1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými cvičeniami (ich členenie nie je definitivne). Poznámky obsahujú nasledujúce témy: I. Analytická geometria v rovine 1. Súradnice v rovine: počiatok, vzdialenost bodov, priamka, uhol, polárne súradnice. 2. Jednoduché krivky v rovine: kružnica a elipsa, hyperbola, parabola, príklady. 3. Vektory v rovine: lineárna nezávislost, báza, skalárny súčin a ortogonalita, ortogonálna báza. 4. Lineárne transformácie: lineárne transformácie báze, sústava dvoch lineárnych rovníc, matice a ich súčin, determinant. 5. Pojem grupy (axiómy): grupa GL(2, R) a SL(2, R), transponovanie matíc, (pod)grupa ortogonálnych transformácií O(2), príklady. 5. Komplexné čísla: ako rovina R 2 s násobením, ako násobenie určitých matíc. Násobenie komplexných čísiel, komplexné združnie a absolútna hodnota. Geometrický význam komplexných čísiel a ich sčítania a násobenia, vlastnosti telesa komplexných čísiel, základná veta algebry.
2 II. Analytická geometria v priestore 1. Súradnice v priestore: počiatok, poloha, vzdialenost, priamka a rovina - ich vzájomná poloha, sférické súradnice. 2. Niektoré plochy v priestore: gul a a elipsoid (paraboloidy a hyperboloidy), príklady. 3. Vektory v priestore: lineárna nezávislost, báza, skalárny súčin a ortogonalita, ortogonálna báza. Vektorový súčin a plocha trojuholníka, zmiešaný súčin a objem, príklady. 4. Lineárne transformácie: sústava troch lineárnych rovníc, matice a ich súčin, determinant, hodnota matice - priamky a roviny. 5. Grupy GL(3, R) a SL(3, R), grupy rotácií O(3) a O(3). Skladanie rotácií: slnečné hodiny a iné (jednoduchšie) príklady. III. Vektorové priestory 1. Definícia vektorového priestoru: lineárna závislost dimenzia, báza, príklady. 2. Sústavy lineárnych rovníc: maticový zápis, hodnota matice, priestor riešení, transponovaná matica, súčin matíc. 3. Skalárny súčin: norma, vzdialenost, metrika, ortogonalita a ortogonálna báza. 4. Lineárne transformácie: štvorcové matice, ich súčin a determinant, grupy GL(n, R) a SL(n, R). Vlastné hodnoty a vlastné vektory matice, symetrické a antisymetrické matice. 5. Ortogonálne matice a transformácie: invariantnost skalárneho súčinu, grupy O(n) a SO(n). Vlastné hodnoty a vlastné vektory symetrickej matice,
3 diagonalizácia symetrických matíc. 6. Komplexné vektorové priestory: lineárna závislost dimenzia, báza, lineárne transformácie, grupy GL(n, C) a SL(n, C). Hermitovsky združená matica, hermitovské a unitárne matice, unitárne transformácie, grupy U(n) a SU(n). Skalárny súčin a jeho invariantnost, vlastné hodnoty a vlastné vektory hermitovskej matice, diagonalizácia hermitovských matíc. Motivácia. Aj ked v informatike sa pracuje najmä metódami diskrétnej matematiky a algebry, je vel mi užitočné ovládat aj základy analýzy a geometrie. Tieto aspekty sa prejavujú najmä v aplikáciách numerických a informatických metód. Často treba skúmat, simulovat alebo modelovat rôzne procesy, zobrazovat ich alebo prenášat do virtuálneho sveta počítačov. Na doplnenie treba uviest, že aj v rámci diskrétnej matematiky, pri formuláciách problémov alebo ich analýze je užitočné mat základné vedomosti zo "spojitej matematiky". Zvyčajne, alebo aspoň vel mi často, skúmaný problém má svoj matematický alebo fyzikálny popis v rámci "klasickej" analýzy a geometrie. Ciel om prednášok Matematika 2 je poskytnút základné poznatky z lineárnej algebry. Pojmový aparát bude preto budovaný len v nevyhnutnej miere. Dôraz bude kladený na praktické ovládanie metód, t.j. priebežné precvičovanie naučených poznatkov, riešenie najprv jednoduchých a potom (trochu) zložitejších problémov.
4 Literatúra. Učebnice. 1. I. Kluvánek, L. Mišík, J. Švec: Matematika pre štúdium technických vied, Alfa, Bratislava, 1961. 2. Ch. B. Morrey, jr: University Calculus with Analytic Geometry, Addison-Wesley Publ. Comp., 1964. 3. J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia, Praha, 1989. 4. P. Zlatoš, Lineárna algebra, web stránka KAGM, FMFI UK. Prehl ady. 1. I. N. Bronštejn, K. A. Semend ajev: Príručka matematiky, SNTL, Bratislava, 1961. 2. Malá encyklopédia matematiky, Obzor, Bratislava, 1978.
Hodnotenie predmetu. Výsledné hodnotenie sa skladá z priebežného hodnotenia a záverečného hodnotenia v pomere 50:50. 5 1. Priebežné hodnotenie počas semestra 40 bodov = 20 bodov testy na cvičeniach + 20 bodov semestrálna písomka 2. Záverečné hodnotenie 40 bodov = 35 skúšková písomk + 5 bodov ústna skúška 3. Známkovanie 0-44 bodov... F x 45-51 bodov... E 52-58 bodov... D 59-65 bodov... C 66-72 bodov... B 73-80 bodov... A Ku skúške bude pripustený iba poslucháč, ktorý počas semestra získa viac ako 12 bodov. Hodnotenie = semester + skúška spolu. Zlepšenie hodnotenia podl a písomných testov o 1 stupeň je dané počtom bodov získaných na ústnej skúške. Zlý výsledok ústnej skúšky môže znamenat zhoršenie známky o 1 stupeň oproti hodnoteniu podl a písomných testov.
6
Chapter 1 Lineárna algebra a geometria v rovine Súradnice v rovine Budeme predpokladat, že (intuitívne) poznáme základné pojmy Euklidovskej geometrie v rovine: pojmy bodu v rovine a vzdialenosti dvoch bodov, pojmy priamky a ich vzájomnej polohy. Pravouhlé (kartézske) súradnice v rovine zavedieme takto: (i) Zvolíme v rovine priamku p x (x-ovú os) a na nej počiatok 0, ktorý bude odpovedat bodu x = 0 na číselnej osi; (ii) Počiatkom 0 vedieme d alšiu priamku p y (y-ovú os) kolmú na x-ovú os; (iii) Ľubovoľný bod P roviny stotožníme s dvojicou reálnych čísiel P = [x P ; y P ], kde x P (y P ) označujú x-ovú os(y-ovú os) súradnicu bodu P (pozri Obr. 1a). 7
8 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Vzdialenost dvoch roviny. Uvažujme teraz dva body roviny P = [x P ; y P ] a Q = [x Q ; y Q ]. Ich vzdialenost d(p, Q) sa definuje ako dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka P QR, R = [x Q ; y P ] (pozri Obr. 1b). Podl a Pythagorovej vety d(p, Q) = (x P x Q ) 2 + (y P y Q ) 2. (1.1) Euklidovská rovina E 2 je priestor dvojíc reálnych čísiel R 2 opatrený pojmom vzdialenosti (1.1). Polárne súradnice definujeme takto: (i) Okolo počiatku 0 = [0; 0] nakreslíme jednotkovú kružnicu a na nej vyznačíme uhol ϕ ( π, +π], tak ako je naznačené na Obr. 2a: bodu [1; 0] je priradený uhol ϕ = 0, bodom [0; +1] a [0; 1] uhly ϕ = +π/2 resp. ϕ = π/2, bodu [ 1; 0] priradíme uhol ϕ = +π (mohli by sme priradit aj uhol ϕ = π, je dobré sa jednoznačne rozhodnút ). (ii) Každý bod P = [x; y] 0 roviny parametrizujeme jeho polárnymi súradnicami: vzdialenost ou od počiatku r = x 2 + y 2 a uhlom ϕ zadaným pomocou rovníc x = r cos ϕ, y = r cos ϕ. (1.2) Poznámka: súradníc takto: Kartézske súradnice môžeme vyjadrit pomocou polárnych r = x 2 + y 2, ϕ = arccos x r. (1.3) Polárne súradnice sú dobre definované okrem počiatku, v ktorom síce r = 0 ale uhol ϕ nie je definovaný!
