3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1
Relácie Definícia. Nech X a Y sú dve množiny, relácia R je definovaná podmnožina karteziánskeho súčinu týchto množín R X Y X a b c X Y R d 1 2 3 4 Y Znázornenie relácie R ako podmnožiny karteziánskeho súčinu (vytieňovaná R = d, 1,c, 2,b, 3,d, 3,a, 4,c, 4. { } oblasť) dvoch množín X a Y, ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 2
Relácia R môže byť alternatívne zadaná pomocou charakteristickej funkcie R= x,y ; µ x,y = 1 {( ) R ( ) } 1 µ R ( x,y) = 0 ( ak ( x, y) R) ak ( x, y) R ( ) Hovoríme o binárnej relácii, každý element ( x,y) číslom µ ( ) { 01}. R x,y, R je ohodnotený binárnym Definícia 3.2. Inverzná relácia R -1 (k relácii R X Y) je určená pomocou y,x X Y x,y R usporiadaných dvojíc ( ), ktorých inverzia patrí do relácie ( ) 1 R = ( y,x );( x,y) R { } Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 3
Nech P,Q X Y, ktoré sú špecifikované pomocou charakteristických funkcií = {( ) µ P ( ) = 1} a Q ( x,y ); Q ( x,y) P x,y ; x,y { 1} = µ = Definícia. Relácia R = P Q sa nazýva zjednotenie relácií P a Q vtedy a len vtedy, ak platí P Q = x,y ; µ x,y = 1 {( ) P Q( ) } ( x,y) max ( x, y ), ( x,y) { } µ = µ µ P Q P Q Relácia R = P Q sa nazýva prienik relácií P a Q vtedy a len vtedy, ak platí P Q = x,y ; µ x,y = 1 Relácia R {( ) P Q( ) } ( x, y) min ( x, y ), ( x,y) { } µ = µ µ P Q P Q = P sa nazýva doplnok relácie P vtedy a len vtedy, ak P = x,y ; µ x,y = 1 P {( ) P ( ) } ( x,y) ( x,y) 1 P µ = µ Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 4
Príklad Nech X = { 123,, } a Y = { p,q}, relácie P a Q majú tvar P = {( 1,q ),( 2,p ),( 3,q) } a Q = ( 1,q ),( 2,p ),( 3,p) Zjednotenie a prienik týchto relácií sú { } = {( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 )} a P Q = ( 1,q ),( 2,p) P Q,q,,p,,p,,q Inverzné relácie sú špecifikované Doplnky k reláciám sú { } 1 = {( 1) ( 2) ( 3) } a 1 Q = ( q, 1 ), ( p, 2 ), ( p, 3 ) P q,, p,, q, { } = {( 1 ) ( 2 ) ( 3 )} a Q = ( 1,p ),( 2,q ),( 3,q) P,p,,q,,p { } Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 5
Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 6 Grafická repreztentácia relácií a operácií nad reláciami 1 2 3 p q X A Y 1 2 3 p q X B Y P Q 1 2 3 p q X C Y P Q 1 2 3 p q X D Y P Q 1 2 3 p q X Y P -1 1 2 3 p q X Y Q -1 Y E F 1 2 3 p q X G Y 1 2 3 p q X H Y P Q
Maticová reprezentácia relácie Nech X = { x,x,...,x } a Y { y,y,...,y } X 1 2 m = 1 2 n sú dve množiny s mohutnosťami = m resp. Y = n. Relácia R špecifikovaná nad týmito množinami má tvar ( i j) R( i j) { 1} R= x,y ; µ x,y = Definícia. Matica A reprezentuje reláciu R má m riadkov a n stĺpcov, jej maticové elementy sú špecifikované formulou ( ( ) ) 1 pre x i,y j R Aij =µ R ( x i,yj ) = 0 ( pre ( x ) ) i,y j R Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 7
Príklad Maticová reprezentácia relácií P a Q z predchádzajúceho príkladu má tvar = {( 1 )( 2 )( 3 )} a ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P,q,,p,,q X Y { } Q =,q,,p,,p X Y 0 1 = 1 0 0 1 A P, A Q 0 1 = 1 0 1 0 Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 8
Kompozícia relácií { } { R 1} Definícia. Kompozícia dvoch relácií ( ) P ( ) 1 Q = ( y,z ); µ ( y,z) = 1 Y Z, označená R P Q ( x,z ); ( x,z) { Q } definovaná pomocou charakteristickej funkcie µ x,z = max min µ x,y, µ y,z ( ) ( ) ( ) P = x,y ; µ x,y = X Y a = = µ = { } R P Q y Alternatívne vyjadrenie kompozície dvoch relácií P a Q {( ); :( ) ( ) } R = P Q= x,z x X z Z y Y x,y P y,z Q tvoria usporiadanú dvojicu ( ), je V kompozícii R dva elementy x X a z Z x,z R vtedy a len vtedy, ak existuje taký medzielement y Y, pre ktorý platí, že x,y P y,z Q. ( ) a ( ) Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 9
