3. Štruktúra hadrónov 6. 3. 005 Rozptyl e e dáva: Pre kvadrát modulu amplitúdy fi platí: 8 e θ θ cos sin fi EE (1) Pre jeho účinný prierez dostávame: ( αe ) dσ θ θ cos sin δ ν + de dω kde αe /π, νe E. Alebo keď nás zaujíma iba uhol rozptylu elektrónu : dσ α dω E sin E cos θ E θ sin θ Vo všeobecnosti pre rozptyl na nebodovom objekte je možné písať: () (3) dσ dσ dω dω po int F( ) () Kde F( ) je formfaktor odražajúci nebodovosť rozptylového centra. Platí preň: Pri 0 F( 0) 1 (vlnová dĺžka skanujúceho virtuálneho fotónu je oveťa väčšia ako rozmer rozptylového centra) 3 F( ) d xρ ( x)exp i x je Fourierovym obrazom rozdelenia náboja. ( )
Poznámka. Uvažujme prípad nebodového rozptylového centra charakterizovaného rozložením náboja ρ( x ). Z axwellovej rovnice pre statický potenciál ( A ( x) ( ϕ( x), 0) ) : vyplýva : d ϕ( x) Zeρ( x ) 3 i x 3 i x x e ϕ ( x) Ze d x e ρ( x) 3 i x Ze 3 i x Ze a odtiaľ máme: d x e ϕ ( x) d x e ( x) F( ) ρ. Prakticky to znamená, že pri prechode od rozptylu bodového piónu na bodovom atómovom jadre ( T ien N πδ ( E E ) ( E + E ) Ze ) k rozptylu fi i f f i i f bodového piónu na nebodovom atómovom jadre je treba urobiť zámenu: Ze Ze F ( ), ktorá zodpovedá zámene: δ ( ) ρ( Ze x Ze x), teda nebodovosť nábojového rozloženia ρ( x ) sa prejaví objavením formfaktora F ( ) v amplitúde πa roztylu. Predpokladajme sférickú symetriu nábojovej hustoty ρ( r), ( r x ) do Taylorovho radu, dostaneme: ρ a rozviňme formfaktor ( ) 3 x F ( ) d xρ ( x) 1 + i x + 1 r + (5) 6 6 3 r d xρ x x je kvadrát strednej rozľahlosti rozptylového centra. ( ) Ak predpokladáme, že ρ( r) ~ exp( λr), potom 1 F ( ) ~ (6) 1 + λ Teda rozptylové centrum je charakterizované priestorovou rozľahlosťou 1/λ.
eπ-rozptyl. Formfaktor piónu Odlišnosť eπ-rozptylu oproti e-rozptylu: Pión nie je bodová častica je to viazaný systém kvarku a antikvarku: π ud (viď obr.). Preto okrem základného diagramu, ktorý predpokladá bodovosť piónu, musíme uvažovať aj iné diagramy (viď obr.1). Obr. 1: eπ-rozptyl: a) bodový pión, b-c) vklady silných interakcií Prejav štruktúry piónu. Vlnová dĺžka virtuálneho fotónu (skanujúci fotón) je daná prenesenou hybnosťou: λ kde je prenesená hybnosť v procese eπ-rozptylu. Pri takomto rozptyle sa štruktúra piónu prejaví ak λ d (rozmer piónu). Obr. : Pión π + ako interagujúci ud systém: možný prechod: π + ud pn ud.
