Globálna navgáca moblných robotov na báze geometrcke mapy Frantšek Duchoň Ladslav Juršca Abstrakt Článok analyzue súčasný stav problematky navgáce moblných robotov na základe známe geometrcke rezentáce prostreda. V článku sú predstavené základné metódy plánovana cesty robota v známom prostredí a zároveň sú analyzované ch výhody a nedostatky. Kľúčové slová: geometrcká mapa graf vdteľnost Voronoov dagram tangent graf polygónové mapy metóda napnutého vlákna metóda potencálových polí Úvod Naprek exstuúcm vhodneším rezentácám prostreda pre moblné roboty z hľadska ukladaceho prestoru a štruktúry zápsu sa v moblne robotke uplatňuú a geometrcké rezntáce prostreda obvykle tvorené polygónm. Naprek náročnost uchovávať takúto rezentácu prostreda sa v moblne robotke uplatňuú z rôznych hľadísk optmálne metódy hľadana nakratších cest v takýchto mapách [][7]. Medz takéto metódy možno zaradť graf vdteľnost všeobecný Voronoov dagram tangent graf metódu napnutého vlákna alebo metódu potencálových polí.. Graf vdteľnost [] [] Spoením všetkých párov vrcholov prekážok v prostredí (resp. v mape prostreda) ktoré sa navzáom "vda" vznkne graf na ktorom sa dá plánovať globálna dráha. Graf obsahue a počatočnú a ceľovú pozícu robota. Čary spáaúce ednotlvé vrcholy prekážok obvykle rezentuú nakratšu cestu medz týmto vrcholm. Úlohou robota e potom už len násť nakratšu cestu medz počatočnou a ceľovou pozícou v takto defnovanom grafe. Na to možno využť algortmy A* Dkstra (vď AT&P Journal Globálna navgáca moblných robotov na báze topologcke mapy) alebo ednoduché prehľadávane na základe eukldovske vzdalenost. Hrany grafu vdteľnost e sú rovné čary ktoré spáaú dva "vdteľné" vrcholy v a v : e s. v S s 0 0 s. v free () kde S free predstavue voľný prestor v prostredí. Nech množna V v... v n e množna vrcholov prekážok v konfguračnom prestore zahŕňaúca a štartovný a ceľový bod robota. Zostroene grafu vdteľnost spočíva v určení všetkých ostatných vdteľných vrcholov prekážok pre vrchol v V. Logcky sa ponúka možnosť otestovať všetky dvoce vrcholov č nepretínaú prekážky. Je teda potrebné otestovať O n prenkov pretože exstue n prekážok. Takže e tu O hrán od O n možných hrán z vrcholu v preto e potrebné otestovať n O vrcholov vdteľných pre vrchol v. To e nutné vykonať pre všetky v V čže výpo-. xstue však a čtová náročnosť sa zvýš až na O n efektívneša metóda ako určť vdteľné vrcholy pre vrchol v. Táto metóda sa nazýva plane sweep algortmus. Vstupom v a vrchol v. v vdteľná z vrcholu v. do tohto algortmu e množna vrcholov Výstupom e podmnožna z Algortmus spočíva v týchto krokoch:. Pre každý vrchol v sa vypočíta uhol medz horzontálnou osou (obvykle os x ) a čarou.. Vytvorí sa zoznam vrcholov obsahuúc vo vzostupnom poradí.. Vytvorí sa aktívny zoznam S obsahuúc hrany ktoré pretínaú polpramku v kladnom smere os x vychádzaúce z v. 4. Všetky e potrebné otestovať. Ak e v potom čaru v vdteľné z v začatkom hrany ktorá ne e v S e potrebné prdať do grafu vdteľnost. Ak e potom e potrebné vložť túto hranu do množny S. Ak v koncom hrany v S potom e potrebné túto hranu e vymazať zo zoznamu S. Príklad takéhoto algortmu možno ukázať na obrázku (Obr. ). ISSN -X /0 Teóra
