Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006

Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD.

Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................ 4 1.2 Matice............................... 6 1.3 Operácie s maticami....................... 9 1.4 Hodnosť matice.......................... 12 1.5 Determinant matice........................ 15 1.6 Inverzné matice.......................... 19

4 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 1 Aritmetické vektory a matice 1.1 Aritmetické vektory Definícia 1.1.1 Nech n N. Usporiadanú n-ticu čísel a 1, a 2,..., a n nazývame n rozmerným aritmetickým vektorom. Čísla a 1, a 2,..., a n nazývame zložkami alebo súradnicami aritmetického vektora. Zápis: a 1 a 2 a = (a 1, a 2,..., a n (riadkový alebo a = (stĺpcový vektor.. a n Poznámka. V ďalšom texte budeme uvažovať vektory z R n resp. C n. Definícia 1.1.2 Majme aritmetické vektory a = (a 1, a 2,..., a n a b = (b 1, b 2,..., b n, pre n N. (i Vektory a, b sa rovnajú práve vtedy, ak a i = b i, pre i = 1, 2,, n. (ii Súčtom vektorov a, b nazývame vektor c = (c 1, c 2,..., c n, kde c i = a i + b i, pre i = 1, 2,, n. (iii Násobkom vektora a konštantou k nazývame vektor c = (c 1, c 2,..., c n, kde c i = k a i = a i k, pre i = 1, 2,, n. (iv Nulovým vektorom nazývame vektor 0 = (0, 0,..., 0. (v Opačným vektorom k vektoru a nazývame vektor ( 1 a = a = ( a 1, a 2,..., a n. (vi Rozdielom vektorov a b nazývame vektor c = (c 1, c 2,..., c n, kde c i = a i b i, pre i = 1, 2,, n. Poznámka. Horeuvedenú definíciu môžeme analogicky vysloviť pre stľpcové vektory. Definícia 1.1.3 Nech m, n N. Nech a 1, a 2,...,a m sú riadkové (stĺpcové n-rozmerné vektory. Lineárnou kombináciou vektorov a 1, a 2,...,a m nazývame vektor x = α 1 a 1 + α 2 a 2 + + α m a m. Konštanty α 1, α 2,...,α m nazývame kombinačnými koeficientami. Lineárnu kombináciu nazývame triviálnou, ak sú všetky kombinačné koeficienty rovné nule.

1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 5 Definícia 1.1.4 Nech m, n N. Množinu n-rozmerných riadkových (stĺpcových vektorov nazývame lineárne nezávislou práve vtedy, ak každá lineárna kombinácia vektorov jej ľubovoľnej podmnožiny, ktorá sa rovná nulovému vektoru, je triviálna. Zápis: (α 1 a 1 + α 2 a 2 + + α m a m = 0 α 1 = α 2 =... = α m = 0 a 1, a 2,..., a m sú lineárne nezávislé. Definícia 1.1.5 Nech n N. Množinu n-rozmerných riadkových (stĺpcových vektorov nazývame lineárne závislou práve vtedy, ak nie je nezávislou. Nasledujúce vety uľahčujú rozhodovanie, či je množina vektorov lineárne závislá alebo nezávislá. Prvá z nich formuluje nutnú a postačujúcu podmienku pre lineárnu závislosť množiny vektorov. Veta 1.1 Nech m, n N. Množina vektorov a 1, a 2,...,a m R n, je lineárne závislá vtedy a len vtedy, ak sa niektorý z nich dá zapísať ako lineárna kombinácia ostatných vektorov. Dôsledok 1 Dva vektory sú lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak jeden je násobkom druhého. Veta 1.2 Množina vektorov obsahujúca nulový vektor je lineárne závislá. Veta 1.3 Množina vektorov, ktorá je lineárne závislá, ostane lineárne závislá aj po pridaní ďalšieho vektora. Príklad 1.1.1 Zistime, či sú vektory x 1, x 2 a x 3 lineárne závislé alebo nezávislé x 1 = (1, 2, 3 x 1 = (1, 2, 3 a x 2 = (2, 1, 1 b x 2 = (2, 1, 1 x 3 = (1, 7, 9 x 3 = (1, 7, 8. Riešenie. a Utvoríme lineárnu kombináciu α x 1 +β x 2 +γ x 3 a zistíme, či má rovnica αx 1 + βx 2 + γx 3 = 0 len triviálne (nulové riešenie. Prepisom tejto rovnice α(1, 2, 3 + β(2, 1, 1 + γ(1, 7, 9 = (0, 0, 0 dostávame sústavu lineárnych rovníc α + 2β + γ = 0 2α β + 7γ = 0 3α + β + 9γ = 0.