Ako uvažovať korekcie spôsobené silnou interakciou? Väzbová konštanta silných interakcii je prípade piónového vertexu veľká ( α S 1) (obr. 1b,1c) poruchová teória nemôže byť aplikovaná - pión je neperturbatívny objekt. Fenomenologický prístup. Bodový bezštruktúrny pión môžeme v procese rozptylu charakterizovať prechodovým prúdom: ( π ) ix j ( x) enn ( p+ p ) e p p (7) Tok spojený s reálnym piónom je možné vyjadriť nasledovne: ( π) em ( π) J ( x) π ; p J ( x) π ; p j ( x) 0 (8) V dôsledku silnej interakcie maticový element pre bodový pión je treba modifikovať, avšak -vektorový charakter piónového prúdu bude zachovaný. Pre fenomenologický prístup máme k dispozícii nezávislé -vektory: ( p p ) a p + p (9) Vo všeobecnosti vo výraze pre prúd sa môžu vyskytovať aj skalárne (vzhľadom na Lorentzove transformácie) funkcie. Tieto funkcie môžu byť konštruované na základe nasledovných Lorentzových skalárov: p p p p ( ( p p) p p ) (10) p ( p( p p) pp ) p ( p ( p p) p p ) Teda vidíme, že existuje jediný Lorentzov skalár, ktorý môžeme použiť na vytvorenie skalárnych funkcií: - štvorec prenesenej hybnosti.
Všeobecne možno pre piónový tok písať: ix [ F ( ) ( p + p) + G( ] e π ; ) (11) em p J ( x) π ; p enn Pričom platí : F( 0) 1 a G( 0) 0 (1) Kalibračná invariantnosť a formfaktor piónu Stav elektro-magnetického poľa je daný vektorom elektrickej intenzity a magnetickej indukcie E resp. B. Avšak existuje celá trieda potenciálov, ktorá popisuje ten istý stav E, B : poľa ( ) A A + χ (13) Výberom potenciálu je možné axwellovu rovnicu (dáva nám aký potenciál A je generovaný prúdovou hustotou j ) : A ( A ν ) j (1) ν zjednodušiť žiada sa splnenie Lorentzovej podmienky: A 0, ktorá vedie k: A j (15) Avšak: j A A 0 (16) Teda kalibračná invariantnosť vedie k rovnici kontinuity. Rovnicu kontinuity musí spĺňať aj piónový prúd ( lebo platí pre ľubovoľný prúd): i J ( x) J ( x) 0 π, p J ( ) π, p 0 em ( π ) ( π ) F( ) ( p + p) + G( ) 0 (17) Platí však: ( p + p) ( p p)( p + p) p p 0 (18) Pretože pre virtuálny fotón vo všeobecnosti platí 0, musí platiť: G ( ) 0 (19)
Záver: Virtuálne efekty silných interakcií v ππγ vertexe je možné popísať jedinou skalárnou funkciou s argumentom. Pritom platí: e( p + p) ef( )( p + p) bodový pión reálny pión F( ) je elektromagnetický formfaktor piónu, ktorý spĺňa podmienku: F(0)1. Elektrón-protónový rozptyl. Protónové formfaktory A. Amplitúda pružného ep-rozptylu 1 fi (0) T i d x j J kde k k, j a J sú elektrónový a protó- nový prúd spojený s prechodom týchto častíc s počiatočného do koncového stavu: ( i( k k x) j eu( k ) γ u( k)exp ) (1) ( i( p p x) J eu( p ) Γ u( p)exp ) () Problémom je protónový prúd J p, s J em ( x) p, s jeho štruktúru nepoznáme. Aká je vertexovú funkciu Γ v protónovom prúde? Vo všeobecnosti môžeme písať: Γ κ m ν F1 ( ) γ + F ( ) σ ν (3) kde F 1 a F sú nezávislé formfaktory κ je anomálny magnetický moment protónu. Prečo má Γ štruktúru (3)? Pre zostrojenie protónového prúdu máme len 3 nezávislé vektory: ν uγ u, uσ u, u u () Vzhľadom na to, že tento prúd J ν ν A( ) uγ u + B( ) uσ u + C( ) u u (5) ν
