FACULTY OF NATURAL SCIENCES CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA ACTA MATHEMATICA 6 ON AN APPROXIMATION OF NUMBER O JEDNOM ODHADE ČÍSLA ABSTRACT I the arcticle with the help f the elemetary gemetric csideratis we will try t fid Viete s frmula fr evaluati the umber At the same time we fid the pssibility f apprximati f this cstat KEYWORDS: iscribed circle, circumscribed circle, aprximati ABSTRAKT V čláku sa pmcu elemetárych gemetrických úvah pkúsime ájsť Vietev vzrec a výpčet čísla Súčase ájdeme mžsť aprximácie tejt kštaty KĽÚČOVÉ SLOVÁ: Ludlfve čísl, kružica vpísaá (písaá) uhlíku, aprximácia CLASSIFICATION: A 308 Úvd i Eulerva frmula e 0 je pvažvaá za ajkrajší matematický vzrec Obsahuje ttiž základé kštaty matematickej aalýzy, algebry, teórie čísel i gemetrie V ďalších riadkch sa budeme vevať práve číslu spmeutému aj v uvedem vzťahu, ktré pzáme predvšetkým z gemetrie Tt čísl je záme už z viacerých starvekých civilizácií, pričm každá pužívala svju vlastú aprximáciu Napríklad 5 v babylskej matematike sa pčítal s hdtu 3,5 ; egyptskí matematici 8 56 zas plžili 3,605 ; v Biblii pstačila aprximácia 3 Zatiaľ č áš prvý 8 uvedeý dhad je asi z bdbia 000 rkv p l, Archimedes z Syrakúz v dbe 3 približe 00 rkv p l už ašiel hraičeie 3,0 3, Ďalší 7 7 záujem tt čísl prichádza až v stredveku Viete h určil s pressťu a 9 desatiých miest, va Rme a 5, Ludlf va Ceule dkca a 35 desatiých miest (v rku 60) Odvtedy čísl esie začeie Ludlfve čísl Nasledujúcimi úvahami sa pkúsime dvdiť rvsť ktrú ešte v rku 593, dlišým spôsbm, bjavil fracúzsky matematik Fracis Viete a ktré zvšebecil Leard Euler v tvare si lim cs cs cs cs 3 99
Z ášh pstupu vyplyie aj istá mžsť dhadu čísla * Kružice písaé - uhlíku Uvažujme pstupsť pravidelých - uhlíkv s kštatým bvdm Nech kružice k (kde,, ) písaé uvažvaým - uhlíkm sú sústredé s stredm v bde S (br ) Obrázk Obrázk Ozačme AB strau pravideléh samzrejme platí - uhlíka s bvdm, ptm pre jej dĺžku AB Ak bd S je stred kružice k, písaej uvažvaému štvrcu, ptm úsečka SA je jej plmerm (br ) Ozačme P pätu klmice z bdu S a strau AB uvažvaéh štvrca, tj úsečka SP je výšku z bdu S a strau uvažvaéh štvrca Dĺžku plmeru SA kružice k začme r a dĺžku výšky z bdu S a strau AB uvažvaéh štvrca ak v, teda SA r, SP v Nech úsečka AB je strau asledujúceh pravideléh 3 - uhlíka s bvdm Ptm pre jej dĺžku a veľksť uhla ASB platí AB ASB 8 360 8, tj A B A B, A SB A SB T však zameá, že strau AB pravideléh semuhlíka môžeme zstrjiť ak stredú priečku trjuhlíka A B C, kde bd C je priesečík si uhla ASB * V predšlých riadkch sme spmeuli velikáv, ktrý sa sažili vyčísliť lgickými, tj matematicky krektými, pstupmi Ak prtiklad k tmut riešeiu prblémv môžeme tradiče pužiť plitikv a ich správaie V rku 897 sa v štáte Idiaa jedduch rzhdli, že správu hdtu môžu uzákiť legislatíve Našťastie, tát prcedúra bla prerušeá istým matematikm, ktrý zhdu áhd sa tht zasadaia zúčastil 00
O JEDNOM ODHADE ČÍSLA s kružicu k Ptm je plmerm kružice k, písaej uvažvaému semuhlíku Nech P je päta klmice z bdu S a strau AB uvažvaéh semuhlíka, tj úsečka SP je výšku z bdu S a strau uvažvaéh semuhlíka Dĺžky úsečiek SA, SP, pdbe ak v predchádzajúcm prípade začme SA r, SP v Keďže r je dĺžka stray a v dĺžka výšky a základňu rvrameéh trjuhlíka ASB, je zrejmé, že platí r v Z br tiež vidíme, že r v CP CP r v Keďže v je výšku a strau AB rvrameéh trjuhlíka AB S, kde A S BS r, tak r v 0 Odtiaľ už vyplýva platsť ervsti 0 r v r v N vzhľadm k tmu, že úsečka AC leží a si uhla B AC, bd C patrí úsečke CP, tj CP CP Keďže úsečka AB je stredu priečku trjuhlíka A BC, tak CP CP r v Zhrutím uvedeéh dstávame 0 r v CP CP r v prípade 0 r v r v Obr 3 Strau AB 3 3 pravideléh šestásťuhlíka, pre ktrej dĺžku platí A3 B3 A B 6 môžeme aalgicky ak v predchádzajúcm prípade zstrjiť ak stredú priečku trjuhlíka A BC, kde bd C je priesečík si uhla ASB s kružicu k (br 3) Ptm úsečka SA 3, kde SA3 r3, je plmerm kružice k 3 písaej uvažvaému šestásťuhlíku a úsečka SP 3, kde SP3 v3, je výšku z bdu S a strau uvažvaéh pravideléh šestásťuhlíka Z br 3 vidíme, že r3 v3 C3P3 CP r v, tj 0 r3 v3 r v Využitím ervstí z predchádzajúceh prípadu tak dstávame 0 r3 v3 r v r v Keďže 0
