POZNÁMKY K PREDNÁŠKAM PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 KAMŠ FMFI Katarína Janková 1.prednáška Teória pravdepodobnosti sa zaoberá modelovaním exp

POZNÁMKY K PREDNÁŠKAM PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 KAMŠ FMFI Katarína Janková 1.prednáška Teória pravdepodobnosti sa zaoberá modelovaním experimentov náhodnej povahy. V mnohých situáciách opakovanie experimentu pri zachovaní rovnakých podmienok vedie k odlišným výsledkom. Typickým príkladom takýchto experimentov sú hazardné hry a s nimi je história pravdepodobnosti úzko zviazaná. Siaha do 13. storočia (Richard de Fournival:De Vetula), ale známejšia je korešpondencia medzi Pascalom a Fermatom zo storočia sedemnásteho a neskoršie výsledky Bernoulliho, de Moivrea a Laplacea. Pojmy ako pravdepodobnosť, náhodnosť sa používajú aj v bežnej reči. My sa pokúsime ich matematicky formalizovať. Pre začiatok budeme predpokladať, že experiment je jednoduchý, a teda (1) všetky jeho možné výsledky sa dajú popísať konečnou množinou, (2) všetky možné výsledky sú z hľadiska toho, ako často nastávajú rovnocenné Množinu všetkých možných výsledkov experimentu budeme nazývať množinou elementárnych udalostí a značiť Ω. S experimentom môžu byť spojené aj iné udalosti. 1.1 Príklad. Pri hode kockou zrejme Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Prirodzene môžeme pri tomto experimente uvažovať aj tvrdenia o jeho výsledku, napr. A padlo párne číslo B padlo číslo vačšie ako 3 C padlo číslo deliteľné tromi ktoré sú pravdivé alebo nepravdivé. Tieto výroky možeme reprezentovať podmnožinami Ω, napr. A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}, C = {3, 6} a budeme ich nazývať udalosťami. V prípade, že Ω je konečná, udalosťou budeme rozumieť ľubovoľnú podmnožinu Ω a systém všetkých udalostí označíme S. Udalosť A nastáva, ak výsledkom experimentu je elementárna udalosť ω taká, že ω A. Pretože udalosti sme stotožnili s množinami, fungujú medzi nimi relácie a operácie, na ktoré sme zvyknutí ako zjednotenie, prienik, komplement, atď. Konkrétne pre A, B S udalosť A B nastáva, ak nastáva aspoň jedna z udalostí A, B. Podobne vieme vyjadriť A B, A B, A c.

2 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK V pravdepodobnostnom žargóne sa špeciálne pomenúvajú ako nemožná udalosť a Ω ako istá udalosť. Zatiaľ sme sa zaoberali len štruktúrou systému udalostí. Naším najbližším cieľom bude priradiť každej udalosti číslo, (napr. ku ktorému by konvergovala relatívna početnosť výskytu tejto udalosti pri n opakovaniach pokusu, n ). Na predpokladoch (1) a (2) je založená definícia pravdepodobnosti, s ktorou ste sa stretli na stredných školách a označuje sa ako klasická alebo Laplaceova definícia. 1.2 Definícia. Za predpokladu (1) a (2) je pravdepodobnosť ľubovoľnej udalosti A Ω daná vzťahom P (A) = A Ω kde. označuje počet prvkov množiny. Trojicu (Ω, S, P ) budeme nazýva klasickým pravdepodobnostným priestorom. S takouto definíciou vystačíme pri celej rade úloh. Môžu sa však vyskytnúť aj problémy, ktoré súvisia s platnosťou predpokladov (1) resp. (2). 1.3 Príklad. Hádžeme trikrát mincou. Aká je pravdepodobnosť, že dvakrát padne znak? Jednoduché riešenie typu : znak padne ani raz, jedenkrát, dvakrát alebo trikrát, teda pravdepodobnosť je 1 4 je nesprávne. (Prečo?) Správne riešenie použitím klasickej definície dostaneme, ak situáciu modelujeme pomocou množiny trojíc Ω 0 Ω 0 Ω 0, kde Ω 0 = {Z, H}. Potom A = {(H, Z, Z), (Z, H, Z), (Z, Z, H)} a teda P (A) = 3 8. 1.4 Príklad. Dvaja hráči A a B hrajú sériu partií. V každej hodia mincou a ak padne hlava, vyhráva hráč A, ak znak, tak partiu vyhráva hráč B. Hráči hrajú o istú sumu a vyhráva ju ten, kto prvý vyhrá 6 partií. Hru museli prerušiť, keď A mal 5 vyhraných partií a B 3. Ako treba spravodlivo (t.j. úmerne k pravdepodobnostiam výhier jednotlivých hráčov) rozdeliť výhru? Ak označíme ako A výhru hráča A a podobne B, tak hra sa bude vyvíjať jedným z nasledujúcich spôsobov: A, BA, BBA, BBB Tieto výsledky však nemožno brať za elementárne udalosti v zmysle definície 1.2, lebo nespĺňajú (2). Ak ju chceme použiť, musíme uvažovať všetky možné výsledky troch partií, po ktorých určite bude rozhodnuté, teda Ω = {AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB} a dostaneme spravodlivé delenie v pomere 7:1 pre hráča A. Pretože všetky tieto série sa v realite nedohrajú do konca celkom prirodzene sa tu núka použiť model Ω 0 = {A, BA, BBA, BBB}, v ktorom elementárne udalosti nebudú rovnocenné, ale P (A) = 1 2, P (BA) = 1 4, P (BBA) = P (BBB) = 1 8. Toto už nie je klasický model, ale cesta k jeho zovšeobecneniu. Aj predpoklad (1) sa stane problematickým v celkom jednoduchých situáciách, ako uvidíme v nasledujúcom príklade.

