Multikriteriálna optimalizácia

Prepis

1 Multikriteriálna optimalizácia Tomáš Madaras Ústav matematických vied, PF UPJŠ, Košice

2 Príklad Vyberte smartfón s najlepšími parametrami z nasledovnej ponuky: model displej cena pamäť výdrž váha foto (") (EUR) (GB) (h) (g) (MPx) Apple iphone 5C Sony Xperia Z Samsung Galaxy S Sony Xperia SP Nokia Lumia HTC One LG G Huawei Ascend P

3 Príklad (prevzaté z jfrieb/tspp/data/teorie/vicekritko.pdf) Uchádzač o zamestnanie sa rozhoduje medzi firmami A, B a C, pričom ich posudzuje podľa výšky mesačného platu (v tisícoch Kč), času stráveného na ceste do zamestnania (v minútach), možnosti ďalšieho odborného rastu (hodnotenie 1, 2 a 3 zodpovedá malej, strednej resp. veľkej možnosti rastu) a začiatku pracovnej doby (v hodinách a minútach): firma plat cestovanie rast začiatok prac. doby K 1 K 2 K 3 K 4 A :00 B :30 C :00

4 Základné pojmy - varianty (alternatívy) - konkrétne rozhodovacie možnosti, ktoré možno realizovať; označujeme A 1,..., A m - kritériá - hľadiská, podľa ktorých sú varianty posudzované; označujeme K 1,..., K n - kriteriálna matica - matica vyjadrujúca hodnotenie variantov podľa jednotlivých kritérií; označujeme Y = (y ij ), riadky zodpovedajú variantom, stĺpce kritériám

5 - podľa povahy kritériá rozdeľujeme na maximalizačné (najlepšie hodnoty sú najvyššie) a minimalizačné (najlepšie hodnoty sú najnižšie) - podľa kvantifikovateľnosti kritériá rozdeľujeme na kvantitatívne (týkajú sa objektívne merateľných údajov) a kvalitatívne (nemožno ich merať objektívne, varianty sú hodnotené slovne) - pri riešení úloh viackriteriálnej optimalizácie je vhodné previesť všetky kritériá na jeden typ (napr. na maximalizačné). Pri prevode minimalizačného kritéria na maximalizačné zmeníme v príslušnom stĺpci kriteriálnej matice prvky tak, že od najväčšieho prvku postupne odčítame ostatné. Pri prevode kvalitatívnych kritérií je potrebné použiť nejakú bodovaciu stupnicu alebo relatívne poradie variantov.

6 - preferencie kritéria - dôležitosť kritéria v porovnaní s ostatnými kritériami; možno ju vyjadriť niekoľkými spôsobmi: ašpiračná úroveň - hodnota kritéria, ktorá má byť dosiahnutá poradie kritérií - postupnosť kritérií od najdôležitejšieho po najmenej dôležité (ordinálna informácia o kritériách) váhy kritérií - hodnoty z intervalu 0, 1 vyjadrujúce relatívnu dôležitosť kritérií v porovnaní s ostatnými (kardinálna informácia o kritériách) kompenzácia kriteriálnych hodnôt - miera substitúcie medzi kriteriálnymi hodnotami (vyrovnávanie horšej hodnoty podľa jedného kritéria lepšími hodnotami podľa iného kritéria)

7 - variant A i dominuje variant A j, ak (y i1,..., y in ) (y j1,..., y jn ) a existuje aspoň jedno kritérium K l také, že y il > y jl. - paretovský variant (nedominovaný variant) - variant, ktorý nie je dominovaný žiadnym iným variatom - ideálny variant - variant (reálny resp. hypotetický), ktorý dosahuje vo všetkých kritériách najlepšie možné hodnoty; ak existuje, tak je riešením úlohy multikriteriálnej optimalizácie. - bazálny variant - variant (reálny resp. hypotetický), ktorý dosahuje vo všetkých kritériách najhoršie možné hodnoty; ak existuje, tak ho možno vyradiť zo zoznamu variantov. - kompromisný variant - jediný nedominovaný variant (vybraný podľa rozličných pravidiel), ktorý je riešením