4 8 4 8 Vlož 8 Vlož Vymaž Vlož Obr. Príklad prostreda pre vytvorene grafu vdteľnost [] Fg. xample of envronment used for vsblty graph creaton Naskôr sú vypočítané uhly k ednotlvým vrcholom a ncalzované množny 7 4 8 S 4 8 a. Ďalší postup znázorňue tabuľka (Tab. ). Treba s uvedomť defnovane začatku a konca hrany. Začatok hrany e defnovaný menším uhlom od horzontálne os vytvorene z vrcholu v naopak konec hrany má väčší uhol od teto horzontálne os oprot začatku hrany. Vdteľnosť vrcholu v z v sa testue len vzhľadom na množnu S. Takýmto spôsobom sa výpočtová náročnosť algortmu znžue na On. log n. Ak sú náhodou tr vrcholy kolneárne (leža na edne pramke) eden vrchol sa merne posune a pokračue sa vyšše opísaným algortmom. 4 8 Tab. Postup výpočtu pomocou plane sweep algortmu [] Fg. Progress of computaton wth plane sweep algorthm Naprek ednoduche mplementác má táto metóda dva hlavné nedostatky. Veľkosť rezentáce prostreda a teda a počet vrcholov a cest v grafe sa zvyšue s množstvom prekážok v prostredí. Metóda e teda rýchla a efektívna v prostredí s menším počtom prekážok avšak pr väčšom počte prekážok e v porovnaní s ným metódam pomalá a neefektívna. Druhou nevýhodou e že nádená dráha v grafe vdteľnost predpsue robotu čo navac sa prblížť k prekážkam. Naprek tomu že nádená dráha e optmálna podmenky pre bezpečnosť robota ako a eho prostreda optmálne nastavené ne sú. Obvyklým rešením e defnovane rozšírena prekážok o vzdalenosť väčšu ako e polomer robota čo má však často za následok obetovane optmálnost nádene dráhy. Vymaž Vlož Vrchol Množna S Akca Incalzáca 4 8 Zoradene množny 7 4 8 4 4 8 8 8 7 4 7 Vymaž Vlož Vymaž Vlož 7 Vymaž Vymaž 4 Prda 4 do grafu Vymaž 7 Vymaž 8 Prda 8 do grafu Vlož 4 Vlož Prda do grafu Obr. Graf vdteľnost [] Fg. Vsblty graph Z prve nevýhody vyplýva že graf vdteľnost (Obr. ) obsahue mnoho nadbytočných vrcholov. Použtím podporných a oddeľuúcch čar možno tento počet zredukovať (Obr. ). Podporná čara e dotyčnca k dvom prekážkam prčom obe prekážky sa nachádzaú len v edne pol rovne vymedzene čarou. Oddeľuúca čara e tak sto dotyčnca k dvom prekážkam avšak prekážky sa nachádzaú v opačných pol rovnách vymedzených čarou. Redukovaný graf (Obr. 4) vdteľnost e zostroený z práve takýchto podporných a oddeľuúcch čar. Uzly grafu vdteľnost ktoré neleža na takýchto čarach sú odstránené. Redukovaný graf vdteľnost možno zostroť a pre konkávne typy prekážok. Uplatňue sa tu defníca lokálne konvexnost. ISSN -X /0 Teóra
cesty Voronoovým dagramom môžeme prekážky pokladať za základne. Prekážky ne sú však opísane množnou bodov preto defnícu Voronoovho regónu e potrebné rozšírť na defnícu všeobecného Voronovho dagramu. Nech V e množna bodov nablžších k prekážke Q : V kde d q Q free d q d h q h () d q e vzdalenosť k prekážke Q z polohy q teda: q mn dq c () co Základným stavebným kameňom všeobecného Voronovho dagramu (VVD v angl. GVD - Generalsed Vorono Dagram) e množna ekvdštančných bodov ku dvom množnám Q a Q pre ktoré platí: d q d q 0 (4) Obr. Príklady podporných a oddeľuúcch čar [] Fg. xamples of supportng and segregatng lnes Dvoekvdštančná plocha e potom defnovaná ako (Obr. a): S q Q q q d d 0 () Takáto plocha rozdeľue prekážky v prestore a môžeme u obmedzť na množnu bodov ekvdštančných k prekážkam Q a Q ktoré sú zároveň nablžše k obom týmto prekážkam. Takáto obmedzená štruktúra sa nazýva dvoekvdštančný zlom (Obr. c): V q Q d q d q h () Spoením dvoch takýchto dvoekvdštančných zlomov vznkne VVD (Obr. d): VVD V (7) Obr. 4 Graf vdteľnost a redukovaný graf vdteľnost [] Fg. 4 Vsblty graph and reduced vsblty graph. Voronoov