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 3 1.5 Príklad. Hádžeme mincou, kým prvýkrát nepadne hlava a zaujíma nás počet uskutočnených hodov. Pretože musíme pripustiť postupnosť (Z, Z, Z,... ) ako vhodný priestor elementárnych udalostí sa zdá Ω = N { }, čo už sa vymyká klasickej definícii. Ďalšou situáciou, v ktorej si neporadíme s klasickou definíciou pravdepodobnosti bude, ak Ω je napríklad celý interval jedno alebo viacrozmerný. Predtým než zavedieme všeobecnú definíciu pravdepodobnosti, ukázeme si, ako sa dá v niektorých prípadoch problém jednoducho riešiť. Pri počítaní pravdepodobnosti, že padajúci meteorit dopadne na pevninu je prirodzené použiť podiel plochy pevniny a celého zemského povrchu. Podobne budeme postupovať, ak Ω je časťou roviny a vieme merať jeho plochu. 1.6 Definícia. Nech Ω R 2 a A Ω, pričom poznáme plochy S(A) <, S(Ω) <. Geometrickou pravdepodobnosťou udalosti A budeme rozumieť číslo P (A) = S(A) S(Ω) 1.7 Poznámka. Definícia predpokladá, že máme na nejakom systéme podmnožín množiny Ω definovanú plochu S, čo by chcelo podrobnejší rozbor. Zrejme to nebude systém všetkých podmnožín, ale bude mať rozumné vlastnosti(uzavretosť na isté operácie a pod). Tomuto sa budeme venovať neskôr, teraz si ukážeme, že geometrická definícia je použiteľná vo viacerých zaujímavých príkladoch. 1.8 Príklad. Janko a Marienka si dohovorili stretnutie na dobu medzi 13. a 14. hodinou, pričom prvý čaká dvadsať minút a ak sa nedočká druhého, tak odíde. Aká je pravdepodobnosť, že sa stretnú? 1.9 Príklad. Palica dĺžky 1m je dvomi deliacimi bodmi náhodne rozlomená na 3 časti tak, že každý deliaci bod má rovnakú šancu padnúť do intervalu pevnej dĺžky. Aká je pravdepodobnosť, že z takýchto častí poskladáme trojuholník? 1.10 Príklad. V kružnici s polomerom r náhodne vedieme tetivu. Aká je pravdepodobnosť, že jej dĺžka je vačšia ako strana rovnostranného trojuholníka vpísaného do kružnice? Uvažujte rôzne možnosti voľby tetivy a porovnajte výsledky. 1.11 Poznámka. V príkladoch takéhoto typu treba dávať pozor na presnú formuláciu, náhodné volenie bodu z nejakej podmnožiny treba presne popísať, inak sa dá dospieť k nejednoznačným výsledkom ako napr. v Príklade 1.9 (Bertrandov paradox). Tento presný popis je zatiaľ pre nás ťažkopádny, neskôr naň použijeme voľbu vhodného pravdepodobnostného rozdelenia. Klasická i geometrická definícia sa dajú použiť v mnohých úlohách, ale zďaleka nepokryjú všetky situácie. Majú však spoločné viaceré vlastnosti (ktoré?) a v ďalšom ich použijeme pri vytvorení axiomatickej definície pravdepodobnosti.

4 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 2. prednáška Na minulej prednáške sme urobili 2 pravdepodobnostné modely (klasický model a model geometrickej pravdepodobnosti v rovine). V oboch prípadoch sme vytvorili trojice (Ω, S, P ), kde S bol systém udalostí a P : S R funkcia. Ako sme videli, systém udalostí S nemusí obsahovať všetky podmnožiny množiny Ω, ale budeme od neho vyžadovať, aby bol uzavretý na isté operácie. 2.1 Definícia. Nech Ω. Neprázdny systém S podmnožín množiny Ω budeme nazývať σ algebrou, ak platí (1) Ak A S, tak A c S (2) Ak A i S, i = 1, 2,..., tak i=1 A i S. 2.2 Príklad. Najmenšou σ algebrou obsahujúcou neprázdnu množinu A Ω je systém {A, A c,, Ω}. σ algebra bude uzavretá aj na iné rozumné operácie. 2.3 Veta. Ak Ω a S je nejaká σ algebra podmnožín množiny Ω, tak (1) Ak A 1,... A n S, tak n i=1 S (2) Ak A i S, i = 1, 2,..., tak i=1 A i S. (3) Ak A, B S, tak A \ B S. 2.4 Lema. Pre ľubovoľný systém Z podmnožín množiny Ω existuje najmenšia σ algebra obsahujúca Z. 2.5 Definícia. Najmenšiu σ algebru nad systémom podmnožín Z množiny Ω budeme označovať σ(z) a volať σ algebrou generovanou systémom Z. 2.6 Definícia. Najmenšiu σ algebru nad systémom G = {G R; G je otvorená v R} podmnožín množiny R budeme nazývať systémom borelovských množín v R a značiť B. 2.7 Veta. Ktorékoľvek z nasledujúcich podmnožín R sú borelovské (1) jednobodové množiny (2) spočitateľné množiny (3) intervaly akéhokoľvek typu V zmysle nasledujúceho príkladu systém B možno chápať aj ako najmenšiu σ algebru obsahujúcu intervaly v R. 2.8 Úloha. Uvažujte nasledujúce systémy podmnožín množiny R (1) T 1 = {(, b); b R} (2) T 2 = { a, b); a, b R} (3) T 3 = {(, b ; b R} (4) T 4 = {(a, b ; a, b R} Ukážte, že σ(t 1 ) = σ(t 2 ) = = σ(t 4 ) = B

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 5 2.9 Poznámka. Podobne sa definuje systém B n všetkých borelovských množín v R n. Teraz môžeme zaviesť pravdepodobnosť axiomaticky podľa A. N. Kolmogorova. 2.10 Definícia. Nech Ω je naprázdna a S je σ algebra podmnožín Ω. Ľubovoľnú reálnu funkciu P : S R +, pre ktorú platí (1) P (Ω) = 1 (2) Ak A i S, i = 1, 2,... pričom A i A j = pre i j, tak P ( A i ) = i=1 P (A i ) i=1 budeme nazývať pravdepodobnosť a trojicu (Ω, S, P ) pravdepodobnostný priestor. V nasledujúcej vete zhrnieme základné vlastnosti pravdepodobnosti, ktoré možno odvodiť z axióm. 2.11 Veta. Nech (Ω, S, P ) je pravdepodobnostný priestor. Potom (1) P ( ) = 0 (2) (konečná aditivita) P ( n i=0 A i) = n i=0 P (A i) ak A i A j = for i j (3) Pre každé A S : 0 P (A) 1 (4) P (A c ) = 1 P (A) (5) (monotónnosť) Ak A, B S a A B, tak P (A) P (B) (6) (subtraktívnosť) Ak A, B S a A B, tak P (B \ A) = P (B) P (A) (7) Ak A, B S, tak P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) (8) Pre A i S, i = 1, 2... platí n P ( A i ) = i=1 n n P (A i ) P (A i A j ) +... ( 1) n+1 P (A 1 A n ) i=1 i<j (9) (polospojitosť pravdepodobnosti zdola) Ak A 1 A 2 A n..., kde A i S pre i = 1, 2,..., tak P ( i=1 A i) = lim n A n (10) (polospojitosť pravdepodobnosti zhora) Ak A 1 A 2 A n..., kde A i S pre i = 1, 2,..., tak P ( i=1 A i) = lim n A n (11) (σ subaditivita) Pre A i S, i = 1, 2... platí P ( A i ) i=1 P (A i ) i=1