8 - kompromisný variant by mal spĺňať nasledujúce vlastnosti: nedominovanosť - nesmie byť dominovaný iným variantom invariantnosť vzhľadom na poradie kritérií - poradie kritérií neovplyvňuje výber kompromisného variantu invariantnosť vzhľadom na mierku kriteriálnych hodnôt - ak ku všetkým prvkom kriteriálnej matice pripočítame (resp. vynásobíme ich) pevné číslo, vybraný variant (resp. množina vybraných variantov) sa nesmie zmeniť nezávislosť na identických hodnotách rovnakého kritéria invariantnosť vzhľadom k pridaným dominovaným variantom - ak pridáme k množine variantov dominovaný variant, vybraný kompromisný variant sa nesmie zmeniť determinovanosť - podľa zvoleného postupu aspoň jeden variant musí byť vybraný ako kompromisný jednoznačnosť - zvolený postup dáva jednoznačný výsledok, t.j. jeden kompromisný variant

9 Metódy stanovenia váh kritérií - väčšina metód multikriteriálnej optimalizácie vyžaduje rozlíšenie kritérií podľa ich významnosti; jednou z možností, ako to urobiť, je zvoliť číselné vyjadrenie tejto významnosti pomocou váh (čím je kritérium významnejšie, tým je jeho váha väčšia). - váhu kritéria K j, j = 1,..., n budeme označovať v j - normovaná váha kritéria K j je w j = v j nezáporné a ich súčet je rovný 1 n k=1 v k ; normované váhy sú

10 - podľa informácie potrebnej pre stanovenie váh kritérií rozdeľujeme metódy stanovenia váh kritérií nasledovne: rozhodovateľ nemôže určiť preferencie - všetkým kritériám sa priradí rovnaká váha (t.j. w j = 1 n ) resp. použije sa metóda entropie rozhodovateľ má ordinálne informácie o kritériách - je schopný určiť poradie dôležitosti kritérií; využíva sa v metóde poradia a Fullerovej metóde rozhodovateľ má kardinálne informácie o kritériách - pozná nielen poradie, ale aj rozostupy v poradí preferencií medzi jednotlivými kritériami; na tomto princípe je založená bodovacia a Saatyho metóda

11 Metóda entropie - nie je nutné poznať preferencie kritérií - najprv sa matica Y transformuje na maticu P pomocou vzťahu p ij = y ij m y ij i=1 (t.j. prvky kriteriálnej matice sa normalizujú pomocou stĺpcových súčtov) - potom sa pre každé kritérium spočíta jeho entropia E j = 1 ln m m i=1 p ij ln p ij - napokon sa určia čísla D j = 1 E j a normalizované váhy kritérií podľa vzťahu w j = D j n D j j=1

12 Metóda poradia - rozhodovateľ zoradí kritériá K 1,..., K n od najvýznamnejšieho k najmenej významnému a takto usporiadaným kritériám priradí váhy n, n 1,..., 2, 1. Pre normovanú váhu kritéria K j, ktorému bola priradená váha v j platí w j = v j n = v j n(n+1) 2

13 Fullerova metóda - pri väčšom počte kritérií je výhodnejšie navzájom porovnávať dvojice kritérií, kde možno ľahšie rozhodnúť, ktoré je dôležitejšie. Toto porovnanie možno urobiť pomocou Fullerovho trojuholníka - schémy tvorenej dvojriadkami, v ktorej sa vyskytuje každá dvojica kritérií práve raz: Rozhodovateľ pre každú dvojicu označí kritérium, ktoré je dôležitejšie; ak bolo kritérium K j celkovo označené f j -krát, tak jeho normovaná váha je w j = f j n(n 1) 2

14 - jedna nevýhoda tejto metódy je, že najmenej dôležité kritérium má nulovú váhu aj v prípade, že nie je celkom bezvýznamné; tento nedostatok možno odstrániť tak, že normalizované váhy upravíme podľa vzorca f j + 1 w j = n(n 1) 2 + n (t.j. zvýšime počet preferencií každého kritéria o 1 a menovateľ zlomku normovanej váhy o n)

15 Bodovacia metóda - dôležitosť kritérií sa ohodnotí počtom bodov (čím je kritérium dôležitejšie, tým má viac bodov); bodovacia stupnica môže mať rôzny rozsah. Body priradené kritériám sa potom prevedú na normalizované váhy. - Metfesselova alokácia - k disozícii je 100 bodov, ktoré treba rozdeliť medzi jednotlivé kritériá

