60. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2018/2019 Celoštátne kolo kategórie A Trenčianske Teplice 12. apríla 2019 Riešenie teoretických úloh 1

Prepis

1 6 očník Fyzikálnej olympiády školskom oku 8/9 Celoštátne kolo kategóie enčianske eplice apíla 9 iešenie teoetických úloh Zostup lunáneho modulu iešenie: a) Pi pohybe kozmickej lode po kužnici okolo esiaca je dostediá gaitačná sila onoáhe so zotačnou (odstediou) silou G m m h h Odtiaľ máme Doba obehu G h h ( h ) π π G, kde m je hmotnosť kozmickej lode Pe dané hodnoty,6 km s -, 7, ks h 59 min s b) odul bude zostupoať centálnom gaitačnom poli esiaca po eliptickej tajektóii Pi pohybe sa zachoáa moment hybnosti modulu zhľadom na sted esiaca ( Kepleo zákon) ( h ) m h m cos, () kde m je hmotnosť modulu Pi pohybe gaitačnom poli sa zachoáa mechanická enegia m m m G m G, h h odkiaľ G h h Po dosadení do () a teda G h h cos h h ( h ) ( h ) cos G h h cos h cos h Pe dané hodnoty 757 m s - V bode má modul ýchlosť, podľa (), G h h Pe dané hodnoty 99 m s - (),

2 Ob Ob - c) k je uhol α, bod je chol elipsy Zo zákono zachoania momentu hybnosti, esp plošnej ýchlosti, m ( h ) m ( h ), a mechanickej enegie m m m G m G h h dostáame a ( h ) ( h ) G h h h h ( h ) ( h ) G h h h h Pe dané hodnoty,6 km s -,,69 km s - Na učenie času zostupu použijeme Kepleo zákon, podľa ktoého je tetia mocnina pomeu hlaných polosí oná duhej mocnine pomeu dôb obehu Pe iešený pípad máme t h h h, a teda Pe dané hodnoty t, ks 57 min s t h h h /

3 lektický obod a) V ustálenom stae pi konštantnom napätí zdoja je na induktooch L a L nuloé napätie a kapacitomi C a C pechádza nuloý púd Ustálený púd I pechádzajúci induktoom L je U I Púd pechádzajúci induktoom L je nuloý Napätia na kapacitooch U U V Po odpojení zdoja spínačom S zostane bezstatoý obod, ktoom sa zachoáa celkoá enegia elektického poľa kapacitoo a magnetického poľa induktoo, ktoá je na začiatku L L L I U () Po ypnutí spínača je púd induktoa I > a postupne klesá Pe tento sme púdu je dióda otoená, tzn napätie U D V a dojpól L, C je diódou skatoaný (I ) Púdom I sa zelektizuje kapacito C Keď I klesne na nulu za čas t, je enegia C L a U < Kapacito C sa potom začne ybíjať Pe ybíjací púd je dióda záenom smee, tzn I D, a teda C sa ybíja púdom I > cez dojpól L, C, L Napätie U dosiahne maximum, keď púd I obode poklesne na nuloú hodnotu, tzn enegia L bude ozložená na kapacitooch C a C Keďže deje pej etape a duhej etape pebiehajú ako samooľné deje obode LC, piebehy obodoých eličín sú opísané hamonickými funkciami aximum púdu je tak maximálnou hodnotou píslušného sínusoého piebehu,5 b b) V okamihu ozpojenia spínača je dióda polaizoaná piepustnom smee a má teda nuloý odpo Dej tak pebieha uzatoenej slučke L, C, D Púd I sa mení podľa hamonickej funkcie (netlmené hamonické kmity) I t I cos t, kde je uhloá fekencia lastných kmito L, C obodu () LC Napätie U C na kapacitoe C je posunuté o šttinu peiódy U U sin t () C Cm Napätie dosiahne maximálnu hodnotu, keď púd I klesne na nulu, tzn čase π t L C () negia L je oná enegii nabitého kapacitoa L L U C Um, odkiaľ U Pe dané hodnoty: U m 7,9 V, t 99 μs U L m C (5) c) V čase t sa mení polaita púdu I (kapacito sa začína ybíjať), dióda pechádza do záeného stau I D Kapacito C sa ybíja cez obod C, L, C, L púdom, ktoý má hamonický piebeh a nuloú začiatočnú hodnotu sin I t I t t, kde m C C L L C C ( ) (6)