6 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 3.prednáška Výsledky náhodného experimentu vieme modelovať pomocou pravdepodobnostného priestoru (Ω, S, P ). Teraz sa budeme zaoberať otázkou, ako sa zmení pravdepodobnosť udalosti A S, ak vieme, že udalosť B S nastala. 3.1 Definícia. Podmienenou pravdepodobnosťou udalosti A S za podmienky, že nastala udalosť B S taká, že P (B) > 0 budeme rozumieť číslo P (A B) = P (A B) P (B) Označme Ω B = B, S B = {B S, S S} a pre ľubovoľné A S B nech P B (A) = P (A B). Miesto pôvodného modelu budeme používať model daný trojicou (Ω B, S B, P B ), o ktorej ukážeme, že tvorí pravdepodobnostný priestor. 3.2 Veta. Nech A, B S, P (B) > 0. Potom S B je σ algebra podmnožín množiny B a P B je pravdepodobnostná miera na nej. Z definície podmienenej pravdepodobnosti vidno, že ju možno použiť pri počítaní pravdepodobností prienikov udalostí. 3.3 Veta. Nech A 1,..., A n S sú také, že P (A 1 A n 1 ) > 0. Potom P ( n i=1a i ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )... P (A n A 1 A n 1 ) Znalosti podmienených pravdepodobností danej udalosti vzhľadom k udalostiam rozkladu množiny Ω umožňujú jednoducho poskladať pravdepodobnosť udalosti podľa nasledujúcej vety. 3.4 Veta o úplnej pravdepodobnosti. Nech A j S, P (A j ) > 0, j = 1, 2... pričom j=1 A j = Ω a A i A j = pre i j. Potom pre ľubovoľné B S P (B) = P (B A j )P (A j ) j=1 3.5 Príklad. Skúška obsahuje otázky z pravdepodobnosti(60) a zo štatistiky(40). Študent sa naučil 80 percent otázok z pravdepodobnosti a 50 percent otázok zo štatistiky. Aká je pravdepodobnosť, že na náhodne vytiahnutú otázku odpovie správne? Ak odpovedal správne, aká je pravdepodobnosť, že bola zo štatistiky? Pri riešení druhej časti príkladu sme dospeli ku vzťahu známemu pod názvom Bayesova veta. 3.6 Veta. Nech A j S, P (A j ) > 0, j = 1, 2... pričom j=1 A j = Ω a A i A j = pre i j. Potom pre ľubovoľné B S, P (B) > 0 platí P (A j B) = P (B A j )P (A j ) j=1 P (B A j)p (A j )

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 7 Bayesova veta má mnohé aplikácie v rôznych oblastiach, ukážeme si jeden príklad z medicíny. V lekárskej diagnostike udalosti A 1,... A n predstavujú možné choroby pacienta. Pravdepodobnosti ich výskytu sú známe a berieme ich ako tzv apriórne pravdepodobnosti. Udalosť B predstavuje nejaký symptóm alebo výsledok testu, ktorý sa s pravdepodobnosťami P (B A j ) vyskytuje pri chorobe A j. Na základe Bayesovej vety potom vieme určiť aposteriórne pravdepodobnosti chorôb P (A j B). 3.7 Úloha. U pacienta je podozrenie na chorobu, ktorá sa vyskytuje u 0.5 percenta populácie. Diagnostický test je pozitívny s pravdepodobnosťou 0.95, ak osoba má túto chorobu (senzitivita testu) a je negatívny s pravdepodobnosťou 0.9 (špecificita testu), ak osoba túto chorobu nemá. Ak výsledok testu bol pozitívny, aká je pravdepodobnosť, že pacient naozaj trpí touto chorobou? V niektorých situáciách sa môže stať, že P (A B) = P (A). Toto možno interpretovať tak, že nastatie udalosti B neovplyvnilo pravdepodobnosť udalosti A, čo vedie k nasledujúcemu dôležitému pojmu. 3.8 Definícia. Nech (Ω, S, P ) je pravdepodobnostný priestor, A, B S. Udalosti A, B sú nezávislé, ak P (A B) = P (A)P (B). 3.9 Poznámka.. Nezávislosť udalostí sa často mýli s tým, že udalosti majú prázdny prienik (vylučujú sa). Treba si uvedomiť, že vylučujúce sa udalosti sú nezávislé vtedy a len vtedy ak jedna z nich má nulovú pravdepodobnosť. 3.10 Príklad. Pri n-násobnom hode kockou uvažujme nasledujúce udalosti: A i = {pri i-tom hode padne šestka}, 1 i n Udalosti A i, A j sú pre i j nezávislé. (Overte na základe modelu). 3.11 Príklad. Skúšajúci skúša vždy skupinu n študentov, pre ktorých má sadu n otázok. Na prvom termíne nikto neuspel, preto celá skupina prišla na opravný a každý dostal jednu z tej istej sady. Označme A i udalosť, že i ty študent si na opravnom termíne vytiahol tú istú otázku ako na riadnom. Zrejme A i a A j pre i j nie sú nezávislé. Vypočítajte pravdepodobnosť, že aspoň jeden študent dostane tú istú otázku ako mal. V predošlých príkladoch sme overovali na základe definície vždy nezávislosť dvojice udalostí. V nasledujúcej definícii rozšírime tento pojem pre skupinu udalostí. 3.12 Definícia. Nech (Ω, S, P ) je pravdepodobnostný priestor. Udalosti A 1,..., A n S sú skupinovo nezávislé, ak pre každé k a pre každé i 1... i k {1... n} platí P (A i1 A ik ) = P (A i1 )... P (A ik ) Udalosti A 1,..., A n z príkladu sú po dvoch nezávislé a aj skupinovo nezávislé. Nie vždy to musí byť tak. 3.13 Úloha. Ukážte, že existujú udalosti A, B, C nezávislé po dvoch, ale nie skupinovo.takisto ukážte, že existujú udalosti A, B, C tak, že P (A B C) = P (A)P (B)P (C), ale A, B, C nie sú skupinovo nezávislé.

8 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 3.14 Veta. Nech (Ω, S, P ) je pravdepodobnostný priestor a udalosti A 1... A n S sú združene nezávislé. Nech B 1... B n sú také, že B i = A i alebo B i = A c i. Potom B 1... B n sú nezávislé. 3.15 Úloha. Nech (Ω, S, P ) je pravdepodobnostný priestor a udalosti A 1... A n S sú združene nezávislé. Ukážte, že P ( n A j ) = 1 P (A c 1)... P (A c n) j=1 3.16 Príklad. 5x hádžeme kockou.aká je pravdepodobnosť, že šestka padne práve na 1., 2. a 4. mieste? Aká je pravdepodobnosť, že práve trikrát padne šestka? Ak použijeme označenie príkladu v prvej otázke ide o pravdepodobnosť udalosti B = (A 1 A 2 A c 3 A 4 A c 5). Využitím združenej nezávislosti udalostía 1... A n a Vety 3.14 dostávame P (B) = P (A 1 )P (A 2 )(1 P (A 3 ))P (A 4 )(1 P (A 5 )) = ( 1 6 )3 ( 5 6 )2 V druhom prípade ide o pravdepodobnosť udalosti C = (A 1 A 2 A 3 A c 4 A c 5) (A c 1 A c 2 A 3 A 4 A 5 ) kde zjednocujeme ( 5 2) disjunktných udalostí, z ktorćh každá má pravdepodobnosť ( 1 6 )3 ( 5 6 )2, čo dáva ( ) 5 P (C) = ( 1 2 6 )3 ( 5 6 )2 Zovšeobecnením úvah z predošlého príkladu dostaneme model nezávislého opakovania pokusu známy tiež pod názvom Bernolliho schéma. Predpokladajme, že nx nezávisle opakujeme pokus, v ktorom nastáva istá sledovaná udalosť s pravdepodobnosťou p (0, 1). Potom pravdepodobnosť, že pri n-násobnom opakovaní nastane táto udalosť práve k-krát, kde 0 k n je ( ) n p k (1 p) n k k 3.17 Príklad. Použitím Bernoulliho schémy ukážte, že platí rovnosť n k=0 ( ) n p k (1 p) n k = 1 k 3.18 Úloha. Test obsahuje 10 otázok, na každú sú štyri možnosti odpovede, z ktorých iba jedna je správna. Na to, aby študent urobil test musí správne odpovedať aspoň na 6 otázok. Aká je pravdepodobnosť, že tipujúci študent urobí test? 3.19 Úloha. Z urny obsahujúcej 3 biele a 4 modré guličky vyberáme 4 guličky, pričom vytiahnutú vždy vrátime. Modelujte situáciu podľa Bernoulliho schémy. Možno použiť tento model, ak vytiahnutú guličku nevraciame? Aký model funguje v tomto prípade?

