Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá pre päť študentov označených A,, C, D a E obsahuje známky v bodoch (v rozsahu 0 aţ 00) z predmetov Matematika, Logika a Programovanie. predmet Matematika Logika Programovanie A 88 98 67 75 9 7 C 9 8 75 D 98 00 98 E 55 6 8 Riadky tejto tabuľky sú priradené jednotlivým študentom, zatiaľ čo stĺpce sú priradené predmetom. Na priesečníku daného riadku (študent predmet) je uvedený počet bodov, ktoré získal daný študent pre daný predmet. Ak z tejto tabuľky odstránime redundantný popis riadkov a stĺpcov dostávame matematickú štruktúru, ktorá sa nazýva matica 88 98 67 75 9 7 A 9 8 75 (4.) 98 00 98 55 6 8 Definícia 4.. Nech I,,...,m je mnoţina riadkových indexov a J,,...,n je mnoţina stĺpcových indexov, pričom m a n sú kladné celé čísla, m,n. Maticou nazývame mnoţinu obsahujúcu m n čísel, ktoré sú špecifikované riadkovým (i) a stĺpcovým (j) indexom A A ; ii, j J (4.) ij Typ matice je usporiadaná dvojica kladných prirodzených čísel, ktoré sú rovné mohutnostiam mnoţín indexov I a J t A m,n (4.) Štruktúra matice A môţe byť jednoducho znázornená pomocou tabuľky, ktorá obsahuje m riadkov a n stĺpcov, pričom na priesečníku i-tého riadku a j-tého stĺpca je umiestnený prvok A ij, pozri obr. 4.. a formulu (4.).
j-tý stĺpec A = A ij i-tý riadok Obrázok 4.. Znázornenie matice A pomocou tabuľky, ktorá obsahuje m riadkov a n stĺpcov. Niekedy sa pouţíva aj skratkové označenie pre maticu A A ij implicitne predpokladá počet riadkov a stĺpcov tejto matice., pričom sa Príklad 4.. Určite typ matice: (a) (b) 4 0 A, t, 4 0 A. A, t, A. (c) 0, t 4,. (d) X, t, X. Základná terminológia () Ak m=n, matica sa nazýva štvorcová, v opačnom prípade sa matica nazýva obdĺžniková. () Prvky A ii matice A sa nazývajú diagonálne, všetky diagonálne prvky tvoria (hlavnú) diagonálu matice, pozri obr. 4.. () Ak všetky prvky matice sú nuly, potom sa matica nazýva nulová matica. (4) Štvorcová matica, ktorá mimo diagonály má nulové prvky a na diagonále má aspoň jeden nenulový prvok sa nazýva diagonálna matica. (5) Špeciálny prípad diagonálnej matice je jednotková matica (budeme ju značiť E), kde všetky diagonálne prvky sú jednotky
A ij pre i j 0 pre i j A= Obrázok 4.. Znázornenie diagonálnych prvkov v matici A, ktorá je typu t(a) = (m,n). Diagonála začína v prvku A a končí v prvku A mm (ak m n), alebo v prvku A nn (ak m > n). V prípade, ţe matica je štvorcová (m = n), potom diagonála začína v ľavom hornom rohu a končí v pravom dolnom rohu matice. (6) Nech A je matica typu t(a) = (m,n), potom matica transponovaná k tejto matici, označená A T, sa vytvorí z matice A tak, ţe vzájomne zameníme stĺpce za riadky a naopak, potom t(a T ) = (n,m) (pozri obr. 4.). Názorne hovoríme, ţe matica A T vznikla z matice A jej preklopením (otočením o 80) okolo diagonály. Transponovaná matica je ilustrovaná príkladom T 0 0 Obrázok 4.. Schematické znázornenie vzniku transponovanej matice A T diagonály. pootočením pôvodnej matice A okolo (7) Štvorcová matica sa nazýva symetrická matica, ak platí A T =A. Jednoduchý príklad symetrickej matice je T 0 0 0 0 (8) Matica A typu (m,n) sa nazýva trojuholníková matica, ak pod diagonálou má nulové prvky a na diagonále má nenulové prvky (pozri obr. 4.4) 0 pre i j, pod diagonálou sú nulové prvky aij 0 pre i j, na diagonále sú nenulové prvky Ilustračný príklad trojuholníkovej matice je V anglickej literatúre sa beţne ako trojuholníková matica berie iba matica typu (n,n).
