Základné pravdepodobnostné modely v teórii spoľahlivosti

Unverzta Komenského v Bratslave Fakulta Matematky, Fyzky a Informatky Katedra aplkovanej matematky a ²tatsktky tudjný odbor: 9.1.9 Aplkovaná matematka tudjný program: Ekonomcká a nan ná matematka Základné pravdepodobnostné modely v teór spo ahlvost (Bakalárska práca) Luká² Lafférs Vedúc dplomovej práce: Mgr. Radoslav Harman, PhD. Bratslava, 27

ƒestne prehlasujem, ºe som bakalársku prácu vypracoval samostatne s vyuºtím teoretckých vedomostí a s pouºtím uvedenej lteratúry........................................................ Luká² Laérs

Po akovane akujem vedúcemu bakalárskej práce Mgr. Radoslavov Harmanov, za cenné rady a prpomenky pr tvorbe tejto práce. Taksto akujem rodne a prate om za podporu.

Abstrakt Na²m ce om bude vysvetl základné pojmy pouºívané v teór spo ahlvost, formalzova pojem "systém", popísa jeho rozl né reprezentáce a vlastnost, potom odvod formulu pre strednú dobu do zlyhana týchto systémov. Na záver algortmcky nájdeme v²etky nezomorfné systémy s nízkym po tom nezávslých a rovnako spo ahlvých sú astok a popí²eme ch charakterstky. Laérs, Luká²: [Bakalárska práca], Unverzta Komenského v Bratslave, Fakulta matematky, fyzky a nformatky, Katedra aplkovanej matematky a ²tatstky; ²kolte : Mgr. Radoslav Harman, PhD., Bratslava, 27, 26 s. K ú ové slová: teóra spo ahlvost, systém, pravdepodobnos

Predhovor Táto práca vznkla v rámc magsterského ²túda na Fakulte matematky, fyzky a nformatky. Vznkala postupne predov²etkým ²túdom odbornej lteratúry, neskôr programovaním v softvér Matlab 7.. Jej ú elom je poskytnú stru ný vh ad do pojmov teóre spo ahlvost, odvod v²eobecný výpo et premernej ºvotnost systému a následne ho demon²trova na konkrétnych jednoduchých príkladoch, ktoré treba algortmcky generova.

Obsah 1 Úvod 7 2 Základné pojmy z teóre spo ahlvost 7 2.1 Spo ahlvos a mera zlyhana............................ 7 2.2 Stredná doba do zlyhana.............................. 9 3 Rozdelena pravdepodobnost 9 3.1 Exponencálne rozdelene............................... 1 3.2 Gamma rozdelene.................................. 11 3.3 Webullovo rozdelene................................. 12 4 Spo ahlvostné systémy a ch reprezentáca 12 4.1 Reprezentáca pomocou tabu ky pravdvostných hodnôt.............. 12 4.2 Reprezentáca dagramom.............................. 13 4.3 Reprezentáca pomocou chybového stromu..................... 14 4.4 Identkáca poztívnych systémov.......................... 15 4.5 Identkáca systémov neredukovate ných na systém nº²ej dmenze....... 15 4.6 Tredy ekvvalencí systémov............................. 16 4.6.1 Treda ekvvalence na základe rovnakého pravdepodobnostného správana 16 4.6.2 Izomorfné systémy.............................. 17 5 Výpo et strednej doby do zlyhana 17 5.1 Výpo et spo ahlvost................................. 17 5.2 Výpo et strednej doby do zlyhana pre exponencálne rozdelene......... 18 6 Príklady spo ahlvostných systémov 19 6.1 Sérové zapojene................................... 19 6.2 Paralelné zapojene.................................. 19 6.3 TMR.......................................... 21 6.4 K z N systém..................................... 22 7 Preh ad zapojení s dvom, trom a ²tyrm sú astkam 23 7.1 Zapojena s dvom sú astkam............................ 23 7.2 Zapojena s trom sú astkam............................ 23 7.3 Zapojena so ²tyrm sú astkam........................... 24 8 Záver 26 6

