Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ LINEÁRNE A KVADRATICKÉ PROGRAMOVANIE Vysokoškolská učebnica F

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ LINEÁRNE A KVADRATICKÉ PROGRAMOVANIE Vysokoškolská učebnica Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný a Michal Staš

Lineárne a kvadratické programovanie Prvé vydanie Táto publikácia vznikla za finančnej podpory z Európskeho sociálneho fondu v rámci Operačného programu VZDELÁVANIE. Prioritná os Reforma vzdelávania a odbornej prípravy Opatrenie. Vysoké školy a výskum a vývoj ako motory rozvoja vedomostnej spoločnosti. Názov projektu: Balík doplnkov pre ďalšiu reformu vzdelávania na TUKE ITMS 69 Autori: c RNDr. Štefan BEREŽNÝ, PhD., 6 c RNDr. Michal STAŠ, PhD., 6 Recenzovali: Vydavateľ: Mgr. Ján BUŠA, Ph.D. doc. RNDr. Jozef Bucko, PhD. Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky Rok: 6 Rozsah: Náklad: 5 ks ISBN: 978-8-55-65- Za odbornú a jazykovú stránku tejto vysokoškolskej učebnice zodpovedajú autori. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou. Táto vysokoškolská učebnica je chránená Autorským zákonom SR a súvisiacimi zákonmi. Všetky práva vyhradené. Okrem zákonom stanovených prípadov, žiadna časť tohto diela nesmie byť reprodukovaná a šírená akoukoľvek formou a prostriedkami bez predošlého písomného súhlasu autorov.

Predhovor Táto knižka je určená pre študentov inžinierskeho stupňa štúdia na Fakulte elektrotechniky a informatiky TUKE. Nadväzuje na predmety Operačná analýza z bakalárskeho stupňa štúdia a Optimalizačné metódy z inžinierskeho stupňa štúdia. V týchto predmetoch študenti získajú základné zručnosti s lineárnou optimalizáciou a simplexovým algoritmom a všeobecnými princípmi a postupmi v optimalizácii. Na to všetko nadväzuje táto učebnica, ktorá rozširuje metódy a analýzy z lineárnej optimalizácie a využitia simplexovej metódy a tiež uplatnenie všeobecných princípov hľadania optima na úlohy kvadratického programovania. Tento učebný text je dostupný na CD a na web stránke KMTI FEI TUKE a v systéme Moodle, ktorý je spravovaný FEI TUKE. Košice,. augusta 6 Autori

Obsah Predhovor Obsah 6 Zoznam skratiek a symbolov 7 Anticyklické pravidlá 9. Úvod....................................... 9. Lexikografické pravidlo.............................. Blandovo pravidlo.................................4 Riešené príklady.................................5 Neriešené úlohy..................................6 Výsledky neriešených úloh........................... 7 Ďalšie spôsoby riešenia optimalizačných úloh 9. Revidovaná simplexová metóda........................ 9. Duálny simplexový algoritmus.......................... Penalizačná a bariérová metóda.........................4 Riešené príklady.................................5 Neriešené úlohy................................. 44.6 Výsledky neriešených úloh........................... 5 Postoptimalizačná analýza 55. Analýza senzitivity............................... 55. Zmena vektora pravých strán......................... 56. Zmena koeficientov účelovej funkcie...................... 56.4 Pridanie novej premennej............................ 57.5 Pridanie nového ohraničenia.......................... 57.6 Riešené príklady................................ 59.7 Neriešené úlohy................................. 69.8 Výsledky neriešených úloh........................... 7 5

OBSAH 6 4 Parametrické programovanie 7 4. Parametrizácia pravej strany.......................... 7 4. Parametrizácia účelovej funkcie........................ 74 4. Riešené príklady................................ 75 4.4 Neriešené príklady............................... 87 4.5 Výsledky neriešených úloh........................... 89 5 Kvadratické programovanie 9 5. Úvod do nelineárneho programovania..................... 9 5. Úvod do kvadratického programovania.................... 9 5. Kuhnove-Tuckerove podmienky........................ 9 5.4 Wolfeho algoritmus............................... 94 5.5 Shettyho-Lemkeho algoritmus......................... 97 5.6 Riešené príklady................................ 99 5.7 Neriešené úlohy................................. 7 5.8 Výsledky neriešené úlohy............................ Register 7 Literatúra 7

Zoznam skratiek a symbolov LP lineárne programovanie a i A j i-ty riadok maticer A j-ty stĺpec matice A F množina prípustných riešení úlohy LP x opt optimálne riešenie úlohy LP f opt ( x) hodnota účelovej funkcie v bode x = x opt, optimálna hodnota úlohy LP B(i) stĺpcový index matice A, ktorý reprezentuje i-tu zložku bázy B BR bázické riešenie P primána úloha LP D duálna úloha LP F P F D množina prípustných riešení primárnej úlohy LP množina prípustných riešení duálnej úlohy LP CLP celočíselné lineárne programovanie x opt r optimálne riešenie relaxácie úlohy CLP {a} zlomková časť čísla a a dolná celá časť čísla a c cenový vektor, vektor koeficientov účelovej funkcie úlohy LP A matica koeficientov ohraničení úlohy LP b vektor pravých strán ohraničení úlohy LP f účelová funkcia 7

Kapitola Anticyklické pravidlá. Úvod V prípade degenerovaných úloh lineárneho programovania sa v priebehu výpočtu môže stať, že pri výbere pivota v danom stĺpci nebude len jeden minimálny podiel. Dôsledkom takejto situácie bude, že sa v nasledujúcom kroku objaví v simplexovej tabuľke v nultom stĺpci aspoň jedna z bázických premenných s hodnotou. V takomto prípade nedôjde ku zmene hodnoty účelovej funkcie v ďalšom kroku prechodu od jednej bázy k druhej. Z tohto dôvodu je tu nebezpečie, že sa budeme znovu vracať k bázam, ktoré sme už predtým prechádzali (t. j. vzniká tu nebezpečie zacyklenia algoritmu). Existuje viacero spôsobov ako takejto situácii predísť. Základnou myšlienkou je upresnenie pravidiel výberu kľúčového stĺpca a riadku tak, aby bol výber vždy jednoznačný. Takýmito pravidlami sú, napr. lexikografické a Blandovo pravidlo, ktorým sa budeme bližšie venovať. Definícia. (Cyklus v simplexovom algoritme) Cyklom v simplexovom algoritme rozumieme konečnú postupnosť krokov simplexového algoritmu, ktorý začína a končí rovnakou bázou, a teda aj rovnakou simplexovou tabuľkou. Veta. V priebehu každého cyklu sa hodnoty pravých strán ohraničení v nultom stĺpci nemenia a v každom kroku algoritmu pre riadok i, ktorý obsahuje pivot platí, že x i =. Dôkaz: Ak vzniká cyklus medzi bázami B a B, tak potom c x B c x c x c x B = c x B, (.) z čoho vyplýva rovnosť vo všetkých uvedených nerovnostiach. Zo zmeny účelovej funkcie h = h x ic j x ij musí platiť x i c j = a keďže c j <, tak nutne x i =. 9

KAPITOLA. ANTICYKLICKÉ PRAVIDLÁ Následne pre všetky zvyšné k {,..., m} platí x k := x k x ix kj x ij stĺpec simplexovej tabuľky zostáva bez zmeny. = x k, a tak nultý Q. E. D.. Lexikografické pravidlo Základné fakty: autormi sú Dantzig, Orden a Wolfe; od základnej procedúry sa líši iba spresneným výberom pivotového riadku, ktorý sa určuje pomocou zložitejšieho pravidla a to v prípade, ak by mohlo dôjsť k zacykleniu algoritmu; túto metódu možno použiť v ľubovoľnej iterácii za predpokladu primárnej prípustnosti simplexovej tabuľky. Definícia. (Lexikografický väčší vektor, lexikografický kladný vektor) Vektor x = (x,..., x n ) je lexikograficky väčší ako vektor y = (y,..., y n ), píšeme x y, ak platí ( i)(x i > y i ) ( j < i)(x i = y j ). Vektor x je lexikograficky kladný, ak x, t. j. ak prvá jeho nenulová zložka je kladná. ALGORITMUS: Predpokladajme, že všetky riadky v simplexovej tabuľke sú lexikograficky kladné (okrem nultého), t. j. úloha je primárne prípustná. Pravidlá pre výber riadkov a stĺpcov v simplexovom algoritme sú nasledovné: P: výber ľubovoľného stĺpca j {,..., n} s relatívnou cenou c r j <, odporúča sa výber stĺpca s najnižšou relatívnou cenou; P: výber riadku i {,..., m}, v ktorom sa nadobúda lexikografické minimum z riadkov simplexovej tabuľky x ij (x i,..., x in ) pre x ij >, t. j. v prípade ak výber pivota nie je jednoznačný λ = λ(k) = x { } k xl = min, pre k K {,..., m} (.) x kj l: x lj > x lj vyberáme i-ty riadok tak, aby vektor x ij (x i,..., x in ) bol lexikograficky minimálny zo všetkých vektorov x kj (x k,..., x kn ) pre dané k K.