6 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Eliminujeme neznámu α v druhej a tretej rovnici pričítaním 2 násobku, resp. 3 násobku prvej rovnice k druhej, resp. tretej rovnici. Dostávame α + 2β + γ = 0 5β + 5γ = 0. 5β + 6γ = 0 Odčítaním druhej rovnice od tretej rovnice eliminujeme neznámu β v tretej rovnici: α + 2β + γ = 0 5β + 5γ = 0. γ = 0 Sústava má jediné riešenie α = 0, β = 0 a γ = 0. Z toho vyplýva, že vektory x 1, x 2 a x 3 sú lineárne nezávislé. b Analogickým postupom ako v predošlom príklade riešime sústavu α + 2β + γ = 0 2α β + 7γ = 0 3α + β + 8γ = 0 Po eliminácii α v druhej a tretej a β v tretej rovnici dostávame sústavu α + 2β + γ = 0 5β + 5γ = 0 0 = 0 Sústava má nekonečne veľa riešení (pre γ = t β = t, α = 3t pre t R. Ak zvolíme t = 1, tak α = 3, β = 1 a γ = 1 je netriviálne riešenie sústavy, a teda vektory x 1, x 2 a x 3 sú lineárne závislé. Poznámka. Použitím maticového zápisu môžeme problém lineárnej závislosti, resp. nezávislosti množiny vektorov riešiť podobne ako problém hodnosti matice (viď kapitola Aritmetické vektory a matice podkapitola Operácie s maticami. 1.2 Matice Definícia 1.2.1 Maticou typu m n nazývame množinu prvkov zapísaných do tabuľky s m riadkami a n stĺpcami, pre m, n N: a 11 a 12... a 1n A = a 21 a 22... a 2n a m1 a m2... a mn Zápis: A = (a ij, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Poznámka. V ďalšom texte budeme uvažovať matice, ktorej riadky tvoria vektory z R n resp. C n...

1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 7 V nasledujúcich riadkoch definujeme špeciálne typy matíc. 1. Riadková matica (riadkový vektor: A = (a 1, a 2,..., a n. a 1 a 2 2. Stĺpcová matica (stĺpcový vektor: A =.. 3. Transponovaná matica k matici A = (a ij typu m n je matica A = B = (b ij typu n m, kde b ij = a ji, pre i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Príklad: A = ( 1 2 3 4 5 6 a n A = 1 4 2 5 3 6 4. Štvorcová matica (m = n: A = (a ij i, j = 1, 2,..., n. Nasledujú špeciálne prípady štvorcových matíc: 5. Diagonálna matica: D = (d ij, kde pre i, j = 1, 2,..., n { 0 pre i j d ij = ľubovoľné pre i = j Zápis: D = diag(d 11, d 22,..., d nn Príklad: D = 3 0 0 0 2 0 0 0 1 6. Jednotková matica: E = (e ij, kde pre i, j = 1, 2,..., n { 0 pre i j e ij = 1 pre i = j Príklad: E = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 7. Nulová matica: O = (o ij, kde o ij = 0, pre i, j = 1, 2,..., n. Príklad: O = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 8. Symetrická matica: A = (a ij, kde a ij = a ji, pre i, j = 1, 2,..., n. Príklad: A = 0 2 3 2 5 3 3 3 1 9. Antisymetrická matica: A = (a ij, kde a ij = a ji ( a ii = 0, pre i, j = 1, 2,..., n. Príklad: A = 0 2 5 2 0 3 5 3 0 10. Horná (dolná trojuholníková matica: A = (a ij, kde a ij = 0, pre i > j (i < j, i, j = 1, 2,..., n Príklad: A = 1 2 0 0 0 3 0 0 1 horná B = 1 0 0 2 2 0 2 2 3 dolná V prípade, ak sa nejedná o štvorcové matice, ale prvky pod hlavnou diagonálou sú rovné nule, dostávame nasledujúce typy matíc. 11. Lichobežníková matica: A = (a ij, kde a ij = 0, pre i > j, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Príklad: 2 3 1 0 5 A = 0 0 3 1 2 0 0 1 2 0 12. Stupňovitá (Gaussova matica: A = (a ij, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n je lichobežníková matica, v ktorej každý nasledujúci riadok obsahuje aspoň o jednu nulu zľava viac ako predchádzajúci riadok. Príklad: A = 2 3 1 0 5 0 0 3 1 2 0 0 0 2 0 13. Redukovaná stupňovitá (Jordanova matica: A = (a ij, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n je stupňovitá matica, v ktorej vedúci prvok (prvý zľava každého riadku je jednotka a v stĺpci vedúceho prvku sú ostatné prvky nulové. Príklad: A = 1 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0

