9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych a a... a b Zavedením matíc n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m m m mn n m (9.) a a... a n b a a... an b,, b (9.).................. a a... a b prepíšeme systém (9.) do kompaktného maticového tvaru b (9.) kde sa nazýva matica koeficientov, sa nazýva vektor neznámych a b sa nazýva vektor konštantných členov. Riešenie systému (9.) môže byť reprezentované stĺpcovým vektorom c c... c n ktorý keď dosadíme do (9.), = c, dostaneme maticovú identitu c (9.4) c b. y a +a y = b y a +a y +a z= b B Obrázok 9.. Geometrická interpretácia rovnice zo systému lineárnych rovníc pre () n =, rovnica je interpretovaná priamkou, (B) n =, rovnica je interpretovaná rovinou. z 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)
Geometrická interpretácia rovníc zo systému (9.) je znázornená na obr. 9.. Riešenie systému je potom určené prienikom týchto geometrických útvarov priradených jednotlivým rovniciam z (9.). Označme nadrovinu priradenú i-tej lineárnej rovnici z (9.) symbolom i, potom riešenie je zadané ich prienikom X... m (9.5) Z geometrického pohľadu vyplýva, že prienik (9.5) buď obsahuje (i) len jeden element, (ii) má nekonečne mnoho elementov, alebo (iii) je prázdny. V prípade, že množina je prázdna, potom systém nemá riešenie (môžeme povedať, že systém (9.) je kontradiktórny). V prípade (i) systém má práve jedno riešenie, ktoré je jednoznačne určené systémom rovníc (porovnaj príklad 9.). V druhom prípade (ii) eistuje nekonečne mnoho riešení, ktoré tvoria podrovinu. Táto kvalitatívna diskusia riešení systému lineárnych rovníc bude precizovaná v ďalšej časti tejto kapitoly. Jeden z hlavných cieľov teórie systémov lineárnych rovníc je rozhodnúť za ktorých podmienok majú alebo nemajú riešenie a v prípade, že ho majú, tak ako ho zostrojiť. Za predpokladu, že matica koeficientov je regulárna, riešenie systému lineárnych rovníc má tento eplicitný tvar b (9.5) Príklad 9.. Nájdite inverznú maticu k matici 4 4 Zavedieme matice 4,, b 4 Pomocou týchto matíc prepíšeme tento systém do maticového tvaru (9.). V príklade 8.8 bola zostrojená inverzná matica vzhľadom k 4 Použitím (9.5) zostrojíme riešenie systému v tvare b 4 4 Budeme študovať tri elementárne príklady, ktoré sú inštruktívne pre pochopenie geometrickej interpretácie lineárnych rovníc a s ním úzko súvisiaci problém počtu riešení: () Systém lineárnych rovníc má práve jedno riešenie, diagram. () Systém lineárnych rovníc 0 T, geometrická interpretácia ja znázornená na obr. 9., má nekonečne mnoho riešení, ktoré môžeme vyjadriť napr. vektorom geometrická interpretácia ja znázornená na obr. 9., diagram B. () Systém lineárnych rovníc t, t, t R, T 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)
nemá riešenie, rovnice sú vo vzájomnom spore, geometrická interpretácia ja znázornená na obr. 9., diagram C. + = y - =0 + = -- =- y + = y -4 - - - - 4-4 - - - - 4-4 - - - - 4 - - - + = - - - B C Obrázok 9.. Geometrické znázornenie troch rôznych systémov lineárnych rovníc pre n =. Diagram znázorňuje prípad, v ktorom sú priamky nerovnobežné, ich prienik jednoznačne určuje práve jedno riešenie systému. Diagram B znázorňuje situáciu, keď obe priamky sú totožné, ich prienik je reprezentovaný