Univerzita arlova v Praze Matematico-fyziální faulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matúš epič Využití internetu ve výuce goniometricých rovnic a nerovnic atedra didatiy matematiy Vedoucí baalářsé práce: RNDr. Robová Jarmila, CSc. Studijní program: Geografie Studijní obor: Geografie a matematia se zaměřením na vzdělávání 00
Rád by som poďaoval vedúcej práce, paní RNDr. Jarmile Robovej, CSc., za vedenie, rady, podporu a trpezlivosť pri tvorbe baalársej práce. Ďalej by som rád poďaoval pánovi RNDr. Ing. Jaroslavovi Richterovi za užitočné rady ohľadom tvorby webových stráno. Tatiež ďaujem celej svojej rodine a priateľom za podporu pri tvorbe baalársej práce. Prehlasujem, že som svoju baalársu prácu napísal samostatne a výhradne s použitím citovaných prameňov. Súhlasím s jej zapožičiavaním. V Prahe dňa 7. júla 00 Matúš epič
Obsah Obsah... Abstrat... Úvod...5. Úvodná časť...6.. Použitie strány...6.. Použité symboly a značy...6. Teória...8.. Goniometricé funcie...8... Záladné vlastnosti goniometricých funcií...8... Grafy goniometricých funcií...9.. Vzorce...0... Prehľad záladných tabuľových hodnôt...0... Vzorce pre goniometricé funcie...0.. Goniometricé rovnice..... Goniometricé nerovnice.... Goniometricé rovnice..... Záladné goniometricé rovnice..... Zložitejšie goniometricé rovnice...7. Goniometricé nerovnice...7.. Záladné goniometricé nerovnice...7.. Zložitejšie goniometricé nerovnice... 5. Testy...9 Záver...5 Literatúra...5 Naladanie s prácou...55
Abstrat Název práce: Využití internetu ve výuce goniometricých rovnic a nerovnic Autor: Matúš epič atedra: atedra didatiy matematiy Vedoucí baalářsé práce: RNDr. Jarmila Robová, CSc. e-mail vedoucího: robova@arlin.mff.cuni.cz Abstrat: Táto práca slúži ao výuový materiál pre žiaov a učiteľov stredných šôl. Zaoberá sa učivom o goniometricých rovniciach a nerovniciach. Práca obsahuje teoreticú časť, de sú zrozumiteľne vysvetlené záladné teoreticé poznaty o goniometricých rovniciach a nerovniciach. Dôraz je ladený na praticú časť, torá obsahuje vzorové riešené prílady a úlohy určené precvičovaniu, toré sú doprevadzané roovaným riešenim. Práca má formu webovej strány, obsahuje interatívne prvy (napr. roované riešenia, testy s výberom z viacerých možnosti). Súčasťou práce je priložené CD, de je celá práca vo formáte.pdf. Práca je voľne dostupná na internete. ľúčové slova: goniometricé funcie, goniometricé rovnice, goniometricé nerovnice Abstract Title: Use of internet in teaching of goniometric equations and inequalities Author: Matúš epič Department: Department of Mathematics Education Supervisor: RNDr. Jarmila Robová, CSc. Supervisor's e-mail address: robova@arlin.mff.cuni.cz Abstract: This wor serves as a teaching material for pupils and teachers of secondary school. It deals with subject of goniometrical equations and inequalities. The wor contains a theoretical part where is clearly explained the basic theoretical nowledge of the goniometrical equations and inequalities. The emphasis is on practical section that contains the solved examples and the problems for practice which is accompanied by stepping solution. The wor has a form of a web application, contains interactive elements (for example. step-bystep solution, multiple choice tests). It is freely accessible on the Internet. The wor is accompanied by a CD, where is this thesis in.pdf format. eywords: trigonometric functions, goniometrical equations, inequalities goniometrical
Úvod Goniometricé rovnice a nerovnice patria medzi náročnejšie časti učiva matematiy na stredných šolách. Veľa žiaov máva problémy s touto apitolou a medzery, toré si žiaci často vybudujú nedostatočným pochopením goniometricých rovníc a nerovníc, ich sprevádzajú v ďalšiom štúdiu na strednej šole, poprípade na vysoých šolách. Práve vysoé šoly pri prijímacích pohovoroch často vyžadujú výbornú znalosť riešenia goniometricých rovníc a nerovníc. Mojím cieľom je práve preto vytvoriť interatívnu webovú stránu zameranú na výuu goniometricých rovníc a nerovníc, torá by pomohla žiaom lepšiemu pochopeniu tohto učiva. Webová strána pozostáva z dvoch hlavných časti. Prvá časť si ladie za cieľ oboznámiť uživateľa so záladnými teoreticými poznatami o goniometricých rovniciach a nerovniciach, toré sú potrebné správnej apliácií pri riešení príladov. Druhá časť je venovaná