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 9 4.prednáška Na pravdepodobnostnom priestore (Ω, S, P ) každá elementárna udalosť môže byť číselne ohodnotená. Toto sa dá popísať funkciou z Ω do R. 4.1 Príklad. Hrám s protihráčom jednoduchú hru: hodím kockou a vyhrávam 1Sk, ak padne 1, 2 alebo 3, vyhrávam 2Sk, ak padne 4, 5 a prehrávam 6Sk, ak padne 6. Ak ma zaujíma výška výhry, môžem ju chápať ako funkciu V : Ω R definovanú nasledovne V (1) = V (2) = V (3) = 1, V (4) = V (5) = 2, V (6) = 6. 4.2 Definícia. Náhodná veličina je ľubovoľná funkcia X : Ω R taká, že pre každé x R :{ω Ω : X(ω) < x} S. 4.3 Poznámka. Podmienka z definície v terminológii teórie miery hovorí, že funkcia X je merateľná vzhľadom k σ algebre S a zabezpečí nám, aby sme mohli uvažovať pravdepodobnosti udalostí typu P {ω Ω : X(ω) < x} a aj komplikovanejších, ako uvidíme z nasledujúceho tvrdenia. 4.4 Veta. Funkcia X : Ω R je náhodná veličina vtedy a len vtedy, ak platí ktorákoľvek z nasledujúcich podmienok: (1) pre každé x R : {ω Ω : X(ω) x} S (2) pre každé x R : {ω Ω : X(ω) > x} S (3) pre každé x R : {ω Ω : X(ω) x} S (4) pre každé a, b R : {ω Ω : a X(ω) < b} S (5) pre každú otvorenú množinu G v R: {ω Ω : X(ω) G} S (6) pre každú borelovskú množinu B B: {ω Ω : X(ω) B} S 4.5 Poznámka. Množiny vystupujúce v predošlom tvrdení sú vzory intervalov resp. iných pekných množín pri zobrazení X 1. Napríklad {ω Ω : X(ω) < x} = X 1 (, x). 4.6 Úloha. Dokážte, že operácia X 1 zachováva množinové operácie, t.j. podobne pre prienik a rozdiel. X 1 ( A i ) = X 1 (A i ) i=1 Dôkaz vety 4.4 vyplynie z nasledujúcej lemy. 4.7 Lema. Nech Z je ľubovoľný systém podmnožín množiny R taký, že σ(z) = B. Nech X : Ω R je taká, že pre každé Z Z platí X 1 (Z) S. Potom X 1 (B) S pre každé B B. Dôkaz. Uvažujme systém H = {B B : X 1 (B) S}. Zrejme i=1 (1) Z H B Použitím Úlohy 4.6 sa ľahko ukáže, že H je σ algebra podmnožín množiny R. Potom ale z (1) vyplýva, že H = B.

10 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK Pretože s udalosťami typu {ω Ω : X(ω) x} budeme často narábať, budeme používať skrátené označenie {ω Ω : X(ω) x} = (X x), podobne chápeme udalosti (X < x), (X > x), (X x), (a x < b) a tak ďalej. 4.8 Definícia. Distribučná funkcia náhodnej veličiny X : Ω R je funkcia F : R R definovaná predpisom F (x) = P (X < x). 4.9 Príklad. Distribučná funkcia náhodnej veličiny z príkladu bude mať tvar 0, ak x 6 1 6, ak 6 < x 1 F (x) = 2 3 ak 1 < x 2 1, ak x > 2 Vo všeobecnosti vlastnosti distribučnej funkcie zhrnieme do nasledujúcej vety. 4.10 Veta. Nech F je distribučná funkcia náhodnej veličiny X : Ω R. Potom (1) F je neklesajúca (2) pre každé a, b R : P (a X < b) = F (b) F (a) (3) F je zľava spojitá (4) lim x F (x) = 1 (5) lim x F (x) = 0 (6) pre každé a R: P (X = a) = lim x a + F (x) F (a) Náhodná veličina definuje pravdepodobnostnú mieru na B v nasledujúcom zmysle. 4.11 Veta. Nech X : Ω R je náhodná veličina. Potom funkcia µ : B 0, 1 definovaná predpisom µ(b) = P (X B) je pravdepodobnostná miera a trojica (R, B, µ) je pravdepodobnostný priestor. Túto mieru budeme nazývať rozdelením pravdepodobnosti náhodnej veličiny X. 4.12 Úloha. Ako vyzerá rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny V z Príkladu 4.9? 4.13 Poznámka. Zrejme rozdelenie pravdepodobnosti jednoznačne určuje distribučnú funkciu. Dá sa ukázať, že to platí aj obrátene. 4.14 Definícia. Náhodná veličina je diskrétna, ak nadobúda konečne alebo spočitateľne veľa hodnôt. Ak hodnoty diskrétnej náhodnej veličiny zoradíme do postupnosti {x i }, i = 1, 2,... (konečnej alebo nekonečnej) a pre každú hodnotu nájdeme pravdepodobnosť P (X = x i ) = p i,tak i=1 p i = 1 a dvojice (x i, p i ), i = 1, 2,... jednoznačne určujú distribučnú funkciu a teda aj rozdelenie diskrétnej náhodnej veličiny. 4.15 Úloha. Ukážte, že distribučná funkcia diskrétnej náhodnej veličiny má tvar F (x) = {i:x i <x} p i