priamkou, eistuje nekonečne mnoho riešení, ktoré ležia na priamke. Diagram C znázorňuje situáciu, keď priamky sú rôzne ale rovnobežné, čiže ich prienik je prázdny, neeistuje žiadne riešenie. Definujme rozšírenú maticu (koeficientov) ' tak, že matica koeficientov je rozšírená o stĺpcový vektor konštantných členov a a... a n b a a... an b, b............... am a m... amn b m Pomocou hodností matice koeficientov a rozšírenej matice môžeme stanoviť, kedy systém lineárnych rovníc má alebo nemá riešenie. Veta 9. (Frobeniova veta ). Systém lineárnych rovníc b má riešenie vtedy a len vtedy, ak h h (9.6) Pričom, podrobnejšou analýzou tejto podmienky zistíme, že h h, potom systém nemá riešenie, () ak () ak () ak h h n, potom systém má práve jedno riešenie, h h n, potom systém má nekonečne mnoho riešení. Táto veta patrí medzi fundamentálny teoretický výsledok teórie lineárnych rovníc, špecifikuje nutné a postačujúce podmienky pre eistenciu riešenia. Jej dôkaz je pomerne zdĺhavý a vyžaduje ďalšie pojmy z lineárnej algebry, preto ho nebudeme uvádzať. Séria troch nasledujúcich príkladov ilustruje jednotlivé prípady z Frobeniovej vety. Výsledky týchto Ferdinand Georg Frobenius (849-97) bol nemecký matematik, jeden zo zakladateľov teórie grúp. 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)
príkladov je potrebné porovnať s tetom za príkladom 9., kde sú uvádzané aj riešenia diskutovaných systémov lineárnych rovníc. Príklad 9.. Systém lineárnych rovníc 0 Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar, 0 Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke h h To znamená, že systém má práve jedno riešenie,, Príklad 9.. Systém lineárnych rovníc T. Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar, Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke h h To znamená, že systém má nekonečne mnoho riešení, t, t, t R. T Príklad 9.4. Systém lineárnych rovníc Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar, Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke h h To znamená, že systém nemá riešenie. Frobeniova veta nám len zabezpečuje či systém b má alebo nemá riešenie, ale v prípade, že eistuje, neumožňuje nám toto riešenie nájsť. Jej aplikácia vyžaduje stanovenie hodností tak matice koeficientov, ako aj rozšírenej matice, tento problém môže byť uskutočnený súčasne tak, že stanovíme hodnosť rozšírenej matice, pričom nebudeme používať elementárne operácie transpozície stĺpcových vektorov (menovite stĺpcového vektora konštantných členov b so stĺpcovými vektormi matice koeficientov, a taktiež, aj stĺpcových vektorov z matice samotne). Týmto sa vyhneme zbytočným problémom s korektnou interpretáciou získaného riešenia (napr. označenie neznámych môže byť vzájomne poprehadzované). Naviac, upravená rozšírená matica v trojuholníkovom tvare je 9. kapitola str. 4 (.. 05 o 6:07)
