Obsah

Prepis

1 Faulta Matematiy, Fyziy a Informatiy Univerzita Komensého Bratislava Zložitostné aspety rádiových sietí Diplomová práca Diplomant: Vedúci diplomove práce: Františe Galčí RNDr. Rastislav Královič, PhD. Bratislava, 2005

2 Vyhlasuem, že som diplomovú prácu vypracoval samostatne s použitím uvedene literatúry. Bratislava, 2005 Františe Galčí

3 Ďauem vedúcemu diplomove práce RNDr. Rastislavovi Královičovi, PhD. za eho cenné rady, ochotu, pripomieny a trpezlivosť pri písaní teto práce. Zároveň chcem vyadriť vďau svoim rodičom za podporu počas písania teto práce.

4 Obsah 1 Úvod Záladné východisá a pomy Cieľ práce Členenie práce Záladné definície a pomy Záladné pomy z teórie grafov Grafový model a omuniácia v rádiove sieti Komuniačné scenáre Definícia centralizovaného broadcastingu Definícia distribuovaného broadcastingu Broadcasting vo všeobecných grafoch Centralizovaný broadcasting Distribuovaný broadcasting bez detecie olízie Distribuovaný broadcasting s deteciou olízie Broadcasting v 2D mrieže Pomocné procedúry Všeobecný broadcastovací algoritmus Inicializačné algoritmy pre broadcastovací algoritmus Hlavný broadcastovací algoritmus pre mriežu Broadcasting v planárnych grafoch 48 6 Záver 60

5 Kapitola 1 Úvod Komuniácia e hlavnou zložou distribuovaných systémov. Vďaa tomu si vyslúžila pozornosť v mnohých oblastiach počítačových vied. Komuniácia e realizovaná prostredníctvom rôznych omuniačných médií. V súčasnosti má popri iných formách omuniácie rastúci význam i rádiová omuniácia. Apliácie rádiove omuniácie sa presunuli z oblasti tradičných voensých apliácií do civilne sféry (mobilné telefóny, bezdrôtové loálne siete WLAN, ). Jednou z hlavných výhod rádiove omuniácie sú relatívne níze nálady na vytvorenie omuniačne infraštrutúry. Orem toho dovoľue do iste miery a mobilitu používateľov, čo e v nietorých apliáciách ľúčovou požiadavou. Požiadava mobility používateľov so sebou prináša potrebu návrhu omuniačných protoolov ta, aby potenciálnou dynamicou zmenou štrutúry omuniačne rádiove siete boli minimálne (alebo vôbec) ovplyvnené. Hlavnými obmedzuúcimi fatormi rádiových sietí e limitovaný dosah použitých rádiových zariadení a vzáomná interferencia súčasného rádiového vysielania viacerých zariadení. 1.1 Záladné východisá a pomy Rádiovou sieťou nazývame oleciu vysielaco-priímacích zariadení. Každé zariadenie v istom oamihu pracue buď ao priímač alebo ao vysielač. Zariadenia omuniuú prostredníctvom zasielania správ. Keďže dosah rádiového vysielania e obmedzený, môže zariadenie zaslať správy iba určite podmnožine ďalších zariadení vo svoom oolí. Táto množina dosiahnuteľných zariadení závisí od vysielace sily zariadenia a od topografice charateristiy oolia. Modely rádiových sietí Vhodným a načastešie používaným modelom omuniačne rádiove siete e graf dosiahnuteľnosti. V ňom sú ednotlivé zariadenia modelované ao vrcholy (uzly) orientovaného grafu. Tento model sa označue a ao grafový model. Orientovaná hrana uv v tomto grafe vyadrue, že zariadenie v e v dosahu vysielania zariadenia u. A e sila vysielania u všetých zariadení rovnaá, ta výsledný graf dosiahnuteľnosti e symetricý. To zodpovedá modelovaniu siete neorientovaným grafom dosiahnuteľnosti. Ďalším v literatúre používaným modelom rádiove siete e geometricý model (bližšie informácie možno násť v [P02] a [DP01]). Zariadenia sú v ňom reprezentované ao body

6 1.1 Záladné východisá a pomy 2 v -rozmernom eulidovsom priestore. Ku aždému taémuto bodu e priradená neaá oblasť, torá reprezentue dosah rádiového vysielania daného zariadenia. A bod zodpovedaúci zariadeniu v leží v oblasti priradene bodu zariadenia u, znamená to, že zariadenie v e v dosahu vysielania zariadenia u. Prirodzene nazauímaveší e prípad 2- rozmerného eulidovsého priestoru, edy zariadenie e reprezentované bodom v rovine a oblasť priradená bodu e ruh so stredom v tomto bode. Polomer ruhu vyadrue silu vysielania zariadenia. Geometricý model rádiove siete e mene všeobecný a ľaho ho možno modelovať v grafovom modely. Na druhe strane vša v geometricom modely ide mnohé omuniačné problémy riešiť efetívnešie ao vo všeobecnešom grafovom modely. Z pohľadu praticých apliácií e geometricý model vhodneší na modelovanie vtedy, eď sa zariadenia nachádzaú v približne plochých oblastiach bez veľých preážo a dosah vysielaní zariadení e vo všetých smeroch rovnaý. V oblastiach s veľými preážami (pohoria, stavby,...), de dosah rádiového vysielania závisí od smeru, e lepšie použiť modelovanie grafom dosiahnuteľnosti. Komuniácia v rádiove sieti Komuniácia v rádiove sieti prebieha v synchronizovaných olách (časových slotoch), toré sú merané prostredníctvom globálnych resp. synchronizovaných loálnych hodín. V aždom z ôl sa zariadenie rozhodne, či v danom ole bude vystupovať ao vysielač alebo ao priímač. Zariadenie vystupuúce ao vysielač vysiela správu, torú môžu priať tie zariadenia, toré sú v dosahu vysielania a v danom ole vystupuú ao priímače. Zariadenie vystupuúce ao priímač prime správu práve vtedy, a v danom ole vysiela práve edno zariadenie, v torého dosahu sa nachádza. Priatá správa e totožná s odvysielanou správou. A v danom ole vysielaú prinamenšom dve zariadenia, v torých dosahu sa zariadenie vystupuúce ao priímač nachádza, hovoríme, že v priímacom zariadení nastáva olízia (onflit). Z praticého pohľadu nastáva interferencia rádiových vysielaní pri priímacom zariadení, čo má za následo znehodnotenie obsahu odvysielaných správ. V závislosti od uvažovaných schopností použitých zariadení hovoríme o sieti s deteciou olízie, a priímacie zariadenie e schopné deteovať vzni olízie. A sa pre priímacie zariadenie olízia aví rovnao, ao eď nevysiela žiadne zariadenie spomedzi tých, v torých dosahu sa priímacie zariadenie nachádza, hovoríme o sieti bez detecie olízie. Schopnosť rádiových zariadení odvysielať správu v rámci edného ola všetým zariadeniam, toré sú v dosahu eho vysielania, sa aví ao vlastnosť prinášaúca významné zrýchlenie omuniácie v rádiove sieti. Na druhe strane táto schopnosť a možný vzni olízií počas omuniácie so sebou prináša spomalenie. Je intuitívne asné, že možnosť vzniu olízií robí rádiové siete ťažo oordinovateľnými a ovládateľnými. A vyonávanie naednoduchších úloh ta môže byť dosť problematicé. Tento efet sa navýraznešie

7 1.1 Záladné východisá a pomy 3 preavue, a uvažueme o distribuovane sieti, v tore zariadenia dopredu nemaú žiadne informácie o topológii siete. Dôležité e preto navrhnúť taé omuniačné mechanizmy, toré sa so vzniom olízií doážu vysporiadať a zároveň budú fungovať dostatočne rýchlo, aby neboli ovplyvnené potenciálne sa meniacou topológiou rádiove siete. Pri návrhu omuniačných mechanizmov (algoritmov, rozvrhov a protoolov) sa zvyne predpoladať, že aždú správu e možné poslať a priať iba ao celo. To znamená, že sa neuvažue ao bude správa v onrétne reálne apliácií poslaná, či ódovaná. Súvisí to s tým, že v onrétnych realizáciách sa správa vôbec nemusí posielať binárne ódovaná alebo ne môže byť pridaná ďalšia informácia na zabezpečenie oretného deódovania (napr. samoopravné ódy na potlačenie vplyvu šumu). Toto e eden z dôvodov, prečo sa uvažue vysielanie v synchronizovaných olách. Problém broadcastingu Jednou zo záladných úloh v sieťove omuniácii, torou sa zaoberá a táto práca, e broadcasting. Cieľom broadcastingu e doručiť správu (zdroovú správu) z edného vrcholu siete, označovaného ao zdro, do všetých ostatných vrcholov siete. Vzdialené vrcholy prímu (alebo spoznaú) zdroovú správu od iných vrcholov siete po orientovaných cestách v sieti. Predpoladá sa teda, že existue orientovaná cesta zo zdroa do aždého iného vrcholu siete. V opačnom prípade broadcasting nie e možný. Broadcasting môže byť použitý naprílad na loalizáciu používateľa (mobilné rádiové siete), zistenie či určité zariadenie existue (bezdrôtové loálne siete) alebo šírenie topologice informácie. Kľúčovou a súmanou charateristiou úloh vyonávaných na sieťach e celový čas potrebný na vyonanie úlohy. Konrétne v prípade broadcastingu na rádiových sieťach nás zauíma počet ôl potrebných na doručenie zdroove správy zo zdroa do všetých ostatných vrcholov siete. Pri štúdiu omuniácie v rádiových sieťach sa uázalo, že naväčší vplyv na efetívnosť distribuovaného vyonania neae úlohy maú schopnosti rádiového zariadenia (možnosť resp. nemožnosť detecie olízie) a rozsah informácie dostupne danému zariadeniu (znalosť ohraničenia počtu zariadení v sieti, znalosť topológie časti alebo cele siete, znalosť ohraničenia počtu susedných zariadení, ). Hlavným predmetom štúdia v teto oblasti e teda určovanie dopadu onrétnych charateristí zariadení na efetívnosť vyonávania úloh.

8 1.2 Cieľ práce Cieľ práce V oblasti štúdia rádiových sietí v posledných rooch vznilo nieoľo prác, toré priniesli nové, efetívnešie algoritmy a prístupy na riešenie problému rádiového broadcastingu. A tento fat uazue, že táto oblasť patrí intenzívne súmaným. Jedným z cieľov teto práce e preto zhrnúť naatuálnešie výsledy, toré sa dosiahli pri štúdiu broadcastingu v grafovom modely rádiových sietí. Hlavným cieľom teto práce e vša navrhnúť efetívne omuniačné algoritmy na riešenie problému broadcastingu v rádiových sieťach, torých graf dosiahnuteľnosti má naviac neaé špecificé topologicé vlastnosti. Intuitívne sa aví, že práve použitie taýchto obmedzuúcich predpoladov na topológiu rádiove siete, môže významným spôsobom zlepšiť dosiahnuteľnú časovú náročnosť realizácie broadcastingu. 1.3 Členenie práce V nasleduúce apitole náde čitateľ prehľad záladných pomov a princípov používaných v teto práci spolu s formálnešou definíciou problému broadcastingu v rádiových sieťach. Tretia apitola sa zaoberá rádiovým broadcastingom v sieťach, torých grafová topológia e všeobecná, t.. nie sú na ňu ladené žiadne predpolady. Uvažueme zároveň siete s orientovaným i neorientovaným grafom dosiahnuteľnosti v modely s centralizovaným a distribuovaným riadením. V modely s distribuovaným riadením sa osobitne venueme sieťam s deteciou olízie a sieťam bez detecie olízie. Táto apitola e v prevažne miere prehľadom atuálnych výsledov. Štvrtá apitola e venovaná otáze broadcastingu v sieťach, torých graf dosiahnuteľnosti e dvorozmerná symetricá mrieža. Čitateľ v teto apitole náde prehľad možných prístupov riešeniu broadcastingu v taýchto grafoch dosiahnuteľnosti pri uvážení rôznych omuniačných scenárov. Piata apitola sa zaoberá broadcastingom v rádiových sieťach, torých graf dosiahnuteľnosti e planárny. Pozornosť v teto apitole venueme namä otáze centralizovaného broadcastingu.

9 Kapitola 2 Záladné definície a pomy V teto apitole uvádzame prehľad záladných definícií a pomov, toré v teto práci budeme ďale využívať. Orem všeobecne známych pomov z teórie grafov bližšie zadefinueme pomy používané v oblasti štúdia rádiových sietí. Zároveň popíšeme záladné princípy fungovania rádiove siete s ohľadom na používaný grafový model. Predisutueme a rôzne predpolady ladené na omuniačný proces v rádiove sieti. V záverečných dvoch podapitolách podáme formuláciu problému broadcastingu v oboch používaných typoch riadenia: t.. v modeloch s centralizovaným a distribuovaným riadením. 2.1 Záladné pomy z teórie grafov práci. Zhrnieme si záladné pomy a označenia z teórie grafov, toré budeme využívať v teto Definícia (Graf): Orientovaným grafom nazývame usporiadanú dvoicu množín G = ( V, E) spĺňaúcu E V V. Množinu V nazývame množinou vrcholov grafu a E množinou hrán grafu. Definícia (Symetricý graf): Orientovaný graf G = ( V, E) nazývame symetricým (neorientovaným), a platí ( u, v) E ( v, u) E. Definícia (Cesta): Orientovaný graf P = ( V, E) nazývame cestou, a V = x, K, x } a { 0 n E = {( x0, x1),( x1, x2 ), K,( x n 1, xn )}. Vrchol x0 nazývame začiato cesty, vrchol nazývame oniec cesty. Počet hrán cesty e e dĺža. x n Definícia (Vzdialenosť vrcholov): Nech G = ( V, E) e orientovaný graf. Vzdialenosťou d G ( u, v) dvoch vrcholov u, v V grafu G definueme ao dĺžu naratše cesty v grafe G, tore začiato e vrchol u a oniec vrchol v. A žiadna taá cesta neexistue, potom d G ( u, v) :=. Definícia (Excentricita): Nech G = ( V, E) e orientovaný graf. Potom excentricitu vrcholu v V v grafe G = ( V, E) definueme ao ex ( v) = max{ d ( v, w) w V}. G G

10 2.1 Záladné pomy z teórie grafov 6 Definícia (Vrstva grafu): Nech G = ( V, E) e orientovaný graf. Potom i-tou vrstvou grafu G vzhľadom na (zdroový) vrchol s V nazývame množinu L = { v V d ( s, v) i}. i G = Definícia (Susedia vrcholu): Nech G = ( V, E) e orientovaný graf. Množinou susedov vrcholu u v grafe G = ( V, E) nazývame množinu Γ ( u) = { v V ( u, v) E} G 2.2 Grafový model a omuniácia v rádiove sieti Ao sme už naznačili v úvodne apitole, v teto práci sa budeme zaoberať výlučne grafovým modelom rádiove siete. Opíšeme si preto záladné princípy omuniácie v rádiove sieti vzhľadom na e graf dosiahnuteľnosti. Definícia (Graf dosiahnuteľnosti): Orientovaný graf G = ( V, E) nazývame grafom dosiahnuteľnosti rádiove siete a: 1. Existue biecia medzi vysielaco-priímacími zariadeniami siete a množinou V vrcholov grafu. 2. Nech vrcholy u, v V reprezentuú dve zariadenia v rádiove sieti. ( u, v) E práve vtedy, a správa vyslaná zariadením u môže dosiahnuť zariadenie v. Dodame, že v nasleduúcom texte teto práce vždy, eď hovoríme o rádiove sieti, uvažueme tiež e grafovú reprezentáciu, t.. e graf dosiahnuteľnosti. Pri určovaní efetívnosti algoritmov sa ao charateristiy siete berú charateristiy grafu dosiahnuteľnosti rádiove siete. Uvažue sa predovšetým počet vrcholov siete (označovaný symbolom n ) a excentricita zdroa (označovaná symbolom D ). Komuniácia v rádiových sieťach prebieha prostredníctvom správ v synchronizovaných olách (časových slotoch). Jednotlivé olá sú určené globálnymi hodinami alebo vzáomne synchronizovanými loálnymi hodinami. V aždom ole sa zariadenie rozhodne, či v danom ole bude vystupovať ao vysielač, alebo ao priímač. Zariadenie vystupuúce ao vysielač vysiela správu všetým susedným zariadeniam, t.. vrchol u V vrcholom z množiny Γ G (u). Nech S V e množina vrcholov, toré v danom ole vystupuú ao vysielače a vysielaú neaú správu. Nech ďale u V e vrchol, torý v grafe dosiahnuteľnosti reprezentue zariadenie, toré v danom ole vystupue ao priímač. Definume množinu S u = G u { v S u Γ ( v)}. S e množina vrcholov (zariadení) vysielaúcich správu, torá dosiahne vrchol u. Môže nastať nieoľo prípadov: 1. A S = 0, ta vrchol u počue šum pozadia (bacground noise) a nepriíma žiadnu správu. u

11 2.2 Grafový model a omuniácia v rádiove sieti 7 2. A S = 1, ta vrchol u priíma edinú vyslanú správu. Priatá správa e totožná s odvysielanou správou. u 3. A S 2, ta hovoríme, že pri vrchole u vzniá olízia. Vrchol u nepriíma žiadnu u správu. V závislosti od použitého omuniačného scenára môže zariadenie počuť šum pozadia alebo interferenčný šum (interference noise). A zariadenie nemá schopnosť rozlíšiť šum pozadia a interferenčný šum, aví sa mu toto vysielanie ao vysielanie v prípade Komuniačné scenáre Je intuitívne zremé, že parametre a schopnosti použitých vysielaco-priímacích zariadení v rádiove sieti maú navýrazneší vplyv na návrh efetívnych omuniačných mechanizmov. V literatúre sa používa množstvo omuniačných scenárov, toré spoludefinuú použitý model. V prevažne miere uvažované omuniačné scenáre vzniaú ombináciou záladných predpoladov ladených na omuniačný proces v rádiových sieťach. Opíšme si načastešie z týchto záladných predpoladov: Randomizácia v omuniačnom procese: Použitie randomizácie v omuniačnom procese výrazne ovplyvňue návrh algoritmov. Randomizované algoritmy realizuú úlohu broadcastingu s veľou pravdepodobnosťou, ale nie vždy. Na druhe strane sa tieto algoritmy vyznačuú tým, že sú vo všeobecnosti rýchlešie než deterministicé algoritmy, potrebuú mene informácii o sieti, sú ľahšie implementovateľné ao distribuované a pracuú bez centrálneho monitora. Distribuované verzus centralizované riadenie: Rozhodnutie o požiadave centralizovaného, resp. distribuovaného riadenia má rozhoduúci význam pri aždom type sieťove omuniácie. Pri centralizovanom riadení sa predpoladá existencia monitora, torý má plnú znalosť siete a plánue (riadi) vysielanie vrcholov siete. A vrcholy maú prístup u globálnym hodinám e tento prístup evivalentný modelu s distribuovaným riadením, de vrcholy siete plne poznaú topológiu cele siete. Vtedy sa vrcholy v aždom ole riadia ma zálade plánu vysielaní, torý si môžu vygenerovať na zálade znalosti siete, zdroového vrcholu a riadiaceho algoritmu monitora. Situácia sa výrazne ompliue, a vrcholy v sieti maú len limitovanú znalosť o sieti, v naextrémnešom prípade poznaú len svo identifiátor. Práve pre taéto siete e dôležité navrhnúť distribuované algoritmy, toré pracuú len na zálade taeto obmedzene informácie. Adaptívnosť: Pri neadaptívnych algoritmoch sú všety vysielania naplánované vzhľadom na čas už na začiatu broadcastingu. Naproti tomu adaptívne algoritmy plánuú budúce vysielanie online v závislosti na histórii priatých správ. V prípade centralizovaného riadenia, de sú vysielania naplánované dopredu offline, adaptívnosť nepomáha. Pomôže vša naprílad v prípade distribuovaného broadcastingu, eď vrcholy poznaú topológiu cele siete, no nepoznaú zdroový vrchol. A identifiátor zdroového vrcholu e súčasťou posielane