1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 9 1.3 Operácie s maticami Definícia 1.3.1 Nech m, n N. Nech A = (a ij a B = (b ij sú matice typu m n. (i Matice A = (a ij, B = (b ij sa rovnajú práve vtedy, ak a ij = b ij, pre i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Zápis: A = B (ii Súčtom matíc A, B nazývame maticu C = (c ij typu m n, pre ktorú c ij = a ij + b ij, pre i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Zápis: C = A + B (iii Nech k je konštanta. Násobkom matice A a konštanty k nazývame maticu C = (c ij typu m n, pre ktorú c ij = k a ij, pre i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Zápis: C = k A Pre horedefinované operácie s maticami platia nasledujúce vzťahy. Veta 1.4 Nech A = (a ij, B = (b ij, C = (c ij sú matice rovnakého typu a k, l sú konštanty. Platia rovnosti: (i A + B = B + A (ii A + (B + C = (A + B + C (iii (k + l A = k A + l A (iv k (A + B = k A + k B (v k (l A = (k l A Definícia 1.3.2 Nech m, n, r N. Nech A = (a ij je matica typu m r a B = (b ij je matica typu r n. Súčinom matíc A, B nazývame maticu C = (c ij typu m n, kde pre i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n Zápis: C = A B c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ir b rj.

10 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Pre súčin matíc platia pravidlá formulované v nasledujúcej vete. Veta 1.5 Nech A = (a ij, B = (b ij, C = (c ij sú matice typov, ktoré dovolia doleuvedené operácie a k je konštanta. Platia rovnosti: (i A (B C = (A B C (ii A (B + C = A B + A C (iii (A + B C = A C + B C (iv k (A B = (k A B = (A k B = A (k B = (A B k (v (A B = B A Definícia 1.3.3 Nech n N. Nech A = (a ij je štvorcová matica rádu n. Maticu A r { E r = 0 A r = A A r 1 r = 1, 2,... nazývame r-tou mocninou matice A. Príklad 1.3.1 Pre matice A = ( 2 0 1 3 2 0 B = 5 2 1 1 0 1 0 2 3 C = ( 0 2 1 1 0 4 vypočítajme a 2A B b 3A + 2C c A B d B A e A 2 f B 2 g A h B. Riešenie. a 2A = 2 ( 2 0 1 3 2 0 B = 5 2 1 1 0 1 0 2 3 = ( 4 0 2 6 4 0 =. 5 2 1 1 0 1 0 2 3 Keďže sčítavať môžme len matice rovnakého rozmeru, 2A B neexistuje..

1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 11 b Na rozdiel od predchádzajúceho príkladu sú v tomto prípade obe matice rovnakého rozmeru, čiže všetky operácie môžeme uskutočniť. ( ( ( 2 0 1 0 2 1 6 4 1 3A + 2C = 3 + 2 =. 3 2 0 1 0 4 7 6 8 c Podmienkou existencie súčinu dvoch matíc je, aby počet stĺpcov prvej matice bol rovný počtu riadkov druhej matice. Keďže pre C = A B je c ij = k a ik b kj dostávame ( 2 0 1 A B = 3 2 0 5 2 1 1 0 1 0 2 3 = ( 2 5 + 0 1 1 0, 2 2 + 0 0 1 2, 2 1 + 0 ( 1 1 3 = 3 5 + 2 1 + 0 0, 3 2 + 2 0 + 0 2, 3 1 + 2 ( 1 + 0 3 ( 10 2 1 =. 17 6 1 = d Počet stĺpcov matice B sa nerovná počtu riadkov matice A, teda B A neexistuje. Všimnime si, že v našom prípade A B B A. e Jednoduchým dôsledkom podmienky existencie súčinu dvoch matíc je, že A 2 = A A sa dá vypočítať len v prípade štvorcovej matice, teda A 2 neexistuje. f B 2 = B B = 27 12 6 5 0 2 2 6 7. g Transponovaná matica k danej matici vzniká zámenou riadkov a stĺpcov. Z prvého riadku sa tak stáva prvý stĺpec a naopak, atď. ( 2 3 2 0 1 A = = 0 2. 3 2 0 1 0 h B = 5 2 1 1 0 1 0 2 3 = 5 1 0 2 0 2 1 1 3.