samotným príladom a úloham určeným precvičovaniu, toré sú obohatené roovaným riešením. Z dôvodu rozsiahlejšej práce som v tomto texte rozobral vždy len prvú úlohu, ostatné úlohy sú dostupné na internete. Dôraz je ladený na riešené prílady, metódy riešenia príladov v súvislosti s vlastnosťami goniometricých funcií. Prílady sú radené od jednoduchších zložitejším. Súčasťou práce je aj apitola venovaná testom, de si môžu žiaci precvičiť svoje zísané znalosti formou testu s výberom z viacerých možností. Táto práca je voľne prístupná na internete, čo poladám za veľmi dôležité, eďže v dnešnej dobe stále viac žiaov využíva štúdiu práve internet. Práca má veľmi blízo môjmu študijnému zameraniu, didatie matematiy, čo bolo pre mňa veľou motiváciou, eďže sám môžem prispieť niečim, čo môže pomôcť žiaom pri pochopení matematicého učiva. Informatia nie je mojim študijným zameraním, ale pochopenie záladných znalosti tvorby webových stráno je pre mňa motivujúce, eďže sa mi to môže hodiť v budúcej profesií. Dúfam, že táto práca bude pre žiaov prínosná a pomôže im pochopeniu riešení goniometricých rovníc a nerovníc. Webová apliácia je dostupná na adrese: http://www.arlin.mff.cuni.cz/~epim6am/ 5
. Úvodná časť.. Použitie strány Táto webová strána obsahuje navigáciu umiestnenú na ľavom oraji, torá je súčasťou aždej časti. Práca je členená na teoreticú a praticú časť. Súčasťou práce sú interatívne prvy v rôznej podobe: Súčasťou práce sú interatívne prvy v rôznej podobe: a) formou odazov, toré sú podčiarnuté, naprílad odaz na súčtové vzorce, alebo odaz určený pre návrat na začiato strány (pre návrat na začiato stlač => hore) b) formou roovaných riešení, toré sa objavujú pri úlohach určených precvičovaniu Pre väčšiu pozornosť je táto poznáma vyznačená farebným ramčeom. c) v testoch, toré sú určené precvičovaniu zísaných znalosti, a to v dvoch podobách: - testy s výberom z viacerých možnosti: A B C - testy s výberom medzi možnosťami "ano", "nie": ANO NIE - tlačídlo slúži vymazaniu predchádzajúcich odpovedi a možnosti opätovného testovania.. Použité symboly a značy Zoznam použitých matematicých symbolov a značie Z R množina všetých celých čísel množina všetých reálnych čísel a < b číslo a je menšie ao číslo b a b číslo a je menšie alebo rovné ao číslo b a > b číslo a je väčšie ao číslo b a b číslo a je väčšie alebo rovné ao číslo b a A, a A a je prvom množiny A, a nie je prvom množiny A A B prieni množín A, B A B zjednotenie množín A, B 6
U Z A zjednotenie všetých množín prázdna množina p q onjuncia, p a zároveň q p q disjuncia, p alebo q A, de Z p q p impliuje q, z p plynie q p q p je evivalentné s q, p práve eď q a absolútna hodnota čísla a 7
. Teória V tejto apitole si uvedieme prehľad záladných vlastností goniometricých funcií a vzťahov medzi nimi, tatiež sa môžme dovzedieť záladné tabuľové hodnoty goniometricých funcií a uvedieme si záladné definície goniometricých rovníc a goniometricých nerovníc... Goniometricé funcie... Záladné vlastnosti goniometricých funcií V tabuľe je uvedený prehľad najzáladnejších vlastnosti goniometricých funcií, toré využívame pri riešení príladov. Hodnoty argumentov uvádzame väčšinou v oblúovej miere. Goniometricá funcia sin x cos x tg x cotg x Definičný obor R R U ; Z U( ; ( ) ) Z Obor funčných hodnôt Najmenšia perióda ; ; R R Poznáma: Podrobnejšie informácie o goniometricých funciách môžme nájsť v diplomovej práci Goniometrie a trigonometrie. 8
... Grafy goniometricých funcií Poznáma: Grafy goniometricých funcií sú zobrazené pre x na intervale ;. Graf funcie sínus Graf funcie osínus Graf funcie tangens Graf funcie otangens Pre návrat na začiato stlač => hore 9
.. Vzorce... Prehľad záladných tabuľových hodnôt 0 6 0 0 5 60 90 80 70 60 sin x 0 0-0 cos x 0-0 tg x 0 * 0 * 0 cotg x * 0 * 0 * Poznáma: Výraz * znamená, že pre dané x nie je funcia definovaná. Pre návrat na začiato stlač => hore.... Vzorce pre goniometricé funcie Záladné vzťahy medzi goniometricými funciami rovnaého argumentu Pre aždé x R platí: sin x cos x = Pre aždé reálne x, Z, platí: tg x cotg x = Goniometricé funcie dvojnásobného argumentu Pre aždé reálne číslo x platí: Pre aždé reálne číslo x platí: sin x = sin x cos x cos x = cos x sin Pre aždé reálne x ( ), x ( ), Z, x platí: tg tg x x = tg x Goniometricé funcie súčtu a rozdielu argumentov Pre aždé dve reálne čísla x a y platí: 0
