60. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2018/2019 kategória D domáce kolo Riešenie úloh 1. Brzdenie automobilu Riešenie: a) Maximálne spomalen

Prepis

1 60. ročník Fyzikálnej olypiáy školsko roku 08/09 kaegória D oáce kolo Riešenie úloh. Brzenie auoobilu a) Maxiálne spoalenia a = F = f g, zn. aa = fa g, ab = fb g. 0,5 b b) S = ( s), pre rýchlosť = 90 kh je S = 50, pre = 30 kh je S 7. 0,5 b c) Súranice auoobilo na začiaku x B = 0, x A =. V čase o začiaku brzenia ozila A sú súranice oziiel x A = + aa a x B = + ( ) ab ( ). 0,5 b Rýchlosi oziiel A = a A a B = a B ( ). 0,5 b B A 0 x Obr. RD- Grafy pre jenolié prípay: f A = 0,90, f B = 0,80, = 30 kh, = 7,, obr. RD 0,5 b Obr. RD f A = 0,90, f B = 0,60, = 30 kh, = 35, obr. RD 3 0,5 b

2 Obr. RD 3 f A = 0,40, f B = 0,30 (okrý asfal), = 90 kh, = 50, obr. RD 4 0,5 b Obr. RD 4 ) Ako yplýa z grafo, pri oržaní bezpečnej ojsekunoej zialenosi (prý a reí prípa) k zrážke oziiel neôje. Ak je šak zialenosť ezi auoobili alá, ruho prípae približne poloica ojsekunoej zialenosi, ruhé ozilo pri aných poienkach nesačí zasaiť a ôje k zrážke s prý ozilo. Z grafu k ruhéu prípau určíe čas zrážky približne z = 3,75 s. Teno čas ôžee spresniť ak, že graf nakreslíe o äčšej ierke. Po spresnení grafu poľa obr. RD 5 určíe čas zrážky z = 3,773 s. V oo čase sú rýchlosi oboch oziiel A = a A z a B = a B ( z ). Pre aný prípa = 30 kh, a A = 8,8 s, a B = 5,88 s, = 0,70 s, a ea A,83 s = 0, kh, B 8,0 s = 65,0 kh. Roziel rýchlosí 5, s 54,7 kh. Poronaní s grafo rýchlosi na obr. RD iíe, že ýsleok ýpoču zopoeá honoe určenej z grafu. Obr. RD 5

3 . Mince na sole a) Mikrose: zrážky olekúl plynu, zrážky elekróno s iónoou riežkou, zrážky proóno urýchľoači časíc a po. Makrose: zrážka auoobilo, náraz srca zonu o ela zonu, náraz hlaou o prekážky a po. Mega-se: Zrážka aseroiu s planéou, zrážka čiernych ier. V ôsleku zrážok olekúl plynu sa plyne yára ronoáha (husoy olekúl, eploy a laku), zrážky elekróno s ióni riežky sú príčinou elekrického oporu oiča, pri zrážke elies ocháza k ich eforácii (pri pružnej k očasnej, pri nepružnej k ralej), pri nepružnej zrážke sa elesá zohrieajú (niekey až rozopia napr. opa aseroiu o Mexického záliu, koré ielo k yhynuiu inosauro), pri zrážke čiernych ier znikajú osaočne silné graiačné lny pozoroané aj na Zei, aď. b) Tabuľka paraero incí Noinálna honoa Honosť / g Prieer / Výška h / 0 ceno 5,74,5,4 euro (inca A) 7,50 3,5,33 eura 8,50 5,75,0 c) Siuácia je znázornená na obr. RD 6. 0,5 b B 0 B A A 3 Obr. RD 6 c) Ak incu B ysrelíe rýchlosťou 0, pohybuje sa s rení o sreu sola, ke príe s rýchlosťou, korú určíe poocou zťahu E k = W, ke E k je zena kineickej energie ince ezi okaihi ysrelenia a prechoo ince sreo sola, W je práca recej sily ezi okrajo a sreo sola. 0 = F = f g, okiaľ áe = 0 f g. () 0,5 b Pri zrážke plaí zákon zachoania hybnosi (ZZH) a prípae okonale pružnej zrážky zákon zachoania echanickej energie (ZZME). Ak označíe rýchlosť nárazu ysrelenej ince o sojacej ince sree sola, obr. RD 6, plaí poľa ZZH = + 3, resp. ( ) =, () 0,5 b 3 3

