Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval koval@fmph.uniba.sk 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozostávajúci z N nezávislých spinov. Každý zo spinov sa môže nachádzat v jednom z dvoch stavov {, } s príslušnými energiami: { ε, +ε}. Definícia magnetizácie pre túto domácu úlohu: M = n n. 1. Mikrokanonické rozdelenie (1.1) Náš systém má fixnú celkovú energiu E. Aká je teplota systému? (1.2) Môže byt teplota systému záporná? Ak áno, za akých podmienok? (1.3) Vyjadrite magnetizáciu systému M ako funkciu energie E. 2. Kanonické rozdelenie (2.1) Systém v kontakte s rezervoárom s teplotou T. Nájdite strednú hodnotu energie systému E. Ukážte, že vzt ah T E je kompatibilný s mikrokanickým prípadom T E. (2.2) Aké je M? (2.3) Vypočítajte entropiu S pomocou S = k ln(ω(e)). 1 (2.4) Vypočítajte entropiu S pomocou vzt ahu medzi kanonickou štatistickou sumou z, entropiou a strednou hodnotou energie. (2.5) Učili sme sa, že suma ln(z) je dominovaná jedným členom: ln(z) = ln[ Ω(E) exp( E/kT)] ln[ω(e) exp( E/kT)]. E Vysvetlite v tejto súvislosti výpočet entropie v (2.3) a (2.4) rôznym spôsobom na konkrétnom prípade nášho systému. Vyšiel nám ten istý výsledok? Kde robíme priblíženie v (2.3) a kde v (2.4)? 3. Nerovnovážny stav pri fixnej teplote (3.1) Nájdite nerovnovážnu vol nú energiu F(M, T) pri danej hodnote vonkajšieho parametra M. (3.2) Nájdite minimum F(M, T) vzhl adom na M (T fixované) a ukážte, že minimum je dosiahnuté pre rovnovážnu hodnotu magnetizácie M = M. (3.3) Rozviňte F(M, T) ako Taylor-ov rozvoj v M okolo minima (po kvadratický člen). Ako je tento rozvoj spojený s M 2? (Vyjadrite M 2 pomocou F a jeho derivácii, nemusíte výraz vyjadrit cez teplotu a ostatné premenné.) 1 ln x = log e x 1
Domáca úloha č. 2 - Monte Carlo Integrácia Použite Monte Carlo metódu na výpočet objemu n rozmernej sféry s polomerom 1. Vyberte si aspoň 3 dimenzie n a pre každú z nich vypočítajte V n (r = 1; N), kde N je počet pokusov pri integrácii. Porovnajte výsledok s teoretickou hodnotou V n (r) = π n/2 r n Γ( n 2 + 1). Ako sa váš výsledok líši od správneho v závislosti od n a N? Odporúčané programovacie jazyky: Python, C/C++, Java, Fortran. Úloha sa dá vypočítat aj v Excel-i/Calc-u. Domáca úloha č. 3 [1, 3] - Meranie elektrického odporu: Maximum Likelihood metóda Predpokladáme Ohmov zákon U = R I a odmeriame 2 páry hodnôt U a I. Predpokladáme tiež, že napätie aj prúd sú odmerané s gaussovskou neistotou - hodnoty ukázané prístrojom sú rozdelené podl a gaussa so strednou hodnotou v skutočnej hodnote veličiny a varianciou σ U alebo σ I. Maximalizovaním likelihood funkcie určte váš odhad skutočnej hodnoty odporu R. Zhrnutie, máte: U 1, U 2, I 1, I 2, σ U, σ I, nájdite: R. Extremalizácia sa dá celá urobit analyticky, avšak nájdenie vzorca pre R nemá vel ký význam. Preto odporúčam vyjadrit sústavu rovníc, ktorú dostanete deriváciou likelihood funkcie. Riešenie potom nájdite numericky (kalkulačka, excel, program. jazyk, mathematica...). pre hodnoty: U 1 = 0.9, U 2 = 2.5, I 1 = 0.9, I 2 = 2.2, σ U = 0.05, σ I = 0.1. 2