12 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Príklad 1.3.2 ( Nájdime hodnotu polynómu P (x = x 3 3x 2 + 2x 5 pre 2 1 maticu A =. 3 0 Riešenie. P (A = A 3 3A 2 + 2A 5A 0 = A 3 3A 2 + 2A 5E = ( 3 ( 2 ( ( 2 1 2 1 2 1 1 0 = 3 + 2 5 = 3 0 3 0 3 0 0 1 ( ( ( ( 4 1 1 2 4 2 5 0 = 3 + = 3 6 6 3 6 0 0 5 ( 8 3 =. 9 2 1.4 Hodnosť matice Definícia 1.4.1 Nech m, n N. Hodnosťou matice A typu m n nazývame maximálny počet lineárne nezávislých aritmetických vektorov tvoriacich riadky resp. stĺpce matice A. Zápis: h(a Poznámka. Z horeuvedenej definície vyplýva, že h(a min {m, n} Definícia 1.4.2 (ERÚ-ESÚ Ekvivalentnou riadkovou (stĺpcovou úpravou matice nazývame každú z nasledujúcich úprav: (i zmena poradia riadkov (stĺpcov (ii vynásobenie riadku (stĺpca nenulovou konštantou (iii pripočítanie lineárnej kombinácie iných riadkov (stĺpcov k niektorému riadku. Definícia 1.4.3 Dve matice budeme nazývať ekvivalentné, ak sa jedna z matíc dá upraviť na druhú pomocou ekvivalentných riadkových a ekvivalentných stĺpcových úprav. Zápis: A B Nasledujúce vety sú nápomocné pri určovaní hodnosti matice. Veta 1.6 Nech matica A je ekvivalentná s maticou B, tak h(a = h(a. Veta 1.7 Každú maticu možno pomocou ekvivalentných úprav upraviť na ekvivalentnú stupňovitú (Gaussovu maticu.

1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 13 Veta 1.8 Nech m N. Nech A je stupňovitá matica s m nenulovými riadkami, tak h(a = m. Veta 1.9 Nech A je ľubovoľná matica, tak h(a = h(a. Dôsledkom predchádzajúcich viet je jednoduchý algoritmus na určenie hodnosti matice: 1. K danej matici A nájdeme ekvivalentnú stupňovitú maticu B. 2. h(a je rovná počtu nenulových riadkov matice B. Poznámka. Podobný algoritmus používame aj pri rozhodovaní, či je množina vektorov lineárne závislá alebo nezávislá. Príklad 1.4.1 Určme hodnosť matice A = 2 1 3 1 3 1 2 0 1 3 4 2 4 3 1 1 Riešenie. Pomocou ekvivalentných riadkových (stĺpcových úprav nájdeme ekvivalentnú stupňovitú maticu. Príslušné úpravy budeme graficky značiť do riadkov (resp. stĺpcov za (resp. pod upravovanú maticu. Teda v prvom a treťom riadku znamená napríklad, že sa tieto riadky navzájom vymenia. Tým dosiahneme, aby hlavný prvok v prvom stĺpci bol 1. Pomocou neho vynulujeme ostatné prvky v prvom stĺpci ( 3R 1 za druhým riadkom znamená, že sme od druhého riadku odpočítali trojnásobok prvého riadku. Analogicky pomocou hlavného prvku v druhom riadku (-5 vynulujeme členy druhého stĺpca pod hlavnou diagonálou. Podobne by sme pokračovali v úpravách ďalej. V tomto prípade výpočet končí, keďže zvyšné riadky sú nulové. A = 2 1 3 1 3 1 2 0 1 3 4 2 4 3 1 1 1 3 4 2 0 10 10 6 0 5 5 3 0 15 15 9. 1 3 4 2 3 1 2 0 2 1 3 1 4 3 1 1 3R 1 2R 1 4R 1 1 3 4 2 0 5 5 3 0 10 10 6 0 15 15 9 2R 2 3R 2

