KVANTOVANIE A ENTROPICK KDOVANIE

Prepis

1

2 BANKY FILTROV Ing. Jozef Zavacký, PhD. prof. Ing. Ján Mihalík, PhD. Laboratórium číslicového spracovania obrazov a videokomunikácií Katedra elektroniky a multimediálnych telekomunikácií Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Košiciach

3 OBSAH PREDHOVOR.... BANKY FILTROV S POLYFÁZOVOU ŠTRUKTÚROU NÁVRH DVOJKANÁLOVEJ BANKY FILTROV S LINEÁRNOU FÁZOVOU FREKVENČNOU CHARAKTERISTIKOU A DOKONALOU REKONŠTRUKCIOU VO FREKVENČNEJ OBLASTI NÁVRH DVOJKANÁLOVEJ BANKY FILTROV S LINEÁRNOU FÁZOVOU FREKVENČNOU CHARAKTERISTIKOU A DOKONALOU REKONŠTRUKCIOU V ČASOVEJ OBLASTI BANKY KVADRATÚRNYCH ZRKADLOVÝCH FILTROV BANKY KOSÍNUSOVO MODULOVANÝCH FILTROV Kosínusovo modulované filtre s dokonalou rekonštrukciou OKTÁVOVÉ BANKY FILTROV MKDS s oktávovými filtrami BANKY FILTROV PRE GENEROVANIE WAVELETOV Konštrukcia bázy waveletov BANKY FILTROV PRE ČASOVÚ LIFTING IMPLEMENTÁCIU DISKRÉTNEJ WAVELETOVEJ TRANSFORMÁCIE BANKY VEKTOROVÝCH FILTROV PRE IMPLEMENTÁCIU DISKRÉTNEJ MULTIWAVELETOVEJ TRANSFORMÁCIE Návrh ortogonálnych prefiltrov bez decimátorov pre diskrétne multiwaveletové transformácie Návrh banky prefiltrov pre DGHM diskrétnu multiwaveletovú transformáciu...83 LITERATÚRA...9

4 PREDHOVOR Predkladaná vedecká monografia vznikla v Laboratóriu číslicového spracovania obrazov a videokomunikácií, Katedry elektroniky a multimediálnych telekomunikácií, FEI TU v Košiciach na základe dlhodobej vedeckej činnosti autorov v danej oblasti. Je určená pre študentov inžinierského a doktorandského štúdia, vedeckých pracovníkov v odboroch elektroniky, telekomunikácií a informatiky, ale aj iných odborov využivajúce techniky návrhu bánk filtrov pre mnohokanálové diskrétne sústavy (MKDS) s paralelnou a stromovou štruktúrou, generovanie waveletov ako aj implementáciu diskrétnej waveletovej transformácie. Rozlišujeme banky filtrov (BF) pre MKDS s dokonalou rekonštrukciou (DR) alebo pseudo (skoro) dokonalou (PDR) rekonštrukciou. Návrh takejto banky filtrov pre MKDS s DR je obtiažný, pretože požaduje samostatný výpočet všetkých, vo všeobecnosti rôznych, prenosových funkcií filtrov analýzy a syntézy. Na druhej strane jej návrh pre MKDS s PDR sa značne zjednodušuje, lebo tieto prenosové funkcie môžu byť vypočítané z jedinej prenosovej funkcie prototypového dolnopriepustného (DP) filtra. Toto zjednodušenie jej návrhu spôsobí, že tri druhy skreslení, t.j. aliasingové, amplitúdové a fázové v MKDS s PDR sa eliminujú len približne. Pritom ich hodnoty z praktického hľadiska môžu byť veľmi malé, preto možno hovoriť o skoro dokonalej rekonštrukcii. Vtedy prenosové funkcie filtrov v susedných kanáloch MKDS s PDR musia byť približne výkonovo komplementárne. Návrh banky filtrov môže byť vykonaný na základe hľadania matice aliasingových zložiek s vhodnými vlastnosťami vo frekvenčnej oblasti, alebo môže byť založený na podmienkach ortonormality impulzných charakteristík filtrov analýzy v časovej oblasti. Metódy návrhu BF môžu používať buď filtre s konečnou impulznou odozvou (KIO) alebo nekonečnou impulznou odozvou (NIO). V tejto monografii budú rozpracované predovšetkým metódy návrhu s filtrami typu KIO. Existujú však aj metódy návrhu s filtrami typu NIO [- 4]. Text je rozdelený do deviatich kapitol..kap. je venovaná mnohokanálovej diskrétnej sústave analýzy a syntézy a jej ekvivalentnej reprezentácii bankami filtrov s polyfázovou štruktúrou. Návrh dvojkanálovej banky filtrov s lineárnou fázovou frekvenčnou charakteristikou a DR vo frekvenčnej oblasti je obsahom.kap. Navrhnuté filtre analýzy majú nepárny rád, opačnú symetriu impulzných charakteristík a sú implementované priečkovou štruktúrou. V 3.kap. je rozpracovaná metóda návrhu banky filtrov s lineárnou fázovou frekvenčnou charakteristikou a DR založená na podmienkach ortonormality v časovej oblasti. Metóda návrhu filtrov analýzy pre MKDS sa pritom redukuje na problém nájdenia vhodného DP filtra analýzy s optimalizovanou impulznou charakteristikou. Potom zostávajúci počet (K-) filtrov sa získa aplikovaním operátorov preusporiadania na tento DP filter. Dokonalá rekonštrukcia nie je možná pre banku kvadratúrnych zrkadlových