vhodná na konštrukciu riešenia pomocou metódy spätných substitúcií. Tento prístup tvorí obsah Gaussovej eliminačnej metódy (GEM), ktorá tvorí jeden z najefektívnejších algoritmov pre riešenie systému lineárnych rovníc. Gaussova eliminačná metóda riešenia systému lineárnych rovníc Nad rozšírenou maticou ' sa vykonáva postupnosť nasledujúcich elementárnych operácií nad jej riadkami: () transpozícia dvoch riadkov, () vynásobenie riadku nenulovým číslom a () pripočítanie násobku vybraného riadku k inému riadku. Cieľom týchto úprav je pretransformovať rozšírenú maticu na trojuholníkový tvar. Riešenie získame z takto upravenej rozšírenej matice metódou spätných substitúcií. Príklad 9.5. Použitím Gaussovej eliminačnej metódy riešte systém 0 Rozšírená matica má tvar 0. krok. Vykonáme vynulovanie prvkov pod diagonálou v prvom stĺpci 0 0 0 7 6 0 4 0. krok. Vykonáme vynulovanie prvku pod diagonálou v druhom stĺpci 0 0 0 7 6 0 7 6 0 4 0 0 7 0 K tretiemu riadku pripočítame druhý riadok 0 0 0 7 6 0 7 6 0 7 0 0 0 5 Karl Friedrich Gauss (977-855), nemecký matematik, ktorý je pokladaný za jedného z najväčších matematikov v našej histórii. Už ako žiak elementárnej školy (v dnešnej terminológii je to.-4. ročník základnej... n n n. Týmto výsledkom školy) objavil formulu pre súčet prvých n prirodzených čísel, fascinoval svojho učiteľa, ktorý, aby mal kľud od žiakov, často im dával úlohy typu spočítať napr. prvých 00 prirodzených čísel. 9. kapitola str. 5 (.. 05 o 6:07)
Posledná matica znamená, že pôvodný systém rovníc bol pretransformovaný do tvaru 0 7 6 5 Z poslednej rovnice dostaneme =5, dosadením tohto výsledku do predposlednej rovnice dostaneme =, dosadením týchto výsledkov do prvej rovnice dostaneme =. Príklad 9.6. Použitím Gaussovej eliminačnej metódy riešte systém 5 5 Rozšírená matica má tvar 4 4 7 4 4 4 4 5 5 4 7 0 4 0. krok, nulujeme prvky v. stĺpci pod diagonálou 5 5 5 5 5 5 4 7 8 6 4 0 9 5 5 0 4 0 6 4 8 0 0 0 0 0 (i) Vynásobíme. a. riadok rozšírenej matice číslom (ii) K druhému a tretiemu riadku pripočítame prvý riadok (iii) Posledné tri riadky sú lineárne závislé, tak napr.. a. riadok získame vynásobením 4. riadku číslom resp., môžeme teda vynechať. a. riadok. Procedúra stanovenia hodnosti rozšírenej matice končí, získali sme trojuholníkovú maticu. Rozšírenú maticu môžeme prepísať do tvaru systému lineárnych rovníc 5 5 4 4 Máme dve rovnice pre štyri neznáme, t. j. dve neznáme môžu byť charakterizované ako volné parametre, u, 4 v, potom upravený systém prepíšeme do formálneho tvaru dvoch lineárnych rovníc pre dve neznáme 55u v u v Dosadením druhej rovnice do prvej dostaneme konečné riešenie pre neznámu 5 5 u v u v 4 u v Stĺpcový vektor riešenia má tvar 9. kapitola str. 6 (.. 05 o 6:07)
4 uv 4 uv u v a ub vc u 0 0 v 0 0 a b c Môžeme teda uzavrieť, že systém má nekonečne mnoho riešení, ktoré tvoria množinu X a ub v c;u,vr k napríklad položíme u = v =, potom vektor riešení má tvar 4 0 0 0 0 a b c Dosadením týchto hodnôt neznámych do riešeného systému lineárnych rovníc získame identity, t. j. riešenie je korektné. Homogénny systém lineárnych rovníc k stĺpcový vektor konštantných členov je nulový, potom systém (9.) sa nazýva homogénny 0 (9.7) Homogénny systém má vždy tzv. triviálne riešenie, 0, systém (9.7) potom je automaticky splnený. Môžeme si položiť otázku, kedy eistuje netriviálne riešenie (keď aspoň jedna neznáma je nenulová). Tento problém je taktiež riešený Frobeniovou vetou 9.. Veta 9.. Homogénny systém lineárnych rovníc má netriviálne riešenie vtedy a len vtedy, ak hodnosť matice koeficientov je menšia ako počet neznámych h n (9.8) Jednoduchý dôsledok tejto vety je, že ak hodnosť matice sa rovná počtu neznámych, h n, potom homogénny systém má len triviálne nulové riešenie. Príklad 9.7. Hľadajme riešenie homogénneho systému rovníc 5 0 4 4 0 4 0 4 4 0 Budeme hľadať hodnosť matice koeficientov tohto systému (pozri príklad 9.6) 5 5 5 4 8 6 0 5 0 0 6 4 0 0 0 0 0 9. kapitola str. 7 (.. 05 o 6:07)