.. BLANDOVO PRAVIDLO Základné vlastnosti algoritmu: na základe pravidiel výberu pivota v zmysle lexikografického usporiadania riadky zostávajú lexikograficky kladné; na základe pravidiel výberu pivota v zmysle lexikografického usporiadania a predchádzajúcej vlastnosti nultý riadok ostro lexikograficky rastie; z predchádzajúcej vlastnosti vyplýva, že simplexová metóda skončí po konečnom počte krokov.. Blandovo pravidlo Základné fakty: autorom je Robert G. Bland v roku 977, pozri []; Blandovo pravidlo, nazývané aj ako pravidlo najmenších indexov, požaduje voľbu pivotovaného stĺpca s najmenším indexom (t. j. minimálne j s príslušnou zápornou relatívnou cenou) a z možných pivotovaných riadkov pre dané j ak výber pivota nie je jednoznačný kvôli viacerým rovnakým minimálnym podielom potom volíme ten, ktorého bázická premenná má minimálny index (t. j. B k index bázickej premennej v k-tom riadku je minimálny možný pre už zvolené j). Inak povedané, medzi bázické indexy prichádza minimálny možný a odchádza tiež minimálny možný index; v revidovanej metóde je lexikografické pravidlo nepoužiteľné, no pravidlo najmenších indexov sa aplikuje bez problémov. Myšlienka algoritmu: Uvažujme základný problém min{ c x : A x = b, x }, (.) kde A je matica typu m n pre m n a nech B = (B,..., B m ) je usporiadaná m- tica vzájomne rôznych čísel z {,..., n}. Cieľom v danom kroku algoritmu je prejsť od B = (B,..., B i, B i, B i+,..., B m ) k B = (B,..., B i, B j, B i+,..., B m ), t. j. v i-tom stĺpci sa má objaviť j-ty stĺpec jednotkovej matice. Inak povedané, aktuálnu simplexovú tabuľku prepivotujeme prvkom x ij. Samozrejmou požiadavkou pri výbere pivota je zachovanie primárnej prípustnosti simplexovej tabuľky, zachovanie bázičnosti a klesajúcosť hodnoty { účelovej funkcie, z čoho dostávame následujúce podmienky: x ij >, x i x ij = min xk k: xkj > x kj, } a c r j <.

KAPITOLA. ANTICYKLICKÉ PRAVIDLÁ Pravidlá výberu v Blandovom pravidle: Predpokladajme, že v simplexovej tabuľke nie je splnená podmienka optimality a úloha nie je neohraničená. P: výber prvého stĺpca j {,..., n} zľava s relatívnou cenou c r j <, t. j. j = min{s : c r s < }; { } P: výber riadku i {,..., m} s pivotom x ij > tak, aby x i x ij = min xk k: xkj > x kj. Ak výber pivota nie je jednoznačný λ = λ(k) = x { } k xl = min :, pre k K {,..., m} (.4) x kj l: x lj > x lj vyberáme i-ty riadok tak, aby i = min{b k : k K}. ALGORITMUS: Celý proces použitia Blandovho pravidla môžeme zhrnúť nasledovným algoritmom po zostavení vstupnej simplexovej tabuľky: opt := false and neohr := false repeat if c r then opt := true else begin j := min{l : c r l < } if A j then neohr := true else urč i podľa Blandovho pravidla, pivotovanie s x ij a B i = j endif end endif until (opt or neohr) if opt is true then x B je optimálne riešenie else úloha je neohraničená endif Veta. Simplexový algoritmus s použitím Blandovho pravidla skončí po konečnom počte krokov. Dôkaz: Predpokladajme, že pri použití Blandovho pravidla dôjde k zacykleniu. Označme K ako

.4. RIEŠENÉ PRÍKLADY množinu všetkých indexov k, ktoré vstupovali do bázy v priebehu daného cyklu. K je konečná množina, a tak nech q = max K. O danom indexe q teda vieme, že v istom kroku algoritmu musela vstúpiť premenná x q medzi bázické premenné (nech B je množina bázických indexov v danom kroku a y q < príslušná relatívna hodnota premennej x q ) a v nejakom ďalšom kroku z nich vystúpiť (nech v danom kroku bol vybraný pivot zo stĺpca s príslušnou hodnotou c r s < ). Na základe uvedených predpokladov následne definujme z predpisom: z B = A s, (t. j. z Bj = a js pre každé j), čiže z s = a z j = inak. Z definície dostávame vlastnosti z B = A B A s a A B z B + ( )A s = A z =, ktoré priamo využijeme pri nasledovných rovnostiach y z = ( c c B A B A) z = c z = c B z B + c s z s = c B A B A s c s = c r s >. To znamená, že pre nejaké k je y k z k >. Keďže y k tak k B. Podobne z k, a tak z definície z buď k B alebo k = s, t. j. buď je v báze alebo práve vstúpi do K. Ľahko overíme, že k q. () Ak y k <, tak k by pripadalo do úvahy pre vstup. No nakoľko nebolo vybrané, tak q < k. () Ak y k > a z k >, tak potom aj z k = z Br = a rs > pre nejaké r. Ale ak y k > a navyše k B \ B, tak k muselo vystúpiť a tak x r =, t. j. = x { } r xj = min : a js >. a rs a js Čiže p bolo vhodné pre výber, no nebolo vybrané, a tak q < k. V oboch prípadoch sme ukázali, že q < k, čo je spor s predpokladom výberu q = max K. Q. E. D..4 Riešené príklady Úloha. Pomocou simplexovej metódy vyriešte nasledujúci problém: f(x, x, x, x 4 ) = x 5x 4x + 4x 4 min, x x 5x + 8x 4, x + 4x + x 8x 4, x + x + 5x 8x 4, x,...,4.

KAPITOLA. ANTICYKLICKÉ PRAVIDLÁ 4 Riešenie: Prepíšeme danú úlohu LP do štandardného tvaru s doplnkovými premennými s, s a s, ktoré budú zároveň bázicke: f(x, x, x, x 4 ) = x 5x 4x + 4x 4 min, Danú úlohu zapíšeme do simplexovej tabuľky x x 5x + 8x 4 + s =, x + 4x + x 8x 4 + s =, x + x + 5x 8x 4 + s =, x,...,4, s, s, s, s. B x x x x x 4 s s s 5 4 4 x 5 5 8 x 6 4 8 x 7 5 8 V nultom riadku sme tak získali záporné relatívne ceny pre premenné x a x. Pri zvolení si stĺpca, ktorý je reprezentovaný premennou x, sa pivotom stáva číslo 4 na základe jednoznačnosti výberu t. j. min {, } 4 =. Po následnom prepivotovaní číslom 4 4 dostávame tabuľku B x x x x x 4 s s s 7 4 9 98 5 4 x 5 4 4 4 x 4 4 x 7 4 4 4 Pri výbere stĺpca reprezentovaného premennou x sa z nejednoznačnosti výberu minima, t. j. min {, },5,5, podľa lexikografického pravidla stáva pivotom číslo pre riadok tabuľky, ktorý je reprezentovaný premennou s, pretože pri určovaní lexikografického minima platí: 4 < 4. Po následnom prepivotovaní stanoveným pivotom získame tabuľku