12 2.3 Komuniačné scenáre 8 správy, môže vrchol po priatí prve správy na zálade znalosti zdroového vrcholu celé ďalšie vysielanie v nasleduúcich rooch dopredu naplánovať. Ďalším príladom využitia adaptívnosti sú algoritmy, v torých vrchol môže v správe priať informáciu o topológii neae vzdialene časti siete. Túto informáciu potom môže použiť na zrýchlenie a efetívnešie naplánovanie ďalšieho vysielania. Možnosť / nemožnosť detecie olízie: Tento predpolad umožňue zísať ďalšie informácie o sieti, toré e možné využiť na zefetívnenie riešenia omuniačne úlohy. Možnosť resp. nemožnosť detecie olízie hovorí, čo sa stane v prípade olízie, t.. v prípade, eď súčasne vysiela správu viacero susedov vrcholu v, torý v danom ole vystupue ao priímač. Je zremé, že tento vrchol v neprime správu od žiadneho zo susedov. Možné sú dva scenáre. Vrchol v nepočue nič (orem šumu pozadia) alebo vrchol v počue interferenčný šum. Práve tieto dva scenáre sa označované ao predpolad možnosti resp. nemožnosti detecie olízie. To, torý z nich e použitý, záleží na onrétnych technicých parametroch použitých vysielaco-priímacích zariadení v sieti. Odolnosť voči chybám (fault-tolerance): Väčšina algoritmov e navrhnutá ta, že predpoladá omuniačné prostredie bez výsytu chýb. To vša nie e realisticý predpolad, pretože s rastúcou veľosťou a omplexnosťou sietí rastie pravdepodobnosť zlyhania omponentov. Komuniačné algoritmy odolné voči chybám musia byť schopné splniť úlohu a za predpoladu, že nanavýš určitý počet omponentov siete zlyhá. Chyby, aé môžu v ednotlivých omponentoch siete vzninúť, môžu byť rôznych druhov. Predpolad o ich charatere má veľý vplyv na efetívnosť onštruovaných algoritmov. Spontánne vysielania: O spontánnych vysielaniach hovoríme v prípade, eď vrchol vysiela správu sôr než príme prvú správu v rámci vyonávania algoritmu. Komuniácia využívaúca spontánne vysielania môže byť naprílad v prípade broadcastingu použitá na zísanie informácií o oolí vrcholu ešte pred tým, než vrchol prime zdroovú správu. Jedným z predpoladov využitia spontánnych vysielaní e prístup u globálnym hodinám a znalosť ola, v torom všety vrcholy spoločne začnú vyonávať algoritmus. Použitie spontánnych vysielaní opäť závisí na technicých parametroch použitých zariadení v rádiove sieti. V teto práci sa budeme zaoberať len modelmi bez randomizácie v omuniačnom procese. Zároveň budeme predpoladať omuniačné prostredie bez chýb. 2.4 Definícia centralizovaného broadcastingu Modely s centralizovaným riadením predpoladaú existenciu centrálneho monitora, torý pozná topológiu rádiove siete a plánue vysielania všetých vrcholov v sieti. Vrcholy v sieti sa správaú iba na zálade povelov centrálneho monitora. Musia si teda pamätať len priatú správu a byť schopné u na príaz monitora vyslať. Keďže topológia siete e monitoru známa,

13 2.4 Definícia centralizovaného broadcastingu 9 môže si celé vysielanie vypočítať a naplánovať dopredu pred začatím samotného broadcastingu. Z centralizovaného charateru vysielania rovnao vyplýva, že ediným fatorom spomaľuúcim proces vysielania e samotný charater rádiového vysielania teda interferencia v dôsledu súčasného vysielania viacerých vrcholov. Uvedený prístup s použitím centrálneho monitora e v prípade deterministicých algoritmov evivalentný modelu s distribuovaným riadením, de aždý vrchol pozná celú topológiu siete. A to nie e dopredu známe, e potrebné pridať odosielaným správam a identifiátor zdroového vrcholu. Po prvom priatí správy, na zálade identifiátora zdroového vrcholu a topológie siete, vie vrchol určiť simulovaním riadiaceho algoritmu monitora atuálne olo prebiehaúceho algoritmu. Ďalšou simuláciou vie potom určiť olá, v torých by mu monitor dal povel na vysielanie zdroove správy. Definícia 2.4.1: Nech G = ( V, E) e graf dosiahnuteľnosti rádiove siete a R V e podmnožinou vrcholov grafu. Množinou vrcholov informovaných množinou R nazývame množinu I( R) = { v V! x R, že v Γ ( x)} (notácia! x znamená, že existue práve edno x). Pre ednoprvovú množinu R = {x}, I( R) = I({ x}) = I( x) = Γ ( x). G G Definícia 2.4.2: Nech G = ( V, E) e graf dosiahnuteľnosti rádiove siete. Postupnosť množín vrcholov Π = R, R, K, R ), de q 0 a R V nazývame rozvrhom rádiového broadcastingu, a ( 1 2 q U i = 1 Ri I R ) + ( pre aždé i = 1, 2, K, q 1. 1 Posledná definícia zahŕňa podmienu, že vrchol môže poslať správu, iba a bol informovaný v nietorom z predchádzaúcich ôl vysielania. Definícia 2.4.3: Množinou vrcholov informovaných rozvrhom Π = R, R, K, R ) v grafe ( 1 2 q dosiahnuteľnosti G = ( V, E) nazývame množinu I ( Π) = I( R ). Pre daný graf dosiahnuteľnosti G = ( V, E) a vrchol s V U1 i q hovoríme, že rozvrh Π e priateľný vzhľadom na ( G, s), a R = { } a V I (Π). Dĺžu rozvrhu Π = R, R, K, R ) definueme ao Π = q. 1 s ( 1 2 q Pre daný graf dosiahnuteľnosti G = ( V, E) a zdroový vrchol s V e cieľom určiť (vygenerovať), čo naratší priateľný rozvrh. Na algoritmy generuúce priateľné rozvrhy ladieme zároveň podmienu, že musia pracovať dostatočne rýchlo. Konrétne požadueme, aby rozvrh bol generovaný v polynomiálnom čase od počtu vrcholov siete. Poznamename, že čas generovania rozvrhu a dĺža vygenerovaného rozvrhu (čas vyonávania úlohy v sieti) sú rôzne časy a navzáom priamo nesúvisia. i

14 2.5 Definícia distribuovaného broadcastingu Definícia distribuovaného broadcastingu Pri distribuovaných omuniačných úlohách vyonávaú všety vrcholy v sieti rovnaý algoritmus. Ten na zálade priatých správ a informácii dostupných vrcholu riadi správanie sa vrcholu a určue obsah ďalších vysielaných správ. Jednotlivé vrcholy siete maú len limitovanú znalosť topológie siete. V naextrémnešom prípade e informácia v aždom vrchole obmedzená na znalosť svoho identifiátora (čísla z množiny { 1, K, n} ), pričom vrcholy nepoznaú identifiátory svoich susedov, ani žiadne globálne parametre siete ao e veľosť siete n, či excentricita zdroa D. Poznamename, že všety uvedené výsledy ostávaú v platnosti a za predpoladu, že identifiátor e číslo z množiny { 1,..., r }, de r O(n). Predpolad existencie edinečných identifiátorov e nevyhnutný. A e rádiová sieť anonymná, ta deterministicý distribuovaný broadcasting nemôže byť realizovaný už naprílad v 4-cyle. Návrh algoritmov, toré nepredpoladaú vo vrcholoch siete žiadne informácie orem identifiátora, e dôležitý namä pre apliácie, de sa topológia alebo veľosť siete menia v priebehu času. Na algoritmus vyonávaný vrcholmi siete sa neladú žiadne požiadavy na časovú, či pamäťovú náročnosť. Očaáva sa vša, že vrchol e schopný naplánovať si počas atuálneho ola svoe správanie v nasleduúcom ole, či olách. Chýbaúce informácie o sieti vedú problému presne definície úlohy broadcastingu a času eho vyonania. Pri algoritmoch centralizovaného broadcastingu e dĺža vyonávania broadcastingu známa dopredu a teda všety vrcholy siete vedia, edy vyonávaný broadcasting sončí. V prípade distribuovaného broadcastingu, de vrcholy nepoznaú globálne parametre siete, e situácia výrazne zložitešia. Rozlišuú sa preto dve omuniačné úlohy: rádiový broadcasting (RB) a potvrdený rádiový broadcasting (ARB acnowledged radio broadcasting). V prípade RB e cieľom doručiť zdroovú správu do všetých vrcholov siete. V prípade ARB e cieľom vyonať RB a naviac informovať zdro, že RB bolo vyonané. ARB e potrebné v apliáciách, de zdro má nieoľo správ na doručenie a e potrebné, aby sa vrcholy dozvedeli predchádzaúce správy sôr, než prímu ďalšiu správu. Predpoladá sa, že algoritmus štartue v ole 1 a atuálne číslo ola e určené globálnymi hodinami (tento predpolad môžeme vynechať, a súčasťou ažde správy bude atuálne číslo ola, vzhľadom na štartovacie olo algoritmu a neuvažueme spontánne vysielania). Definícia 2.5.1: Algoritmus vyoná rádiový broadcasting (RB) za t ôl, a všety vrcholy siete poznaú zdroovú správu po ole t a žiadne správy nie sú poslané po tomto ole.

15 2.5 Definícia distribuovaného broadcastingu 11 Definícia 2.5.2: Algoritmus vyoná potvrdený rádiový broadcasting (ARB) za t ôl, a vyoná za t ôl RB a po ole t zdro vie, že všety vrcholy poznaú zdroovú správu.

16 Kapitola 3 Broadcasting vo všeobecných grafoch Otáza onštrucie algoritmov realizuúcich efetívny rádiový broadcasting v sieťach, na torých graf dosiahnuteľnosti nie sú ladené žiadne topologicé predpolady t.. v sieťach, torých grafy dosiahnuteľnosti sú všeobecné grafy, patrí naintenzívnešie súmaným otázam v teto oblasti. V posledných desiatich rooch sa dosiahlo mnoho výsledov, toré postupne znižuú horný a zvyšuú dolný odhad počtu ôl potrebných na realizovanie broadcastingu. Táto apitola podáva predovšetým prehľad súčasného stavu problematiy prostredníctvom prehľadu známych výsledov. Kapitola e rozdelená do 3 podapitol. Prvá sa venue broadcastingu v sieťach s centralizovaným riadením. Druhá podapitola sa zaoberá otázou broadcastingu v sieťach s distribuovaným riadením bez možnosti detecie olízie. Tretia podapitola sa naopa zaoberá otázou broadcastingu v sieťach s distribuovaným riadením s možnosťou detecie olízie. V trete podapitole zároveň prezentueme náš algoritmus, realizuúci rádiový broadcasting v distribuovaných sieťach s deteciou olízie bez využitia spontánnych vysielaní v čase O ( n + D log D) ôl. 3.1 Centralizovaný broadcasting Ao e uázané v práci [CK85], nádenie naratšieho priateľného rozvrhu pre daný graf a zdroový vrchol e NP-úplný problém. Preto e potrebné násť algoritmy bežiace v polynomiálnom čase na onštruciu priateľných rozvrhov, toré budú čo nalepšie aproximovať optimálny čas broadcastingu. Tvrdenie [CW87]: Nech G = ( V, E) e orientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete. Potom existue deterministicý algoritmus, torý v polynomiálnom čase pre daný zdroový vrchol s vygenerue priateľný rozvrh Π taý, že Π O( D log 2 n). Idea dôazu: Záladom algoritmu e procedúra SEA (Spoesman election algorithm). Nech X e množina vrcholov, toré priali zdroovú správu a nech Y Γ (X G ) e množina tých susedných vrcholov množiny X, toré ešte nepriali zdroovú správu. Algoritmus SEA sonštruue v polynomiálnom čase taú množinu S X (S e nazývané množinou Y hovorcov), že I ( S) >. Voľba množiny S teda garantue, že pri vysielaní vrcholov ln X 1 množiny S, prinamenšom -tina neinformovaných susedov množiny X prime zdroovú ln X

17 3.1 Centralizovaný broadcasting 13 správu. Samotný algoritmus generovania rozvrhu pracue po vrstvách. Nech všety vrcholy vrstvy Li 1 sú informované. Potom a algoritmus SEA apliueme nanavýš ln Li 1 ln Li rát na množinu vrcholov, máme z vlastností algoritmu SEA zaručené, že všety vrcholy L i 1 vrstvy sa stanu informovanými. Celová dĺža generovaného rozvrhu e ta O( D log 2 n), L i pričom na prechod do nasleduúce vrstvy e potrebných O(log 2 n) ôl. V práci [KPb04] Kowalsi a Pelc prezentovali algoritmus generuúci rozvrhy dĺžy O ( D log n + log 2 n ). Tento algoritmus nahradil dovtedy v mnohých iných broadcastovacích algoritmoch používaný randomizovaný algoritmus, torý generoval rozvrhy asymptoticy rovnae dĺžy. Tým sa tieto algoritmy, torých randomizovanými robilo iba použitie spomínane randomizovane procedúry, stali nerandomizovanými. Tvrdenie [KPb04]: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete. Potom existue deterministicý algoritmus, torý v polynomiálnom čase pre daný zdroový vrchol s V vygenerue priateľný rozvrh Π taý, že Π O ( D logn + log 2 n). Idea dôazu: Algoritmus generue rozvrh vo fázach. V rámci ažde fázy generue množiny vysielaúcich vrcholov vo všetých vrstvách. Aby sa vyhlo interferencii pri súčasnom vysielaní v susedných vrstvách, e aždá fáza rozdelená na 3 podfázy. V ažde z nich sa pracue súčasne s vrstvami, toré sú od seba oddelené 2 ďalšími vrstvami. A a teda nastane súčasné vysielanie v rôznych vrstvách, nidy nedôde vzáomnému ovplyvňovaniu sa. S vrstvou L vo fáze sú asociované množiny S L a R L. e množina tých vrcholov vo vrstvách nasleduúcich vrstvu, torým maú vrcholy vrstvy zabezpečiť doručenie zdroove správy. Hovoríme, že vrchol w e predchodcom vrcholu v, a vrchol w leží na neae naratše ceste zo zdroa do vrcholu v. e taá množina už informovaných vrcholov vrstvy L vo fáze, že pre aždý vrchol z e v množine R, aspoň eden eho predchodca L i, U i > i, S, L R, v S,,1 = U 1 i > 1 Li S, R, w. Na začiatu algoritmu S a R = 0. L 1,1 / Všety ďalšie množiny a sú prázdne. Vrcholy množiny a vytváraú S, R, bipartitný graf G, = ( V,, E, ), de V, = S, R, a ( w, v) E, práve vtedy, a vrchol w R L e predchodcom vrcholu., v S,, ( V,, E, ) Apliume v grafe G = algoritmus SEA z predchádzaúce vety 2log n rát, pričom množina informovaných vrcholov pre algoritmus SEA e torý zabezpečí, že prinamenšom polovica vrcholov v, S S,, (,,. Zísame ta rozvrh, virtuálne prime správu. Nech e množine tých vrcholov, toré virtuálne v zmysle algoritmu SEA prímu správu. Graf G = V, E ) nie e podgrafom grafu G = ( V, E) a ta virtuálne priatie neznamená S, a reálne priatie správy. Virtuálne priatie správy vrcholom R, v S, vša pri reálnom vysielaní podľa vygenerovaného rozvrhu znamená, že aspoň eden eho predchodca vo vrstve správu sutočne prime. Rovnao a v prípade, že v L dôde reálnemu priatiu L

18 3.1 Centralizovaný broadcasting 14 správy. Výsledom teto operácie e to, že požiadavu (ladenú na vrstvu zabezpečenie doručenia zdroove správy vrcholom množiny vrcholy vrstvy L +1. Teda vrcholy množiny S, S, L ) na môžeme preniesť na presunieme z množiny do množiny S + 1, + 1. A po teto operácie e množina S, dostatočne malá ( S, 4log n ) a máme zaručené, že nové prvy do ne už z predchádzaúcich vrstiev nebudú pribúdať (ao e uázané, toto nastane eď S, = ( + 1) log n ), ta apliovaním algoritmu RoundRobin (pre aždý vrchol, torý ešte neprial správu, určíme eden eho virtuálny susedný vrchol, torý bude správu sám v určitom ole vysielať) zísame, že všety vrcholy prímu virtuálne zdroovú správu. Množina U ta bude prázdna, čo znamená, že všety vrcholy vo vrstvách U L i=1 i S i= 1 +1, i priali zdroovú správu. Po S, D + log n fázach algoritmu ta zdroovú správu prímu všety vrcholy siete. Celová dĺža vygenerovaného rozvrhu e O (( D + log n).log n) = O( D log n + log 2 n ). Ao vyplýva z výsledov v prácach [EKa04] a [EKb04] rozvrh produovaný uvedeným O(log log n) algoritmom má optimálny rád magnitúdy za predpoladu, že NP BPTTIME( n ). Poznamename, že randomizovaný algoritmus na generovanie rozvrhu dĺžy O ( D log n + log bol autormi Bar-Yehudom, Goldreichom a Itaiom prezentovaný v práci [BGI92]. Tento randomizovaný algoritmus bol pôvodne použitý ao podprocedúra pri onštrucii algoritmov (z tvrdení a 3.1.4) na generovanie rozvrhov dĺžy O ( D + log a O ( D + log 5 n 2 n ) ). Tieto samotné algoritmy, ao uvidíme nesôr, boli deterministicé, no použitie randomizovane podprocedúry ich robilo tiež randomizovanými. Ich nerandomizované verzie s použitím vtedy narýchlešieho deterministicého algoritmu generovali rozvrhy dĺžy O ( D + log 5 n) a O ( D + log 6 n). Algoritmus má a nieoľo zauímavých vlastnosti, toré vyplývaú z využitia randomizácie: nepredpoladá edinečné priradenie identifiátorov, fungue a pre orientované grafy dosiahnuteľnosti, e ednoduchý a ľaho prispôsobivý zmene topológie siete. Jedinými vstupnými parametrami algoritmu sú počet vrcholov v sieti a pravdepodobnosť 4 n ε neúspešného vyonania broadcastingu. Z charateru algoritmu tiež vyplýva, že môže byť za splnenia požadovaných vstupných predpoladov prevedený a do distribuovane formy. Algoritmus generue rozvrh pracuúci vo fázach. Záladnou ideou algoritmu e náhodným rozhodovaním ( hádzanie mincou o tom, či poračovať alebo neporačovať vo vysielaní priate správy v rámci dane fázy) zabezpečiť, že aždým olom fázy sa množina susedov, toré chcú vysielať zdroovú správu vzhľadom na neaý onrétny vrchol zníži na polovicu. Po log( n / ε ) fázach e s pravdepodobnosťou presahuúcou 1 ε vyonaný úspešný broadcasting. Dĺža generovaného rozvrhu e n O ((log + D)log n). ε )