To znamená, že h() = < 4, t. j. systém má nekonečne mnoho netriviálnych riešení. Pomocou trojuholníkovej matice, ktorá je ekvivalentná s pôvodnou maticou koeficientov, zostrojíme ekvivalentný homogénny systém lineárnych rovníc 5 0 4 4 0 Tento systém obsahuje rovnice pre 4 neznáme, potom, napríklad a 4 môžu byť zvolené ako volné parametre, u a 4 v, pre u,vr. Z poslednej rovnice ekvivalentného systému dostaneme u v, ak tento výsledok dosadíme do prvej rovnice získame u v. Vektor neznámych má tvar uv uv u v ua vb u 0 v 0 k položíme uv 0, potom dostávame triviálne riešenie (nulový vektor), ak položíme, napríklad u v, dostaneme netriviálne riešenie 5 a b 0 0 Množinu riešení potom môžeme vyjadriť takto X ua v b;u,vr Príklad 9.8. Nájdite riešenie homogénneho systému 0 a b a 0 0 Stanovíme hodnosť matice koeficientov (pozri príklad 9.5) 0 7 0 0 Hodnosť matice koeficientov h() =, čo je aj počet neznámych, t. j. homogénny systém má len triviálne riešenie. O tejto skutočnosti sa ľahko presvedčíme, keď pomocou trojuholníkovej matice zostrojíme ekvivalentný homogénny systém 0 Z poslednej rovnice dostaneme, že 0 7 0 b 0, dosadením tohto výsledku do druhej rovnice dostaneme 0, ak oba tieto výsledky dosadíme do prvej rovnice dostaneme 0. Týmto sme ukázali na konkrétnom príklade, že ak hodnosť matice koeficientov sa rovná počtu neznámych, h() = n, homogénny systém má len triviálne riešenie. Tieto úvahy môžeme zosumarizovať do nasledujúcej vety. 9. kapitola str. 8 (.. 05 o 6:07)
Veta 9.. Homogénny systém lineárnych rovníc má buď len jedno triviálne riešenie, vtedy h n, alebo má mnoho netriviálnych riešení vtedy a len vtedy, ak a len vtedy, ak h n. 9. Determinanty Nech je množina všetkých možných matíc. Hodnosť matice môžeme formálne chápať ako zobrazenie množiny matíc na množinu kladných celých čísel h:,,... nalogicky, pod pojmom determinant budeme rozumieť zobrazenie množiny štvorcových matíc na množinu reálnych čísel, det : R (9.9), Determinant matice, budeme označovať symbolom, je to reálne číslo z priradené štvorcovej matici. Prv než pristúpime k definícii determinantu uvedieme základné skutočnosti o permutáciách. Permutáciu P priradenú n objektom budeme vyjadrovať symbolom P p, p,..., p n kde elementy p, p,..., p n sú prirodzené čísla z množiny,,...,n, ktoré vyhovujú podmienke i j p p ko ilustračný príklad tohto pojmu uvedieme permutáciu štyroch objektov P, 4,, Permutáciu interpretujeme, ako --značné zobrazenie množiny obsahujúcej prvých n kladných celých čísel na seba, grafická ilustrácia permutrácie je znázornená na obr. 9.. i j 4 4 Obrázok 9.. Znázornenie permutácie 4 objektov ako jedno-jednoznačné zobrazenie objektov na seba. Celkový počet permutácií n objektov je n!, tieto permutácie tvoria symetrickú grupu (množinu) permutácií S n. Ku každej permutácii môžeme priradiť nezáporné celé číslo, ktoré sa nazýva počet inverzií: hovoríme, že prvky p i a p j tvoria inverziu v permutácii P=(p,...,p i,...,p j,...,p n ), vtedy a len vtedy, ak platí i j p p Celkový počet inverzií v permutácii P je označený I(P). Príklad 9.9. Zostrojte všetky permutácie pre n = a n =, charakterizujte každú permutáciu počtom inverzií. Permutácie pre n= majú tvar i j 9. kapitola str. 9 (.. 05 o 6:07)