5 (KZ) filtrov, ktorých návrh je uvedený v 4.kap. Po odstránení aliasingového a fázového skreslenia je však možné systematicky minimalizovať amplitúdové skreslenie. Ďalej je tu uvedená efektívna polyfázová implementácia KDS s PDR pomocou banky KZ filtrov analýzy a syntézy. 5.kap. je venovaná bankám kosínusovo modulovaných filtrov (KMF). Pritom návrh KMF s DR je založený na bezstratovosti polyfázovej zložkovej matice filtrov analýzy. Príslušné dvojice polyfázových zložiek prototypového filtra sú výkonovo komplementárne a sú implementované dvojkanálovou priečkovou štruktúrou, kedy sa zachováva vlastnosť DR aj v prípade kvantovania jej koeficientov. Na rozdiel od rovnomerných filtrov rozdeľujúcich spektrum signálu do priamo susediacich pásiem s rovnakou šírkou, ktoré sú uvažované u bánk filtrov v predchádzajúcich kapitolách, oktávové banky filtrov v kap.6 obsahujú filtre s exponenciálne rozloženými stredovými frekvenciami a šírkami frekvenčných pásiem. V úzkom vzťahu s nimi sú tzv. dyadické waveletové funkcie (wavelety). 7.kap. s názvom Banky filtrov pre generovanie waveletov ukazuje na vzťah medzi diskrétnou waveletovou transformáciou (DWT) a štruktúrou MKDS. Po definovaní pojmu regularity waveletovej bázy na základe prenosovej funkcie DP filtra je navrhnutá 4 a 6 KBF metódou uvedenou v kap.3, ktorá maximalizuje subpásmový zisk pre Markovov model signálu s danou autokorelačnou funkciou. Pomocou takto navrhnutých bánk filtrov je vygenerovaná mierková funkcia a wavelety iteračnou metódou. 8.kap. sa venuje biortogonálnym bankám filtrov pre časovú lifting implementáciu (LI) DWT. V úvode sú uvedené dve konkrétne biortogonálne BF s nepárnymi dĺžkami impulzných charakteristík a príslušnými priečkovými štruktúrami pre časovú LI jedného stupňa priamej DWT. Na základe uvedených rovníc DWT pre uvažované biortogonálne BF nasleduje zovšeobecnenie ich zápisu nielen s nepárnymi ale aj párnymi dĺžkami impulzných charakteristík a N iteráciami krokov predikcie a korekcie pre jeden stupeň časového rozkladu. V poslednej 9.kap. sa pojednáva o bankách vektorových filtrov pre implementáciu diskrétnej multiwaveletovej transformácie (DMWT). Po definovaní DMWT nasleduje implementácia úplnej priamej a spätnej DMWT pomocou banky vektorových filtrov s konečnou impulznou odozvou. Vektorový DP a hornopriepustný (HP) filter s maticovými komplexnými frekvenčnými charakteristikami je zložený zo skalárnych filtrov. Jednou z dôležitých úloh pri aplikovaní DMWT je úloha jej inicializácie (prefiltrácie), ktorá je realizovaná prefiltrami. V podkapitole 9. je rozpracovaný návrh ortogonálnych prefiltrov bez decimátorov pre diskrétne multiwaveletové transformácie. Návrh banky prefiltrov pre DMWT zavedenú Donovanom, Geronimom, Hardingom a Massopustom (DGHM) je obsahom podkapitoly 9.. Nakoniec sú vypočítané kombinované filtre vytvorené z banky prefiltrov a vektorových filtrov pre uvedenú DMWT. Autori

6 . BANKY FILTROV S POLYFÁZOVOU ŠTRUKTÚROU Mnohokanálová diskrétna sústava analýzy a syntézy na obr.. obsahuje banku filtrov analýzy G k (z) ako aj banku filtrov syntézy H k (z). Číslicové filtre s prenosovými funkciami G k (z) rozdelia frekvenčné pásmo vstupného diskrétneho signálu x(n) do K subpásiem. V decimátorach je potom každý subpásmový signál decimovány s celočíselným faktorom D = K. Tieto decimované signály sa následne interpolujú v prislušných interpolátoroch s tým istým faktorom K a pomocou filtrov syntézy s prenosovými funkciami H k (z) interpolované signály sa rekombinujú do výstupného obnoveného signálu xˆ (n) [5-8]. Obr... Mnohokanálová diskrétna sústava analýzy a syntézy. Táto mnohokanálová diskrétna sústava (MKDS) sa tiež nazýva maximálne decimováná sústava analýzy a syntézy, pretože decimačný faktor D je rovný počtu pásiem, resp. kanálov K. Pre systém bez prekrývania sa spektrálnych členov (aliasingu), ktorý je spôsobovaný decimátormi platí ( ) ( ) ˆX z K T( z) = = Gk( z) Hk( z) (.) X z K Vo všeobecnosti T(z) môže spôsobiť amplitúdové a fázové skreslenie. Pre eliminovanie týchto skreslení je nutné, aby T(z) mala konštantnú amplitúdovú a lineárnu fázovú frekvenčnú charakteristiku. Potom ju možno vyjadriť takto T n ( ) z c.z k= = (.) 3

7 pričom c je ľubovoľná konštanta a n nejaké kladné celé číslo, alebo ekvivalentné a časovej oblasti xˆ ( n) c.x( n ) = (.3) z čoho vyplýva, že reprezentuje lineárny oneskorovací systém. Obnovený (rekonštruovaný) signál xˆ ( n) z výstupu mnohokanálovej banky filtrov na obr.. vo všeobecnosti obsahuje aliasingové (ALS), amplitúdové (AMS), a fázové (FZS) skreslenie, pričom systém, ktorý tieto skreslenia potláča a vyhovuje rov.(.) sa nazýva systém s dokonalou rekonštrukciou (DR). Polyfázový rozklad prenosových funkcii čislicových filtrov v rôznych mnohokanálových diskrétnych systémoch vedie k ich polyfázovej reprezentácii. n= Nech () z = g() n n G z je prenosová reprezentujúca čislicový filter. Prenosovú funkciu G(z) môžeme prepísať do tvaru n G 4 [ z +... ]+ 4 ( z) =... + g( 4) z + g( ) z + g( ) + g( ) z + g( 4) + z 4 [... + g( 3) z + g( ) z + g( ) + g( 3) z +... ] (.4) Ak použijeme skrátené vyjadrenia E z g n z n ( ) = ( ), () z = g( n + ) n = Potom môžeme rov.(.4) vyjadriť v tvare n z n= E (.5) n () = g( n) z + z g( n + ) G z = n = e n = n = n ( n) z + z e( n) n = z z n n = (.6) () E (z ) + z E (z ) G z = (.7) pričom Z-transformácie subpostupností e (n) = g(n) a e (n) = g(n+) sú označené ako E (z) a E (z). Vyjadrenie G(z) v tvare podľa rov.(7) sa nazýva - zložkový polyfázový rozklad, kde E (z) a E (z) sú tvz. polyfázové zložky. druhu. Analogickým spôsobom je možné vyjadriť G(z) a K-zložkovom polyfázovom tvare 4