Znázornenie kompozície dvoch relácií P a Q, výsledná relácia R obsahuje dvojicu (x,z) vtedy a len vtedy, ak existuje taký element y Y, že platí (x,y) P a (y,z) Q. X x ( x,z) R Y y ( x,y) P ( yz, ) Q Z z Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 10
Veta 3.1. Nech P, Q a R sú relácie definované nad takými množinami, aby nasledujúce operácie boli prípustné, potom platí ( ) 1 1 1 P Q = Q P ( P Q) R= P ( Q R) P ( Q R) = ( P Q) ( P R) ( Q R) P= ( Q P) ( R P) P ( Q R) = ( P Q) ( P R) Q R P= Q P R P ( ) ( ) ( ) Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 11
Príklad = { }, Y = { y,y,y }, Z = { z,z,z } X x,x,x,x 1 2 3 4 P X Y, Q Y Z 1 2 3 1 2 3 A P 1 0 1 0 0 1 =, 1 1 0 0 0 1 A Q 1 1 0 = 0 1 0 0 1 1 Potom relácie P a Q majú tvar {( 1 1) ( 1 3) ( 2 3) ( 3 1) ( 3 2) ( 4 3) } P = x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y, Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 12
Kompozícia týchto relácií má tvar {( 1 1) ( 1 2) ( 2 2) ( 3 2) ( 3 3) } Q = y,z, y,z, y,z, y,z, y,z {( 1 1)( 1 2)( 1 3) ( 2 2) ( 2 3)( 3 1)( 3 2) ( 4 2) ( 4 3) } P Q = x,z, x,z, x,z, x,z, x,z, x,z, x,z, x,z, x,z Grafická interpretácia týchto relácií je znázornená na obrázku x 1 P y 1 y 1 Q z 1 x 2 y 2 y 2 z 2 x 3 y 3 y 3 z 3 x 4 A B x 1 x 2 x 3 x 4 P y 1 y 2 y 3 C Q x 1 z 1 x 2 z 2 x 3 z 3 x 4 Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 13 P Q D z 1 z 2 z 3
Vlastnosti relácií V tomto odseku budeme študovať diagonálne relácie P X X, ktoré sú definované ako podmnožina karteziánskeho súčinu X X. Definícia 3.6. Diagonálna relácia sa nazýva: x X x,x R, ( ) (1) reflexívna, ( ) ( ) (2) symetrická, ( x,y X) (( x,y) R ( y,x) R), (3) antisymetrická, ( ) ( ) ( ) (4) tranzitívna, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x,y X x,y R y,x R x = y, x,y,z X x,y R y,z R x,z R. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 14
Príklad Nech X = R je množina reálnych čísel a diagonálna relácia P X Xmá interpretáciu x,y P x y (( ) ) ( ) Takto definovaná relácia P vyhovuje týmto podmienkam: (a) relácia P je reflexívna, pre každé reálne číslo x Xplatí x x, t. j. x,x P, ( ) (b) relácie P nie je symetrická, pretože pre x (c) relácia P je antisymetrická, z platnosti x a naopak, (d) relácia P je tranzitívna, z platnosti x y neimplikuje y x, y a y x plynie x = y, y a y z plynie x z. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 15
Nech X { a,b,c,d} Príklad =, diagonálne relácia P X Xje špecifikovaná množinou P = {( a,a ),( a,b ),( a,c ),( b,a )(, b,c )(, b,d ),( d,d) } Táto relácia nespĺňa žiadnu vlastnosť z definície 3.6: (a) relácia P nie je reflexívna, ( b,b) P, (b) relácia P nie je symetrická, implikácia ( ) ( ) pravdivá, a,c P c,a P nie je (c) relácia P nie je antisymetrická, implikácia ( ) ( ) pravdivá, a,b, b,a P a = b nie je (d) relácia P nie je tranzitívna, implikácia ( )( ) ( ) pravdivá. a,b, b,d P a,d P nie je Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 16
Interpretácia diagonálnej relácie pomocou orientovaného grafu Relácia P X X má diagramatickú interpretáciu pomocou orientovaného grafu, V tomto prípade elementy množiny X sú vrcholy a usporiadané dvojice ( x,y) P sú orientované hrany, ktoré začínajú v x a končia v y. Vlastnosti diagonálnych relácií majú potom jednoduchú interpretáciu. Nech X { a,b,c,d} =, diagonálne relácia P X Xje špecifikovaná množinou P = {( a,a ),( a,b ),( a,c ),( b,a )(, b,c )(, b,d ),( d,d) } a b d c Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 17