A= 0 0 0 0 5 0 0 0 Obrázok 4.4. Schematické znázornenie trojuholníkovej matice, ktorej prvky na diagonále sú nenulové a pod diagonálou má len nulové prvky. (9) Ak matica A typu t(a) = (m,n) má počet riadkov (m) alebo počet stĺpcov (n) rovný, potom takáto špeciálna matica sa nazýva riadkový vektor (m = ) resp. stĺpcový vektor (n = ). Príklady riadkovej a stĺpcovej matice sú 0 0, A Aplikáciou operácie transpozície, stĺpcový vektor sa mení na riadkový vektor a naopak, pre predchádzajúce dve matice dostaneme 0 T, A T 0 Pomocou riadkových alebo stĺpcových vektorov môţeme vyjadriť kaţdú maticu ako kompozíciu týchto elementárnych matíc. Nech A je matica (4.) typu t(a) = (5,). Definujme päť riadkových vektorov r 88 98 67 r r r 4 75 9 7 9 8 75 98 00 98 r 5 55 6 8 a tri stĺpcové vektory 88 98 67 75 9 7 s 9, s 8, s 75 98 00 98 55 6 8 Pomocou týchto vektorov vyjadríme maticu A (4.) dvoma alternatívnymi spôsobmi takto r r A r, A s s s. r4 r5. Operácie nad maticami
j-tý st ĺ pec Nad maticami je moţné definovať rôzne binárne operácie, pomocou ktorých sa definuje tzv. algebra matíc, ktorá podstatne uľahčuje a zefektívňuje ich aplikácie v matematike. Definícia 4.. () Nech matice A = (A ij ) a = ( ij ) sú rovnakého typu, t(a) = t() = (m,n). Hovoríme, ţe tieto matice sa rovnajú, A =, vtedy a len vtedy, ak i I j J A (4.4) ij ij () Nech matice A = (A ij ) a = ( ij ) sú rovnakého typu, t(a) = t() = (m,n). Hovoríme, ţe matica je -násobkom matice A, = A, vtedy a len vtedy, ak i I j J A (4.5) ij ij () Nech matice A = (A ij ), = ( ij ) a C = (C ij ) sú rovnakého typu, t(a) = t() = t(c) = (m,n). Hovoríme, ţe matica C je súčtom matíc A a, C = A +, vtedy a len vtedy, ak i I j J C A (4.6) ij ij ij (4) Matica A = (A ij ) je typu t(a) = (m,k), matica = ( ij ) je typu t() = (k,n) a matica C = (C ij ) je typu t(c) = (m,n). Hovoríme, ţe matica C je súčinom matíc A a, C = A, vtedy a len vtedy, ak k i I j J Cij Aip pj Ai j Ai j... Aik kj (4.7) p m C A i-tý riadok = m n k k c ij n Obrázok 4.5. Znázornenie súčinu matíc C =A pomocou súčinu riadkového vektora matice A a stĺpcového vektora matice. Najzloţitejšia binárna operácia je súčin dvoch matíc. Definícia (4.7) súčinu dvoch matíc A a môţe byť podstatne zjednodušená pouţitím riadkových vektorov matice A a stĺpcových vektorov matice (pozri obr. 4.5). Nech r i je i-tý riadkový vektor matice A a s j je j-tý stĺpcový vektor matice, potom prvok C ij je zadaný takto j C r s A A... A A (4.8) k j ij i j i i ik ip pj... p kj Príklad 4.. Násobenie matíc
a a b b 0 A, a a b b Definujme riadkové vektory matice A a stĺpcové vektory matice r, r s 0, s Potom prvky matice C = A sú určené takto C r s 0 C r s 0 4 C r s 4 0 C r s 0 6 Potom súčin A je určený 0 4 A 4 6 Podobným spôsobom zostrojíme aj maticu A 0 A 8 Vo všeobecnosti platí, ţe súčin matíc nie je komutatívna operácia (pozri príklad 4.) AA (4.9a) Ďalšia dôleţitá vlastnosť je, ţe jednotková matica E pôsobí ako jednotka pre maticový súčin EA AE A (4.9b) Základné vlastnosti súčtu a súčinu matíc moţno zosumarizovať do tvaru tzv. maticovej algebry : () Súčet matíc je komutatívny A+ =+A (4.0a) () Súčet a súčin je asociatívny A+(+C)=(A+)+C, A(C)=(A)C (4.0b) () Súčin je distributívny vzhľadom k súčtu matíc (A+)C=AC+C (4.a) A(+C)=A+AC (4.b) (+)A=A+A (4.c) (A+)=A+ (4.d) (4) Asociatívnosť operácie násobenia matice číslom vzhľadom k operácii súčin matíc A()=(A) (4.a)
(A)=()A (4.b) Algoritmus pre násobenie matíc Nech matica A = (A ij ) je typu t(a) = (m,k), matica = ( ij ) je typu t() = (k,n) a matica C = (C ij ) je typu t(c) = (m,n). Podľa definície 4. prvky matice C sú určené vzťahom (4.7), ktorý môţe slúţiť aj ako algoritmický podklad pre implementáciu programu pre násobenie dvoch matíc (pozri algoritmus 4. napísaný v pseudokóde Pascalu). Algoritmus 4.. procedure matrix_multiplication(a,,c : matrices); for i:= to m do for j:= to n do begin sum:=0; for p:= to k do sum:=sum+a[i,p]*[p,j]; C[i,j]:=sum; end; Vypočítať jeden prvok C ij podľa (4.7) vyţaduje k súčinov a (k ) súčtov (vyššie uvedený algoritmus má pre p= zbytočný súčet, čo je vyváţené jednoduchosťou pseudokódu). Pretoţe matica C má mn prvkov, potom algoritmus vyţaduje kmn súčinov a (k )mn súčtov. Môţeme