8 K m K () z = z E ( z ) m= G (.8) m kde E m (z) sú opäť polyfázové zložky. druhu. Impulzná charakteristika g(n) je tak rozložená do K subpostupností e m ( n) g( m + nk), m K = (.9) kde e m (n) je decimovaná verzia z g(m+n) s faktorom D = K. Polyfázový rozklad G(z). druhu je znázornený na obr..a, pričom je potrebné poznamenať, že pre danú prenosovú funkciu G(z), polyfázové zložky E m (z) závisia od K. Napr. polyfázová zložka E (z) v rov.(7) je úplne odlišná od polyfázovej zložky E (z) v rov.(.8) Obr... Dva druhy polyfázovej reprezentácie prenosovej funkcie G(z). Alternatívna polyfázová reprezentácia (obr..b) bude mať tvar K m= () ( K m G z z ) K = R (z ) (.) je zrejmé, že R m (z) a E m (z) sú navzájom viazané vzťahom R m m () z E ( z) = (.) K m Vyjadrenie dané rov.(.) sa nazýva polyfázovým rozkladom.druhu a R m (z) sú jeho polyfázové zložky. Ďalej vyjadríme prenosovú funkciu G K (z) každého filtra analýzy na obr.. v polyfázovom tvare k K m K () z = z E ( z ) m= G (.) km 5

9 kde E Km (z) sú polyfázové zložky.druhu. Analogicky vyjadríme v polyfázovom tvare.druhu prenosové funkcie filtrov syntézy k K () ( K m = ) K z z R ( z ) m= H (.3) Ak definujeme prenosové matice rozmeru K K, E(z) = [E km (z)] a R(z) = [R mk (z)], potom môžeme mnohokanálovú diskrétnu sústavu na obr.. prekresliť podľa obr..3. mk Obr..3. MKDS s polyfázovou štruktúrou bánk filtrov analýzy a syntézy. Použijeme ekvivalentné zapojenia na obr..4a a obr..4b pre mnohokanálové diskrétne sústavy a) b) Obr..4. Ekvivalentné zapojenia pre mnohokanálové diskrétne sústavy. a) Decimátor nasledovaný filtrom s prenosovou funkciou G(z) a jeho ekvivalentné zapojenie, b) Filter s prenosovou funkciou G(z) pred interpolátorom a jeho ekvivalentné zapojenie. Potom polyfázová reprezentácia na obr..3 môže byť prekreslená tak, ako to zobrazuje na obr..5, kde P(z) = R(z). E(z). 6

10 Obr..5. Ekvivalentná reprezentácia mnohokanálovej diskrétnej sústavy s polyfázovou štruktúrou bánk filtrov analýzy a syntézy. Vo všeobecnosti mnohokanálový prenos s prenosovou maticou P(z) dáva na výstupe vektor y(n) zo vstupného vektora w(n), pričom ich zložky sú diskrétne signály v jednotlivých kanáloch. Vzťah medzi Z-transformáciami týchto stĺpcových vektorov je nasledovný a ich energie sú definované takto () z P( z) W( z) Y = (.4) n = T ( n) w( n) B = w (.5) w n = T ( n) y( n) B = y (.6) y kde symbol T značí transpozíciu. Potom tento mnohokanálový prenos je bezstratový, ak B = c platí pre každý vstupný vektor w(n) možných y B w diskrétnych signálov v jednotlivých kanáloch, kde c > je konštanta nezávislá od w(n). Ak c =, potom na výstupe mnohokanálovej prenosovej sústavy je rovnaká energia ako na vstupe, čo vieruhodnejšie vyjadruje jeho pomenovanie bezstratový. Vtedy prenosová matica P(z) (nezávislé od hodnôt konštanty c) má všetky prvky (funkcie) s pólmi vo vnútri jednotkovej kružnice a vyhovuje podmienke P ~ z P z = c pre všetky z (.7) () ( ) I kde () T z = P ( z ) P ~ (.8) a I je jednotková matica. Matica P(z) s vlastnosťou (.7) sa nazýva paraunitárnou, alebo tiež bezstratovou. Táto vlastnosť znamená, že matica P(z) je unitárnou na jednotkovej kružnici (z = e ), t.j. 7

11 P ~ ( e ) P( e ) = ci j j kde ( e ) ([ ( )] ω ω = P e ) T pre všetky ω (.9) P ~ (.) V prípade, že táto unitárna matica P(z) bude tam reálna, potom hovoríme, že je ortogonálna T P e P e = c (.) ( ) ( ) I a špeciálne pre c = bude ortonormálna. Ďalej z rov.(.7) a (.8) vyplýva, že T () z P ( z ) P () ~ P z = = (.) c c čo znamená, že ju možno jednoducho vypočítať z matice P(z) pomocou matice P ~ () z. Ak mnohokanálová bezstratová prenosová sústava obsahuje filtre s konečnou impulznou odozvou (KIO), tak jej prenosová matica P(z) vyhovuje nasledovnej rovnici [9] S ( z) = d z det P (.3) pričom d je konštanta a S celé kladné číslo. Ďalej predpokladajme, že polyfázová matica banky filtrov analýzy E(z) je typu KIO a je paraunitárna. Potom môžeme polyfázovú maticu filtrov syntézy R(z) pre dokonalú rekonštrukciu MKDS s polyfázovou štruktúrou bánk filtrov analýzy a syntézy na obr..3 vypočítať takto R ~ = (.4) S S ( z) cz E ( z) = z E( z) Vtedy prenosová matica P(z) ekvivalentnej reprezentácie MKDS na obr..5 s dokonalou rekonštrukciou výstupneho signálu bude P(z) = E(z) R(z) = c z -S I (.5) kde oneskorenie z -S zabezpečuje kauzalitu banky filtrov syntézy. Súčinom paraunitárnych polyfázových matíc dostaneme opäť paraunitárnu maticu. Preto kaskádne zapojenie jednoduchších bezstratových mnohokanálových prenosových sústav s paraunitárnymi prenosovými maticami dáva zložitejšiu, ale opäť bezstratovú mnohokanálovú prenosovú sústavu. Takýmto spôsobom môžno vytvárať zložité MKDS s dokonalou rekonštrukciou na báze polyfázovej reprezentácie bánk filtrov. 8