( x y) = sin x cos y cos x sin y sin sin cos ( x y) = sin x cos y cos x sin y ( x y) = cos x cos y sin sin y ( x y) = cos x cos y sin x sin y cos Pre aždé dve reálne čísla, de x, tg ( ), y ( ), x y ( ), tg x tg y Z ( x y) tg x tg y = tg x tg y, platí: Pre aždé dve reálne čísla, de x y tg ( x y) ( ), tg x tg y, Z, tg x tg y = tg x tg y platí: Vzorce pre súčet a rozdiel hodnôt funcií sínus a osínus Pre aždé dve reálne čísla x a y platí: x y x y sin x sin y = sin cos x y x y sin x sin x = cos sin x y x y cos x cos y = cos cos x y x y cos x cos y = sin sin Goniometricé funcie poloviny argumentu Pre aždé reálne číslo x platí: x sin = cos x Pre aždé reálne číslo x platí: x cos x cos =
Pre aždé reálne číslo x ( ), Z, platí: x tg = cos x cos x Poznáma: Všety dôazy týchto záladných vzorcov môžme nájsť v diplomovej práci Goniometrie a trigonometrie. Pre návrat na začiato stlač => hore.. Goniometricé rovnice Definícia Goniometricými rovnicami nazývame rovnice, toré orem onštant obsahujú neznámu x alebo výrazy s neznámou x ao argumenty jednej alebo nieoľých goniometricých funcií. Prílad sin x cos x tg x = Záladnú goniometricú rovnicu s neznámou x nazývame rovnicou typu g(x)=, de g je goniometricá funcia a je reálne číslo. Prílad cos x = Vzhľadom u periodičnosti goniometricých funcií má aždá záladná goniometricá rovnica buď neonečne mnoho riešení (v prípade, že x R ) alebo riešením je prázdna množina. Na obmedzenom intervale má aždá záladná goniometricá rovnica onečný počet riešení, alebo riešením je prázdna množina.
.. Goniometricé nerovnice Definícia Goniometricými nerovnicami nazývame nerovnice, toré orem onštant obsahujú neznámu x alebo výrazy s neznámou x ao argumenty jednej alebo nieoľých goniometricých funcií. Prílad cos x sin x cos x Pre návrat na začiato stlač => hore
. Goniometricé rovnice V tejto časti si uvedieme rôzne metódy riešenia goniometricých rovníc. aždá časť obsahuje vzorové riešené prílady a zároveň veľa úloh precvičovaniu, toré sú obohatené riešením... Záladné goniometricé rovnice Riešenie záladných goniometricých rovníc je viditeľné priamo z grafov goniometricých rovníc a z tabuľových hodnôt, ao si to môžeme pozrieť na úvodných vzorovo vyriešených príladov. Úlohy venované záladným goniometricým rovniciam sú doprevadzané riešením, poprípade návodmi, toré sa zobrazia po linutí na príslušný prílad. Poznáma: Poiaľ argument x predstavuje veľosť uhla, môžme výsledo vyjadriť tiež v oblúovej alebo v stupňovej miere, naprílad = 90. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : sin x = Riešenie Riešenie je vidieť priamo z grafu funcie sínus: Pri pohľade na graf funcie sínus je vidieť, že pre x = a x = je na danom intervale ; funcia sin x =. Využitím periódy dostávame množinu riešení 7 5 9 =,,,,,,. Množinu riešení budeme zapísovať stručnejším zápisom = U Z.
Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : cos x = 0 Riešenie Pri riešení využijeme graf funcie osínus a zistíme, v torých hodnotách osínus nadobúda hodnoty 0. Pri pohľade na graf funcie osínus je vidieť, že pre x =, x =, x = a x = je na intervale ; funcia cos x = 0. Využitím periodičnosti funcie osínus, podobne ao v prvom prílade, dostávame riešenie rovnice v tvare = U Z. Pre návrat na začiato stlač => hore Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou sin x = Riešenie x R a výsledo zapíšte v stupňovej miere: Riešenie tejto úlohy je opäť viditeľné priamo z grafu funcie sínus a z tabuľových hodnôt funcie sínus: Platí, že pre x 0, je riešením 5 x =, pre x, je riešením x =. 6 6 5
Funcia osínus je periodicá s periódou, obecné rieśenie je teda 5 = U ; Z 6 6 a výsledo v stupňovej miere je U{.60 ;50. } = 0 60. Z Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : cos x = 0,985 0 Poznáma: Funčné hodnoty uvádzame s presnosťou na desatinné miesta. Riešenie Použitím alulačy alebo matematicých tabulie pre osínus uhla v oblúovej miere dostávame riešenie x = 0,7 0 a x = 6,0 0, de Z. Použitím matematicých tabulie osínusu uhla v stupňovej miere dostávame riešenia x = 9 56 60 a x = 60 9 56 60 = 50 60. Výsledné riešenie zapíšeme v tvare = U{ 9 56 60, 50 60 } Pre návrat na začiato stlač => hore Z Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte rovnice s neznámou t R : a) sin t = Z grafu a z tabuľových hodnôt plynie, že riešením je množina b) cos t = = U Z. 6