1 Úvod Teóra spo ahlvost hrá ve m dôleºtú úlohu v nºnersko-technologckej prax. S aplkácam sa môºeme stretnú pr bezpe nostných a spo ahlvostných systémoch, v jadrovom a chemckom premysle, v pos ovníctve, pr tvorbe softvéru a v mnohých ných odvetvach. roké spektrum aplkácí robí túto oblas pravdepodobnost a ²tatstky ve m atraktívnou. V tejto prác sa zamerame najskôr na základné pojmy z teóre spo ahlvost, zov²eobecnene a matematckú formulácu spo ahlvostných systémov, rôzne moºnost ch reprezentáce. alej sa pokúsme o odvodene postupu po ítana doby premernej ºvotnost. Zaujímavé je, ako nám tento spôsob zna ne zjednodu²í výpo et pre K z N systémy pr exponencálnom rozdelení. Prínosom práce môºe by predov²etkým algortmcká dentkáca v²etkých nezomorfných systémov s nízkym po tom nezávslých a rovnako spo ahlvých sú astok. alej vytvoríme preh ad týchto základných systémov s ch parametram. Vä ²í dôraz sme kládl najmä na presné formulovane daných pojmov, na správne uvedomene s, o je náhodná premenná, o je mnoºna udalostí a podobne, nako ko sa do takejto úrovne táto téma nezvykne rozobera, dané vec sa akos ml ky predpokladajú. 2 Základné pojmy z teóre spo ahlvost 2.1 Spo ahlvos a mera zlyhana Ak je X náhodná premenná ozna ujúca ºvotnos (d ºku ºvota) sú astky, potom Deníca 1. Spo ahlvos R(t) denujeme ako pravdepodobnos, ºe sú astka preºje do asu t. Preto R(t) P (X > t) 1 F (t), kde F (t) je dstrbu ná funkca X 1. Prepokladáme, ºe v ase t sú astka pracuje správne (R() 1) a ºe sú astka nemôºe pracova bezchybne donekone na (lm t + R(t) ). Pre záporné t nemá spo ahlvos zmysel, ale poloºíme R(t) 1 pre t <, nako ko je R(t) nerastúca. F (t) teda ur uje "nespo ahlvos ". Dervovaním R(t) máme (ak je X spojtá náhodná premenná s hustotou f(t)) R (t) f(t) (1) Uvedomme s, ºe f(t) t je nepodmenená pravdepodobnos, ºe sú astka zlyhá v ntervale (t, t + t]. Má v²ak zmysel skúma aj podmenenú pravdepodobnos, ke uº máme dodato nú nformácu o tom, ako dlho sú astka funguje, ktorá bude zrejme rôzna od f(t) t. Chceme teda vyjadr pravdepodobnos, zoh ad ujúc jej teraj²í stav. Podmenená pravdepodobnos, za predpokladu korektného fungovana po as doby t je daná vz ahom G Y (y t) P (Y y X > t) 1 Dstrbu nú funkcu denujeme ako F (t) P (X t) P (X y + t X > t) P (X y + t a X > t) P (X > t) P (t < X y + t) P (X > t) F (t + y) F (t). R(t) (2) 7

Deníca 2. Okamºtú meru zlyhana 2 h(t) denujeme ako 1 F (t + x) F (t) h(t) lm x x R(t) lm x R(t) R(t + x) xr(t) teda h(t) f(t) R(t). (3) Teraz h(t) t je podmenená pravdepodobnos, ºe ak sú astka funguje po as doby t, tak potom sa pokazí v ntervale (t, t + t]. Táto je vä ²a ako nepodmená, lebo R(t) < 1. Integrovaním 3 a vyuºtím (1) a R() 1 dostávame t h(s) ds t t R(t) R() f(s) R(s) ds R (s) ds R(s) dr R, ln R(t) (4) [ t ] R(t) exp h(s) ds (5) Môºe by uºto né charakterzova jedným slom, aký rsk podstupujeme ak pouºívame nejakú sú astku. Deníca 3. Funkcu nazývame celkové rzko. 3 H(t) t h(s) ds (6) Ide o akés "s ítane"v²etkých podmenených pravdepodobností výsledkom oho je celková mera rzka. Spo ahlvos a celkový rsk sú vo vz ahu R(t) e H(t) (7) Nech V X (x t) ozna uje podmenenú dstrbu nú funkcu ºvotnost X, ak sú astka preºla do asu t. Potom platí x f(y) dy t V X (x t) (8) P (X > t) Deníca 4. švotnos sú astky ak preºla do asu t je daná vz ahom V (x t) { F (x) F (t) 1 F (t), ak x t,, nak. (9) 2 v ang. aj ako hazard rate alebo condtonal probablty functon 3 v ang. cumulatve hazard 8

Pre jej hustotu platí v(x t) { f(x), ak x t, 1 F (t), nak. (1) Podmenená hustota pravdepodobnost je korektnou hustotou, narozdel od okamºtej mery zlyhana pre ktorú platí: [ ] lm R(t) exp h(t) dt (11) t Poznamenajme alej, ºe h(t) v(t t). Deníca 5. Podmenenú spo ahlvos R t (y) denujeme ako pravdepodobnos toho, ºe sú astka bude fungova po as asového ntervalu d ºky y, ak preºla do asu t. Teda R t (y) R(t + y) R(t) (12) Uvedomme s, ºe R t (y) 1 G(y t). 2.2 Stredná doba do zlyhana Deníca 6. Strednú hodnotu ºvotnost sú astky X nazývame o akávaná ºvotnos alebo stredná doba do zlyhana 4 sú astky. Spo ahlvos ºvotnost sú astky X je daná vz ahom R(t) P (X < t) a R (t) f(t). Platí E[X] Integrácou per partes dostávame tf(t) dt E[X] tr(t) + tr (t) dt. R (t) dt. Za predpokladu exstence kone nej strednej hodnoty E(X) ke ºe R(t) sa blíº k nule rýchlej²e ako t k teda lm t tr(t), máme E[X] 3 Rozdelena pravdepodobnost R(t) dt. (13) V tejto ast popí²eme rôzne rozdelena pravdepodobnost vyskytujúce sa v teór spo ahlvost. 4 z ang. Mean tme to falure, ozna uje sa aj ako stredná doba do poruchy 9