19 3.1 Centralizovaný broadcasting 15 V práci [GM95] Gaber a Mansour prezentovali algoritmus generuúci rozvrhy dĺžy O ( D + log 5 n ). I eď v súčasnosti existue algoritmus generuúci ratšie rozvrhy, pozrieme sa na tento algoritmus dôladnešie, pretože algoritmus (z tvrdenia 3.1.4) generuúci rozvrh dĺžy O ( D + log 4 n ) vychádza a e modifiáciou myšlieny práve tohto algoritmu. Tvrdenie [GM95]: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete. Potom existue deterministicý algoritmus, torý v polynomiálnom čase pre daný zdroový vrchol s vygenerue priateľný rozvrh Π taý, že Π O ( D + log 5 n). Idea dôazu: Záladnou myšlienou tohto algoritmu e rozdeliť graf vhodným spôsobom na clustre. Tieto clustre nemusia byť disuntné, no musia spĺňať isté podmieny týaúce sa ich priemeru a stupňa disuntnosti. Clustre sú onštruované ta, že umožňuú vytvorenie stromu t.. pre aždý cluster (s výnimou oreňového) e určený práve eden iný cluster, torý e v zmysle stromu eho rodičom. Cluster obsahue eden významný vrchol - messanger, cez torý do clustra prichádza zdroová správa z rodičovsého clustra. Orem toho e v clustry supina vrcholov - reprezentantov, z torých sa správa šíri do synovsých clustrov. Reprezentanti reprezentuú synovsé clustre v ich rodičovsom clustry. Reprezentant synovsého clustra e hranou spoený s messengerom tohto synovsého clustra. Z týchto reprezentantov e eden význačný zvolený reprezentant. Broadcastovací rozvrh e postavený ta, aby sa zdroová správa dostala z messengera do zvoleného reprezentanta čo narýchlešie po naratše ceste. Pri broadcastovaní paralelne (v rôznych časových slotoch) bežia 3 úlohy: - Broadcast-All: doručue správu z messangera do všetých ostatných vrcholov clustra - Broadcast-Through: doručue správu z messangera do zvoleného reprezentanta po naratše ceste - Group-to-Group: doručue správu z reprezentanta do messengera synovsého uzla Konštrucia clustrov: Rozdeľme vrcholy podľa vzdialenosti od zdroového vrcholu (príslušnosti vrstve) do x supín: G = { v V ( G) v L,( i 1). D / x + 1 i. D / x}. Teda supina pozostáva i z vrcholov vo vzdialenosti u L( i 1). D / x+ 1 ( i) u = { v Gi (i) u S S u leží ( i 1). D / x + 1 až i. D / x od zdroa. Pre aždý vrchol z nanižše vrstvy supiny G definueme množinu množina tých vrcholov supiny na neae naratše ceste zo zdroa do vrcholu v}. Inými slovami e, do torých sa dá dostať taými cestami, na torých e aždý vrchol v ine vrstve a obsahuú vrchol u. Clustre budeme vytvárať ao zednotenia (i) nieoľých množín. S u Gi i G i

20 3.1 Centralizovaný broadcasting 16 Definícia: Zafarbením clustrov C 1, K,C m použitím α farieb nazývame taé priradenie farby (z množiny { 1, K, α} ) aždému clustru, že neexistue hrana spáaúca dve clustre rovnae farby, t.. v C, v C, i platí, že a ( v, v ) E, potom color C ) color( C ). i i i ( i ( i) ( i) ( i) ( i) Lema: Pre dané množiny S, K S existuú clustre C, K C s nasledovnými vlastnosťami: 1, 1. Každé C e zednotením nieoľých množín S 2. Každé množina r sa nachádza v aspoň ednom clustry 3. Priemer aždého clustra C e nanavýš O( D / x.log n) 4. Existue α zafarbenie clustrov C taé, že α O(log n) 5. Clustre sa daú sonštruovať v čase O( m log n) m S r C 1, Vďaa tomu, že clustre boli onštruované ao zednotenia množín, máme zaručené, že (i) (i) pre aždý vrchol u C z navyšše vrstvy supiny Gi existue vrchol v C v nanižše (i) vrstve taý, že celá naratšia cesta z u do v leží v. U ( i) Nech C i = C e množina clustrov supiny G i pre i = { 1, K, y}, de y e počet supín. Nasleduúci algoritmus priradí aždému clustru C eho ohodnotenie ran (C), sonštruue BFS ostru τ z clustrov a v aždom clustry určí messengera a reprezentantov v clustroch predchádzaúce supiny. Algoritmus inicializue strom τ na prázdny strom. Priradí ohodnotenie ran 0 aždému clustru C C y. V aždom clustry vrstvy supiny G y C y C C ďale vyberie ľubovoľný vrchol w C z navyšše ao messangera clustra C. Zároveň zvolí ľubovoľný susedný vrchol messengera z predchádzaúce vrstvy ao reprezentanta clustra C. Teda, ao uážeme a nesôr, reprezentant clustra C C e vždy neaý vrchol z navyšše vrstvy neaého clustra C C. Pritom platí, že messanger clustra a eho reprezentant sú spoený hranou v grafe 1 dosiahnuteľnosti. Algoritmus inicializue množinu U neporytých clustrov rovnú množine clustrov C ( U : = C ). y y Algoritmus po tom, čo spracue clustre supiny S r poračue spracúvaním clustrov v supine G 1 pre = y,k, 2, t.. poračue spracúvaním clustrov množiny C 1 v ľubovoľnom poradí. Pre aždý cluster C C 1 robí nasleduúce: Nech N U C e množina tých clustrov, torých reprezentant patrí do clustra C. Pre aždý cluster C N algoritmus pridá do stromu τ hranu ( C, C ). Cluster C sa stane rodičom clustrov z množiny N. Nech r = max{ ran( C ) C N} e navyššie ohodnotenie nietorého z clustrov množiny N. A existue ediný cluster C N s ohodnotením r, ta reprezentant clustra C sa stane zvoleným reprezentantom v clustry C a cluster C sa ohodnotí hodnotou r ( ran ( C) : = r ). V opačnom prípade sa cluster C ohodnotí hodnotou r + 1 ( ran ( C) : = r + 1 ) a ao zvolený reprezentant v clustry C sa vyberie ľubovoľný reprezentant clustra s ohodnotením r. Ao messanger clustra C sa vyberie ľubovoľný vrchol z nanižše vrstvy clustra, torý leží na G

21 3.1 Centralizovaný broadcasting 17 naratše ceste zo zdroa zvolenému reprezentantovi clustra C t.. ao messanger sa vyberie ľubovoľný predchodca zvoleného reprezentanta. Vzhľadom na to, že cluster C vzniol zednotením množín, taý vrchol vždy existue. V prípade, že množina N e prázdna, nastaví sa ohodnotenie clustra C na 0 a ao messanger sa vyberie ľubovoľný vrchol z nanižše vrstvy clustra C. Za reprezentanta clustra C sa vyberie ľubovoľný susedný vrchol messengera z predchádzaúce vrstvy (teda vrchol zo supiny ). Množina neporytých clustrov sa nastaví na U := U N. Toto sa opaue, až ým sa nespracuú všety clustre množiny množiny ( 1) S i. Po sončení sa nastaví C 1 : = C 1 C 2 G 2 U a poračue sa spracovávaním clustrov. Na onci algoritmu e sonštruovaný strom clustrov a pre aždý cluster e definovaný eho reprezentant a messanger. Broadcastovací rozvrh e výsledom už spomínaných 3 úloh (procedúr), toré bežia v rámci aždého clustra: Broadcast.-Though, Broadcast-All a Group-to-Group. Jednotlivé úlohy bežia v rôznych časových olách (modulo 3), čo garantue, že sa navzáom neovplyvňuú. Broadcast-Through cieľom teto úlohy e doručiť správu z messangera do zvoleného reprezentanta. Po tom, čo messanger prime správu, čaá maximálne O(log n) ôl na olo, toré e štartovacie pre danú farbu clustra. V tomto ole sa začína vysielať správa po naratše ceste zvolenému reprezentantovi. Vďaa tomu, že sa vysielanie začína až v ole určenom pre danú farbu clustra a vysielanie e realizované po naratše ceste (čiže po vrstvách), e zabezpečené, že ednotlivé Broadcast-Through úlohy susedných clustrov sa navzáom nebudú ovplyvňovať. Poznamename tiež, že eden vrchol môže byť súčasne vo viacerých clustroch. Každý z nich má vša priradenú inú farbu. Broadcast-All cieľom teto úlohy e doručiť správu z messangera do všetých ostatných vrcholov v clustry, teda a reprezentantom, torí neboli zvolení. Ao broadcastovací algoritmus môžeme použiť deterministicý algoritmus generuúci rozvrh dĺžy O ( D log n + log 2 n ). Poznamename, že v pôvodne verzii algoritmu sa na účel broadcastingu v rámci clustra využíval randomizovaný algoritmus z [BGI92]. Vzhľadom na to, že priemer aždého clustra e O( D / x.log 2 n ) O( D / x.log n), bude broadcasting v clustry vyžadovať naviac ôl. Messanger po priatí správy čaá na olo, toré e začiatom vyonávania broadcastovacieho algoritmu. Toto olo e aždé O( D / x.log ) - té olo. Messangery rôznych clustrov, toré priali zdroovú správu v rovnae časove perióde Broadcast-All, ta v rámci supiny začínaú vyonávanie broadcastingu v rovnaom ole. Broadcasting e realizovaný bez ohľadu na farbu clustra. Pri broadcastovacích algoritmoch sa predpoladá eden zdroový vrchol. V tomto prípade, ich vša môže byť nieoľo, čo vyžadue čiastočnú modifiáciu algoritmu. Presnešie na broadcasting v clustry e treba pozerať sa ao na broadcasting v grafe dosiahnuteľnosti, de existue virtuálny zdroový vrchol a messengery clustrov, toré v dane perióde priímaú správu, sú eho susednými vrcholmi. Tento graf supiny v dane perióde doplnený o virtuálny vrchol má priemer rádovo 2 n

22 3.1 Centralizovaný broadcasting 18 rovnaý ao e priemer aždého z clustrov. Aby sa vyhlo interferencii Broadcast-All algoritmov bežiacich v susedných supinách, rozdelíme vyonávanie teto úlohy do 2 striedaúcich sa typov ôl: olo pre párne supiny a olo pre nepárne supiny. Group-to-Group cieľom teto úlohy e doručiť zdroovú správu z reprezentanta clustra do messangera clustra. Ide o doručenie správy medzi dvomi clustrami, toré sú v rôznych supinách. Reprezentant clustra, rovnao ao v predchádzaúcich úlohách, čaá na olo, toré e začiatom dane periódy vyonávania úlohy. V tomto prípade čaá nanavýš O(log 2 n) ôl. Na doručenie správy sa využíva algoritmus SEA (z tvrdenia 3.1.1), torý doručí zdroovú správu počas nanavýš O(log 2 n) ôl. Opäť všetci reprezentanti začínaú vyonávať algoritmus v rovnaom ole v rámci dane periódy. Lema: Pre ľubovoľný strom T s n vrcholmi platí, že 0 ran( T ) log n. Broadcastovací rozvrh e postavený ta, že zdroová správa sa vrcholu cez clustre dostáva tým rýchlešie, čím e na ceste nemu viac zvolených reprezentantom. Zvolený reprezentanti sú vša onštruovaný na zálade ohodnotenia ran clustrov. Z predchádzaúce lemy vša vyplýva, že na ľubovoľne ceste v clustrovom strome sa ran mení nanavýš cez nanavýš log n rát. Teda na ceste ľubovoľnému vrcholu sa zdroová správa dostáva log n procedúr Broadcast-All. Celový dĺža rozvrhu vygenerovaného algoritmom e O ( D + x.log n + ( D / x.log n)log n). Pre x = log n dostávame dĺžu vygenerovaného rozvrhu O ( D + log 5 n ). Uvedený algoritmus bol Elinom a Kortsarzom v práci [EKc04] generovanie rozvrhov dĺžy O ( D + log 4 n). vylepšený na Tvrdenie [EKc04]: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete. Potom existue deterministicý algoritmus, torý v polynomiálnom čase pre daný zdroový vrchol s vygenerue priateľný rozvrh Π taý, že Π O ( D + log 4 n). Idea dôazu: Uvedený algoritmus do značne miery vychádza z algoritmu z predchádzaúceho tvrdenia Na rozdiel od predchádzaúceho algoritmu nie sú supiny Gi i Gi+1 Gi+ 1 disuntné. Konrétne platí, že G G +1 = L. Teda pre dve za sebou idúce supiny a i platí, že nanižšia vrstva e navyššou vrstvou G. Zároveň a clustre v nasleduúcich supinách nie sú disuntné a maú spoločné vrcholy v spomínane spoločne vrstve dvoch nasleduúcich supín. Cieľom teto úpravy e odstrániť potrebu vyonávania procedúry Group-to-Group. Ďalším dôsledom teto úpravy e to, že reprezentant clustra už nie e v inom clustry, ale messanger e zároveň reprezentantom clustra. Algoritmus nevyužíva RoundRobin prístup rozdelenia ôl pre ednotlivé úlohy pri onštrucii broadcastovacieho i G i

23 3.1 Centralizovaný broadcasting 19 plánu. Plán e onštruovaný s využitím reurzívne procedúry Period, torá pre dané olo t a danú množinu clustrov S, torých reprezentanti sú v danom ole informovaný, onštruue broadcastovací plán. Tento broadcastovací plán zabezpečí doručenie zdroove správy do všetých clustrov, toré maú byť reprezentantmi (messangermi) clustrov v množine S informované. Pre daný graf dosiahnuteľnosti G = ( V, E) a zdroový vrchol s e celová dĺža 2 4 generovaného rozvrhu D + O( D.log n) = O( D + log n). Všimnime si, že väčšina uvedených algoritmov pracue s neorientovanými grafmi dosiahnuteľnosti. Dôvod, prečo tie algoritmy nie e možné preniesť na orientované grafy, e ten, že algoritmy pracuú súčasne s vrcholmi vo viacerých vrstvách a predpoladaú, že a 2 vrcholy ležia v dostatočne vzdialených vrstvách, ta nehrozí, že by ich spoločné vysielanie v rovnaom ole viedlo interferencii. Tento predpolad vša pre orientované grafy neplatí. V ďalše časti sa pozrieme na dolné odhady centralizovaného broadcastingu. Dodame, že triviálnym dolným odhadom dĺžy rozvrhu rádiového broadcastingu e excentricita zdroa Ω(D). Tvrdenie [ABLP91]: Existue množina neorientovaných grafov dosiahnuteľnosti o n vrcholoch s polomerom 2 taých, že aždý priateľný rozvrh rádiového broadcastingu e dĺžy Ω(log 2 n). Poznamename len, že dôaz predchádzaúceho tvrdenia e založený na pravdepodobnostnom dôaze existencie množín s istými vlastnosťami. Z predchádzaúcich tvrdení vyplýva, že pre neorientované grafy dosiahnuteľnosti G = ( V, E) s priemerom O(log 2 4 D n) a D log n existuú algoritmy, toré generuú priateľné rozvrhy rádiového broadcastingu asymptoticy optimálne dĺžy O(D). Existencia optimálnych priateľných rozvrhov pre zvyšnú triedu grafov ostáva otvorený problém. 3.2 Distribuovaný broadcasting bez detecie olízie V teto podapitole popíšeme sériu algoritmov, toré realizuú rádiový broadcasting v sieťach, torých graf dosiahnuteľnosti e orientovaný. Uvedené algoritmy nevyužívaú spontánne vysielania (poiaľ nie e uvedené ina), t.. vrchol v sieti vysiela až po tom, čo prime neaú správu ao dôsledo vyonávania algoritmu.

24 3.2 Distribuovaný broadcasting bez detecie olízie 20 Tvrdenie [CGGPR00]: Nech G = ( V, E) e orientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Potom existue onštrutívny algoritmus, torý realizue rádiový broadcasting (RB) za O ( n 2 ) ôl. Idea dôazu (Algoritmy Round-Robin a Simple-Sequencing): Algoritmus Round-Robin e záladným algoritmom pre distribuovaný rádiový broadcasting. Algoritmus predpoladá, že aždý vrchol pozná veľosť siete n, resp. r horné ohraničenie identifiátorov v sieti. Algoritmus Round-Robin pracue v n identicých fázach, z torých aždá pozostáva z n ôl. V ažde fáze všety vrcholy, toré priali zdroovú správu vysielaú v nietorom z ôl fázy. Konrétne, vrchol s identifiátorom i vysiela zdroovú správu v i-tom ole fázy. V prípade, že parameter n e neznámy, môžeme použiť následovnú techniu, torá sa v obmenách využíva v prípadoch, de parameter n e neznámy, no záladné verzie broadcastovacích algoritmov taúto znalosť vyžaduú. Túto techniu vša nie e možné použiť vždy. Algoritmus Simple-Sequencing pracue vo fázach. Vo fáze vyonávaú algoritmus Round-Robin( 2 ) všety vrcholy s identifiátormi 1, K,2 s nasledovnou modifiáciou: vrchol, torý prial zdroovú správu a vysielal u už v rovnaom ole fázy, nevysiela v žiadnom z nasleduúcich ôl fázy. Po log n fázach prímu všety vrcholy zdroovú správu. Fáza pozostáva z 4 ôl. 2 Celovo e teda na vyonanie broadcastingu i pri neznalosti parametra n potrebných O(n ) ôl. Nasleduúce 3 algoritmy sú neonštrutívne. Sú založené na tom, že pravdepodobnostnými metódami e uázaná existencia aéhosi ombinatoricého obetu s istými vlastnosťami. Za predpoladu, že tento obet e pre daný parameter n známy všetým vrcholom siete, realizuú tieto algoritmy rádiový broadcasting v uvedených časoch. A e ombinatoricý obet známy len zdroovému vrcholu, môže byť ao súčasť posielaných správ doručený vrcholom pred tým, než budú mať podľa neho vysielať. Žiaľ, nie sú známe algoritmy, toré umožňuú používané ombinatoricé obety efetívne generovať. Tvrdenie [CGR00]: Nech G = ( V, E) e orientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu a počet vrcholov siete n. Potom existue algoritmus, torý realizue rádiový broadcasting (RB) počas O ( nlog 2 n) ôl. Idea dôazu: Algoritmus e založený na oncepte výberových množín (selective families). Definícia: Nech množiny S, X {1, K, n}. Potom hovoríme, že - množina S zasahue množinu X práve vtedy, a S X = 1.

25 3.2 Distribuovaný broadcasting bez detecie olízie 21 - množina S sa vyhýba množine X práve vtedy, a S X = 0/. Pre dané prirodzené číslo w hovoríme, že množina množín S e w-seletor, a pre ľubovoľné množiny X, Y {1, K, n} s vlastnosťou S S, torá zasahue X a vyhýba sa Y. Lema: Pre aždé n a aždé prirodzené číslo S O( wlog n). z m Nech pre aždé O( 2 log n) w/ 2 X w a Y w platí, že existue množina w n existue w-seletor S taý, že = 0, K, log n e S S, S, K, S ) e 2 -seletor pozostávaúci = (, 0,1, m 1 množín. Predchádzaúca lema garantue existenciu týchto seletorov. Samotný algoritmus pracue vo fázach, pričom aždá fáza má log n +1 ôl. V i-tom ole fázy vysielaú tie vrcholy, toré priali zdroovú správu a ich identifiátor id. Po O( n log n) fázach všety vrcholy prímu zdroovú správu. S i, mod m Tvrdenie [KPa03]: Nech G = ( V, E) e orientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete, de informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu a počet vrcholov siete n. Potom existue algoritmus, torý realizue rádiový broadcasting (RB) za O( n log n log D) ôl. Tvrdenie [CR03]: Nech G = ( V, E) e orientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete de, informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu a počet vrcholov siete n. Potom existue algoritmus, torý realizue rádiový broadcasting (RB) za O ( n log ôl. 2 D ) Idea dôazu: Algoritmus vychádza z myšlieny randomizovaného algoritmu, torý autori navrhli. Deterministicá verzia ombinue vysielanie podľa seletorov na zálade postupnosti, torá spĺňa predpolady randomizovaného vysielania. V nasleduúcich 3 tvrdeniach uvedených bez dôazov si zhrnieme známe dolné odhady týaúce sa distribuovaného rádiového broadcastingu v rádiových sieťach bez detecie olízie. Poznamename, že pre distribuovaný rádiový broadcasting platia a dolné odhady pre centralizovaný broadcasting. Tvrdenie [CGGPR00]: Nech P e deterministicý distribuovaný protool realizuúci RB a využívaúci spontánne vysielania, de vrcholy siete sa správaú na zálade obsahu priatých správ, čísla atuálneho ola a aýchoľve globálnych parametrov siete. Potom pre aždé n a pre aždé D < 2n / 3 existue orientovaný planárny graf G o n vrcholoch s excentricitou zdroa D taý, že P vyoná broadcasting za Ω ( D log n) ôl.