dagram [] [] [] [4] Voronoov dagram e cestná mapa ktorá maxmalzue vzdalenosť medz robotom a prekážkam v mape. Plánovane dráhy moblného robota pomocou Voronovho dagramu vychádza z geometrcke mapy prostreda. Pre každý bod patrac do množny voľných bodov (teda ne prekážky) e vypočítaná vzdalenosť k nablžše prekážke. Voronoov dagram e defnovaný na množnách bodov nazývaných základne. Voronoov regón e potom množna bodov nablžších k dane základn. Voronoov dagram e množna bodov ekvdštančných k dvom základnam. Pr plánovaní Obr. a.) Množna S ekvdštančných bodov k dvom prekážkam b.) Množna SS ekvdštančných bodov s ednoznačným gradentom c.) Množna V ekvdštančných bodov k dvom prekážkam d.) Voronoov dagram [] ISSN -X /0 Teóra
Fg. a.) Set S of equdstant ponts to both obstacles b.) Set SS of equdstant ponts wth unvocal gradent c.) Set V of equdstant ponts to both obstacles d.) Vorono dagram V dvorozmernom prestore potom V nazývame hrany VVD ktoré sa konča alebo na dotykových bodoch (množna ekvdštančných bodov k trom alebo vacerým prekážkam) alebo na hrančných bodoch (množna bodov ktorých vzdalenosť k prekážke e nulová). Používane funkce vzdalenost d (ednoznačné určene vzdalenost) predpokladá výskyt len konvexných prekážok v prestore čo e v mnohých prípadoch nereálne. Je teda potrebné konkávne prekážky rozdelť na vacero konvexných. Na Obr. možno vdeť rozdelene konkávne prekážky na dve konvexné dvoma rôznym spôsobm. Oba sú správne avšak každá z dekompozíc vytvára odlšné množny ekvdštančných bodov S k prekážkam O a O. Obr. Konkávna prekážka a e možnost rozdelena [] Fg. Concave obstacle and ther possbltes of partton Obr. 7 Umestnene robota v troch bodoch. V bode q a q neexstue lokálne mnmum. [] Fg. 7 Placement of robot n three postons. In poston q and q doesn't exst local mnmum. Pre gradenty platí: d d d q d q q d q q d q Je teda potrebné elmnovať časť dvoekvdštančne plochy s neednoznačným vektorom gradentu (Obr. 7). To e možné urobť zadefnovaním dvoekvdštančne surektívne plochy (Obr. b): (8) SS q q q Q d d (9) Voronoov dagram možno zostroť na základe troch typov rezentácí prostreda: na základe nformácí zo snímačov na základe polygónove mapy prostreda a na základe mrežkove (metrcke) rezentáce prostreda. VVD môže byť skonštruovaný pramo z nformácí zo snímačov. Používaúc senzory vzdalenost e možné robot navesť na dotykový alebo hrančný bod. Robot sa dostane na štruktúru VVD tak že sa pohybue smerom od nablžše prekážky dovtedy kým ne e v rovnake vzdalenost od dvoch prekážok. Túto charakterstku možno využť a pr reaktívne navgác (Obr. 8). Obr. 8Spôsob nádena štruktúry VVD pr reaktívne navgác [] Fg. 8 The way of Vorono dagram constructon at reactve navgaton Ak robot narazí na nový ešte nepreskúmaný dotykový bod zapamätá s z akého smeru na tento dotykový bod narazl. Potom dentfkue všetky nové hrany VVD vychádzaúce z tohto dotykového bodu. Z dotykového bodu potom robot skúma hranu VVD kým nenarazí na ďalší dotykový alebo hrančný bod. Ak robot narazí na ďalší dotykový bod celý proces sa rekurzívne opakue. Ak robot narazí na už preskúmaný dotykový bod robot dokončl cyklus vo VVD grafe a pokračue s ešte nepreskúmaným dotykovým bodom. Ak robot narazí na hrančný bod ednoducho sa otočí a vrát sa k dotykovému bodu s nepreskúmaným hranam VVD. V prípade že všetky hrany sú už preskúmané tvorba VVD e ukončená. Ak sa robot dostane na