12 . NÁVRH DVOJKANÁLOVEJ BANKY FILTROV S LINEÁRNOU FÁZOVOU FREKVENČNOU CHARAKTERISTIKOU A DOKONALOU REKONŠTRUKCIOU VO FREKVENČNEJ OBLASTI Rozpracujme metódu návrhu dvojkanálovej banky filtrov (KBF) s konečnou impulznou odozvou a DR, v ktorom filtre analýzy aj syntézy budú mať lineárnu fázovú (LF) frekvenčnú charakteristiku. Za tým účelom sa vylúči bezstratovosť matice E(z) a teda aj výkonová komplementarita filtrov analýzy. Uvažujme MKDS s polyfázovou štruktúrou bánk filtrov analýzy a syntézy na obr..3 a.5 pre K=, potom takýto systém bude mať vlastnosť dokonalej rekonštrukcie, ak zvolíme R(z) = E - (z) a spôsobí, že aj filtre syntézy budú typu KIO za predpokladu, že det E(z) = b.z -r, kde b je nenulová konštanta a r je nezáporné celé číslo. Pri tejto metóde, ktorú ďalej rozpracujeme je pojem dokonalá rekonštrukcia ekvivalentný s podmienkou det E(z) = b.z -r aj keď táto nie je nutná v prípade KBF s nekonečnou impulznou odozvou (NIO). Naším cieľom je získať štruktúru pre dvojicu prenosových funkcií filtrov analýzy G (z), G (z), ktorej všeobecný tvar je na obr... Obr... Štruktúra pre dvojicu G (z), G (z) s DR. Táto štruktúra by mala mať nasledujúce vlastnosti. G (z) a G (z) sú KIO filtre s LF frekvenčnou charakteristikou. det E(z) = b.z -r 3. obidve KIO prenosové funkcie G (z), G (z) s vyššie uvedenými vlastnosťami by mali byť realizovateľné určitou štruktúrou. Daná štruktúra bude s DR a LF frekvenčnou charakteristikou a takáto dvojica filtrov analýzy bude nazývaná dvojica s DR. Predpokladajme, že filtre s prenosovymi funkciami G (z) a G (z) sú typu KIO rádu N - a N - s LF frekvenčnou charakteristikou a s reálnymi koeficientami. Ich impulzné charakteristiky by mali byť buď symetrické (S) alebo antisymetrické (A) postupnosti. Ak položíme podmienku DR na vyššie uvedenú polyfázovú maticu E(z), potom z analýzy v [-] vyplýva, že existujú iba dva rozdielne prípady, 9

13 ktoré poskytujú netriviálne filtre analýzy. Pritom suma dĺžok ich impulzných charakteristík je rovná násobku čísla 4, t.j. N +N = 4r, pričom r je nezáporné celé číslo. Tieto dva netriviálne prípady sú nasledovné:. Obidva filtre majú nepárny (N) rád a opačnú symetriu, v tomto prípade dvojica G (z), G (z) sa nazýva dvojica typu SANN.. Obidva filtre majú párny (P) rád a sú symetrické, potom sa dvojica G (z), G (z) nazýva dvojica typu SSPP. Ďalej budeme pracovať s filtrami analýzy typu SANN. Tieto filtre môžu byť implementované štruktúrou na obr.. []. Uvažujme ďalej, že prenosové funkcie G (z) a G (z) majú rovnaké dĺžky N =N =N, t.j. rády N - = N - sú nepárne. Prenosová funkcia U D (z) medzi vstupom x(n) a označeným uzlom je automaticky obmedzená štruktúrou tak, že platí U D (z) = z -D T D (z - ) = (z), (.) TˆD kde D je stupeň funkcie T D (z). Potom T D (z), U D (z) sa nazývajú zrkadlovými funkciami (ZFU). Obr... Priečková štruktúra pre prenosové funkcie [G (z), G (z)], pričom N =N =N. Ak filtre s prenosovými funkciami G (z) a G (z) majú rovnaké dĺžky, t.j. N =N, potom ZFU môžeme vyjadriť na základe obr.. takto T U D (z) (z) D = G (z). G(z) (.) a pre polynómy T d (z) a U d (z) pre d-tu sekciu štruktúry na obr..3 platí T U (z) = (z) k kd Td- - z U d d d (z) (z) d- (.3)

14 odtiaľ inverziou dostaneme Obr..3. Jedna sekcia priečkovej štruktúry. T z d- Ud (z) = ( k (z) d ) k d k d T U d d (z) (z) (.4) za predpokladu, že k d. Keď sú dané zrkadlové funkcie [T D (z), U D (z)] môžeme iteratívne vypočítať prenosové funkcie nižších rádov [T d (z), U d (z)], d = D -, D -,..., opakovaným aplikovaním rov.(.4). Hodnoty priečkových koeficientov sú dané vzťahom k d = t d,d /t d, (.5) kde t d,i je i-ty koeficient impulznej charakteristiky k prenosnej funkcii T d (z), t.j. d d i= d,i i T(z) = t.z (.6) Vyššie uvedený postup možno použiť pre každú dvojicu zrkadlových funkcií [T D (z), U D (z)] za predpokladu, že kd a každú sekciu. Štruktúra pre [G(z), G (z)] na obr.. nie je v tvare ako na obr... Teda neplatí, že všetky funkcie [G (z), G (z)] reprezentované obr.. vedú ku KIO filtrom analýzy s DR. Aby štruktúra na obr.. spĺňala podmienku DR je potrebné, aby k d = pre párne d. Potom det E(z) bude skutočne rovný oneskoreniu a priečková štruktúra na obr.. sa zredukuje na štruktúru s DR pre dvojicu filtrov analýzy [G (z), G (z)]. Na konci tejto štruktúry (s k d = pre párne d) sú dodatočne použité ziskové konštanty α, α, ktoré sú zvolené tak, aby amplitúdové frekvenčné charakteristiky pre optimalizované filtre analýzy mali v pásme prepúšťania jednotkový prenos. Potom α = G (e ) a α = G (e ) (.7)

