III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019
3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej derivácie
Derivácia funkcie v smere smerová derivácia Parciálne derivácie funkcie dávajú informáciu o správaní sa funkcie v smeroch rovnobežných so súradnicovými osami. Informáciu o tom ako sa funkcia správa v iných smeroch nám dáva tzv. derivácia funkcie v smere smerová derivácia. Nech f je definovaná v bode (x 0, y 0 ) a nech u = (u 1, u 2 ). Obr.: Derivácia v smere, softvér Funkcia, ktorú dostaneme ak sa z bodu (x 0, y 0 ) vyberieme v smere vektora u má tvar ϕ(t) = f ((x 0, y 0 ) + t(u 1, u 2 )), t R
Derivácia funkcie v smere smerová derivácia 1 Definícia 3.1 Nech f je definovaná v bode (x 0, y 0 ) a nech u = (u 1, u 2 ) je jednotkový vektor. Položme ϕ(t) = f ((x 0, y 0 ) + t(u 1, u 2 )), t R. Ak má funkcia ϕ deriváciu v bode t = 0, nazývame ju derivácia v smere jednotkového vektora u funkcie f v bode (x 0, y 0 ) a označujeme f u (x 0, y 0 ). T.j. ϕ(t) ϕ(0) f ((x 0, y 0 ) + t (u 1, u 2 )) f (x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ) = lim = lim t 0 + t t 0 }{{} + t ϕ + (0) Alternatívne sa používa aj značenie df (x 0,y 0 ) d u alebo f (x 0,y 0 ) u. Úloha: ( ) Vypočítajte deriváciu funkcie f (x, y) = x 2 3xy 2y 2 v bode ( 1, 1) v smere vektora ( 3 5, 4 5). Úloha: V smere akých dvoch vektorov bude pojem derivácia v smere totožný parciálnej derivácii?. Svoje tvrdenie zdôvodnite. 1 Geometrický význam derivácie v smere je podobný ako parciálnych derivácíı, ide o smernicu dotyčnice ku grafu funkcie ϕ.
Derivácia funkcie viac premenných v smere Poznámka: Zrejme nie je t ažké ukázat, že v bode (x 0, y 0) D f platí df ((x 0, y 0)) f ((x0, y0)) df ((x 0, y 0)) f ((x0, y0)) d =, i x d =, j y kde i = (1, 0), j = (0, 1). Analogicky vieme podobnú úvahu urobit aj pre funkciu viac premenných. Definícia 3.2 Nech f je definovaná v bode a E n a nech u = (u 1, u 2,..., u n) je jednotkový vektor. Položme ϕ(t) = f (a + t u), t R. Ak má funkcia ϕ deriváciu v bode t = 0, nazývame ju derivácia v smere jednotkového vektora u funkcie f v bode a a označujeme f u (a). T.j. ϕ(t) ϕ(0) f u (a) = lim t 0 + t }{{} ϕ + (0) = lim t 0 + f (a + t u) f (a) t Alternatívne sa používa aj značenie df (a) d u alebo f (a) u.
Je potrebné požadovat jednotkovost vektora u? df (a) d v Čo sa stane, ked budeme uvažovat v = c u, kde c R + a u je jednotkový vektor... f (a + t v) f (a) (f (a + t c u) f (a)) c = lim = lim t 0 + t t 0 + t c f (a + s u) f (a) df (a) = c lim = c s 0 + s d u. Pozorovanie c t = s = t 0 + s 0 + Hodnota derivácie funkcie v danom bode a v smere l ubovol ného vektora v závisí od vel kosti daného vektora v. Hmmm, to zrejme nie je žiadúce, chceme totiž hodnoty smerových derivácíı porovnávat! Jednotková vel kost vektora u je podstatná. 2 Poznámka: Obdobne ako u parciálnych derivácíı je možné zaviest derivácie v smere vyšších rádov. Pre pevne zvolený vektor u je f u (x, y) funkciou dvoch premenných x, y. Ak má táto funkcia mat v nejakom bode (x, y) deriváciu v smere v, nazývame ju druhá smerová derivácia v bode (x, y) v smeroch u a v a označíme f u v (x, y) alebo 2 f (x,y) u v. 2 V niektorých literatúrach, napr.[?] autori na tejto podmienke netrvajú. Treba si však potom dávat pozor na interpretáciu. V takom prípade nevieme porovnávat. Napr. ak derivácia v smere nej. vektora je väčšia neznamená to, že v tomto smere funkcia rastie/klesá rýchlejšie.