teda konštatovať, ţe zloţitosť algoritmu rastie úmerne n, pričom sa predpokladá, ţe dimenzie matíc sú si rovné, k = m = n. Je prekvapujúce, ţe uţ tak jednoduchý algoritmus ako tento môţe byť akcelerovaný. V 60-tych rokoch minulého storočia bol 7 navrhnutý algoritmus, ktorého zloţitosť rastie n, pretoţe 7, tento nový algoritmus je o trochu efektívnejší ako náš algoritmus 4.. Tento vylepšený algoritmus sa stáva efektívnejším ako klasický algoritmus 4. aţ pre dimenzie matíc rádovo tisíc. A A A (,) (,4) (4,5) 4 ( AA) (,4) A A A (,) (,4) (4,5) 60 ( AA) (,5) 40 ( AA ) A (,5) S=4+40=64 0 A ( A A ) (,5) S=60+0=90 A Obrázok 4.6. Výpočet súčinu troch matíc pre dve rôzne zátvorkovania. V prvom prípade A je potrebných 64 súčinov, zatiaľ čo v druhom prípade je potrebných 90 súčinov. To znamená, ţe pre výpočet súčinu troch daných matíc musíme preferovať zátvorkovanie A A A, ktoré vyţaduje menej elementárnych súčinov neţ ako druhé zátvorkovanie A A A. Problém násobenia reťazca matíc Pretoţe násobenie matíc je asociatívna operácia, nezáleţí na zátvorkovaní jednotlivých medzivýsledkov. Tak napríklad pre výpočet súčinu troch matíc A A A existujú dva rôzne spôsoby zátvorkovania, avšak v dôsledku asociativity súčinu matíc musí platiť
A A A A A A. Preto by sme sa mohli domnievať, ţe z pohľadu algoritmizácie tohto problému výpočtu súčinu reťazca matíc (ktorých dimenzie sú také, ţe ich súčin existuje) je irelevantný spôsob zátvorkovania. Ţiaľ nie je to pravda, aj keď výsledná matica je invariantná vzhľadom k zátvorkovaniu, numerická náročnosť (napríklad celkový počet elementárnych súčinov maticových prvkov) výpočtu je uţ závislá od spôsobu zátvorkovania. Zvoľme tieto jednoduché typy matíc: t A,, t A 4, a t A 45,. Výpočet súčinov týchto troch matíc je znázornený na obr. 4.6. Z tohto jednoduchého ilustračného príkladu vyplýva, ţe pre výpočet súčinu reťazca matíc existuje optimálne zátvorkovanie medzivýsledkov, ktoré poskytuje minimálny počet elementárnych súčinov pre výpočet celého reťazca matíc. Uvaţujme n matíc A, A,, A n, ktoré sú typu t(a i ) = (p i,q i ), pričom pre susedné matice A i a A i+ musia byť splnené podmienky, aby existoval ich súčin q i = p i+, kde typ súčinu týchto matíc je t(a i A i+ ) = (p i,q i+ ). Pre výpočet maticového súčinu A i A i+ je potrebných m AA p q q (4.) i i i i i elementárnych súčinov. Týmto sme dospeli k formulácii nasledujúceho problému: Ako určiť zátvorkovanie súčinu n matíc AA... A n tak, aby počet elementárnych súčinov pri výpočte súčinu tohto reťazca matíc bol minimálny? V prvom kroku upriamime našu pozornosť na enumeračný problém určenia počtu rôznych zátvorkovaní reťazca matíc AA... A n.označme počet moţných zátvorkovaní reťazca matíc AA... A n symbolom P(n). Vytváranie zátvorkovania môţeme uskutočniť jednoduchým rekurentným spôsobom. Nech U k je mnoţina, ktorá obsahuje reťazce k matíc pre rôzne zátvorkovania, kde k =,,..., n. Potom mnoţinu U n vytvoríme tak, ţe pre všetky moţné dvojice podmnoţín U n-k a U k vytvoríme moţné zátvorkovanie Un UU n UU n... UnU Un U (4.4) Potom počet rôznych zátvorkovaní reťazca n matíc je pre n Pn (4.5a) n Pk Pn k pre n i olo ukázané, ţe počet zátvorkovaní je určený pomocou binomického koeficientu Prvé hodnoty P(n) sú P n n n n n n n P,P,P,P 4 5,P 5 4,... Na obrázku 4.7 je znázornený rekurentný postup konštrukcie mnoţín U, U, U a U 4. (4.5b)
U ={ } U = U U = { } U U U U U = = {, } = = {,,,, } U 4 U U U U U U Obrázok 4.7. Rekurentný postup konštrukcie prvých štyroch mnoţín U, U, U a U 4. Konštrukciu optimálneho zátvorkovania budeme realizovať pomocou jednoduchej heuristiky, ktorá sa nazýva greedy algoritmus. Pre hľadanie optimálneho zátvorkovania spočíva jeho podstata v tom, ţe postupne v danej etape vyberieme také zátvorky, ktoré poskytujú minimálny výsledok, tento postup opakujeme tak dlho, aţ zostrojíme kompletné zátvorkovanie celého reťazca AA... A n. Tento postup budeme ilustrovať pomocou reťazca súčinu štyroch matíc A A A A 4, ktorých typy nech sú špecifikované takto A 4 5 A 5 A 5 A 5 t,,t,,t,,t, 4 Pre tieto matice vytvoríme postupnosť dimenzií matíc (predpokladáme, ţe podmienky q i = p i+ pre existenciu súčinu matíc A i A i+ sú splnené) (4,5,,5,), ktorá