15 Účelová funkcia, ktorá má byť optimalizovaná má tvar [8] ( π/)-δ π 3 D ( π/) δ + Φ (k,k,...,k ) = [ G (e ) ] dω + G (e ) dω π ( π /) +δ ( π /) +δ + [ G (e ) ] dω + G(e ) dω (.8) Hodnota parametra δ závisí na požadovaných medzných frekvenciách pásma prepúšťania a pásma tlmenia. Keď sú známe filtre analýzy, potom môžeme získať filtre syntézy pre KBF s DR. Vychádzajúc z obr..3 pre K=, ak R(z)=E - (z) potom H (z) R = (z) R ) z = ) H (z ) R(z (z ) R(z T z T z = R (z ) = E (z ) (.9) Pretože det E(z) = b.z -r rov.(.9) môžeme upraviť na tvar H(z) E(z ) H(z) = r b.z z (.) a po zjednodušení vyššie uvedenej rovnice dostaneme H H (z) = (z) r z b G G ( z) ( z) (.) Nekauzálny faktor z r môže byť prakticky vynechaný, čo bude mať za následok kauzálnosť filtrov analýzy. Príklad návrhu: Pre inicializáciu priečkových koeficientov sme najprv navrhli prenosové funkcie filtrov analýzy G (z) a G (z), (rov..) pomocou metódy oknových funkcií [3-4] s Kaiserovým oknom /β I{[(N )/] [n (N )/]} w(n) = (.) I [β (N )/] kde I (x) je Besselova funkcia daná vzťahom

16 k= k I (x) = + (x/) k! (.3) Filter analýzy s prenosovou funkciou G (z) získame zo vzťahu G (z) = G (z), avšak pri návrhu G (z) pomocou Kaiserovho okna je nutné voliť parameter β odlišný od hodnoty použitej pre výpočet filtra analýzy s prenosovou funkciou G(z). Na základe takto navrhnutých filtrov s prenosovými funkciami G (z), G (z) sme vypočítali inicializačné priečkové koeficienty k d z rov.(.), (.4) a (.5). Párne koeficienty k d boli položené nule v priebehu inicializácie a potom nepárne koeficienty boli reoptimalizované opužitím funkcie MATLABu fmins [5] pre minimalizáciu účelovej funkcie Φ(k,k 3,...,k D ) (rov..8). V tab.. sú uvedené priečkové koeficienty k d a impulzné charakteristiky optimalizovaných filtrov analýzy s α =3, , α =, Tabuľka. Impulzná charakteristika g (n) d Priečkové koeficienty k d Impulzná charakteristika g (n) -,4,5858, ,378,867, , ,54533,4699 -,684 4,4699, ,9734,34433, ,378 -, ,583 -,4 -,5858 Grafické zobrazenie impulzných charakteristík g (n), g (n) pre N = 8 je na obr..4. a) 3

17 b) Obr..4. Impulzná charakteristika a) DP filtra g (n), b) HP filtra g (n) pre N = 8. Amplitúdové frekvenčné charakteristiky optimalizovaných filtrov analýzy G (ω), G (ω) pre N=8 sú na obr..5 a.6. Obr..5. Amplitúdové frekvenčné charakteristiky optimalizovaných filtrov analýzy pre N=8. 4

18 Obr..6. Amplitúdové frekvenčné charakteristiky optimalizovaných filtrov analýzy pre N=8 v db. V tab.. sú uvedené priečkové koeficienty k d a impulzné charakteristiky optimalizovaných filtrov analýzy pre N = 4 s α =9, , α = Tabuľka. d Priečkové koeficienty k d Impulzná charakteristika g (n) Impulzná charakteristika g (n)

19 Grafické zobrazenie impulzných charakteristík g (n), g (n) pre N = 4 je na obr..7. a) b) Obr..7. Impulzná charakteristika a) DP filtra g (n),b) HP filtra g (n) pre N = 4. 6

20 Amplitúdové frekvenčné charakteristiky optimalizovaných filtrov analýzy G (ω), G (ω) pre N=8 sú na obr..8 a.9. Obr..8. Amplitúdové frekvenčné charakteristiky optimalizovaných filtrov analýzy pre N=4. Obr..9. Amplitúdové frekvenčné charakteristiky optimalizovaných filtrov analýzy pre N=4 v db. Ďalej sú uvedené výsledky simulácie KBF. Ako vstupný signál bol použitý diskrétny signál x(nt), ktorý dostaneme diskretizáciou analógového signálu x(t) = /( + t ) s diskretizačnou periódou T = /π [s]. Dĺžka vstupného 7

21 signálu je M = 3. Pre rekonštruovaný výstupný signál stredná kvadratická chyba xˆ (n) bola vypočítaná M n = (x(n) xˆ (n + N )) ε = (.4) M pričom e(n) = x(n) xˆ (n + N ) je chybový signál. Signál xˆ (n) na výstupe KBF je potrebné pri výpočte strednej kvadratickej chyby posunúť doľava o hodnotu oneskorenia (N-). Pre M=3, N=8, ε =, , N=4, ε =, a N=64, ε = 3, , čo odpovedá KBF s DR. 8

22 3. NÁVRH BANKY FILTROV S LINEÁRNOU FÁZOVOU FREKVENČNOU CHARAKTERISTIKOU A DOKONALOU REKONŠTRUKCIOU V ČASOVEJ OBLASTI Na rozdiel od konvenčných metód návrhu, ktoré hľadajú paraunitárnu maticu aliasingových zložiek G(z), t.j. takú, pre ktorú platí ~ ~ G (z). G(z) = G(z). G(z) = I (3.) vo frekvenčnej oblasti [6-8], vykonáme návrh založený na podmienkach ortonormality v časovej oblasti, ktorým filtre musia vyhovovať. Metóda návrhu filtrov analýzy s prenosovými funkciami G k (z), k=,,...,k- MKDS sa pritom redukuje na problém nájdenia vhodného dolnopriepustného filtra s impulznou charakteristikou g (n). Akonáhle je vhodný DP filter navrhnutý, zostávajúci počet (K-) filtrov sa získa aplikovaním operátorov preusporiadania na tento DP filter. Aby matica G(z) bola paraunitárna, jej stĺpce musia tvoriť ortonormálnu bázu vektorov. V časovej oblasti tomu zodpovedá ekvivalentná požiadavka [9-] gi (n).g j(n k.k) = δk. δi j (3.) n kde g k (n), k=,,...k- sú impulzné charakteristiky filtrov analýzy. Pri návrhu budeme vychádzať z obmedzení pre nasledovné parametre. Budeme uvažovať, že N (dĺžka impulznej charakteristiky filtrov) je celočíselným násobkom počtu kanálov K a počet kanálov je celočíselnou odmocninou dvoch, t.j. K= i. Nech g k (n) je stĺpcový vektor definovaný nasledovne a W je matica posunutia ( n) = [ g ( ) g ( ) K g ( N )] T g (3.3) k k k k I N K W = (3.4) Potom podmienku ortonormality (3.) môžeme zapísať v maticovom vyjadrení takto T i k j k i j NxN g W g = δ δ (3.5) 9