26 3.2 Distribuovaný broadcasting bez detecie olízie 22 Tvrdenie [CMS01]: Nech P e deterministicý distribuovaný protool realizuúci RB, de vrcholy siete sa správaú na zálade počtu vrcholov n v sieti, maximálne excentricity D všetých možných zdroových vrcholov a obsahu priatých správ. Potom pre aždé n a pre P aždé D n / 6 existue orientovaný graf G o n vrcholoch s maximálnou excentricitou D taý, že P vyoná broadcasting za Ω( n log D) ôl. Tvrdenie [KPb03]: Nech P e deterministicý distribuovaný protool realizuúci RB, de vrcholy siete sa správaú na zálade počtu vrcholov n v sieti a obsahu priatých správ. Potom pre aždé n a pre aždé D n existue neorientovaný planárny graf GP o n vrcholoch log n s excentricitou zdroa D taý, že P potrebue na usutočnenie broadcastingu Ω ( n ) log( n / D) ôl. Symetricé rádiové siete Pozrime sa teraz na výsledy v oblasti broadcastingu vo všeobecných symetricých sieťach čiže v rádiových sieťach, torých graf dosiahnuteľnosti e neorientovaný. Poznamename, že všety dolné odhady času rádiového broadcastingu doázané pre symetricé siete platia a pre všeobecné siete a naopa, všety horné odhady doázané pre všeobecné (nesymetricé) siete platia a pre symetricé siete. V práci [CGGPR00] autori sonštruovali algoritmus realizuúci distribuovaný rádiový broadcasting v čase O(n). Algoritmus vša silne využíva spontánne vysielania t.. všety vrcholy v sieti poznaú začiato vyonávania algoritmu a môžu vysielať sôr, než prímu prvú správu ao dôsledo vyonávania algoritmu. Tvrdenie [CGGPR00]: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Potom existue onštrutívny distribuovaný algoritmus, torý realizue rádiový broadcasting s využitím spontánnych vysielaní počas O(n) ôl. Idea dôazu (Algoritmus EXPLORE-EXPAND): Každý vrchol si počas algoritmu budue zoznam svoich susedov a spolu s informáciou, či už poznaú zdroovú správu. Algoritmus pracue vo fázach, pričom fáza sa sladá z 2 1 ôl a e rozdelená na 3 časti. Časť A trvá ôl, časť B 2 ôl a časť C 2 +1 ôl. Cieľom fázy e omponente súvislosti grafu G = G V ), de V = { v V id ( v) 2 }, torá obsahue zdro, sonštruovať orientovaný ( Eulerovsý ťah C DFS ostry grafu G. Tento ťah slúži ao rýchla omuniačná lina medzi zdroom a ostatnými vrcholmi grafu. Každý vrchol si pamätá svoe poradové číslo v tomto ťahu C, pričom poradové číslo zdroa e 0. A zdro neleží v G, ťah C sa neonštruue. G 7.2 1

27 3.2 Distribuovaný broadcasting bez detecie olízie V časti A postupne vysielaú správu so svoim identifiátorom vrcholy s identifiátorom + 1, K, ( 2 1 vrcholov počas 2 1 ôl). Ich susedia, torí v teto časti priímaú správu si atualizuú zoznam susedov. V časti B v -tom ole vysiela ontatnú správu ten vrchol, torý má v ťahu poradové číslo za predpoladu, že v časti A alebo predchádzaúcom ole časti B prial správu. Poznamename, že eden vrchol môže mať v ťahu C 1 viacero poradových čísel. Cieľom časti B e oznámiť zdrou, že došlo rozšíreniu omponentu súvislosti o nové vrcholy. Všimnime si tiež, že po sončení častí A a B, aždý vrchol v grafe G pozná identifiátory všetých svoich susedov v grafe G. V časti C sa DFS prehľadávaním grafu C 1 pomocou toenu obsahuúceho: zdroovú správu, dĺžu cesty predene toenom (poradové číslo vrcholu v rámci ťahu) a identifiátor (susedného) vrcholu, torému e toen určený. Časť C fázy sonštruue ťah G C. Mohlo by sa zdať, že algoritmus z predchádzaúce vety realizue ARB. Všimnime si, že môže nastať prípad, edy susednými vrcholmi zdroa sú vrcholy s veľmi vysoými identifiátormi. Vrcholom siete ale podľa použitého modelu nie e známe ohraničenie počtu vrcholov. Zdro teda nedoáže rozlíšiť či to, že od začiatu algoritmu do atuálneho ola neprial žiadnu správu, e dôsledom toho, že e ediným vrchol v sieti, alebo toho, že ešte nenastala taá fáza, v tore by mali vysielať eho susedné vrcholy. Na zálade podobných úvah e v práci [CGGPR00] formálne doázaná nasleduúca vetu o nemožnosti ARB už v prípade symetricých sietí: Tvrdenie [CGGPR00]: Nech P e ľubovoľný deterministicý distribuovaný protool realizuúci ARB s možnosťou spontánnych vysielaní, de vrcholy poznaú len svo identifiátor. Potom existue symetricý planárny graf s excentricitou zdroa 2, na torom P nepracue oretne. V prípade, že spontánne vysielania nepoužívame, e situácia z časového hľadisa výrazne horšia. Kowalsi a Pelc v práci [KPb03] sonštruovali algoritmus realizuúci RB počas O( n log n) ôl. Použitá e v ňom zauímavá technia simulovania detecie olízie. Tvrdenie [KPb03]: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Potom existue onštrutívny distribuovaný algoritmus, torý realizue rádiový broadcasting počas O( n log n) ôl. Idea dôazu (Algoritmus Select-and-Send): Predpoladame, že vrchol v prial zdroovú správu. Nech A Γ(v) e vlastná podmnožina množiny susedných vrcholov a nech w A e

28 3.2 Distribuovaný broadcasting bez detecie olízie 24 význačný sused vrcholu v. Cieľom e rozlíšiť, či množina A má 0, 1 alebo viac ao eden prvo. Na tento účel môžeme použiť procedúru Echo pracuúcu v 2 olách: Procedure Echo(w, A) 1. olo: Každý vrchol v množine A vysiela svo identifiátor 2. olo: Každý vrchol v množine A {w} vysiela svo identifiátor Počas vyonávania procedúry Echo môžu nastať 3 prípady: 1. vrchol v prime správu v 1. ole a neprime žiadnu správu v 2. ole: V tomto prípade vrchol v vie, že A = vrchol v neprime v 1. ole žiadnu správu a v 2. ole prime správu (od vrcholu w). V tomto prípade vrchol v vie, že A = vrchol v neprime v 1. ani v 2. ole žiadnu správu. Vrchol v ta vie, že A 2. Predpoladame, že vrchol v pozná edného zo svoich susedov w. Nech S e množina susedov vrcholu v rôznych od w. Nech ďale vrchol v pozná horné ohraničenie m identifiátorov vrcholov v množine S, pričom m e mocninou 2. Potom pomocou procedúry Echo môžeme vybrať eden vrchol z množiny S v čase O(log m) algoritmom Binary- Selection. Algoritmus Binary-Selection pracue vo fázach, z torých aždá ma 3 olá. V prvom ole ažde fázy vysiela vrchol v rozsah identifiátorov R, pričom v prve fáze e tento rozsah R : = {1, K, m / 2}. V nasleduúcich 2 olách fázy potom vyoná procedúru Echo( w, R S). Nech rozsah v dane fáze e R = { x, K, y}. Podľa výsledu vyonania procedúry Echo potom: A R S = 1, môže vrchol v vybrať edného zo susedov. A R S = 0, ta nastaví pre ďalšiu fázu R : = { y + 1, K, y + ( y x + 1) / 2}. A R S 2, ta nastaví pre ďalšiu fázu R : = { x, K,( y x 1) / 2}. Naoniec môžeme procedúru Echo spolu s algoritmom Binary-Selection použiť na samotný broadcastovací algoritmus Select-and-Send. Algoritmus postupne DFS prehľadávaním prechádza graf, pričom v aždom oamihu drží toen (právo vysielať) eden z vrcholov grafu. Na začiatu drží toen zdroový vrchol. Ten si naprv v prve časti algoritmu vyberie edného zo susedov následovne: Zdro v 1. ole vysiela povel na začatie výberu edného zo susedov. Vrcholy, toré túto správu priali, potom vysielaú ta, že v ole 2i vrchol s identifiátorom i vysiela správu so svoim identifiátorom. A zdro v ole 2i priíma taúto správu, ta v ole 2 i +1 vysiela správu s príazom pre susedov na uončenie výberu. Po priatí teto správy susedia zdroa prestávaú vyonávať výber a zdro pozná identifiátor edného so svoich susedov. Následne začína druhá časť algoritmu vysielanie toenu. Zdro vysiela toen zvolenému vrcholu s identifiátorom i. Toen obsahue orem identifiátora odosielateľa a príemcu a zdroovú správu. Pre aždý vrchol orem zdroového nech parent(v) e identifiátor vrcholu, od torého prial toen po prvý rát. Každý vrchol

29 3.2 Distribuovaný broadcasting bez detecie olízie 25 po priatí toenu pomocou procedúry Echo sontrolue, či existue sused, torý ešte neprial toen. A taý sused neexistue, vráti ho vrcholu parent(v). V opačnom prípade sa poúsi vybrať edného zo susedov, torý ešte neprial toen. Nech S e množina susedov vrcholu, torí ešte nepriali toen. Vrchol pomocou procedúry Echo naprv náde ohraničenie identifiátora aspoň edného vrcholu z množiny S. Postupne pre 0 spúšťa procedúru Echo( parent( v), S {0, K,2 }), až ým nenáde taé, že S { 0, K,2 } 0/. Potom algoritmom Binary-Selection vyberie eden susedný vrchol z množiny S, torému pošle toen. Poznamename, že pri procedúre Echo ao pomocný vrchol používame vždy vrchol parent(v) v prípade nezdroového vrcholu a vrchol vybraný v prve časti algoritmu v prípade zdroového vrcholu. Algoritmus ončí, eď zdroový vrchol nemá omu poslať toen. Počet ôl potrebných na odoslanie toenu vrcholu, torý ešte neprial žiaden toen e O(log n). Celovo e ta zložitosť tohto algoritmu O( n log n) ôl. 3.3 Distribuovaný broadcasting s deteciou olízie V teto podapitole sa pozrieme na distribuovaný rádiový broadcasting v modely s deteciou olízie. Kým v symetricých sieťach bez detecie olízie ARB nie e možný, v modely s deteciou olízie e možný už a v prípade silne súvislých grafov. V symetricých sieťach s možnosťou spontánnych vysielaní e možné dosiahnuť ARB počas O(n) ôl. Zároveň detecia olízie so sebou prináša možnosť zaódovania informácií do olízie (viď tvrdenie 3.3.1). V teto podapitole budeme ontatnou správou nazývať ednobitovú správu, resp. ľubovoľnú správu, tore obsah hovorí, že ide o taýto typ správy. Tvrdenie [CGGPR00]: Nech G = ( V, E) e ľubovoľný orientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete s deteciou olízie a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Potom existue onštrutívny algoritmus, torý realizue rádiový broadcasting zdroove správy σ počas O( σ D) ôl, de D e excentricita zdroa a σ e počet bitov zdroove správy. Idea dôazu (Algoritmus ENCODED-BROADCAST): Nech ( a 1, K, a r ) e binárna reprezentácia zdroove správy σ. Algoritmus pracue vo fázach. Prvá fáza sa sladá z 1 ola, aždá ďalšia fáza sa sladá z 2 r + 4 ôl. V ažde fáze sú nietoré vrcholy atívne a všety ostatné sú pasívne. V prve fáze e atívny len zdro a vysiela zdroovú správu σ počas 1. ola teto fázy. Vo fáze sú atívne tie vrcholy, toré počas predchádzaúce fázy 1 priali v neaom ole správu alebo deteovali olíziu, a v žiadne fáze doteraz ešte neboli atívne. Ao bude vidieť nesôr, sú to tie vrcholy, toré počas fázy 1 deódovali zdroovú správu a teda u na začiatu fázy už poznaú. Invariantom algoritmu e, že všety atívne vrcholy poznaú zdroovú správu. Fáza e rozdelená do r + 2 dvoolových segmentov

30 3.3 Distribuovaný broadcasting s deteciou olízie 26 b K. Atívne vrcholy v oboch olách segmentov a vysielaú ontatnú 0, b1,, b r, b r + 1 správu. Vysielanie v segmente vrcholy pracuú v oboch olách segmentu ai bi b0 b r+ 1 pre 1 i r závisí od hodnoty a. A = 0, ta atívne b i ao priímače, t.. nevysielaú žiadnu správu. A = 1, ta v prvom ole segmentu b vystupuú atívne vrcholy ao priímače (nevysielaú i správu) a v druhom ole vysielaú ontatnú správu. Vrcholy, toré sú atívne vo fáze i a i +1 poznaú na začiatu teto fázy zdroovú správu, pretože u vedia deódovať z vysielania vo fáze. Všety atívne vrcholy totiž vysielaú rovnao. Teda buď v danom ole všety vrcholy vystupuúce ao priímače nepriímaú žiadnu správu, alebo všety rozpoznaú vyslanie ontatne správy (buď ao priatie ontatne správy alebo ao deteciu vzniu b0 b r+ 1 olízie). Cieľom segmentov a e ohraničiť olá obsahuúce vysielanie správy. Rozdelením ôl vysielania na dvoice zodpovedaúce segmentom a rozpoznaním toho, či atívne vrcholy vysielali alebo nevysielali, vedia vrcholy atívne vo fáze deódovať obsah zdroove správy. +1 priamočiaro Tvrdenie [CGGPR00]: Nech G = ( V, E) e silne súvislý graf dosiahnuteľnosti rádiove siete s deteciou olízie a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Potom existue onštrutívny distribuovaný algoritmus, torý realizue ARB s použitím spontánnych vysielaní počas O(nD) ôl. Idea dôazu (Algoritmus BOUND-BROADCAST-CHECK): Algoritmus pozostáva z 3 častí nasleduúcich za sebou. Cieľom prve časti e určiť horné ohraničenie počtu vrcholov siete. Druhá časť má za cieľ, aby vrcholy v sieti spoznali svou vzdialenosť od zdroa (príslušnosť vrstve). Tretia časť algoritmu realizue súčasne samotný broadcasting zdroove správy a výpočet excentricity zdroa ta, aby táto hodnota bola známa všetým vrcholom siete. Znalosť excentricity umožňue zastavenie vyonávania algoritmu, čiže ARB. Prvá časť algoritmu pracue vo fázach, pričom fáza trvá ôl. Hovoríme, že vrchol e atívny vo fáze, a aspoň v ednom ole fázy vystupoval ao vysielač. V 1. fáze sú atívne všety vrcholy. Ao uvidíme nesôr, v ažde fáze budú atívne buď všety vrcholy alebo žiaden. V 1. ole fázy vysielaú ontatnú správu tie vrcholy, torých identifiátor e väčší než 2. Ostatné vrcholy vystupuú ao priímače. V i-tom ole ( i 1) fázy vysielaú ontatnú správu tie vrcholy, toré po prvý rát v rámci atuálne fázy v ole i 1 priali ontatnú správu alebo deteovali olíziu. Nech 0 e prvá fáza, v tore nie e atívny žiaden vrchol. Potom prvá časť algoritmu ončí a všety vrcholy vedia, že pre naväčší identifiátor Z v sieti platí < Z 2 pričom Z = O(n). 0 V druhe časti algoritmu, torá trvá 2 ôl, sa všety vrcholy dozvedia svou vzdialenosť od zdroa. V 1. ole vysiela zdro ontatnú správu. V ole i > 1 vysielaú ontatnú správu tie vrcholy, toré v ole i 1 priali ontatnú správu alebo deteovali olíziu po prvý rát v 2. časti algoritmu. Na zálade toho, v torom ole vysielaú ontatnú správu, poznaú svou vzdialenosť od zdroa.

31 3.3 Distribuovaný broadcasting s deteciou olízie 27 Tretia časť algoritmu prebieha vo fázach, toré sú rozdelené na dve po sebe nasleduúce podfázy po 2 0 ôl. V prve podfáze v ole i vysiela zdroovú správu vrchol s identifiátorom i, a túto zdroovú správu pozná. Druhá podfáza fungue ao edna z fáz v prve časti algoritmu s tým rozdielom, že v prvom ole druhe podfázy fázy vysielaú ontatnú správu tie vrcholy, torých vzdialenosť od zdroa e väčšia než. A po sončení podfázy nie e žiaden vrchol atívny (nepriala sa ontatná správu ani nedeteovala olízia), znamená to úspešné vyonanie broadcastingu. Tvrdenie [CGGPR00]: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete s deteciou olízie a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Potom existue onštrutívny distribuovaný algoritmus, torý realizue ARB s použitím spontánnych vysielaní počas O(n) ôl. Idea dôazu (Algoritmus EXPLORE-EXPAND-CHECK): Algoritmus e modifiáciou algoritmu EXPLORE-EXPAND z tvrdenia Na zistenie uončenia broadcastingu e algoritmus doplnený v ažde fáze o edno olo vysielania. V ňom vrcholy s identifiátorom väčším než nanavýš 2 2 vysielaú ontatnú správu. A v tomto ole vrcholy s identifiátorom vystupuúce ao priímače prímu ontatnú správu alebo deteuú olíziu, ta predú do stavu varovaný. Zároveň e upravená a časť C algoritmu ta, že a toen príde do varovaného vrcholu, zaznamená sa to do toenu. A zdroový vrchol z priatého toenu zistí, že počas svoe cesty neprešiel cez varovaný vrchol, vie, že broadcasting e uončený. Algoritmus z tvrdenia realizue ARB v čase O(n) v rádiových sieťach s deteciou olízie, torých graf dosiahnuteľnosti e symetricý. Algoritmus vša využíva spontánne vysielania. V modely bez spontánnych vysielaní môžeme použiť algoritmus ENCODED- BROADCAST z tvrdenia 3.3.1, torý realizue RB počas O( σ D), de σ e počet bitov správy σ. V prípade, že zdroové správy sú dlhé alebo prístup bitovému zápisu správy nemáme, tento algoritmus e nevýhodný, resp neefetívny. V nasleduúce časti uážeme algoritmus, torý realizue ARB počas O ( n + D log D) ôl bez využitia spontánnych vysielaní v rádiových sieťach s deteciou olízie, torých graf dosiahnuteľnosti e symetricý, a ediná informácia vo vrchole e eho identifiátor. Nasleduúce algoritmy vychádzaú z myšlieny algoritmu ENCODED-BROADCAST (tvrdenie 3.3.1), de e schopnosť detecie olízie využitá na deódovanie správy zaódovane do série vysielaní ontatných správ.