(a) Relácia P je reflexívna, potom každý vrchol x X má slučku orientovanú hranu, ktorá začína a končí v tom istom vrchole. (b) Relácia P je symetrická, ak vrcholy x,y X sú spojené hranou ( x,y) P, potom existuje aj opačná hrana ( y,x) P. V tomto prípade symetrickej relácie, jej grafická interpretácia obsahuje hrany medzi vrcholmi x a y vždy po dvojiciach, t. j. existencia hrany (x,y) implikuje existenciu hrany (y,x), a naopak. (c) Relácia P je antisymetrická, medzi dvoma rôznymi vrcholmi x y nemôže existovať dvojica hrán (x,y) a (y,x). V prípade, že by existovala, potom z podmienky antisymtričnosti vyplýva, že x = y, čo je v spore s pôvodným predpokladom. (d) Relácia P je tranzitívna, z existencie hrán ( x,y ) a ( ) spoločný vrchol y a x z, vyplýva existencia hrany ( x,z ) y,z, ktoré majú Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 18
Nech X { a,b,c,d,e} Príklad =, diagonálna relácia definovaná nad touto množinou je určená grafom a b e c (1) relácia nie je reflexívna, potrebné slučky neexistujú na vrcholoch c a d, (2) relácia je symetrická, ak medzi vrcholmi x a y existuje hrana (x,y), potom existuje aj opačná hrana (y,x), (3) relácia nie je antisymetrická, z existencie dvojíc opačne orientovaných hrán na rôznych vrcholoch, nevyplýva rovnosť týchto dvoch vrcholov. (4) relácia nie je tranzitívna, pretože existencia hrán (e,a) a (a,d) neimplikuje existenciu hrany (e,d). Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 19 d
Relácia ekvivalentnosti Definícia. Diagonálna relácia P X X sa nazýva relácia ekvivalentnosti vtedy a len vtedy, ak je reflexívna, symetrická a tranzitívna. Reláciu ekvivalentnosti P budeme označovať symbolom, t. j. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x,y X x,y P x~ y Pomocou relácie ekvivalentnosti môžeme množinu X rozdeliť na dve disjunktívne podmnožiny X,X 1 2 X, kde X = X1 X2 a X1 X2 = x,y X1 x y x,y X2 x y x X y X x y ( ) ( ) ( ) 1 2 Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 20
Príklad Nech X = R je množina reálnych čísel, diagonálne relácia P X X je definovaná takto: x,y P x 2 = y 2 (( ) ) ( ) (1) Relácia P je reflexívna, pretože (2) relácia P symetrická, pretože x (3) relácia P je tranzitívna, pretože 2 2 x = x, pre každé x R, 2 2 = y implikuje y = x, 2 2 2 2 x = y a y = z implikuje 2 2 x = z. 2 2 Z tohto vyplýva, že P je relácia ekvivalentnosti. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 21
Definícia. Nech P je relácia ekvivalentnosti nad množinou X a nech x X. Trieda ekvivalentnosti [ x ], priradená elementu x, je množina všetkých možných elementov X, ktoré sú ekvivalentné danému elementu x x = y; x,y P { } [ ] ( ) Veta. Nech P X X je relácia ekvivalentnosti a nech x,y X x y x,y P. podmienka [ ] = [ ] je splnená vtedy a len vtedy, ak ( ). Potom Veta. Nech P X X je relácia ekvivalentnosti, potom množina X má disjunktný rozklad pomocou všetkých rôznych tried ekvivalentnosti X = x y... z [ ] [ ] [ ] Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 22
Príklad Nech X = R je množina reálnych čísel, relácia P X X je definovaná (( x,y) P) integer ( x) = integer ( y) ( ) kde funkcia integer(x) je definovaná ako maximálne celé číslo, ktoré je menšie alebo rovné reálnemu číslu x integer() x 2 [] 2 1 [ 1] -2 [-2] -1 [-1] -1-2 [0] 1 2 3 i x [ ] [ 2] [ 1] [ 0] [ 1] [ 2] R = i =...... Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 23