Výpočet smerových derivácíı Počítat derivácie v smere ide aj inak (jednoduchšie?) ako len pomocou definície. Pre potreby takéhoto výpočtu si pripomeňme skalárny súčin dvoch vektorov: Nech u = (u 1, u 2 ) a v = (v 1, v 2 ) sú dva vektory, ich skalárny súčin označme u, v a počítame u, v = u 1 v 1 + u 2 v 2 u, v = u v cos ϕ, kde 0 ϕ π. Veta 3.3 Nech funkcia f : z = f (x, y) je diferencovatelná v bode (x 0, y 0) a nech u = (u 1, u 2) je l ubovol ný vektor. Potom existuje derivácia funkcie f v bode (x 0, y 0) v smere vektora u a platí df (x 0, y 0) d u = gradf (x 0, y 0), u = f (x0, y0) u 1 + x f (x0, y0) u 2 y Poznámka: Z hore uvedeného vzt ahu vyplýva, že ak je gradf (x 0, y 0) = (0, 0), tak f u (x 0, y 0) = 0 pre každý vektor u.
Interpretácia smerovej derivácie a gradient funkcie dvoch premenných Zamyslime sa Kedy je smerová derivácia v danom bode najvyššia? V smere akého vektora? 3 Ked že sa smerová derivácia podl a predch. vety dá počítat pomocou gradientu, hl adajme v akom vzt ahu s gradientom funkcie f v danom bode má byt vektor s najväčšou hodnotou smerovej derivácie. Označme δ uhol, ktorý zviera jednotkový vektor u s vektorom gradf (a), kde a = (x 0, y 0 ), potom smerová derivácia funkcie f v bode a má tvar df (a) d u = grad f (a), u = grad f (a) u cos δ = grad f (a) cos δ. > MAX Kedy je hodnota hore uvedeného súčinu pre pevne dané a najvyššia? Zrejme, ked cos δ = 1 δ = 0, t.j. vtedy, ked vektor u a vektor gradf (a) zvierajú uhol δ = 0. u = c gradf (x 0, y 0 ) u je jednotkový vektor gradf (a) u = gradf (a) Smerová derivácia je najvyššia v smere gradientu funkcie f v danom bode. 3 Predpokladajme hned, že gradf (x0, y 0 ) 0. Inak totiž ako bolo spomenuté vyššie, je smerová derivácia vo všetkých smeroch nulová.
Zamyslime sa Kedy je smerová derivácia v danom bode najnižšia? V smere akého vektora? Analogická formulácia problému: df (a) d u = grad f (a), u = grad f (a) u cos δ = grad f (a) cos δ. > MIN Kedy je hodnota hore uvedeného súčinu pre pevne dané a najnižšia? Zrejme, ked cos δ = 1 δ = π, t.j. vtedy, ked vektor u a vektor gradf (a) zvierajú uhol δ = π. u = c gradf (x 0, y 0 ), c < 0 u je jednotkový vektor gradf (a) u = gradf (a) Smerová derivácia je najnižšia v smere opačnom ako gradient funkcie f v danom bode.