P,, I P 0 P,, I P Permutácie pre n= majú tvar P,,, I P 0 P,,, I P P,,, I P P,,, I P, P,,, I P, P,,, I P,, Definícia 9.. Nech ij je štvorcová matica typu (n,n), determinant tejto matice je PSn I P... (9.0) p p npn kde sumácia obsahuje všetky možné permutácie z S n. lternatívne označenie determinantu je det() alebo D(). Príklad 9.0. Determinant matice je podľa definície určený takto PS I P p p I, I, Diagramatická interpretácia výpočtu determinantu matice typu (9.) Príklad 9.. Determinant matice je podľa definície určený v tvare, ktorý môžeme jednoducho vyjadriť pomocou diagramatickej interpretácie (Sarrusove pravidlo) (9.) 9. kapitola str. 0 (.. 05 o 6:07)
Základné vlastnosti determinantov () Nech je štvorcová matica, potom T (9.) Dôsledok tejto vlastnosti je, že ľubovolná vlastnosť, ktorá platí pre riadky determinantu musí platiť aj pre jeho stĺpce (a naopak). () Nech je štvorcová matica a nech matica B vznikne z výmenou dvoch stĺpcov (riadkov) s,..., s,..., s,..., s B s,..., s,..., s,..., s potom i j n j i n Nech matica obsahuje dva rovnaké stĺpce v polohe i a j s,..., s,... s, s, s..., s B (9.4a) i j i j, n Potom jednoduchým dôsledkom vlastnosti (9.4a) je, že determinant tejto matice je nulový 0 (9.4b) () Nech je štvorcová matica a nech matica B vznikne z tak, že jeden stĺpec (riadok) vynásobíme číslom s,..., s,..., s B s,..., s,..., s potom i n j n B (9.5) Dôsledok tejto vlastnosti je, že ak matica obsahuje nulový stĺpec (riadok), potom determinant matice je nulový. (4) Nech je štvorcová matica a nech matica B vznikne z tak, že násobok vybraného stĺpca (riadka) pripočítame k inému stĺpcu (riadku) s,..., s,..., s,..., s B s,..., s s,..., s,..., s potom i j n i j j n B (9.6) (5) Nech je štvorcová matica a nech pre jej vybraný stĺpec platí si s i s i s,..., s s,..., s potom i i n (9.7) kde matica ' ('') vznikne z pôvodnej matice tak, že i-tý stĺpec s i je nahradený stĺpcovým vektorom s ( i i s ) s,..., s,..., s, s,..., s,..., s i n i n Veta 9.4. Nech je štvorcová matica typu nn. =0 vtedy a len vtedy, ak h()<n. 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)
Dôsledkom tejto vety je, že štvorcová matica má nenulový determinant vtedy a len vtedy, ak jej hodnosť sa rovná počtu riadkov 0 h n 0 a sú lineárne nezávislé.. Tieto vektory môžeme formálne chápať ako riadkové vektory matice typu Príklad 9.. Dokážte, že vektory a, a a 0 Na základe dôsledku prechádzajúcej vety vieme, že ak sa nám podarí dokázať, že determinant tejto matice je nenulový, potom h()=, t.j. jej riadkové vektory sú lineárne nezávislé. Determinant matice spočítame Sarrusovým pravidlom 0 0 0 0 7 Príklad 9.. Dôsledok vety 9.4 o tom, že tri riadkové (stĺpcové) vektory a, b a c rovnakého typu (,) sú lineárne závislé vtedy a len vtedy ak z nich zostrojený determinant matice a b c je nulový, 0, bude použitý na určenie roviny v -rozmernom priestore, ktorá je určená bodmi, B a C, ktoré sú reprezentované riadkovými vektormi (pozri obr. 9.4) a a a b b b c c c c a, b a Všeobecný bod X, reprezentovaný vektorom, leží v rovine, potom vektor X a môže byť vyjadrený ako lineárna kombinácia vektorov C ca a B ba, t.j. tieto tri vektory sú lineárne závislé a a a a c a c a c a c a 0 b a b a b a b a vypočítaním tohto determinantu pomocou Sarrusovho pravidla, dostaneme lineárnu rovnicu vzhľadom k premenným, a a + b + c + d = 0 kde a, b, c a d sú koeficienty rovnice popisujúcej rovinu. 