c) tg t = d) cotg t = cos t cos t e) = cos t f) Riešte rovnicu cos t = 0, 5 s neznámou t a výsledo zapíšte v stupňovej miere s presnosťou na minúty. g) Riešte rovnicu sin t = 0,987 6 s neznámou t na intervale 0 ; a výsledo zapíšte v oblúovej miere s presnosťou na dve desatinné miesta. Pre návrat na začiato stlač => hore.. Zložitejšie goniometricé rovnice Substitúcia na záladný typ Pomocou jednoduchej substitúcie y = x l alebo y = x l prevedieme zložitejšiu goniometricú rovnicu typu g ( x l) = alebo g ( l x) =, de g je goniometricá funcia s neznámou x a l, sú reálne čísla, na záladný typ goniometricých rovníc g ( y) =. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : sin x = Riešenie Zavedieme pomocnú substitúciu y = x a dostaneme rovnicu sin y =. 7
Z grafu je vidieť, že pre 7 5 y = ; ; ; je na intervale ; funcia 6 6 6 6 sin y =. 7 Využitím periodičnosti funcie sínus dostávame riešenia y =, Z, 6 a y = ; Z. 6 Vrátime sa substitúcií a postupnou úpravou dostávame: 7 y = 6 7 x = / 6 x : 7 = ; Z (Prvé riešenie.) y = 6 x = / 6 : x = ; Z (Druhé riešenie.) Výsledné riešenie môžme zapísať v tvare 7 = U ; Z. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : ( x ) tg = Platí, že x ( ), Z. Riešenie Zavedieme substitúciu y = x a dostávame rovnicu tg y =. 8
Z grafu a zo záladných tabuľových hodnôt funcie tangens plynie, že pre y =, Z y dostávame x = /, je tg =. y Vrátime sa späť substitúcií y = x a po dosadení za x =. Postupnou úpravou dostávame: : x = (Riešenie.) 6 Výsledo zapíšeme v tvare Pre návrat na začiato stlač => hore = U Z 6. Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte rovnice s neznámou t R : a) cos t = Zavedieme substitúciu cos y = y = t. 9
Z grafu a zo záladných tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že y = 0. Vrátime sa substitúcií a postupnou úpravou dostávame: t = t =, Z. Výsledným riešením je množina = U Z. b) cos( t) = c) cos = 0 d) sin t = e) ( t ) tg = Pre návrat na začiato stlač => hore Substitúcia na vadraticú rovnicu Pomocou ďalšiej jednoduchej substitúcie prevedieme zložitejšiu goniometricú rovnicu, torá obsahuje goniometricú funciu v druhom alebo vo štvrtom stupni, na vadraticú rovnicu. Pri tomto type úloh často využívame vzorce pre goniometricé funcie. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : cos x cos x = 0 Riešenie Zavedieme substitúciu cos x = y. Platí: y y = 0 Vypočítame disriminant vadraticej rovnice ax bx c = 0 pomocou známeho vzorca: 0
D = b a c V našom prípade: D = D = 9 ( ) ( ) Určíme riešenie vadraticej rovnice pomocou vzorca y, ± = y = a y = y, b ± D =. a Vrátime sa substitúcií cos x = y. Platí cos x =, čiže x = 0,. Ďalej Z cos x =, taže x =, x =, Z. Riešenie zapíšeme v tvare = U ; ; Z. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : cos x = sin x Riešenie ( sin ) sin x = 0 x (Využili sme záladný vzorec sin x cos x =.) sin x sin x = 0 Zavedieme substitúciu sin x = a. Platí, že a a = 0. Vypočítame disriminant vadraticej rovnice a určíme riešenia rovnice podobne ao v predchádzajúcom prílade. D =
D = Riešenia vadraticej rovnice teda sú: a, ± = a =, a = Vrátime sa substitúcií sin x = a. V prvom prípade dostávame sin a = odiaľ a =. 7 V druhom prípade je sin a = odiaľ a = a a =. 6 6 Riešenie je vidieť z grafu a z tabuľových hodnôt funcie sínus, postupujeme podobne ao v príladoch predchádzajúcej apitoly. Výsledné riešenie zapíšeme v tvare 7 = U ; ; Z 6 6. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : tg x cotg x = Riešenie Použijeme vzorce sin cos x cos x sin sin x cos x tg x = a cotg x =. cos x sin x x = x Aby výrazy v rovnici boli definované, musí platiť podmiena: cos x 0 x a sin x 0 x, de Z. Upravíme rovnicu do najjednoduchšieho tvaru s využitím spoločného menovateľa. sin x cos x = cos sin sin x sin x ( cos x) x cos x = cos x (Použili sme vzorec sin x cos x =. ) x cos x = cos x cos x
Platí, že ( ) ( ) sin x = sin x = cos x. ( cos x ) 7 cos x cos x = 0 cos x cos x 7 cos x cos x = 0 8cos x 6 cos x = 0 Zavedieme substitúciu cos x = t a dostaneme: 8t 6t = 0 Vyriešime vadraticú rovnicu (vypočítame disriminant a určíme orene vadraticej rovnice, vzorce pre výpočet disriminantu a oreňov vadraticej rovnice sú uvedené v prvom prílade danej apitoly). D = t ( 6) 8 = 6 ± = t = a t.8, = Vrátime sa substitúcií cos x = t a po dosadení za t dostaneme : cos x = cos x = ± (Odstránime odmocninu z menovateľa.) cos x = ± Z grafu a využitím periodičnosti funcie osínus dostávame pre oreň x a x : x = a x =, Z V druhom prípade po dosadení za t dostávame pre oreň x : cos x = cos x = ±