16 Saatyho metóda - pre každé dve kritériá sa určí, ktoré z nich je preferované a stupeň jeho preferencie podľa nasledovnej stupnice: body slovné vyjadrenie preferencií 1 kritériá sú rovnako významné 3 prvé kritérium je slabo významnejšie než druhé 5 prvé kritérium je silne významnejšie než druhé 7 prvé kritérium je veľmi silne významnejšie než druhé 9 prvé kritérium je absolútne významnejšie než druhé (je možné použiť tiež medzihodnoty 2, 4, 6, 8) - dôvod pre danú škálu je empirický: ľudia nedokážu porovnať 7 ± 2 objektov bez zmätenia

17 Veľkosti preferencií zistené týmto porovnávaním tvoria prvky Saatyho matice S = (s ij ); s ij pritom predstavuje odhad podielu váh i-tého a j-tého kritéria, t.j. s ij w i w j Prvky s ii na hlavnej diagnále Saatyho matice sú rovné 1. V ideálnom prípade by malo pre všetky i, j, k = 1,..., n platiť s ij = w i w j = w i w k w k w j = s ik s kj

18 - štvorcová matica s touto vlastnosťou sa nazýva konzistentná; jej prvky potom možno získať iba pomocou prvkov z prvého riadku. - ak je Saatyho matica konzistentná, tak platí 1 = s ii = s ij s ji, t.j. s ji = 1 s ij teda konzistentná Saatyho matica je recipročná. Možno potom písať w 1 w 2 w 1 w n 1 w 2 w 1 1 w 2 w n w n w 1 w n w 2 1 = w 1 w 2 w n ( 1, w 1 1 w 2,, 1 w n )

19 Ak túto rovnosť vynásobíme sprava vektorom (w 1, w 2,..., w n ) T, dostávame w 1 w 2 w 1 w n 1 w 2 w 1 1 w 2 w n w n w 1 w n w 2 1 w 1 w 2 w n = w 1 w 2 w n n čiže n je vlastné číslo danej matice a (w 1, w 2,..., w n ) T je jej vlastný vektor. Keďže vlastné čísla S sú nezáporné (lebo prvky matice sú nezáporné) a súčet všetkých vlastných čísel je rovný stope matice, čo je = n, tak máme, že ostatné vlastné čísla sú rovné 0.

20 - v praxi je len veľmi zriedka možné dosiahnuť plnú konzistenciu matice (a netreba ju vynucovať za každú cenu); v prípade nekonzistentných matíc sa hľadá vlastný vektor (s kladnými zložkami, ktorých súčet je 1) zodpovedajúci najväčšiemu vlastnému číslu λ max matice (je pritom vhodné, aby λ max n a ostatné vlastné čísla boli kladné a blízke 0. To vyplýva z úvahy, že malé zmeny prvkov matice vedú len k malým zmenám vlastných čísel). Mieru nekonzistencie matice potom udáva index konzistencie CI = λ max n n 1

21 - na posúdenie, či vzájomné porovnanie kritérií dáva maticu s ešte prijateľnou mierou konzistencie, sa počíta konzistenčný pomer CI, kde RI je hodnota získaná z veľkého počtu náhodných matíc RI (daného rádu n), ktorých prvky sú tvorené číslami od 1,..., 9, 1 2,..., 1 9. Ak je konzistenčný pomer najviac ak 0.1, tak maticu možno považovať za dostatočne konzistentnú, inak je potrebné vykonať prehodnotenie vzájomných porovnaní kritérií.

22 - pri určovaní váh možno tiež vychádzať z podmienky, aby sa matica S líšila od matice ( w i w j ) čo najmenej; vhodnou mierou je napr. suma štvorcov odchýliek prvkov obidvoch matíc. Riešime teda optimalizačnú úlohu n i=1 n j=1 (s ij w i w j ) 2 min n w j = 1 j=1 w j 0, j = 1,..., n - možno tiež použiť logaritmickú metódu najmenších štvorcov, pri ktorej za rovnakých ohraničení optimalizujeme n n (ln s ij (ln w i ln w j )) 2 min i=1 j=1

23 - ako vhodnú aproximáciu váh Saaty navrhol w i = n n s ij j=1 n n n s kj k=1 j=1 (t.j. normalizovaný geometrický priemer prvkov riadku Saatyho matice)