23 Ďalej predpokladajme, že prvý z K filtrov g je k dispozícii, má lineárnu fázovú frekvenčnú charakteristiku (pozitívne symetrický) a vyhovuje podmienkam ortogonality T k g W g = δk, k =,...,(N / K) (3.6) Zostávajúcich (K-) filtrov bude definovaných pomocou g takto g = B g i =,...,K (3.7) i i, kde BBi sú matice transformujúcich filtrov. Dosadením rov. (3.7) do rov.(3.5) dostaneme g T T k Bi W B jg = δkδi j (3.8) po zavedení matice i, j,k T i k C = B W B (3.9) j rov. (3.8) bude mať tvar g T Ci, j,kg = δkδi j (3.) Pretože impulzná charakteristika DP filtra spĺňa podmienku g (n) = g (N--n), môžeme vektor g zapísať do tvaru [ ~ g J ~ g ] T g = (3.) N / pričom g~ je stĺpcový vektor prvej polovice koeficientov impulznej charakteristiky, t.j. [ g ( ) g ( ) g ( N / )] T ~ g = L (3.) a J M je matica rozmeru MxM definovaná nasledovne J = a, a =δ k M jk MxM jk M+ j (3.3) Rozdelením matice C i,j,k do štyroch kvadrantov v tvare

24 ( ) ( C ) i, j,k Ci, j,k C i, j,k = ( 3) ( 4) (3.4) Ci, j,k Ci, j,k môžeme prepísať rov. (3.) do kompaktnejšieho tvaru použijúc g~ namiesto g, t.j. ~ T g D ~ g = δ δ (3.5) () i, j,k () i, j,k i, j,k kde D = C + C J + J C + J C J (3.6) i, j,k N / k i j N / (3) i, j,k N / (4) i, j,k N / Teraz môžeme stanoviť podmienky, za ktorých filtre definované rov.(3.7) tvoria MKDS s DR. Pre každú kombináciu indexov i,j,k, musí byť splnená jedna z nasledujúcich podmienok: a) C i,j,k je rovné celočíselnej mocnine matice posunutia W, t.j. k' C = W, k' (N / K) (3.7) i, j,k a D i,j,k sa vypočíta podľa rov. (3.6). Potrebné je pripomenúť, že g bolo zvolené tak, aby vyhovovalo rov. (3.5) a bude tiež vyhovovať rov. (3.5), ak je splnená podmienka (3.7). b) Matica D i,j,k má tvar D = I δ δ (3.8) i, j,k N / k i j T Pretože g~ ~ g =,5, bude matica Di,j,k daná rov. (3.8) vyhovovať aj rov. (3.5). c) D i,j,k má symetrickú vlastnosť pre i j alebo pre k, t.j. D i, j,k = D T i, j, k (3.9) d) Podmienka ortonormality (3.9) je splnená nie na základe D i,j,k, ale položením dodatočného ohraničenia na g. Od tohto okamihu je problém orientovaný na nájdenie množiny matíc transformujúcich filtrov BBi, i=,...,k-, ktoré budú vyhovovať rov.(3.5). V ideálnom prípade by sme chceli nájsť také riešenie, ktoré využíva vyššie uvedené podmienky a), b) a c) a vyhýba sa podmienke d) tak, aby dodatočné ohraničenia (t.j. okrem podmienky (3.6), ktorá musí byť splnená) pre voľbu g neboli nutné. Avšak takéto riešenie je veľmi obtiažne získať. Preto bol urobený kompromis a zvolený taký postup, ktorý využíva podmienku d) niekoľko krát. Za tým účelom ďalej definujeme maticu

25 [ ] ( ) k j j jk MxM jk M p, p δ = = P (3.) Je zrejmé, že P M je diagonálna matica, v ktorej sa striedajú + a na jej hlavnej diagonále. Použijúc túto maticu definujeme maticu preusporiadania koeficientov N-tého rádu a i-tej úrovne i i N / i J P A = (3.) Kde symbol označuje Kroneckerovský súčin dvoch matíc. Násobenie daného vektora g maticou premiešania generuje premiešanú verziu tohto vektora, v ktorom sú hodnoty prvkov tie isté ako v g, len sa vyskytujú na iných zmenených pozíciách. Napríklad matica ôsmeho rádu. úrovne je (3.) = A a matica premiešania ôsmeho rádu. úrovne je = A (3.3)

26 Potom môžeme vytvoriť množinu matíc transformujúcich sa filtrov BBj použitím usporiadaných permutácií vyššie definovaných matíc premiešania nasledujúcim spôsobom B j log K = i= A r i ji, j =,...,(K / ) (3.4) kde konštanty r ij nadobúdajú hodnoty z množiny {,} a zodpovedajú i-tému bitu s najmenším významom v binárnom vyjadrení celého čísla j. Uvažujúc vyššie uvedený príklad pre K=8, budú hodnoty r =, r = a B = AA = A. Teda pre K=8 dostaneme {, B, B, B } { I, A, A A A } B = (3.5) 3, Poznamenajme, že rov. (5.4) definuje iba prvých K/ matíc transformujúcich sa filtrov. Zvyšných K/ matíc získame zo vzťahu B K j = PNB j, j =,...,(K / ) (3.6) Z rov. (3.7) a (3.6) vyplýva potom vzťah medzi impulznými charakteristikami filtrov analýzy g K alebo ekvivalentne n (n) = ( ) g (n), j =,...,(K / ) (3.7) j j G K j ( z) = G j( z), j =,...,(K / ) (3.8) Z uvedeného vyplýva, že akonáhle nájdeme vhodný DP filter, resp. g, potom zvyšných (K-) filtrov vypočítame na základe rovníc (3.7), (3.4) a (3.6). Vhodná impulzná charakteristika g bude pritom určená použitím optimalizačnej metódy s ohraničeniami. Tento filter musí vyhovovať podmienkam ortonormality daným vzťahom (3.6), čomu zodpovedá N/K rovníc. Okrem týchto, g musí tiež vyhovovať rov. (3.5) pre každú maticu D i,j,k, ktorá nevyhovuje vyššie uvedeným podmienkam a), b), alebo c). Pre 4-kanálový prípad návrhu je postačujúcich N/K rovníc ortonormality daných rov.(3.6) a žiadne ďalšie ohraničenia nie sú nutné. S ohľadom na rov.(3.5) je potrebné uvažovať iba matice D,,k pre k=,...,(n/k)-. Avšak pre prípad K=8 pristupuje naviac [(N/K)-] dodatočných ohraničení. Okrem matíc D,,k je potrebné uvažovať tiež matice D i,i+4,k pre k=,...,(n/k)-. Dá sa ľahko overiť, že 3