Veta 3.4 Nech gradf (x 0, y 0) 0. Potom smerová derivácia f u (x 0, y 0) v smere jednotkového vektora u je najväčšia pre vektor u = gradf (x 0,y 0 ) gradf (x 0,y 0 a najmenšia pre vektor ) u = gradf (x 0,y 0 ). gradf (x 0,y 0 ) Poznámky: Dôkaz tohoto tvrdenia sme v podstate urobili na predchádzajúcom slide. Maximálna hodnota smerovej derivácie je teda gradf (x 0, y 0) a minimálna hodnota je gradf (x 0, y 0). Interpretácia, význam gradientu: Gradient teda určuje smer, v ktorom funkcia najrýchlejšie rastie a vektor gradf (a) je vektor, ktorý udáva smer najväčšieho poklesu funkcie f v bode a. Úloha: Nájdite jednotkový vektor u, pre ktorý je smerová derivácia f u funkcie f (x, y) = 4 + x 2 + y 2 v bode (x 0, y 0 ) = (2, 1) maximálna, a určte jej hodnotu. 4 4 Riešenie je možné vizualizovat v sofvéri, softvér
3.4.1 Parciálna derivácia zloženej funkcie prvého rádu Obr.: Kompozícia funkcíı jednej premennej Pripomeňme si (Derivácia zloženej funkcie 1 premennej) Nech funkcia ϕ má deriváciu v bode x 0 a f má deriváciu v bode y 0 = g(x 0). Potom funkcia f g má deriváciu v bode x 0 a platí (f g) (x 0) = f (y 0) g (x 0). Poznámka: Pri označení f (x) = t pre každé x D f g si predchádzajúcu formulu vieme prepísat do tvaru: (f g) df (y0) (x 0) = dϕ(x0) dt d x
A: Zložená funkcia tvaru: F (x) = f (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)) V prvej fáze nás bude zaujímat zložená funkcia v zjednodušenom tvare, schematicky ide o funkciu vonkajšia zložka vedl ajšie zložky {}}{{}}{ ϕ 1, ϕ 2,..., ϕm f x t = (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)) f (t) Veta 3.5 (Parciálne derivácia zloženej funkcie I) Nech funkcie t i = ϕ i (x), i = 1, 2,..., m majú deriváciu v bode a E 1 a funkcia y = f (t 1, t 2,..., t m) je diferencovatel ná v bode b = (ϕ 1 (a), ϕ 2 (a),..., ϕ m(a)). Potom zložená funkcia F (x) = f (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)) má deriváciu v bode a, pričom platí F (a) = m i=1 Poznámka: Všeobecne, pre vhodné x D f, máme F f (t1,..., tm) (x) = t 1 f (b) t i ϕ i (a). ϕ f (t1,..., tm) 1 (x) + ϕ f (t1,..., tm) 2 (x) + + ϕ m t 2 t (x). m
B: Zložená funkcia tvaru F (x) = f (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)) Napokon nás zaujíma zložená funkcia vo všeobecnom tvare, schematicky: vnútorné zložky {}}{ ϕ 1, ϕ 2,..., ϕm x t = [ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)] Veta 3.6 (Parciálne derivácia zloženej funkcie I) vonkajšia zložka {}}{ f f (t) Nech funkcie t i = ϕ i (x 1, x 2,..., x n), i = 1, 2,..., m majú parciálne derivácie podl a každej svojej premennej v bode a = (a 1, a 2,..., a n) a funkcia y = f (t 1, t 2,..., t m) je diferencovatel ná v bode b = (ϕ 1 (a), ϕ 2 (a),..., ϕ m(a)). Potom zložená funkcia F (x 1, x 2,..., x n) = f (ϕ 1 (x 1, x 2,..., x n), ϕ 2 (x 1, x 2,..., x n),..., ϕ m(x 1, x 2,..., x n)) má parciálne derivácie podl a každej svojej premennej v bode a = (a 1, a 2,..., a n), pričom platí F (a) m f (b) = ϕ i (a), k = 1, 2,..., n. x k t i x k i=1 Poznámka: Všeobecne, pre vhodné x D f, máme F = f ϕ1 + f ϕ2 + + f ϕm, x 1 t 1 x 1 t 2 x 1 t m x 1 RNDr.. Lenka Halčinová, PhD.
Úloha: Preformulujte predchádzajúcu vetu, ak by sme potrebovali spočítat len parciálnu deriváciu podl a premennej x 2. Úloha: Je daná zložená funkcia F (x, y) = f (x y, x y ). a) Nájdite prvé parciálne derivácie funkcie F, b) Pomocou predchádzajúceho vzorca z časti a) určte prvé parciálne derivácie zloženej funkcie F, ak f (u, v) = u 2 + v 2, kde u = x y, v = x. Svoj výsledok potvrd te y priamym výpočtom. Úloha: Daná je rovnost kde z = f (x + ϕ(y)). a) Dokážte, že daná rovnost je pravdivá. b) Nájdite z x z x dϕ dy = z y, a z y pre f (t) = sin t, ϕ(y) = y 3 + 1.