24 Metóda postupného rozvrhu váh - kritériá sa najskôr zoskupia do dielčích skupín podľa ich vecnej príbuznosti. V prvej fáze sa stanovia (nejakou metódou) normované váhy jednotlivých skupín, v druhej fáze sa potom stanovia pre každú skupinu normované váhy všetkých kritérií vnútri skupiny. - výsledné normované váhy kritérií sú dané súčinom váh skupín a váh kritérií v rámci skupín

25 Metódy stanovenia poradí variantov - metódy multikriteriálneho hodnotenia variantov stanovujú poradie výhodnosti jednotlivých variantov z hľadiska zvolených kritérií; metódy pre výber kompromisného variantu medzi nedominovanými variantami sa líšia prístupom k pojmu "kompromisný variant", náročnosťou a použiteľnosťou pre rôzne typy úloh, preto získané výsledky majú subjektívny charakter a môžu sa navzájom líšiť. - podľa typu vyžadovanej informácie sa metódy delia nasledovne: metódy vyžadujúce znalosť ašpiračnej úrovne kriteriálnych hodnôt: konjunktívna metóda, disjunktívna metóda, metóda PRIAM. Kriteriálne hodnoty všetkých variantov sa porovnávajú s ašpiračnými úrovňami všetkých kritérií, čím sa varianty rozdelia na neefektívne a efektívne (možnosť urobenia predvýberu variantov).

26 metódy vyžadujúce ordinálne informácie o variantoch podľa každého kritéria: metóda poradia, lexikografická metóda, permutačná metóda, metóda ORESTE metódy vyžadujúce kardinálne informácie o variantoch podľa každého kritéria: maximalizujúce úžitok: metóda váženého súčtu, metóda bázického variantu, metóda AHP, bodovacia metóda minimalizujúce vzdialenosť od ideálneho variantu resp. maximalizujúce vzdialenosť od bazálneho variantu: TOPSIS využívajúce preferenčné relácie: ELECTRE, PROMETHEE založené na medznej miere substitúcie: metóda postupnej substitúcie

27 Konjunktívna a disjunktívna metóda - pri týchto metódach je potrebné poznať ašpiračné úrovne všetkých kritérií a kardinálne ohodnotenia variantov podľa jednotlivých kritérií; podľa ašpiračnej úrovne sa varianty rozdelia na akceptovateľné a neakceptovateľné - pri konjunktívnej metóde pripúšťame iba tie varianty, ktoré spĺňajú všetky ašpiračné úrovne - pri disjunktívnej metóde pripúšťame varianty, ktoré spĺňajú aspoň jednu ašpiračnú úroveň v niektorom kritériu - tieto metódy sa používajú najmä na predvýber variantov, ktoré sa ďalej hodnotia inými metódami (t.j. ašpiračné úrovne sa nenastavujú prísne, aby vyhovovalo len jediné riešenie)

28 Metóda PRIAM - je založená na postupnom prehľadávaní množiny variantov v niekoľkých krokoch pomocou postupného zvyšovania ašpiračných úrovní kritérií, až kým nie je nájdené jediné nedominované riešenie - na začiatku sa navrhne prvá ašpiračná úroveň kritérií daná vektorom z (0) = (z (0) 1, z (0) 2,..., z n (0) ) (jednotlivé zložky sú obvykle najhoršie hodnoty kriteriálnej matice podľa každého kritéria) - v s-tom kroku sa vektor z (s) aktuálnych ašpiračných úrovní upraví o vektor z (s) > 0 (t.j. v aspoň jednom kritériu sprísnime ašpiračnú úroveň) a otestuje sa, koľko variantov spĺňa upravený vektor z (s+1) = z (s) + z (s).

29 Podľa počtu vyhovujúcich variantov rozlíšime nasledovné prípady: vyhovuje jediný variant - je to kompromisný variant a riešenie úlohy vyhovuje viacero variantov - zmeníme vektor ašpiračných úrovní nevyhovuje žiaden variant - hľadá sa variant, ktorý je najbližšie k zadaným ašpiračným úrovniam; pre každý variant sa vypočíta odchýlka n z (s) j y ij j=1 yj kde (y 1,..., y n) je ideálny variant. Prijateľný variant je potom variant s minimálnou odchýlkou (ak je nenulová).