sa v priebehu algoritmu vyuţíva k výpočtu aktuálneho počtu elementárnych súčinov, pozri obrázok 4.4. V texte, ktorý doprevádza tento obrázok, sú špecifikované aj základné myšlienky greedy algoritmu. Z uvedeného ilustračného príkladu vyplýva, ţe aj napriek jednoduchosti tohto algoritmu je v tomto prípade výsledok totoţný s optimálnym výsledkom. (4,5,,5,) (4,5,,5,) 60 75 0 (4,,5,) (4,5,5,) (4,5,,) 60 75 0 (4,5,) (4,,) (4,5,) (4,5,) (4,5,) (4,,) 60 0 50 00 60 0 60 0 (4,) (4,) (4,) (4,) (4,) (4,) 40 4 40 40 4 40 N=60 N=4 N=65 N=5 N=4 A 40 Obrázok 4.4. (A) Ľavý obrázok vyjadruje metódu spätného prehľadávania pre konštrukciu úplného stromu riešení. Vo vrchole tohto stromu je reťazec matíc A A A A 4 bez zátvorkovania. Na ďalšej úrovni si vţdy zvolíme dvojicu susedných matíc A i A i+, pre ktoré vykonáme súčin (reprezentovaný spojkou ), výsledný počet elementárnych súčinov je uvedený pod kaţdým reťazcom matíc. Tento proces opakujeme tak dlho, aţ sú vykonané súčiny dvojíc matíc (v tomto prípade tri). Kaţdá vetva stromu riešení nám špecifikuje jedno moţné zátvorkovanie pôvodného reťazca matíc, jej výsledné ohodnotenie N je tvorené sumou počtu elementárnych súčinov na kaţdej úrovni stromu. Zo stromu vyplýva, ţe optimálne zátvorkovanie je 4 A A A A, ktoré obsahuje minimálny počet elementárnych súčinov N=00. () Pravý obrázok vznikol ako výsek ľavého úplného stromu riešení a reprezentuje podstatu greedy algoritmu, ktorá podstatne redukuje veľkosť stromu riešení. Na kaţdej úrovni vyberieme lokálne minimálnu moţnosť súčinu susedných matíc. Týmto spôsobom strom riešení
má len jednu úplnú vetvu, ktorá reprezentuje výsledné riešenie greedy algoritmu, v našom prípade celkové ohodnotenie tejto vetvy je N=00, čo je výsledok totoţný s presným riešením z celkového stromu riešení. Na záver tejto podkapitoly poznamenajme, ţe heuristika greedy je veľmi efektívna, v mnohých prípadoch nám umoţňuje jednoducho a rýchlo získať riešenie, ktoré nie je vzdialené od optimálneho riešenia. Moţno konštatovať, ţe patrí medzi najefektívnejšie heuristiky, ako pribliţne riešiť zloţité kombinatorické problémy. inárne matice Matica A, ktorá obsahuje len binárne prvky 0- sa nazýva binárna matica. Algebraické operácie nad takýmito maticami sú zaloţené na logických spojkách konjunkcie a disjunkcie ak a b ab (4.6a) 0 ináč ak aalebo b ab (4.6b) 0 ináč Nad binárnymi maticami definujeme tri binárne operácie: () Nech A = (A ij ) a = ( ij ) sú binárne matice rovnakého typu t(a) = t() = (m,n), potom matica C = (C ij ) sa nazýva konjunkcia matíc A a, C = A, jej maticové prvky sú i I j J Cij Aij ij (4.7) () Nech A = (A ij ) a = ( ij ) sú binárne matice rovnakého typu t(a) = t() = (m,n), potom matica C = (C ij ) sa nazýva disjunkcia matíc A a, C = A, jej maticové prvky sú i I j J C A (4.8) ij ij ij () Nech binárna matica A = (A ij ) je typu t(a) = (m,k), binárna matica = ( ij ) je typu t() = (k,n) a binárna matica C = (C ij ) je typu t(c) = (m,n). Hovoríme, ţe matica C je súčinom matíc A a, C = A, jej maticové prvky sú i I j J Cij Ai j Ai j... Aik kj (4.9) Pretoţe súčin binárnych matíc je asociatívna operácia, môţeme definovať r-tú mocninu štvorcovej binárnej matice A = (A ij ), kde r je kladné celé číslo r > r A A A... A (4.0) rkrát Ako interpretovať operácie nad binárnymi maticami? inárna matica môţe byť chápaná ako maticová reprezentácia binárnej relácie R X X X x,x,...,x. Prvok 0 ij A implikuje, ţe usporiadaná dvojica x i,x j Jednoduchými úvahami je moţné dokázať, ţe matica kompozície R R R. Formulu (4.6) prepíšeme do tvaru i I j J Cij max min A il,lj l, kde n R (pozri kapitolu.). A AA je reprezentáciou (4.) kde sme pouţili formule a b mina,b a a b max a,b (pozri kapitolu v učebnom texte Matematická logika [xx]). Ak porovnáme (4.) s definíciou kompozície dvoch binárnych relácií (.8), dospejeme k záveru, ţe definícia súčinu binárnej matice (4.9) je formálne totoţná s kompozíciou R R R. Pomocou grafovej interpretácie relácie R a jej mocnín (pozri obr. 4.9) môţeme potom alternatívne interpretovať n-té mocniny matice A tak, ţe ak má jednotkový prvok v pozícii (i, j), potom existuje postupnosť n hrán z i-tého vrcholu grafu do j-tého vrcholu grafu.