Domáca úloha č. 4 [3, 1] Testovanie nového lieku. Máme v praxi používaný liek A s účinnost ou 63%. Výsledkom výskumu je nový liek B, ktorý má predpokladanú účinnost 68%. Pre rôzne počty pacientov (10, 100, 1000, 10000) vytvorte simulačný program (použite M$ Office Excel alebo LibreOffice Calc), ktorý bude simulovat výsledky klinickej štúdie a následne štatisticky testovat, či je nový liek účinnejší, než starý. Klinická štúdia prebieha nasledovne. Najprv, chorým pacientom sa náhodne vyberie liek A/B. Po nejakom čase každý z pacientov je vyhodnotený nasledovne: bud RESPONSE (liek zabral) alebo NO RESPONSE (liek nezabral). Simulačná čast : 1. Pre každý z počtov pacientov vytvorte záložku v excel/calc zošite. 2. Pre každého z pacientov náhodne rozhodnite, či bude liečený liekom A či B. 3. Pre každého z pacientov rozhodnite s pravdepodobnost ou 63% (A) alebo 68% (B) či bola liečba účinná. Takto by to mohlo vyzerat po simulačnom kroku: Patient number Drug Response 1 A 1 2 B 0 3 B 1 4 A 1......... 1000 A 1 Štatistická čast : 1. Vopred si zvol te hraničnú hodnotu α pre váš χ 2 test. Vaša nulová hypotéza je, že lieky sú rovnako účinné. 2. Spočítajte výsledky a vytvorte súhrnnú tabul ku (pozrite v [1]). 3. Vytvorte tabul ku pre očakávané hodnoty na základe nulovej hypotézy. 4. Použite funkciu CHITEST (pozrite sa do help-u excelu/calcu) na určenie p value. 5. Zahod te/ponechajte nulovú hypotézu. 6. Zopakujte pre rôzne počty pacientov. Slovne okomentujte výsledky. Kol ko pacientov bolo treba na rozoznanie účinnosti liekov? Tieto funkcie budú užitočné: IF, RAND, COUNTIF, CHITEST... 3
Domáca úloha č. 5 Ideálny plyn ultra-relativistických častíc. Majme klasický (nie kvantový) ideálny plyn s N atómami v objeme V. Plyn je v tepelnej rovnováhe s rezervoárom s (vysokou) teplotou T. Hamiltonián systému: H = N p i c, i=1 kde c je rýchlost svetla. 1. Vypočítajte kanonickú štatistickú sumu systému Z N. 2. Zo štatistickej sumy Z N odvod te vol nú energiu F(T, V, N), entropiu S (T, V, N), tlak p(t, V, N), strednú hodnotu energie E(T, N), a chemický potenciál µ(t, V). 3. Ukážte, že tlak je rovný tretine hustoty energie. 4. Nájdite špecifické teplá c V a c p. Domáca úloha č. 6 - Prvá kvantová oprava ku stavovej rovnici - plyn fermiónov Odvod te prvú opravu ku stavovej rovnici pre ideálny plyn fermiónov, pri odvodení nepreskakujte žiadne kroky. Domáca úloha č. 7 - Pomer tepelných kapacít Vychádzajúc z definícií (pozri skriptá [1]) dokážte: C P C V = κ T κ S Domáca úloha č. 8 - Metropolis algorithm Spin-1 systém (3 stavy) v magnetickom poli s energiami: { ε, 0, ε}. 1. Analyticky vypočítajte E a E 2. 2. Použite Metropolisov algoritmus na nájdenie E a E 2 pre 3 rozličné teploty, ktoré spĺňajú: kt 1 < ε, kt 2 ε, kt 3 > ε. Porovnajte výsledky s analytickým výpočtom. Odporúčané programovacie jazyky: Python, C/C++, Java, Fortran. 4
Domáca úloha č. 9 - (q+1)-state Potts model Nájdite vol nú energiu Pottsovho modelu (q+1 stavov) na kruhu (periodické okrajové podmienky) použitím metódy transfer matice (pozri [1]). Hamiltonián: N H = K δ si,s i+1, s N+1 s 1 i=1 Aká je tepelná kapacita C V v termodynamickej limite? Aká je kapacita v nízkoteplotnej limite lim β C V? Domáca úloha č. 10 - Stacionárne riešenie Boltzmanovej rovnice v tiažovom poli Vypočítajte závislost teploty T, hustoty častíc n, a tlaku p od výšky nad povrchom (Zeme) z z Boltzmanovej rovnice v (a) izotermickej atmosfére (b) adiabatickej atmosfére so známou κ. V atmosfére pôsobí známa tiažová sila F = m (0, 0, g). Literatúra [1] Vladimír Černý, Matúš Medo: Selected topics from statistical physics. http://sophia.dtp.fmph.uniba.sk/~cerny/lectures/advstph.pdf [2] Vladimír Černý: Štatistická fyzika. http://sophia.dtp.fmph.uniba.sk/~cerny/lectures/stfpr.pdf [3] Vratko Polák: Vybrané kapitoly zo Štatistickej fyziky - cvičenia. http://sophia.dtp.fmph.uniba.sk/~koval/pdf/asc.pdf [4] http://wikipedia.org 5