Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu funkcie f : y a nájdené asymptoty zobrazte Pomocou prvej a druhej derivácie vyšetrite monotónnosť stacionárne body a lokálne etrémy funkcie f : f : y Vyšetrite konvenosť konkávnosť a nájdite inflené body funkcie f : y 5 Nájdite stacionárne body a lokálne etrémy funkcie f ( y) y 9y 5 Lagrangeovou metódou vypočítajte viazané etrémy funkcie f : z y 5 pri väzbe g : y 7 Aplikačná úloha - maimalizácia zisku Mesačná produkcia firmy je opísaná nasledovnou funkciou: Q 0 K K 50 L 5L kde: K výrobný faktor kapitál L výrobný faktor práca Firma zamestnáva pracovníkov L za 00 pj/deň ( P L ) a prenajíma si stroje K za 00 pj/deň a stroj ( P K ) Cena P za ktorú svoj produkt predáva je 0 pj za jednotku Vypočítajme akú kombináciu výrobných faktorov by mala firma použiť aby dosiahla za daných podmienok maimálny zisk Teória napr: a) Načrtnite grafy navzájom inverzných funkcií y sin y arcsin na príslušných intervaloch Napíšte D ( f ) H( f ) a vlastnosti funkcie y arcsin b) Napíšte determinant pomocou ktorého zisťujeme lokálne etrémy funkcie f( y) Ďalšie príklady: * dotyčnica ku grafu funkcie * dotyková rovina * derivácia zloženej funkcie
Príklady a výsledky Daná je funkcia : y 5 arccos g a) Zistite oblasť definície funkcie b) Vyjadrite inverznú funkciu g a) oblasť definície / / + 5 5 5 D (g) b) inverzná funkciu k funkcii g : 5 arccos y g / 5 : 5 arccos y g / : 5 : arccos y g / cos() 5 y : cos g / 5 : cos y g / + 5 g : cos y g g / : 5 cos : y 5 cos : y
Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu funkcie : y ASS: f a nájdené asymptoty zobrazte a lim y a b lim ( ) 5 5 lim lim 5 0 ( ) b lim [ ] lim [ ] lim [ 0 0 0 lim lim 0 ] ASS: y 0 y 0 0 = ABS: D( f )! 5 5 f ( ) (9) f ( ) 0 0 9 () 0 5 0 00 5 99 0 (0) f ( ) 00 (99) f ( ) 00 5 00 000 (00) f ( ) 000 (999) f ( ) 000 lim f ( ) lim f ( ) 5 999 00 Obrázok y 0 ASS: y = + 0 ABS: = - 0 os
Pr Monotónnosť a lokálne etrémy ( f ( ) D ( f ) R 0 ) ( )() f : y ( ) NB: = 0 = 0 D( f ) stacionárny bod : = ( ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - - - - - 0 + ( 0) (0) () rastúca klesajúca rastúca ( ) ( f ( ) 9 ) ( )( Stacbod dosadiť do derivácie: v bode má funkcia lok MINIMUM ) ( ) ( )( ) = ( ) ( ) ( ) f () 5 funkčná hodnota: f : y f () 8 M = [ ] 8 Pr Vyšetrite konvenosť konkávnosť a nájdite inflené body funkcie f : y f : y 0 f : y ( ) N Body: 0 ( 0) (0) () + konvená konkávna konvená konkávna konkávna
Inflené body: f : y ( ) ( 0) 0 f inflený bod funkčná hodnota f ( 0) ; IB = [0 0] ( ) 5 f inflený bod funkčná hodnota () 0 f IB = [; ] 5 Príklad: Nájdime lokálne etrémy funkcie f ( y) y 9y 5 parciálne derivácie rádu: f 9y f y y 9 f Zo sústavy rovníc f 0 zistíme stacionárne body : y 9y 9 y y y y y / 9 9 7 ( 7) Z rovnice vyplýva: y 0 y Stacionárne body majú súradnice: M 0 M Parciálne derivácie rádu f f 9 f y f 9 y yy 0 Hodnoty parciálnych derivácií druhého rádu v stacionárnych bodoch f f M) f y ( M) 9 f yy ( M) f y ( M ) 9 M ) 8 f ( M ) 9 f ( M ) 8 f ( M ) 9 ( ( y yy y Determinant pre stac bod 00 0 D 9 9 8 0 0 M : y z toho vyplýva že funkcia f nemá etrém v stacionárnom bode 00 Determinant pre stac bod 8 D 9 M : 9 8 8 M