3.1 Exponencálne rozdelene Exponencálne rozdelene pravdepodobnost hrá ve m dôleºtú úlohu v teór spo ahlvost. Dôvodom je Markovova vlastnos a jej vz ah k Possonovmu rozdelenu. Preto nasledujúce náhodné premenné môºeme charakterzova exponencálnym rozdelením ƒas medz dvoma prístupm na server ƒas do zlyhana (ºvotnos ) ƒas potrebný na opravu pokazenej sú astky Deníca 7. Hovoríme, ºe náhodná premenná X má Exponencálne rozdelene s parametrom λ (λ > ), ak jej hustota pravdepodobnost je daná vz ahom: f(x) { λe λx, ak x >,, nak. (14) Pre náhodné premenné s takouto funkcou hustoty pouºívame ozna ene X EXP(λ), λ >. Dstrbu ná funkca exponencálneho rozdelena je daná vz ahom: Pre pravdepodobnos platí F (x) { 1 e λx, ak x <,, nak. (15) P (X > t) t e λt f(x) dx a ak a < b P (a X b) F (b) F (a) e λa e λb. Skúmajme teraz podmenené rozdelene pravdepodobnost. Zaujíma nás rozdelene Y X t, teda zostávajúcej ºvotnost. Pre exponencálne rozdelene pod a (2) platí G Y (y t) y+t t t y+t t t f(x) dx f(x) dx λe λx dx λe λx dx e λt (1 e λy ) e λt 1 e λy. Exponencálne rozdelene ako jedné dsponuje Markovovou vlastnos ou, teda rozdelena podmenenej a nepodmenenej pravdepodobnost sú rovnaké. G Y (y t) je nezávslá od t. Sú astka, 1

ktorej pravdepodobnostné rozdelene ºvotnost je exponencálne nestarne, jej zlyhane ne je dôsledkom nejakého postupného procesu, ale výsledkom akejs náhlej udalost. Sú astka s nepamätá ako dlho ºje. Pre okamºtú meru zlyhana exponencálneho rozdelena platí h(t) f(t) R(t) λe λt e λt λ, (16) teda ako jedné rozdelene má kon²tantnú okamºtú meru zlyhana. Uvaºujme sú astku, ktorá nestarne, teda jej spo ahlvos je nezávslá od toho ako dlho ºje. Podmenená spo ahlvos je rovná nepodmenenej spo ahlvost. Ukáºeme, ºe podmenené rozdelene doby ºvotnost je exponencálne. Pouºtím deníce (5) dostávame R t (y) R(y) pre y, t. Preusporadaním máme R(y + t) R(y) t Ak t pouºjúc R() 1 získame R(y + t) R(y)R(t) (17) [R(t) 1]R(y) t Teda R(y) e y R (). Ak poloºíme R () λ dostávame (18) R (y) R ()R(y). (19) R(y) e λy, y >, (2) o znamená, ºe náhodná premenná ºvotnost má exponencálne rozdelene s parametrom λ. Základné charakterstky E(X) 1 λ D(X) 1 λ 2 3.2 Gamma rozdelene Deníca 8. Hovoríme, ºe náhodná premenná X má Gamma rozdelene s parametram parametram α a λ (α >, λ > ), ak jej hustota pravdepodobnost je daná vz ahom: f(x) { λ α x α 1 e λx Γ(α), ak x >,, nak. α nazývame parameter tvaru a λ parameter ²kály. Pr vo be parametra α 1 dostaneme exponencálne rozdelene. Základné charakterstky (21) E(X) α λ D(X) α λ 2 11