30 Metóda poradia - ak nie sú známe preferencie kritérií, tak zostavíme tzv. maticu poradí (typu m n), pričom v i-tom riadku a j-tom stĺpci je poradie variantu (umiestnenie) len vzhľadom na j-té kritérium; ak by malo viacero variantov rovnaké poradie, každému z nich sa pridelí priemerné poradie za skupinu. Najlepší variant je potom ten, ktorý má najmenší riadkový súčet v matici poradí. - ak sú známe normalizované váhy kritérií, tak stĺpce vytvorenej matice poradí vynásobíme váhami kritérií a určíme riadkové súčty takto modifikovanej matice; najlepší variant má najmenší vážený súčet

31 Lexikografická metóda - vychádza z predpokladu, že najväčší vplyv na výber kompromisného variantu má najdôležitejšie kritérium, po ňom druhé najdôležitejšie atď. - na začiatku sa vyberie množina variantov s najlepšou hodnotou podľa najdôležitejšieho kritéria, z nech sa vyberie podmnožina variantov s najlepšou hodnotou podľa druhého najdôležitejšieho kritéria atď; postup sa opakuje, až pokým nie je vybraný jediný variant resp. nie sú vyčerpané všetky kritériá (varianty z poslednej vybranej podmnožiny sú potom kompromisné)

32 Bodovacia metóda - každému prvku kriteriálnej matice priradíme určitý počet bodov z nejakej zvolenej stupnice tak, že lepšej hodnote podľa daného kritéria priradíme väčší počet bodov; bodovú stupnicu pre každé kritérium je vhodné doplniť slovným popisom. Minimálny a maximálny počet bodov je pre každé kritérium rovnaký. - po pridelení bodov určíme pre každý variant vážený riadkový súčet v matici priradených bodov (pri stanovených normalizovaných váh kritérií); ako najlepší sa vyberie variant s najväčším váženým súčtom

33 Metóda váženého súčtu - kriteriálnu maticu Y najprv transformujeme na maticu U podľa vzťahu u ij = y ij d j h j d j kde h j a d j je najlepšia resp. najhoršia hodnota v j-tom stĺpci kriteriálnej matice - u ij sa interpretuje ako čiastkový úžitok i-tého variantu vzhľadom na j-té kritérium; predpokladá sa, že čiastkový úžitok závisí na hodnotách kritérií lineárne - pomocou normalizovaných váh kritérií sa ďalej určia vážené riadkové súčty n w j u ij matice U; za najlepší variant sa berie j=1 variant, ktorý má tento súčet najväčší

34 Permutačná metóda - pri známych normalizovaných váhach kritérií vezmeme všetky permutácie kritérií a pre každú dvojicu variantov A i, A j určíme tie kritériá, ktoré preferujú A i pred A j resp. sú voči nim indiferentné. Množinu indexov takto určených kritérií označíme I ij. - ďalej pre všetky i, j {1,..., m}, i j určíme hodnoty c ij = h I ij w h - pre každú permutáciu φ množiny indexov {1,..., m} jednotlivých variantov určíme maticu C φ = (c φ(i)φ(j) ) a hodnotu R φ, ktorá je rozdielom súčtu prvkov nad diagonálou C φ a súčtu prvkov pod diagonálou C φ - optimálne poradie variantov potom zodpovedá permutácii φ, pre ktorú je hodnota R φ maximálna

35 - ak poznáme iba poradie kritérií, ale nie ich váhy, tak zostavíme n váhových vektorov v 1 = (1, 0, 0,..., 0) v 2 = ( 1 2, 1 2, 0,..., 0) v 3 = ( 1 3, 1 3, 1 3,..., 0)... v n = ( 1 n, 1 n, 1 n,..., 1 n ) - pre každý z týchto váhových vektorov určíme permutačnou metódou optimálne poradie variantov; tým teda zistíme, ako sa mení optimálne poradie v závislosti na váhach jednotlivých kritérií

36 Metóda ORESTE - je potrebné vedieť len poradie kritérií a poradie variantov vzhľadom k jednotlivým kritériám - na začiatku určíme vektor (q 1,..., q n ) poradí jednotlivých kritérií a maticu P = (p ij ) poradí jednotlivých variantov podľa každého kritéria; ak je viacero kritérií resp. variantov rovnocenných, ohodnotia sa priemerným poradím 1 - ďalej vytvoríme maticu D = (d ij ), kde d ij = ( pr ij 2 + qr j 2 ) r, ktorej prvky sa interpretujú ako vzdialenosti (v tzv. Dujmovičovej metrike) od fiktívneho počiatku (obvykle sa kladie r = 3) - prvky matice D usporiadame vzostupne a ohodnotíme ich poradovými číslami. Potom zostavíme novú maticu R = (r ij ), kde r ij je rovné poradiu prvku d ij (ak sú niektoré hodnoty rovnaké, uvedieme priemerné poradie). Pre i-tý variant určíme súčet r i = n r ij ; poradie variantov je potom dané usporiadaním hodnôt j=1 r i od najmenšej po najväčšiu.