14 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 1 3 4 2 0 5 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0. Hodnosť matice je rovná počtu nenulových riadkov stupňovitej matice, t.j. h(a = 2. Príklad 1.4.2 V závislosti na parametri α určme hodnosť matice α 1 0 α A = 1 α α 0 1 0 0 1. 0 1 1 0 Riešenie. Pomocou ekvivalentných úprav prevedieme maticu na stupňovitý tvar a urobíme úplnú diskusiu riešenia vzhľadom na parameter α. Používame zápis uvedený v Príklade 1.4.1. A = α 1 0 α 1 α α 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 α α 1 0 1 0 2α 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 2α 0 0 2α 1 2αR 3 1 0 0 1 1 α α 0 α 1 0 α 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 2α 0 α α 1 +R 1 +αr 1 +R 2 +αr 2 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 2α 0 0 0 1 4α 2. I. α = ± 1 2 II. α ± 1 2 h(a = 3. h(a = 4. Príklad 1.4.3 Zistime, či sú vektory lineárne závislé alebo nezávislé x 1 = (2, 3, 1, 4 x 3 = (5, 3, 1, 3 x 2 = (3, 0, 2, 2 x 4 = (4, 6, 2, 7. Riešenie. Vytvoríme maticu, ktorej riadky tvoria vektory x 1, x 2, x 3 a x 4. Pomocou ekvivalentných riadkových, resp. stĺpcových úprav upravujeme maticu na stupňovitý tvar. V prípade, že v priebehu výpočtu dostaneme aspoň jeden nulový riadok (t.j. hodnosť matice je menšia ako počet vektorov, sú

1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 15 vektory lineárne závislé. V opačnom prípade (t.j. hodnosť matice sa rovná počtu vektorov sú lineárne nezávislé. 2 3 1 4 1 3 3 6 3 0 2 2 3 0 2 2 5 3 1 3 R2 +3R 1 5 3 1 3 +5R 1 4 6 2 7 4 6 2 7 +4R 1 1 3 3 6 0 9 7 16 0 18 14 33 0 18 14 31 1 3 3 6 0 9 7 16 0 0 0 1 0 0 0 0 2R 2 2R 2. 1 3 3 6 0 9 7 16 0 0 0 1 0 0 0 1 +R 3 Vektory x 1, x 2, x 3 a x 4 sú lineárne závislé. 1.5 Determinant matice Definícia 1.5.1 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n. Nech M ij je štvorcová matica rádu n 1, ktorá vznikla z matice A vynechaním i-tého riadku a j-tého stĺpca v prípade, ak n 2. Determinantom matice A nazývame číslo det A, pre ktoré platí: (i det A = a 11, pre n = 1 (ii det A = a 11 det M 11 a 12 det M 12 +...+( 1 1+n a 1n det M 1n, pre n 2. Zápis: det A resp. A Pre výpočet determinantu matice rádu nanajvýš tri môžeme použiť takzvané krížové pravidlo nazývané tiež Sarusovo pravidlo: det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 31 a 32 a 33 (a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 12 a 21.

16 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Príklad 1.5.1 Vypočítajme determinanty matíc ( 2 3 a A = b A = 1 4 Riešenie. 2 3 4 1 0 2 3 1 5 a Matica je stupňa 2, môžeme použiť krížové (Sarusovo pravidlo A = 2 3 1 4 = 2 4 3 1 = 8 3 = 5. b Matica je stupňa 3, môžeme opäť použiť krížové pravidlo. Ako pomôcku si podpíšeme prvé dva riadky. Výsledok bude pozostávať zo súčtu šiestich sčítancov. Prvý sčítanec vznikne súčinom prvkov na hlavnej diagonále. Pod ňou sa nachádzajú dve ďalšie "diagonály", súčinom prvkov na nich dostaneme druhý a tretí sčítanec (súčiny zľava. Podobným spôsobom vypočítame ďalšie členy, ak urobíme súčin prvkov na vedľajšej diagonále a "diagonálach" pod ňou (súčiny sprava. Súčiny zľava zoberieme so znamienkom plus a súčiny sprava so znamienkom mínus. 2 3 4 A = 1 0 2 = 2 0 5 + 1 1 4 + 3 3 2 (4 0 3 + 2 1 2 + 5 3 1 = 3 1 5 2 3 4 1 0 2 = 4 + 18 (4 + 15 = 22 19 = 3. Pre matice rádu vyššieho ako štyri krížové pravidlo neplatí. Pri výpočte determinantov takýchto matíc používame rozvoj podľa i-tého riadku resp. rozvoj podľa j-tého stĺpca. Veta 1.10 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n 2. Platí det A = n ( 1 i+j a ij det M ij = j=1 n a ij A ij, j=1 i = 1, 2,, n det A = n ( 1 i+j a ij det M ij = i=1 n a ij A ij, j=1 j = 1, 2,, n Poznámka. Číslo A ij vystupujúce v predchádzajúcej vete nazývame algebraickým doplnkom matice A prislúchajúcim prvku a ij.