3.3 Webullovo rozdelene Deníca 9. Hovoríme, ºe náhodná premenná X má Webullovo rozdelene s parametram α a λ (α >, λ > ), ak jej hustota pravdepodobnost je daná vz ahom: f(x) { λαx α 1 e λxα, ak x >,, nak. (22) Môºeme pozorova, ºe exponencálne rozdelene je ²pecálnym prípadom Webullovho rozdelena v prípade vo by α 1. Základné charakterstky E(X) ( ) 1/α 1 Γ(1 + 1/α) D(X) λ ( ) 2/α 1 [Γ(1 + 2/α) Γ 2 (1 + 1/α)] λ 4 Spo ahlvostné systémy a ch reprezentáca 4.1 Reprezentáca pomocou tabu ky pravdvostných hodnôt Pre teoretcké zdôvodnene správnost algortmu, ktorému sa budeme venova v ast 5 s potrebujeme dané pojmy formalzova. Deníca 1. Stavom 5 budeme rozume vektor X (X 1,..., X n ) {, 1} n. Stavom v ase t budeme rozume náhodný vektor X(t) (X 1 (t),..., X n (t)) s hodnotam v mnoºne {, 1} n Udalos X (t) 1 znamená, ºe -ta sú astka zapojena v ase t funguje. Pre kaºdú sú astku exstuje náhodná premenná jej ºvotnost, pre celé zapojene máme teda náhodný výber ºvotností T 1,..., T n (pretoºe de o nezávslé, rovnako rozdelené náhodné premenné) pr om udalos T > t znamená, ºe -ta sú astka v ase t nezlyhala (X (t) 1). Deníca 11. Systémom 6 budeme rozume funkcu Φ : M n {, 1} n {, 1}. Teda kaºdému stavu (kaºdej moºnej stuác fungovana jednotlvých sú astok) prradí 1 ak systém v danom stave funguje a ak nefunguje. V zmysle denící 1 a 11 sa na mnoºnu M n (teda mnoºnu stavov) môºeme pozera ako na matcu núl a jednotek rozmerov 2 n x n a systém môºeme jednozna ne charakterzova st pcovým vektorom d ºky 2 n. Potom kaºdý radok matce je stav a k nemu prslúchajúca komponenta vo vektore charakterzujúcom systém hovorí, systém pre daný stav funguje. Na obrázku je zobrazená stuáca pre n 3 a systém, ktorý funguje práve vtedy, ke aspo dve z troch sú astok fungujú (TMR ako je uvedené v sekc 6.3). 5 v angl. ako State vector 6 v angl. sa stretneme s názvom Structure functon 12

TMR systém Poznamenajme, ºe tabu kou veme reprezentova akýko vek systém. Deníca 12. Zave me relácu " "na mnoºne M n : pre X, Y M n : X Y 1, 2,... n : X Y Deníca 13. Systém nazývame poztívny práve vtedy, ke sú splnené nasledovné podmenky: 1. Φ( 1 n ) 1 2. Φ( n ) 3. X, Y M n : X Y Φ(X) Φ(Y ) Teto podmenky hovora o tom, ºe: 1. Systém funguje, poka v²etky jeho sú astky fungujú. 2. Systém nefunguje, poka v²etky jeho sú astky nefungujú. 3. Táto poºadavka hovorí o tom, ºe funk nos ºadnej zo sú astok v zapojení nespôsobí zastavene systému; nak povedané, ºe ke uº v postupnom procese zlyhávana daných sú astok systém prestane fungova, zlyhane dal²ej sú astky nespôsobí nasko ene systému, o je zárove aj prrodzenou podmenkou pre po ítane strednej doby do zlyhana. 4.2 Reprezentáca dagramom Sná najjednoduch²ím a najntutívnej²ím zobrazením nejakého systému, je zobrazene pomocou dagramu. Takéto zobrazene môºe vyzera napríklad takto: Reprezentáca dagramom 13

Systém je funk ný, poka exstuje "prechodná"cesta z ava doprava, kde sú astka je prechodná práve vtedy, ke funguje. Kaºdú sú astku nakreslíme do dagramu z pochopte ných prí n práve raz. Táto reprezentáca je ve m názorná, jej ve kým nedostatkom v²ak je, ºe exstujú systémy (dokonca poztívne) nezobrazte né takýmto dagramom. Ako príklad uvedeme systém so ²tyrm sú astkam, ktorý popí²eme tabu kou. Tento systém je poztívny a neredukovate ný na systém s men²ím po tom sú astok. Systém, ktorý ne je moºné zobraz dagramom Tento systém funguje práve vtedy, ke funguje prvá sú astka a zárove nejaká ná sú astka alebo ke fungujú druhá, treta aj ²tvrtá sú astka sú asne. 4.3 Reprezentáca pomocou chybového stromu V procese výroby a zdokona ovana prístrojov môºe by uºto né, ma preh ad o slabých a slných lánkoch nejakého zapojena, ma presne návod, o musí by splnené, aby daný systém zlyhal. Systém môºe by jednozna ne ur ený schémou, ktorá hovorí, kedy zapojene zlyhá, jednou z takýchto forem je aj chybový strom 7. Vyuºívajúc logcké operátory AND a OR veme elegantne popísa podmenky zlyhana systému. Majme systém ktorého funk nos je charakterzovaná tabu kou z ast 4.2 Potom jeho chybový strom bude vyzera : 7 v ang. fault tree 14

