Tematický celok Iné číselné sústavy sa preberá obyčajne v rámci

Prepis

1 Iné číselné sústvy Mgr. Ján Gunčg ABSTRACT: This pper indictes, how other numertion systems cn be tught together with interesting problems. The pper mentions ncient numertion systems, deciml numbers nd tests for divisibility in other numertion systems. KEYWORDS: egyptská, bbylonská, rímsk, gréck číselná sústv, čísl Myov, zápis destinného čísl v inej číselnej sústve, znky deliteľnosti v inej číselnej sústve. Iné číselné sústvy s preberjú obyčjne v rámci predmetu Elementárn ritmetik je možné v tejto čsti mtemtiky nájsť mnohé zujímvé motivčné úlohy. V nsledujúcom článku spomenieme spoň niektoré z nich. ) egyptské čísl (hieroglyfické) 1. Historické číselné sústvy N písnie číslic používli Egypťni hieroglyfické symboly už okolo roku 3500 pr. Kr. V podstte používli desitkovú sústvu. Špeciálne symboly používli pre jednotky, desitky, stovky,... Niektoré z nich boli tieto: Egypťni zpisovli čísl zľv doprv hodnotu čísl predstvovl súčet hodnôt symbolov, ktoré zoskupovli nsledovne: b) čísl Myov Myovi n rozdiel od Egypťnov používli pre čísl väčšie ko 19 pozičnú dvdsitkovú sústvu, pričom čísl od 1 do 19 zpisovli v nepozičnej päťkovej sústve. Pozície boli zhor ndol, existovli v nich určité neprvidelnosti, čo ukzuje nsledovný príkld:

2 c) bbylonská číselná sústv Bbylončni po roku 3500 pr. Kr. používli pozičnú šesťdesitkovú sústvu. Mli ib dv symboly pre 10 pre 1. Číslo by zpísli tkto: d) rímske čísl Predstvujú prechod od nepozičnej číselnej sústvy k pozičnej. Rímske čísl sú pomerne známe, preto ich uvedieme pre zopkovnie: I...1 V...5 X...10 L...5 C D M Symboly boli zpisovné od njväčšieho po njmenšie zľv doprv. Hodnot čísl bol súčtom hodnôt všetkých symbolov. Keď Rimni zpisovli čísl 4, 9, 40, 90, 400 lebo 900 používli systém odčitovni: IV = 5 4 = 1 IX = 10 1 = 9 XL = = 40 XC = = 90 CD = = 400 CM = = 900 Symboly boli zpisovné od njväčšieho po njmenšie, zľv doprv. Hodnot čísl bol súčtom hodnôt všetkých symbolov. Príkldy: VII... 7 DXLIV MCCCXXVIII e) grécky prínos Vgréckej mtemtike pozoruhodný prínos v oblsti pojmu vlstností prirodzených čísel nchádzme v pytgorejskej škole, ktorá rozdeľovl prirodzené čísl n mužské - nepárne 3, 5. 7,..., ženské - párne 2, 4, 6,... párno-nepárnu jednotku. Z hľdisk zápisu prirodzených čísel odvodzovni ich niektorých ritmetických operácií je zujímvá "ritmetik figurálnych čísel", ktorú je možné zrdiť do učiv predmetu Elementárn ritmetik v príprve budúcich učiteľov I. stupň ZŠ. Úlohy n precvičenie: 1. Nájdite hodnotu nsledovných ntických čísel 2. Zpíšte čísl 532, 64 ) egyptskými číslmi b) číslmi Myov c) bbylonskými číslmi d) rímskymi číslmi 2. Dvojková, päťková iné číselné sústvy ) zápis kldných destinných čísel v iných číselných sústvách