VVD e potrebné aby "stopoval" VVD teda aby platlo d q d q. Dotyčnca e potom defnovaná ako d q d q 0. To sa zhodue s prechodom čarou spáaúcou dotykové body nablžších prekážok a generovaním vektora pohybu kolmého na túto čaru (Obr. 9) Dotykové body VVD sú potom detegované na základe náhlych zmen nformácí o vzdalenost k edne z nablžších prekážok. Takýmto sledovaním VVD možno spresnť a odometrckú nformácu o polohe robota. Obr. 9 Smer pohybu po VVD. Smer e vždy kolmý na čaru ktorá spáa dva nablžše body dvoch nablžších prekážok [] Fg. 9 Drecton of robot on GVD. Drecton s always orthogonal on lne whch connects the two nearest ponts of the nearest obstacles. Vytvorene VVD na polygónove mape e ednoduché (Obr. 0). Táto mapa defnue prekážky pomocou vrcholov a hrán. Množna ekvdštančných bodov k dvom hranám e čara. Množna ekvdštančných bodov k dvom vrcholom e čara. Množna ekvdštančných bodov medz vrcholom a hranou e ISSN -X /0 Teóra
parabola. Prestor polygónove mapy e teda potrebné rozdelť na čast s odpovedaúcm dvocam. Obr. 0 VVD medz dvoma polygónovým prekážkam [] Fg. 0 GVD between two polygonal obstacles. Na určene VVD v mrežkove rezentác sa používa Brushfre algortmus (vď. AT&P Journal Globálna navgáca moblných robotov na báze metrcke mapy). Pr teto metóde má každá bunka defnovanú vzdalenosť akú "vlna už prešla". Práve v bunkách kde sa vlna "láme" sú rovnaké vzdalenost k dvom nablžším prekážkam. Teto mesta sú potom súčasťou VVD. Lom vlny môžeme defnovať ako mesta s aktuálne šírenou hodnotou nedotýkaúce sa žadne bunky s nulovou hodnotou. Iným spôsobom detegovana bunek VVD e pamätane s od ktore prekážky sa vlna v dane bunke šír. Ak sa algortmus pokús zapísať pre ednu bunku dve rôzne hodnoty potom táto bunka e súčasťou VVD. Algortmy ktoré prehľadávaú cestu vo Voronoovom dagrame sú podobné ako pr metóde graf vdteľnost. Nádená dráha vo Voronoovom dagrame ne e optmálna z hľadska predene dĺžky e však nabezpečneša z hľadska kolízí. Obmedzením pre využte Voronovho dagramu e a druh použtých snímačov na lokalzácu robota v prostredí. Keďže táto metóda predpsue naväčšu vzdalenosť robota od prekážok akékoľvek senzory s krátkym dosahom použté pre lokalzácu môžu v tomto procese zlyhávať. Obr. Voronoov dagram [] Fg. Vorono dagram. Tangent graf [] Táto metóda bola vyvnutá kvôl nedostatkom grafu vdteľnost: Graf vdteľnost potrebue N predstavue počet vrcholov. O pamäte kde N Graf vdteľnost e obmedzený na prekážky polygonálneho tvaru zataľ čo v skutočnost prekážky mávaú rôzne zakrvena. Ak sa zmení neaký parameter pr výpočte grafu vdteľnost (napríklad počet prekážok alebo zmena rozmeru robota) e potrebné celý graf určť nanovo. Na rešene týchto nedostatkov bol zadefnovaný tangent graf. Pr určovaní tangent grafu bol zavedený poem lokálne nakratša cesta ktorý bol zavedený kvôl hľadanu cesty medz zakrveným hranam prekážok. Táto cesta predstavue nakratšu cestu na zvolenom malom regóne. Tangent graf sa podobá grafu vdteľnost avšak vrcholy tohto grafu zodpovedaú dotykovým bodom s prekážkam v zmysle lokálnych nakratších cest a eho hrany rezentuú pre pohyb robota voľné dotyčnce alebo konvexné dotykové segmenty medz vrcholm. Pomocou tangent grafu e možné hľadať cestu nelen medz prekážkam rezentovaným polygónm ale a medz prekážkam ktoré maú zakrvené hrany. Výpočtová náročnosť tangent grafu e O K kde K predstavue počet konvexných segmentov na