X v krúºku znamená, ºe -ta sú astka zlyhala. Chybový strom 4.4 Identkáca poztívnych systémov Vygenerujeme s v²etky moºné systémy a z nch budeme postupne vyhadzova te, ktoré nesp ajú podmenky poztívnost 13. Spomedz celkového po tu systémov 2 n sa nám najprv sta í obmedz na te, ktoré majú na za atku a na konc 1. Pravdlo monotónnost otestujeme tak, ºe pre kaºdý radok matce M n patrac I (formálny pops je uvedený v (23)), teda pre ktorý je vo vektore systému 1, skontrolujeme v nejakom radku vä ²om ako sledovaný radok ne je vo vektore systému. Ak takáto stuáca nenastane pre ºaden vektor z I, potom systém môºeme povaºova za poztívny. 4.5 Identkáca systémov neredukovate ných na systém nº²ej dmenze V mnoºne M n máme v²etky systémy, z ktorých veme dentkova te, ktoré sú poztívne. Môºu sa v²ak medz nm nachádza také systémy, v ktorých je jedna alebo vac sú astok zbyto ných v zmysle, ºe nemajú vplyv na správane sa systému. Sú astka je nadbyto ná, ak sa systém v prípade jej funk nost správa rovnako ako v prípade jej nefunk nost. Ak chceme skontrola, je -ta sú astka zbyto ná, tak vektor systému rozdelíme na dve ast, na as kedy daná sú astka funguje a na as kedy nefunguje. Dostaneme dva systémy o jeden rozmer nº²e. Ak de o systémy rovnaké, sú astku povaºujeme za nadbyto nú. 15

Systém rozmeru 3, regulovate ný na rozmer 2, prvá sú astka je nadbyto ná 4.6 Tredy ekvvalencí systémov Motvácou k skúmanu tred ekvvalencí je skuto nos, ºe astokrát majú systémy z h adska toho, o nás zaujíma, úplne totoºné vlastnost. Je preto prrodzené obmedz sa len na ur té mnoºny systémov. 4.6.1 Treda ekvvalence na základe rovnakého pravdepodobnostného správana Pod a (3) veme, ºe spo ahlvos celkového zapojena veme vyjadr ako "polynóm"spo ahlvostí jednej sú astky. Ak teda majú dva systémy takýto polynóm rovnaký, o sa týka pravdepodobnostného správana medz nm net rozdelu. Poznamenajme, ºe môºe ís o systémy rôzne. Dva systémy o ²tyroch sú astkach s rovnakým pravdepodobnostným správaním, no jeden z nch ne je zobrazte ný dagramom. 16

4.6.2 Izomorfné systémy Dva systémy povaºujeme za zomorfné, ak jeden vznkne z druhého akous permutácou jeho sú astok. Túto zmenu môºeme ntutívne chápa aj ako pre íslovane sú astok, kde zapojene je to sté, len sú astky majú né ozna ena. Táto permutáca v podstate predstavuje výmenu st pcov v matc pravdvostných hodnôt M n. Je zrejmé, ºe ak permutujeme dve sú astky, ktoré sú pre fungovane systému rovnocenné, nový vektor systému sa nezmení a nezmení sa an polynóm denovaný v (3). Deníca 14. Dva systémy Φ 1, Φ 2 nazývame zomorfné a ozna ujeme Φ 1 Φ2 práve vtedy, ke exstuje bjektívne zobrazene δ : {1,..., n} {1,..., n} také, ºe Φ 1 (X) Φ 2 (δ(x)) pre v²etky stavy X M n. 5 Výpo et strednej doby do zlyhana 5.1 Výpo et spo ahlvost V prípade skúmana ºvotnost zapojení z pravdepodobnostného h adska je náhodným elementom to, ako dlho bude kaºdá zo sú astok fungova. Z toho prrodzene plyne, ºe mnoºnu elementárnych výsledkov budeme chápa ako Ω [, ) n a σ-algebru ako mnoºnu dostato ne bohatú teda S B n (Ω). Pre n sú astok máme teda n-rozmerný náhodný výber asov (predpokladáme, ºe ºvoty sú astok sú nezávslé a rovnako rozdelené) (T 1, T 2,... T n ). Pre (t 1, t 2,... t n ) Ω je ºvotnos -teho lánku je daná ako T (t 1, t 2,... t n ) t. Pre xovaný as t sa pozreme na kaºdú sú astku osobtne, ak t > t tak funguje, teda X (t)(t 1, t 2,... t n ) 1. Skúmajme dstrbu nú funkcu rozdelena funk nost systému. Teraz skúsme nájs spôsob, ako vyjadr dstrbu nú funkcu ºvotnost celého zapojena daného systému Φ. Ozna me s mnoºnu I {X M n : Φ (X) 1} (23) ktorá je mnoºnou v²etkých stavov, v ktorých zapojene funguje. Mnoºnu {(t 1, t 2,... t n ) Ω : Φ (X(t)(t 1, t 2,... t n )) 1} preto veme zapísa ako {(t 1, t 2,... t n ) Ω : X(t)(t 1, t 2,... t n ) I } Pravdepodobnos, ºe systém funguje do asu t, môºeme vyjadr ako R (t) P (Φ (X(t)) 1) P (X(t) I ) (24) ( ) n R (t) P (X (t) Y ) (25) Y I 1 Kvôl názornost skúmajme teraz spo ahlvos systému pre ur tý xný as t. Kaºdá sú astka má pre tento xný as ur tú spo ahlvos, teda sa na u pozeráme, ºe s pravdepodobnos ou R(t) funguje. Pod a (25) sa sta í pozera len na te radky matce M n, pre ktoré je vo vektore systému 1. 17