R R R R R R R A C R R R 4 R R 4 R 5 D E Obrázok 4.9. Grafová reprezentácia relácie R (diagram A) a jej mocnín R (diagram ), R (diagram C), R 4 (diagram D) a R 5 (diagram E). Diagramy E obsahujú aj rekurentnú tvorbu relácií R n z predchádzajúceho výsledku R n-. Príklad 4.. Nech A a sú binárne matice 0 A 0, 0 0 0 Zostrojte súčin A. 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Príklad 4.4. Zostrojte všetky mocniny matice 0 0 A 0 0 0 V prvom kroku spočítame A 0 A A A 0 0 0 Postupne v ďalších krokoch spočítame vyššie mocniny matice 0 A A A 0
4 A A A 0 5 4 A A A Poznamenajme, ţe tieto mocniny matice A môţeme jednoducho určiť pomocou grafovej interpretácie relácie R, pozri obr. 4.9. Potom vyššie mocniny matice A sú určené n 5 n 5A A. Hodnosť matice Hodnosť matice A je celé kladné číslo označené h(a), ktoré patrí medzi dôleţité charakteristiky matíc. Neţ pristúpime k definícii tejto veličiny, zavedieme ďalší dôleţitý pojem lineárnej závislosti/nezávislosti stĺpcových (riadkových vektorov). Pre jednoduchosť budeme tieto úvahy uskutočňovať pre stĺpcové vektory, automaticky budú platiť aj pre riadkové vektory, a naopak. Definícia 4.. Nech a, a,..., a n je n stĺpcových (riadkových) vektorov z p (t. j. vektory majú p prvkov). Hovoríme, ţe tieto vektory sú lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak existujú také koeficienty (čísla),,..., n, z ktorých je aspoň jeden nenulový, aby ich lineárna kombinácia bola rovná nulovému vektoru 0 a a... a 0 (4.) n n Veta 4.. Stĺpcové (riadkové) vektory a, a,..., a n sú lineárne závislé práve vtedy, ak jeden z nich môţeme vyjadriť ako lineárnu kombináciu ostatných vektorov, napr. a a... a (4.) n n Dôkaz tejto vety je veľmi jednoduchý. Na základe definície 4. z predpokladu lineárnej závislosti vektorov a, a,..., a n vyplýva, ţe aspoň jeden koeficient je nenulový. Predpokladajme, ţe 0, potom (4.) môţeme upraviť do tvaru a a... a n Týmto sme dokázali, ţe z predpokladu 0 vyplýva (4.), čím je dôkaz zavŕšený. Veta 4.. Stĺpcové (riadkové) vektory a, a,..., a n sú lineárne nezávislé vtedy a len vtedy, ak a a... a 0 (4.4) n n len pre nulové koeficienty,... n 0. Táto veta je jednoduchým dôsledkom definície 4.. n
Príklad 4.5. Majme trojicu stĺpcových vektorov 0 0 a 0, a, a 0 0 0 Ľahko dokáţeme, ţe tieto vektory sú lineárne nezávislé. Uvaţujme podmienku (4.4) z vety 4.. 0 0 0 a a a 0 0 0 0 0 0 0 Porovnaním posledných vektorov dostaneme, ţe 0. To znamená, ţe táto lineárna kombinácia sa rovná nulovému stĺpcovému vektoru len pre nulové koeficienty, potom podľa vety 4. vektory sú lineárne nezávislé. Definícia 4.4. Hovoríme, ţe matica A má stĺpcovú (riadkovú) hodnosť rovnú k vtedy a len vtedy, ak má maximálne k lineárne nezávislých stĺpcových (riadkových) vektorov. h A k (4.5) sr Veta 4.. Pre kaţdú maticu A typu t(a) = (m,n) riadková a stĺpcová hodnosť sú rovnaké, pričom hodnosť je zdola ohraničená 0 (pre nulové matice) a zhora ohraničená minimálnou hodnotou m a n h A h A h A min m,n (4.6) 0 s r Príklad 4.6. Majme maticu A 0 0 0 Riadkové vektory tejto matice majú tvar r, r 0, r 0 0 Študujme lineárnu kombináciu 0 0 0 0 0 0 Koeficienty sú určené rovnicami 0 0 0 Postupným riešením tohto systému dostaneme riešenie 0. To znamená, ţe riadkové vektory sú lineárne nezávislé, maximálny počet lineárne nezávislých vektorov je, t. j. riadková hodnosť matice je. Stĺpcové vektory matice A sú