x = a x =, Z Výsledné riešenie zapíšeme v tvare = U ; ; Z. Pre návrat na začiato stlač => hore Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte rovnice s neznámou t R : a) sin t cost = 0 ( cos ) cost = 0 t (Používame záladné vzorce.) cos t cost = 0 Zavedieme substitúciu cos t = y. y y = 0 (Vypočítame disriminant vadraticej rovnice a určíme riešenia rovnice, postupujeme ao vo vzorových príladoch tejto apitoly.) D = 5 y ± 5 = y = a y, = Vrátime sa substitúcií cos t = y a po dosadení za y dostávame: cos t t (Plynie z oboru funčných hodnôt funcie osínus.) = Dosadením za y zísame:
cos t = t = a t = (Využili sme graf a periodičnosť funcie osínus.) Výsledné riešenie napíšeme v tvare = U ; Z. b) sin t cos t sin t = 0 c) sin t sin t = 0 d) tg t cotg t = e) sin t tg t cos t 5 = 0 Pre návrat na začiato stlač => hore Dvojnásobný argument Pri tomto type úloh využívame vzorce pre dvojnásobný uhol, tatiež sa predpoladá znalosť predchádzajúcich typov úloh. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : cos x sin x = 0 Riešenie cos x sin x cos x = 0 (Použili sme vzorec sin x = sin x cos x.) ( sin x) 0 cos x = (Vytnuli sme pred zátvoru funciu osínus.) Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). Odiaľ plynie: ( sin x) = 0 cos x = 0 ( sin x) 0 cos x = Prvá možnosť cos x = 0 5
Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že cos x = 0 pre x =, Z. Druhá možnosť sin x = 0 Úpravou dostaneme: sin x = Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že 7 sin x = pre x = a pre x =, Z. 6 6 Výsledné riešenie zapíšeme v tvare 7 = U ; ; Z 6 6. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : sin x cos x sin x = Riešenie sin x cos x cos x = sin x (Použili sme vzorec sin x = sin x cos x.) sin x cos x = cos x (Použili sme vzorec sin x cos x =.) ( sin x ) 0 cos x = Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). cos x ( sin x ) = 0 cos x = 0 ( sin x ) = 0 Prvá možnosť cos x = 0 Úpravou dostaneme: cos x = 0 6
Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že cos x = 0 pre x =, Z. Druhá možnosť sin x = 0 Úpravou dostaneme: sin x = Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že 5 sin x = pre x = a pre x =, Z. 6 6 Výsledné riešenie zapíšeme v tvare 5 = U ; ; Z 6 6. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : sin x cos x = Riešenie ( x sin x) = sin x cos x cos (Použili sme vzorce sin x = sin x cos x a cos x = cos x sin sin x cos x cos x.) x sin x = ( cos x) = sin x cos x cos x (Použili sme záladný vzorec sin x cos x =.) sin x cos x cos ( sin x cos x) 0 cos x = x = 0 7
Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). ( sin x cos x) = 0 cos x = 0 ( sin x cos x) 0 cos x = Prvá možnosť cos x = 0 Úpravou dostaneme: cos x = 0 Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že cos x = 0 pre x =, Z. Druhá možnosť sin x cos x = 0 Po úprave dostaneme: sin x = cos x Z grafu plynie, že sin x = cos x pre x =, Z. Výsledné riešenie zapíšeme v tvare Pre návrat na začiato stlač => hore = U ; Z. Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte rovnice s neznámou t R : a) sin t sin t = 0 8
sin t sin t cost = 0 (Používame vzorce pre dvojnásobný argument.) sin t ( cost) = 0 Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule.) ( cos ) 0 sin t ( cos t) = 0 sin t = 0 t = Prvá možnosť sin t = 0 sin t = 0 pre t = 0, Z (využitím grafu a tabuľových hodnôt funcie sínus) Druhá možnosť cost = 0 Po úprave dostaneme: cos t = cos t = pre t = pre t =, Z (využitím grafu a tabuľových hodnôt funcie osínus) Výsledné riešenia zapíšeme v tvare b) = cos t cos t c) sin t cos t = cos t d) ( cos t) sin t = cos t e) cos t = sin t sin t Pre návrat na začiato stlač => hore = U ; ; Z. 9
Súčet a rozdiel goniometricých funcií, súčtové vzorce Pri tomto type úloh využívame vzorce pre súčet a rozdiel goniometricých funcií, súčtové vzorce. Zároveň sa predpoladá znalosť predchádzajúcich typov úloh. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : ( 5x 5 ) sin x sin = Riešenie ( 5 5 ) sin x 0 sin x = (Využijeme = 90 5x x 5x x cos sin = 0 6x x cos sin = 0 5 =.) (Použili sme vzorec pre sin x sin y.) Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). 6x x 6x x cos sin = 0 cos = 0 sin = 0 6x Prvá možnosť cos = 0 Po úprave dostaneme: 6x cos = 0 Zavedieme substitúciu cos y = 0 6x = y a dostaneme: 0
Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že cos y = 0 pre y =, Z. Vrátime sa substitúcií a upravíme rovnicu: 6x = 6 x = x =,. (Prvé riešenie príladu). 8 Z x Druhá možnosť sin = 0 Zavedieme substitúciu sin y = 0 x = y a dostaneme: Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie sínus plynie, že sin y = 0 pre y = 0, Z. Vrátime sa substitúcií a upravíme rovnicu: x = x = x 5 =, Z (Druhé riešenie príladu.) 6
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare = U Z 5 ; 8 6. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : cos x = cos 7x Riešenie cos 7x cosx = 0 7x x 7x x cos cos = 0 (Použili sme vzorec pre cos x cos y.) cos5x cos x = 0 Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). ( cos5x = 0) cos 0 cos 5x cos x = 0 x = Prvá možnosť cos 5x = 0 Zavedieme substitúciu 5 x = y a dostaneme: cos y = 0 Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že cos y = 0 pre y =, Z. Vrátime sa substitúcií a upravíme rovnicu: 5 x = Odiaľ zísame prvé riešenie príladu: x =, Z 0 5 Druhá možnosť cos x = 0 Zavedieme pomocnú substitúciu x = y a dostaneme:
cos y = 0 Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že cos y = 0 pre y =, Z. Vrátime sa substitúcií a upravíme rovnicu: x = Odiaľ dostávama druhé riešenie príladu: x =, Z Výsledné riešenie zapíšeme v tvare = U Z ; 0 5. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : sin x = 5cos x Riešenie sin x cos cos x sin = 5 cos x cos sin x sin (Použili sme vzorce pre ( x y), cos( x y) sin.) sin x cos x = 5 ( cos x sin x) (Použili sme tabuľové hodnoty funcie sínus a osínus.) ( sin x cos x) = 5 ( cos x sin x) 0 = 5 0 = ( cos x sin x) ( sin x cos x) ( sin x cos x)
( sin x cos x) = 0 Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). ( sin x cos x) = 0 sin x cos x = 0 Riešime teda rovnicu: sin x cos x = 0 sin x = cos x Z grafu funcií sínus a osínus plynie, že goniometricých funcií.) x =, Z (Využívame periodičnosť Výsledné riešenie zapíšeme v tvare Pre návrat na začiato stlač => hore = U Z. Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte rovnice s neznámou t R : a) cos ( t 60 ) = cos t cos ( t 60 ) cos t = 0 t 60 t t 60 t sin sin = 0 (Používame vzorce uvedené v apitole.) 5t t sin sin = 0 (Využijeme = 90 60 =.)
5t t 5t t sin sin = 0 sin = 0 sin = 0 Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). 5t Prvá možnosť sin = 0 Zavedieme substitúciu sin y = 0 5t = y a dostaneme rovnicu: Z grafu funcie sínus je vidieť, že sin y = 0 pre y = 0, Z. Vrátime sa substitúcií a upravíme rovnicu 5t = t =, Z 5 5 Druhá možnosť t sin Zavedieme substitúciu sin y = 0 = y t = y a dostaneme: 5
Z grafu funcie sínus je vidieť, že sin y = 0 pre y = 0, Z. Vrátime sa substitúcií a upravíme rovnicu: t = t =, Z 9 Výsledné riešenie zapíšeme v tvare b) sin t = sin0t c) sin t cos t = d) ( t 5 ) sin( t 5 ) sin = e) tg t tg t = 6 Pre návrat na začiato stlač => hore = U ; Z. 5 5 9 6
. Goniometricé nerovnice V tejto časti sa budeme zaoberať riešením goniometricých nerovníc. Prílady sú opäť obohatené vzorovým riešením a úlohy určené precvičovaniu sú doprevadzané riešením po rooch, zobrazujúcich sa po linutí na posledný matematicý ro príladu. Pri riešení goniometricých nerovníc využívame znalosti zísané z riešenia goniometricých rovníc, riešenie je často viditeľné priamo z grafu daných funcií alebo z jednotovej ružnice, tatiež využívame záladné tabuľové hodnoty goniometricých funcií. Poznáma: Bližšie informácie o jednotovej ružnici môžme nájsť v diplomovej práci Goniometrie a trigonometrie... Záladné goniometricé nerovnice Riešenie záladných goniometricých nerovníc je viditeľné priamo z grafov goniometricých funcií, ao si to môžme pozrieť na úvodných vzorovo riešených príladoch. apitola obsahuje aj úlohy určené precvičovaniu, toré sú obohatené roovaným riešením. Pri riešení záladných goniometricých nerovníc sa predpoladá znalosť riešenia goniometricých rovníc, lineárnych a vadraticých nerovníc. Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou x R : cos x > Riešenie Na tomto prílade si uážeme dve rôzne metody ao riešiť goniometricú nerovnicu. Prvá metóda V prvom prípade riešenie určíme pomocou jednotovej ružnice. 7