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)
X= (,,) C= ( c,c,c) = ( a,a,a) B= ( b,b,b) Obrázok 9.4. Rovina je určená bodmi, B a C, ktoré neležia na priamke. Všeobecný bod X leží v rovine, to znamená, že trojica riadkových vektorov (c-a), (b-a) a (-a) leží v rovine a preto musia byť lineárne závislé. Veta 9.5. Nech je štvorcová trojuholníková matica (nepožaduje sa, aby každý diagonálny element bol nenulový)... n 0... n............ 0 0... nn Determinant matice sa rovná súčinu jej diagonálnych elementov... (9.8) nn Dôkaz tejto vety vychádza z diskusie formuly (9.0), ktorá špecifikuje determinant pre P p, p,..., p má aspoň ľubovolnú štvorcovú maticu. Každá neidentická permutácia n jeden element p i, pre ktorý platí p i <i. Z vlastnosti trojuholníkovej matice vyplýva vlastnosť 0 P,,...,n, ktorá. Potom v rozvoji (9.0) je aktívna len permutácia identity i,p i poskytuje práve súčin diagonálnych elementov z (9.8). ko jednoduchý dôsledok tejto vety je, že determinant jednotkovej matice E sa rovná jednej E (9.9) Veta 9.5 umožňuje zostrojiť efektívny algoritmus pre výpočet determinantov ľubovolnej dimenzii n (pripomeňme, že sme odvodili v príkladoch 9.0 a 9. špeciálne formule pre výpočet determinantov, keď n = a n =. Žiaľ, tieto formule nie sú zovšeobecniteľné pre n >, takže je dôležité mať k dispozícii algoritmus pre výpočet determinantu pre ľubovolné n. Použijeme jednoduchý algoritmus, ktorý je veľmi podobný algoritmu stanovenia hodnosti matice a ktorý je založený na vlastnostiach determinantov (9.-7). To znamená, že nad stĺpcami a riadkami budeme vykonávať jednoduché elementárne operácie tak, aby sme dostali trojuholníkovú maticu (t. j. nulujeme elementy pod diagonálou). Na rozdiel od stanovenia hodnosti matice, pri tomto výpočte determinantu jeho hodnota sa môže meniť, tak napríklad po transpozícii dvoch stĺpcov (riadkov) dochádza k zmene znamienka determinantu, alebo ak riadok vynásobíme číslom, tak potom pred determinat musíme vytknúť číslo. To znamená, že súčasťou algoritmu musí byť aj premenná v ktorej sa kumuluje táto zmena numerickej hodnoty determinatu v priebehu aplikácií elementárnych operácií. 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)
Príklad 9.. Vypočítajte determinant matice s n = 4 0 4 Postup transformácie determinantu na trojuholníkový tvar je prezentovaný na tejto schéme: 0 0 0 0 0 6 5 0 6 5 0 6 5 68 4 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 8 8 0 0 4 0 0 0 6 5 0 6 5 68 68 68 0 0 0 0 48 0 0 0 0 0 5 6 Transformáciu rozvrhneme na jednotlivé kroky:. krok, transformácia vynuluje vyznačené elementy pod diagonálou v. stĺpci.. krok, transformácia vynuluje vyznačené elementy pod diagonálou v.stĺpci.. krok, transformácia 4vykonáva prípravné úpravy. a 4. riadku tak, aby sa mohol vynulovať vyznačený element pod diagonálou v. stĺpci; z. (4.) riadku je vytknuté číslo 6 (8), tieto čísla sú uvedené aj pred determinantom. 