s 0, s, s 0 0 Ich lineárna kombinácia sa rovná nulovému stĺpcovému vektoru 0 0 0 0 0 0 Koeficienty sú určené rovnicami 0 0 0 Riešením tohto systému dostaneme 0. To znamená, ţe stĺpcové vektory sú lineárne nezávislé, čiţe matica ma stĺpcovú hodnosť. Týmto sme dokázali, ţe matica A má stĺpcovú a riadkovú hodnosť, čiţe hodnosť matice je, h(a) =. Definícia 4.5. Hovoríme, ţe matice A a sú ekvivalentné, A ~, vtedy a len vtedy, ak majú rovnakú hodnosť, h(a) = h(). Veta 4.4. Nech matica vznikne z matice A pomocou jednej z týchto 4 operácií: () vzájomnou výmenou poradia dvoch riadkov (stĺpcov), () vynásobením riadku (stĺpca) nenulovým číslom, () pripočítaním riadku (stĺpca) k inému riadku (stĺpcu), (4) vynechaním riadku (stĺpca), ktorý buď obsahuje len nulové prvky alebo je lineárnou kombináciou ostatných riadkov (stĺpcov). Potom matice A a sú ekvivalentné, h(a) = h(). Jednotlivé kroky z tejto vety budeme ilustrovať pomocou matice,,..., i-tý stĺpcový vektor: () Výmena poradia dvoch stĺpcov A s,..., s,..., s,..., s s,..., s,..., s,..., s i j n j i n () Stĺpec je vynásobený číslom 0 A s,..., s,..., s s,..., s,..., s i n i n A s s s, kde s i je n () Vynechaním stĺpca, ktorý je buď lineárnou kombináciou ostatných stĺpcov alebo je nulový A s,..., s, s, s,..., s s,..., s, s,..., s i i i j n i i j n (4) K stĺpcu pripočítame iný stĺpec A s,..., s,..., s,..., s s,..., s,..., s s,..., s i j n i j i n Podobné znázornenie elementárnych operácií môţe byť vykonané aj pre riadkové vektory matice A.
Dôkaz vety 4.4 vyplýva priamo zo skutočnosti, ţe 4 povolené operácie nad riadkami alebo stĺpcami matice nemenia jej hodnosť, t.j. zachovávajú počet lineárne nezávislých riadkových a aj stĺpcových vektorov. Veta 4.5. Trojuholníková matica A typu t(a)=(m,n), kde m n, má hodnosť h(a) = m (4.7) Pri dôkaze tejto vety pre jednoduchosť predpokladajme, ţe trojuholníková matica A má rovnaký počet riadkov a stĺpcov, m = n. Vyjadríme ju pomocou riadkových vektorov r A A... A m r 0 A... A m A............... m 0 0... A r mm Pripomeňme, ţe jej diagonálne prvky Aii 0. Študujme lineárnu kombináciu jej riadkových vektorov, ktorú poloţíme rovnú riadkovému nulovému vektoru 0 r r... mrm 0 Koeficienty sú určené systémom rovníc A 0 A A 0... A m A m... m Amm 0 Pretoţe, ako uţ bolo poznamenané, diagonálne prvky trojuholníkovej matice sú nenulové, A 0, systém môţeme postupne riešiť, dostaneme ii... m 0 Týmto sme dokázali, ţe riadky trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé, čiţe platí h(a) = m. Veta 4.5 v kombinácii s vetou 4.4 umoţňuje implementáciu efektívneho algoritmu pre stanovenie hodnosti matice. Pre danú maticu A budeme pomocou vety 4.4 vykonávať také elementárne transformácie (ktoré nemenia jej hodnosť), aby výsledná matica bola trojuholníková, potom pomocou vety 4.5 hodnosť výslednej matice sa rovná počtu riadkov. Príklad 4.7. Nech matica A má tvar 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0. krok. Vykonáme také elementárne transformácie, ktoré budú viesť k zániku nenulového prvku v prvom stĺpci pod diagonálou. Tretí riadok vynásobíme číslom - a potom k tomuto riadku pripočítame prvý riadok