1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 17 Použitím rozvoja podľa riadku (stĺpca môžeme previesť determinant matice rádu n na determinanty matice rádu n 1. Ich počet závisí od počtu nenulových členov a ij v danom riadku (stĺpci. Je teda výhodné, ak robíme rozvoj podľa riadku (stĺpca, v ktorom je najviac nulových členov. Ak takýto vhodný riadok (stĺpec nemáme, je lepšie determinant upraviť. V nasledujúcich vetách je formulovaný vplyv ekvivalentných úprav na hodnotu determinantu. Veta 1.11 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n 2. Nech matica B vznikla z matice A výmenou dvoch riadkov (stĺpcov, tak det B = det A Veta 1.12 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n. Nech matica B vznikla vynásobením i-tého riadku (j-tého stĺpca matice A konštantou c, tak det B = c det A Veta 1.13 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n 2. Nech matica B vznikla pripočítaním lineárnej kombinácie iných riadkov (stĺpcov k nejakému riadku (stĺpcu matice A, tak det B = det A Algoritmus na výpočet determinantu matice rádu vyššieho ako tri: 1. Použitím viet Veta 1.11, Veta 1.12 a Veta 1.13 vytvoríme riadok (stĺpec, v ktorom sa nachádza jeden nenulový člen. 2. Urobíme rozvoj podľa riadku (stĺpca z bodu 1. 3. Postup opakujeme, kým nemáme výsledok alebo neznížime rád na hodnotu nanajvýš tri a použijeme krížové pravidlo. Príklad 1.5.2 Vypočítajme determinanty matíc 1 2 3 a A = 4 5 6 b A = 7 8 9 c A = 1 0 0 0 6 2 3 1 0 2 0 2 1 3 0 1 0 0 0 10 1 2 0 0 1 d A = 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2 3 4 4 3 1 2 2 3 1 0 2 1 0 0 0 6 0 2 1 3 0 2 0 0 0 20 3 6 0 0 3.

18 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Riešenie. a Výpočet si môžeme uľahčiť tým, že použijeme jednu z ekvivalentných úprav a síce vynásobíme tretí stĺpec 1. Keďže sa tým hodnota determinantu zníži na 1 pôvodnej hodnoty, musíme výsledok vynásobiť 3 3 3. V skutočnosti teda vynímame spoločný deliteľ členov stĺpca pred determinant. 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 = 3 1 2 1 4 5 2 = 3(15 + 32 + 28 35 16 24 = 0. 7 8 3 Poznámka. Tento výsledok môžeme interpretovať aj nasledujúcim spôsobom: riadky (resp. stĺpce matice A sú lineárne závislé. b Po odčítaní druhého riadku od tretieho a štvornásobku druhého riadku od štvrtého riadku, urobíme rozvoj podľa prvého stĺpca. Je v ňom jediný nenulový člen a 21 = 1. Jeho pozícia určuje mocninu člena ( 1. Dostávame teda 1 krát ( 1 2+1 krát subdeterminant, ktorý vznikne vynechaním druhého riadku a prvého stĺpca. Ďalej pokračujeme krížovým pravidlom. A = 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2 3 4 4 3 1 2 = 1 ( 1 1+2 R = 2 4R 2 1 1 1 2 2 3 3 3 2 0 1 1 1 1 0 1 1 0 2 2 3 0 3 3 2 = = [ 4 6 + 9 (6 9 4] = 6. c V tomto prípade vidíme hneď, že je výhodné urobiť rozvoj podľa štvrtého stĺpca, v ktorom je jediný nenulový člen. Následne urobíme rozvoj podľa tretieho stĺpca a potom podľa druhého stĺpca. Nakoniec krížovým pravidlom vyčíslime hodnotu determinantu. A = 1 0 0 0 6 2 3 1 0 2 0 2 1 3 0 1 0 0 0 10 1 2 0 0 1 = 3 ( 1 3+4 1 ( 1 2+3 = 6(10 6 = 24. = 3 ( 1 3+4 1 0 6 1 0 10 1 2 1 1 0 0 6 2 3 1 2 1 0 0 10 1 2 0 1 = = 3 2 ( 13+2 1 6 1 10 =