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 11 5.prednáška Pokúsime sa čo najlepšie charakterizovať náhodnú premennú pomocou jedného čísla. V príklade 6.1 je rozumné si položiť otázku, či je definovaná hra fairová, alebo zjavne zvýhodňuje jedného z hráčov. Predpokladajme, že by sa odohrala séria parií tejto hry, povedzme n. Ak n je dosť veľké, možno očakávať, že asi v polovici partií vyhrám 1Sk, v tretine vyhrám 2Sk a v šestine prehrám 6Sk. To znamená, že môžem čakať výhru asi n 1 2 + 2n 1 3 6n 1 6. Teda priemerná výhra na jednu partiu by činila ( 1 2 +2 1 3 1) = 1 6Sk. To znamená, že hra nie je fairová (z mojej pozície je výhodná). Definícia 5.1. Nech X je diskrétna náhodná veličina, ktorá nadobúda hodnoty x i, i = 1, 2.... s pravdepodobnosťami p i = P (X = x i ). Strednou hodnotou náhodnej veličiny X nazveme číslo E(X) = i=1 x ip i, ak tento rad konverguje absolútne. Ak rad nekonverguje absolútne budeme hovoriť, že náhodná veličina nemá strednú hodnotu. V pravdepodobnosti sa obyčajne neštudujú náhodné veličiny ako reálne funkcie, ale zaoberáme sa ich rozdelením pravdepodobnosti. Uvedieme niektoré najčastejšie používané diskrétne rozdelenia. Rozdelenie diskrétnej náhodnej veličiny je dané, ako vieme, množinou dvojíc (x i, p i ), i = 1, 2,..., i=0 p i = 1 5.2 Príklad. Alternatívne rozdelenie. V modeli hádzania mincou Ω = {H, Z}, S = 2 Ω, P (h) = P (Z) = 1 2 budeme uvažovať náhodnú premennú X : Ω {0, 1} definovanú predpisom X(H) = 0, X(Z) = 1. Táto náhodnáveličina nadobúda hodnoty 0 a 1, každú s pravdepodobnosťou 1 2. 5.3 Definícia. Náhodná veličina má alternatívne rozdelenie s parametrom p (0, 1), ak P (X = 1) = p a P (X = 0) = 1 p 5.4 Príklad. Binomické rozdelenie. Pri n- násobnom hode kockou (Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6 ), S = 2 Ω a P klasická definujeme náhodnú premennú X ako počet padnutých šestiek. Z Bernoulliho schémy vieme, že pre k = 0, 1,... n. P (X = k) = ( n k ) ( 1 6 )k ( 5 6 )n k 5.5 Definícia. Náhodná veličina má binomické rozdelenie s parametrami n N a p (0, 1), ak nadobúda hodnoty k = 0, 1,... n s pravdepodobnosťami ( ) n P (X = k) = p k (1 p) n k k Toto rozdelenie môžeme použiť na modelovanie náhodného výberu s návratom. Ak máme v urne N guličiek, z toho M bielych a zvyšok čiernych a z takejto urny ťaháme n guličiek s vrátením, tak počet bielych z vytiahnutých je náhodná veličina s binomickým rozdelením s parametrami n a M N. Ak experiment zmeníme tak, že ťaháme bez návratu pre počet bielych bude správne nasledujúce rozdelenie. 5.6 Definícia. Hypergeometrické rozdelenie. Náhodná veličina X má hypergeometrické rozdelenie s parametrami N, M, n ak ( M )( N M ) k P (X = k) = n k ( N n)

12 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK pre max{0, n + M N} k min{m, N} 5.7 Úloha. overte, že definície 6.4 a 6.5 sú korektné, t.j. n k=0 P (X = k) = 1. 5.8 Príklad. Hádžeme kockou, kým prvýkrát nepadne šestka. Náhodná veličina X predstavuje počet neúspešných hodov. Zrejme P (X = k) = ( 5 6 )k 1 6 pre k = 0, 1,.... Vo všeobecnosti podobné rozdelenie dostaneme, ak v postupnosti nezávislých (Bernoulliho) pokusov sledujeme počet neúspechov pred prvým úspechom. Pravdepodobnosť úspechu označujeme p, neúspechu 1 p. 5.9 Definícia. Náhodná veličina má geometrické rozdelenie s parametrom p (0, 1), ak P (X = k) = p(1 p) k pre k = 0, 1,.... 5.10 Veta. Nech (Ω, S, P ) je pravdepodobnostný priestor a X n sú pre n = 1, 2,... náhodné veličiny na (Ω, S) s binomickým rozdelením s parametrami n a p n, pričom lim n np n = λ, λ > 0. Potom lim P (X λ λk n = k) = e n k! 5.11 Definícia. Náhodná veličina má Poissonovo rozdelenie s parametrom λ > 0, ak λ λk P (X = k) = e k! pre k = 0, 1,.... 5.12 Príklad. Overte, že definície 6.8 a 6.10 sú korektné. 5.13 Úloha. Vypočítajte strednú hodnotu binomického rozdelenia s parametrami n ap (E(X) = np). 5.14 Úloha. Vypočítajte strednú hodnotu geometrického rozdelenia s parametrom p (E(X) = 1 p p ). 5.15 Úloha. Vypočítajte strednú hodnotu Poissonovho rozdelenia s parametrom λ (E(X) = λ).

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 13 6.prednáška Pre náhodnú premennú X v mnohých prípadoch treba uvažovať zloženú funkciu g(x), kde g : R R je reálna funkcia. Uvedieme si podmienku na g, ktorá nám zaručí, že Y = g(x) je náhodná veličina. 6.1 Definícia. Funkcia g : R R je borelovská, ak pre každú borelovskú množinu B platí g 1 (B) B. 6.2 Veta. Ak X je náhodná veličina a g : R R je borelovská, tak g(x) je náhodná veličina. 6.3 Veta. Spojitá funkcia je borelovská. 6.4 Poznámka. Ak X je diskrétna náhodná veličina a g : R R ľubovoľná funkcia, tak g(x) je náhodná veličina. 6.5 Veta. Nech X je diskrétna náhodná veličina nadobúdajúca hodnoty x i, i = 0, 1, 2,... a g : R R je ľubovoľná reálna funkcia. Potom E(g(X)) = g(x i )P (X = x i ) i=0 ak g(x) má strednú hodnotu. Dôkaz. Označme Y = g(x) a predpokladajme, že Y nadobúda rôzne hodnoty y j, j = 1, 2,... Potom P (Y = y j ) = i:g(x i )=y j P (X = x i ) a teda ak E(Y ) existuje, tak E(Y ) = y j P (Y = y j ) = j=0 j=0 kde sme v poslednej rovnosti využili, že j=0 {i:g(x i )=y j } y j i:g(x i )=y j P (X = x i ) = (X = x i Y = y j ) = g(x i )P (X = x i ) i=0 (X = x i ) 6.6 Veta. Ak X, Y sú náhodné veličiny, tak aj X + Y,X Y, XY, X Y, ak Y 0 sú náhodné veličiny. 6.7 Príklad. Predošlú vetu použijeme na vypočítanie strednej hodnoty hypergeometrického rozdelenia. Náhodná veličina Z s hypergeometrickým rozdelením s parametrami N, M, n sa dá vyjadriť ako súčet Z = X 1 + + X n kde X i majú alternatívne rozdelenie s parametrom M N. Teda E(Z) = E(X 1)+ +E(X n ) = n M N. V nasledujúcej vete zhrnieme niektoré vlastnosti strednej hodnoty. 6.8 Veta. Ak X a Y sú diskrétne náhodné veličiny definované na tom istom pravdepodobnostnom priestore a c R je ľ ubovoľné reálne číslo, tak (1) E(c) = c (2) E(cX) = ce(x) (3) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) i=0