Poznámka: Dôsledkom predchádzajúcich úvah je tvrdenie: Nech funkcie t i = ϕ i (x 1, x 2,..., x n), i = 1, 2,..., m sú diferencovatel né v bode a = (a 1, a 2,..., a n) E n a funkcia y = f (t 1, t 2,..., t m) je diferencovatel ná v bode b = (ϕ 1 (a),..., ϕ m(a)) E m. Potom zložená funkcia F (x 1, x 2,..., x n) = f (ϕ 1 (x 1, x 2,..., x n),..., ϕ m(x 1, x 2,..., x n)) je diferencovatel ná v bode a = (a 1, a 2,..., a n) a pre jej diferenciál v bode a platí n m f (b) df (a, h) = h k ϕ i (a). t i x k k=1 i=1
3.4.2 Parciálne derivácie vyšších rádov zloženej funkcie Uvažujme zloženú funkciu F (x, y) = f (ϕ(x, y), ψ(x, y) ), }{{}}{{} u v Predpokladajme,že funkcie ϕ, ψ majú parciálne derivácie prvého rádu, ktoré sú diferencovatel né v bode a = (a 1, a 2 ) funkcia f má parciálne derivácie, ktoré sú diferencovatel né v bode b = (ϕ(a), ψ(a)). Potom sú funkcie F x, F diferencovatel né v bode a, pretože... (odtial máme, že existujú druhé parciálne y derivácie funkcie F v bode a). Rovnako, pokračujeme d alej... Potom parciálne derivácie druhého rádu sú nasledujúce: 2 F x 2 2 F y 2 F x F y ( = 2 f ϕ ) 2 u 2 x + 2 2 f ψ ϕ v u x x ) 2 + 2 2 f ( = 2 f ϕ u 2 y 2 F y x = 2 F x y = 2 f v u ϕ u 2 y ψ ϕ y y ϕ x + 2 f v u = f ϕ + f ψ u x v x = f ϕ u y + ( 2 f ψ v 2 x + ( 2 f ψ v 2 y ( ψ ϕ y x + f ψ v y ) 2 + f 2 ϕ u x ) 2 2 + f 2 ϕ + ϕ y ψ x + f 2 ψ ; v x 2 + f u y 2 v ) + f u 2 ψ y 2. 2 ϕ y x + f v Poznámka: Ked že F x, F y sú diferencovatel né v bode a, tak vieme, že v tomto bode 2 F y x = 2 F x y Úloha: Odvod te formuly pre 2 F x 2, 2 F y 2, 2 F y x. 2 ψ + 2 f ψ ψ. y x v 2 y x
ROZŠIRUJÚCE učivo...
Diferenciál vyššieho rádu funkcie Pripomeňme si... Diferenciál k-teho rádu funkcie f jednej reálnej premennej v bode a je daný d k f (a, x) = f (k) (a)(x a) k, kde f (k) (a) je k-ta derivácia funkcie f v bode a. Uvažujme funkciu dvoch premenných z = f (x, y), (x, y) O(a 1, a 2) Definícia 3.7 (Diferenciál funkcie f dvoch premenných k-teho rádu) Nech funkcia f : E 2 E 1 má v bode a = (a 1, a 2) spojité všetky parciálne derivácie k tého rádu. Diferenciálom k tého rádu funkcie f v bode a rozumieme polynomickú funkciu (polynóm) dvoch premenných x, y stupňa najviac k tvaru d k f (a, x) = k j=0 ( k j ) k f (a) x k j y j (x a1)k j (y a 2) j a funkciu f nazývame k krát diferencovatel nou v bode a. Poznámka: Predpoklad spojitosti parciálnych Matematická derivácíı funkcie analýza f viv bode a súvisí RNDr. so zámennost ou Lenka Halčinová, parciálnych PhD. derivácíı v tomto bode.
