole E kolmé k ovine. Vhodnou Gaussovou plochou je valec s plochou základne S peložený cez nabitú ovinu v jeho polovinej džke poda ob..a. Tok intenzity plášom valca je nulový, petože vekto poa leží na ploche pláša, takže celkový tok valcom je sútom tokov cez dve jeho základne, t. j. SE. Celkový náboj obklopený valcom je σs, a teda v súhlase so vzahom (.43) z oho S SE σ ε E σ (.47) ε Rovnaký výaz sme už dostali pi limitnom pechode kuhovej plochy na nekonenú ovinu [pozi výaz (.34)]. Pole siloia v okolí nekonenej oviny je na ob..b. Ob.. 5
Elektické pole nábojov na dvoch paalelných ovinách. Dve paalelné nekonené oviny nabité opanými plošnými nábojmi ±σ vytvoia pole, ktoé je supepozíciou poli každého z nábojov. Medzi ovinami sa intenzity od obidvoch ovín sítavajú na hodnotu E σ ε (.48) so smeom vektoa E od kladnej oviny k záponej. Z vonkajšej stany ovín sa intenzita poa ovná nule, polia sa tam navzájom kompenzujú. Ak sú oviny nabite nábojmi ovnakého znamienka, medzi ovinami sa intenzita ovná nule a z vonkajšej stany ovín má hodnotu σ/ε. Polia obidvoch páov ovín sú zobazené siloiaami na ob..3a,b. Ob..3 Intenzita elektického poa náboja ozloženého v objeme gule. Dôležitým pípadom objemovo ozloženého náboja je náboj Q ozložený s konštantnou hustotou ρ 3Q/(4πR 3 ) v objeme gule s polomeom R. Pole v okolí gule sme už získali pomene zložitou integáciou. Skúsme to s Gaussovým zákonom! Rovnomene ozložený náboj bude podukova adiálne elektické pole ako v okolí, tak aj vo vnúti gule. Ozname vzdialenos od stedu gule. Pe body mimo objemu gule ( > R) je vhodnou Gaussovou plochou koncentická guová plocha s polomeom. V každom bode tejto plochy je intenzita E ovnaká a kolmá na plochu, teda tok intenzity sa ovná 4πR E a poda vzahu (.43) z oho Q 4π E ε E Q 4 πε (.49) Teda známy výsledok [pozi výaz (.36)], teaz získaný neobyajne jednoducho pole v okolí gule je také isté, ako pole ovnako vekého bodového náboja umiestneného v stede gule. Akýkovek iný bodový náboj q opaného znamienka ako Q nachádzajúci 5