9 Definícia: Priamka p v E 2 je množina bodov X = [x; y], ktoré spĺňajú rovnicu p : a x + b y + c = 0, (1.4) kde a, b a c sú reálne čísla, pričom a 2 + b 2 > 0. Bez ujmy na všeobecnosti, budeme predpokladat, že a 0 (v opačnom prípade rovnicu (1.4) násobíme číslom 1). Ak b = 0, rovnica a x + c = 0 definuje priamku rovnobežnú s y-ovou osou. Podobne, ak a = 0, rovnica b y + c = 0 definuje priamku rovnobežnú s x-ovou osou. Smerový uhol priamky. Smerový uhol α priamky p (1.4) definujeme rovnicou tg α = a b, b 0. (1.5) Uhol berieme z intervalu [0, π), ak b = 0 kladieme α = π/2. Je to uhol, ktorý priamka p zviera s x-ovou osou (pozri Obr. 2b). Poznámka. Ak b 0 rovnicu (1.4) prepíšeme ako funkciu y = a b x c b. potom y = a b = tg α, v súlade s geometrickou interpretáciou derivácie ako smernice ku krivke v danom bode. Uhol dvoch priamok p a q s kladnými smerovými uhlami α resp. β sa
10 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE nazýva kladný uhol ϕ = α β z intervalu [0, π). Ak ϕ = π/2, hovoríme, že priamky sú kolmé. Poznámka. Rovnicu (1.4) po vydelení a 2 + b 2 môžeme prepísat do tvaru p : sin α x cos α y + e = 0, e = c a2 + b 2, (1.6) kde sin α = a a2 + b, cos α = b 2 a2 + b. (1.7) 2 Priamka prechádzajúca bodom Q = [x Q ; y Q ] s daným smerovým uhlom α je daná rovnicou p : sin α (x x Q ) cos α (y y Q ) = 0. (1.8) Porovnaním s rovnicou (1.6) dostaneme e = y Q cos α x Q sin α. Parametrický tvar priamky. Priamku p prechádzajúcu bodom Q = [x Q ; y Q ] možno tiež zadat v parametrickom tvare ako množinu bodov p : [b t + x Q ; a t + y Q ], t je l ubovolné reálne číslo. (1.9) Zavedené pojmy bodu a priamky v E 2 spĺňajú Euklidove axiómy rovinnej geometrie:
11 (i) Dvomi rôznymi bodmi P 0 = [x 0 ; y 0 ] a P 1 = [x 1 ; y 1 ] možno viest práve jednu priamku p, ktorá je v parametrickom tvare zadaná ako množina bodov P (t) = [t x 0 + (1 t)x 1 ; t y 0 + (1 t)y 1 ], t R. (1.10) Ak 0 t 1, tak máme úsečku s koncovými bodmi P 0 = [x 0 ; y 0 ] a P 1 = [x 1 ; y 1 ]. (ii) Bodom Q = [x Q ; y Q ], ktorý neleží na priamke p : sin α x cos α y + e = 0, možno viest práve jednu priamku p rovnobežnú s p, ktorá je zadaná rovnicou p : sin α (x x Q ) cos α (y y Q ) = 0. (1.11) Priamky p a p nemajú spoločný bod: keby takýto bod P = [x ; y ] existoval, tak preň by platilo sin α x cos α y + e = 0, sin α (x x Q ) cos α (y y Q ) = 0. Odčítaním oboch rovníc dostaneme sin α x Q cos α y Q + e = 0, čo je ekvivalentné tomu, že bod Q = [x Q ; y Q ] leží na priamke p - spor s našim východzím predpokladom. Vzdialenost bodu od priamky. Bodom Q, ktorý neleží na priamke p možno viest práve jednu priamku p kolmú na p zadanú rovnicou p : b (x x Q ) a (y y Q ) = 0. (1.12)
12 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Priesečník P = [x ; y ] priamok p a p je určený rovnicami p : cos α (x x Q ) + sin α (y y Q ) = 0, p : sin α (x x Q ) cos α (y y Q ) + d = 0, kde d = e + sin α x Q cos α y Q. Jednoduchý výpočet dá x = x Q sin α d, y = y Q + cos α d. Vzdialenost bodu Q od priamky p definujeme ako vzdialenost bodov Q a P : d(q, P ) = (x Q x ) 2 + (y Q y ) 2 = d = e + sin α x Q cos α y Q. (1.13)
13 Jednoduché krivky v rovine. Elipsa v rovine (v štandartnom tvare) je daná ako množina bodov P = [x; y], ktoré spĺňajú rovnicu (pozri Obr. 3a): x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, a 2 = b 2 + e 2. (1.14) Číslo e = a 2 b 2 sa nazýva excentricita elipsy; ak e = 0, elipsa sa redukuje na kružnicu. Body F 1 = [ e; 0] a F 2 = [+e; 0] sa nazývajú ohniská elipsy. Veta: Elipsa (1.14) je množina tých bodov roviny, ktoré majú od ohnísk konštantný súčet vzdialeností rovný 2a. Dôkaz: Súčet vzdialeností bodu P = [x; y] elipsy od jej ohnísk je rovný (pozri Obr. 3a): (e + x)2 + y 2 + (e x) 2 + y 2 = 2a. Umocnením tohto vzt ahu, po jednoduchej úprave, prídeme k rovnici 2a 2 (e 2 + x 2 + y 2 ) = (e 2 + x 2 + y 2 ) 2 4e 2 x 2. Ďal ším umocnením obdržíme rovnicu a 4 a 2 e 2 = a 2 y 2 + (a 2 e 2 )x 2, ktorá už je ekvivalentná definičnej rovnici (1.14). Hyperbola v rovine (v štandartnom tvare) je daná ako množina bodov
14 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE P = [x; y], ktoré spĺňajú rovnicu (pozri Obr. 3b): x 2 a 2 y2 b 2 = 1, e 2 = a 2 + b 2. (1.15) Číslo e = a 2 + b 2 sa nazýva excentricita hyperboly. Body F 1 = [ e; 0] a F 2 = [+e; 0] sú jej ohniská. Hyperbola má dve asymptoty (t.j. priamky) dané rovnicou y ± b a x = 0. Veta: Hyperbola (1.15) je množina tých bodov roviny, ktoré majú od ohnísk konštantný rozdiel vzdialeností rovný 2a. Dôkaz je obdobný ako v prípade elipsy. Rozdiel vzdialeností bodu P = [x; y] hyperboly od jej ohnísk je rovný (pozri Obr. 3b): (e + x)2 + y 2 (e x) 2 + y 2 = 2a. Umocnením tohto vzt ahu, po jednoduchej úprave, prídeme k rovnici (e 2 + x 2 + y 2 ) 2a 2 = (e 2 + x 2 + y 2 ) 2 4e 2 x 2. Ďal ším umocnením obdržíme rovnicu a 4 a 2 e 2 = a 2 y 2 + (a 2 e 2 )x 2, ekvivalentnú definičnej rovnici (1.15). Parabola v rovine (v štandartnom tvare) je daná ako množina bodov P = [x; y], ktoré spĺňajú rovnicu (pozri Obr. 3c): y 2 = 2 p x, p > 0. (1.16)
15 Bod V = [0; 0] sa nazýva vrchol paraboly, bod F = [0; p/2] je jej ohnisko. Veta: Parabola (2.3) je množina tých bodov roviny, ktoré majú od jej ohniska F = [ p 2 ; 0] a od riadiacej priamky x + p 2 rovnú p. = 0 rovnakú vzdialenost Dôkaz: Vzdialenost bodu P = [x; y] od riadiacej priamky je resp. ohniska je rovná (pozri Obr. 3c): x + p 2 resp. (x p 2 )2 + y 2. Po umocnení rovnice x + p 2 = (x p 2 )2 + y 2 dostaneme hned definičnú rovnicu (2.3). Vektory v rovine Uvažujme priestor V 2 vektorov (= orientovaných úsečiek - "šipiek") x smerujúcich z počiatku 0 do bodu X = [x 1 ; x 2 ] (zložky bodu X budeme systematicky značit ako x 1, x 2 miesto x a x). Každému vektoru ("šipiek") príradíme 2-zložkový stĺpec x = x 1. (1.17) Čísla x 1 a x 2 nazveme zložkami vektora x; vektor s nulovými komponentami, odpovedajúci počiatku budeme značit ako 0. x 2
16 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Súčet dvoch vektorov x = x 1, y = y 1 x 2 y 2 definujeme ako vektor x + y = x 1 + y 1 x 2 + y 2. (1.18) Sčítanie vektorov má názorný geometrický význam: x + y je vektor odpovedajúci prepone rovnobežníka so stranami x a y. Násobenie vektora x číslom a R sa definuje ako vektor ax so zložkami a x 1 a a x 2 : ax = a x 1 a a 2. (1.19) Definícia: Množina V je vektorový (lineárny) priestor ak pre lineárne kombináciescítanie jeho prvkov (scítanie vektorov a ich násobenie číslom) platia nasledujúce axiómy: x + 0 = x, x + y = y + x, x + (y + z) = (x + y) + y, 1.x = x, a (bx) = (ab) x, (a + b)x = ax + bx,