Poznámky: Rozpísanie definície niektorých diferenciálov v bode a: f (a) f (a) df (a, x) = (x a 1 ) + (y a 2 ) x y d 2 f (a, x) = 2 f (a) x 2 (x a 1 )2 + 2 2 f (a) (x a 1 )(y a 2 ) + 2 f (a) x y y 2 (y a 2 )2 d 3 f (a, x) = 3 f (a) x 3 (x a 1 )3 + 3 3 f (a) x 2 (x a 1 ) 2 (y a 2 ) + 3 3 f (a) y x y 2 (x a 1 )(y a 2 )2 + 3 f (a) Formálne diferenciál k tého rádu funkcie f v bode a môžeme zapísat v tvare d k f (a, x) = [ x (x a1) + y (y a2) ] k f (a), y 3 (y a 2 )3 Analogicky vieme teda definovat Diferencovatel nost funkcie viac premenných k-teho rádu Nech funkcia f : E n E 1 má v bode a = (a 1, a 2,..., a n) spojité všetky parciálne derivácie k tého rádu. Diferenciálom k tého rádu funkcie f v bode a nazývame polynomickú funkciu (polynóm) n premenných x 1, x 2,..., x n stupňa najviac k, ktorú môžeme formálne zapísat v tvare [ ] d k f (a, x) = (x 1 a 1) + (x 2 a 2) + + k (x n a n) f (a) x 1 x 2 x n a funkciu f nazývame k krát diferencovatel nou v bode a. Symbolu [... ] k rozumieme rovnako ako v predchádzajúcom prípade Úloha: Nájdite d 3 f ((1, 1), (x, y)) funkcie f (x, y) = xy 2 + x 2 y. Úloha ( ): Odvod te všeobecný vzorec pre d 3 f ((a, b, c), (x, y, z)) pre funkciu f trikrát spojite diferencovatel nú v bode (a, b, c).
3.5 Taylorov polynóm funkcie viac premenných Pripomeňme si... Taylorov polynómom stupňa n funkcie f jednej reálnej premennej v bode a je polynóm tvaru T n(x) = T n(f, a; x) = f (a) + f (a) 1! (x a) + f (a) 2! (x a) 2 + + f (n) (a) (x a) n n! T n(x) = T n(f, a; x) = f (a) + f (a) 1! a ked že d k f (x) = f (k) (x)(dx) k, tak dx + f (a) 2! (dx) 2 + + f (n) (a) (dx) n n! T n(x) = T n(f, a; x) = f (a) + 1 1! df (a) + 1 2! d 2 f (a) + + 1 n! d n f (a) Veta 3.8 (Taylorova veta) Nech funkcia y = f (x 1, x 2,..., x n) je (k + 1) krát diferencovatel ná na nejakom okoĺı bodu a = (a 1, a 2,..., a n). Potom pre každý bod x O(a) existuje číslo θ (0, 1) také, že platí df (a, x) f (x) = f (a) + 1! + d 2 f (a, x) 2! df (a, x) f (x) = f (a) + + d 2 f (a, x) 1! 2! + + d k f (a, x) k! + + d k f (a, x) k! }{{} k tytaylorov polynóm funkcie f v bode a,ozn.t k (f,a;x) 1 k+1 + R k, +R k
Poznámky: Ak bod a = (0, 0,..., 0), tak uvedený polynóm sa nazýva Maclaurinov polynóm. Z Taylorovej vety máme tzv. Taylorov vzorec: f (x) = T k (x) + R k (x), x O(a). V prípade, že funkcia viac premenných y = f (x 1, x 2,..., x n) je nekonečne vel a krát diferencovatel ná v bode a = (a 1, a 2,..., a n) (t.j. má diferenciál v bode a l ubovol ného rádu), tak nekonečný rad v tvare T (f, a; x) = k=0 nazývame Taylorov rad funkcie viac premenných f v bode a. 1 k! d k f (a, x), Úloha: Nájdite Taylorov rad funkcie v bode a = (0, 0). f (x, y) = e x+y Riešenie: Taylorov rad funkcie f je rad v tvare T (f, a; x) = radu je celý priestor E 2 ). k=0 (x+y) k k! (oborom konvergencie tohto