14 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK Strednú hodnotu sme definovali ako číslo, ktoré istým spôsobom charakterizuje náhodnú premennú. O tom, nakoǩo je takáto charakterizácia dobrá nám bude hovoriť rozptyl alebo disperzia náhodnej veličiny. 6.9 Definícia. Nech X je náhodná veličina so strednou hodnotou E(X). Rozptyl (disperzia) náhodnej veličiny X je číslo ak táto stredná hodnota existuje. D(X) = E(X E(X)) 2 6.10 Príklad. Vypočítajme strednú hodnotu pre alternatívne rozdelenie s parametrom p. Zrejme E(X) = p. Potom podľa Vety 7.2 E((X E(X)) 2 = E(X p) 2 = (0 p) 2 (1 p) + (1 p) 2 p = p(1 p) Niekedy sa stredná hodnota dápočítať jednoduchšie využitím nasledujúceho tvrdenia. 6.11 Veta. Nech X je náhodná veličina s disperziou D(X) a c R ľubovoľné. Potom (1) D(X) 0 (2) D(cX) = c 2 D(X) (3) D(X) = E((X c) 2 ) (E(X c)) 2, špeciálne D(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 (4) D(X) E(X c) 2 6.12 Dôsledok. Disperzia je invariantná vzhľadom k posunutiu, t.j. D(X + c) = D(X) pre každé c R. 6.13 Príklad. Vypočítajme disperziu Poissonovho rozdelenia s parametrom λ. Podľa Vety 6.5 E(X 2 ) = j 2 λ λj e j! = (j 1)e λ λ j (j 1)! + e λ λ j (j 1)! = λ2 + λ j=0 j=1 teda s využitím 6.11 dostaneme j=1 D(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = λ 6.14 Príklad. Vypočítajte disperziu binomického rozdelenia (D(X) = np(1 p)). 6.15 Veta (Čebyševova nerovnosť). Nech náhodná veličina X má strednú hodnotu E(X) a disperziu D(X). Potom pre každé ε > 0 P ( X E(X) ε) D(X) ε 2 Dôkaz. Budeme predpokladať,že X je diskrétna a nadobúda hodnoty x i, i = 1, 2... s pravdepodobnosťami P (X = x i ) = p i. Označme S = {i : x i E(X) ε}. Dostaneme D(X) = i E(X)) i=1(x 2 p i = (x i E(X)) 2 p i + (x i E(X)) 2 p i i S i S c (x i E(X)) 2 p i i S i S ε 2 p i = ε 2 P ( X E(X) ε)

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 15 7. a 8. prednáška Pojem nezávislosti sme v 3.prednáške definovali pre náhodné udalosti. Teraz ho rozšírime na náhodné veličiny definované na tom istom pravdepodobnostnom priestore. 7.1 Definícia. Nech (Ω, S, P ) je pravdepodobnostný priestor a X,Y sú diskrétne náhodné veličiny na ňom, pričom X nadobúda hodnoty x i, i = 1, 2... a Y nadobúda hodnoty y j, j = 1, 2,... Potom X a Y sú nezávislé, ak pre každé i, j platí P (X = x i Y = y j ) = P (X = x i )P (Y = y j ) 7.2 Príklad. Hádžeme dvomi kockami. Nech X je počet bodiek na 1.kocke, Y je počet bodiek na 2.kocke a Z je maximum z padnutých bodiek. Ľahko sa overí, že X a Y sú nezávislé, ale napr. X a Z nezávislé nie sú. Ak sú X a Y nezávislé, mnohé situácie sa nám zjednodušia. 7.3 Veta. Nech X, Y sú nezávislé náhodné veličiny na (Ω, S, P ) so strednými hodnotami E(X), E(Y ). Potom náhodná veličina XY má strednú hodnotu E(XY ) = E(X)E(Y ) 7.4 Veta. Nech X, Y sú náhodné veličiny na (Ω, S, P ) so strednými hodnotami E(X), E(Y ) a disperziami D(X), D(Y ). Potom D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) + 2E((X EX)(Y EY )) Ak sú X a Y nezávislé, tak D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) Ukážeme si aplikáciu získaných výsledkov. 7.5 Príklad. Náhodné veličiny X 1,..., X n sú nezávislé a všetky majú alternatívne rozdelenie s parametrom p. Nájdite rozdelenie náhodnej veličiny Z = X 1 +... X n, jej strednú hodnotu a disperziu. Náhodná veličina Z bude nadobúdať hodnoty k = 0, 1,... n s pravdepodobnosťami P (Z = k) = n ( n i=0 i) p i (1 p) n i, to znamená, že Z má binomické rozdelenie s parametrami n a p. Strednú hodnotu ľahko spočítame využitím Vety 6.6 E(Z) = E(X 1 +... X n ) = E(X 1 ) +... E(X n ) = np Podobne disperziu binomického rozdelenia Príkladu 6.9 ľahko spočítame využitím Vety 7.4 a D(Z) = D(X 1 +... X n ) = D(X 1 ) +... D(X n ) = np(1 p)

16 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK V predošlom príklade sme našli rozdelenie súčtu náhodných veličín zo znalosti rozdelení jednotlivých sčítancov. Toto môžeme sformulovať aj vo všeobecnosti. 7.6 Veta. Nech X, Y sú nezávislé diskrétne náhodné veličiny na (Ω, S, P ) s rozdeleniami P (X = i) = p i, i = 0, 1, 2,..., P (Y = j) = q j, j = 0, 1, 2,.... Označme Z = X + Y. Potom k P (Z = k) = p i q k i pre k = 0, 1, 2,.... 7.7 Úloha. X a Y sú nezávislé náhodné veličínveličiny s Poissonovým rozdelením s parametrom λ. Nájdite rozdelenie ich súčtu. Ak sú náhodné veličiny X a Y závislé, niekedy je rozumné počítať nasledujúcu veličinu, ktorá sa už nepriamo vyskytla vo Vete 8.4. 7.8 Definícia. Nech X a Y sú náhodné veličiny so strednými hodnotami a disperziami. Potom stredná hodnota E((X EX)(Y EY )) existuje a budeme ju nazývať kovarianciou X a Y (ozn. cov(x, Y )). 7.9 Veta. Nech X a Y sú náhodné veličiny s kovarianciou cov(x, Y ), kde a, b, c, d R, ac > 0. Potom (1) cov(x, X) = D(X) (2) cov(x, Y ) = cov(y, X) (3) cov(x, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) (4) cov(ax + b, cy + d) = accov(x, Y ) 7.10 Dôsledok. Ak X a Y sú nezávislé, tak cov(x, Y ) = 0 Kovariancia sa dá použiť na vytvorenie miery lineárnej nezávislosti náhodných veličín. Aby sme ich mohli porovnávať, musíme ich znormovať. 7.11 Lema. Nech X má strednú hodnotu E(X) a disperziu D(X). Označme Y = X EX D(X). Potom E(Y ) = 0 a D(Y ) = 1 7.12 Poznámka. Náhodnej veličiny s nulovou strednou hodnotou a jednotkovou disperziou budeme hovoriť normovaná. Koeficient korelácie budeme definovať ako kovarianciu normovaných náhodných veličín. 7.13 Definícia. Nech X a Y sú náhodné veličiny so strednými hodnotami E(X), E(Y ) a nenulovými disperziami D(X), D(Y ). Koeficient korelácie medzi X a Y je číslo ρ X,Y = cov( X EX, Y EY ) D(X) D(Y ) i=0 7.14 Veta. Nech ρ X,Y je koeficient korelácie náhodných veličín X a Y. Potom (1) 1 ρ X,Y 1 (2) ρ X,Y = 1 práve vtedy, keď Y = ax + b, a 0 s pravdepodobnosťou 1 (3) ρ ax+b,cy +d = sign(ac)ρ X,Y pre a, b, c, d R, ac 0 (4) Ak X, Y sú nezávislé, tak ρ X,Y = 0