17 a(x + y) = ay + by). (1.20) Poznámka: L ahko sa možno presvedčit, že priestor V 2 (vektorov - šipiek v E 2 ) s lineárnou kombináciou definovanou v (1.18) a (1.19), je v zmysle tejto definície vektorový priestor. Skalárny súčin dvoch vektorov x = x 1 x 2 r cos α r sin α je reálne číslo x.y definované takto:, y = ρ cos β ρ sin β x.y = x 1 y 1 + x 2 y 2 = rρ (cos α cos β sin α sin β) = rρ cos(α β). (1.21) Tento vzt ah môžme prepísat takto: x.y = x y] cos ϕ, (1.22) kde ϕ = α β je uhol medzi "šipkami" odpovedajúcich vektorom x a y, kým x a y označujú dĺžku vektorov x a y. Ak x.y = 0, hovoríme, že vektory x a y sú ortogonálne. Vlastnosti skalárneho súčinu. Jednoducho sa možno presvedčit, že skalárny súčin má nasledujúce vlastnosti: x.x 0, a x.x = 0 len ak x = 0,
18 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE x.y = y.x, (ax).y = a (x).y), (x + y).z = x.z + y.z. (1.23) Dĺžku vektora (tiež norma vektora) x je definovaná vzt ahom: x = x.x x 2 1 + x 2 2 = r (1.24) Ak x = 1, vektor sa nazýva normovaný (na jednotku). Norma vektora spĺňa nasledujúce axiómy: x 0, a x = 0 len ak x = 0, ax = a x, x + y x + y trojuholníková nerovnost. (1.25) Zápis priamky pomocou vektorov. Pretože konce vektorov - "šipiek" odpovedajú bodom v rovine, môžeme priamky vyjadrovat pomocou vektorov: (i) Paramatrický zápis priamky p so smerovým uhlom α prechádzajúcou bodom x 0 : p : y = nt + x 0, t R, (1.26) kde n = cos α sin α,
19 je vektor jednotkovej ĺžky v smere priamky. Rovnicu (1.26) môžeme prepísat do tvaru p : y = at + x 0, t R, (1.27) kde sme zavedli nový parameter t vzt ahom: t = a t, a > 0. (ii) Zápis priamky p so smerovým uhlom α prechádzajúcou bodom x 0 pomocou rovnice: x p m.(x x 0 ) = 0, (1.28) kde m = sin α cos α, je vektor jednotkovej ĺžky kolmý na priamku. Po vynásobení číslom b > 0 rovnicu (1.28) môžeme prepísat do všeobecnejšieho tvaru x p b.x + c = 0, (1.29) kde b = b m a c = b m.x 0. Lineárna závislost systému vektorov. Systém vektorov x 1, x 2,..., x n nazveme lineárne závislým, ak existuje také riešenie rovnice a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = 0, (1.30) že niektoré z čísiel a 1, a 2,..., a n sú nenulové: a 2 1 + a 2 2 +... + a 2 n > 0. Ak rovnica (1.30) má len triviálne riešenie a 1 = a 2 =... = a n = 0, hovoríme, že vektory x 1, x 2,..., x n sú lineárne nezávislé.
20 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Ortonormálna báza v priestore V 2. V priestore V 2 l uvolné tri vektory a, b a c sú lineárne závislé. Existujú ale dvojice vektorov, ktoré sú lineárne nezávislé. Ako príklad lineárne nezávislej dvojice, môžu slúžit vektory e 1 = 1 0, e 2 = 0 1. Skutočne, rovnica a 1 e 1 + a 2 e 2 = a 1 = 0 0 = 0 a 2 má len triviálne riešenie a 1 = a 2 = 0. L ubovolný vektor x V 2 možno vyjadrit ako lineárnu kombináciu vektorov e 1 a e 2 : x = x 1 x 2 = x 1 1 0 + x 2 0 1 = x 1 e 1 + x 2 e 2. Hovoríme, že vektory {e 1 e 2 } tvoria bázu vektorového priestoru V 2. Pre túto bázu platí: e 2 1 = e 2 2 = 1, e 1. e 2 = 0. (1.31) Takáto báza sa nazýva ortonormálna: všetky bázové vektory sú normované na 1 a rôzne bázové vektory sú navzájom ortogonálne. Zrejme, x 1 = x. e 1, x 2 = x. e 2. (1.32) Ortonormálna báza, t.j. báza, ktorá spĺňa (1.31), nie je určená jednoznačne. L ahko sa možno presvedčit, že aj vektory e 1 = cos ϕ e 1 + sin ϕ e 2,
tvoria ortonormálnu bázu. 21 e 2 = sin ϕ e 1 + cos ϕ e 2, (1.33) Lineárne zobrazenie a matice Zobrazenie vektorov x = x 1 x 2 x = x 1 x 2. (1.34) tvaru x 1 A 11 x 1 + A 12 x 2 = x 1, x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2 = x 2, (1.35) nazveme lineárnym zobrazením vo V 2 zadaným pomocou 2 2 reálnej matice (2 2 tabul ky reálnych čísiel): A = A 11, A 12 A 21, A 22, A ij R. (1.36) Rovnicu (1.35) vyjadrujeme v maticovom zápise takto: A 11 A 12 A 21 A 22 x 2 x 1 A 11 x 1 + A 12 x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2 = x 1 x 2. (1.37) L avá strana tohto dôležitého vzt ahu definuje násobenie 2 2 matice A a 2-zložkového vektora (stĺpca) x. Rovnicu (1.37) stručne zapisujeme takto: A x = x. (1.38)
22 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Pôsobme teraz maticou na jednotlivé vektory štandartnej báze: A e 1 = A e 2 = A 11 A 12 A 21 A 22 = A 11 e 1 = A 12 e 2, = A 21 e 1 = A 22 e 2. Ak teraz vynásobíme skálarne tieto vektory bázovými vektormi, prídeme k dôležitému vyjadreniu l ubovoln0ho prvku matice A: A ij = e i. (A e j ), i j = 1, 2. (1.39) Tento zápis znamená, že formula pre A ij platí pre všetky možné kombinácie indexov i = 1, 2 a j = 1, 2. Algebra matíc. Množina 2 2 matíc je algebra lebo sú v nej definované dve operácie: (i) Lineárna kombinácia a A + b B matíc A = A 11, A 12 A 21, A 22, B = B 11, B 12 B 21, B 22 ktorá je definovaná ako matica s prvkami a A ij + b B ij : a A + b B = a A 11 + b B 11, a A 12 + b B 12 a A 21 + b B 21, a A 22 + b B 22, (1.40). (1.41) Vzhl adom k takto zavedenej lineárnej kombinácii matice tvoria vektorový (lineárny) priestor, v ktorom úlohu počiatku hrá nulová matica O = 0, 0. (1.42) 0, 0
(ii) Súčin A B matice A s maticou B, ktorý je definovaný ako matica A B = A 11 B 11 + A 12 B 21, A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21, A 21 B 12 + A 22 B 22 Poznamejme, že maticový súčin je asociatíny: A (B C) = (A B) C A B C. 23. (1.43) Transponovaná matica A t k matici A s je matica A t = A 11, A 21 A 12, A 22, (1.44) v ktorej riadky a stĺpce sú navzájom vymenené, t.j. inverzná matica A t má prvky A t ij = A ij : A t matica je otočená okolo hlavnej diagonály ( A 11, A 22 ). Pre transpozíciu súčinu matíc máme: (A B) t = B t A t. Pre skalárny súčin platí nasledujúca identita: Dokázat sa dá jednoducho priamym dosadením: x. (A y) = (A t x). y. (1.45) x. (A y) = x 1 (A 11 y 1 + A 12 y 2 ) + x 2 (A 21 y 1 + A 22 y 2 ) = (x 1 A 11 + x 2 A 21 ) y 1 + (x 1 A 12 + x 2 A 22 ) y 2 = (A t x). y. (1.46) Špeciálne pre symetrickú maticu máme, x. (A y) = (A x). y. (1.47)
24 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Jednotková matica (s 1-mi na diagonále a 0-mi mimo nej) I = 1, 0 (1.48) 0, 1 hrá úlohu "jednotky" pri maticovom súčine: I A = A I = A. Inverzná matica a determinant matice. Hovoríme, že matica A je regulárna (invertibilná), ak k nej existuje inverzná matica A 1, pre ktorú platí: A A 1 = A 1 A = I. (1.49) Pokial matice A a B sú invertibilné, ich súčin je invertibilný a platí: (A B) 1 = B 1 A 1. Determinant matice je reálne číslo priradené matici A predpisom A det A 11, A 12 A 21, A 22 = A 11 A 22 A 12 A 21. (1.50) Druhý zápis tvaru A ij používa sa vtedy, ked potrebujeme explicitne zdôraznit hodnoty maticových prvkov. Determinant má nasledujúce vlastnosti: (i) Determinant transponovanej matice A t je rovný determinantu matice A: det A t = det A. (1.51) (ii) Determinat zmení znamienko ak vymeníme oba riadky (stĺpce). (iii) Determinat sa nezmení ak k niektorému riadku (stĺpcu) pripočítame násobok druhého riadku (stĺpca).