32 3.3 Distribuovaný broadcasting s deteciou olízie 28 Distribuované priradenie čísla vrstvy vrcholu Tvrdenie 3.3.4: Nech G = ( V, E) e graf dosiahnuteľnosti rádiove siete s deteciou olízie a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Potom existue onštrutívny distribuovaný algoritmus, torý pre aždý vrchol v sieti určí eho vzdialenosť od zdroa, t.. eho zaradenie do vrstvy. Dôaz (Algoritmus ENCODED-LAYERING): Algoritmus bude pracovať vo fázach. Vo fáze i ( i 0) budú atívne všety vrcholy vo vrstve i. V algoritme udržiavame invariant, že všety vrcholy vo vrstve i vstúpia do fázy i v rovnaom ole a pred vstupom do prvého ola teto fázy poznaú svou príslušnosť do vrstvy i. Všety ostatné vrcholy budú neatívne a vystupuú ao priímače. Počas ažde z fáz vrcholy vyšlú vrcholom nasleduúce vrstvy poradové číslo vrstvy, do tore vrcholy teto nasleduúce vrstvy patria teda vo fáze i sa vysiela číslo i +1. Toto číslo vyšlú zaódované do série vysielaní. Nech i, K, i ) e binárny ( 1 r zápis čísla i Potom fáza i bude pozostávať z 2 r + 4 ôl, toré sú rozdelené do r + 2 dvoolových segmentov b 0, b1, K, b r, b r + 1. V oboch olách segmentu b0 vystupuú všety atívne vrcholy (vrcholy vrstvy i ) ao vysielače a vysielaú ontatnú správu. Zoberme segment b, r prislúchaúci hodnote i. A i = 0, ta atívne vrcholy v oboch 1 olách segmentu budú vystupovať ao priímače t.. nevysielaú žiadnu správu. A i = 1, ta atívne vrcholy budú v prvom ole segmentu vystupovať ao priímače a v druhom ole segmentu ao vysielače, pričom vyšlú ontatnú správu. Naoniec v segmente budú atívne vrcholy vystupovať v oboch olách segmentu ao vysielače a vyšlú ontatnú správu. Poznamename, že vzhľadom na udržiavaný invariant, všety atívne vrcholy vysielaú vo všetých olách rovnao. Teda v ole, v torom maú atívne vrcholy vysielať, všety ich susedné vrcholy vystupuúce ao priímače prímu ontatnú správu alebo deteuú olíziu. Spomedzi neatívnych vrcholov budú vyslanú správu deódovať iba tie vrcholy, toré svou príslušnosť do vrstvy ešte nemaú určenú, t.. iba vrcholy vrstvy segmentu b r+1 i +1. Vysielanie počas b má za následo zobudenie vrcholov vrstvy i + 1 a ich pripravenie na príem 0 správy zaódovane do série vysielaní. Zároveň vysielanie v segmente b r+1 b0 b r+ 1 informue o uončení vysielania správy. Vysielanie v oboch olách týchto segmentov ( a ) zaručue, že toto vysielanie nebude zamenené za vysielanie obsahu správy počas segmentov b, K 1,b r. V ažde fáze e vďaa tomu možné vysielať správu ine dĺžy. Deódovanie vyslaného čísla i +1 bude vo vrcholoch vrstvy i + 1 prebiehať segmentoch b0 b r+ 1 ohraničených segmentmi a - t.. v segmentoch, de vrcholy počas prvého ola nepriímaú žiadnu správu ani nedeteuú olíziu. A e v druhom ole vysielania segmentu b priatá ontatná správa alebo e deteovaná olízia, ta -ty bit vysielane zaódovane správy e 1, ina e tento bit rovný 0. Vrcholy po priatí správy a deódovaní e obsahu si toto

33 3.3 Distribuovaný broadcasting s deteciou olízie 29 číslo uložia ao svou príslušnosť vrstve a stanú sa atívnymi v nasleduúce fáze. Atívne vrcholy vo fáze i sa stanú neatívnymi. Uvedený algoritmus vyoná distribuované priradenie čísla vrstvy vrcholu na nanavýš O( D log D) ôl, eďže nadlhšia vysielaná správa má dĺžu O(log D) a algoritmus pozostáva z D +1 fáz. Poznamename ďale, že uvedený algoritmus e možné rozšíriť ta, že umožní relatívnu synchronizáciu čísla atuálneho ola v ednotlivých vrcholoch vzhľadom na začiato algoritmu v zdroovom vrchole. Algoritmus e treba upraviť ta, že aždý vrchol, si na zálade svoe príslušnosti vrstve vypočíta a nastaví číslo atuálneho ola. Konrétne tento výpočet e založený na fate, že vrchol vo vrstve i uončue príem svoho zaradenia do vrstvy po i 1 r= 0 i 1 r= 0 2 log( r + 1) 2 log( r + 1) olách algoritmu. A teda algoritmus začal v ole 1, ta olo e posledným olom fázy i 1. Distribuované určenie odhadu naväčše hodnoty v sieti Tvrdenie 3.3.5: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete s deteciou olízie a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Ďale nech aždému vrcholu v V v sieti e priradené celé číslo Value( v) 0. Potom existue onštrutívny distribuovaný algoritmus, torý počas O ( D(log D + log Z )) ôl vypočíta v zdroi siete taé ohraničenie Z, že pre naväčšiu hodnotu priradenú vrcholu v sieti Value MAX = max{ Value( v) v V} platí, že Z / 2 < Value MAX Z. Dôaz (Algoritmus ENCODED-FIND-BOUND): Predpoladame naprv, že pracueme v modely, de informácia v aždom vrchole e obmedzená na identifiátor vrcholu a eho zaradenie do vrstvy. Nesôr uážeme ao predpolad znalosti zaradenia vrcholu do vrstvy odstrániť. Záladnou ideou algoritmu e aoby prehľadaním do šíry násť ohraničenie hodnoty Value MAX - naväčše hodnoty priradene neaému vrcholu siete. Na začiatu zdroový vrchol vysiela povel na začatie algoritmu, torý sa prenesie po vrstvách do všetých vrcholov siete. Každý vrchol čaá, ým si eho susedné vrcholy v nasleduúce vrstve neurčia vlastné odhady tohto ohraničenia. Potom vrchol zozbiera odhady susedných vrcholov z nasleduúce vrstvy taým spôsobom, že i eď nezísa ednotlivé odhady susedov presne, zísa neaú hodnotu naväčšieho odhadu, aá sa vysytue u susedných vrcholov. Túto hodnotu porovná so svoou priradenou hodnotou. Zísa ta vlastný odhad naväčše hodnoty priradene neaému vrcholu v sieti. Následne e vrchol pripravený oznámiť svo odhad na požiadanie susedným vrcholom z predchádzaúce vrstvy. Tato sa odhady postupne dostanú spätne po vrstvách až

34 3.3 Distribuovaný broadcasting s deteciou olízie 30 zdroovému vrcholu. Odhad naväčše hodnoty priradene vrcholu v sieti budeme určovať i ao odhad v tvare 2. Algoritmus bude pracovať vo fázach. V aždom ole algoritmu môže byť vrchol v stave neatívny, oznamuúci, čaaúci, vediaci, priímaúci alebo vysielaúci. Na začiatu e zdroový vrchol v stave oznamuúci a všety ostatné vrcholy sú v stave neatívny. Každá fáza e rozdelená do 3 podfáz (číslovaných 0, 1 a 2), z torých aždá sa sladá zo 4 dvoolových segmentov t.. aždá fáza pozostáva celovo z 24 ôl. V druhom ole segmentu sa vysiela správa iba v nietorých prípadoch počas prvého segmentu. Vrcholy v stave oznamuúci oznamuú vrcholom v nasleduúce vrstve vyonávanie algoritmu. V stave čaaúci sú tie vrcholy, toré čaaú, ým všety ich susedné vrcholy v nasleduúce vrstve nepoznaú svo odhad naväčše hodnoty priradene neaému vrcholu siete. Vrcholy v stave vediaci už maú svo odhad určený. Vrcholy v stave vysielaúci vysielaú svo odhad vrcholom predchádzaúce vrstvy, toré sú v stave priímaúci. Pre aždú podfázu nazvime vrstvami podfázy množinu vrcholov 0 pre podfázu definume množiny P : =, P S a P S. V -te podfáze 0 2 S +1 : = ( + 1) mod3 prebieha vysielanie následovne: S = 1 : = ( 1) mod3 U L i i (mod3). Ďale V prvom segmente vysielaú v oboch olách ontatnú správu všety vrcholy v stave oznamuúci z vrstiev atuálne podfázy, t.. z množiny. Po odvysielaní správ predú tieto vrcholy do stavu čaaúci. Vrcholy v stave neatívny, toré v neaých dvoch za sebou nasleduúcich olách priímaú ontatnú správu alebo deteuú olíziu, predú do stavu oznamuúci. Vysielanie v podfáze e totiž naplánované ta, že ediné olá, v torých môže nastať taáto situácia, sú olá, v torých vysielaú vrcholy predchádzaúce vrstvy počas prvého oznamovacieho segmentu príslušne podfázy. Podľa vrstvy, do tore vrcholy patria, si vedia pri zmene stavu z neatívny na oznamuúci určiť práve prebiehaúce olo v rámci atuálne fázy. Konrétne pre vrchol z vrstvy i táto zmena stavu nastáva po 2. ole prvého segmentu podfázy, de i 1 (mod 3). Cieľom teto časti e ativovať vrcholy siete, aby začali participovať na vyonávanom algoritme a zároveň sa zosynchronizovali v rámci práve prebiehaúce fázy. Poznamename, že a eď sa toto olo vyonáva v ažde podfáze ažde fázy, reálnemu vysielaniu dôde len počas prvých 0 P D +1 podfáz. V druhom segmente podfázy vysielaú v prvom ole ontatnú správu tie vrcholy v stave oznamuúci, čaaúci alebo priímaúci, toré ležia vo vrstvách nasleduúcich vrstvy +1 0 atuálne podfázy, t.. vrcholy z množiny. A vrchol z, t.. vo vrstve atuálne podfázy, torý e v stave čaaúci, počas tohto ola neprime ontatnú správu ani nedeteue olíziu, prede do stavu priímaúci. Všimnime si, že vrchol z eho susedia v nasleduúce vrstve (t.. z mení svo stav, a všetci ) sú v stave vysielaúci alebo vediaci. To, ao uvidíme nesôr, znamená, že všety susedné vrcholy už poznaú svo odhad naväčše hodnoty priradene neaému vrcholu v sieti. V druhom ole tohto segmentu vystupuú vrcholy z vrstiev atuálne podfázy ao priímače, t.. nevysiela sa žiadna správa. P +1 P P 0 P

35 3.3 Distribuovaný broadcasting s deteciou olízie 31 V treťom segmente vysielaú ontatnú správu v prvom ole tie vrcholy z, toré v predchádzaúcom segmente prešli do stavu priímaúci. Týmto olom oznamuú vrcholy, toré zistili, že už všety ich susedné vrcholy v nasleduúce vrstve poznaú svo odhad, aby im tieto susedné vrcholy svoe odhady zaslali. Vrcholy z, t.. vo vrstvách nasleduúcich vrstvy atuálne podfázy, toré v tomto ole priímaú ontatnú správu alebo deteuú olíziu a sú v stave vediaci, prechádzaú do stavu vysielaúci. Rovnao a v tomto segmente sa v druhom ole nevysiela žiadna správa. V štvrtom segmente vysielaú v prvom ole ontatnú správu vrcholy v stave vysielaúci z množiny +1 P, t.. z vrstiev nasleduúcich vrstvy atuálne podfázy. Podobne ao +1 P v predchádzaúcich segmentoch sa v druhom ole nevysiela. A 0 P e v danom vrchole odhadovaná hodnota naväčše priradene hodnoty v sieti, ta tento vrchol bude celovo, od zmeny svoho stavu na stav vysielaúci, vysielať v prvom ole štvrtého segmentu príslušne podfázy v r nasleduúcich fázach ontatnú správu. Po poslednom odvysielaní ontatne správy prechádza vrchol do stavu neatívny. Vrcholy v stave priímaúci vo vrstvách atuálne podfázy ( 0 P ) počítaú, v oľých fázach za sebou v prvom ole štvrtého segmentu priímaú ontatnú správu alebo deteuú olíziu. A v nietore z fáz neprimú žiadnu správu v štvrtom segmente, znamená to, že všety odhady susedov už boli odvysielané. Nech r e počet za sebou idúcich fáz, v torých vrchol v stave priímaúci prial ontatnú správu alebo deteoval olíziu v štvrtom segmente príslušne podfázy. Potom vrchol prede do stavu vediaci a nastaví ao odhadovanú hodnotu ohraničenia naväčše priradene hodnoty v sieti na r číslo 2 logvalue( v) max(2, ), de Value(v) e emu priradená hodnota. r 2 Rozdelenie vysielanie do podfáz podľa príslušnosti vrstve zaručue, že počas vysielania nedôde neželane interferencii. Zároveň, vďaa znalosti príslušnosti vrstve, na vysielané správy v dane podfáze môžu reagovať len tie vrcholy, pre toré e toto vysielanie určené V rámci podfázy chceme, aby navzáom omuniovali iba vrcholy z množín a. Všimnime si, že vrcholy, toré v nasleduúce vrstve nemaú susedov (a teda od nich neprimú žiadne vysielanie) sa podľa algoritmu správaú ta, ao eby im z ďalše vrstvy prišiel odhad 0 ohraničenia naväčše priradene hodnoty rovný 2. Cieľom použitia dvoolových segmentov, de ediné súčasné vysielanie v oboch olách nastáva iba v prvom segmente podfázy, e zabrániť tomu, aby susedné vrcholy vrcholov v stave neatívny (t.. v podfáze vrcholy z množiny P S 1 = ( + 2) mod3 priatie vysielania v druhom alebo štvrtom segmente pôvodne smerovaného z P P v stave neatívny) nechápali ao vysielanie v prvom segmente podfázy, toré e určené práve im. To by malo za následo chybnú synchronizáciu týchto vrcholov v rámci prebiehaúce fázy. Poznamename ďale, že vrchol nemusí vždy zísať správny odhad ohraničenia naväčše priradene hodnoty od svoich susedov v nasleduúce vrstve. Neaý zo susedov totiž mohol vstúpiť do stavu vysielaúci na popud neaého vrcholu v ine fáze. Za ten čas už mohol +1 P do 0 P

36 3.3 Distribuovaný broadcasting s deteciou olízie 32 vysielať ontatnú správu v stave vysielaúci v nieoľých fázach, či doonca mohol stihnúť presť do stavu neatívny. Vrchol v stave priímaúci, ta zísava sreslený odhad, torý e ale vždy menší alebo rovný, než maximálny sutočný odhad susedných vrcholov. Uážeme, že toto sresľovanie nemá vplyv na to, že sa správny odhad dostane zdroovému vrcholu. Nech teda vrchol drží ao svo odhad hodnotu, torá e správnym odhadom naväčše priradene hodnoty v sieti. Potom ale podľa algoritmu minimálne eden eho sused v predchádzaúce vrstve, onrétne ten, torý spôsobí eho prechod do stavu vysielaúci, prime tento odhad správne. Dôvodom e, že tento vrchol bude v stave priímaúci počas celého vysielania správneho odhadu. Správny odhad ohraničenia naväčšieho identifiátora v sieti sa ta postupne dostane po vrstvách až zdroovému vrcholu. Formálne to možno ľaho uázať induciou po vrstvách. Zdroový vrchol môže túto hodnotu následne odvysielať algoritmom ENCODED-BROADCAST ostatným vrcholom v sieti. Celová časová zložitosť tohto algoritmu e O( D log Z ), de Z e odhad naväčše priradene hodnoty neaému vrcholu v sieti. Nadlhšia vetva má totiž dĺžu O(D) a nadlhší vysielaný odhad e O(log Z). Pozrime sa teraz, ao môžeme odstrániť predpolad, že vrcholy poznaú svoe zaradenie do vrstvy. Tento predpolad možno odstrániť ta, že algoritmus sombinueme s algoritmom na určenie príslušnosti vrcholu vrstve z predchádzaúce vety. V ňom maú ednotlivé fázy presne stanovenú dĺžu trvania, čo ao sme onštatovali, umožňue naviac a relatívnu synchronizáciu atuálneho čísla ola vzhľadom na začiato algoritmu. Algoritmus na zaradenie vrcholov do vrstiev pracue vo fázach známe dĺžy, pričom fáza pracue s vrcholmi vo vrstve a. Zatiaľ sonštruovaný algoritmus na určenie odhadu naväčše L L + 1 priradene hodnoty ativue vrcholy na vyonávanie algoritmu tiež po vrstvách, onrétne v 1. segmente podfáz. Musíme vša dávať pozor, aby tento algoritmus nepracoval s vrcholmi, toré ešte nemaú určenú príslušnosť vrstve. Obe algoritmy môžeme sombinovať následovným spôsobom. Zdroový vrchol naprv začne vyonávať algoritmus na zaradenie vrcholov do vrstiev upravený ta, že vrcholy toré uončia vysielanie vo fáze predú do stavu neatívny algoritmu na určovanie odhadu. Zdroový vrchol po uončení fázy 0 algoritmu ENCODED-LAYERING začína vyonávať algoritmus na určovanie odhadu. Je treba dbať na to, aby obe algoritmy neinterferovali. Prvý segment ažde podfázy preto upravíme ta, že vrchol v stave oznamuúci nevysiela ontatnú správu a ani nemení svo stav, a e v tae vrstve a taom ole, že počas ôl prvého segmentu v nasleduúcich dvoch vrstvách ešte beží algoritmus ENCODED-LAYERING. To, či v nasleduúce vrstve beží algoritmus ENCODED-LAYERING e možné vypočítať na zálade čísla vrstvy a atuálneho ola algoritmu. Atuálne olo algoritmu môže byť určené modifiovaným algoritmom ENCODED-LAYERING, prípadne môže byť vypočítané na zálade vrstvy, do tore patrí vrchol vzhľadom na olo, edy prede vrchol do stavu oznamuúci. Celová časová zložitosť ombinovaného algoritmu e O ( D log D + D log Z ) ôl.