musí spĺňať rovnicu kontinuity (kalibračná invariantnosť): analogicky ako v prípade piónu platí: J 0, to vedie k tomu, že C( ) 0 (6) Dôvod je v tom, že v dôsledku DR a antisymetričnosti σ ν. platí: ν ( pˆ pˆ ) u u( m m) u 0 a 0 u u ˆ u (7) σ ν Ukázali sme si, že nebodovosť náboja vedie k formfaktoru (), ktorý znamená, že faktor pri γ sa zmení: 1 F( ). Okrem toho Pri eze rozptyle v. ráde poruchovej teórie obsahuje eeγ-vertex slučku, teda ν javí priestorovú štruktúru. Tejto skutočnosti zodpovedala zámena γ γ + ( κ m) σ ν. Pri dlhovlnom fotóne ( 0 ) vetexová funkcia Γ musí mať štruktúru odpovedajúcu bodovej častici: F1 ( 0) 1 a F ( 0) 0. Ak vo výraze pre amplitúdu rozptylu urobíme zámenu γ Γ a opakujeme rovnaký postup ako pri e-rozptyle, tak namiesto vzťahu (1) dostaneme σ dω α E sin E F θ E cos d κ θ 1 F ( F1 κ F ) sin LS Namiesto F 1 a F sa často používajú ich kombinácie θ (8) G E F 1 κ + F a G F + κ F (9) 1 zvané magnetický (G ) a elektrický (G E ) formfaktor. Výhoda takehoto vyjadrenia je v tom, že v takomprípade niet interferenčného člena G E.G : σ dω α E sin E G θ E + τg 1 + τ d E LS kde τ ( ). cos θ τ sin θ (30) Zmeranie účinného prierezu pritom dáva: ep ep rozptylu poskytuje informáciu o GE a G experiment
G E ) 1 a G ( G E 0 71 (31). Z priebehu G E ( ) pre rozmer protónu dostávame: r dge ( ) 6 d 0 ( 0. 81 fm ) (3) Analogický polomer (~0.8 fm) bol nájdený pre rozdelenie magnetického momentu. Nepružný ep-rozptyl Pri veľkých Q ( - ) je veľmi pravdepodobná fragmentácia protónu môže sa vzbudiť v rezonanciu: ep e + e p π 0. Takéto eventy je možné charakterizovať inva hmotnosťou W. Invariantná hmotnosť sa určuje metódou missing mass : W ( p + + p ) ( k + p ) 1 N k (33) Účinný prierez. V analógii s e rozptylom pre diferenciálny účinný prierez môžeme písať: d σ α de dω Q E E α Q E L E ( e) ν W ν (3) Kedže nepoznáme hadrónový tok, pre nájdenie W ν použijeme fenomenológiu zákony zachovania a nezávislé hybnosti p a.
Najobecnejšia forma W ν (ak výmennou časticou je fotón a niet narušenia C,P) je: W ν p p p p (35) ν ν ν ν W1 g ν + W + W + W + 5 Keďže L ν je symetrický vklad z W ν dá len symetrická časť. Zákon zachovania prúdu ( J 0 ) vedie k podmienkam pre W ν : ν ν W 0 a W 0 (36) ν Čo znamená, že len zo W i parametrov sú nezávislé a W ν možno parametrizovať: ν W p ν p ν W g + + 1 ν p p (37) W ν Kde W 1 a W sú funkcie skalárnych premenných vytvorených zo -vektorov v hadrónovom vertexe. Existujú nezávislé premenné: a ν p vyjadriť invariantnú hmotnosť systému finálnych hadrónov:. Prostredníctvom týchto premenných si môžeme W ( p + ) + ν + (38) Poznámka. Ďalšie kinematické premenné, ktoré sa používajú sú:
x p p a y (39) pk Účinný prierez pre inelastický ep-rozptyl dostaneme z e-rozptylu zámenou L ( m) : ν W ν d σ α θ θ W + W ( ν, )cos 1( ν, )sin de dω θ E sin (0) Zhrnutie ex-rozptylu Diferenciálný účinný prierez ex-rozptylu ako funkcia energie ( E ) a uhla ( θ ) rozptyleného elektrónu: d σ α E de dω { R } ex (1) kde θ θ { R } e e δ ν + cos + δ ν sin + m m m GE + τ G θ θ { R} ep ep δ ν + cos + τg δ ν + sin m 1+ τ m () θ θ { R} ep ex W ( ν, ) cos + W1 ( ν, ) sin