1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 19 d Determinant vyčíslime pomocou výsledku predchádzajúceho príkladu a vplyvu ekvivalentných úprav na hodnotu determinantu. Oproti predchádzajúcemu príkladu sú navzájom vymenené prvé dva riadky, to mení znamienko nášho determinantu. Štvrtý riadok je dvojnásokom pôvodného riadku, to zvyšuje hodnotu na dvojnásobok a analogicky posledný riadok je trojnásobkom, teda výsledok predchádzajúceho príkladu vynásobíme aj tromi. A = 2 3 1 0 2 1 0 0 0 6 0 2 1 3 0 2 0 0 0 20 3 6 0 0 3 = 1 2 3 ( 24 = 144. Pri výpočte determinantov sú užitočné súvislosti, ktoré sú formulované v nasledujúcich vetách. Veta 1.14 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n. Nech matica A vznikla transponovaním matice A, tak det A = det A Veta 1.15 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n. Nech všetky prvky niektorého riadku (stĺpca matice A sú nuly, tak det A = 0 Veta 1.16 Nech n N. Nech A je trojuholníková matica rádu n. Potom determinant matice A je rovný súčinu prvkov na hlavnej diagonále. Veta 1.17 Nech n N. Nech A, B sú štvorcové matice rádu n. Potom 1.6 Inverzné matice det(a B = det A det B Definícia 1.6.1 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n a E jednotková matica rovnakého rádu. Maticu A 1 nazveme inverznou maticou k matici A práve vtedy, ak A A 1 = A 1 A = E. Veta 1.18 Ak k matici A existuje inverzná matica, tak je jediná. Definícia 1.6.2 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n. Maticu A nazveme regulárnou (singulárnou maticou práve vtedy, ak det A 0 (det A = 0.

20 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Definícia 1.6.3 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n. Maticu B nazveme adjungovanou maticou k matici A práve vtedy, ak b ij = A ji (algebraický doplnok prvku a ji, pre i, j = 1, 2,..., n. Zápis: A 11 A 12... A 1n adj A = A 21 A 22... A 2n A n1 A n2... A nn Nasledujúca veta popisuje jednu z možností ako nájsť inverznú maticu k regulárnej matici a síce pomocou adjungovanej matice. Veta 1.19 Nech A je regulárna matica. Potom k nej existuje inverzná matica A 1 a platí A 1 = 1 (adj A det A Ďalšou možnosťou ako nájsť inverznú maticu k regulárnej matici je pomocou ekvivalentných riadkových úprav. Zostrojíme blokovú maticu (A E, v ktorej prevádzame postupne ekvivalentné úpravy tak, aby sme na mieste matice A, t.j. pred čiarou, dostali jednotkovú maticu E. Matica za čiarou je potom hľadaná inverzná matica za predpokladu, že bola pôvodná matica regulárna. Pri tomto postupe nie je výhodné počítať determinant a týmto spôsobom zisťovať či matica regulárna je. Toto zistíme v priebehu výpočtu (viď Veta 1.20. Veta 1.20 Nech A je štvorcová matica. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné. (i A je regulárna. (ii det A 0. (iii K matici A existuje inverzná matica. (iv Množina vektorov pozostávajúca z riadkov (stĺpcov matice A je lineárne nezávislá. (v Hodnosť matice A sa rovná počtu jej riadkov a počtu jej stĺpcov. Veta 1.21 Nech A, B sú regulárne matice rovnakého rádu. Potom (A B 1 = B 1 A 1

1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 21 Príklad 1.6.1 Vypočítajme inverznú maticu k danej matici. a A = c C = Riešenie. ( 2 3 4 6 1 4 3 1 5 3 1 6 4 b B = d D = ( 2 3 4 5 2 1 1 1 3 2 1 1 4 3 2 1 5 4 3 2. a Determinant matice A = 0, t.j. matica je singulárna a teda inverzná matica k nej neexistuje. b Determinant matice je rovný B = 2, t.j. matica je regulárna a teda inverzná matica k nej existuje. Nájdeme ju pomocou adjungovanej matice. B 1 = 1 ( B11 B 12. B B 21 B 22 B ij reprezentuje subdeterminant, ktorý vznikne vynechaním i-tého riadku a j-tého stĺpca v pôvodnej matici vynásobený ( 1 i+j. B 11 = ( 1 1+1 b 22 = 5, B 12 = ( 1 1+2 b 21 = 4, B 21 = ( 1 2+1 b 12 = 3, B 22 = ( 1 2+2 b 11 = 2. Teda B 1 = 1 2 ( 5 4 3 2 ( 5 3 = 1 2 4 2 c Keďže determinant matice C = 1, matica je regulárna. Analogicky ako v predchádzajúcom prípade nájdeme inverznú maticu pomocou adjungovanej matice. C 11 = ( 1 1+1 5 3 6 4 = 2, C 12 = ( 1 1+2 1 3 1 4 = 1, C 13 = ( 1 1+3 1 5 1 6 C 22 = ( 1 2+2 1 3 1 4. = 1, C 21 = ( 1 2+1 4 3 6 4 = 2, = 1, C 23 = ( 1 2+3 1 4 1 6 = 2,