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. krok. Vykonáme vynulovanie prvkov pod diagonálou v druhom stĺpci. Štvrtý riadok vynásobíme číslom - a potom k tretiemu a k štvrtému riadku pripočítame druhý riadok 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. krok. V tomto poslednom kroku vynecháme štvrtý riadok, ktorý obsahuje len nulové prvky 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Postupnými elementárnymi úpravami sme pretransformovali pôvodnú maticu A na trojuholníkovú maticu, ktorá obsahuje tri riadky, potom h(a)= Pri týchto úpravách treba dať pozor na prípad, kedy by sme dostali maticu, ktorá má pod diagonálou nuly a na diagonále tieţ nulu, ale v tom istom riadku má ešte nenulové prvky, potom treba prehodiť stĺpce, aby na diagonále bol nenulový prvok..4 Inverzná matica Nech A je štvorcová matica typu t(a) = (n,n), problém existencie takej matice, pre ktorú platí A = A = E, kde E je jednotková matica typu t(a) = (n,n), nie je zaručený pre ľubovoľnú štvorcovú maticu, ale len pre určité špeciálne matice, ktoré nazývame regulárne matice. Definícia 4.6. Štvorcová matica A, typu t(a) = (n,n), sa nazýva regulárna vtedy a len vtedy, keď pre jej hodnosť platí h(a) = n. Z definície regulárnej matice plynie, ţe tak stĺpcové ako aj riadkové vektory sú lineárne nezávislé. Môţeme teda parafrázovať definíciu regulárnej matice takto: štvorcová matica A je regulárna vtedy a len vtedy, ak jej riadkové (stĺpcové) vektory sú lineárne nezávislé. Definícia 4.7. Matica A - sa nazýva inverznou maticou vzhľadom k regulárnej matici A vtedy a len vtedy, ak spĺňa podmienku AA A A E. Veta 4.6. Pre regulárnu maticu A existuje práve jedna inverzná matica A -.
Tento dôkaz jednoznačnosti inverznej matice vykonáme nepriamo. udeme predpokladať, ţe vzhľadom k regulárnej matici A existujú dve rôzne inverzné matice označené a C A A E () AC CA E () zo vzťahu () vyberieme A E, ktorý vynásobíme sprava maticou C, dostaneme A E AC EC E C C E C Veta 4.7. Inverzná matica vyhovuje vzťahom A A (4.8a) A A (4.8b) Vzťah (4.8a) vyplýva priamo z definičnej podmienky AA A A E, ktorú môţeme A A. interpretovať tak, ţe matica A je inverznou maticou k matici A -, t. j. musí platiť Vzťah (4.8b) dokáţeme pomocou vzťahu. A A E. Počítajme: A A A A E E E Týmto sme dokázali, ţe súčin A dáva výsledky aké by dávala matica A. Pretoţe podľa vety 4.6 inverzná matica existuje jednoznačne, tak potom relácia (4.8b) určuje inverznú maticu jednoznačne. Zostávajúcu časť tejto kapitoly venujeme metóde konštrukcie inverznej matice, ktorá je veľmi podobná metóde stanovenia hodnosti matice. udeme študovať dvojicu matíc AE, nad maticami tejto dvojice budeme vykonávať postupnosť elementárnych operácií z vety 4.4 tak, ţe vybraná elementárna operácia je súčasne aplikovaná na obe matice, pričom sa snaţíme pouţívať také elementárne operácie, ktoré transformujú ľavú maticu A na jednotkovú maticu E. Kaţdá elementárna transformácia aplikovaná na nejakú maticu X je vyjadriteľná pomocou súčinu matíc X, formálne ele.transf. X X X Keď dvojicu AE transformujeme postupnosťou n elementárnych transformácií určených maticami,,..., n, dostaneme A E... A... E n n Ako uţ bolo povedané, tieto elementárne transformácie sú vykonané s cieľom transformácie matice A na jednotkovú maticu n... A E A n... Potom dostaneme A A E n... A n... E E A E A Postupnosť elementárnych transformácií rozdelíme na tri etapy:. etapa nulovanie maticových prvkov pod diagonálou (podobne ako v metóde stanovenia hodnosti matice),