8 Z jednotovej ružnice je vidieť, že daná goniometricá nerovnica nadobúda riešenie v prvom a v štvrtom vadrante. Časť jednotovej ružnice znázornená červenou farbou odpovedá riešeniu danej goniometricej nerovnice. Výsledné riešenie môžme zapísať v tvare U Z = = ; ; 5, využívame podobne ao pri goniometricých rovniciach periodičnosť funcie osínus, platí 5 =. Druhá metóda V druhom prípade riešenie určíme pomocou grafu funcie osínus. Časť grafu znázornená červenou farbou odpovedá riešeniu danej goniometricej nerovnice. Využitim periodičnosti funcie osínus dostávame výsledné riešenie, toré zapíšeme v tvare. ; U Z = Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou : R x tg x
Riešenie Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmiena x ( ), Z. Z jednotovej ružnice je vidieť, že riešením je množina = U ;, pričom Z 6 platí, že v bode funcia tangens nie je definovaná, preto použijeme orúhlu zátvoru, naopa bod 6 patrí do riešenia, plynie zo zadania, preto použijeme uhlovú zátvoru. Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou x R : 0 cotg x Riešenie Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmiena x, Z. 9
Využitím grafu a periodičnosti funcie otangens dostávame výsledo, torý zapíšeme v tvare = U ;. 6 Z Pre návrat na začiato stlač => hore Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte nerovnice s neznámou t R : a) sin x Využitím jednotovej ružnice dostávame riešenie, toré zapíšeme v tvare 9 = U ; = U ; Z Z. b) cos t c) cotg t < d) tg t 0 e) cost < cos Pre návrat na začiato stlač => hore 0
.. Zložitejšie goniometricé nerovnice Pri riešení zložitejších goniometricých nerovníc využívame znalosti, toré sme zísali pri riešení goniometricých rovníc a záladných goniometricých nerovníc. Postupnou úpravou prevedieme zložitejšiu goniometricú nerovnicu na záladný typ goniometricých nerovníc. apitola obsahuje vzorové vyriešené prílady a tatiež aj úlohy určené precvičovaniu, toré sú obohatené riešením. Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou x R : sin x Riešenie Zavedieme pomocnú substitúciu y = x. sin y Situáciu zobrazíme na jednotovej ružnici: Využitím jednotovej ružnice dostávame riešenie y 5 ; 6 6 = 5 ;, Z. 6 6 Vrátime sa substitúcií 5 y = x, odiaľ plynie, že x ;. 6 6 Úpravou dostávame 5 x ;, Z.
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare U Z =. ; 5 Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou : R x tg tg x Riešenie Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmiena ( ) Z x,. tg x (Použili sme tabuľovú hodnotu funcie tangens uvedenú v prehľade tabuľových hodnôt.) Z definície absolútnej hodnoty vyplýva tg tg x x. Poznáma: Bližšie informácie o absolútnej hodnote môžme nájsť v baalársej práci Záladní poznaty z matematiy na střední šole. Využitím grafu funcie a periodičnosti funcie tangens dostávame riešenie: Z x, ; ;. Výsledné riešenie zapíšeme v tvare U Z = ; ;.
Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou x R : sin x > cos x Riešenie Využijeme graf funcie sínus a osínus: Časť grafu vyznačená červenou farbou zahŕňa riešenie danej nerovnice. Je vidieť, že riešením 5 pri využití periódy je množina = U ;. Z Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou x 0; : cos x sin x < Riešenie cos x sin x sin x < (Použili sme vzorec cos x = cos x sin x.) ( sin ) sin x sin x < sin x (Použili sme vzorec sin x cos x =.) x sin x < sin x sin x < 0 ( sin x ) 0 sin x < (Využijeme vlastnosť, edy je súčin dvoch čísel menší ao nula.) ( sin x ) < 0 (sin x < 0 sin x > 0) (sin x > 0 sin x 0) sin x < Riešenie sa nám rozdelí na dva prípady. Prvá možnosť sin x < 0 sin x > 0 Uvažujme prvú časť: sin x < 0 Situáciu znázornime na jednotovej ružnici:
Z jednotovej ružnice plynie, že sin 0 pre x Uvažujme druhú časť prvej možnosti: sin x > 0 sin x > sin x < x <, odiaľ (, ). Z jednotovej ružnice plynie, že = = ( ; ) 5 sin x < pre x, odiaľ = 0; ;. 6 6 Druhá možnosť sin x > 0 sin x < 0 Uvažujme prvú časť: sin x > 0
Z jednotovej ružnice plynie, že sin x > 0 pre Uvažujme druhú časť druhej možnosti: sin x < 0 sin x < sin x > x, odiaľ ( 0; ). = 5 Z jednotovej ružnice plynie, že sin x > 0 pre x, odiaľ = ;. 6 6 = 5 = ; 6 6 = (Celově riešenie je zjednotením dvoch čiastových.) 5. 6 6 Výsledné riešenie zapíšeme v tvare = ; ( ; ) 5