37 3.3 Distribuovaný broadcasting s deteciou olízie 33 Tvrdenie 3.3.6: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete s deteciou olízie a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Potom existue onštrutívny distribuovaný algoritmus, torý počas O( D log D) ôl vypočíta v zdroi siete taé ohraničenie Z, že pre excentricitu zdroa D platí, že Z / 2 < D Z. Dôaz (Algoritmus ENCODED-D-BOUND): Použie sa modifiácia algoritmu ENCODED-FIND-BOUND, de hodnota priradená vrcholu siete bude eho vzdialenosť od zdroa (číslo vrstvy). Tvrdenie 3.3.7: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete s deteciou olízie a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Potom existue onštrutívny distribuovaný algoritmus, torý počas O( D log n) ôl určí v zdroi taé ohraničenie Z, že pre naväčší použitý identifiátor vrcholu v sieti že Z / 2 < ID MAX Z. ID MAX platí, Dôaz (Algoritmus ENCODED-ID-BOUND): Algoritmus e modifiáciou algoritmu ENCODED-FIND-BOUND, pričom ao hodnota priradená vrcholu sa použie eho identifiátor, t.. Value ( v) : = ID( v). Keďže pre maximálny použitý identifiátor platí ID MAX = max{ ID( v) v V} = O( n) a O( D) O( n), e celová zložitosť algoritmu O( D log n). I eď algoritmus uvedený v nasleduúce vete nie e naefetívneší, demonštrue nietoré možnosti použitia algoritmov z predchádzaúcich viet. Tvrdenie 3.3.8: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete s deteciou olízie a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Potom existue onštrutívny distribuovaný algoritmus, torý realizue ARB počas O ( n + D log n) ôl. Dôaz (Algoritmus ENCODED-BOUND-BROADCAST): Algoritmus pozostáva z nieoľých častí zodpovedaúcich algoritmom z predchádzaúcich viet. 1. Algoritmom ENCODED-D-BOUND (tvrdenie 3.3.6) zistí zdroový vrchol ohraničenie parametra D siete počas O( D log D) ôl. 2. Algoritmom ENCODED-ID-BOUND (tvrdenie 3.3.7) zistí zdroový vrchol ohraničenie naväčšieho použitého identifiátora v sieti počas O( D log n) ôl. 3. Algoritmom ENCODED-BROADCAST (tvrdenie 3.3.1) distribuue zdroový vrchol zísané odhady parametrov ID MAX a D. Vrcholy, po spoznaní ohraničenia

38 3.3 Distribuovaný broadcasting s deteciou olízie 34 parametrov ID MAX a D na zálade ola, v torom tieto parametre priali, vedia určiť olo, edy bude algoritmus ENCODED-BROADCAST trvaúci O ( D log( n + D)) = O( D log n) zápis čísel ohraničení parametrov a D. ôl uončený, pretože posielaná správa e bitový ID MAX 4. Vrcholy v počas O(n) ôl presnešie počas Z ôl, de Z e ohraničenie parametra IDMAX, spoznaú identifiátory svoich susedov následovne: V ole i ( 1 i Z ) teto časti vysiela správu so svoim identifiátorom vrchol s identifiátorom i. 5. DFS prehľadávaním grafu s použitím toenu, torý obsahue zdroovú správu, sa počas maximálne ôl realizue samotný broadcasting. Po priatí toenu musí vrchol správou oznámiť susedom, že už zdroovú správu prial, aby mu viac toen nebol posielaný. 2Z = O( n) Ao vyplýva z času trvania ednotlivých častí algoritmu, celová zložitosť e O ( n + D log n) ôl. ARB e realizované vďaa tomu, že po realizovaní prvých 3 častí algoritmu už všety vrcholy poznaú čas uončenia algoritmu dopredu. Tvrdenie 3.3.9: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete s deteciou olízie a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Potom existue onštrutívny distribuovaný algoritmus, torý realizue ARB počas O ( n + D log D) ôl. Dôaz (Algoritmus ENCODED-BOUND-BROADCAST-2): Algoritmus realizue broadcasting rýchlešie vďaa tomu, že neodhadue znalosť parametru n a fungue následovne: 1. Algoritmom ENCODED-D-BOUND (tvrdenie 3.3.6) zistí zdroový vrchol ohraničenie parametra D siete počas O( D log D) ôl. 2. Algoritmom ENCODED-BROADCAST (tvrdenie 3.3.7) distribuue zdroový vrchol zísaný odhad parametra D. Vrcholy, po spoznaní ohraničenia parametra D a na zálade ola, v torom tento parameter priali, vedia presne určiť olo, edy nanesôr bude algoritmus ENCODED-BROADCAST trvaúci uončený. Poznamename, že táto časť môže byť optimalizovaná na čas trvania O( D log log D) 2, t.. O( D log D) ôl, pretože vysielané ohraničenie Z parametra D e mocninou čísla z Z = 2 a teda vysielaná správa môže byť reduovaná na binárny zápis čísla z. 3. Algoritmom EXPLORE-EXPAND-CHECK z tvrdenia realizuúcim distribuovaný ARB počas O(n) ôl v symetricých sieťach s deteciou olízie za predpoladu spontánnych vysielaní realizueme broadcasting. Predpolad spontánnych vysielaní e splnený, pretože po vyonaní 1. a 2. časti algoritmu sú všety vrcholy pripravené začať v spoločnom ole vyonávať tento algoritmus. ôl

39 3.3 Distribuovaný broadcasting s deteciou olízie 35 Celová časová zložitosť vyplýva z časove zložitosti ednotlivých častí algoritmu a e rovná O ( n + D log D) ôl. Všimnime si, že apliovaním prvých 2 časti predchádzaúceho algoritmu vieme ľubovoľný algoritmus pre distribuované symetricé rádiové siete s deteciou olízie predpoladaúci spontánne vysielania a realizuúci omuniačnú úlohu počas T (n) ôl prerobiť na algoritmus bez použitia spontánnych vysielaní, pričom časová zložitosť tato upraveného algoritmu bude T ( n) + O( D log D) ôl. Tvrdenie : Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete s deteciou olízie a informácia v aždom uzle siete e obmedzená identifiátor vrcholu. Nech Α e distribuovaný algoritmus riešiaci omuniačnú úlohu počas T (n) ôl s využitím spontánnych vysielaní. Potom existue algoritmus Α riešiaci omuniačnú úlohu bez využitia spontánnych vysielaní v čase T ( n) + O( D log D).

40 Kapitola 4 Broadcasting v 2D mrieže Dvorozmerná mrieža, ao topológia grafu dosiahnuteľnosti rádiove siete, sa vyznačue ednoduchosťou a veľou mierou štrutúrovanosti. Často e preto predmetom štúdia pri navrhovaní rôznych distribuovaných algoritmov. V teto apitole sa budeme zaoberať otázou návrhu efetívnych broadcastovacích algoritmov pri využití rôznych omuniačných scenárov v rádiových sieťach, torých topológiou e dvorozmerná symetricá mrieža. Uážeme, že vo všetých uvažovaných omuniačných scenároch e možné vyonať broadcasting asymptoticy optimálne počas O(D) ôl. Sonštruueme algoritmus, torý vie broadcasting v uvedenom čase realizovať pre model s distribuovaným riadením, de ediná informácia dostupná vrcholom e ich identifiátor. Pre ednotlivé omuniačné modely vša sonštruueme a ďalšie broadcastovacie algoritmy, toré sú pre ne efetívnešie než tento všeobecný algoritmus. Pod pomom vrcholy oolo zdroa budeme v teto apitole chápať susedné vrcholy zdroa a vrcholy, toré maú ao susedné vrcholy dve susedné vrcholy zdroa. Symbolom Z budeme označovať hodnotu naväčšieho identifiátora použitého v sieti. Definícia (2D mrieža): Mriežou s rozmermi m x n nazývame neorientovaný graf G = ( V, E), de V = Z m Z n = {( i, ) 0 i < m, 0 < n} E = {(( i, ),( i, )) ( i = i = ± 1) ( = i = i ± 1)} 4.1 Pomocné procedúry Definícia (Vysielací reťazec vrcholu): Nech a a 1 K a0 = ( ID( v)) 2 e binárny zápis identifiátora vrcholu v rádiove siete. Potom vysielacím reťazcom priradeným identifiátoru ID(v) nazývame neonečnú postupnosť Send ( K ID( v)) = (1, a, a, K, a, a,0,0, K,0, ). Vysielací reťazec e neonečná postupnosť, torá vznine zreťazením čísla 1, obráteného binárneho zápisu identifiátora (t.. zápis začína nanižším bitom identifiátora) a neonečne postupnosti núl. Vysielanie podľa vysielacieho reťazca umožňue v istých špecificých podmienach relatívne rýchly výber edného zo susedných vrcholov. Tvrdenie 4.1.1: Nech ID1, ID2 1 ( ID1 ID2 ) sú dva rôzne identifiátory vrcholov v rádiove sieti, de horným ohraničením všetých identifiátorov e číslo Z. Potom vysielacie

41 4.1 Pomocné procedúry 37 reťazce Send ( ID ) 1 a Send ID ) sa líšia na pozícii i, de i log Z + 2, t.. na pozícii i má ( 2 eden z reťazcov hodnotu 1 a druhý hodnotu 0. Dôaz: Dĺža binárneho zápisu aždého z identifiátorov e nanavýš log Z +1. Uvažume nenormalizované binárne zápisy čísel ID1 a ID2 zarovnané na dĺžu log Z + 1. Keďže identifiátory ID1 a ID2 sú rôzne, ich binárne zápisy sa líšia aspoň na edne pozícii. Z toho ao boli vysielacie reťazce onštruované už priamo vyplýva pravdivosť tvrdenia. Tvrdenie 4.1.2: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete. Nech v V a u, w Γ ( v) sú ediní atívni susedia vrcholu v. Potom v modely s distribuovaným G riadením bez detecie olízie, de ediná informácia vo vrchole e eho identifiátor, vie vrchol v vybrať edného z nanavýš 2 atívnych susedov počas O(log n) ôl. Dôaz (Algoritmus BINARY-SEND): Pri návrhu algoritmu využieme symetricosť siete (grafu) a vysielací reťazec priradený identifiátoru spolu s eho vlastnosťou uvedenou v tvrdení V 1. ole algoritmu vysiela vrchol v správu na začatie vysielania. V ole 2i vysiela správu so svoim identifiátorom vrchol u, resp. w práve vtedy, a na i-te pozícii vo vysielacom reťazci priradenom eho identifiátoru e hodnota 1. A vrchol v prime v ole 2i neaý identifiátor (správu), v ole 2i+1 vysiela správu o uončení algoritmu a zároveň už pozná identifiátor edného zo svoich nanavýš dvoch atívnych susedov. Keďže pre ohraničenie identifiátorov v sieti platí, že Z = O(n), počas nanavýš ôl dôde tomu, že vysielacie reťazce sa budú líšiť a nastane úspešné (bezolízne) odvysielanie správy s identifiátorom edným z vrcholov u alebo w. O(log n) Modifiáciou problému predchádzaúceho tvrdenia e problém, edy dva vrcholy maú spoločný susedný vrchol, pričom chceme, aby aspoň eden z týchto dvoch vrcholov doručil správu spoločnému susednému vrcholu. Opäť vysielanie podľa vysielacieho reťazca prislúchaúceho identifiátoru vrcholu vedie úspešnému riešeniu úlohy. Všimnime si, že vysielací reťazec e navrhnutý ta, že úspešnému doručeniu správy od edného z vrcholov dôde a v prípade, eď susedné vrcholy začínaú podľa vysielacieho reťazca vysielať v rôznych olách. Vtedy dochádza úspešnému odvysielaniu hneď v prvom ole. Je dôležité poznamenať, že v prípade, a vysielanie podľa vysielacieho reťazca prislúchaúceho identifiátoru prevádzaú súčasne viac než 2 susedné vrcholy, môže mať za následo, že sa nepodarí úspešne odvysielať voči spoločnému (cieľovému) vrcholu žiadnu správu.

42 4.1 Pomocné procedúry 38 Tvrdenie 4.1.3: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete. Nech v V. Potom v modely s distribuovaným riadením a deteciou olízie, de ediná informácia vo vrchole e eho identifiátor, vieme vybrať edného zo susedov vrcholu v počas O(log n) ôl. Dôaz (Algoritmus Collision-Binary-Selection): Algoritmus e prepisom algoritmu Binary-Selection z tvrdenia pre model s deteciou olízie. Algoritmus pracue vo fázach, z torých aždá má 2 olá. V ažde fáze v 1. ole vrchol v vysiela interval [ a, b] a v 2. ole fázy vysielaú svo identifiátor tie susedné vrcholy, torých identifiátor e v intervale [ a, b]. Keďže sme v modely s deteciou olízie, vrchol v vie určiť, či v 2. ole vysiela žiaden (šum pozadia), eden (príem správy) alebo viac ao eden susedný vrchol (interferenčný šum). V prve časti algoritmus určí horné ohraničenie identifiátorov susedných vrcholov ta, že postupne vo fáze i vysiela vrchol v interval [ 2 ] i 1, dovtedy, ým aspoň eden sused má svo identifiátor v tomto intervale. A vo fáze žiaden sused nemá identifiátor v intervale [ 2 ] 1, 1 znamená to, že horným ohraničením identifiátorov susedov vrcholu v e 2 = t. A Z horné ohraničenie identifiátorov všetých vrcholov, ta nádenie horného ohraničenia identifiátorov susedných vrcholov vieme realizovať v čase O(log Z). V druhe časti algoritmu vyberieme eden z identifiátorov susedov binárnym výberom (a vrchol v má vôbec neaých susedov). Nech [ a, b] e atívny interval zdroa v dane fáze. V ažde fáze zistíme, či má zdro v intervale [ a,( a + b) / 2] neaého suseda. A áno, ta ao atívny interval pre ďalšiu fázu si nastavíme [ a,( a + b) / 2] a poračueme v ďalše fáze. A nie, ao atívny interval pre ďalšiu fázu si nastavíme [( a + b) / 2, b]. Keďže vždy si vyberáme interval, de má aspoň eden sused vrcholu v svo identifiátor, po O(log Z) fázach nádeme určite neaý identifiátor suseda vrcholu v. Na začiatu druhe časti algoritmu ao iniciálny atívny interval použieme [ 0,t], de t e v prve časti algoritmu zistené horné ohraničenie identifiátorov susedov zdroa. Prvá a druhá časť algoritmu trvaú po O (log Z) dvoolových fáz. Keďže Z = O(n) e celová časová zložitosť algoritmu O(log n) ôl. 4.2 Všeobecný broadcastovací algoritmus Uážeme naprv, že a doážeme určiť dve (resp. tri) špecificé triedy vrcholov oolo zdroa, torý môže byť deoľve v mrieže, potom vieme vyonať broadcasting počas O(D) ôl v modely bez detecie olízie a bez aeoľve loálne informácie vo vrchole (s výnimou príslušnosti edne z tried v danom momente a nieoľo ôl dozadu). To znamená, že vieme vyonať broadcast optimálne na aždom z uvažovaných modelov.

43 4.2 Všeobecný broadcastovací algoritmus 39 Algoritmus pracue s množinou atívnych vrcholov, toré v mrieže vytváraú štvorec (a by sme uvažovali neonečnú mriežu), resp. časť štvorca. Ide vlastne o modifiáciu schémy, v tore vrchol hneď potom, čo prime správu, posiela u v nasleduúcom ole ao vysielač ďale. Pri teto schéme e ediný problém a to zabezpečiť doručenie správy do vrcholov, toré sa nachádzaú v rohoch vytváraného štvorca (vlny). Vhodným rozdelením vrcholov do tried vieme zabezpečiť, že a vrchol bude vysielať v ole prislúchaúcom eho triede, správa sa dostane i do rohových vrcholov. Zároveň pre ďalšiu vlnu atívnych vrcholov vieme efetívne určiť ich zaradenie do nietore z tried. Predpoladame teda, že máme dispozícií nasledovné rozdelenie vrcholov oolo zdroa do tried: Obrázo 4.2.1: Rozdelenie vrcholov do tried oolo zdroa A sa zdro nenachádza vo vnútri mriežy, ale naprílad niede na orai, budú prislúchaúce vrcholy v teto inicializácii chýbať to vša niao neovplyvní náš algoritmus. Tvrdenie 4.2.1: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete, torého topológiou e dvorozmerná mrieža. A pre vrcholy oolo zdroa, toré poznaú zdroovú správu, e známe rozdelenie do tried A, B (podľa obrázu 4.2.1, v rovnae triede sú susedné vrcholy zdroa, toré sú v mrieže oproti sebe) a AB, potom existue adaptívny onštrutívny algoritmus realizuúci rádiový broadcasting v sieti popísane grafom G počas O(D) ôl v modely s distribuovaným riadením, bez detecie olízie a bez aeoľve loálne informácie vo vrchole. Dôaz (Algoritmus Grid-Broadcast): Algoritmus pracue vo fázach, z torých aždá sa sladá zo 6 ôl. Na začiatu algoritmu sú atívne vrcholy triedy A, B a AB oolo zdroa, toré podľa predpoladu už poznaú zdroovú správu σ. S aždou správou vyslanou algoritmom sa vysiela a číslo ola atuálne fázy, v rámci torého bola vyslaná. To zabezpečí, aby na správu v 5. a 6. ole fázy reagovali len tie vrcholy, pre toré e určená. Všety vrcholy, toré v danom ole nevysielaú, vystupuú ao priímače. Vysielanie počas ažde fáz e definované následovne: 1. olo: Atívne vrcholy triedy A vysielaú správu σ a typ triedy A 2. olo: Atívne vrcholy triedy B vysielaú správu σ a typ triedy B

44 4.2 Všeobecný broadcastovací algoritmus olo: Atívne vrcholy triedy AB vysielaú správu σ a typ triedy AB 4. olo: Vrcholy, toré priali správu triedy AB v 3. ole, vystupuú ao priímače. Vrcholy, toré v ole 1. alebo 2. priali správu vystupuú ao vysielače a vysielaú svo typ triedy. Vrcholy triedy AB si na zálade priatého typu triedy zmenia svou triedu na A alebo B. 5. olo: Vrcholy triedy A, toré v 4. ole menili svo typ triedy (t.. boli predtým triedy AB) vysielaú správu σ a typ triedy A. 6. olo: Vrcholy triedy B, toré v 4. ole menili svo typ triedy (t.. boli predtým triedy AB) vysielaú správu σ a typ triedy B. Vrcholy, toré primú správu v 5. a 6. ole si nastavia svou triedu na AB. Atívne vrcholy pre ďalšiu fázu sú všety vrcholy, toré priali správu v 1., 2. či 3. ole predchádzaúce fázy alebo v 5. a 6. ole predchádzaúce fázy priali správu a patria do triedy AB. Vrcholy, toré priali správu v 4. ole na ňu nereaguú. Všety atívne vrcholy v predchádzaúce fáze sa stanú trvalo pasívnymi, t.. na žiadne ďalšie správy už nereaguú. Z uvedeného algoritmu e zremé, že v prípade, eď máme dispozícii uvedené iniciálne rozdelenie vrcholov (toré už priali zdroovú správu) oolo zdroa do tried, vieme vyonať broadcasting v čase O(D) bez ohľadu na rozmery mriežy, pozíciu zdroa v mrieže, ba doonca a bez znalosti identifiátorov ednotlivých vrcholov. 4.3 Inicializačné algoritmy pre broadcastovací algoritmus Teraz nám ostáva už len násť algoritmy, toré zabezpečia úvodné iniciálne rozdelenie vrcholov do tried a zároveň, toré zaručia, že všetým vrcholom oolo zdroa bude správa doručená. Vo všetých uvádzaných algoritmov budeme vždy so správou posielať a číslo ola, v rámci torého bola odoslaná. Ao zálad predpoladáme model s distribuovaným riadením, de ediná informácia vo vrchole e eho identifiátor. V teto podapitole predladáme čitateľovi súbor možných inicializačných algoritmov pre algoritmus Grid- Broadcast z tvrdenia Algoritmus Grid-Broadcast-Init (1) A zdro pozná identifiátor aspoň edného zo svoich susedov, vieme zaručiť inicializáciu algoritmu Grid-Broadcast v onštantnom čase (6 ôl) na aždom z uvažovaných modelov následovne uvedeným algoritmom. Zopaume, že súčasťou ažde vyslane správy e a olo, v rámci torého bola správa odoslaná. Všety vrcholy, toré v algoritme nie sú v danom ole uvedené ao vysielaúce, vystupuú ao priímače. 1. olo: Zdro odvysiela správu σ a identifiátor suseda, torého identifiátor pozná

45 4.3 Inicializačné algoritmy pre broadcastovací algoritmus olo: Vrchol s odvysielaným identifiátorom si nastaví svou triedu na A a vysiela správu σ. Vrcholy, toré túto správu priali (orem zdroa), si nastavia ao svou triedu AB. 3. olo: Vrcholy, toré sú v triede AB vysielaú správu σ. Vrcholy, toré priali správu v 1. ole a zároveň a teraz v 3. ole si nastavia svou triedu na B. 4. olo: Vrcholy triedy B vysielaú správu σ. Vrcholy, toré v 4. ole priímaú správu σ po prvý rát, si nastavia svou triedu na AB. Zároveň a vrchol (e naviac eden), torý v 1. ole priímal správu a doteraz už nič neprial si nastaví svou triedu na A. 5. olo: Vrcholy triedy A vysielaú správu σ. 6. olo: Vrcholy triedy B vysielaú správu σ. Vrcholy, toré v 5. a 6. ole priímaú správu si nastavia svou triedu na AB (orem zdroa a vrcholov, toré v 5. a 6. ole vysielaú) a všety ostatné vrcholy nastavia svou triedu za neidentifiovanú a zabudnú na to, že neaé správy dostali. Vrcholy triedy A, B a AB sa stanú atívnymi. Ao e ľaho vidieť, tento algoritmus sutočne prevedie úvodnú inicializáciu potrebnú pre algoritmus Grid-Broadcast. Z doterašieho môžeme povedať, že v aždom modely, de zdro pozná identifiátor aspoň edného suseda, pričom deteciu olízie nepredpoladáme, vieme realizovať broadcasting na mrieže v čase Ο (D). Ide teda naprílad o centralizovaný broadcasting, či broadcasting za predpoladu, že aždý vrchol grafu pozná neaú časť svoho grafového oolia. Algoritmus Grid-Broadcast-Init (2) V prípade modelu, de aždý vrchol pozná len svo identifiátor a nemáme deteciu olízie, môžeme ľaho postupovať následovne: 1. zdro odvysiela správu σ v 1. ole 2. vrchol s identifiátorom i vysiela svoe ID v ole číslo 2i, a medzičasom neprišiel od zdroa signál uončenia. Signál uončenia vyšle zdro v ole 2i, a v ole prial správu s identifiátorom i, t.. zdro pozná identifiátor nietorého zo susedov. 2 i +1 A predpoladáme, že identifiátory vrcholov sú čísla 1..Z, de Z = O(n), ta v čase O(n) bude zdro poznať identifiátor edného zo susedov. Pomocou Grid-Broadcast-Init (1) a Grid-Broadcast sa zabezpečí broadcasting v celovom čase O(n), pretože

