1 Rozdeleia odvodeé z oráleho Mioriady výza pri aalýze štatistických údajov, získaých áhodý výbero, ajú spojité rozdeleia: chí-kvadrát rozdeleie, t-rozdeleie a F-rozdeleie. Sú odvodeé z oráleho rozdeleia a používajú sa pri koštruovaí itervalových odhadov a testovaí hypotéz. χ -rozdeleie (Pearsoovo) χ -rozdeleie (chí-kvadrát) je jedo z veľi dôležitých rozdeleí, ktoré sa používa ajä pri úsudkoch o rozptyloch. Náhodá preeá X á χ -rozdeleie s jediý paraetro (počet stupňov voľosti), ak adobúda hodoty [ 0, ) x a á hustotu rozdeleia pravdepodobosti x 1 x e f ( x) = Γ 0 x [0, ) x (-, 0) kde Γ( ) = x 0 1 x e dx pre > 0. Pre stredú hodotu a rozptyl tohto rozdeleia platí: E ( X ) =, D( X ) =.
0,5 0,4 = 0,3 0, 0,1 = 3 = 6 0 4 6 8 10 1 x Obr. 1 Hustota pravdepodobosti χ rozdeleia pre =, =3 a =6 Toto rozdeleie je odvodeé z oráleho, lebo ak zoberiee ezávislé áhodé preeé pre Y, Y,..., Y 1 s orovaý orály rozdeleí, t. j. ~ N( 0,1) i = 1,,...,, tak áhodá preeá Y i Y = Y1 + Y +... + Y á χ -rozdeleie (rozdeleie chí-kvadrát) so stupňai voľosti, čo zapíšee Y = Y1 + Y +... + Y ~ χ ( ) Pre praktické potreby boli tabelovaé kritické hodoty χ (, a kvatily χ ( ) tohto rozdeleia. p Kritická hodota χ (, Kritická hodota χ (, je defiovaá vzťaho P ( Y > χ (, ) = α
3 Kritická hodota odsekáva a pravej strae plochu ohraičeú grafo fukcie hustoty rozdeleia chí-kvadrát a osou hodôt preeej o veľkosti α. Najčastejšie používaé hodoty α sú 0,1 a 0,05. 1-α α 0 χ (, a) = χ1 α ( ) x Obr. Kvatil χ ( ) p Pre kvatil χ ( ) platí: p ( Y < χ ( ) ) p P p = Kvatil χ ( ) je hodota, ktorá odseke vľavo plochu ohraičeú grafo fukcie p hustoty rozdeleia chí-kvadrát a osou hodôt preeej o veľkosti p. Vzťah edzi kritickou hodotou a kvatilo Pre zvoleú hodotu α platí χ (, = χ1 α ( )
4 t-rozdeleie (Studetovo) Studetovo rozdeleie, s - stupňai voľosti, sa ajčastejšie využíva pri štatistických úsudkoch o ezáej stredej hodote. S rastúci počto stupňov voľosti sa stále viac podobá oráleu rozdeleiu. Studetovo rozdeleie s jediý paraetro, á áhodá preeá X, ak pre hodoty x (, ) je hustota rozdeleia pravdepodobosti v tvare f ( x) = + 1 + 1 Γ x 1 + Γ π, R x, N = 5 =1-5 -4-3 - -1 0 1 3 4 5 x Obr. 3 Studetovo rozdeleie pre =1, =5 v porovaí s orály rozdeleí Odvodeie z oráleho rozdeleia: ak zoberiee áhodú preeú X s rozdeleí N ( 0,1) a od ej ezávislú áhodú preeú Y s rozdeleí χ ( ) preeá, tak áhodá T = X Y á t rozdeleie pravdepodobosti s stupňai voľosti t. j. ~ t( ) Pre stredú hodotu a rozptyl tohto rozdeleia platí: T.
5 E ( T ) = 0 a ( T ) D =. Kritická hodota t (, Kritická hodota t (, tohto rozdeleia je defiovaá vzťaho P (- t(, < T < t(, ) = P( T < t(, α ) = 1 α Kritická hodota odsekáva a obidvoch straách (vpravo aj vľavo) plochy ohraičeé grafo fukcie hustoty t-rozdeleia a osou hodôt preeej o veľkosti α /. Najčastejšie používaé hodoty α sú 0,1 a 0,05. f(t) α/ 1 - α α/ t(, α ) = tα ( ) 0 t(, = t α ( ) t 1 Obr. 4 Vzťah edzi kritickou hodotou a kvatilo rozdeleia t () Kvatil t p () Z defiície kvatilu vyplýva ( T < t ( ) ) p P p = Kvatil t p () je hodota, ktorá odseke vľavo plochu ohraičeú grafo fukcie hustoty t-rozdeleia a osou hodôt preeej o veľkosti p.
6 Vzťah edzi kritickou hodotou a kvatilo Pre zvoleú hodotu α platí t(, = t α ( ) 1 F-rozdeleie (Fisherovo-Sedecorovo) Náhodá preeá X á F-rozdeleie pravdepodobosti so stupňai voľosti a, ak adobúda hodoty x ( 0, ) a á hustotu 1 f ( x) = B, 0 1 x 1 + x + pre x (0, ) pre x 0 kde, N 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 x 8, 8,6, Obr.5 F rozdeleie pre =8, = a pre =8, =6
7 F-rozdeleie je založeé a podiely ezávislých preeých s χ -rozdeleí. Používa sa ajä a porovávaie rozptylov. Je to dvojparaetrické rozdeleie. Paraetrai sú stupe voľosti čitateľa a stupe voľosti eovateľa. Ak teda X ~ χ ( ) a Y ~ χ ( ), poto áhodá preeá F = X Y á F-rozdeleie pravdepodobosti so stupňai voľosti a t. j. ~ F(, ) Pre stredú hodotu a rozptyl tohto rozdeleia platí: E ( F ) = pre > a ( ) ( + ) D F = pre > 4 ( ) ( 4) F. Kritická hodota F (,, Kritická hodota tohto rozdeleia F (,, je defiovaá vzťaho P ( F > F(,, α )) = α Kritická hodota odsekáva a pravej strae plochu ohraičeú grafo fukcie hustoty F rozdeleia a osou hodôt preeej o veľkosti α. Najčastejšie používaé hodoty α sú 0,1 a 0,05.
8 α 0 F(,, = F 1-α (, ) x Obr. 6 Kvatil (, ) F p Kvatil tohto rozdeleia F p (, ) je defiovaý vzťaho ( F < F (, ) ) p P p = Kvatil F p (, ) je hodota, ktorá odseke a ľavej strae plochu ohraičeú grafo fukcie hustoty F-rozdeleia a osou hodôt preeej o veľkosti p. Vzťah edzi kritickou hodotou a kvatilo Pre zvoleú hodotu α platí F (,, = F1 α (, ) Pozáka. V štatistických tabuľkách sú tieto kritické hodoty resp. kvatily uvedeé iba pre alé hodoty α (0,01; 0,05; 0,1 a pod.) alebo iba pre veľké hodoty α (0,9; 0,95; 0,99 a pod.). Dôležité sú preto vzťahy edzi kritickýi hodotai resp. kvatili pre α a pre Platí: 1 α. 1 F (,, = F(,,1 1 Fp (, ) = F1 p (, )