úsečka AC 3 3 leží a si uhla B3 A3C, bd C 3 patrí úsečke CP, 3 tj C3P3 CP3 Aalgicky ak v predchádzajúcm prípade, úsečka AB 3 3 je stredu priečku trjuhlíka A3 B3C, teda CP3 CP r v Odtiaľ už vyplýva ervsť 0 r3 v3 C3P3 CP3 CP r v r v resp 0 r3 v3 r v V zstrjvaí pravidelých - uhlíkv s kštatým bvdm môžeme zrejme pdbým spôsbm pkračvať ľubvľe dlh Nech teda úsečka SA, kde SA r, je plmerm kružice SP k, písaej uvažvaému v, je výšku z bdu S a strau tht pravideléh - uhlíku a úsečka SP, kde - uhlíka Ptm zrejme platí aj ervsť r v CP CP r v Vzhľadm a t, že v je výšku a základňu rvrameéh trjuhlíka AB S, kde A S BS r, pre každé tiež platí r v, čiže r v 0 T však zameá, že platí 0 r v r v Využijúc ervsti, získaé v predchádzajúcich prípadch, dstávame 0 r v r3 v3 r v r v Pdbými úvahami ak v predchádzajúcich prípadch by sme zrejme tiež dspeli k záveru (ktrý mž dkázať matematicku idukciu), že pre všetky tiež platí r v CP CP CP r v r v, resp r v r v Z uvedeéh už vyplýva, že pre všetky platí 0 r v r v Keďže lim 0 0 a súčase lim r v 0, tak a základe vety limite zvretej pstupsti dstávame lim r v 0 resp lim r lim v Nech lim r lim v R Pretže r je plmer kružice písaej - uhlíku a v zas plmer kružice vpísaej,,, platí - uhlíku, pre bvd v r - uhlíka, kde 0
O JEDNOM ODHADE ČÍSLA N keďže lim v R a tiež lim r R, z vety limite zvretej pstupsti vyplýva, že aj R, čiže R Gemetricky mž iterpretvať tet fakt asledve: existuje jediá kružica, ktrá je zárveň člem pstupsti vpísaých i písaých kružíc; avyše tát istá kružica je súčase akýmsi limitým uhlíkm v pstupsti ami kštruvaých uhlíkv Obr 6a Obr 6b Ak začíme veľksť uhla ASC symblm ptm z br 6a, 6b je už zrejmé, že platí r r3 cs, cs Matematicku idukciu už ptm ľahk dkážeme, r r že pre každé r platí rvsť cs r Dsadeím práve získaých rvstí d asledujúcej triviále platej rvsti r r3 r r r r r r r r r r pre r tiež dstávame 3 r r r r r r r r 3 cs cs cs cs 3 r r r3 r r Využijúc skutčsť, že lim r R, získavame resp lim r lim r cs cs cs cs 3 R, R lim cs cs cs cs 3 r r 03
Keďže a x cs x cs cs Ak zvlíme, ptm, pužitím vzťahu pre plvičý argumet ksíusu, tj, môžeme predchádzajúcu rvsť apísať v tvare R r r R a r, dstávame prípade p úprave získavame rvsť Navyše si všimime, že z uvedeéh tiež vyplýva mžsť aprximácie čísla keďže pre každé platí v R r v r, tj r v Záver Výpčet čísla fascival matematikv či laikv už ddáva V čláku sme sa dstali k vzrcu, ktrý iým spôsbm dvdil kcm 6 strčia Fracis Viete (zaujímavsťu hdu spmeutia je, že v tmt zápise sa prvýkrát v histórii matematiky bjavil ekečý súči) Zárveň sme pri ašm pstupe pri pisvaí kružíc ašli metódu a jedduché hraičeie Ludlfvh čísla Literatúra [] [] Zám, Š (986) Phľad d dejí matematiky Bratislava, Alfa, 986 0 s Beckma, P (998) Histrie čísla Praha, Academia, 998 7 s ISBN 80-00- 0655-9 Člák prijatý dňa apríla 03 Adresa autrv Mgr Michaela Klepacvá Katedra matematiky Fakulta prírdých vied Uiverzita Kštatía Filzfa v Nitre, Tr A Hliku, SK 997 Nitra; e-mail: michaelaklepacva@ukfsk PaedDr Marek Varga Katedra matematiky Fakulta prírdých vied Uiverzita Kštatía Filzfa v Nitre, Tr A Hliku, SK 997 Nitra; e-mail: mvarga@ukfsk 0