Je dôleºté uvedom s, ºe po ítame pravdepodobnos zo zjednotena mnoºín, ktoré sú dsjunktné. Preto namesto zjednotena po ítame sú et pravdepodobností. ( ) n R (t) P (X (t) Y ) ( n ) P (X (t) Y ) (26) Y I Y I 1 Pozrme sa na nejaké Y I, teda radok zodpovedajúc jednotke vo vektore systému. ( n ) ( P (X (t) Y ) P (X 1 (t) Y 1 ) (X 2 (t) Y 2 ) (X ) n (t) Y n ) 1 1 n P (X (t) Y ) (27) 1 kde posledná rovnos plyne z nezávslost sú astok, t.j. náhodných premenných X 1 (t),..., X n (t). Pr om veme, ºe P (X (t) Y ) { R(t), ak Y 1, 1 R(t), ak Y. (28) Môºeme pozorova, ºe táto pravdepodobnos závsí len od po tu jednotek núl daného vektora stavu Y, teda od j n 1 Y. Potom pod a (27) ( n ) n P (X (t) Y ) P (X (t) Y ) (R(t)) j (1 R(t)) n j 1 1 Ak ozna íme R(t) r dostávame ( n ) P (X (t) Y ) 1 r j (1 r) n j n j ( n j r j n j ( n j ) (1) n j ( r) ) r j+ ( 1) (29) Ke potom pod a (26) s ítame (29) zs ujeme, ºe pre systém o n sú astok máme spo ahlvos celého systému R (t) vyjadrenú pomocou spo ahlvostí sú astok R(t) R (t) c 1 R(t) + c 2 (R(t)) 2 + c 3 (R(t)) 3 + + c n (R(t)) n (3) kde koecenty c 1, c 2... c n sú celé sla. 5.2 Výpo et strednej doby do zlyhana pre exponencálne rozdelene V prípade exponencálneho rozdlena je spo ahlvos (pod a (15) z ast 3.1) 18 R(t) e λt (31)

Strednú dobu do zlyhana celého systému spo ítame pod a (13), (3) a (31) ako E (X) 1 λ R (t)dt c 1 R(t) + c 2 (R(t)) 2 + c 3 (R(t)) 3 + + c n (R(t)) n dt ( n 1 c e λt ) dt n ) (c e λt dt 1 n 1 ( c ) (32) 6 Príklady spo ahlvostných systémov 6.1 Sérové zapojene Majme systém, ktorý funguje práve vtedy, ke kaºdá z jeho sú astok funguje. Systém pre sérové zapojene má tvar Sérové zapojene pre n 3 Φ(X) n X (33) 1 Spo ahlvos tohto systému môºeme vyjadr ako R (t) n R (t) (34) 1 V prípade exponencálneho rozdelena (15) máme spo ahlvos Stredná doba do zlyhana bude pod a (13) potom R (t) e λnt (35) E [X] R (t) dt e nλt dt 1 nλ (36) 6.2 Paralelné zapojene Majme systém, ktorý funguje práve vtedy, ke aspo jedna z jeho sú astok funguje. 19

Systém pre paralelné zapojene má tvar Paralelné zapojene pre n 3 Spo ahlvos paralelného zapojena je daná vz ahom Φ(X) max (X ) (37) R (t) 1 n (1 R (t)) (38) 1 Pre exponencálne rozdelelne (15) je spo ahlvos Spo ahlvos vyjadrená ako "polynóm"(pod a 3) R (t) 1 R (t) 1 (1 e λt ) n (39) n ( ) n ( 1) 1 R(t) n ( ) n ( 1) 1 e λt (4) 1 Lema 15. Pre prrodzené ísla n platí n 1 ( 1) 1( ) n n 1 1 Dôkaz urobíme ndukcou. Pre n 1 je rovnos trválna. Ak platí rovnos pre n, potom aj pre n + 1. n+1 1 ( 1) 1( ) n+1 ( 1)n n + 1 + n 1 ( 1)n n + 1 + n 1 ( 1)n n + 1 + n 1 ( 1) 1( ) n + n 1 + 1 n + 1 1 1 + 1 ( 1)n n + 1 n 1 ( 1) 1( ) n 1 ( 1) 1 ( n + 1 n+1 1 1 ) 2