5.4. RIEŠENÉ PRÍKLADY B x x x x x 4 s s s 5 8 9 9 x 8 x 5 x 7 Pri výbere stĺpca repezentovaného premennou x je z jednoznačnosti pivotom číslo pre riadok premennej x, po prepivotovaní dostávame tabuľku B x x x x x 4 s s s 4 8 x x 4 5 x 7 Na záver, pri výbere stĺpca repezentovaného premennou s je opäť z jednoznačnosti pivotom číslo pre riadok premennej s. B x x x x x 4 s s s 4 8 x x 4 5 x 5 Pomocné nebázické premenné s a s majú kladné relatívne ceny, preto má úloha jedno optimálne riešenie a to x opt = (,,, ) a f opt ( x) =. Úloha. Pomocou simplexovej metódy vyriešte nasledujúci problém: f(x, x ) = x x max, x + x =, x + x =, x, x. Riešenie:

KAPITOLA. ANTICYKLICKÉ PRAVIDLÁ 6 Najprv je potrebné vyriešiť pomocnú úlohu zavedením pomocných premenných p a p v daných ohraničeniach: Pomocná úloha má tvar: x + x + p =, x + x + p =. p + p min, x + x + p =, x + x + p =, x, x, p, p. Pomocnú úlohu zapíšeme do simplexovej tabuľky: B x x x p p p p Nakoľko sú premenné p, p bázické, tak ako prvé sú potrebné príslušné prepivotovania, aby sme dosiahli nulové hodnoty v nultom riadku pre dané bázické premenné B x x x p p 5 5 p p Pri riešení pomocnej úlohy pri hľadaní pivota použijeme lexikografické pravidlo. Pri výbere stĺpca reprezentovaného premennou x sa z nejednoznačnosti výberu minima, t. j. min {, }, podľa lexikografického pravidla stáva pivotom číslo pre riadok tabuľky, ktorý je reprezentovaný premennou p. Po následnom prepivotovaní stanoveným pivotom získame tabuľku B x x x p p 5 p x

7.4. RIEŠENÉ PRÍKLADY Pri výbere stĺpca repezentovaného premennou x je z jednoznačnosti pivotom číslo pre riadok premennej p, po prepivotovaní dostávame tabuľku B x x x p p x x Pomocná úloha týmto končí a vraciame sa k pôvodnej úlohe, kde treba poznamenať, že účelová funkcia má tvar x + x min: B x x x x x Nakoľko sú premenné x, x bázické, tak ako prvé sú potrebné príslušné prepivotovania, aby sme dosiahli nulové hodnoty v nultom riadku pre dané bázické premenné B x x x x x Pomocné nebázické premenné nie sú, preto má úloha jedno optimálne riešenie a to x opt = (, ) a f opt ( x) =. Úloha. Pomocou simplexovej metódy vyriešte nasledujúci problém: f(x, x, x, x 4 ) = x 5x 4x + 4x 4 min, x x 5x + 8x 4, x + 4x + x 8x 4, x + x + 5x 8x 4, x,...,4.

KAPITOLA. ANTICYKLICKÉ PRAVIDLÁ 8 Riešenie: Zavedieme pomocné premenné x 5, x 6 a x 7, ktoré budú zároveň bázicke: f(x, x, x, x 4 ) = x 5x 4x + 4x 4 min, a zapíšeme danú úlohu do simplexovej tabuľky x x 5x + 8x 4 + x 5 =, x + 4x + x 8x 4 + x 6 =, x + x + 5x 8x 4 + x 7 =, x,...,7. B x x x x x 4 x 5 x 6 x 7 5 4 4 x 5 5 8 x 6 4 8 x 7 5 8 Na základe Blandovho pravidla pre výber stĺpcov, je prvým stĺpcom zľava so zápornou relatívnou cenou stĺpec pre premennú x. Z jednoznačnosti minima, t. j. min {, } 4 =, 4 je následne pivotom číslo 4, po príslušnom prepivotovaní dostávame tabuľku B x x x x x 4 x 5 x 6 x 7 7 4 9 98 5 4 x 5 4 4 4 x 4 4 x 7 4 4 4 Pri výbere stĺpca reprezentovaného premennou x podľa Blandovho pravidla je pivotom číslo pre riadok premennej x, pretože B = 5, B = a min{b, B } =. Po prepivotovaní pivotom dostávame tabuľku B x x x x x 4 x 5 x 6 x 7 9 4 4 x 5 5 x 4 x 7 5

9.4. RIEŠENÉ PRÍKLADY Nakoniec, pri výbere stĺpca reprezentovaného premennou x je z jednoznačnosti pivotom číslo pre riadok premennej x 7 a dostávame nasledujúcu tabuľku B x x x x x 4 x 5 x 6 x 7 8 4 8 x 5 x x 4 5 Pomocné nebázické premenné x 6 a x 7 majú kladné relatívne ceny, preto má úloha jedno optimálne riešenie a to x opt = (,,, ) a f opt ( x) =. Úloha.4 Malý podnikateľ vo svojej dielničke vyrába dva typy výrobkov: výrobok A a výrobok B. Zamestnáva dvoch zamestnancov, ktorých produktivita je približne rovnaká. Výroba jedného výrobku A trvá 4 hodiny, jeho záverečné opracovanie trvá hodinu, pri výrobku B je to 9 hodín na výrobu a hodiny na záverečné opracovanie. Každý kus výrobku zaberá na sklade m a kapacita skladu je m. Na výrobu výrobkov má podnikateľ maximálne 48 hodín a na záverečné opracovanie maximálne hodín. Zisk z predaja jedného výrobku A je 65 e a výrobku B je 48 e. Koľko kusov a ktorého typu má podnikateľ vyrobiť, aby bol zisk maximálny? (V prípade možného zacyklenia je potrebné použiť Blandovo pravidlo.)

KAPITOLA. ANTICYKLICKÉ PRAVIDLÁ Riešenie: Nech premenné x a x označujú počet výrobkov typu A a B. f(x, x ) = 65x + 48x max, 4x + 9x 48, x + x, x + x, x, x. Zavedieme pomocné premenné x, x 4 a x 5, ktoré budú zároveň bázické: f(x, x ) = 65x + 48x max, a zapíšeme danú úlohu do simplexovej tabuľky 4x + 9x + x = 48, x + x + x 4 =, x + x + x 5 =, x,..., x 5. B x x x x x 4 x 5 65 48 x 48 4 9 x 4 x 5 Na základe Blandovho pravidla pre výber stĺpcov, je prvým stĺpcom zľava so zápornou relatívnou cenou stĺpec pre premennú x a pivotom číslo 4 pre riadok premennej x, pretože B =, B = 4, B = 5 a min{b, B, B } =. Po príslušnom prepivotovaní dostávame tabuľku B x x x x x 4 x 5 78 9 4 x 9 4 65 4 4 x 4 4 4 x 5 5 4 4 Pomocná nebázická premenná x má kladnú relatívnu cenu, preto má úloha jedno optimálne riešenie a to x opt = (, ) a f opt ( x) = 78.