25 Dôkaz týchto vlastností plynie priamo z formuly (1.50) (iv) Determinant súčinu dvoch matíc sa rovná súčinu ich determinantov: det (A B) = det A det B. (1.52) Dôkaz: Z definícií súčinu matíc a determinantu dostaneme: det (A B) = (A 11 B 11 + A 12 B 21 ) (A 21 B 12 + A 22 B 22 ) (A 11 B 12 + A 12 B 22 ) (A 21 B 11 + A 22 B 21 ) = (A 11 A 22, A 12 A 21 ) (A 11 A 22 A 12 A 21 ) = det A det B. (v) Matica A je invertibilná práve vtedy, ked det A 0. Inverzná matica je daná formulou: A 1 = 1 det A A 22, A 12 A 21, A 11 Dôkaz: Skutočne, z formúl (1.43) a (1.53) máme: A A 1 1 = A 11 A 22 A 12 A 21, A 11 A 12 A 12 A 11 det A A 21 A 22 A 22 A 21, A 21 A 12 A 22 A 11 Formula A 1 A = I sa dokáže analogicky.. (1.53) = I. Sústavy lineárnych rovníc V tejto časti budeme sa zaujímat o riešenie sústavy dvoch lineárnych algebraických rovníc A 11 x 1 + A 12 x 2 = b 1,
26 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE A 21 x 1 + A 22 x 2 = b 2, (1.54) pre neznáme x 1, x 2. Čísla b 1, b 2 sa nazývajú pravou stranou sústavy rovníc. Ak pravá strana je nulová, hovoríme o homogénnej sústave rovníc; ak je nenulová, sústava sa nazýva nehomogénna. Vo vektorovom (maticovom) zápise sústavu (1.54) môžme zapísat ako vektorovú rovnicu: A x = b. (1.55) Riešenie sústavy pomocou determinantov. (i) Ak D det A 0 sústava má práve jedno riešenie dané formulami: D 1 = x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D, b 1, A 12 b 2, A 22, D 2 = A 11, A 12 b 1, b 2. (1.56) Teda D 1 a D 2 sú determinanty matíc, ktoré sa dostanú tak, že v matici A nahradíme 1. resp. 2. stĺpec zložkami vektora b na pravej strane rovnice. Dôkaz: Vynásobme rovnicu (1.55) maticou A 1 : x = A 1 b. Ak použijeme vzorec (1.53) a vyčíslime A 1 b hned dostaneme hl adané riešenie (1.58). (ii) Prípad D = 0 a D 1 = D 2 = 0 diskutujeme nižej. (iii) Ak D = 0 a niektoré z D j 0, sústava nemá riešenie. Riešenie sústavy pomocou rozšírenej matice.
Sústavu lineárnych algebraických rovníc (1.54) zapíšeme ako 2 3 rozšírenú maticu (tabul ku čísiel): (A b) A 11 A 12 b 1 A 21 A 22 b 2 27. (1.57) Nejedná sa o nič iné, ako o maximálne úsporný zápis sústavy (1.54). Neznáme x 1 a x 2 explicitne nevypisujeme, vieme ale že: stĺpci. x 1 resp. x 2 násobia 1. resp 2. stĺpec, potom oba stĺpce sčítame, a súčty jednotlivých riadkov sa rovnajú príslušným členom v tret om Veta: Sústava lineárnych algebraických rovníc popisaných rozšírenou maticou (A b) má riešenie práve vtedy, ked povcet lineárne nezávislých riadkov matice sústavy A sa rovná povctu lineárne nezávislých riadkov rozšírenej matice (A b). Komentár: (i) Ak oba riadky A aj (A b) sú lineárne nezávislé, tak D = det A 0 a existuje jednoznačné riešenie sústavy dané (1.56). (ii) Ak (A b) má len jeden lineárne nezávislých riadok (a druhý je jeho násobkom), potom sústava sa redukuje na jednu nezávislá rovnicu (povedzme, danú j-tym riadkom) A j1 x 1 + A j2 x 2 = b j. (1.58) Tento vzt ah reprezentuje rovnicu určitej priamky p. Riešení je nekonečne
28 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE vel a: každý bod na p rieši sústavu. V tomto prípade D = 0 a D 1 = D 2 = 0. (iii) Ak rozšírená matica (A b) má dva lineárne nezávislé riadky, kým A len jeden, potom sústava nemá riešenie. V tomto prípade D = 0 a aspoň jeden z determinantov D 1 a D 2 je rôzny od nuly. Príklad 1. Riešte sústavu rovníc x 1 x 2 = 1 2 x 1 + 3 x 2 = +1 +1, 1 1 +2, +3 +1 Riešenie: Na pravej strane sústava je zapísaná pomocou rozšírenej matice. Aby sme eliminovali premennú x 1 v druhej rovnici, odčítajme dvojnásobok prvej rovnice od druhej. Na úrovni rozšírenej matice pod diagonálou sa objaví nula: +1, 1 1 +2, +3 +1 +1, 1 1 0, +5 +3 x 1 x 2 = 1 5 x 2 = +3 (symbol " " označuje, že obe rozšírené matice odpovedajú ekvilaletným sústavám rovníc). Teraz môžme z druhej rovnice priamo vyjadrit x 2 a po dosadení do prvej rovnice aj x 1 : x 2 = 3 5, x 1 = x 2 1 = 3 5 1 = 3 5. Príklad 2. Uvažujme teraz dve modifikácie predchádzajúceho príkladu zadané rozšírenými maticami: (a) +1, 1 1, (b) +1, 1 1. 2, +2 +2 2, +2 +3
29 Riešenie: Postupujme rovnako ako predtým a odčítajme dvojnásobok prvého riadku od druhého. Dostaneme, (a) +1, 1 1 x 1 x 2 = 1, 0, 0 0 0 = 0 (b) +1, 1 1 0, 0 +5 x 1 x 2 = 1 0 = +5,. (a) Rozšírená matica (A b) má dva lineárne závislé riadky, takže vhodným odčítaním vynulujeme druhý riadok: prvému riadku odpovedá rovnica priamky, kým druhý riadok predstavuje identitu 0 = 0. Sústava má nekonečne vel a riešní - riešia ju všetky body priamky. (b) Rozšírená matica (A b) má dva lineárne závislé riadky, kým matica A má lineárne závislé riadky: prvému riadku odpovedá netriviálna rovnica, kým druhý riadok predstavuje neplatný vzt ah 0 = +5. Sústava nemá riešnie. Grupa regulárnych matíc Maticu A zobrazenia x A x nazveme regulárnou ak jej determinant je nenulový: det A 0. Regulárne zobrazenia zobrazujú priestor V 2 jednoznačne na seba: ak x 1 x 2 potom A x 1 A x 2, a naviac, pre každé x V 2 existuje také x, že platí: x = A x, regulárne zobrazenia x B x a x A x môžeme skladat : zložené zobrazenie je regulárne a odpovedá mu súčin matíc: A (B x) = (A B) x.