Strednú dobu do zlyhana dostaneme ako (3) E [X] 1 λ n 1 R (t) dt 1 n ( ) n ( 1) 1 e λt dt 1 λ 1 n 1 ( 1) 1( ) n (41) Poznamenajme, ºe harmoncký rad môºeme aproxmova pomocou Eulerovej-Mascheronho kon²tanty γ (43) a to pod a [4] vz ahom 6.3 TMR n 1 1 ln n + γ + 1 2n + 1 12n + 2 O(n 4 ) (42) γ lm n ( n k1 ) 1 k ln n..577215664915 (43) Majme paralelný systém zapojena troch nezávslých lánkov s rovnakou spo ahlvos ou. Pre korektné fungovane systému musa fungova aspo dva z troch lánkov, takýto systém nazývame TMR 8. Pouºtím Bernoullho schémy dostávame R TMR (t) 3 2 ( ) 3 R (t)(1 R(t)) 3 ( ) 3 R 2 (t)(1 R(t)) + 2 ( ) 3 R 3 (t)(1 R(t)) 3 3R 2 (t)(1 R(t)) + R 3 (t) teda R TMR (t) 3R 2 (t) 2R 3 (t) Gracké znázornene zapojena TMR systém Systém pre takéto rozdelene je Φ(X) { 1 ak 3 1 X 2 nak 8 z ang. trple modular redundancy 21

Uvedomme s, ºe R TMR > R ak R > 1 2, R ak R 1 2, < R ak R < 1 2. Teda TMR systém zvy²uje spo ahlvos len ak je spo ahlvos jednotlvých lánkov vä ²a neº.5. Ak sa jedná o exponencálne rozdelene (15), tak strednú dobu do zlyhana vypo ítame ako E[X] R TMR (t) dt 3e 2λt 2e 3λt dt 5 6λ (44) 6.4 K z N systém Uvaºujme zapojene s N sú astkam, ktoré funguje práve vtedy, ke funguje aspo K sú astok. Napríklad pre K 2 a N 3 dostávame TMR systém, pre K N sérové zapojene a ak K 1, tak dostávame paralelné zapojene. Spo ahlvos bude nadobúda tvar Systém pre takéto rozdelene je R KzN (t) n k ( ) n R (t)(1 R(t)) n Φ(X) { 1 ak n 1 X K nak Veta 16. [3] Nech Vn j je j-ta poradová ²tatstka náhodného výberu V 1, V 2,..., V n z rozdelena Exp(λ). Potom exstuje postupnos Z 1, Z 2,..., Z n nezávslých náhodných premenných s rozdelením Exp(λ) tak, ºe platí Vn j Z 1 n + Z 2 n 1 + Z 3 n 2 +... + Z j n j + 1 K z N sú astok funguje poka sa nepokazí N K + 1 sú astok. Teda nás zaujíma ºvotnos sú astky, ktorá zlyhá ako N K + 1 v poradí a jej ºvotnos stotoºníme s funk nos ou celého systému. Preto ahko nahladneme, ºe pod a 16 ºvotnos K z N systému vyjadríme ako Vn n k+1 Z 1 n + Z 2 n 1 + Z 3 n 2 +... + Z n k+1 k Pre strednú dobu do zlyhana K z N systému, poka de o exponencálne rozdelene, preto dostávame ( n ) E(X) E(Vn n k+1 Z n +1 ) E 1 n 1 λ k k 22

7 Preh ad zapojení s dvom, trom a ²tyrm sú astkam V tejto ast urobíme preh ad reprezentantov v²etkých poztívnych nezomorfných systémov neredukovate ných na systém nº²ej dmenze. Opsova budeme systémy, ktorých sú astky majú ºvotnos rozdelenú exponencálne s parametrom λ 1. Ozna ene M T T F budeme pouºíva pre strednú dobu do zlyhana. Systematcky sme pre kaºdý vektor systému ur l, je poztívny a neredukovate ný na systém nº²ej dmenze. Nezomorzmus sme overoval permutovaním tabu ky M n. Na dentkácu systémov a výpo et sme pouºl software Matlab. 7.1 Zapojena s dvom sú astkam Tu sa jedná o trválny prípad kedy exstujú len dva poztívne neredukovate né systémy. 1 2 R 2R R 2 R R 3 R (t)2e t e 2t R (t) e 3t MT T F 3 2 MT T F 1 2 7.2 Zapojena s trom sú astkam ƒo sa týka tred ekvvalence, tak v prípade troch sú astok sme na²l len 5 systémov, v²etky majú rozl né pravdepodobnostné správane, rôznu dobu do zlyhana a v²etky sú zobrazte né dagramom. 1 2 3 R 3R 3R 2 + R 3 R 3R 2 2R 3 R 2R 2 R 3 R (t)3e t 3e 2t +e 3t R (t) 3e 2t 2e 3t R (t) 2e 2t e 3t MT T F 11 MT T F 5 MT T F 2 6 6 3 4 5 R R + R 2 R 3 R R 3 R (t)e t +e 2t e 3t R (t) e 3t MT T F 7 6 MT T F 1 3 23