.5. NERIEŠENÉ ÚLOHY.5 Neriešené úlohy. Lexikografické usporiadanie vektorov. Sú dané vektory z aritmetického vektorového priestoru R 6 : a = (,,,,, 5), b = (,, 6, 6, 5, 6), c = (,,, 5, 6, 7), d = (,, 6, 5, 4, ), e = (, 7, 7, 6, 5, 4), f = ( 6, 8,,,, ). a) Ktorý z vektorov a,..., f je lexikograficky kladný? b) Ktorý z vektorov a,..., f je lexikograficky záporný? c) Usporiadajte vektory a,..., f lexikograficky vzostupne (od lex. najväčšieho po lex. najmenší).. Vypočítajte všetky vhodné celočíselné ohodnotenia premenných a, b a c, pre ktoré platí a, b, c 5, 5 tak, aby vektory x, y a z boli lexikograficky usporiadané vzostupne (od lexikograficky najväčšieho po lexikograficky najmenší), ak x = (a,, ), y = (, b, ), z = (c,, ).. Je daná simplexová tabuľka s parametrami a, b, c, d, e, f a g. B x x x x x 4 x 5 x 6 x 7 5 4 x a b x 5 4 c d x 4 e 4 x 7 f g Určte všetky vhodné celočíselné ohodnotenia parametrov a, b, c, d, e, f a g tak, aby po ich dosadení do simplexovej tabuľky a následnom aplikovaní lexikografického pravidla nahradila premenná x 4 v báze premennú x 5. Pre premenné platia nasledovné podmienky: b 5; d 6 a 4 g..4 Vypočítajte optimálne riešenie úlohy, ktorej postupným riešením vznikla nasledovná simplexová tabuľka (nie sú tam pomocné premenné)

KAPITOLA. ANTICYKLICKÉ PRAVIDLÁ B x x x x x 4 x 5 x 6 x 7 4 5 x 5 5 8 x x 8 x 4.5 Vypočítajte optimálne riešenie úlohy zapísanej do simplexovej tabuľky, v ktorej sú pomocné premenné x 4, x 5 a x 6. B x x x x x 4 x 5 x 6 5 6 x 4 x 5 x 6 4.6 Riešte zadanú úlohu lexikografickým pravidlom: f(x, x, x, x 4, x 5 ) = x + 4x + x + 6x 4 + 5x 5 min, x + x + x 5 = 9, x x + x 4 + x 5 = 8, x + x + x + x 5 = 9, x,...,5..7 Riešte zadanú úlohu lexikografickým pravidlom: f(x, x, x ) = 4x 4x x max, x + x + x, x x + x, x + x x, x,...,.

.5. NERIEŠENÉ ÚLOHY.8 Riešte zadanú úlohu lexikografickým pravidlom: f(x, x, x, x 4 ) = x + x + x min, x + x + x =, x + x + 6x =, 4x + 9x = 5, x + x 4 =, x,...,4..9 Riešte zadanú úlohu lexikografickým pravidlom: f(x, x, x, x 4 ) =,75x + x,5x + 6x 4 min,,5x 8x x + 9x 4,,5x x, 5x + x 4, x, x,...,4.. Riešte zadanú úlohu lexikografickým pravidlom: f(x, x, x, x 4 ) = x 57x 9x 4x 4 max,,5x 5,5x,5x + 9x 4,,5x,5x,5x + x 4, x, x,...,4.. Riešte zadanú úlohu lexikografickým pravidlom: f(x, x, x ) = 8x 4x 5x max, x x, x x x, x, x,...,.. Riešte zadanú úlohu lexikografickým pravidlom: f(x, x, x, x 4 ) = x + x + x min, x + x + x =, x + x + 6x =, 4x + 9x = 5, x + x 4 =, x,...,4.

KAPITOLA. ANTICYKLICKÉ PRAVIDLÁ 4. Riešte zadanú úlohu lexikografickým pravidlom: f(x, x, x ) = x x x min, x + 4x + x 8, x + 4x 8, x + x,.4 Riešte zadanú úlohu lexikografickým pravidlom: x,...,. f(x, x, x ) = 5x + 6x x max, x + x x, x + x x, 4x x, x,...,..5 Čokoládovňa vyrába druhy čokolád V, V a V. K dispozícii sú obmedzené množstvá štyroch základných surovín: tuk kg, kako 5 kg, cukor kg a oriešky 5 kg. Na výrobu kg čokolády V je potrebných, kg tuku,,5 kg kakaa,, kg cukru a, kg orieškov. Na výrobu kg čokolády V je potrebných, kg tuku,, kg kakaa,, kg cukru a,5 kg orieškov. Na výrobu kg čokolády V je potrebných, kg tuku,, kg kakaa,, kg cukru a,4 kg orieškov. kg V sa predáva za, e; kg V za, ea kg V za e. Určte výrobný program tak, aby bol maximálny zisk z predaja čokolády. (V prípade možného zacyklenia je potrebné použiť lexikografické pravidlo.).6 Určte všetky vhodné celočíselné ohodnotenia premenných b, d a g tak, aby po ich dosadení do simplexovej tabuľky a následnom aplikovaní Blandovho pravidla nahradila premenná x 4 v báze premennú x 5. Pre premenné platí: b, d 4 a 6 g. B x x x x x 4 x 5 x 6 x 7 5 4 x b x 5 d x 4 4 x 7 6 g.7 Vypočítajte optimálne riešenie úlohy použitím Blandovho pravidla, ktorej postupným riešením vznikla nasledovná simplexová tabuľka (nie sú tam pomocné premenné):

5.5. NERIEŠENÉ ÚLOHY B x x x x x 4 x 5 x 6 x 7 4 5 x 5 5 8 x x 8 x 4.8 Riešte zadanú úlohu Blandovým pravidlom: f(x, x, x, x 4 ) = x + x + x x 4 max,.9 Riešte zadanú úlohu Blandovým pravidlom: x + x + x + x 4 4, x + x + x x 4, x x + x + x 4, x,...,4. f(x, x, x ) = 4x 4x x max,. Riešte zadanú úlohu Blandovým pravidlom: x + x + x, x x + x, x + x x, x,...,. f(x, x, x ) = 8x 4x 5x max,. Riešte zadanú úlohu Blandovým pravidlom: x x, x x x, x, x,...,. f(x, x, x ) = x + x + 5x min, x + x + 4x + x 4 = 8, x x + x + x 4 =, x + x x + x 4 = 8, x,...,4.

KAPITOLA. ANTICYKLICKÉ PRAVIDLÁ 6. Riešte zadanú úlohu Blandovým pravidlom: f(x, x, x ) = x + x + x max, x + x, x + x, x,...,.. Riešte zadanú úlohu Blandovým pravidlom: f(x, x, x, x 4, x 5 ) = x 6x + 5x 4 + 9x 5 min, x + 6x + 4x 4 x 5 = 9, 4x + 5x + 6x + x 5 = 5, x,...,5..4 Riešte zadanú úlohu Blandovým pravidlom: f(x, x, x ) = x + x + x max, x + x, x + x 5, x,...,..5 Riešte zadanú úlohu Blandovým pravidlom: f(x, x, x, x 4, x 5 ) = x + 4x + x + 6x 4 + 5x 5 min, x + x + x 5 = 9, x x + x 4 + x 5 = 8, x + x + x + x 5 = 9, x,...,5..6 Riešte zadanú úlohu Blandovým pravidlom: f(x, x, x ) = x x min, x + 4x + x 8, x + 4x 8, x + x, x,...,.

7.6. VÝSLEDKY NERIEŠENÝCH ÚLOH.6 Výsledky neriešených úloh. a) a, b, d, e b) c, f c) e, d, a, b, c, f. a {4,..., }, b { 4,..., 4}, c { 4,..., }, resp. a {4,..., }, b {, 4}, c =, resp. a =, b { 4,..., }, c { 4,..., }. nemá riešenie.4 x opt = ( ; ; ; ; 7 ; ; 6 ).5 neohraničená úloha (λ,, λ) pre λ.6 x opt = (; ; ; ; ) a f opt ( x) = 7.7 x opt = (; ; ) a f opt ( x) = 4.8 x opt = ( ; 5 4 ; ; ) a f opt ( x) = 7 4.9 x opt = (; ; ; ) a f opt ( x) = 5 4. x opt = (; ; ; ) a f opt ( x) =. x opt = (; ; ) a f opt ( x) = 8. x opt = (; ; ; ) a f opt ( x) = 6. x opt = (; ; ) a f opt ( x) = 8.4 neohraničená úloha (λ,, λ) pre λ.5 x opt = ( 85 5 ; ; ; 9 9 ) a f opt ( x) = 65 9.6 g {6, 7, 8}, d = 4, b {, }, resp. g = 6, d =, b =.7 x opt = ( ; ; ; ; 7 ; ; 6 ).8 x opt = (; ; ; ) a f opt ( x) = 6.9 x opt = (; ; ) a f opt ( x) = 4. x opt = (; ; ) a f opt ( x) = 8. x opt = (; ; ; ) a f opt ( x) = 6. x opt = (; ;, 9) a f opt ( x) =,9