Relácia čiastočného usporiadania Pre mnohé množiny je možné definovať reláciu usporiadania jej elementov. Tak napríklad, množina reálnych čísel R majú prirodzené usporiadanie svojich elementov pomocou relácie (pozri príklad 3.4). Táto relácia je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. Definícia. Relácia P X X sa nazýva čiastočné usporiadanie vtedy a len vtedy, ak je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. Množina X spolu s touto reláciou sa nazýva čiastočne usporiadaná množina (poset). Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 24
Príklad { } (1) Nech F je rodina podmnožín univerza U, F X; X ( U) = P. Pomocou množinovej relácie môžeme nad touto rodinou F definovať reláciu P tak, že (( X,Y ) P) ( X Y ). Ľahko sa presvedčíme, že táto relácia je čiastočne usporiadanie, je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. (2) Nech X = = { 1234,,,,...} N je množina kladných celých čísel. Definujme nad touto množinou reláciu P N N pomocou pojmu deliteľnosti; (( m,n) P) ( m je deliteľné n). Tak napríklad, pre X = { 123456,,,,, } relácia P obsahuje dvojice {( 11) ( 22)( 33)( 44) ( 55) ( 66) ( 21) ( 31)( 41)( 42) ( 51) ( 61) ( 62) ( 63) } P =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Táto relácia je čiastočné usporiadanie, pretože je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 25
Maximálny a minimálny element Definícia. Nech P X X je čiastočné usporiadanie. Maximálny element (ak existuje) xmax X je určený podmienkou x x,x, P (( max ) ) Minimálny element (ak existuje) xmin X je určený podmienkou x x,x P (( min ) ) Táto definícia maximálneho elementu x max X je založená na podmienke, že neexistuje taký element x X, ktorý by bol väčší ako element x max. Podobne, pre minimálny element x min X neexistuje taký element x X, ktorý by bol menší ako x min. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 26
Študujme množinu X { 123,, } možné podmnožiny X P Príklad =, jej potenčná množina P(X) obsahuje všetky { } ( X ) =, { 1},{ 2},{ 3},{ 12, },{ 13, },{ 2, 3},{ 12,, 3} Čiastočne usporiadanie nad touto potenčnou množinou je relácia, potom maximálny (minimálny) element je {1,2,3} ( ). Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 27
Nech pre X { 123456,,,,, } ( m,n) P m je deliteľné n ( ) ( ) Príklad = relácia P deliteľnosti obsahuje dvojice, potom {( 11) ( 22)( 33)( 44)( 55) ( 66) ( 21) ( 31)( 41)( 42) ( 51) ( 61) ( 62) ( 63) } P =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Táto relácia je čiastočné usporiadanie, pretože je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. Maximálny prvok je 1 a minimálne prvky sú 4, 5 a 6. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 28
Hasseho diagramy Nech P je čiastočne usporiadaná množina s reláciou P X X. Hovoríme, že element y je pokrytý elementom x vtedy, ak ( x,y) P a neexistuje taký element z, P z,y P pre ktorý súčasne platí ( x,z) a ( ) y x Hasseho diagram relácie čiastočného usporiadania P X X obsahuje vrcholy, ktoré sú stotožnené s elementmi z X; pričom dva vrcholy x,y X sú spojené x,y P vtedy a len vtedy, ak element y pokrýva element x. hranou ( ) Poznámka: Hasseho diagram relácie čiastočného usporiadanie neobsahuje hrany, ktoré sú dôsledkom tranzitívnosti relácie. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 29 z
Príklad Nakreslite Hasseho diagram relácie čiastočného usporiadania P deliteľnosti X = 123456,,,,,, relácia obsahuje dvojice potom { } (( m,n) P) ( m je deliteľné n) {( 11) ( 22)( 33)( 44)( 55) ( 66) ( 21) ( 31)( 41)( 42) ( 51) ( 61) ( 62) ( 63) } P =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 6 2 1 1 5 3 2 3 5 4 6 4 Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 30
Príklad ( ) Hasseho diagram pre množiny X { a,b,c} = P, ktorá je čiastočne usporiadaná pomocou relácie je znázornený na obrázku { abc,, } { ab, } { ac, } { bc, } { a } { b } {} c Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 31