27 D = D = D = D k =,...,(N / K) (3.9),4,k,5,k,6,k 3,7,k, Teda, splnenie rov.(3.5) pre D,4,k zabezpečuje, že to je splnené aj pre D,5,k, D,6,k a D 3,7,k. Pre 8-kanálové návrhy je celkový počet ohraničujúcich rovníc na g rovný (N/K-). Pre K=6 rov. (3.5) musí byť splnená pre nasledovné matice D D D D D D,,k,8,k,7,k,9,k,, k,, k,,,,,, k = k =,...,(N / K),...,(N / K) k =,...,(N / K) k =,...,(N / K) k =,...,(N / K) k =,...,(N / K) (3.3) Teda pre 6-kanálový prípad je celkový počet ohraničujúcich rovníc na g rovný (6N/K-4). Najviac používaná miera účinnosti subpásmových kódovacích systémov je subpásmový zisk G SP = K σk K k K / K σk k= = (3.3) kde σ k je disperzia výstupného signálu k-teho filtra analýzy pre určitý typ vstupného signálu, pričom platí σ N k = R yk () = R x (m).d k ( m), k =,...,K m= (N ) (3.3) N ( ) ( ) ( ) ( ) a dk m = dm gk,gk = gk n.g k n + m, k =,...,K (3.33) n = kde d(m) reprezentuje autokorelačnú funkciu impulznej charakteristiky k-teho filtra analýzy. Navrhli sme 4-kanálový systém s dĺžkou filtrov N=6, ktorý maximalizuje kódovací zisk pre Markovov model signálu s autokorelačnou funkciou [9] R m x ± (m) = (,95), m =,,... (3.34) 4

28 To znamená, že potrebujeme určiť prvých osem koeficientov impulznej charakteristiky g (n). Po vypočítaní matíc D i,j,k možno ukázať, že existujú iba štyri rôzne matice, pre ktoré musí byť splnená rov.(3.5) voľbou impulznej charakteristiky g~. Sú to matice D,,, D,,, D,, a D,,3 rozmeru 8x8 D,, = D,, =. D,, = D 3,, = Problém návrhu môžeme stanoviť takto, nájdeme g tak, aby G SP bol maximálny vzhľadom na ohraničujúce podmienky ~ T g D ~ g = δ, k,,,3 (3.35),,k k = Pre riešenie úlohy sme použili optimalizačný program constr.m z optimalizačného toolboxu MATLAB [5]. Impulzné charakteristiky navrhnutých filtrov sú uvedené v tab.3.. 5

29 Tabuľka 3. n g (n) g (n) g (n) g 3 (n) Zodpovedajúce amplitúdové frekvenčné charakteristiky sú na obr.3.a. Niekoľko ďalších impulzných charakteristík filtrov g (n) pre K=4, N=4,3 a K=8, N=6,3 je uvedených v tab.3., tab.3.3 a pre K=4, N=8; K=8, N=4; K=6, N=3 v tab.3.4, pričom vzhľadom na vlastnosti symetrie je uvedená vždy len polovica koeficientov. Na obr.3.b sú zobrazené amplitúdové frekvenčné charakteristiky pre prípad K=4, N=3. a) a) 6

30 Obr.3.. Amplitúdové frekvenčné charakteristiky a) G k (ω), k=,,,3, N=6, K=4, b) G k (ω), k=,,,... 6, N=3, K=4. Na obr.3. sú zobrazené amplitúdové frekvenčné charakteristiky pre prípad a) K=8, N=6, b) K=6, N=3. b) 7 a)

31 Obr.3.. Amplitúdové frekvenčné charakteristiky a) G k (ω), k=,,,3, N=6, K=8, b) G k (ω), k=,,,... 6, N=3, K=6. b) Tabuľka 3. n K=4, N=4 K=4, N=

32 Tabuľka 3.3 n K=8, N=6 K=8, N= Tabuľka 3.4 n K=4, N=8 K=8, N=4 K=6, N= Položením ďalších ohraničujúcich podmienok pri návrhu impulznej charakteristiky g (n) DP filtra je možné navrhnuté filtre analýzy použiť pre konštrukciu bázy waveletov s dobrými vlastnosťami regularity [4]. V tab.3.5 9

33 sú uvedené dosiahnuté kódovacie zisky pre daný počet kanálov K a dĺžku filtrov N. Tabuľka 3.5 Počet kanálov K Dĺžka filtra N ,5 6,58 6,453 X X 6 3,9 6,8535 7,847 7,69 X 4 3,88 7,34 8,549 X X 3 3,78 7,49 8,367 8,5 7, ,34 7,879 8,3479 8,33 X 64 3,5677 7,959 8,3836 8,75 7,78 Vykonaná bola simulácia MKBF s navrhnutými bankami filtrov a vypočítaná stredná kvadratická chyba ε pre vstupný signál x(n) definovaný v kap.. Pre počet kanálov K = 4, M=5 a dĺžku filtrov N = 6 je na obr.3.3 je zobrazený vstupný x(n), výstupný xˆ (n) a chybový e(n) signál s vypočítanou strednou kvadrartickou chybou ε =3, Obr.3.3. Vstupný x(n), výstupný xˆ (n) a chybový e(n) signál pre K = 4, N =6, ε =3,