4 je uhloá fekencia lastných kmito obodu doch induktoo s indukčnosťou L L L CC a doch kapacitoo s kapacitou C zapojených do séie C C aximum U m dosiahne napätie U, ak púd I obode klesne na nulu, tzn čase π t t L C π Zo zákona zachoania enegie máme ( ) L L C C C C (7) L C Um C U C Um, (8) kde U je napätie na kapacitoe C tomto okamihu Náboj Q penesený z kapacitoa C na kapacito C yjadíme Q C ( U U ) C U (9) m m Z (9) a () dostáame maximálnu hodnotu napätia na kapacitoe C CU m L Um U () C C C C Pe dané hodnoty: U m 6 V, t μs d) Púd kapacitoa C, a teda aj induktoa L dodá na kapacito náboj Q C U m Náboj je integál púdu / / / d m sin d m cos m Q i t I t t I t I aximálna hodnota púdu C L C C I U U m m C ( L L )( C C ) Púd I dosiahne maximum I m čase π π t t L C ( ) L L C C C C Pe dané hodnoty I m,7, t 7 μs Optická sústaa a) by nedochádzalo k ozptylu setla na guli dôsledku odazu, musí setlo dopadať na poch gule kolmo V tom pípade odazené lúče kopíujú dopadajúce lúče a zäzok odazených lúčo sa pekýa so zäzkom lúčo dopadajúcich Inak poedané, lúče musia dopadať na poch gule kolmo, teda smeujú do jej stedu, ktoý tak pedstauje obaz Z zdoja Z ytoeného šošokou Odazené lúče sa tak acajú do bodu Z zdoja, ob (a) b Vzhľadom na symetiu sústay zhľadom na optickú os existuje duhá možnosť epodukcie zäzku setla dopadajúceho na guľu, ak je odazná plocha kolmá na optickú os o je splnené pi odaze od cholu V gule V takom pípade je zäzok odazených lúčo iba peátený podľa

5 optickej osi oči zäzku lúčo dopadajúcich Odazené lúče sa tak acajú bez ozptylu k šošoke a zdoju Z, ob (b) Obázky (a) a (b) () () Z F F S f f Z a d a (a) () () Z F F V S f f Z () a a (b) d b) Obaz Z zdoja ytoený šošokou je o zdialenosti a od šošoky, pe ktoú platí af, esp a a a f a f () V pom pípade je Z S Kajný lúč (), ktoý pejde šošokou, dopadá kolmo na poch gule bode a odazí sa späť Po pechode šošokou sa láme do bodu Z Setlo zdoja dopadajúce na šošoku sa tak acia späť do zdoja k dosadíme a d a do () dostáame a f d a a f, odkiaľ a d a d f d f iešenie kadatickej onice je a d xistujú de podmienky iešenia: Ob d f pá podmienka f d/, duhá podmienka a >, odkiaľ d Pe dané hodnoty eličín je pá podmienka splnená, duhá podmienka je splnená pe obide znamienka xistujú peto de možné polohy šošoky, ktoé spĺňajú dané podmienky Pe dané hodnoty a 5, cm, a 9,67 cm 5