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 17 7.15 Úloha. Vypočítajte koeficient korelácie X a Y z príkladu 7.2. 7.16 Príklad. Nájdite príklad náhodných veličín X, Y, ktoré nadobúdajú tri hodnoty, sú nekorelované, ale nie nezávislé. 9.prednáška Rozdelenie ľubovoľnej náhodnej veličiny vieme určovať pomocou jej distribučnej funkcie. Bližšie budeme pracovať s takými náhodnými premennými, ktorých rozdelenie alebo distribučná funkcia sa dajú vyjadriť pomocou tzv. hustoty. 9.1 Definícia. Náhodná veličina je spojitá, ak existuje nezáporná integrovateľná funkcia f tak, že pre každé x R platí Funkcia f sa nazýva hustota. F (x) = x f(t)dt 9.2 Poznámka. Hustota nie je daná jednoznačne, ak ju zmeníme na konečnej alebo spočitateľnej množine, zrejme dostaneme inú hustotu toho istého rozdelenia. Takisto je dobré si uvedomiť, že sú náhodné veličiny, ktoré nie sú ani diskrétne, ani spojité (nájdite príklad). 9.3 Úloha. Ukážte, že pre ľubovoľnú nezápornú integrovateľnú funkciu f : R R takú, že f(t)dt = 1 existuje náhodná veličina tak, že pre jej distribučnú funkciu platí F (x) = x f(t)dt 9.4 Veta. Nech X je náhodná veličina s hustotou f. Potom (1) f(t)dt = 1 (2) F je spojitá funkcia (3) P (a X < b) = b a f(t)dt (4) P (X = a) = 0 pre každé a R 9.5 Príklad. Náhodná veličina má rovnomerné rozdelenie v intervale (a, b), ak má hustotu 0, pre t < a 1 f(t) = b a, pre b t a, 0 pre t > b Nájdite jej distribučnú funkciu. 9.6 Príklad. Nájdite distribučnú funkciu náhodnej veličiny s hustotou 0, pre t < 1 x + 1, pre 1 t 0, f(t) = 1 x pre 0 t 1,

18 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK V ďalšom budeme hľadať vhodný pravdepodobnostný model pre nasledujúcu situáciu. Sledujeme výskyt udalostí v čase (napríklad príchod SMS na náš mobil), pričom výskyty v neprekrývajúcich sa časových intervaloch sú nezávislé. Ak označíme Q(t) pravdepodobnosť, že sledovaná udalosť sa nevyskytne počas intervalu dĺžky t, tak pre dva nadvazujúce intervaly dĺžok t 1 a t 2 predpoklad nezávislosti dáva Q(t 1 + t 2 ) = Q(t 1 )Q(t 2 ) Pre danú situáciu je prirodzené hľadať funkciu Q, aby bola klesajúca, diferencovateľná, kladná pre t 0 a Q(0) = 1. Potom pre t > 0, h > 0 dostaneme lnq(t + h) lnq(t) lim h 0+ h lnq(h) = lim h 0+ h čo je hodnota derivácie funkcie Q v bode 0. Označme ju λ, kde zrejme λ > 0. Potom pre Q dostávame diferenciálnu rovnicu d lnq(t) = λ dt ktorej riešením splňujúcim Q(0) = 0 je Q(t) = e λ(t). Ak nás zaujíma náhodná veličina X -doba prvého výskytu udalosti, tak pre jej distribučnú funkciu platí teda jej hustota bude { 1 e λt, for t > 0 F (t) = 1 Q(t) = 0, for t 0 { λe λt, pret > 0 f(t) = 0, pre t 0 9.7 Definícia. Náhodná veličina má exponenciálne rozdelenie s parametrom λ, ak má hustotu f(t) = 0 pre t 0, f(t) = λe λt pre t > 0. 9.8 Úloha. Overte, že predošlá definícia je korektná. Podobne ako v prípade diskrétnej náhodnej veličiny pokúsime sa charakterizovať spojitú náhodnú premennú jediným číslom. 9.9 Definícia. Nech X je spojitá náhodná veličina s hustotou f. Ak integrál tf(t)dt absolútne konverguje, túto hodnotu budeme nazývať strednou hodnotou náhodnej veličiny X. V opačnom prípade hovoríme, že X nemá strednú hodnotu. 9.10 Príklad. Nájdite strednú hodnotu rovnomerného rozdelenia.(e(x) = a+b 2 ) 9.11 Príklad. Nájdite strednú hodnotu exponenciálneho rozdelenia. (E(X) = 1 λ ) Ďalšou dôležitou charakteristikou náhodnej veličiny je jej disperzia. Aby sme ju mohli počítať, potrebujeme vedieť nájsť rozdelenie transformovanej náhodnej veličiny. 9.12 Príklad. Nech X je náhodná veličina s rovnomerným rozdelením v intervale (1, 2) a Y = 1 X. Nájdite hustotu Y a E(Y ).