KAPITOLA. ANTICYKLICKÉ PRAVIDLÁ 8. x opt = (; ; ; ; ) a f opt ( x) =.4 x opt = (; ; 5 ) a f opt ( x) = 5.5 x opt = (; ; ; ; ) a f opt ( x) = 7.6 x opt = (; ; ) a f opt ( x) = 8

Kapitola Ďalšie spôsoby riešenia optimalizačných úloh. Revidovaná simplexová metóda Cieľom revidovanej simplexovej metódy je urýchliť výpočet, t. j. pri výpočte vykonať menej operácií ako pri štandardnej simplexovej metóde. Myšlienka metódy spočíva v tom, že pri každej iterácii nie je potrebné prepočítavať hodnoty celkovej simplexovej tabuľky, ale postačuje nato len poznatok správania sa množiny bázických indexov B a matice B. Na začiatku je potrebné určiť vektor u a jednotlivé kroky iterácií budú reprezentované indexom s. Celkový popis algoritmu môžeme vidieť nižšie. ALGORITMUS: K: (Štartovací krok) polož s = a Bs = I, kde I je jednotková matica a nech u(s) = je počiatočný nulový vektor. K: (Test optimality) vypočítaj redukované ceny z s j pre j =,..., n podľa vzťahu z s j = u(s) j a j c j. (.) Ak z s j pre každé j =,..., n a u(s) j pre každé j =,..., m, tak riešenie je optimálne a algoritmus končí. K: (Voľba vstupnej premennej) polož: z s n+j = u(s) j, pre j =,..., m, (.) z s k = min j=,...,n+m {zs j }. (.) Index k, pri ktorom nastáva dané minimum, nám určí novú vstupnú premennú x k. 9

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH K4: (Voľba výstupnej premennej) výpočet stĺpca a s k = Bs a k a výber pivota na základe štandardných predpokladov simpexovej metódy. K5: prepočtom tabuľky podľa stanoveného pivota získavame vektor x s+ s príslušnou hodnotou účelovej funkcie z s+. K6: nárast iterácie s s + a nasleduje krok K. Pomocou numerických experimentov je možné ukázať, že pre štandardné úlohy z praxe, t. j. keď má matica ohraničení pomerne menej riadkov ako stĺpcov, je výhodnejšie použiť revidovanú simplexovú metódu. Ďalšou výhodou jej použitia je aj fakt, že v prípade veľkej simpelxovej tabuľky, môže dôjsť k veľkému počtu chýb, čo sa prejaví po viacerých iteráciách ako priveľká zmena pôvodnej úlohy. Ak však pri použití revidovanej metódy po niekoľkých iteráciách prepočítame inverziu matice B, tak sa vrátime k pôvodnej úlohe. Inverznú maticu môžeme vypočítať rôznymi numerickými metódami, no nakoľko sa inverzia matice nedá určiť ľahko, tak sa neodporúča v prípade použitia revidovanej simplexovej metódy prepočítavať inverziu matice B v každej iterácii.. Duálny simplexový algoritmus Na úvod je potrebné si zopakovať dôležité pojmy: Úlohu LP nazývame prípustnou, ak má aspoň jedno prípustné riešenie. V opačnom prípade ju nazývame neprípustnou. Simplexová tabuľka je primárne prípustná, ak x i pre každé i =,..., m. Simplexová tabuľka je duálne prípustná, ak x j pre každé j =,..., n. Simplexová tabuľka úlohy LP je optimálna, ak je primárne aj duálne prípustná. Ak úloha LP nie je primárne prípustná, tak teória duality nám umožňuje riešiť namiesto danej primárnej úlohy k nej príslušnú duálnu úlohu a následne z optimálnej tabuľky určiť výsledok aj pre pôvodnú primárnu úlohu. Carlton E. Lemke (954) (pozri []) navrhol postup, pomocou ktorého môžme riešiť priamo pôvodnú primárnu úlohu bez nejakého explicitného prechodu k duálnej úlohe. Keďže v daných krokoch postupujeme po prípustných riešeniach duálnej úlohy, tak algoritmus dostal aj názov duálna simplexová metóda. Zapísaním úlohy do simplexovej tabuľky, ktorá musí byť duálne prípustná, sa snažíme dosiahnuť aj primárnu prípustnosť vhodným výberom pivota spomedzi záporných elementov podľa istého pravidla, ktoré nám zabezpečí po prepivotovaní duálnu prípustnosť.

.. DUÁLNY SIMPLEXOVÝ ALGORITMUS ALGORITMUS: Nech je úloha LP duálne prípustná, ale nie je primárne prípustná K: vyber i-ty riadok i {,..., m}, pre ktorý platí x i <, K: vyber j-ty stĺpec j {,..., n} s pivotom x ij < tak, aby platilo λ = x { } i xk = max : prektaké, žex ik <, (.4) x ij x ik K: ak v každom riadku, v ktorom je x i < je aj x ij pre každé j {,..., n}, tak úloha LP je neprípustná. Použitie duálneho algoritmu: nevýhodou algoritmu je, že prípustné riešenie nájdeme až vtedy, keď je zároveň optimálne, t. j. na konci výpočtov; významné využitie má hlavne v parametrickom a celočíselnom programovaní. Postup pre dosiahnutie duálnej prípustnosti: V tejto časti vysvetlíme ako postupovať resp. dosiahnuť, aby bola úloha duálne prípustná v prípade, ak nie je. P: (Umelé ohraničenie) Vytvoríme umelé ohraničenie x j M, (.5) j N kde M je veľké číslo. (V úlohách z praktického života vieme nájsť takéto ohraničenie s požiadavkou, aby dané obmedzenie neovplyvnilo optimálne riešenie pôvodnej úlohy.) Pridaním pomocnej premennej x n+ do danej nerovnosti, rozšírime pôvodnú simplexovú tabuľku o riadok a o stĺpec. Ak vyberieme pivota zo stĺpca s minimálnou zápornou relatívnou cenou a z novopridaného riadku tabuľky, tak následným prepivotovaním dosiahneme duálne prípustnú úlohu. P: (Dvojfázová Primárno-Duálna metóda) Nech úloha nie je primárne ani duálne prípustná t. j., ani b a ani c. Zmeníme účelovú funkciu c c tak, aby c a riešime úlohu duálnym algoritmom. V prípade, ak skončí neprípustne, tak aj pôvodná úloha je neprípustná. Ak skončí optimálne, tak v druhej fáze zavedieme pôvodnú účelovú funkciu a riešime ju primárnym simplexovým algoritmom.

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH. Penalizačná a bariérová metóda Metódu penalizačnej funkcie navrhol C. W. Carrol (pozri [6]) a neskôr ju podrobnejšie spracovali Anthony V. Fiacco a Garth P. McCormick (pozri [8]). Za základnú myšlienku môžeme považovať nahradenie úlohy na viazaný extrém postupnosťou úloh na voľný extrém. Dôvodom je, že takýto prístup je menej algoritmicky náročný. V každej takejto iterácii sa bude riešiť pomocná úloha na voľný extrém, ktorá bude závislá od parametra. Postupnosť takýchto riešení bude následne konvergovať k optimálnemu riešeniu pôvodnej úlohy. Nakoľko sa účelová funkcia dvoch po sebe riešených úloh líši len minimálne, tak riešenie získané v k-tej iterácii je dobrým odhadom pre riešenie, ktoré získame v k + -vej iterácii. Penalizačná metóda je určená pre úlohy typu: min{f( x) : x M}, (.6) kde M Ω R n, M je uzavretá a Ω je otvorená množina. Je to všeobecnejší postup pre optimalizačné úlohy, ktorý je možné modifikovať aj pre úlohy LP. Zavedieme penalizačnú funkciu Ψ : Ω R +, ktorá spĺňa podmienku Ψ( x) = pre x M a rastie so vzdialenosťou od množiny M. Cieľom úlohy je stanoviť min{f( x) + µψ( x) : x Ω}, t. j. k účelovej funkcii pridáme funkciu, ktorá bude penalizovať porušenie každého ohraničenia. Ak máme ohraničenie v tvare h( x) =, tak penále by mohlo byť v tvare µ h ( x). V prípade ohraničenia g( x) penále, napr. v tvare µ max{, g( x)}. Teda v prípade takéhoto prístupu by bolo kritérium pre p N, zvyčajne pre p =, v tvare: m n σ( x) = [max{, g i ( x)}] p + h k ( x) p. (.7) i= i= Myšlienku celého procesu popisuje nasledovný algoritmus: ALGORITMUS: K: Zvolíme kritérium ukončenia ε >, index k =, východiskový bod x k, východiskový penalizačný parameter µ k a koeficient zmeny penalizačného parametra b. K: Pre východiskový bod x k vyriešime úlohu F ( x) = f( x) + µ k.σ( x). Jej vyriešením získame bod x µk a položíme x k+ = x µk. K: Ak µ k σ( x) < ε, tak koniec. Inak µ k+ = b.µ k, k = k + a pokračujeme krokom K. Bariérová metóda je určená pre úlohy typu min{f( x) : x M}, (.8) kde M R n a M je uzavretá množina, pre ktorú platí uzáver(int(m)) = M. Vhodnou bariérovou funkciou je Θ : M R +, ktorá spĺňa podmienku Θ( x) = + pre x σ(m) a rastie tým viac, čím bližšie je k hranici množiny M. Princíp bariérových funkcií teda