37 - ďalšia fáza metódy ORESTE je preferenčná analýza variantov - pre každú dvojicu variantov A i, A j určíme množinu I ij tých kritérií, ktoré preferujú A i pred A j. Ďalej pre všetky i, j = 1,..., m určíme tzv. preferenčné intenzity c ij = (r jh r ih ), stanovíme h I ij maximálnu intenzitu c max = n 2 (m 1) a normalizované preferenčné intenzity c N ij = c ij c max. - ďalej sa testuje indiferentnosť a neporovnateľnosť variantov na základe stanovených prahových hodnôt α, β, γ, pričom tieto 1 hodnoty sa volia tak, aby α 2(m 1), β 1 n(m 1), γ n 2 4

38 - predpokladajme, že indexy i, j sú zvolené tak, že c N ij cn ji - ak c N ij cn ji β a zároveň cn ij α, tak varianty A i, A j sú indiferentné (zapisujeme A i I A j ), inak sú neporovnateľné (zapisujeme A i N A j ) - ak neplatí c N ij cn ji β, ale c N ji γ, tak varianty A c N i, A j sú ij cn ji neporovnateľné, inak je variant A i preferovaný pred variantom A j (zapisujeme A i P A j resp. A i > A j ); ak je c N ij c N ji cn ij γ, tak varianty A i, A j sú neporovnateľné, inak je variant A j preferovaný pred variantom A i - výstupom preferenčnej analýzy variantov je štvorcová matica rádu m zložená zo symbolov I, N, > a <; symboly I, N sú rozmiestnené symetricky, symboly >, < antisymetricky podľa hlavnej diagonály matice

39

40 Metóda AHP (Analytic Hierarchy Process) - najprv sa určia normalizované váhy kritérií pomocou Saatyho metódy (založenej na normalizovanom geometrickom priemere). Pre každé z n kritérií sa ďalej zostaví Saatyho matica preferencií jednotlivých variantov vzhľadom na dané kritérium a z nej sa odvodia (rovnakým prístupom, ako pri Saatyho metóde pre kritériá) normalizované váhy (t.j. vážené geometrické priemery) pre každý variant. - zo získaných normalizovaných váh pre varianty zostavíme maticu, kde v i-tom riadku a j-tom stĺpci bude normalizovaná váha i-tého variantu odvodená pri Saatyho analýze variantov podľa j-tého kritéria. Ďalej určíme pre túto maticu vážené riadkové súčty (podľa normalizovaných váh jednotlivých kritérií); najlepsí variant je potom ten, ktorému zodpovedá najväčší vážený riadkový súčet.

41 Metóda TOPSIS - je založená na výbere variantu, ktorý je najbližšie k ideálnemu variantu a súčasne najďalej od bazálneho variantu - v prvom kroku sa na základe kriteriálnej matice Y vytvorí normalizovaná kriteriálna matica R = (r ij ) podľa vzťahu r ij = y ij m yij 2 i=1 - v druhom kroku sa matica R transformuje na maticu Z tak, že pre každé j = 1,..., n položíme z ij = w j r ij kde w j je normalizovaná váha j-tého kritéria

42 - pomocou prvkov matice Z sa vytvorí ideálny variant (h 1,..., h n ) a bazálny variant (d 1,..., d n ) tak, že pre j = 1,..., n položíme h j = max i=1,...,m z ij d j = min i=1,...,m z ij - pre každé i = 1,..., m vypočítame vzdialenosti d + i, d i i-tého variantu od ideálneho a bazálneho variantu d + i = d i = n i=1 n i=1 (z ij h j ) 2 (z ij d j ) 2

43 - ďalej sa určí relatívny ukazovateľ vzdialenosti variantu od bazálneho variantu: d i c i = d + i + d i Varianty sú potom zoradené podľa hodnôt týchto relatívnych ukazovateľov (najlepší variant má maximálnu hodnotu).