. etapa nulovanie maticových prvkov nad diagonálou,. etapa násobenie riadkov číslami tak, aby na diagonále zostali len jednotkové prvky. V prípade, ţe táto postupnosť nie je vykonateľná (napr. dostaneme nulový riadok), procedúru transformácie ukončíme, pretoţe matica nie je regulárna (teda ani invertibilná). Naznačený spôsob konštrukcie inverznej matice môţe byť pouţitý ako konštruktívny dôkaz vety 4.6, bez diskusie podmienky jednoznačnosti inverznej matice. Príklad 4.4. Nájdite inverznú maticu k matici 4 A 4 Zostrojíme dvojicu matíc 4 0 X 0 4 0 V prvej etape vykonáme takú elementárnu operáciu, ktorá nuluje prvok pod diagonálou, vykonáme elementárnu operáciu ep, ţe druhý riadok vynásobíme a k takto upravenému druhému riadku pripočítame prvý riadok ep : r r r Dvojica X 0 sa pretransformuje na X 4 0 X 0 4 V druhej etape budeme nulovať prvky nad diagonálou, vykonáme elementárnu operáciu ep, ţe k prvému riadku pripočítame druhý riadok ep : r r r Dvojica X sa pretransformuje na X 0 X 0 4 V tretej etape prvý riadok vynásobíme a druhý riadok vynásobíme 4, dostaneme finálnu dvojicu 0 X 0 4 E A Potom inverzná matica má tvar A 4 Ľahko sa presvedčíme, ţe táto matica je inverzná 4 0 AA E 4 4 0 4 0 A A E 4 4 0.5 Cvičenia
Cvičenie 4.. Stanovte typ matice a jej názov. (a) (b) 0 (c) (d) 0 Cvičenie 4.. Nájdite hodnoty a,b,c, d tak, aby platilo a b c d Cvičenie 4.. Rozhodnite o pravdivosti týchto tvrdení A; A je jednotková matica A; A je symetrická matica (a) (b) A; A je symetrická matica A; A je diagonálna matica 0 0 A; A je štvorcová matica A; A je diagonálna matica (c) A; A je jednotková matica (d) (e) A; A je jednotková matica A; A je diagonálna matica Cvičenie 4.4. (a) Zostrojte matice A A ij, ij a C ij typu (, ), pre ktoré platí A i j, i j, C 4i j ij ij ij (b) Zostrojte maticu A A ij (c) (d) C,, typu (4, 4), ktorá je symetrická a má tieto vlastnosti: Aii i, A A 4 0, A 4, A A A A, A4 A A4 Zostrojte maticu, ktorá je súčasne stĺpcovým aj riadkovým vektorom. Nájdite x a y pre maticu x y 0 A Aij x y 4 A A a A A /. pre
Cvičenie 4.5. Zostrojte transponované matice k maticiam (a) 0 (b) (c) 0 0 (d) 4 0 0 Cvičenie 4.6. Pre matice A 0 0,, 0 vypočítajte matice (ak existujú) (a) A (b) A (c) AC (d) AC (e) C (f) T C 0 Cvičenie 4.7. Pre maticu riešte rovnicu X E, kde X je matica typu (, ) a E je jednotková matica typu (, ). T Cvičenie 4.8. Pre riadkové vektory u a v spočítajte uv (ak existuje). u 0, v 0 0 (a) (b) u, v (c) u 0, v Cvičenie 4.9. Pre kaţdú dvojicu matíc A a určte ich typ a či súčin matíc existuje, ak existuje, tak ho vypočítajte. 4 (a) A, 5 4 4 0 0 (b) A, 0 0
0 4 A, (c) 4 5 4 Cvičenie 4.0. Nech A a, vypočítajte 0 (a) A (b) A6 (c) A (d) A (e) A A (f) (g) A A (h) A A (i) T A (j) T A Cvičenie 4.. Nech A, A, A a. 0 0 A 0 0 a 0 0 0 0 0 0 sú diagonálne matice, vypočítajte 0 0 Cvičenie 4.. Ukáţte, ţe ak A je štvorcová matica, potom Cvičenie 4.. Dokáţte tieto vlastnosti transponovanej matice: (a) A T T A (b) T T T A A (c) T T T A A Cvičenie 4.4. Stanovte hodnosť matíc 0 (a) A 0 0 (b) (c) 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 pre ktoré hodnoty p, má matica A hodnosť. p A T A je symetrická matica.
(d) (e) 0 A 0 pre ktoré hodnoty parametrov p a q má matica 0 A hodnosť. p q Cvičenie 4.5. Nájdite inverznú maticu (ak existuje) k matici: (a) 6 A 5 (b) A 4 5 (c) 5 A (d) 4 8 A (e) 4 A 6 (f) 0 A 0 0 (g) A 4 5 6 7 8 9 (h) A 0 Cvičenie 4.6. Dokáţte matematickou indukciou formulu...... A A A A A A. n n Cvičenie 4.7. Nech A, a C sú štvorcové matice rovnakého typu (n,n). Dokáţte, ţe ak A je regulárna matica, potom zo vzťahu A AC vyplýva = C. Cvičenie 4.8. Ukáţte, ţe ak A a sú štvorcové matice rovnakého typu (n,n) a A je regulárna matica, potom A A A A. Cvičenie 4.9. Nech A je regulárna matica, ukáţte, ţe A A. n n
Cvičenie 4.0. Nech A a 0 (a) A (b) A (c) A 0 sú binárne matice, zostrojte 0 Cvičenie 4.. Nech (a) A (b) A (c) A 0 A 0 a 0 0 0 0 sú binárne matice, zostrojte 0