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 19 Postup z predošlého príkladu možno za istých predpokladov zovšeobecniť. 9.13 Veta. Nech X je spojitá náhodná veličina s hustotou f a g je rýdzomonotónna funkcia, ktorá má všade nenulovú deriváciu. Potom náhodná veličina Y = g(x) má hustotu kde g 1 je inverzná funkcia ku g. h(y) = f(g 1 )(y)) dg 1 (y) dy Na počítanie strednej hodnoty spojitej náhodnej veličiny možno použiť analógiu Vety 6.5 v spojitom prípade, ktorá bude dokázaná neskôr. 9.14 Veta. Ak X je spojitá náhodná veličina s hustotou f, g : R R borelovská, tak ak g(x) má strednú hodnotu. E(g(X)) = g(t)f(t)dt 9.15 Úloha. Overte, že E(Y ) z Príkladu 9.12 vyjde rovnako použitím tejto vety. Definícia disperzie z 6.9 je všeobecná takisto aj vety 6.6, 6.8, 6.10, 7.3 a 7.4 (vlastnosti strednej hodnoty a disperzie) platia v nezmenenej forme aj v spojitom prípade. Použitím týchto tvrdení a Vety 9.14 dostaneme pre disperziu spojitej náhodnej veličiny s hustotou f nasledujúce možné vyjadrenia D(X) = (x E(X)) 2 f(x)dx = alebo nasledujúci výpočtovo výhodnejší vzorec D(X) = (x x 2 f(x)dx ( xf(x)dx) 2 xf(x)dx) 2 f(x)dx 9.16 Príklad. Vypočítajte disperziu rovnomerného rozdelenia v intervale (a, b) (D(X) = (b a)2 12 ). 9.17 Príklad. Vypočítajte disperziu exponenciálneho rozdelenia s parametrom λ (D(X) = 1 λ 2 ).

20 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 10.prednáška Nový a najdôležitejší typ spojitého rozdelenia sa dá dostať pomocou známeho binomického rozdelenia z nasledujúcej vety, ktorej dôkaz vyplynie neskôr zo všeobecnejších tvrdení. 10.1 Veta(Moivreova Laplaceova). Nech X n sú náhodné veličiny s rozdelením bin(n,p), x R. Potom X n np lim n P ( < x) = np(1 p) x 1 2π e t2 2 dt Funkcia f(t) = 1 2π e t2 2 je hustotou rozdelenia pravdepodobnosti a príslušné rozdelenie budeme volať normované normálne rozdelenie a značiť N(0,1). Distribučnú funkciu Φ(x) = x 1 2π e t2 2 dt nemožno vyjadriť pomocou elementárnych funkcií, preto pri práci s ňou budeme používať tabuľky. Rozdelenie, ktoré bude mať ľubovoľná lineárna funkcia náhodnej veličiny s N(0,1) budeme volať normálne. Zo symetrie hustoty vidno, že E(X) = 0, Φ( x) = 1 Φ(x) 10.2 Príklad. Nájdeme hustotu náhodnej veličiny Y = ax + b, a > 0, kde X N(0, 1). Zrejme F Y (y) = P (Y < y) = P (ax + b < y) = P (X < y b a ) = Φ(y b a ) Hľadaná hustota teda bude f(y) = 1 (y b)2 e 2a 2 2πa 2 10.3 Definícia. Náhodná veličina má normálne rozdelenie s parametrami µ a σ 2, ak má hustotu 1 (y µ)2 f(y) = e 2σ 2 2πσ 2 10.4 Príklad. Vypočítajte strednú hodnotu a disperziu náhodnej veličiny s rozdelením N(0, 1) (E(X) = 0, D(X) = 1). 10.5 Príklad. Využite známe vlastnosti strednej hodnoty a disperzie, výsledok predoľého príkladu a nájdite strednú hodnotu a disperziu náhodnej veličiny s rozdelením N(µ, σ 2 ) (E(X) = µ, D(X) = σ 2 ).

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 21 10.6 Veta. Ak X N(µ, σ 2 ), tak Y = X µ σ N(0, 1) 10.7 Dôsledok. Ak X N(µ, σ 2 ), tak pre ľubovoľné a, b R P (a < X < b) = Φ( b µ σ ) Φ(a µ σ ) 10.8 Príklad. Náhodná veličina X má N(1,4). Nájdite pravdepodobnosť P (0.5 < X < 2). Použite tabelované hodnoty distribučnej funkcie N(0,1). Význam normálneho rozdelenia sa dá vidieť z tzv. centrálnych limitných viet, ktoré hovoria, že za istých podmienok postupnosti súčtov náhodných veličín konvergujú k normálnemu rozdeleniu. Jednou z takýchto viet je aj Veta 10.1. Sformulujeme bez dôkazu ešte jednu všeobecnejšiu limitnú vetu.bude hovoriť o rozdelení postupnosti súčtov nezávislých náhodných veličín. Nezávislosť v spojitom prípade definujeme zdanlivo trochu odlišne, pretože definícia nezávislosti ako sme ju mali pre diskrétne náhodné veličiny je v tomto prípade nevhodná (prečo?) 10.9 Definícia. Náhodné veličiny X a Y sú nezávislé, ak pre ľubovoľné x, y R : P (X < x Y < y) = P (X < x)p (Y < y) 10.10 Poznámka. Dá sa ukázať, že v prípade diskrétnych náhodných veličín je táto definícia ekvivalentná s definíciou 7.1. 10.11 Definícia. Náhodné veličiny X 1, X 2,... sú nezávislé, ak pre každé x 1, x 2, R sú nezávislé udalosti (X 1 < x 1 ), (X 2 < x 2 ),.... 10.12 Veta. Nech X i je postupnosť nezávislých rovnako rozdelených náhodných veličín so strednou hodnotou A a disperziou D. Potom n i=1 P ( X i na x < x) = nd 1 2π e t2 2 dt 10.13 Príklad. Použitím Vety 10.12 dokážte Vetu 10.1. 10.14 Príklad. Za istého kandidáta hlasuje vo voľbách 100p percent voličov. Koľko volebných lístkov treba vyhodnotiť, aby sa relatívna početnosť hlasujúcich za tohto kandidáta líšila od p o menej ako 0.04 s pravdepodobnosťou 0.99? Pri riešení predošlého príkladu sme potrebovali nájsť v tabuľkách distribučnej funkcie N(0, 1) takú hodnotu, ktorú náhodná veličinanná s týmto rozdelením prekročí s pravdepodobnosťou α (0, 1). 10.15 Definícia. Nech X je náhodná veličina s distribučnou funkciou F. Funkciu F 1 definovanú predpisom F 1 (u) = inf{x R : F (x) u} pre u (0, 1) budeme nazývať kvantilová funkcia náhodnej veličiny F a hodnota F 1 (α) pre α (0, 1) je α kvantil (ozn. u(α)).

22 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK Tieto kvantily sú tabelované v štatistických tabuľkách pre rôzne typy rozdelení. V prípade spojitého rozdelenia je kvantilová funkcia totožná s obyčajnou inverznou funkciou k distribučnej funkciif. 10.16 Príklad. Nájdite kvantilovú funkciu k distribučnej funkcii exponenciálneho rozdelenia. Okrem kvantilov sa často používajú tzv. kritické hodnoty. 10.17 Definícia. Ak z(α) je také číslo, že P (Z > z(α)) = α tak z(α) budeme nazývať kritickou hodnotou náhodnej veličiny Z na hladine α. Zrejme ak náhodná veličina má spojité rozdelenie, tak z(α) = Φ 1 (1 α) Kritické hodnoty jednotlivých rozdelení bývajú tiež tabelované.