Hasseho diagram pre reláciu čiastočného usporiadania P nad konečnou množinou X ukazuje jasne maximálne a minimálne prvky. Veta. Každá relácia čiastočného usporiadania P X X obsahuje aspoň jeden minimálny element a aspoň jeden maximálny element. Nech a1 X, ak je tento element minimálny, dôkaz je dokončený. V opačnom prípade existuje a 2 X taký, že ( a,a 2 1) P. Element a 2 je buď minimálny alebo ak nie, potom existuje taký element a 3 X, že ( a,a 3 2) P. Pretože množina X má konečný počet elementov, tento proces predlžovania smerom dole, musí byť v nejakom momente ukončený elementom, ktorý je minimálny. Podobným spôsobom môžeme zostrojiť element, ktorý je maximálny. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 32
Funkcie Pojem funkcie (alebo zobrazenia) patrí medzi základné pojmy matematiky. V matematike pod funkciou f rozumieme jednoznačný predpis pomocou ktorého každému argumentu x z množiny A priradíme práve jednu funkčnú hodnotu označenú f(x) z množiny B f : A B A B x y=f() x ( ( )) { } f = x, f x ;x A Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 33
Definícia 3.11. Relácia f A B sa nazýva funkcia vtedy a len vtedy, ak pre každé x A existuje práve jedno y B x,y f také, že ( ) ( ) x! y x,y f Množina A sa nazýva doména funkcie f, dom(f), a množina B sa nazýva kodoména funkcie f, codom(f). Ak ( x,y) F, potom x sa nazýva argument a y sa nazýva funkčná hodnota (obraz). Funkcia sa taktiež nazýva zobrazenie alebo transformácia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 34
Znázornenie funkcie f A B, pre každé x A existuje práve jedno y B také, že ( x,y) { 1 1 2 1 3 2 4 4 5 4 } f, f = ( x,y ),x,y ( ),x,y ( ),x,y ( ),x,y ( ) x 1 A B y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 35
Definícia funkcie nezabezpečuje, aby množina funkčných hodnôt f A f x;x A bola totožná s množinou B, vo všeobecnosti platí len { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } B = codom f = f A = f x ;x A B A f B x y=f() x dom( f ) B= ' co dom( f ) =f( A) Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 36
Definícia. Hovoríme, že dve funkcie f : A B a g : A B sa rovnajú vtedy a len vtedy, ak súčasne platí (1) A = A a B = B, x A f x = g x. ( ) (2) ( ) ( ) ( ) Definícia. Hovoríme, že funkcia ia : A A je jednotková vtedy a len vtedy, ak x A i x = x ( ) ( ) A ( ) Doména a kodoména sú si rovné, ( ) ( ) dom i = codom i = A A A Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 37
Zložená funkcia Majme dve funkcie f : A B a g : B C, kompozíciou týchto dvoch funkcií vytvoríme novú funkciu h = f g: A C, ktorá sa nazýva zložená funkcia. A f B g C x y z h Zložená funkcia existuje len vtedy, keď prienik kodomény funkcie f a domény codom f dom g. funkcie g je neprázdny, ( ) ( ) Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 38
Definícia. Hovoríme, že kompozíciou funkcií f : A B a g : B zložená funkcia h = g f : A C, vtedy a len vtedy, ak ( ) ( )( ) C ( ) (( ) ) { } h = g f = x,z A C; y B x,y f y,z g vznikne Z tejto definície priamo plynie, že zložená funkcia h = g f existuje len vtedy, ak pre danú dvojicu ( x,z) A Cexistuje taký element y B, pre ktorý súčasne platí f y,z g codom f dom g. ( x,y) a ( ), alebo ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) g f x = h x = g f x = z Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 39