.4. RIEŠENÉ PRÍKLADY spočíva v tom, že sa vytvorí pomocná funkcia, ktorá má mimo oblasť a tiež na jej hranici veľmi veľké hodnoty. A tak pri približovaní sa k hranici oblasti, hodnota pomocnej funckie neohraničene narastá. Metóda si vyžaduje, aby množina prípustných riešení úlohy mala neprázdne vnútro a preto je vhodná pre nerovnosti g j (x) a nie pre úlohy s rovnicami. Typickým tvarom bariérovej funckie sú: B( x) = B( x) = n j= n j= g j ( x), (.9) log(g j ( x)). (.) Skutočné riešenia častokrát zvyknú ležať na hranici oblasti, pokiaľ je niektoré z ohraničení aktívne. Nato, aby sme sa dopracovali k riešeniu, budeme riešiť postupnosť úloh, pri ktorej sa bude bariéra postupne znižovať. ALGORITMUS: K: Pre ε >, x int(m) ľubovoľné, < β < a k =. K: Vypočítame x k+, ako optimálne riešenie úlohy min{f( x) + v j Θ( x) : x int(m)}. K: Ak v j Θ( x k+ ) < ε, tak koniec, inak v k+ = β v j, k = k + a zopakuj Krok K..4 Riešené príklady Úloha. Pomocou revidovanej simplexovej metódy vyriešte nasledujúci problém: 4x + x max, x + x 6, x + x 6, x 8, x, x. Riešenie: V prvom kroku zavedieme vhodným spôsobom pomocné premenné x, x 4 a x 5, ktoré budú zároveň bázické. 4x + x max, x + x + x = 6, x + x + x 4 = 6, x + x 5 = 8, x...,5.

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH 4 Taktiež určíme maticu ohraničení A v tvare: A =. V kroku pre s =, B s = I a u s = prepíšeme hodnoty do tabuľky s = B s b s x 6 x 4 6 x 5 8 u s V kroku vykonáme test optimality pre s = : u s A c = ( ) ( 4 ) = ( 4 ), a tak podľa stanoveného kritéria z s = ( 4 ) nie je optimálne. V kroku určíme z s k = min j {z s j } = 4. Minimum nastáva pre index j =, a tak k = a vstupom je premenná x. V kroku 4 vytvoríme rozšírenú tabuľku v tvare s = B s b s a k a s k b j a jk x 6 x 4 6 6 x 5 8 8 u s 4 kde hodnoty v stĺpci tabuľky pre a s k získame zo vzťahu: a s k = =. Minimálna hodnota v poslednom stĺpci tabuľky nám pomôže pri výbere pivota, podľa ktorého bude tabuľka v ďalšom kroku algoritmu prepivotovaná. Minimálna hodnota je 8, a tak pivotom je v stĺpci reprezentovanom premennou a s k a riadku reprezentovanom premennou x 5. V krokoch 5 a 6 následne dostávame pre s s +, t. j. pre s =.

5.4. RIEŠENÉ PRÍKLADY s = B s b s x 6 x 4 8 x 8 u s 4 756 Opätovne v kroku pre s = vykonáme test optimelity: u s A c = ( 4 ) ( 4 ) = ( ), a tak podľa stanoveného kritéria z s = ( 4 ) nie je optimálne. V kroku určíme z s k = min{z s j } =. Minimum nastáva pre index j =, a tak k = a vstupom je premenná x. V kroku 4 vytvoríme rozšírenú tabuľku v tvare s = B s b s a k a s k b j a jk x 6 x 4 8 8 x 8 u s 756 kde hodnoty v stĺpci tabuľky pre a s k získame zo vzťahu: a s k = =. Minimálna hodnota v poslednom stĺpci tabuľky nám pomôže pri výbere pivota, podľa ktorého bude tabuľka v ďalšom kroku algoritmu prepivotovaná. Minimálna hodnota je, a tak pivotom je v riadku reprezentovanom premennou x. V krokoch 5 a 6 následne dostávame pre s s +, t. j. pre s = : s = B s b s x x 4 5 x 8 u s 5 846

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH 6 Opätovne v kroku pre s = vykonáme test optimality: u s A c = ( 5 ) ( 4 ) = ( ), a tak podľa stanoveného kritéria z s = ( 5 ) nie je optimálne. V kroku určíme z s k = min{z s j } =. Minimum nastáva pre index j = 5, a tak k = 5 a vstupom je premenná x 5. V kroku 4 vytvoríme rozšírenú tabuľku v tvare s = B s b s a k a s k b j a jk x x 4 5 x 8 8 u s 5 846 kde hodnoty v stĺpci tabuľky pre a s k získame zo vzťahu: a s k = = Minimálna hodnota v poslednom stĺpci tabuľky nám pomôže pri výbere pivota, podľa ktorého bude tabuľka v ďalšom kroku algoritmu prepivotovaná. Minimálna hodnota je, a tak pivotom je v riadku reprezentovanom premennou x 4. V krokoch 5 a 6 následne dostávame pre s s +, t. j. pre s = 4: s = 4 B s b s x 8 x 5 x 8 u s 6 876 Opätovne v kroku pre s = 4 vykonáme test optimality: u s A c = ( 6 ) ( 4 ) = ( ), a tak podľa stanoveného kritéria je z s = ( 6 ) hľadané optimum. Hľadaným optimálnym riešením je x opt = (8, 8) a f opt = 876..

7.4. RIEŠENÉ PRÍKLADY Úloha. Pomocou revidovanej simplexovej metódy vyriešte nasledujúci problém: f(x, x, x ) = x + 6x + 6x max, x + x + x 6, x + x + 4x 4, x, x, x. Riešenie: V prvom kroku zavedieme vhodným spôsobom pomocné premenné x 4 a x 5, ktoré budú zároveň bázické. Dostaneme úlohu v štandardnom tvare: f(x, x, x ) = x 6x 6x min, x + x + x + x 4 = 6, x + x + 4x + x 5 = 4, Taktiež určíme maticu ohraničení A v tvare: ( ) A =. 4 V kroku pre s =, B s x,..., x 5. = I a u s = prepíšeme hodnoty do tabuľky s = B s b s x 4 6 x 5 4 u s V kroku vykonáme test optimality pre s = : u s A c = ( ) ( ) ( 6 6 ) = ( 6 6 ), 4 a tak podľa stanoveného kritéria z s = ( 6 6 ) nie je optimálne. V kroku určíme z s k = min j {z s j } = 6. Minimum nastáva pre index j =, a tak k = a vstupom je premenná x. V kroku 4 vytvoríme rozšírenú tabuľku v tvare s = B s b s a k a s k b j a jk x 4 6 8 x 5 4 4 4 u s 6