3 Zápis prirodzených čísel v iných číselných sústvách je obvyklá súčsť učiv predmetu Elementárn ritmetik. Preto zápis destinných čísel v iných číselných sústvách možno povžovť z rozširujúce učivo. Spomenieme si len dve z vicerých možností, ko zpisovť destinné čísl v iných číselných sústvch. Budeme uvžovť len destinné čísl menšie ko 1, lebo kždé kldné destinné číslo možno zpísť ko súčet prirodzeného čísl destinného čísl menšieho ko 1. Tieto čísl budeme v lgoritmoch používť v tvre zlomku. Jeden z možných spôsobov je, že čitteľ menovteľ zlomku prepíšeme do inej číselnej sústvy potom čitteľ vydelíme menovteľom v tejto sústve. Ukážeme si to n nsledovnom príklde prepise čísl 0, 09 do dvojkovej sústvy: 1 0,09 1: 1 2 :102 0, Ďlší spôsob môže byť nsledovný: / Pre kždé prirodzené číslo i pltí, že i 0 lebo 1. Preto , Potom.... Terz znov vynásobíme celú rovnicu niektorým z 16 menovťeľov nekonečného rdu zlomkov tk, by sme dostli číslo väčšie ko 1. Aby sme postup urýchlili, rovnicu vynásobíme číslom 16 dostneme Ted , Ďlej pltí:... / , 10 1 dostli sme Vidíme, že sme s znov dostli k číslu , tk periód čísl s skldá z desitich cifier. Preto 0, b) znky deliteľnosti v iných číselných sústvách Njjednoduchšie je vziť si jednu konkrétnu číselnú sústvu v nej hľdť znky deliteľnosti. My si ko príkld vezmime dvnástkovú číselnú sústvu. Njlepšie znky deliteľnosti vidieť z jej multipliktívnej tbuľky: A B A B A A A B

4 B A A A A B B 1A A1 Npríkld číslo zpísné v dvnástkovej sústve je deliteľné číslom 2 (3, 4, 6), k posledná cifr tohto čísl je deliteľná číslom 2 (3, 4, 6). Číslom 1012 je deliteľné, k posledná cifr tohoto čísl je 0. Číslom B je deliteľné, k jeho ciferný súčet v dvnástkovej sústve je deliteľný číslom B. Kedže = 8.18 = 9.16, tk číslo zpísné v dvnástkovej sústve je deliteľné číslom 8 (9) práve vtedy, keď jeho posledné dvojčíslie je deliteľné číslom 8 (9). Podobným spôsobom možno objviť znky deliteľnosti j v ďlších číselných sústvách tieto pozntky zhrnúť do viet, ktoré sú spomínné j v 3. Iný prístup k odvodzovniu znkov deliteľnosti v číselných sústvách je uvedený v 6, kde pomocou počítdl pre nedesitkovú číselnú sústvu je npríkld pre sedmičkovú číselnú sustvu vyslovené tvrdenie. "Číslo je deliteľné 2, 3, 6 práve vtedy, keď jeho ciferný súčet je deliteľný 2, 3 6." Úlohy n precvičenie: 1. Nájdite spoň dve rôzne číselné sústvy, v ktorých destinné číslo 0, 3 nemá periodický rozvoj zpíšte ho v nich. 2. Nájdite spoň dve rôzne číselné sústvy, v ktorých destinné číslo 0,2 má periodický rozvoj zpíšte ho v nich. 3. Zistite, či číslo 9A je deliteľné číslom 4,8,B. 4. Doplňte v čísle hviezdičky tk, by číslo bolo deliteľné číslom 8 j B. Litertúr: 1 Drábek, J., Križlkovič, K., Líšk, J., Viktor, V.: Zákldy elementárnej ritmetiky pre štúdium učiteľstv 1. stupň ZŠ. Brtislv, SPN Plumbíny, D. kol.: Zákldy elementárnej ritmetiky, Vysokoškolské učebné texty, VŠP v Nitre, Znám, Š.: Teóri čísel. Brtislv, Alf Hejný, M. kol.: Teóri vyučovni mtemtiky 2. Brtislv, SPN Wright, F. : Arithmetic for College Students. Toronto, D.C.Heth nd Compny Hnzel, P.: Špecifiká lgebrických operácií v nedesitkovej číselnej sústve. In:Autentické vyučovnie využitie medzipremetových vzťhov vo vyučovní mtemtiky. Bnská Bystric, PF UMB 2000.

5 Adres utor: Mgr.Ján Gunčg PF KU v Ružomberku Hrbovská Ružomberok e-mil: guncg@ku.sk