22 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE C 31 = ( 1 3+1 4 5 C 33 = ( 1 3+3 1 4 1 5 = 1. Teda C 1 = 1 1 2 1 1 2 1 2 3 0 1 3 3 = 3, C 32 = ( 1 3+2 1 3 1 3 = 0, = 2 2 3 1 1 0 1 2 1 = 2 2 3 1 1 0 1 2 1 d Predchádzajúci výpočet ukázal, že časová náročnosť výpočtu pre maticu stupňa 3 je podstatne vyššia ako bola pre maticu stupňa 2. V prípade matice D by to dokonca znamenalo vyčíslenie jedného determinantu rádu 4 a 16 determinantov rádu 3. Preto použijeme pre výpočet inverznej matice druhú možnosť. Napíšeme si blokovú maticu (D E. Pomocou ekvivalentných riadkových operácií upravíme v prvej časti výpočtu blokovú maticu na tvar, kde matica pred čiarou je horná trojuholníková (prvky pod hlavnou diagonálou sú rovné nule. 2 1 1 1 1 0 0 0 (D E = 3 2 1 1 0 1 0 0 4 3 2 1 0 0 1 0 R2 5 4 3 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 3 2 1 1 0 1 0 0 4 3 2 1 0 0 1 0 5 4 3 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 3 2 0 0 0 1 2 1 4 4 1 0 0 1 3 2 5 5 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 3 2 0 0 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 2 1 2 3 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 3 2 0 0 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 +3R 1 +4R 1 +5R 1 R 2 R 2 2R 3 R 4.

1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 23 Následne pokračujeme v úpravách, aby sme pred čiarou dostali diagonálnu maticu. Posledným krokom je vhodné násobenie riadkov, aby matica naľavo bola jednotková matica. V takom prípade je inverznou maticou matica napravo od čiary. 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 3 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 2 1 1 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 2 1 1 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 R 3 R2..( 1.( 1 Teda D 1 = 1 0 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 0 1 2 1. Inverzné matice môžeme použiť aj pri riešení niektorých typov maticových rovníc. Príklad 1.6.2 Pomocou inverznej matice riešme maticové rovnice a b ( 2 2 3 1 X 1 4 3 1 5 3 1 6 4 ( 3 5 0 1 = X 1 0 1 ( 1 1 1 1 = 0 0 0.

24 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Riešenie. a Danú maticovú rovnicu môžeme formálne zapísať v tvare A X B = C, kde ( ( ( 2 2 3 5 1 1 A =, B = a C =. 3 1 0 1 1 1 Pri výpočte využijeme fakt, že matice A a B sú regulárne, z čoho vyplýva, že k nim existujú inverzné matice. Ak teda rovnicu vynásobíme zľava inverznou maticou k matici A, dostávame A 1 A X B = E X B = X B, kde E je príslušná jednotková matica. Analogicky odstránime maticu B na pravej strane, keď vynásobíme rovnicu sprava B 1. Takže X = A 1 C B 1. X = ( 2 2 3 1 = 1 8 1 ( 1 2 3 2 ( 1 1 1 1 ( 1 1 1 1 ( 3 5 0 1 1 = ( 1 5 1 3 0 3 ( 3 6 = 1 24 1 2 b Danú maticovú rovnicu môžeme formálne zapísať nasledujúcim spôsobom A X B = C. Pripočítaním matice B k obom stranám rovnice dostávame A X = B + C. Ďalej postupujeme analogicky ako v predchádzajúcom príklade, t.j. X = A 1 (B + C. Použijeme výsledok Príkladu 1.6.1 c. X = = = 1 4 3 1 5 3 1 6 4 1 4 3 1 5 3 1 6 4 2 2 3 1 1 0 1 2 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 + = = 5 1 0. 0 0 0 =.