46 4.3 Inicializačné algoritmy pre broadcastovací algoritmus 42 D = O(n). Nesôr ale uážeme, že broadcasting e možné vyonať v tomto modely v čase O ( D + log Z ), de Z e už spomínané horné ohraničenie identifiátorov vrcholov. Algoritmus Grid-Broadcast-Init (3) A máme dispozícii deteciu olízie môže zdro previesť výber edného so susedov v čase O(log n) pomocou algoritmu binárneho výberu Collision-Binary-Selection z tvrdenia Celovo pre tento model máme čas broadcastingu na mrieže O ( D + log n) ôl s využitím predchádzaúcich algoritmov Grid-Broadcast-Init(1) a Grid-Broadcast. Algoritmus Grid-Broadcast-Init (4) Pre model bez detecie olízie, de aždý vrchol naviac orem svoho identifiátora pozná a horné ohraničenie identifiátorov Z, vieme vyonať inicializáciu v čase O(log 2 Z) ôl pomerne ednoduchým algoritmom, torý e modifiáciou myšlieny algoritmu Binary- Send z tvrdenia Ten, ao sme uázali, zaručí pri symetricosti siete, že a nanavýš 2 vrcholy vysielaú správu pre ten istý vrchol, ta správa aspoň edného z nich bude doručená v čase O(log Z) ôl. Uvedený algoritmus fungue i pri neznalosti ohraničenia Z. Znalosť Z nám umožňue uončiť vysielanie podľa vysielacieho reťazca i pri nesymetricom modely, či inom modely, de nemôžeme počítať s potvrdením priatia správy od cieľového vrcholu. Algoritmus e inicializovaný správou od zdroa. Po e priatí nasledue naviac 2 + fáz. Vo fáze i sa správa vrchol (sused zdroa) podľa i-te hodnoty vo vysielacom reťazci priradenom eho identifiátoru túto hodnotu budeme nazývať zvolenou hodnotou vrcholu pre danú fázu. Ku ažde fáze môžeme priradiť binárny vetor podľa zvolených hodnôt susedov zdroa. Každá fáza sa sladá z dvoolových segmentov. Prvé olo segmentu e vysielacie olo (nepárne olá), druhé olo e overovacie olo (párne olá). V overovacích olách všety vrcholy orem zdroa vystupuú ao priímače. A zdro v predchádzaúcom vysielacom ole rozpoznal neaý z identifiátorov susedného vrcholu, v overovacom ole vysiela signál o uončení výberu, čím naštartue algoritmus Grid-Broadcast-Init (1). Opisovať budeme preto len vysielacie olá segmentov. V prvom segmente fázy vysielaú vo vysielacom ole svo identifiátor tí susedia zdroa, torí maú pre danú fázu zvolenú hodnotu 1. Vo vysielacom ole 2. segmentu fázy vysielaú tí susedia, torí si pre danú fázu vybrali 0. Tato, a vo vetore zvolených hodnôt susedov má práve eden vrchol hodnotu 1 alebo 0, zdro rozpozná eho identifiátor. A sa ta nestalo (do onca 2. segmentu fázy zdro neuončil výber), znamená to, že mohli nastať 3 možnosti: 1. všetci susedia zdroa (nie nutne 4 vrcholy) maú pre danú fázu zvolenú hodnotu 1 2. všetci susedia zdroa maú pre danú fázu zvolenú hodnotu 0 log Z

47 4.3 Inicializačné algoritmy pre broadcastovací algoritmus práve 2 susedné vrcholy maú pre danú fázu zvolenú hodnotu 1 a iné 2 vrcholy maú zvolenú hodnotu 0. Po úvodných dvoch segmentoch nasledue 2 + log Z segmentov, počas torých vo vysielacom ole susedia so zvolenou hodnotou 1 vysielaú v správe svo identifiátor na zálade vysielacieho reťazca priradeného identifiátoru. A maú vybranú hodnotu 1 práve dvaa susedia dôde priatiu identifiátora nietorého zo susedov zdroa zdroovým vrcholom a tým uončeniu výberu. V opačnom prípade úspešné vysielanie môže, ale nemusí nastať. Poiaľ nenastane uončenie výberu počas 2 + log Z segmentov, prechádzaú všety susedné vrcholy zdroa do následovne fázy (to znamená, že všetci susedia mali vybranú rovnaú hodnotu). Keďže identifiátory susedných vrcholov sú rôzne, existue fáza, v tore si všetci susedia nevybrali rovnaú hodnotu. Počas ne dôde úspešnému výberu edného zo susedov zdroa. Časová zložitosť tohto výberového algoritmu e O(log 2 Z). Znalosť Z e dôležitá vôli tomu, že bez ne by sme nevedeli určiť, či to, že zdro nepotvrdzue priatie hodnoty e dôsledo toho, že všetci susedia si vybrali rovnaú hodnotu, alebo ešte v dane fáze práve dvaa vysielaúci susedia nedoončili svoe vysielanie podľa vysielacieho reťazca. Nebola by teda možnosť, ao sa dostať do ďalše fázy v prípade neúspechu. Zložitosť broadcastingu e s použitím tohto inicializačného algoritmu O ( D + log 2 n ) ôl. 4.4 Hlavný broadcastovací algoritmus pre mriežu V teto záverečne podapitole uážeme broadcastovací algoritmus pre model bez detecie olízie, de ediná dostupná informácia vo vrcholoch sú ich identifiátory. Algoritmus prevedie broadcasting v čase O ( D + log n). Všimnime si, že tento algoritmus e rýchleší než broadcastovací algoritmus využívaúci inicializačný algoritmus Grid-Broadcast- Init (4) uvedený v predchádzaúce podapitole, pričom sa predpoladá menšia informácia vo vrcholoch siete. Predchádzaúce broadcastovacie algoritmy pracovali ta, že naprv inicializačným algoritmom našli vhodný iniciálny stav (vhodné rozdelenie vrcholov oolo zdroa do tried) pre algoritmus Grid-Broadcast, torý potom spustili. Algoritmus, torý v nasleduúcom tvrdení sonštruueme, postupne súša rôzne rozdelenia vrcholov oolo zdroa do tried. Nedoáže vša vždy rozpoznať, či atuálne rozdelenie e vhodným iniciálnym rozdelením pre algoritmus Grid-Broadcast. Preto e Grid-Broadcast spúšťaný a vtedy, eď nie e isté, že bude úspešný. Uážeme ale, že raz sa určite podarí spustiť úspešný broadcasting, torého dôsledom bude tiež to, že algoritmus Grid-Broadcast sa už vrcholmi oolo zdroa nespustí a omuniácia v sieti ustane. Využívanie viacerých paralelných spustení algoritmu Grid-Broadcast má za následo zvýšenie celového počtu vysielaní v sieti,

48 4.4 Hlavný broadcastovací algoritmus pre mriežu 44 čo môže byť pri uvažovaní iných charateristí efetívnosti algoritmov, než e počet ôl potrebných na realizáciu úlohy, negatívny av. Tvrdenie 4.4.1: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete, torého topológiou e dvorozmerná mrieža. Potom existue adaptívny onštrutívny algoritmus realizuúci rádiový broadcasting v sieti popísane grafom G počas O ( D + log n) ôl v modely s distribuovaným riadením a bez detecie olízie, de ediná informácia vo vrchole e eho identifiátor. Dôaz (Algoritmus Main-Grid-Broadcast): Algoritmus využíva broadcastovací algoritmus Grid-Broadcast (tvrdenie 4.2.1) a čiastočne ideovo vychádza z algoritmu Grid-Broadcast-Init (4) (podapitola 4.3). Všimnime si, že algoritmus Grid-Broadcast pracue vo fázach pozostávaúcich z onštantného a dopredu známeho počtu ôl (presnešie aždá fáza má 6 ôl). Vo fáze i ( i 1) vysielaú iba vrcholy vo vzdialenosti i od zdroa a nietoré vrcholy vo vzdialenosti i +1 od zdroa. A po uplynutí aspoň 3 fáz (18 ôl) algoritmu Grid-Broadcast spustíme susednými vrcholmi zdroa opäť tento algoritmus, máme zaručené, že ednotlivé inštancie algoritmu nebudú vzáomne interferovať. V algoritme musíme využívať upravenú verziu algoritmu Grid-Broadcast vôli možnému vzniu rôznych chybne inicializovaných inštancií tohto algoritmu. Zmena vša spočíva len v pripoení informácie do ažde poslane správy o tom, v tore fáze algoritmu Grid-Broadcast bola správa vyslaná. Keď vrchol po prvý rát vysiela správu ao dôsledo vyonávania algoritmu Grid-Broadcast zapamätá si, v tore fáze bola táto správa vyslaná. Pri vyonávaní ďalších inštancií algoritmu Grid- Broadcast už potom nidy nevysiela vo fázach vyšších než e táto fáza. V algoritme Main-Grid-Broadcast rozlišueme vrcholy dvoch typov: vrcholy oolo zdroa vyonávaúce výberový algoritmus a ostatné vrcholy siete vyonávaúce algoritmus Grid- Broadcast. Na začiatu algoritmu (v 0. ole) vysiela zdro zdroovú správu. Susedia zdroa po priatí teto správy začínaú vyonávať výberový algoritmus. Výberový algoritmus pracue vo fázach pozostávaúcich z 3-olových segmentov. Druhé olo segmentu slúži na doručovanie správ o uončení výberove procedúry v dôsledu naštartovania úspešného broadcastingu (algoritmu Grid-Broadcast). Sused zdroa, torý počas nietorého z ôl predchádzaúce fázy prime taúto správu, prestáva participovať na algoritme a ignorue všety priaté správy. Tretie olo segmentu e vyhradené pre správy, toré vysiela zdro v prípade, že sa mu podarí v 1. ole segmentu v priate správe rozpoznať identifiátor edného zo susedných vrcholov. Správa v 3. ole segmentu ta informue susedov zdroa o uončení výberove procedúry a začiatu vyonávania algoritmu Grid-Broadcast-Init (1). Rovnao ao v algoritme Grid- Broadcast-Init (4) bude vysielanie susedov zdroa v i-te fáze závisieť od i-te hodnoty vo vysielacom reťazci priradenom ich identifiátoru. Túto hodnotu budeme nazývať zvolenou

49 4.4 Hlavný broadcastovací algoritmus pre mriežu 45 hodnotou vrcholu pre danú fázu. Po sončení ažde fázy sa bude čaať 3 fázy algoritmu Grid-Broadcast predtým, než sa vstúpi do ďalše fázy výberového algoritmu. V 1. ole 1. segmentu fázy vysielaú zdroovú správu s identifiátorom susedia zdroa, torých zvolená hodnota pre danú fázu e 1. Podobne v 1. ole 2. segmentu fázy vysielaú zdroovú správu s identifiátorom susedia zdroa, torých zvolená hodnota pre danú fázu e 0. A do uončenia 2. segmentu fázy nebol výberový algoritmus uončený, znamená to, že aspoň dva vrcholy siete maú pre danú fázu zvolenú rovnaú hodnotu. A má zdro 4 susedov, ta práve dvaa z nich maú zvolenú hodnotu 1 a ďalší dvaa zvolenú hodnotu 0. A zdro nemá 4 susedov, ta môžeme tvrdiť, že všetci susedia zdroa maú v dane fáze zvolenú rovnaú hodnotu. Zaoberame sa prípadom, eď predpoladáme, že zdro má 4 susedov. Susedné vrcholy zdroa s rovnaou zvolenou hodnotou môžu byť v mrieže umiestnené oproti sebe alebo pri sebe (vrcholy maú spoločný susedný vrchol rôzny od zdroa). Umiestnenie oproti sebe zodpovedá vhodnému rozdeleniu vrcholov do tried, no nevieme ho zistiť. Na druhe strane, umiestnenie pri sebe vieme počas 4 ôl (v zmysle výberového algoritmu počas 4 segmentov) zistiť následovne: 1. olo: Vrcholy so zvolenou hodnotou 1 vysielaú správu CHECK 2. olo: Vrcholy, toré v 1. ole priali správu CHECK vystupuú ao vysielače a vysielaú správu priatú v 1. ole 3. olo: Vrcholy, toré v 2. ole priali správu CHECK a sú zároveň susedmi zdroa so zvolenou hodnotou 0, vystupuú ao vysielače a vysielaú správu CHECK-OK 4. olo: Vrcholy, toré v 3. ole priímaú správu, vystupuú ao vysielače a vysielaú správu priatú v 3. ole. Po sončení vyššie opísaných 4 ôl susedia zdroa so zvolenou hodnotou 1, torí priali správu CHECK-OK v 4. ole a susedia zdroa so zvolenou hodnotou 0, torí v 2. ole priali správu CHECK vedia, že nastala situácia, edy sú susedia zdroa s rovnaou hodnotou pri sebe. Susedia so zvolenou hodnotou 1 začnú postupne vysielať svo identifiátor v 1. ole segmentov podľa vysielacieho reťazca priradeného ich identifiátoru. Po naviac O(log Z) segmentoch sa zdro dozvie identifiátor edného zo svoich susedov, čo vedie uončeniu výberového algoritmu (viď algoritmus Binary-Send z tvrdenia 4.1.2). A po sončení prvých 6. segmentov fázy (2. segmenty vysielania, 4 segmenty overovania, či sú dvaa susedia so zvolenou hodnotou 1 pri sebe) nenastalo uončenie výberove procedúry, resp. e uončenie nie e isté (ao dôsledo toho, že dvaa susedia s hodnotou 1 sú pri sebe), znamená to, že mohli nastať 2 situácie: - zdro má 4 susedov, z torých maú dvaa zvolenú hodnotu 1 a dvaa zvolenú hodnotu 0, pričom susedia s rovnaou hodnotou sú oproti sebe - všetci susedia zdroa maú zvolenú rovnaú hodnotu Vzninuté situácie nevieme z pohľadu susedov zdroa niao rozlíšiť. Preto naštartueme broadcasting ta, že susedia so zvolenou hodnotou 0 si ao svou triedu určia A a susedia so

50 4.4 Hlavný broadcastovací algoritmus pre mriežu 46 zvolenou hodnotou 1 si ao svou triedu určia B. V 7. segmente fázy vysielaú správu s inicializáciou broadcastingu vrcholmi triedy A susedia zdroa v triede A a podobne v 8. segmente susedia zdroa v triede B. Vrcholy, toré v 1. ole 7. a 8. segmentu priali správu si nastavia svou triedu na AB. Ostatné vrcholy na priatie správ zabudnú. Po 8. segmente fázy vrcholy oolo zdroa (vrcholy triedy A, B a AB) realizuú 1. fázu algoritmu Grid-Broadcast. Algoritmus Grid-Broadcast e prirodzene treba upraviť ta, aby edno olo zodpovedalo ednému segmentu t.. trvalo 3 olá. Všimnime si, že a všetci susedia zdroa maú zvolenú rovnaú hodnotu, ta počas 7. a 8. segmentu nevznine žiaden vrchol triedy AB. Susedia zdroa vša o vzniu (nevzniu) vrcholov triedy AB nevedia a preto vyonávaú algoritmus Grid-Broadcast bez ohľadu na tento fat. Potenciálne vzninuté chybné vyonávanie algoritmu Grid-Broadcast má ale tú vlastnosť, že realizue broadcasting úplne rovnao ao vhodne inicializovaný Grid-Broadcast, až na to, že vrcholy ležiace na uhloprieče mriežy s priesečníom v zdroi sa zdroovú správu nedozvedia. Doonca a vrcholy vyonávaú algoritmus Grid-Broadcast vždy v rovnaých fázach. To znamená, že táto chybná inštancia algoritmu neovplyvní iné (predchádzaúce, či budúce) inštancie algoritmu. Naopa vzni aspoň edného vrcholu triedy AB znamená, že atuálne rozdelenie do tried e vhodné pre Grid-Broadcast a naštartovaná inštancia realizue broadcasting. Preto vrcholy triedy AB oolo zdroa, toré pri taeto vhodne inicializácii vznili, začnú vysielať podľa vysielacieho reťazca svoho identifiátora správu o uončení výberového algoritmu ao dôsledu naštartovania úspešného broadcastingu v 2. ole aždého segmentu. A sa medzičasom v nietore z ďalších fáz podarí naštartovať inú úspešnú inštanciu Grid-Broadcast, ta tieto vrcholy triedy AB na túto zmenu nereaguú (t.. a neodvysielali ešte všety správy podľa vysielacieho reťazca, ta poračuú ďale vo vysielaní). Po O (log Z ) = O(log n) segmentoch sa aždý zo susedov zdroa dozvie o uončení výberove procedúry. Každý sused zdroa má totiž dvoch susedov triedy AB a teda vysielanie podľa vysielacieho reťazca doručí správu o uončení. Poznamename tiež, že susedia zdroa sa nemusia dozvedieť správu o uončení výberove procedúry v rovnaom čase, resp. v rovnae fáze. Kým všetci susedia zdroa budú oboznámení o uončení výberového algoritmu, môže včasná neativita nietorých z nich viesť ďalším chybným inštanciám algoritmu Grid-Broadcast. Vďaa úprave algoritmu Grid-Broadcast tieto chybné inštancie vša ale nidy netrvaú dlhšie než oretné inštancie - teda O(D) ôl. Totiž fáza prve inštancie algoritmu Grid-Broadcast, torú neaý vrchol vyonáva, e rovnaá ao fáza, v tore vyonáva inštanciu realizuúcu úspešný broadcasting. Zároveň žiaden vrchol v sieti nevyoná žiadnu inštanciu algoritmu Grid-Broadcast vo fáze vyšše, než e posledná fáza inštancie realizuúce úspešný broadcasting. Ao e zremé z činnosti algoritmu, uvedeným algoritmom vieme vyonať broadcasting na mrieže v celovom čase O ( D + log n) ôl. Poznamename, že zdro sa o realizovaní úspešného broadcastingu nemusí vždy dozvedieť.