6 V duhom pípade Z V Platí a d a Po dosadení do () máme af d a a f, odkiaľ máme kadatickú onicu a a( d ) f ( d ) Jej iešenie je Podmienky iešenia: pá podmienka d a f d d f, duhá podmienka a >, podľa () a > f, odkiaľ d f f d Pe dané hodnoty je pá podmienka splnená Duhá podmienka je splnená pe obide znamienka xistujú de ďalšie možné polohy šošoky a 8,9 cm, a, cm c) Vo šetkých štyoch pípadoch polohy šošoky a až a sa lúče dopadajúce na poch gule acajú do bodu Z zdoja, tzn obaz zdoja Z je totožný so zdojom Z Vzdialenosti x obazu Z od šošoky sú x i a i pe i,,, Klasické modely atómu iešenie: a) Na dôkaz použijeme Gaussou etu elektostatiky pe bodoo symetické ozloženie náboja Q s hustotou Q Q V π guli s polomeom ko integačnú plochu použijeme guľoú plochu s polomeom so stedom bode symetie S Q S ds S π () k je <, je o núti plochy S náboj Q Q QS VS π π Q Po dosadení do () máme pe () π k je, je o núti integačnej plochy celý náboj Q a podľa () Q pe () π k sa nepoužije Gaussoa eta, je možné učiť funkciu f() pomocou infomácie, že ide o lineánu funkciu, a známy zťah () pe elektickú intenzitu na pochu gule s nábojom Q Q e ( ) k, pičom k Odtiaľ k π π 6

7 b) Na elektón pôsobí elektické pole silou F e Potenciálna enegia p F d K konkétnom bode, pičom konštanta K záisí od oľby hodnoty potenciálnej enegie eq eq Pe je p d K K π π k položíme p pe, je K, a teda Pe máme p eq π () eq eq d K K p π π Konštantu K dostáame z podmienky spojitosti funkcie p na pochu gule p() p() a teda eq eq K, odkiaľ eq K π, π π eq p 8π (5) c) Na elektón na kužnicoej tajektóii pôsobí dostediá elektická sila F e Pi pohybe po kužnici okolo stedu symetie je sila F kolmá na sme okamžitej ýchlosti a nekoná pácu, tzn kinetická enegia sa nemení a pohyb je onomený Zýchlenie má iba dostediú zložku Pohyboá onica elektónu má ta ma m F (6) Pe homsono model máme m me (7) π e a odtiaľ L m π Celkoá enegia na tajektóii s polomeom e e e p π 8π π m Po dosadení za zo (7) e π π me L (8) d) Pe uthefodo model dostaneme onakým postupom m Celkoá enegia e a odtiaľ π Po dosadení za z (9) me L m (9) π p e e e π π 8π m π L me () 7

8 e) Po dosadení L n L za moment hybnosti elektónu do (8) a () e π L n a a L n, () π me me b () π L n L n Najnižšia enegia je stae n, ktoý pedstauje základný sta atómu So zäčšoaním hodnoty n sa enegia zäčšuje Zmena enegie elektónu zodpoedá enegii fotónu, ktoý atóm excitoal pi pechode zo stau s nižšou enegiou do stau s yššou enegiou (absopčná čiaa spekta), alebo ktoý znikol pi elaxácii atómu z yššej enegetickej hladiny na nižšiu (emisná hc čiaa spekta) negia fotónu f n n h f Vlnoá dĺžka fotónu Pe model hc n, n a požadoaný pome p,5, pe model a požadoaný pome π m e L n n hc L n, n π me n 7 p,8 n f) Pome zmeaných lnoých dĺžok p λ /λ,8 ento pome zodpoedá modelu s Bohoou podmienkou Zo zťahu () yjadíme L π 8,, () e m hc, pe dané hodnoty L,5 Js Pozn: Výsledok zodpoedá hodnote Diacoej konštanty ħ,55 Js hc n n 6 očník Fyzikálnej olympiády eoetické úlohy celoštátneho kola kategóie uto náho úloh: Io Čáp, Ľubomí Konád ecenzia a úpaa úloh a iešení: Daniel Kluanec, Ľubomí ucha edakcia: Io Čáp Vydal: Sloenská komisia fyzikálnej olympiády IUVN Sloenský inštitút mládeže, Batislaa 9 8