30 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE V množina regulárnych matíc G môžeme definovat operáciu - maticový súčin: A, B G A B G, ktorý má nasledujúce vlastnosti: (i) Asociatínost. Pre l ubovolnú trojicu A (B C) z G platí: A (B C) = (A B) C; (ii) Existencia jednotkového prvku I. Pre l ubovolný prvok A z G platí: A I = I A = A; (iii) Existencia inveverzného prvku. Ku každému prvku A z G existuje A 1, pre ktorý platí: A A 1 = A 1 A = I. Definícia grupy a podgrupy. Množina G je grupa ak je v nej definovaný súčin s s vlastnost ami (i) - (iii). Podmnožina G G je podgrupa grupy G ak grupovvý súčin zúžený na G má vlastnosti (i) - (iii). Poznámka 1. Množina regulárnych matíc s nenulovým determinantom je grupa vzhl adom k maticovému súčinu, ktorá sa zvykne označovat ako G = GL(2, R): jednotková matica odpovedá jednotkovému prvku grupy a inverzná matica odpovedá inverznému prvku. Je to dôsledkom toho, že det A 0 a det B 0 det (AB) = det A det B 0. Poznámka 2. Jej podmožina matíc s jednotkovým determinantom je grupa, ktorá sa zvykne označovasoftt ako G = SL(2, R). Je dôsledkom toho, že vzt ah det (AB) = det A det B je konzistentný so podmienkou det A = 1.
Poznámka 3. Matica A sa nazýva ortogonálnou ak pre jej transponovanú maticu A t platí: A t A = I. Množina ortogonálnych matíc tvorí grupu H, ktorá sa zvykne označovat ako O(2, R) alebo jednoducho O(2). grupu, čo plynie z toho že A t A = I a B t B = I implikuje (A B) t (A B) = B t A t A B = B t (A t A) B = B t B = I. 31 Jedná o Poznámka 4. Zo vzt ahu A t A = I vyplýva det A t det A = (det A) 2 = 1. Preto, det A = ±1. s det A = +1, tvoria podgrupu H sa nazýva sa grupou vlastných rotácií roviny. L ahko sa možno presvedčit, že ortogonálne matice odpovedá rotácii roviny o nejaký uhol α: A = cos α, sin α. sin α, cos α = SO(2) grupy H = O(2), ktorá Každá matica A SO(2) Poznámka 5. Matice z grupy rotácií s determinantom rovným 1 netvoria podgrupu: súčin dvoch takýchto matíc je matica s determinantom +1. Každá ortogonálna matica A s determinantom rovným 1, ale môže byt zapísaná ako súčin matice E = 1, 0 0, 1 odpovedajúcej priestorovej reflexii (odrazu v zrkadle umiestnenom v 1. súradnicovej osi v rovine) a vlastnej rotácie A: A = E A, kde det A = +1. Poznámka 6., Grupa SO(2) je podgrupou ako grupy SL(2, R), tak aj grupy O(2). Naviac platí: SO(2) = SL(2, R) O(2). Všeobecné báze vo vektorovom priestore
32 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Uvažujme lineárne zobrazenie x A x generované regulárnou maticou A = A 11, A 12 A 21, A 22. Pôsobením na štandartnú ortonormálnu bázu e 1 = 1 0, e 2 = 0 1, obdržíme dvojicu vektorov f 1 = A e 1 = f 2 = A e 2 = A 11, A 12 A 21, A 22 A 11, A 12 A 21, A 22 1 0 0 1 = = A 11 A 21 A 12 A 22,. Dvojica vektorov f 1 a f 2 predstavuje všeobecnú (neortonormálnu) bázu vo vektorovom priestore, t.j. každý vektor x možno vyjadrit ako lineárnu kombináciu vektorov f 1 a f 2 : = x 1 x = x 1 e 1 + x 2 e 2 = A 11 A 21 + x 2 A 12 A 22 x 1 x 2 = = x 1f 1 + x 2 f 2 A 11 x 1 + A 12 x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2 Vidíme, že koeficienty rozvoja x 1 a x 2 vektora v neortonormálnej báze sú určené rovnicami A 11 x 1 + A 12 x 2 = x 1, A 21 x 1 + A 22 x 2 = x 2..
Vd aka tomu, že A je regulárna matica, táto sústava má jednoznačné riešenie pri l ubovolnom x 1 a x 2. 33 Diagonalizácia symetrickej matice Vektor x sa nazýva normovaným vlastným vektorom matice A k vlastnej hodnote λ, ak existuje reálne číslo λ tak, že je splnená rovnica A x = λ x (A λ I) x = 0, x = 1. (1.59) Jedná sa o homogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc pre zložky vektora x. Aby táto sústavu rovníc mala nenulové riešenie, determinant sústavy musí sa rovnat nule: det(a λ I) = 0. Tento vzt ah je kvadratická rovnica pre neznámu λ. Takáto rovnica ale nemusí mat povžadované reálne riešenie. V d alšom sa preto obmedzíme na symetrické matice, ktoré ako uvidíme, majú reálne vlastné hodnoty. Vlastné vektory a hodnoty symetrickej matice L ubovolnú symetrickú maticu A môžeme (vhodne) parametrizovat takto: A = a + r cos α, r sin α. r sin α, a r cos α
34 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Podmienka na vlastnú hodnotu nadobúda tvar a λ + r cos α, r sin α det(a λ I) = r sin α, a λ + r cos α = (a λ)2 r 2. Vlastné hodnoty matice A teda sú: λ = a ± r. Môžu nastat dva prípady: (i) Ak r = 0, potom A = a I. Všetky vektory, sú vlastné vektory k hodnote λ = a: A x = a x. Môžeme vybrat, napríklad štandartnú bázu ako ortonormálny systém dvoch vlastných vektorov: x 1 = 1 0, x 2 = 0 1. (ii) Ak r 0, tak vlastné vektory sú riešením rovnice a + r cos α, r sin α x 1 = (a ± r) x 1 r sin α, a + r cos α x 2 x 2, ktorá sa redukuje na sústavú dvoch homogénnych algebraických rovníc: cos α x 1 + sin α x 2 = ± x 1, sin α x 1 cos α x 2 = ± x 2. Obe rovnice nie sú nezávislé (vynásobte prvú rovnicu sin α a druhú cos α). Rovnice so znamienkom "+" resp. "-" majú normované riešenie: x 1 = cos α 2 sin α 2, resp. x 2 = sin α 2 cos α 2. Poznámka: L ahko sa možno presvedčit, že oba vlastné vektory x 1 a x 2 sú normované a navzájom ortogonálne: x 1 = x 2 = 1 a x 1. x 2 = 0. Nie je to náhoda, lebo platí
35 Veta: Vlastné vektory symetrickej matice k rôznym vlastným hodnotám sú navzájom ortogonálne. Dôkaz: Rovnice A x 1 = λ 1 x 1 resp. A x 2 = λ 2 x 2, vynásobme x 2 resp. x 1. Dostaneme rovnice x 2.(A x 1 ) = λ 1 x 2.x 1 resp. x 1.(A x 2 ) = λ 2 x 1.x 2. Odčítaním oboch týchto rovníc obdržíme vzt ah: (λ 1 λ 2 ) x 1.x 2 = 0, kde sme využili to, že pre symetrickú maticu platí x 2.(A x 1 ) = x 1.(A x 2 ). Pretože, podl a predpokladu λ 1 λ 2, tak musí byt x 1.x 2 = 0. V ortonormálne báze svojich vlastných vektorov x 1 x 11 x 21, x 2 x 11 x 21, každá symetrická matica A je diagonálna s vlastnými hodnotami na diagonále. Skutočne, pre maticové prvky báze vlastných vektorov Λ ij x i. (Ax j ) = λ j x i. x j. Ak využijeme ortonormalitu báze {x 1 x 2 }, hned dostaneme: Λ 12 = Λ 21 = 0, Λ 11 = λ 1, Λ 22 = λ 2.