4. krok, transformácia 4 5vynásobí tretí riadok číslom /, pred determinant sa vytkne inverzná hodnota tohto čísla. 5. krok, transformácia 5 6 vykoná po prípravných predchádzajúcich dvoch krokoch vynulovanie elementu pod diagonálou v.stĺpci, výsledok je, že sme dostali trojuholníkovú maticu. 6. krok, hodnota determinantu je vypočítaná ako súčin diagonálnych elementov matice krát kumulované čísla pred determinantom, ktoré vznikli ako dôsledok aplikácie elementárnych pravidiel. Možno dokázať, že tento algoritmus patrí medzi najefektívnejšie prístupy k výpočtu determinantu. V prípade, že na diagonále sa nám vygenerovala nula, potom algoritmus môžeme ukončiť, výsledná hodnota determinantu je 0. Bez dôkazu uvedieme dôležitú vetu o determinante súčinu dvoch matíc Veta 9.6. Nech a B sú štvorcové matice rovnakého typu t t n,n determinant súčinu týchto matíc sa rovná súčinu ich determinantov B, potom 9. kapitola str. 4 (.. 05 o 6:07)
B B (9.0) ko jednoduchý dôsledok tejto vety je formula pre determinant inverznej matice vyhovuje podmienke E, použitím formuly (9.0) dostaneme k tento výsledok spojíme s vetou 9.4, potom determinant inverznej matice, ktorá (9.) eistuje vtedy a len vtedy, ak hodnosť matice sa rovná jej dimenzii n z typu t n,n h n., t. j. Veta 9.7. Matica je regulárna vtedy a len vtedy, ak jej determinant je nenulový 0 (9.) Jedna zo základných aplikácií determinantov je ich použitie k riešeniu systému lineárnych rovníc b () ktorý má štvorcovú a regulárnu maticu koeficientov (t. j. 0). maticu vyjadríme pomocou stĺpcových vektorov, potom systém () môžeme prepísať do tvaru n k k k n s, s,..., s b b s () Označme symbolom i maticu, ktorá vznikne z matice tak, že jej i-tý stĺpec nahradíme stĺpcovým vektorom konštantných členov b s,..., s, b, s,..., s Budeme počítať determinant tejto matice i i i n s,..., s, b, s,..., s s,..., s, s, s,..., s i i i n i k k i n n k k i s,..., si, sk, si,..., sn i 0 pre ki kde sme použili vlastnosť (9.7) a (9.4b). Za predpokladu, že je regulárna matica, z poslednej rovnice vyplýva riešenie systému lineárnych rovníc v eplicitnom tvare, tento poznatok sformulujeme ako vetu. n Veta 9.8 (Cramerove pravidlo). Systém lineárnych rovníc matica, má riešenie b, kde je regulárna i i (pre i =,,..., n) (9.) V r. 750 toto pravidlo bolo formulované švajčiarskym fyzikom Gabrielom Cramerom. 9. kapitola str. 5 (.. 05 o 6:07)
Príklad 9.4. Nájdite riešenie systému lineárnych rovníc pomocou Crameroveho pravidla Nájdite riešenie systému lineárnych rovníc pomocou Crameroveho pravidla Zostrojíme jednotlivé determinanty z (9.) Potom riešenie 0, 0, 0 6, 6, 0 0 6 0 5, 6 Cvičenia Cvičenie 9.. Definujete maticu koeficientov, stĺpcový vektor neznámych a stĺpcový vektor konštantných členov b pre systémy (a) 0, (b) 0 0 0 (c) (d) 4 Cvičenie 9.. Riešte pomocou inverznej matice systém rovníc y 6z 4 y z 5y z Cvičenie 9.. Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešte systémy lineárnych rovníc 9. kapitola str. 6 (.. 05 o 6:07)
(a) (b) (c) (d) y z y z y z y z 4 y z y 6 5 5 4 4 7 4 4 4 4 y 4 y 5 4 6y 8 (e) y z 4 y z (f) 0 0 9. kapitola str. 7 (.. 05 o 6:07)