Z toho vyplýva: funkcia f má etrém v stacionárnom bode Pre hodnotu druhej derivácie platí M f ( M ) 8 M lokálne maimum z čoho dostávame : funkcia má v stacionárnom bode Funkčná hodnota : f ( y) y 9y 5 f ( ) = 7 7 + 8 + 5 = 5 + 8 = Lagrangeovou metódou vypočítajte viazané etrémy funkcie f : z y 5 pri väzbe g : y F( ) : z y 5 ( y ) F ( ) : z y 5 y z z y y y y rovnica: y sčítame y y Stacionárny bod: A [] 0 D = 8 > 0 funkcia má viazaný etrém v bode A 0 z [] viazané lokálne MINIMUM Funkčná hodnota: f ( ) 8 5 7 7 Príklad: Maimalizácia zisku (aplikácia na lokálne etrémy funkcie f(y)) Mesačná produkcia firmy je daná funkciou: Q 0 K K 50 L 5L premenná K - výrobný faktor kapitál premenná L - výrobný faktor práca Firma zamestnáva L pracovníkov za 00 pj/deň ( P L ) a prenajíma si stroje K za 00 pj/deň a stroj ( P K ) Cena P za ktorú svoj produkt predáva je 0 pj/za jednotku Akú kombináciu výrobných faktorov L a K by mala firma použiť aby dosiahla za daných podmienok maimálny zisk (pj znamená peňažných jednotiek)? Zisk je rozdiel medzi tržbami TR a nákladmi TC t j Z TR TC TR PQ (00 K K 50 L 5L kde: )
TC PK K PL L 0 K 0 L Teda funkcia zisku má tvar: Z (000 K K 000 L 0 L Po úprave : Z 0 K K 00 L 0 L 7 ) (00 K 0 L) Máme vypočítať lokálne maimum tejto funkcie Funkcia dosiahne etrém pre také hodnoty K a L pre ktoré je splnená podmienka: prvá derivácia funkcie podľa každej nezávisle premennej sa rovná nule Z K 0 K K 5 Z 00 L L 0 L Teda stacionárny bod [K L] = [5 0] Parciálne derivácie druhého rádu: Z 0 K Z Z KL LK Z 0 L 0 0 Determinant pre stacionárny bod je: D z toho vyplýva že funkcia Z má etrém v bode [5 0] K Z Hodnota druhej derivácie: 0 < 0 teda funkcia zisku má lokálne maimum Funkčná hodnota (zisk v etréme) je: 5 000 0 0 = 09 500 pj Z 0 5 Zistili sme že ak firma použije pre výrobné faktory kombináciu K = 5 a L = 0 tak dosiahne maimálny zisk Ďalšie príklady: * dotyčnica ku grafu funkcie * dotyková rovina * derivácia zloženej funkcie Pr: monotónnosť a lokálne etrémy funkcia f : y výsledky: ( )( ) f ( ) f ( ) 8
8 ( ) ( 0) ( 0) ( ) + + rastúca klesajúca klesajúca rastúca Lok MAX : ( ) Lok MIN : ( ) = 0 nepatrí do D(f) f ( ) f ( ) f MAX (- -) f MIN ( ) Príklad: Vypočítajme rovnicu dotykovej roviny ku grafu funkcie f : z y 5 v dotykovom bode [ 0?] Tretia súradnicu dotykového bodu (funkčná hodnota): z 0 f ( ) ( ) 5 5 T [ ] Parciálne derivácie prvého rádu funkcie f ( y) : f f ( y 5) ( y 5) y = y y Vypočítame hodnoty parciálnych derivácií v bode y ] [ ] f f ( ) ( ) ( ) y Údaje dosadíme do rovnice dotykovej roviny: f f z z y0) ( ) ( 0 y0) ( y y z ( ) ( y ( )) z 8 y z y rovnica dotykovej roviny 0 ( y0 Príklad: Zobrazte graf funkcie f : y 5 Príklad: Daná je funkcia f : y a inflené body funkcie [ 0 0 ) napíšte D(f) H(f) a vlastnosti Vypočítajte intervaly konvenosti konkávnosti Príklad: Funkcia celkových nákladov má vyjadrenie CN ( ) : y 8 0 ( ) Zistite pre akú úroveň produkcie budú celkové náklady minimálne a veľkosť nákladov uveďte Príklad 5: Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f v danom bode T : a) f : y T ;? T ; y 9 b) f : y T ;? T ; y c) f y ln ;? T ; 0 y : T