hrancach prekážok. Cesta P e lokálne nakratša cesta ak na malom okolí ne e možné násť kratšu bezkolíznu cestu ako P. Je teda možné konštatovať že ak neexstue žadna lokálne nakratša cesta v mape potom neexstue bezkolízna cesta pre pohyb robota a naopak. Ak sa čara dotýka hrance prekážky v bode p ale nepretína žaden malý regón z prekážky v blízkost bodu p potom táto čara e dotyčnca k prekážke a bod p e nazývaný dotykový bod. Navyše ak e táto čara dotyčncou naraz k dvom prekážkam nazýva sa všeobecná dotyčnca. Ak sa dotykové body dotyčnce k obom alebo vacerým prekážkam nachádzaú na edne strane dotyčnce de o vonkašu všeobecnú dotyčncu nak o vnútornú všeobecnú dotyčncu. Ak sponca dvoch bodov z hrance prekážky defnovaných na malom poztívnom okolí bodu p z hrance prekážky e vo vnútr prekážky potom bod p e konvexný nak e konkávny. Ak sú všetky body zo segmentu hrance prekážky C konvexné potom a segment C e konvexný. Ak sú všetky body tohto segmentu konkávne potom a segment C e konkávny. Pre robot e potom lokálne nakratša cesta zostavená z konvexných hrančných segmentov a zo všeobecných dotyčníc konvexných hrančných segmentov. Prvú časť tohto tvrdena možno ukázať na oblúku ~ F ~. Predpokladame že oblúk ~ F ~ (Obr. ) e súčasťou lokálne nakratše cesty. Na malom okolí oblúka ~ F ~ e možné násť bod G kde pramy segment G e bezkolízny. Platí že ~ ~ ~~ G GF F. Druhú časť tvrdena možno ukázať na segmentoch CD a B ~ C ~. Predpokladame že segment CD e súčasťou lokálne nakratše cesty prechádzaúc do segmentu B ~ C ~. Segment CD ne e dotyčncou v bode C ale môžeme povedať že e dotyčncou k ným hrančným segmentom. Nablžším dotykovým bodom k bodu C zo segmentu CD e bod P. Potom môžeme podobne na okolí bodu C násť bod H na hranc B ~ C ~ ~ ~ pre ktorý platí že segment HP e bezkolízny a HP HC CP. ISSN -X /0 Teóra
cestu pre robot zo štartovace do ceľove pozíce možno násť metódam ktoré prehľadávaú grafy napr. A* alebo Dkstra algortmus. Obr. Vzťahy medz lokálne nakratším cestam hrancam a segmentm spáaúcm body na hrancach [] Fg. Relatons between locally shortest paths borders and segments lnkng pont on borders Tangent graf e potom defnovaný ako množna V L kde vrchol v V rezentue dotykový bod na hranc prekážky a hrana l L odpovedá bezkolízne všeobecne dotyčnc alebo konvexnému hrančnému segmentu medz dvoma bodm dotyku. Počet dotyčníc potom určue veľkosť tangent grafu. Pre dva konvexné obekty exstuú dve vnútorné a dve vonkaše všeobecné dotyčnce. Dokázať to možno tak že čara rozdeľue rovnu na dve pol rovny (Obr. ). Ak e táto čara dotyčncou k obom regónom regóny sa musa nachádzať v opačných pol rovnách. Z toho vyplýva že pre dva konvexné obekty môžu exstovať len dve vnútorné a dve vonkaše všeobecné dotyčnce. Obr. Porovnane grafu vdteľnost (a) a tangent grafu (b) [] Fg. Comparson of vsblty graph (a) and tangent graph (b). 4. Polygónové mapy [] Táto metóda vytvára na základe geometrcke mapy prostreda polygónovú rezentácu tohto prostreda (Obr. ). Táto rezentáca prostreda transformue voľný prestor do konvexných polygónov. Obr. Dotyčnce medz dvoma konvexným obektm [] Fg. Tangents between two convex obstacles xstue nanavýš 9 bezkolíznych dotyčníc medz dvoma šprálam. xstuú tr typy bezkolíznych dotyčníc medz dvoma šprálam. Prvý typ nkdy nepretne šprály (Obr. 4 a). Druhý typ pretne hocktorú zo šprál len raz (Obr. 4 b). Tretí typ pretne obe šprály (Obr. 4 c d). Obr. 4 Dotyčnce medz dvoma šprálam [] Fg. 4 Tangets between two sprals Z tvrdení o maxmálnom počte dotyčníc medz dvoma konvexným obektm a dvoma šprálam možno odvodť veľkosť tangent grafu. Ak e prostrede defnované tangent grafom ISSN -X Obr. Rozdelene prestoru na konvexné polygóny [] Fg. Partton of envronment on convex polygons Samotné polygóny v týchto mapách maú ednu dôležtú vlastnosť. Ak robot štartue na obvode nektorého z polygónov a potrebue sa dostať na ný bod z obvodu tohto polygónu nkdy neprede za okra polygónu. Polygón teda rezentue bezpečné pásmo prechodu pre robot. Plánovane dráhy na základe taketo mapy e potom otázkou výberu správneho porada polygónov ktorým treba presť. Konštrukca taketo mapy e položená na základe globálne geometrcke mapy. Naskôr sú prekážky "obalené" veľkosťou robota. Je to namä z bezpečnostného dôvodu. Druhým aspektom e možnosť rezentovať robot bodom. Ďale e potrebné v globálne metrcke mape násť význačné vlastnost prostreda z hľadska navgáce napr. rohy dvere hrance obektov apod. Na základe týchto vlastností e možné potom vygenerovať samotné polygóny. A keď sa môže zdať že plánovane na taketo mape e už ednoduché ne e celkom tomu tak. Nektoré čary tvorace hrance polygónu nemusa byť napoené na ďalší polygón (napríklad ak sú súčasťou prekážky) takže pre plánovane ch ne e možné brať do úvahy. Iné čary môžu byť prílš dlhé čo spôsobue rôzne celkové dráhy pr plánovaní. Keďže e ťažké dskretzovať čarové segmenty ponúka sa vacero rešení. Jedným /0 Teóra
z nch e násť stredné body čar polygónov (Obr. 7) ktoré suseda s ďalším polygónom. Tak vznkne graf na ktorom e pomocou grafových metód (Dsktra A* apod.) možné naplánovať dráhu. Obr. 7 Nádene cesty pomocou stredných bodov čar [] Fg. 7 Path searchng wth mddle ponts of lnes Ako e vdeť plánovane dráhy na takto vytvorene mape bude vždy neakým spôsobom bez hladkého prebehu dráhy. Z tohto dôvodu Chuck Thorpe navrhol rešene nazývané metóda napnutého vlákna (Obr. 8). Navrhnutá dráha robota e vytvorená akoby napnutým vláknom ktoré spáa oba konce prechodu polygónom. Takto navrhnutý algortmus vyhladí prebeh dráhy bez narušena bezpečnost prechodu polygónm. Obr. 8 Nádene cesty pomocou napnutého vlákna [] Fg. 8 Path searchng wth tghtenng rope Nevýhodam použta polygónových máp e veľká výpočtová náročnosť samotné využte vlastností prostreda z globálne mapy namesto využta snímaných údaov a otázka aktualzáce taketo mapy.. Metóda potencálových polí [] [4] Táto metóda vytvára pole alebo gradent na globálne geometrcke mape prostreda. Metóda potencálového poľa považue robot za bod ktorý e ovplyvnený umelým potencálovým polom U p. Robot sa v prostredí pohybue pomocou sledovana tohto poľa. Ceľ e defnovaný ako mnmum v prestore a správa sa ako príťažlvá sla zataľ čo prekážky maú predpísané správane v podobe odpudvých síl. Superpozícou všetkých síl aplkovaných na robot vznkne umelé potencálové pole ktoré plynule dovede robot do ceľove pozíce bez kontaktu s prekážkam. Predpokladame že robot e v dvorozmernom prestore defnovaný ako bod s orentácou teda pomocou x y. U p Ak zavedeme dferencálovú potencálovú funkcu môžme potom zadefnovať a umelú slu F p pôsobacu p x y : na pozíc Fp U p kde U p (0) označue gradent vektora U na pozíc p : p U U U x y U () Potencálové pole pôsobace na robot e potom vypočítané ako suma príťažlvého poľa od ceľa a odpudzuúcch