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH 8 kde hodnoty v stĺpci tabuľky pre a s k získame zo vzťahu: a s k = ( ) ( ) = 4 ( ). 4 Minimálna hodnota v poslednom stĺpci tabuľky nám pomôže pri výbere pivota, podľa ktorého bude tabuľka v ďalšom kroku algoritmu prepivotovaná. Minimálna hodnota je, a tak pivotom je 4 v stĺpci reprezentovanom vektorom a s k a riadku reprezentovanom premennou x 5. V krokoch 5 a 6 následne dostávame pre s s +, t. j. pre s = tabuľku s = B s b s x 4 6 x 4 u s 5 6 Opätovne v kroku pre s = vykonáme test optimality: u s A c = ( 5 ) ( ) ( 6 6 ) = ( 8 6 ), 4 a tak podľa stanoveného kritéria z s = ( 8 6 5 ) nie je optimálne. V kroku určíme z s k = min{z s j } = 6. Minimum nastáva pre index j =, a tak k = a vstupom je premenná x. V kroku 4 vytvoríme rozšírenú tabuľku v tvare s = B s b s a k a s k b j a jk x 4 6 6 x 4 u s 5 6 6 6 kde hodnoty v stĺpci tabuľky pre a s k získame zo vzťahu: a s k = ( 4 ) ( ) ( ) =. Minimálna hodnota v poslednom stĺpci tabuľky nám pomôže pri výbere pivota, podľa ktorého bude tabuľka v ďalšom kroku algoritmu prepivotovaná. Minimálna hodnota je 6, a tak pivotom je v riadku reprezentovanom premennou x 4. V krokoch 5 a 6 následne dostávame pre s s +, t. j. pre s = tabuľku

9.4. RIEŠENÉ PRÍKLADY s = B s b s x 6 x u s 6 696 Opätovne v kroku pre s = vykonáme test optimality: u s A c = ( 6 ) ( ) ( 6 6 ) = ( 8 ), 4 a tak podľa stanoveného kritéria z s = ( 8 6 ) je optimálne. Hľadaným optimálnym riešením je vektor x opt = (, 6, ) a f opt = 696. Úloha. Pomocou duálneho algoritmu vyriešte nasledujúci problém: f(x, x, x, x 4 ) = x + x + x 4 min, x x + x 4, x + x x + 4x 4 4, x,...,4. Riešenie: V prvom kroku zavedieme vhodným spôsobom pomocné premenné x 5 a x 6, ktoré budú zároveň bázickými a zapíšeme danú úlohu do simplexovej tabuľky. f(x, x, x, x 4, x 5, x 6 ) = x + x + x 4 min, x + x x 4 + x 5 =, x + x x + 4x 4 + x 6 = 4, x,...,6. B x x x x x 4 x 5 x 6 x 5 x 6 4 4 Pri výbere riadka reprezentovaného premennou x 5 je z jednoznačnosti pivotom, keďže max {, } = =. Pivotujeme a dostávame nasledujúcu tabuľku

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH 4 B x x x x x 4 x 5 x 6 x 4 x 6 Pri výbere riadka reprezentovaného premennou x 6 je opäť jednoznačným pivotom a po prepivotovaní tabuľky dostávame: B x x x x x 4 x 5 x 6 7 5 5 x 4 x Pomocné nebázické premenné x 5 a x 6 už majú kladné relatívne ceny a preto má úloha optimálne riešenie vektor x opt = (,,, ) a f opt = 7. Úloha.4 Výrobca čaju vyrába dva druhy čaju zo zmesi šalvie a mäty. Potrebné množstvá na výrobu jedného sáčku čaju (8 g) sú uvedené v nasledujúcej tabuľke: šalvia mäta I. druh g g II. druh 5 g 6 g Na sklade majú k dispozícii nanajvýš kg šalvie a aspoň,5 kg mäty. Jeden sáčok čaju I. druhu stojí, e a sáčok čaju II. druhu stojí, e. Koľko sáčkov z jednotlivých druhov čaju má výrobca vyrobiť, aby jeho zisk bol maximálny možný? Riešenie: Zostavíme príslušnú účelovú funkciu a ohraničenia našej úlohy, kde x a x budú predstavovať počet vyprodukovaných sáčkov čajov I. a II. druhu. Dostávame úlohu lineárneho programovania v tvare: f(x, x ) = x + x max, x + 5x, x + 6x 5, x, x.

4.4. RIEŠENÉ PRÍKLADY Pomocou pomocných premenných s a s dostávame úlohu LP do štandardného tvaru: f( x) = x x min, x + 5x + s =, x 6x + s = 5, x, x, s, s. Keďže daná úloha nie je ani primárne a ani duálne prípustná, tak ju môžeme riešiť napríklad pomocou umelého ohraničenia. V našom prípade by to mohlo byť ohraničenie x + x, ktoré určite neovplyvní optimálne riešenie pôvodnej úlohy. V ďalšom kroku je potrebné zavedenie pomocnej premennej s pre nové ohraničenie, a tak následne dostávame úlohu LP v tvare: f(x +, x, s, s, s ) = x x min, x + 5x + s =, x 6x + s = 5, x + x + s =, x, x, s, s, s. Danú úlohu môžeme zapísať do simplexovej tabuľky: B x x x s s s s 5 s 5 6 s V nultom riadku je minimálnym prvkom v stĺpci reprezentovanom premennou x, a tak sa pivotom stáva v riadku reprezentovanom premennou s. Po jeho následnom prepivotovaní dostávame už duálne prípustnú úlohu: B x x x s s s s 49 5 s 59 5 4 6 x

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH 4 Pri výbere riadka reprezentovaného premennou s je z jednoznačnosti pivotom, keďže max {, } 5 =. Dostávame tabuľku: B x x x s s s 5 5 x 4 5 5 s 8 5 4 x 4 5 Pri výbere riadka reprezentovaného premennou s je z jednoznačnosti pivotom 4 a tabuľka má tvar: B x x x s s s 75 4 875 x 4 8 5 8 s 9 65 4 x 5 4 8 Pri výbere riadka reprezentovaného premennou x je z jednoznačnosti pivotom, 8 keďže platí: max {,75, },5,5,75 =,5. Potom dostávame tabuľku:,75 B x x x s s s x s 9 s 5 8 Pomocná nebázická premenná s má už kladnú relatívnu cenu, a preto má úloha optimálne riešenie vektor x opt = (, ) a f opt =. Z optimálneho riešenia vidíme, že producent čaju by mal vyrábať sáčkov I. druhu. Úloha.5 Pomocou duálneho algoritmu vyriešte nasledujúci problém: f(x, x, x ) = x + x + x min, x + x + x, 4x x, 4x x + x, x,...,.

4.4. RIEŠENÉ PRÍKLADY Riešenie: V prvom kroku zavedieme vhodným spôsobom pomocné premenné x 4, x 5 a x 6, ktoré budú zároveň bázickými a zapíšeme danú úlohu do simplexovej tabuľky: f( x) = x + x + x min, x + x + x + x 4 =, 4x + x + x 5 =, 4x x + x + x 6 =, x,...,6. B x x x x x 4 x 5 x 6 x 4 x 5 4 x 6 4 Daná úloha je duálne prípustná a tak môžeme použiť duálny algoritmus. Pri výbere riadka reprezentovaného premennou x 6 je z jednoznačnosti pivotom : B x x x x x 4 x 5 x 6 7 x 4 5 5 x 5 x 4 Pri výbere riadka reprezentovaného premennou x 4 je z jednoznačnosti pivotom 5 : B x x x x x 4 x 5 x 6 4 5 7 4 5 5 x 6 5 5 5 x 5 x 5 4 5 5 Pri výbere riadka reprezentovaného premennou x 5 nie je možnosť výberu pivota a tak je úloha neprípustná.

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH 44.5 Neriešené úlohy. Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x, x ) = x + 6x + 6x max, x + x + x 6, x + x + 4x 4, x, x, x.. Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x, x ) = x x + x max, x x + x, x + x + x 4, x, x, x.. Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x, x ) = x + 6x + 6x max, x + x + x 6, x + x + 4x 4, x, x, x..4 Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x, x ) = 9x + 95x + 85x max, x + x + x 4, x + x + x 5, x, x, x..5 Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x, x, x 4 ) = x 4x + x x 4 min, 4x + x 4x + x 4, x + x + x x 4, x,...,4.