Reprezentáca pomocou pravdvostnej tabu ky vyzerá nasledovne TMR systém 7.3 Zapojena so ²tyrm sú astkam Pr ²tyroch sú astkach sme algortmcky dentkoval 2 rôznych nezomorfných systémov neredukovate ných na systém nº²ej dmenze. Dostal sme 17 rozl ných pravdepodobnostných správaní a 15 rôznych dôb do zlyhana. Len 14 systémov je zobrazte ných dagramom. 1 2 3 R R 4 R 2R 3 R 4 R 3R 3 2R 4 R (t)e 4t R (t) 2e 3t e 4t R (t) 3e 3t 2e 4t MT T F 1 4 MT T F 5 12 MT T F 1 2 4 5 6 R R 2 + R 3 R 4 R 3R 2 3R 3 + R 4 R 4R 3 3R 4 R (t) e 2t + e 3t e 4t R (t) 3e 2t 3e 3t + e 4t R (t) 4e 3t 3e 4t MT T F 7 MT T F 3 MT T F 7 12 4 12 24

7 8 9 R R 2 + 2R 3 2R 4 R R + R 3 R 4 R 5R 2 6R 3 + 2R 4 R (t) e 2t + 2e 3t 2e 4t R (t) e t + e 3t e 4t R (t) 5e 2t 6e 3t + 2e 4t MT T F 2 MT T F 13 3 12 MT T F 1 1 11 12 R R + 2R 2 3R 3 + R 4 R 6R 2 8R 3 + 3R 4 R R + 3R 2 5R 3 + 2R 4 R (t)e t +2e 2t 3e 3t +e 4t R (t)6e 2t 8e 3t +3e 4t R (t)e t +3e 2t 5e 3t +2e 4t MT T F 5 4 MT T F 13 12 MT T F 4 3 13 14 15 R 2R 2R 3 + R 4 R 2R 2 R 4 R 4R 6R 2 + 4R 3 R 4 R (t)2e t +2e 3t +e 4t R (t) 2e 2t e 4t R (t)4e t 6e 2t +4e 3t e 4t MT T F 19 12 MT T F 3 4 MT T F 25 12 16 17 18 R 3R 2 2R 3 R 2R 2 R 4 R 3R 2 2R 3 R (t) 3e 2t 2e 3t R (t) 2e 2t e 4t R (t) 3e 2t 2e 3t MT T F 5 6 MT T F 3 4 MT T F 5 6 19 2 R 4R 2 4R 3 + R 4 R 4R 2 4R 3 + R 4 R (t) 4e 2t 4e 3t + e 4t R (t) 4e 2t 4e 3t + e 4t MT T F 11 MT T F 11 12 12 25

Dané systémy môºeme reprezentova aj pomocou tabu ky Systémy so ²tyrm sú astkam 8 Záver V tejto prác sme popísal základné pojmy v teór spo ahlvost, charakterzoval vlastnost systémov zapojení a na²l v²eobecný spôsob výpo tu strednej doby do zlyhana. Tento spôsob sme aplkoval na systémy s nízkym po tom sú astok. Na záver sa nám naskytá otázka ako pokra ova alebo rozvnú danú problematku. Toto môºeme v prvom rade v²ade tam, kde sme pouºl ²pecálne predpoklady, ktoré ne sú splnené v mnohých stuácách, sú asky nemusa by rovnako rozdelené alebo nezávslé. alej môºeme uvaºova vacstavové lánky, ktoré nebudú môc by charakterzované len vektorom núl a jednotek. Zaujímavá je aj otázka poztívnych a nezomorfných systémov alebo redukovate nost na nº²í rozmer, ako efektívne systematcky generova takéto systémy, ako vyjadr po et takýchto systémov pre daný po et sú astok alebo ako zvol optmálny systém za ur tých obmedzení. V prác sme ukázal ako teoretcky spo íta strednú dobu do zlyhana, v prax je v²ak pr vä ²ích rozmeroch tento algortmus nepouºte ný, jeho náro nos je prve ká. 26

Reference [1] Trved K. S. (22): Probablty and Statstcs wth Relablty, Queung and Computer Scence Applcatons, John Wley and Sons, New York [2] Wolstenholme L. C. (1999): Relablty Modellng - A Statstcal Approach, Chapman and Hall/CRC [3] Cherno H.; Gastwrth J. L.; Johns M. V., Jr. (1967): The Annals of Mathematcal Statstcs, Vol. 38, No. 1., pp. 52-72. [4] And l J. (2): Matematka náhody, Matfyzpress, Praha 27