polí od prekážok: U p U p U p () Podobne môžeme defnovať a sly pôsobace na robot: F p F p F p U p U p () Ďalším krokom v defnovaní umelého potencálového poľa e defníca príťažlvého a odpudvého potencálu. Príťažlvý potencál môže byť defnovaný napríklad takto: U kde p k p (4) k e kladný súčnteľ a súčnteľ p e defnovaný ako ukldovská vzdalenosť možno defnovať a príťažlvú slu F k F : p p p U p k p p p p. Podobne () Táto sla konvergue k 0 ak sa robot blíž k ceľu. Hlavnou myšlenkou defníce odpudvého potencálu e vygenerovať odpudvé sly od všetkých známych prekážok. Tento potencál resp. sla by mal byť veľm veľký v blízkost prekážok nemal by však ovplyvňovať pohyb robota vo veľke vzdalenost od týchto prekážok. Príkladom takéhoto odpudvého potencálu môže byť: U kde req k ρ p 0 p p 0 0 ρ k e opäť súčnteľ p p 0 () e mnmálna kolmá vzdalenosť od pozíce robota k obektu a 0 e vzdalenosť vplyvu obektu na dráhu robota. Obdobne e možné defnovať a odpudvú slu F : ISSN -X /0 Teóra
F req k p ρ U p ρ p p p p 0 0 0 p - p prek p 0 (7) kde p e pozíca prekážky ktorá vplýva na dráhu robota. prek Výslednú slu môžeme defnovať ako súčet príťažlve a odpudvých síl. Pr deálnych podmenkach možno nastavť vektor rýchlost robota proporčne vzhľadom na vektor výsledne sly a robot by mal hladko smerovať do ceľa. Avšak tento prístup e obmedzený vzhľadom na exstencu lokálnych mním vyplývaúcch z tvaru a veľkost prekážok. Ďalší problém sa obavue pr výskyte konkávnych prekážok. Pr taketo prekážke sa obaví nekoľko mnmálnych vzdaleností p čo vede na osclácu robota medz dvoma nablžším bodm k obektu. Lteratúra [] CHOST H. LYNCH K. M. HUTCHINSON S. KANTOR G. BURGARD W. KAVRAKI L.. THRUN S.: Prncples of Robot Moton (Theory Algorthms and Implementatons). Massachusetts Insttute of Technology 00. ISN 0-- 07-. [] SIGWART R. NOURBAKHSH I.R.: Introducton to Autonomous Moble Robots. Massachusetts Insttute of Technology 004. ISBN- 978-0--90-7. [] MURPHY R. R.: Introducton to AI Robotcs. Massachusetts Insttute of Technology 000. ISBN 0--8-0. [4] NIMULLR T. WIDYADHARMA S.: Artfcal Intellgence - An Introducton to Robotcs. In: prosemnar Artfcal Intellgence 00. [] LIU Y.-H. ARIMOTO S.: Proposal of Tangent Graph and xtended Tangent Graph for Path Plannng of Moble Robots. Proceedngs of the 99 I Intematonal Conference on Robotcs and Automaton Sacramento Calfoma Aprl 99 p. -7. [] HARGAŠ L. HRIANKA M. KONIAR D.: Image Processng and Analyss. A Practcal Approach Text Book (CD-ROM) Žlnská unverzta v Žlne 008 ISBN 978-80- 8070-9-4. [7] SMRČK J. BOBOVSKÝ Z. FRIGA P.: Inovačné prístupy rešena. Stroárstvo Roč. č. (009) s. -. Abstract The paper analyss current state of moble robots navgaton on bass of known geometrcal resentaton of envronment. In paper are presented basc methods of path plannng n known envronment and there are presented advantages and dsadvantages of mentoned methods. Obr. 9 Prechod robota prostredím pomocou metódy umelého potencálového poľa s vykreslením ekvpotencálových čar [] Fg. 9 Path of robot n envronment callculated by artfcal potental feld and wth portrayal of equpotentonal lnes Poďakovane Tento článok vznkol pr rešení proektu VMSP-P-0004-09. prof. Ing. Ladslav Juršca PhD. Ing. Frantšek Duchoň PhD. Fakulta elektrotechnky a nformatky Ústav radena a premyselne nformatky Ilkovčova 8 9 Bratslava ladslav.ursca@stuba.sk frantsek.duchon@stuba.sk ISSN -X /0 Teóra