4 ke, 3 sú rýchlosi incí po zrážke, a poľa ZZME 3 = +, resp. ( ) ( )( ) Z roníc () a (3) získae po úprae zťahy = + =. (3) 0,5 b =, =. (4) 0,5 b V pro prípae uažujee oraz prej ince sero naza ( < 0 /s). Poľa (4) plaí <, resp. B < A, a ea inca B á honou 0 ceno. Aby sa orazená inca ráila o začiaočného bou a zosala sáť, poľa () plaí 0= f g, zn. = f g. Spolu s () pre pohyb ku sreu a (4) pre oraz áe f g = f g, okiaľ B A 0 B + A Pre ané honoy eličín: 0 8, s. B + A 0 = f g B A Zo (4) yplýa 3/ = B / ( B A) = 6,5. Pre honosi incí a 0 c áe 3 >, zn. inca A na sole nezasaí a sree proiľahlej srany sola zo sola spane. Pre pohyb na ráhe k okraju sola plaí A 3 A A = f A g. Oiaľ áe B ( A + B ) ( A B) 8 = f g = f g. A 3 Pre ané honoy A 7, s. c) V ruho prípae usí prejsť inca A až na okraj sola A 3 A = f g. S použií (4) a () áe 0 + = + B B A f g Minca B sa orazí naza rýchlosťou a preje zialenosť =. Po osaení fg. celá časť c) spolu 4 b. Pre ané honoy 0,7 s. 0,5 b A B = B. Pre ané honoy 9,4. 0,5 b za časť c) spolu c3) Ak sa inca C zasaí, znaená o poľa (4) a pre = 0, že A = C, zn. noinálna honoa ince C je. Poľa (4) sa inca A po zrážke pohybuje s ronakou rýchlosťou, akou o nej narazila inca C. Keďže ráha nezáisí o honosi, ožno pohyb incí poažoať za plynulý 4

5 pohyb ince o jeného okraja k ruhéu, zn. po ráhe, a ea poľa () pre = 0 03 = f g = 4 f g. Pre ané honoy 03,5 s. 0,5 b c4) Ak sa inca D po zrážke pohybuje ďalej ronako sere, poľa (4) plaí D > A, zn. inca D á honou. Minca D á po zrážke rýchlosť, poľa (), D + A D + A = f g a po osaení o (4) = = f g. Z () osáae 04 = f g, a ea D A D A D + A 04 = + f g = f g +. D A Pre ané honoy 04 7 s. Minca A poľa (4) á po zrážke rýchlosť D D 3 = = 04 f g. + + D A D A Pre pohyb na ráhe k okraju sola plaí A 3 A A = f A g. okiaľ áe A = D A D f g. Pre ané honoy A 8 s. za časť c4) spolu b Pozn. Ak žiak rieši úlohu iný posupo, prielia sa boy za jenolié časi úlohy c) c4), pokiaľ je riešenie spráne. 5

6 3. Ho lopičkou a) Obr. RD 7 Šiký rh je zložený pohyb, korý sa sklaá z pohybu o oorono sere x, koro pôsobí na lopičku nuloá sila, zn. pohyb je ronoerný, a pohybu zislo sere y, koro na lopičku pôsobí konšanná iažoá sila F G = g sero naol, korá lopičke ueľuje zrýchlenie g, zn. ie o ronoerne zrýchlený pohyb. Začiaočnú rýchlosť 0 ôžee rozeliť na ooronú zložku 0x a zislú zložku 0y. Ronice pohybu sú y 0y A 0 h 0x H Obr. RD 7 B x x = 0 x y 0y x = 0x = g () y = 0 y g. () b) Lopička najyššo boe sojej rajekórie á nuloú zislú zložku rýchlosi y = 0, zn. poľa () H 0 y =, a ea g 0 y 0 y 0 y H = 0 yh g H = 0 y g =. g g g Doba leu o okaihu rhu po osiahnuie najyššieho bou se označili H. Zislú zložku rýchlosi určíe z poienky osiahnuia ýšky h čase h = 0 y g, okiaľ áe h = + g, (3) 0y h a ea H = + g. Pre ané honoy H 8,. b g Zložka rýchlosi zislo sere okaihu preleu okolo balkóna h = g = g. Pre ané honoy y 7,9 s < 0, y 0 y zn. čase lopička pri pohybe okolo chlapca klesala. c) Lopička prekonala o oorono sere zialenosť, zn. ooroná zložka začiaočnej rýchlosi, poľa (), 0x =. Keďže zložky rýchlosi sú nazájo kolé, s použií (3) určíe ýslenú rýchlosť rhu poocou Pyagoroej ey 6