36 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Príslušnú diagonálnu maticu Λ dostaneme tiež tak, že maticu A vynásobíme sprava maticou X s prvkami x ij (ktoré odpovedajú zložkám vlastných vektorov {x 1, x 2 } zavedených vyššie) a zl ava transponovanou maticou X t. Teda X t A X = Λ, resp. A X = X Λ (1.60) Posledný vzt ah je plynie z ortogonálity X t X matice X. Tieto rovnice detailne vyzerájú takto: x 11, x 21 x 12, x 22 A 11, A 12 A 21, A 22 x 11, x 12 x 21, x 22 = λ 1, 0 0, λ 2, resp. A 11, A 12 A 21, A 22 x 11, x 12 x 21, x 22 = x 11, x 12 x 21, x 22 λ 1, 0 0, λ 2. Stĺpce poslednej maticovej rovnice odpovedajú jednotlivým rovniciam na vlastné hodnoty: A x 1 = λ 1 x 1 a A x 2 = λ 2 x 2. Komplexné čísla. Teleso komplexných čísiel C môžeme zaviest ako množinu reálnych matíc špeciálneho tvaru: X = x, x x, x = x I + x E. Ich lineárna kombinácia je opät matica tohto tvaru:
37 Matice I = 1, 0 0, 1, E = 0, 1 1, 0, spĺňajú vzt ahy: I 2 = I, I E = E I = E, E 2 = I. Lineárna kombinácia dvoch komplexných čísiel X = x I + x E a Y = y I + y E je opät matica tohto tvaru: X + Y = (x + y) I + (x + y ) E. Pre ich súčin l ahko dostaneme: X Y = (x y x y ) I + (x y + x y) E. Číslo X = X t = x I x E sa nazýva komplexne združené k číslu X = x I + x E. Nezáporné číslo X = X X = x2 + x 2 X sa nazýva absolútnou hodnotou komplexného čísla X. Kvôli skráteniu zápisu (a aj z historických dôvodov) symbol I sa nahradzuje "1" (a zväčša sa vynecháva) a symbol E sa nahrádza imaginárnou jednotkou "i", ktoré pri násobení sa správajú rovnáko ako I a E: 1 2 = 1, 1.i = i.1 = i, i 2 = 1. Píšeme, X = x + i x. Jeho súčin s komplexným číslom Y zapiše takto: X Y = (x y x y ) + i (x y + x y). = y + i y sa Ak X = cos α + i sin α = e iα (kde α je reálny parameter), tak X = 1.
38 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Každé komplexné číslo X = x + i x je jednoznačne zadané dvojicou reálnych čísiel x a x, ktoré môžeme znázornit ako bod [x; x ] reálnej roviny R 2 resp. ako vektor x v rovine smerujúci z počiatku do koncového bodu [x; x ]. Značenie je také, že 1) X = x (nal avo je absolútna hodnota komplexného čísla a napravo vystupuje dĺžka vektora), 2) vynásobeniu reálnym číslom a : X a X odpovedá násobenie vektora číslom a : x a x, 3) vynásobeniu komplexným číslom e iα : X e iα X odpovedá rotácia roviny R 2 o uhol α: x x cos α, sin α sin α, cos α x x.
Chapter 2 Lineárna algebra a geometria v priestore Súradnice v priestore Najprv zavedieme pravouhlé (kartézske) súradnice v Euklidovskom priestore: (i) Zvolíme v priestore rovinu a v nej počiatok 0, ktorým vedieme dve priamky: x-ovú os a na ňu kolmú y-ovú os; počiatku 0 odpovedá bod x = 0 na x-ovej číselnej osi a bod y = 0 na y-ovej číselnej osi. (ii) Počiatkom 0 vedieme d alšiu priamku z-ovú os kolmú na x-ovú aj y-ovú os; počiatku odpovedá bodu z = 0 na xz-ovej číselnej osi. (iii) Ľubovoľný bod P priestoru stotožníme s trojicou reálnych čísiel P = [x P ; y P ; z P ], kde x P, y P a z P označujú po rade x-ovú, y-ovú a z-ovú súradnicu bodu P na príslušnej osi. 39
40CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Vzdialenost dvoch v priestore. P = [x P ; y P ; z P ] a Q = [x Q ; y Q ; z Q ]. Uvažujme teraz dva body v priestore Ich vzdialenost d(p, Q) sa definuje ako dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka P QR, R = [x Q ; y Q ; z P ]. Podl a Pythagorovej vety d(p, Q) = (x P x Q ) 2 + (y P y Q ) 2 + (z P z Q ) 2. (2.1) Euklidovský priestor E 3 je množina trojíc reálnych čísiel R 3 opatrená pojmom vzdialenosti (2.1). Sférické súradnice definujeme takto: (i) Okolo počiatku 0 = [0; 0; 0] nakreslíme jednotkovú sféru: jej bod N = [0; 0; +1] nazveme severným pólom a bod S = [0; 0; 1] nazveme južným pólom. Bodom na rovníku priradíme polárny uhol ϕ ( π, +π] v (xy)-ovej rovine. Body na rovníku majú súradnice: [cos ϕ; sin ϕ; 0]. (ii) Všeobecnému bodu sféry prirad ujeme okrem polárneho uhla aj azimutálny uhol θ [0, π] (uhol medzi bodom a severným pólom). L ubovolný bod na sfére je potom daný ako: [cos ϕ sin θ; sin ϕ sin θ; cos θ]. (iii) Každý bod P = [x; y; z] 0 priestoru parametrizujeme jeho sférickými uhlami (polárnym uhlom ϕ a azimutálnym uhlom θ) a vzdialenost ou od počiatku r = x 2 + y 2 + z 2 : x = r cos ϕ sin θ, y = r cos ϕ sin θ, z = r cos θ. (2.2) Sférické súradnice sú dobre definované okrem počiatku, v ktorom síce r = 0 ale sférické uhly ϕ a θ nie sú definované! Vektory v priestore
41 Pri vyšetrovaní dôležitých lineárnych objektov v trojrozmernom priestore (bodov, priamok a rovín) a ich vzájomnnej polohy je výhodné využívat formalizmus trojrozmerných vektorov. Preto tento formalizmus uvedieme ako prvý. Priestor V 3 trojrozmerných vektorov definujeme ako priestor orientovaných úsečiek - "šipiek") x smerujúcich z počiatku 0 = [0; 0; 0] do bodu X = [x 1 ; x 2 ; x 3 ] (zložky bodu X budeme opät systematicky značit ako x 1, x 2, x 3 miesto x, y a z. Každému vektoru ("šipke") príradíme 3-zložkový stĺpec x = x 1 x 2 x 3. (2.3) Čísla x 1, x 2 a x 3 nazveme zložkami vektora x; vektor s nulovými komponentami, odpovedajúci počiatku budeme značit ako 0. Súčet dvoch vektorov x = x 1 x 2, y = y 1 y 2 x 3 y 3 definujeme podobne ako predtým: x + y = x 1 + y 1 x 2 + y 2. (2.4) x 3 + y 3
42CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Násobenie vektora x číslom a R sa definuje ako vektor: ax = a x 1 a x 2. (2.5) a x 3 L ahko sa možno presvedčit, že priestor V 3 (vektorov - šipiek v E 3 ) s lineárnou kombináciou definovanou v (2.4) a (2.5), je vektorový priestor (v zmysle definície uvedenej v predchádzajúcej časti). Lineárna závislost systému vektorov sa definuje rovnako ako predtým: Systém vektorov x 1, x 2,..., x n nazveme lineárne závislým, ak existuje také riešenie rovnice a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = 0, (2.6) že niektoré z čísiel a 1, a 2,..., a n sú nenulové: a 2 1 + a 2 2 +... + a 2 n > 0. Ak táto rovnica má len triviálne riešenie a 1 = a 2 =... = a n = 0, hovoríme, že vektory x 1, x 2,..., x n sú lineárne nezávislé. Ortonormálna báza v priestore. Vo V 3 l uvolné štyri vektory a, b, b a d sú lineárne závislé. Štandartná báza v trojrozmernom priestore 1 0 0 e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = 0.. (2.7) 0 0 1 reprezentuje trojicu vektorov, ktoré sú lineárne nezávislé. L ubovolný vektor
43 x možno vyjadrit ako lineárnu kombináciu vektorov štandartnej báze: x = x 1 x 2 x 3 = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3. Skalárny súčin dvoch vektorov x = x 1 x 2, y = y 1 y 2 x 3 y 3 je reálne číslo x.y definované ako: 3 x.y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = x i y i. (2.8) Je dobré si postupne zvykat na zápis súčtov pomocou súm (je to zápis, ktorý je rovnako pracný vo vektorových priestoroch l ubovolnej dimenzie). Ak x.y = 0, hovoríme, že vektory x a y sú ortogonálne. i=1 (1.23). Jednoducho sa možno presvedčit, že (2.8) spĺňa axiómy skalárneho súčinu Dĺžku vektora (norma vektora) x definovaná vzt ahom x = x.x = x 2 1 + x 2 2 + x 3 2, (2.9) tiež spĺňa obvyklé axiómy (1.24). Ak x = 1, vektor sa nazýva normovaný (na jednotku).
44CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Vektory štandartnej báze e i, i = 1, 2, 3 tvoria ortonormálnu bázu lebo platí: e i 2 = e i.e i = 1, i = 1, 2, 3, e i.e j = 0, pre i j. Tieto vzt ahy sa zvyknú kompaktne zapisovat takto: e i.e j = δ ij, kde δ ij je Kroneckerov symbol delta definovaný ako δ ii = 1, δ ij = 0, pre i j. Poznámka: Pre skalárny súčin dvoch vektorov platí formula podl a, ktorej je rovný súčinu dĺžok vektorov a kosínusu zovretého uhla: x.y = x y] cos θ. (2.10) Tento vzt ah evidentne platí prípade vektora x v smere 3-tej osi a vektora y orientovaného v l ubovolnom smere danom sférickými uhlami θ a ϕ: 0 cos ϕ sin θ x = x 0, y = y sin ϕ sin θ. 1 cos θ Stačí dosadit zložky oboch vektorov do rovnice (2.8). Všeobecný prípad plynie z invariatnosti skalárneho súčinu vzl adom k rotáciam (toto ukážeme neskôr).
45 Vektorový súčin dvoch vektorov je operácia, ktorá je typická pre trojrozmerné vektory. Definícia: Vektorový súčin dvoch vektorov x = x 1 x 2 x 3, y = y 1 y 2 y 3 je vektor x y, ktorý je definovaný takto: x 2 y 3 x 3 y 2 x y = x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1. (2.11) Vektorový súčin má nasledujúce dôležité vlastnosti: x y = y x antisymetria, (a x + b y) z = a x z + b y z linearita, x. (x y) = y. (x y) = 0 ortogonalita. (2.12) Z prvých dvoch vzt ahov vyplýva, že x y = 0 ak jeden z vektorov je násobkom druhého. Posledný vzt ah nám hovorí, že vektorový súčin x y je vektor kolmý na x aj y. Poznámka: Tvar zložiek vektorového súčinu x y si l ahko zapamätáme: 1) Prvá zložka je daná ako (x y) 1 = x 2 y 3 x 3 y 2 :
46CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE - prvá trojica indexov je tu 123 (1 nal avo) a (2 a 3 napravo so znamienkom "+" pred x 2 y 3 x 3 ), - druhá trojica indexov je 132 (1 nal avo) a (2 a 3 napravo so znamienkom "-" pred x 3 y 2 ), 2) V druhej zložke (x y) 2 = x 3 y 1 x 1 y 3 indexy sú dané rovnakou cyklickou zámenou 1 2, 2 3 a 3 1 v oboch členoch. 3) Napokon v tretej zložke (x y) 3 = x 1 y 2 x 2 y 1 indexy sú dané v oboch členoch opät cyklickou zámenou (2 3, 3 1 a 1 2). Geometrický význam vektorového súčinu. Uvažujme dva vektory v (23)- rovine: cos α cos β x = x sin α, y = y sin β. 0 0 Ich vektorový súčin x y je vektor orientovaný v smere osi 3 (lebo je kolmý ako na osi 1 aj 2): x y = x y 0 0, sin φ kde φ = α β je uhol zovretý oboma vektormi. Jeho vel kost je súčin dĺžok oboch vektorov vynásobený absolútnou hodnotou sinusu zovretého uhla: x y = x y sin φ. Toto je práve plocha rovnobežníka vytvoreného oboma vektormi.
47 Pre vektorový súčin prvkov štandartnej báze platí e 1 e 2 = e 3, e 2 e 3 = e 1, e 3 e 1 = e 2. Tieto vzt ahy sa zvyknú kompaktne zapisovat takto: e i.e j = ε ijk e j, (2.13) kde ε ijk je Levi-Civitov symbol epsilon definovaný ako (i) ε 123 = 1 a d al šie hodnoty symbolu plynú z toho, že (ii) ε ijk mení znamienko pri výmene l ubovolných dvoch indexov: ε ijk = ε jik = ε ikj = ε kji. Evidentne ε ijk = 0, ak aspoň dva indexy sú rovnaké, ak indexy i, j, k, sú navzájom rôzne potom ε ijk = ±1 (znamienko l ahko plynie z pravidiel (i) a (ii)). Zmiešaný súčin a viacnásobné súčiny Zmiešaný súčin troch vektorov 3 3 3 a = a i e i, b = b j e j, c = c k e k, i=1 j=1 k=1 je reálne číslo definované vzt ahom: 3 3 3 a. (b c) = a i b j c k e i. (e j e k ) i=1 j=1 k=1 = 3 i=1 3 j=1 3 a i b j c k ε ijk. k=1
48CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Posledná formula je priamym dôsledkom (2.13). Zmiešaný súčin troch vektorov má názorný geometrický význam: a. (b c) je objem rovnobežnostena určeného vektormi a, b a c. Dvojnásobný vektorový súčin vektorov a, b a c je vektor definový ako: a (b c) = b (a. c) b (a. c). Vzorec sa l ahko zpamätá ako formula "bac mínus cab". Je priamym dôsledkom užitočnej identity: 3 ε ijk ε ilm = δ jl δ km δ jm δ kl. i=1 Spojením oboch predchádzajúcich vzorcov dostaneme formulu: (a b). (c d) = (a. c) (b. d) (a. d) (b. c). Lineárne zobrazenia a matice Zobrazenie vektorov x = x 1 x 2 x = x 1 x 2. (2.14) x 3 x 3 tvaru x 1 A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 = x 1, x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2 + A 23 x 3 = x 1, x 3 A 31 x 1 + A 32 x 2 + A 33 x 3 = x 2, (2.15)
nazveme lineárnym zobrazením vo V 3 zadaným pomocou 3 3 reálnej matice: A 11, A 12, A 13 A = A 21, A 22, A 23, A ij R. (2.16) A 31, A 32, A 33 Ak definujeme násobenie 3 3 matice A a 3-zložkového vektora (stĺpca) x ako A 11, A 12, A 13 A 21, A 22, A 23 A 31, A 32, A 33 x 1 x 2 x 3 potom rovnica (2.17) dá sa stručne zapísat takto: 49 A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 A 21 x 1 + A 22 x 2 + A 23 x 3, A 31 x 1 + A 32 x 2 + A 33 x 3 (2.17) A x = x. (2.18) L ubovolný prvok matice A môžme opät vyjadrit pomocou jej maticových prvkov v štandartnej báze (2.12): A ij = e i. (A e j ), i, j = 1, 2, 3. (2.19) Algebra matíc. Množina 3 3 matíc je algebra lebo sú v nej definované dve operácie: (i) Lineárna kombinácia a A + b B dvoch matíc A a B s prvkami A ij resp. B ij, i, j = 1, 2, 3, je definovaná ako matica s prvkami a A ij + b B ij, i, j = 1, 2, 3.
50CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Vzhl adom k takto zavedenej lineárnej kombinácii matice tvoria vektorový (lineárny) priestor, v ktorom úlohu počiatku hrá nulová maticao B s nulovými prvkami O ij = 0, i j = 1, 2, 3. (ii) Súčin A B matice A s maticou B je definovaný ako matica A B s prvkami 3 (A B) ij = A ik B kj = A i1 B 1j + A i2 B 2j + A i3 B 3j, i j = 1, 2, 3. (2.20) Poznamejme, že maticový súčin je asociatíny: A (B C) = (A B) C A B C. k=1 A t ij Transponovaná matica A t k matici A s prvkami A ij je matica s prvkami = A ij, i, j = 1, 2, 3. V matici A t riadky a stĺpce matice A sú navzájom vymenené: A t matica je otočená okolo hlavnej diagonály matice A. Pre transpozíciu súčinu matíc platí: (A B) t = B t A t. L ahko potom možno ukázat, že skalárny súčin spĺňa nasledujúcu identitu: x. (A y) = (A t x). y. (2.21) Dokázat sa to dá jednoducho priamym dosadením: x. (A y) = 3 3 x i ( A ij y j ) = i=1 j=1 3 i=1 3 x i A ij y j j=1 = 3 3 ( j=1 i=1 A ji t x i ) y j = (A t x). y. Špeciálne pre symetrickú maticu máme: x. (A y) = (A x). y.