Študujme dve funkcie f: + 0 ( ) Príklad 2 (1) R R { }, ktorej analytický tvar je f ( x) = x, jej doména je dom( f ) = R množina reálnych čísel a kodoména je ( ) = R { 0} množina nezáporných reálnych čísel. ( ) ( { }) codom f + (2) g: R+ { 0} R + 0, ktorej analytický tvar je g ( x) rovnakú doménu a kodoménu ( ) = ( ) = R { 0} nezáporných reálnych čísel. dom g codom g + y f( x)= x 2 gx ()= x = x, táto má, množinu x Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 40
( ) 2 Prvá zložená funkcia má tvar h( x) g f ( x) x x dom( h ) = R a kodoména je codom( h ) = R + { 0} reálnych čísel R na množinu nazáporných reálnych čísel R + { 0} funkcie h( x) = x je znázornený na obrázku = = =, jej doména je, t. j. zobrazuje množinu. Priebeh y h( x)= x x Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 41
( ) ( ) 2 = = =, táto funkcia má Druhá zložená funkcia má tvar h ( x) f g( x) x x rovnakú doménu a kodoménu, ( ) = ( ) = R { 0} dom h codom h +, t. j. zobrazuje lineárne množinu nezáporných reálnych čísel na tú istú podmnožinu. Priebeh funkcie f ( x) = x je znázornený na obrázku y h'( x)= x x Zložené funkcie h( x ) a h ( x) sa nerovnajú, dom( h) dom( h ). Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 42
Inverzná funkcia Definícia 3.14. Funkcia f : A B sa nazýva jedno-jednoznačná vtedy a len vtedy, ak vyhovuje podmienke x,x A x x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) Spojením tejto podmienky s podmienkou jednoznačnosti dostaneme ( ) ( x,x A) ( x x ) f ( x) f ( x ) ( ) To znamená, že podmienka rôznosti argumentov je ekvivalentná podmienke rôznosti ich funkčných hodnôt. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 43
Schématické znázornenie jedno-jednoznačnej funkcie f : A B a A B 1 b c d e 2 3 4 5 Ku každému argumentu je priradená práve jedna funkčná hodnota, a taktiež aj naopak, ku každej funkčnej hodnote existuje práve jeden argument. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 44
Definícia. Jedno-jednoznačná funkcia f : A B sa nazýva bijekcia vtedy a len vtedy, ak pre každý element y B existuje v množine A taký element x, že y = f x. ( ) Definícia. Hovoríme, že k funkcii f : A B existuje inverzná funkcia f 1 : B A vtedy a len vtedy, ak je funkcia f bijekcia. Na základe tejto definície máme definotoricky zabezpečenú existenciu inverznej funkcie. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 45
Veta 3.6. Nech funkcia f : A B je bijektívna, potom inverzná funkcia f 1 : B A vyhovuje týmto podmienkam ( 1 ( )) = B ( ) 1 ( ( )) = ( ) f f x i x f f x i x kde i X je jednotková funkcia nad doménou X. A Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 46
Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 47 Diagramy A a B znázorňujú zobrazenia f a f -1. Diagram C znázorňuje zloženú funkciu 1 : A h f f i A A = =, diagram D znázorňuje zloženú funkciu 1 : B h f f i B B = =. a b c d e 1 2 3 4 5 A B a b c d e A A B f f -1 a b c d e 1 2 3 4 5 A B D f a b c d e 1 2 3 4 5 A B f -1 1 2 3 4 5 B f -1 a b c d e 1 2 3 4 5 A B f C
Príklad Zostrojte inverznú funkciu k funkcii f ( x) 1 = 1 + e x Táto funkcia zobrazuje doménu dom( f ) = R na kodoménu codom( f ) = ( 01, ). Funkcia je monotónne rastúca a vyhovuje asymptotickým podmienkam f ( ) = 1 a f ( ) = 0. Z monotónnosti vyplýva, že funkcia je jedno-jednoznačná, čiže k nej existuje inverzná funkcia, 1 x f ( x) = ln 1 x Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 48
Priebehy funkcií (A) f ( x) 1 ( 1 e x ) = + a (B) f 1 ( x) = lnx ( 1 x) y 1 y x 1 x A B Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 49
Na záver budeme počítať zložené funkcie f ( f 1 ( x )) 1 1 1 = = = = ( 1 1 exp f ( x) ) 1 exp( ln x ( 1 x) ) 1 x x + + 1+ x ( ( )) 1 1 f ( x) 1+ e 1+ e 1 f ( x) 1 1 e 1+ x e 1+ e x x 1 x f f x = ln = ln = ln = lne = x x x Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 50