Prílad 5 Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou x R : sin x 5cos x 0 Riešenie ( cos ) 5cos x 0 x (Použili sme vzorec sin x cos x =.) cos x 5cos x 0 Zavedieme substitúciu cos x = a. a 5a 0 (Určíme disriminant a orene odpovedajúcej vadraticej rovnice.) D = 5 = 9 5 ± 9 5 ± a, = = a = a a =. Nájdené orene využijeme tomu, aby sme vadraticý trojčlen v nerovnici rozložili na súčin. a ( a ) 0 (Vrátime sa substitúcií cos x = a.) ( cos )( cos x ) 0 x (Využijeme vlastnosť, edy je súčin dvoch čísel väčší ao nula). ( cos x )( cos x ) 0 ( cos x 0 cos x 0) ( cosx 0 cosx 0) Riešenie sa nám rozdelí na dva prípady. Prvá možnosť cos x 0 cos x 0 Po úprave dostaneme: cos x cos x, odiaľ plynie, že cos x Situáciu si znázorníme na jednotovej ružnici. 6
Využitím jednotovej ružnice a periodičnosti funcie osínus, platí =, dostávame riešenie, toré zapíšeme v tvare U = ;. Z Druhá možnosť cos x 0 cos x 0 Po úprave dostaneme: cos x cos x, odiaľ plynie, že cos x cos x x (Plynie z oboru funčných hodnôt funcie osínus.) Odiaľ plynie, že množina oreňov je prázdna, čo matematicý zapíšeme ao =. = (Celově riešenie je zjednotením dvoch čiastových). Výsledné riešenie zapíšeme v tvare Pre návrat na začiato stlač => hore = U ;. Z Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte nerovnice s neznámou t R : a) cos t > 7
Zavedieme substitúciu y = t. cos y > Z jednotovej ružnice je vidieť, že riešenim je y ;, Z. Vrátime sa substitúcií t ; y = t. t ;, Z Výsledné riešenie zapíšeme v tvare = U ;. Z b) sin t < cos 6 c) tg t cotgt d) sin t cost e) cos t sin t 0 Pre návrat na začiato stlač => hore 8
5. Testy Táto apitola je venovaná testom, toré služia zopaovaniu učiva preberaného v predchádzajúcich apitolách. Testy sú doprevádzané výsledom, torý sa zobrazí po linutí na danú možnosť. Úloha Priraď správnu funčnú hodnotu: Úloha Určí riešenie danej rovnice s neznámou x R : a) cos x = U{ 0 } = Z 9
50 U Z = U{ } Z = b) sin = x U Z = 6 5 ; 6 U Z = ; U Z = ; c) 0 tg = x U{ } Z = U Z = U{ } Z = d) cotg = x U Z = U Z = U Z =
Úloha Zisti aému zadaniu odpovedá červenou farbou vyznačené riešenie na jednotovej ružnici: a) sin x cos x > sin x > b) sin x 0 cos x > 0 cos x < 0 5
c) cos x tg x cotg x Úloha Rozhodni, či dané tvrdenie je pravdivé: a) sin = 6 b) Funcia sínus je pre x R nepárna. c) Funcia tangens je pre x R neohraničená. d) Funcia otangens je pre x R rastúca na celom definičnom obore. e) Funcia osínus je pre x R neohraničená. f) cos80 = g) tg = 0 h) cotg x = sin cos x x 5
Záver V baalársej práci som sa snažil vytvoriť interatívnu webovú stránu zameranú na výuu goniometricých rovníc a nerovníc. Učebný text bol doprevádzaný záladnými teoreticými poznatami, na toré boli viazané samotné prílady. Dôraz bol ladený práve na riešené prílady, rôzne metódy riešenia v súvislosti s vlastnosťami goniometricých funcií. Prílady boli radené od jednoduchších po zložitejšie, pričom aždá časť obsahovala úlohy určené precvičovaniu, na torých si môžu žiaci precvičiť svoje nadobudnuté vedomosti. Pri vymýšľaní príladov som sa inšpiroval použitou literatúrou uvedenou v zozname. Oceňujem hlavne, že daná práca je voľne prístupná na internete, eďže v dnešnej dobe veľa žiaov namiesto lasicých učebných textov využíva štúdiu práve internet. Z tohto dôvodu verím, že žiaci danú prácu ocenia a bude pre nich prínosná a pomôže im zvládnutiu tohto učiva. 5
Literatúra Zoznam použitej literatúry [] Bartsch H. J.(000): Matematicé vzorce. Mladá fronta, Praha. [] ováči J. a ol. (006): Řešené přílady z matematiy pro střední šoly. Aspi, Praha. [] ubát J. (00): Sbira úloh z matematiy pro přípravu přijímacím zoušám na vysoé šoly. Prometheus, Praha. [] Odváro O. (99): Matematia pro gymnázia - goniometrie. Prometheus, Praha. [5] Partiová. - Reiterová M. (005): Nová maturita - Matematia. Príroda, Bratislava. [6] Petáová J. (998): Matematia - příprava maturitě a přijímacím zoušám na vysoé šoly. Prometheus, Praha. [7] Polá J. (977): Přehled středošolsé matematiy. Státní pedagogicé naladatelství, Praha. [8] Retorys. a spolupracovníci (000): Přehled užité matematiy I. Prometheus, Praha. 5
Naladanie s prácou Súhlasím s vystavením svojej práce na webových stránach atedry didatiy matematiy MFF U v Prahe. Ďalej súhlasím s jej nesoršími úpravami za účelom jej zapojenia do štrutúry matematicého portálu, torý vznine z tejto a podobných diplomových práci. Portál vytvorí a bude spravovať práve a jedine atedra didatiy matematiy MFF U, či osoba ňou poverená. Matúš epič 55