7 h 0 = 0x + 0 y = + + g Pre ané honoy 0 5 s.. b ) Uhol α určíe buď ak, že nakreslíe praouhlý rojuholník s oesnai 0x a 0y a uhol oproi srane 0y zeriae uhloero, alebo, ak poznáe funkciu angens (poer srany proiľahlej k anéu uhlu a srany priľahlej), použijee pre určenie uhlu kalkulačku. 0 y h h g an = = + g = +. 0x Pre ané honoy an α,77 a poocou kalkulačky alebo abuliek určíe α 6. e) Pre opa lopičky plaí y = 0. Určíe čas opau, poľa (), y = 0 y g = 0, okiaľ áe 0 y g 0 =, a ea Súranica x oo čase 0 y =. g 0 y h D = 0x = = +. Pre ané honoy D 8. g g 4. Prejaz auoobilo križoakou a) Ak osiahne auoobil ronoerne zrýchlený pohybo rýchlosť na ráhe, je zrýchlenie a =. Pre ané honoy a 3, s. b) Tangenciálne zrýchlenie a pri prechoe z bou A o bou B s B =. Pre ané honoy k/h. c) Ťahoá sila F = a sa rozelí na prené kolesá ronoerne. Mezi šyri kolesá sa rozelí ronoerne zoračná sila zákrue F o = /R. Maxiálna honoa zoračnej sily je boe B, koro je rýchlosť auoobilu V axiálna. Poloer kriosi rajekórie určíe z ĺžky oblúka s = (π/) R- Obie sily sú zájone kolé. Pri prechoe zákruou usí byť ýslená ooroná sila na prené pneuaiky enšia ako ezná sila saického renia F ax = ½ f g (na prené kolesá pôsobí poloica iažoej sily). Poienka saického renia ( ) B + a g f R, po úprae, korej cieľo je ylúčiť z neronosi neznáe eličiny, B, a a R osanee 4 s π + f. () g Pre ané honoy ľaá srana neronice á eľkosť 0,49 čo je enšie ako honoa f = 0,80. Auoobil preje z bou A o bou B bez šyku. 7

8 ) Z poienky () určíe čas 4s π + gf. Pre ané honoy in 6,3 s. Za eno čas osiahne auoobil rýchlosť s B =. Pre ané honoy B 5 k/h. e) Najpr určíe zialenosť 0. Auoobil V preje o bou B za čas. V oo okaihu usí ať honou najenej 3 (auoobil V usí byť najenej o zialenosi 4). Začiaočná zialenosť auoobilu V o križoaky 0 = + 4. Pre ané honoy Auoobil V3 preje za čas zialenosť a zájoná zialenosť auoobilo V3 a V je x0 = l. () Ďalej V pokračuje ronoerne zrýchlený pohybo so zrýchlení a a začiaočnou rýchlosťou B, až po osiahnuie rýchlosť. Vzialenosť ezi auoobili V3 a V sa počas celého zrýchľoania V zenšuje až po yronanie rýchlosí 50 k/h. Ak spojíe zťažnú súsau s auoobilo V, eno relaíny pohyb V a V presauje ronoerne zrýchlený pohyb so zrýchlení a, začiaočnou rýchlosťou B a konečnou rýchlosťou nuloou. Čas zrýchľoania je ak B z =. a Za eno čas osiahne zájoná zialenosť auoobilo ( ) B x = x0 + a z ( B ) z = x0. a Ak osaíe poienku pre najenšiu oolenú zialenosť x = 4 a použijee (), áe ( ) B 4 = l, a okiaľ osáae ( ) B 0 = l +. (3) a Ak je ozoka suchá a ožno yužiť axiálne zrýchlenie a a rýchlosť B áe pre ané a ypočíané honoy f) Ak by bola ozoka klzká, uožňuje ozilu V o bou B axiálne zrýchlenie F f g a Táo honoa je enšia ako a, preo axiálne zrýchlenie neožno yužiť. T = = = f g. Pre ané honoy a, s. Ak osaíe o (3) in, B B a a a, osanee Ako iíe z ýsleku, prípae klzkej ozoky reba byť obzlášť pozorný a počíať s ý, že brzné a rozbehoé zialenosi sa ýznane zäčšujú. 8

9 5. Meranie úrone oľnej hlainy oy nárži a) Prieer určíe zo zťahu pre honosť alca π 4 = Al V = Al H, okiaľ áe =. 4 π H Pre ané honoy, c. Al b b) Ak je ýška hlainy h a alec je celý ynorený na oľnou hlainou, je poienka ronoáhy síl ( ) g = k l l, () 0 ke l je ĺžka eforoanej pružiny a l 0 ĺžka nezaťaženej pružiny. Ak sa nárž naplní o ýšky h 0, pružina sa skrái o x a alec je ponorený o oy ĺžkou y = h 0 h x. Na alec pôsobí okre iažoej sily aj sila zlakoá. Poienka ronoáhy síl je ( ) g S y g = k l l, () 0 ke l je ĺžka eforoanej pružiny oo prípae. Z rozielu () a () osáae S y g = k x, (3) ke x = l l. Z (3) po úprae osáae (iež osaení y = h 0 h x ), S = /(H ρ Al) k S y g g h h x H Al x 0 = = Pre ané honoy eličín k 54 N.. (4) b c) Ak hlaina oy nárži poklesne z honoy h 0 o h, poienka ronoáhy síl á ar ( Δ ) ( ) g S h h h + x g = k l l. (5) O () očíae (5) ( Δ ) ( ) S g x x h = k l l (6) 3 Ak uážie l l 3 = x x a označíe ýchylku ručičky pre sa Δh = 0 (plná nárž) x = 0, zo zťahu (6) osanee hľaanú funkciu Sg x = Δh = pδh. 3 b k + S g Funkcia x = f(h) je lineárna. Dosaíe z (4) x Sg x p = = = Δh k + S g h h 0 Pre ané honoy p 6,3 0.. b 9