51 Jednotková matica I je matica s prvkami I ij = δ ij : δ ii = 1 na diagonále a δ ij = 0 pre i j, mimo nej. Jednotková matica hrá úlohu "jednotky" pri maticovom súčine: I A = A I = A. Inverzná matica a determinant matice. Hovoríme, že matica A je regulárna (invertibilná), ak k nej existuje inverzná matica A 1, pre ktorú platí: A A 1 = A 1 A = I. Pokial matice A a B sú invertibilné, ich súčin je invertibilný a platí: (A B) 1 = B 1 A 1. Determinant matice je reálne číslo priradené matici A predpisom A 11, A 12, A 13 det A A 21, A 22, A 32 = A 31, A 32, A 33 3 3 3 x i ( ( ε ijk A 1i A 2j A 3k. (2.22) i=1 j=1 k=1 V poslednom výraze vystupuje vyššie zavedený úplne antisymetrický symbol ε ijk. Determinant má nasledujúce vlastnosti: (i) Determinant transponovanej matice A t je rovný determinantu matice A: det A t = det A. (2.23) (ii) Determinat zmení znamienko ak vymeníme l ubovolné dva riadky (stĺpce).
52CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE (iii) Determinat sa nezmení ak k niektorému riadku (stĺpcu) pripočítame l ubovolnú kombináciu ostatných riadkov (stĺpcov). (iv) Determinant súčinu dvoch matíc sa rovná súčinu ich determinantov: det (A B) = det A det B. (v) Matica A je invertibilná práve vtedy, ked det A 0. Prvky inverznej matice A 1 sú dané formulou: kde A ij (A 1 ) ij = ( 1)i+j det A det A ji, (2.24) je 2 2 matica, ktorú dostaneme z matice A vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca (pozor na vymenené indexy i a j na pravej strane). Dôkaz vyplýva z definícií súčinu matíc a determinantu; podobne vlastnost vyplýva z definícií 2 2 a 3 3 determinantov (oba dôkazy sú zdĺhavé). Zápis priamok a rovín v priestore. Parametrický zápis. Priamka. Body priamky p prechádzajúcou bodom x 0 v smere vektora a 0 sú zadané pomocou jedného reálneho parametra t takto: p : y = at + x 0, (2.25) Ak zavedieme nový parameter t = a t, rovnicu priamky môžeme prepísat takto: y = n t + x 0, t R, (2.26) kde n = a 1 a je vektor jednotkovej ĺžky v smere priamky.
53 Rovina. Body roviny R určenej dvojicou lineárne nezávislých vektorov a 1 a a 2 a prechádzajúcou bodom x 0 sú zadané dvojicou reálnych parametrov t 1 a t 2 takto: R : y = a 1 t 1 + a 2 t 2 + x 0. (2.27) Namiesto, vektorov a 1 a a 2 môžme zaviest ortonormálnu dvojicu e 1 a e 2 Schmidtovým-Grammovým ortonormalizačným procesom: (i) Položíme e 1 = a 1 1 a 1 a druhý vektor hl adáme v tvare e 2 = b (a 2 c e 1). (ii) Z podmienky 0 = e 1. e 2 = b (e 1. a 2 c) určíme c = e 1. a 2. Nakoniec, b sa určí z normalizačnej podmienky: 1 = e 2 2 = b 2, (a 2 c e 1) 2 = b 2, ( a 2 2 c 2 ). Pretože, a 1 a a 2 sú lineárne nezávislé, a 2 c e 1 0 - takže b bude existovat. Body roviny môžeme vyjadrit aj pomocou ortonormálnych vektorov e 1 a e 2: R : y = e 1 t 1 + e 2 t 2 + x 0. (2.28) Vzt ah medzi dvojicami parametrov t 1, t 2 a t 1, t 2 plynie z ortonormalizačného procesu (skúste si ho odvodit ). Zápis pomocou rovnice.
54CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Rovina. Rovinu R prechádzajúcu bodom x 0 tiež môžme zadat pomocou jednej rovnice: m. (x x 0 ) = 0, (2.29) kde m je vektor jednotkovej ĺžky kolmý na rovinu. Po vynásobení číslom b > 0 túto rovnicu môžeme prepísat do všeobecnejšieho tvaru b. x + c = 0, (2.30) kde b = b m a c = b m.x 0. Ak je rovina zadaná v parametrickom tvare (2.27) pomocou dvojice lineárne nezávislých vektorov a 1 a a 2, potom vektor b je úmerný a 1 a 2 : b a 1 a 2. Jednotkový vektor m kolmý na rovinu je daný ako b = a 1 a 2 a 1 a 2 = e 1 e 2 e 3. Vektory e i, i = 2, 2, 3, tvoria ortonormálnu bázu vo V 3 : e i.e j ako je štandartná báza). = δ ij (inú Dve roviny zadané rovnicami R 1 : b 1. x + c 1 = 0, R 2 : b 2. y + c 2 = 0, sú nerovnobežné a pretínajú sa ak vektory b 1 a b 2 sú lineárne nezávislé.
Priamka. Priamku p v trojrozmernom môžeme zadat ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín prechádzajúcich tým istým bodom x 0 : body x p sú riešením sústavy rovníc b 1. (x x 0 ) = 0, b 2. (x x 0 ) = 0. L ahko sa možno presvedčit (priamym dosadením), že v parametrickom tvare priamka p je daná bud ako p : x = a t + x 0, a = b 1 b 2, alebo pomocou smerového vektora n jednotkovej dĺžky p : x = nt + x 0, kde n = b 1 b 2 b 1 b 2, t = t a. 55 Príklad. Nech rovina R je zadaná rovnicou m. x + c = 0, (2.31) kde m je vektor jednotkovej ĺžky kolmý na rovinu. Určite vzdialenost bodu Q = [q 1 ; q 2 ; q 3 ] od roviny. Riešenie: Priamka p kolmá na rovinu R a prechádzajúca bodom Q je v parametrickom tvare daná ako p : x = m t + q, (2.32) kde q je vektor s koncovým bodom Q (jeho zložky sú q 1, q 2, q 3 ). Dosadením (2.32) do (2.31) dostaneme rovnicu pre parameter t: t + m. q + c = 0.
56CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Jej riešenie t = m. q c určuje vektor p = m t 0 + q = q m (c + m. q), ktorého koncový bod P odpovedá práve prieniku priamky a roviny. Vzdialenost bodu Q od roviny R je rovná d = d(q, P ) = q p = c + m. q. Sústavy lineárnych rovníc V tejto časti budeme sa zaujímat o riešenie sústavy troch lineárnych algebraických rovníc A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 = b 1, A 21 x 1 + A 22 x 2 + A 23 x 3 = b 2, A 31 x 1 + A 32 x 2 + A 33 x 3 = b 3, (2.33) pre neznáme x 1, x 2, x 3. Čísla b 1, b 2, b 3 sa označujú pravú stranu sústavy rovníc. Ak pravá strana je nulová, hovoríme o homogénnej sústave rovníc; ak je nenulová, sústava sa nazýva nehomogénna. Vo maticovom zápise túto sústavu môžme zapísat ako vektorovú rovnicu: A x = b. (2.34) Riešenie sústavy pomocou determinantov.
(i) Ak D det A 0 sústava má práve jedno riešenie dané formulami: 57 x i = D i D, i = 1, 2, 3, (2.35) kde D i označuje determinant matice, ktorú dostaneme tak, že v matici A nahradíme i-ty stĺpec zložkami vektora b na pravej strane rovnice. Dôkaz: Vynásobme rovnicu (2.34) maticou A 1 : x = A 1 b. Ak použijeme vzorec (2.24) a vyčíslime A 1 b hned dostaneme hl adané riešenie (1.56). (ii) Prípady s D = 0 diskutujeme nižej. Riešenie sústavy pomocou rozšírenej matice. Sústavu lineárnych algebraických rovníc (2.33) zapíšeme ako 3 4 rozšírenú maticu (tabul ku čísiel): A 11 A 12 A 13 b 1 (A b) A 21 A 22 A 23 b 2. (2.36) A 31 A 32 A 33 b 3 Jedná sa o maximálne úsporný zápis sústavy (2.33). Neznáme x 1, x 2 a x 3 explicitne nevypisujeme, vieme ale že: x i vynásobíme i-ty stĺpec a všetky stĺpce sčítame, súčty jednotlivých riadkov sa rovnajú príslušným členom v poslednom (štvrtom) stĺpci rozšírenej matice. Veta: Sústava lineárnych algebraických rovníc popisaných rozšírenou maticou (A b) má riešenie práve vtedy, ked povcet lineárne nezávislých riadkov