51 4.4 Hlavný broadcastovací algoritmus pre mriežu 47 Ao už bolo onštatované v úvode podapitoly, algoritmus Main-Grid-Broadcast využíva viacero paralelne bežiacich inštancií algoritmu Grid-Broadcast, čo vedie zvýšeniu počtu posielaných správ. To môže byť v nietorých apliáciách nežiadúci av. Poznamename preto, že e možné sonštruovať a algoritmus, torý počas O(log n) ôl zabezpečí, že zdro spozná identifiátor edného zo susedov zdroa a v modely, de ediná dostupná informácia vo vrcholoch e identifiátor. Potom už algoritmom Grid-Broadcast-Init (1) e možná realizácia broadcastingu počas O(D) ôl. Tento inicializačný algoritmus vychádza z výberove procedúry algoritmu Main-Grid-Broadcast. Keďže eho opis by bol technicý zložitý, stručne opíšeme eho hlavnú myšlienu. Všimnime si, že spúšťanie inštancií algoritmu Grid- Broadcast vždy, eď nastáva nerozhodná situácia, nie e nevyhnutné. V týchto nerozhodných situáciách úplne stačí súsiť vytvoriť vrcholy triedy AB oolo zdroa. Vieme už, že a e taéto vytvorenie vrcholov triedy AB úspešné, znamená to, že atuálne rozdelenie vrcholov do tried e vhodné pre algoritmus Grid-Broadcast. O tom ale susedia zdroa nevedia. A e číslo prebiehaúce fázy výberového algoritmu súčasťou správ, potom vrcholy triedy AB si môžu zapamätať číslo fázy, v tore boli vytvorené. Mechanizmom, aý e v algoritme Main- Grid-Broadcast použitý na oznámenie spustenia inštancie algoritmu Grid-Broadcast realizuúce úspešný broadcasting vrcholmi triedy AB oolo zdroa, e možné následne susedom zdroa oznámiť, v tore fáze mali susedia zdroa zvolené taé hodnoty, že určite práve 2 vrcholy mali zvolenú hodnotu 1. Susedné vrcholy zdroa si podľa čísla fázy a vysielacieho reťazca vedia určiť spomínanú zvolenú hodnotu pre danú fázu. Potom už len v na to vyčlenenom ole fázy susedia zdroa s vtedy zvolenou hodnotou 1 vysielaú podľa vysielacieho reťazca svo identifiátor zdrou. Keďže ta robia nanavýš dvaa susedia, vedie to tomu, že zdro prime v správe identifiátor edného zo svoich susedov. Opísaný inicializačný algoritmus ta spustí algoritmus Grid-Broadcast-Init (1) iba a povedie úspešne realizácii broadcastingu. Pre symetricú mriežu a ľubovoľne zvolený zdroový vrchol platí, že O( n) O( D). Z toho dostávame, že O(log n) O(log n) O( D). Teda pre aždý z modelov existue broadcastovací algoritmus na mrieže pracuúci v čase O(D), čo e asymptoticy optimálne vzhľadom na triviálny dolný odhad broadcastingu 2 Ω (D). Tvrdenie 4.4.2: Nech G = ( V, E) e neorientovaný graf dosiahnuteľnosti rádiove siete, torého topológiou e dvorozmerná mrieža. Potom existue adaptívny onštrutívny algoritmus realizuúci asymptoticy optimálne rádiový broadcasting v sieti popísane grafom G počas O(D) ôl v modely s distribuovaným riadením a bez detecie olízie, de ediná informácia vo vrchole e eho identifiátor.

52 Kapitola 5 Broadcasting v planárnych grafoch Táto apitola e venovaná otáze rádiového broadcastingu v sieťach, torých graf dosiahnuteľnosti e planárny. Definícia 5.1 (Planárny graf): Orientovaný graf G = ( V, E) e planárny, a sa dá naresliť v rovine bez preríženia hrán, t.. ediné spoločné body hrán sú ich spoločné vrcholy. Oblasť rádiového broadcastingu v sieťach popísaných planárnym grafom dosiahnuteľnosti nebola niao špeciálne súmaná. Zreme edným z dôvodov e fat, že mnohé dolné odhady času realizácie distribuovaného broadcastingu ao ontrapríladové grafy využívaú práve planárne grafy (tvrdenia 3.2.5, 3.2.7). Poiaľ e nám známe, na realizáciu distribuovaného rádiového broadcastingu v sieťach s planárnym grafom dosiahnuteľnosti zatiaľ neexistuú žiadne špecializované algoritmy. V prípade centralizovaného broadcastingu pre planárne grafy (presnešie pre širšiu množinu grafov, tore podmnožinou sú planárne grafy) existue algoritmus, torý generue priateľný rozvrh rádiového broadcastingu ratše dĺžy než algoritmy pre všeobecné grafy. V práci [EKc04] Elin a Kortsarz prezentovali algoritmus (tvrdenie 3.1.4), torý pre všeobecné neorientované grafy generue priateľné rozvrhy rádiového broadcastingu dĺžy O ( D + log 4 n ). Zároveň prezentovali a modifiáciu tohto algoritmu, torá pre siete s grafom dosiahnuteľnosti nízeho rádu, generue rozvrhy menše dĺžy. Konrétne pre neorientované planárne grafy dosiahnuteľnosti platí nasleduúce tvrdenie: Tvrdenie 5.1 [EKc04]: Nech G = ( V, E) e neorientovaný planárny graf dosiahnuteľnosti rádiove siete. Potom existue deterministicý algoritmus, torý v polynomiálnom čase pre daný zdroový vrchol s vygenerue priateľný rozvrh Π realizuúci rádiový broadcasting taý, že Π O ( D + log 3 n). V teto apitole prezentueme deterministicý algoritmus, torý pre orientované graf dosiahnuteľnosti dĺžy 3.D. G = ( V, E) a pre daný zdroový vrchol s V vygenerue priateľný rozvrh Pri tomto algoritme sa nebudeme vychádzať zo štrutúry planárneho grafu, ale z existencie planárneho nareslenia grafu - t.. pri onštrucii sa budeme opierať o geometricú realizáciu onrétneho nareslenia grafu v rovine. Ďalším dôležitým fatom e

53 5 Broadcasting v planárnych grafoch 49 sutočnosť, že a G = ( V, E) e planárny graf, potom aždý eho podgraf e planárny. Orem uvedených fatov využieme algoritmus, torý prezentoval Walter Schnyder v práci [S90]. Tvrdenie 5.2 [S90]: Nech G = ( V, E) e planárny graf s n 3 vrcholmi. Potom existue eho vloženie na mriežu ( n 2) ( n 2), pričom ednotlivé hrany sú úsečy. Naviac toto vloženie e možné vypočítať v lineárnom čase. A si teda zoberieme ľubovoľný planárny graf G = ( V, E), potom vieme v lineárnom čase násť taé priradenie, toré aždému vrcholu grafu priradí bod v R 2 ta, že ažde hrane grafu bude zodpovedať úseča medzi bodmi priradenými vrcholom teto hrany. Zároveň v tomto nareslení nebudú existovať prerížené hrany. Keďže uvažueme centralizovaný broadcasting, zoberme a fixume si neaé taéto nareslenie (naprílad vygenerované algoritmom z [S90]). Predpoladame pre ednoduchosť, že uvažovaný graf e symetricý (resp. neorientovaný). Ao vša uážeme nesôr, pre algoritmus nie e tento predpolad potrebný. Nech v V e vrchol grafu G = ( V, E) a s V e zdroový vrchol. Označme si l(v) dĺžu naratše (orientovane) cesty z vrcholu s do vrcholu v. Na zálade hodnoty l(v) môžeme rozdeliť vrcholy grafu do D +1 disuntných supín (vrstiev) L, de D e excentricita zdroového vrcholu, t.. L = { v V l( v = i} = { v V d ( s, v) = i}. Zreme L o = {s} a i ) L1 = { v V ( s, v) E}. Ďale nech P e funcia, torá aždému vrcholu v L i orem zdroa priradí vrchol P v) L taý, že ( P( v), v) E. Táto funcia pre aždý vrchol určue ( i 1 edinú neorientovanú cestu zdrou: SourcePath ( v) = ( v, P( v), P( P( v)),..., s). Túto cestu pomenueme ao zdroová cesta vrcholu v. Poznamename, že toto priradenie môže byť ľubovoľné a niao nesúvisí s posielaním správ v broadcastovace schéme. Broadcastovacou schémou budeme v teto apitole nazývať onrétnu realizáciu vysielania správ podľa vygenerovaného rozvrhu. A uvažueme orientovaný graf, ta zdroová cesta nemusí byť a cestou v grafe. Na priradenie sa môžeme pozerať tiež ao na onštruciu ostry grafu s oreňom v zdroovom vrchole. Je zremé, že ľubovoľné dve zdroové cesty maú spoločný aspoň eden vrchol a to zdroový vrchol. Ďale, a maú dve zdroové cesty spoločné neaý vrchol, ta cesta od tohto spoločného vrcholu zdrou e pre obe zdroové cesty rovnaá. Ďalšie pomy zavedieme priamo pri opise onštrucie. G i Konštruovaná schéma bude posielať zdroovú správu po vrstvách, pričom na doručenie správy z vrstvy do aždého vrcholu vrstvy bude treba nanavýš 4 olá (nesôr uážeme, že v sutočnosti vystačia 3 olá). Na doručenie zdroove správy všetým vrcholom vo vrstve L 1 Li L i+ 1 stačí edno vysielanie zdroového vrcholu s. Zaoberať sa teda budeme

54 5 Broadcasting v planárnych grafoch 50 vysielaním z vrstvy do vrstvy L pre i > 1 za predpoladu, že všety vrcholy vrstvy už priali zdroovú správu. Li i+ 1 Li Pozrime sa naprv na vrcholy vo vrstve. Nech v L. Označme Li+1 i+ 1 S( v) = { w Li ( w, v) E} - t.. S(v) e množina tých vrcholov vo vrstve L, toré môžu odvysielať správu vrcholu aždý vrchol vo vrstve vrcholy vo vrstve L i v L i+1. Je asné, že S ( v) > 0. V prvom ole vysielania necháme odvysielať zdroovú správu. V tomto ole sa správu dozvedia tie L, pre toré platí S ( v) = 1. Týmito vrcholmi vrstvy sa v ďalšom i+1 uvažovaní nemusíme zaoberať. Od tohto miesta budeme pod vrstvou vrcholy, toré nepriali správu v prvom ole, t.. vrcholy s naplánovať vysielanie vrcholov vrstvy vrstve L i+1 prime správu aspoň raz. L i L i+1 i L i+1 rozumieť iba tie S ( v) 2. Uážeme ao v nasleduúcich 3 olách ta, že aždý vrchol vo Z predchádzaúceho máme, že sa zaoberáme len s vrcholmi, pre toré platí S ( v) 2. Zoberme si ľubovoľný vrchol v L i+1 a dve rôzne vrcholy a, b S( v) Li. Nech x e prvý spoločný vrchol zdroove cesty vrcholu a a zdroove cesty vrcholu b - t.. x e taý vrchol, torý sa nachádza na oboch zdroových cestách ta, že cesta od tohto vrcholu x e v oboch zdroových cestách rovnaá a spomedzi spoločných ciest e táto nadlhšia. Taý prvo x vždy existue a e to prinamenšom zdroový vrchol. Potom cesta ( v, a, P( a), P( P( a)),..., x,..., P( P( B)), b, v) vnútornú oblasť symbolom Area( v,( a, b)) e cylus a teda delí rovinu na 2 oblasti. Označme. Pri fixovanom nareslení a vzhľadom na ednoznačné určenie zdroových ciest e táto oblasť pre danú troicu vrcholov ednoznačne určená. Z geometricého hľadisa e tento útvar neaý n -uholní s n 4. Obrázo 5.1: Určenie oblasti Area(v,(a,b)). Ľaho možno uázať nieoľo tvrdení o vzninutých oblastiach: { a, b} Area( v,( a, b)) c, d S( v) c, d Area( v,( a, b)) Area( v,( c, d)) Area( v,( a, b)) c S( v) c Area( v,( a, b)) Area( v,( a, b)) Area( v,( a, c)) Area( v,( a, b)) Area( v,( b, c)) Z posledného z uvedených tvrdení vyplýva, že a máme neaú oblasť A vrcholu v, v tore neleží neaý vrchol c S(v), ta vieme sonštruovať oblasť, v tore tento prvo

55 5 Broadcasting v planárnych grafoch 51 leží a zároveň v ne ležia a všety prvy oblasti A. Teda postupným pridávaním prvov z S(v) do neae záladne oblasti vrcholu v, vieme sonštruovať taú oblasť, v tore ležia všety prvy z S(v). Presnešie: a, b S( v) taé, že S( v) Area ( v,( a, b)) = Area( v) Pomenume oblasť Area(v) ao oblasť vrcholu v, prvy a, b ao hlavné susedné vrcholy vrcholu v a prvy z S( v) { a, b} ao vedľašie susedné vrcholy vrcholu v. Poznamename, že všety doteraz uvádzané činnosti a určenie význačných vrcholov e možné vyonať algoritmicy v polynomiálnom čase. Pozrime sa teraz na oblasti prislúchaúce rôznym vrcholom vrstvy L i+1. Lema 5.1: Nech v w L, v w a v Area(w), potom platí Area( v) Area( w)., i +1 Dôaz: Nech v w L, v w a v Area(w). Potom pre aždé a S(v) cesta, i +1 ( v, SourcePath( a)) leží celá v Area (w). A by totiž nemala celá ležať v Area(w), musel by aspoň eden e bod ležať mimo oblasti Area(w). Keďže graf e planárny, mimo sa cesta môže dostať len ta, že prede cez vrchol u V ležiaci na hranici oblasti Area(w). Každý vrchol na hranici oblasti Area(w) orem w leží na neae zdroove ceste, pretože samotná hranica teto oblasti e tvorená neaými dvoma zdroovými cestami. A SourcePath(a) zdroová cesta a teda od vrcholu u musí byť totožná so zdroovou cestou tvoriacou hranicu oblasti Area (w), t.. SourcePath (a) musí ležať vo vnútri oblasti alebo na hranici oblasti Area (w). Každopádne vša celá leží v oblasti Area(w), lebo a hranica oblasti e e časťou. Ostal nám, ešte prípad, že SourcePath (a) prechádza cez hranicu oblasti Area(w) v bode w. To ale nie e možné, lebo cez vrchol w L i+1 žiadna zdroová cesta vrcholu z L i viesť nemôže (vzhľadom na definíciu zdroove cesty). Poznamename, že a by sme chceli byť úplne formálne správny, ta správna definícia oblasti by mala orem oblasti n-uholnía zahrňovať a cestu od spoenia dvoch zdroových ciest, toré u vytváraú, do zdroového vrcholu. Keďže oblasť Area(v) e ohraničená neaými dvoma zdroovými cestami, toré sú z vyššie uvedeného určite v Area (w) a v Area(w), musí byť a celá oblasť Area(v) v Area (w), t.. Area( v) Area( w). Naviac platí, že Area( v) Area( w). A by boli totiž oblasti rovnaé, museli by mať rovnaé hranice, toré sú tvorené (neorientovanými) hranami grafu. Vrchol v leží z definície oblasti na hranici oblasti na hranici oblasti platilo, že e Area(v), a analogicy a vrchol w Area(w). Zhoda oblastí znamená a zhodu hraníc. Pri zhode hraníc by v e na hranici oblasti Area ( w) = Area( v). Hranica Area(w) e tvorená z definície vrcholom w ( w v ) a vrcholmi z vrstiev L pre i. Vrchol v vša e z vrstvy spor s tým, že leží na hranici oblasti Area (w). Teda Area( v) Area( w). L i+1, čo e

56 5 Broadcasting v planárnych grafoch 52 Lema 5.2: Existue vrchol L taý, že neexistue vrchol w L s vlastnosťou v Area(w). v i+1 i+ 1 Dôaz: Je zremé, že a L 2, ta existenciu prvu máme z vyššie uvedeného zaručenú. i+1 Nech teda L i+1 3. Predpoladame sporom, že prvo v L i+ 1 s danou vlastnosťou neexistue. To znamená, že pre aždý prvo u L i+ 1 existue prvo u Li+1 taý, že u u u Area(u ). Vezmime si ľubovoľný prvo v 1 L i + 1. K nemu existue v 2 L i + 1 s vlastnosťou v v v Area ). Z predošle lemy máme, že Area v ) Area( ) ( v 2 Predpoladame, že sme už určili vrcholy predpoladu existue prvo v,..., 1 v. Pre vrchol L i+ 1 v v + 1 v Area( v + 1 ( 1 v2 v na zálade sporného v L taý, že ), z čoho vyplýva + 1 i+1 Area( v ) Area( v + 1). A by platili, že v +1 = v pre neaé { 1,..., }, dostali by sme, že Area ( v ) Area( v + 1)... Area( v ) Area( v + 1) = Area( v ). Z toho vyplýva Area v ) Area( v ), čo e spor. A ale uvážime tento fat a definovanú spornú vlastnosť, ( ta máme, že pre aždé v v + 1 v + v L i+1 vieme násť + 1 Li+ 1 v s vlastnosťou Area( v ) 1, toré e naviac rôzne od všetých predchádzaúcich určených vrcholov. Tato, ale môžeme sonštruovať neonečnú postupnosť vrcholov z pretože množina L i+1 e onečná. L i+1, čo e spor, Definume teraz množiny: M M v Li+ 1 / w Li taý, že v Area( )}. 0 = { + 1 w U 1 N = { v Li+ 1 v M } = 0 = { v N / w N taý, že v Area( w)} Množina sú tie vrcholy vrstvy, toré sa nenachádzaú v oblasti žiadneho iného vrcholu vrstvy. Z geometricého pohľadu tvoria spolu s hranami do hlavných susedných vrcholov aoby obal grafu, pozostávaúceho z vrstiev L až L. A tieto vrcholy z vonašieho obalu odstránime, narazíme na ďalší obal z vrcholov odstraňovaním vrstiev L i. M 0 L i+ 1 L i+1 M. Postupným odstránime všety vrcholy a dostaneme sa až vrcholom vrstvy Z predchádzaúce lemy vyplýva, že M 1. Ľaho možno uázať, že a 0/ potom 0 M 1. To vyplýva z toho, že a uvažueme len podgraf pozostávaúci z vrcholov vo vrstve L i+1, predošlá lema e rovnao dobre apliovateľná, pretože tento graf spĺňa všety predpolady predchádzaúcich tvrdení. Ďale induciou možno uázať, že a 0 i M 1 N = 0/, ta platí M = 0/. Nech m e naväčší taý index, že M m 0/. Je zremé, že množiny sú disuntné, neprázdne a platí U m M,, M m M L i + 1. Teda máme, že m L i+ 1. K 0 = 0 N N

57 5 Broadcasting v planárnych grafoch 53 Keďže v polynomiálnom čase vieme pre ľubovoľný bod B v rovine a vrchol w L i+1 určiť, či B Area(w), vieme sonštruovať polynomiálny algoritmus, torý pre vrcholy z vrstvy L určí ich zaradenie do množín M, t.. sonštruue množiny M,, M. i+1 Pripomeňme, že pod vrstvou vysielania správy, t.. vrcholy s L i+1 0 K rozumieme tie vrcholy, toré nám ostali v hre po 1. ole S ( v) 2. m Lema 5.3: Pre aždú z množín M, 0 m a pre aždý vrchol v Li platí, že vrchol v e hlavným susedným vrcholom pre nanavýš dva vrcholy z množiny. M Dôaz: Sporne predpoladame, že vrchol v Li e hlavným susedným vrcholom pre aspoň 3 rôzne vrcholy z množiny M. Z týchto vrcholov si vyberme neaé 3 vrcholy a, b, c M, pričom v danom nareslení sú susedia vrcholu v po rade množina M definovaná máme, že žiaden z týchto prvov P ( v), a, c, b. Z toho, ao e a, b, c M neleží v oblasti iného prvu z M. Zoberme si oblasti Area (a) a Area(b). Tieto oblasti maú spoločnú prinamenšom hranu hranicou oblasti ( v, P( v)), torá leží na hraniciach oboch oblastí a naviac e táto hrana a Area (c). Vrchol c Area( a) Area( b) a teda a hrana ( c, v) s výnimou bodu v leží mimo Area( a) Area( b). Zoberme si teraz hranicu oblasti Area(c). Tá sa sladá z časti ležiace mimo oblasť a z časti ležiace v oblasti Area( a) Area( b). Keďže aždá cesta z vrcholu a do vrcholu b vedie nutne cez hranicu oblasti Area (c), musí v oblasti Area(c) ležať aspoň eden z vrcholov a alebo b, čo e spor s vlastnosťou prvov množiny M. Area( a) Area( b) Obrázo 5.2: Ilustračný obrázo dôazu lemy 5.3 Ku ažde množine V E = M M teraz definume neorientovaný graf G = V, E ) následovne: ( { v Li v e hlavný susedný vrchol neaého vrcholu z M = {( v, w) v M w V L e hlavný susedný vrchol vrcholu v} i Tato definovaný graf G = V, E ) e až na orientáciu hrán podgrafom grafu G = ( V, E). ( Pozrime sa teraz na štrutúru vzninutých grafov. Graf G = V, E ) pozostáva z vrcholov ( vrstvy L, toré patria do množiny M a ich hlavných susedných vrcholov (časť vrcholov i+1 Li L i+ 1 vrstvy ). Každý vrchol v má práve dva hlavné susedné vrcholy. Z predošle lemy }