45.5. NERIEŠENÉ ÚLOHY.6 Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x ) = x + 5x max, x + x, x + x, x, x, x, x..7 Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x ) = 4x + 7x max, x + x 6, x + x 48, x, x 5, x, x..8 Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x, x ) = 5x + 8x + x max, x + x + x 8, x + x + 4x, x, x, x..9 Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x, x ) = x + x max, x x + x, x + x 8x, x, x, x.. Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x, x ) = x + 7x max, 4x + x 8, 4x + x 46, x, x, x.

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH 46. Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x, x ) = 4x 4x x max, x + x + x, x x + x, x + x x, x,...,.. Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x, x ) = 4x x 8x max, x + x x 4, x + x 5x, x,...,.. Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x, x ) = x + x + x max, x + x, x + x, x,...,..4 Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x, x ) = 8x 4x 5x max, x x, x x x, x, x,...,..5 Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x ) = x + 5x max, x + x 6, x + x 8, x + x, x, x.

47.5. NERIEŠENÉ ÚLOHY.6 Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x ) = x x max, x + x 8, x + x, x x, x, x..7 Revidovanou simplexovou metódou vyriešte úlohu LP: f(x, x ) = x 4x max, x x, x + x 4, x 9, x, x..8 Máme k dispozícii 8 tyčí dĺžky 9 m. Potrebujeme narezať aspoň 8 kusov 5-metrových tyčí, najviac 7 kusov 4-metrových tyčí a najviac kusov -metrových tyčí. Navrhnite optimálne riešenie tak, aby sme minimalizovali odpad. Je potrebné narezať všetky tyče, t. j. nenarezaná tyč je odpadom..9 Máme k dispozícii 5 tyčí dĺžky m. Potrebujeme narezať aspoň kusov 5- metrových tyčí, aspoň 8 kusov 4-metrových tyčí a najviac 8 kusov -metrových tyčí. Navrhnite optimálne riešenie tak, aby sme minimalizovali odpad. Je potrebné narezať všetky tyče, t. j. nenarezaná tyč je odpadom.. Použitím metódy penalizačnej funkcie vypočítajte extrém funkcie: a) f(x) = x + 7 min pri ohraničení x 4 = ; b) f( x) = (x 4) + (x 5) min pri ohraničení x + x + 6 = ; c) f(x) = x x min pri ohraničení x ; d) f( x) = x + x min pri ohraničeniach x + x 6 a x x = ; e) f( x) = x + x min pri ohraničení x + x = ; f) f( x) = 5x + x min pri ohraničení x + x =.. Použitím metódy bariérovej funkcie vypočítajte extrém funkcie: a) f( x) = x + (x ) min pri ohraničení x + 4 a x + ; b) f( x) = x + 9x min pri ohraničení x + x 4.

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH 48. Drobný podnikateľ predáva zemiakové lupienky a hranolčeky. Množstvo surovín potrebných na výrobu jednotlivých výrobkov a ceny výrobkov sú uvedené v nasledujúcej tabuľke: lupienky [ kg] hranolky [ kg] zemiaky [kg],5 olej [kg],4, cena [e/kg] Podnikateľ nakúpil pred začatím výroby 8 kg zemiakov a 5 kg oleja. Aké množstvo jednotlivých výrobkov má podnikateľ vyrábať, aby maximalizoval svoj zisk, ak podľa predpisov musí spotrebovať aspoň polovicu zakúpených zemiakov?. Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x, x 4 ) = x + x + x + x 4 min, x x + x 4, x + x + x 4, x x + x + 4x 4,.4 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: x,...,4. f(x, x ) = x x max, x + x 4, x x 4, x x, x, x..5 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x ) = x 7x x max, x x + x, 4x x x,.6 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: x,...,. f(x, x, x ) = x x x max, 4x x x 5, x x x, x,...,.

49.5. NERIEŠENÉ ÚLOHY.7 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x ) = x + x + x max, x + x 4, x + x + x 8, x x + x, x,...,..8 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x, X 4 ) = 4x x + x + 4x 4 max, x x + 6x + 8x 4 7, x x + x 5x 4 5, x + x 4x + x 4 9, x,...,4..9 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x ) = 4x x max, x + x, x + x =, x + 4x 4, x,.. Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x, x 4 ) = 4x + x x + x 4 min, 7x + x x x 4, x x + x =, x 5x + x x 4 =, x,...,4.. Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x ) = x 4x x max, 4x + x x, x x x, x,...,.

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH 5. Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x ) = x x max, x x, x x, x + 4x =, x,.. Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x, x 4 ) = x x + 4x + x 4 max, x + 6x + x + x 4, x + x + 5x + x 4 = 5, x + 4x + x 4 = 4, x,, x,4..4 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x ) = x + 7x min, x + x 4, x + x 5, x, x..5 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x ) = x + 4x + x min, 5x x x, 7x x + x, x x x, x...,..6 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x ) = x + x min, x + x 6, 4x + x 8, x + x, x, x.

5.5. NERIEŠENÉ ÚLOHY.7 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x ) = x + x + x min, x + x 4x = 5, x + x x = 6, x, x, x,..8 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x ) = 5x + x max, 4x + x, x + 4x, x + x 6, x, x..9 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x ) = x + x + 8x max, x + x + x, x + x + x 5, x + x + x = 4, x,...,..4 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x ) = 5x x max, x + x, x + x, x x, x, x..4 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x ) = x x + x max, 5x + x x, x x, 6x x + 5x = 9, x, x.

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH 5.4 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x, x 4 ) = x 4x + x + x 4 min, x + 4x 5x + x 4 =, x 5x + 4x + x 4 =, x x + 6x 6x 4 = 6, x,4, x,..4 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x, x ) = x + x + x min, x + x + x, 4x x, 4x x + x, x,...,..44 Riešte zadanú úlohu LP duálnym algoritmom: f(x, x ) = 8x + 5x max, x + 5x, 4x + x 6, x, x, x.

5.6. VÝSLEDKY NERIEŠENÝCH ÚLOH.6 Výsledky neriešených úloh. x opt = (, 6, ) a f opt = 696.. x opt = (,, ) a f opt =. x opt = (4, 6, ) a f opt = 7..4 x opt = (, 5, ) a f opt = 5..5 x opt = ( + λ, 4 + λ,, λ) ; λ..6 x opt = (7, ) a f opt = 85..7 x opt = (, ) a f opt =..8 x opt = (, 8, ) a f opt = 74..9 x opt = (,, 4) a f opt =.. x opt = (, 7, ) a f opt = 4.. x opt = (,, ) a f opt = 4.. x opt = (6 + λ,, 6 + λ) ; λ a f opt = 6.. x opt = (,,,9) a f opt =,9..4 x opt = (,, ) a f opt = 8.. x opt = (, 75) a f opt = 5.. x opt = (,,, ) a f opt = 4..4 Neohraničená úloha {( 5 4 + λ, 4 + λ ) ; λ }..5 x opt = (, 7, 7 ) a f opt = 78 7..6 x opt = (,, ) a f opt = 7..7 x opt = ( 5, 6 5, 5 ) a f opt = 5..8 x opt = (, 5,, ) a f opt = 7..9 x opt = ( 5, 7 ) a f opt =.. Neohraničená úloha {( 7 + λ, 65 + 8λ, 56 + 4λ, λ) ; λ }.. x opt = (7,, ) a f opt =.

KAPITOLA. ĎALŠIE SPÔSOBY RIEŠENIA OPTIMALIZAČNÝCH ÚLOH 54. x opt = (, ) a f opt =.. x opt = (,, 8, 5 5 5 ) a f opt =. 5.4 x opt = (5, ) a f opt =..5 x opt = (,, 5 ) a f opt =..6 x opt = (, 5 4 4 ) a f opt =. 4.7 Neprípustná úloha..8 x opt = (, ) a f opt =..9 ( + 6λ, λ, 5 5 λ) λ [, ] a f opt = 7..4 x opt = (4, ) a f opt =..4 x opt = (, 5, ) a f opt =..4 Neprípustná úloha..4 Neprípustná úloha..44 x opt = (, ) a f opt = 4.