10 6. Srenuie elies na obežnej rajekórii Mesiaca a) Pri pohybe sony S po kružnicoej rajekórii oko Mesiaca je graiačná sila ezi sonou a Mesiaco roná zoračnej (osreiej) sile pôsobiacej na sonu M s s G = s R + h ( R+ h) Z oho rýchlosť sony s = G R h Doba obehu, ke s je honosť sony. M +. Pre ané honoy s,66 ks. () ( R + h) ( R + h) 3/ π Ts = = π. () GM s Pre ané honoy T s s h 53 in 5 s. b) Konajner K cenrálno graiačno poli sa pohybuje po rajekórii are kužeľosečky (. Keplero zákon), našo prípae elipsy, obr. RD 6. Vrcholo elipsy je S bo A ypusenia konejneru na obežnú rajekóriu. Aby K bola rýchlosť čo najenšia, ziali sa konejner o porchu Mesiaca o najenšiu zialenosť, zn. o ýšky B h. Bo B srenuia sony s konajnero je ruhý A s C rcholo elipsy, koro je rýchlosť konajneru a sony kolá na spojnicu konejneru so sreo Mesiaca. Vyselenie a obr. RD 6 Pre pohyb konajneru K graiačno poli Mesiaca Obr. RD 6 plaí zákon zachoania echanickej energie (súču kineickej a poenciálnej energie zhľao na Mesiac) M M G = G R R + h, ke je honosť konejneru. (3) 0,5 b Graiačná sila á ser o sreu Mesiaca, preo oen graiačnej sily zhľao na sre Mesiaca je nuloý. Moen hybnosi konajnera sa preo zachoáa. (. Keplero zákon) ( ) R = R + h. (4) 0,5 b Z () a () yjaríe rýchlosi a R+ h = G M R R h ( + ) R = G M R h R h ( + )( + ) Pre ané honoy,69 ks,,64 ks. Relaína rýchlosť okaihu srenuia, (5). (6) R M R Δ = s = G M G = s. (7) ( R + h)( R+ h) R + h R + h 0

11 Pre ané honoy,8 s 4,5 kh. Pozn.: Keďže sa a s líšia až reej planej číslici, je ýsleok získaný rozielo ypočíaných a zaokrúhlených honô (0 s ) značne nepresný, preo pre ýpoče reba použiť ueený ýslený zťah (7). To znaená, že okaihu srenuia sona obieha konajner. c) Konajner preje ráhu z bou A o bou B za poloicu perióy obehu T k. Pre určenie oby T k použijee 3. Keplero zákon 3 T k a =, Ts R + h R+ h ke a = je eľkosť hlanej polosi elipsy (poloica zialenosi AB). Oiaľ áe 3/ R+ h Tk = Ts Ts. ( R+ h) Keďže čas T k je kraší ako T s, konajner je porebné yslať s oneskorení za prechoo sony boo C 3/ 3/ 3/ ( R+ h) R + h R + h Δ = ( Ts Tk ) = Ts = π. ( R + h) GM ( R + h) Pre ané honoy 70,8 s. Pozn.: Opäť plaí prailo o alo roziele eľkých čísiel. Čas k o ypusenia konejneru o srenuia so sonou 3/ 3/ Tk T s R + h π h k = = = R+ ( R+ h) GM Pre ané honoy k 3 38 s 55 in 8 s. Pozn. k booaniu: prípae nespráneho ýsleku pre ané honoy znížiť honoenie za príslušný ýsleok o 0,5b. V prípae chyby 3. číslici ýsleok akcepoať.. 7. Skúanie oporu zuchu pri oľno páe rôznych experienálna úloha 0 b 60. ročník Fyzikálnej olypiáy Úlohy oáceho kola kaegórie D Auori nárho úloh: Ľuboír Konrá (-3), Io Čáp (4-7) Recenzia a úpraa úloh a riešení: Daniel Kluanec, Ľuboír Mucha Reakcia: Io Čáp Vyal: Sloenská koisia fyzikálnej olypiáy IUVENTA Sloenský inšiú láeže, Braislaa 09