34 Pre ilustráciu uvádzame stredné kvadrartické chyby pre a ) K = 4, N =4, ε = 4,36. -, b) K = 4, N = 3, ε =,38. -5, c) K = 4, N = 48, ε =,95. -, d) K = 4, N = 64, ε = 8, Pre iný vstupný diskrétny signál n 5 x(n) =, n =,...,M (3.35) 5 počet kanálov K = 4, dĺžku filtrov N = 6 je na obr.3.4 je zobrazený vstupný x(n), výstupný xˆ (n) a chybový e(n) signál s vypočítanou strednou kvadrartickou chybou ε =, Obr.3.4. Vstupný x(n), výstupný xˆ (n) a chybový e(n) signál pre K = 4, N =6, ε =,756. Pre signal daný rov.(3.35) uvádzame stredné kvadrartické chyby pre a ) K = 4, N =4, ε =,83. -3, b) K = 4, N = 3, ε =,63. -5, c) K = 4, N = 48, ε = 3,6. -, d) K = 4, N = 64, ε =, Vypočítané stredné kvadrartické chyby pre dva rôzne vstupné signály a K = 4, N =6,4,3,48,64 potvrdzujú, že navrhnuté banky filtrov majú vlastnosť dokonalej rekonštrukcie

35 4. BANKY KVADRATÚRNYCH ZRKADLOVÝCH FILTROV Kvadratúrne zrkadlové (KZ) filtre [] predstavujú dvojicu filtrov so vzájomne zrkadlovými prenosovými funkciami G (z) a G (z) vzhľadom na kruhovú frekvenciu ω = π /. Potom pre KDS s pseudo (skoro) dokonalou (PDR) rekonštrukciou budú prenosové funkcie KZ filtrov analýzy dané vzťahom (z) = G ( z), resp. (n) = ( ) g (n) (4.) G n g Z tejto rovnice dostaneme G (z) hornopriepustného (HP) filtra analýzy, ak G (z) zodpovedá dolnopriepustnému (DP) filtru analýzy. Ak má byť v tomto KDS odstránené ALS, vtedy prenosové funkcie jej filtrov syntézy sa vypočítajú takto H a prenosová funkcia pre KDS bude mať tvar (z) = G ( z) (z) = G ( z) (4.) H (4.3) Xˆ (z) (z) = = X(z) [ G (z)h (z) G (z)h (z)] T + pričom X(z) je Z-transformácia vstupného a Xˆ (z) výstupného diskrétneho signálu KDS. Na základe rov.(4.) a (4.) možno konštatovať, že z danej prenosovej funkcie G(z) vyplynú aj tie ostatné. Potom po dosadení takto vypočítaných prenosových funkcií filtrov analýzy a syntézy do rov.(4.3) dostaneme pre uvažovanú KDS celkovú prenosovú funkciu T(z) = [ G (z) G ( z) ] (4.4) Táto bude mať lineárnu fázovú frekvenčnú charakteristiku vtedy, ak G (z) ju bude mať lineárnu. Týmto po odstráneni ALS sa odstráni aj FZS, avšak stále ostáva AMS. Aby sme demonštrovali toto tvrdenie, obr. 4.a ukazuje tri návrhy G (z) s predpokladanou lineárnou fázovou frekvenčnou charakteristikou. Takáto optimalizácia bola vykonaná Johnsonom [] aj Jainom a Crochierom [3]. 3

36 Obr.4.. a) Tri príklady návrhu G (z), b) Zodpovedajúce AMS v celkovej prenosovej funkcii T(z) KDS s PDR. Zodpovedajúce grafy T(e ) sú ukázané na obr.4.b z ktorého vidno existenciu AMS, pretože graf nie je konštantný pre všetky ω. Ak je prekrývanie medzi amplitúdovými frekvenčnými charakteristikami G (e ) a G (e ) príliš veľké (graf ), potom vznikne špička v T(e ) v okolí ω = π/. Ak bude prekrývanie malé (graf ), potom táto špička v T(e ) sa otočí tiež v okolí ω = π/. Optimálne prekrytie je reprezentované grafom 3. Na záver možno uviesť, že KBF s filtrami KIO, ktoré spĺňajú podmienku (4.) môže mať vlastnosť dokonalej rekonštrukcie vtedy a len vtedy, ak G (z) je triviálna prenosová funkcia daná polyfázovými zložkami charakteru oneskorovacích členov. V praxi táto prenosová funkcia je omnoho zložitejšia, z čoho vyplýva, že pri platnosti podmienky (4.) dokonalá rekonštrukcia nie je možná. Po odstránení ALS a FZS je však možné systematicky minimalizovať AMS. Presnejšie vyjadrené, je potrebné optimalizovať koeficienty prenosovej funkcie G (z) tak, aby amplitúdová frekvenčná charakteristika T(e ) bola plochá tak ako je to možné, pričom sa súčasne minimalizuje energia v nepriepustnom pásme prenosovej funkcie G (z). 33

37 Opačný prístup by bol taký, ak by sme navrhli filter s G (z) tak, že dôjde k úplnému odstráneniu ALS aj AMS a minimalizuje sa FZS. Toto je možné dosiahnuť, opäť za predpokladu platnosti rov.(4.) a (4.), s tým, že amplitúdovú frekvenčnú charakteristiku T(e ) prenosovej funkcie T(z) podľa rov.(4.4) uvažujme konštantnú v celom frekvenčnom pásme. Z polyfázového vyjadrenia rov. (4.4) je zrejmé, že toto môže byť dosiahnuté vtedy, ak polyfázové zložky prenosovej funkcie G (z) budú charakteru širokopásmových členov NIO. Efektívna implementácia uvažovanej KDS s PDR môže byť získaná použitím polyfázového rozkladu. Pre dvojzložkový polyfázový rozklad. druhu prenosovej funkcie G (z) = E (z ) + z - E (z ) bude G (z) = E (z ) - z - E (z ), pretože im zodpovedajú KZ filtre analýzy, ktoré sú dané rov. (4.). Potom ich možno efektívne implementovať ako je to ukázané na obr.4.. Obr.4.. Polyfázová implementácia banky KZ filtrov analýzy pre KDS s PDR. Decimátory, ktoré nasledujú za týmito filtrami analýzy môžeme na základe ekvivalentného zapojenia na obr. 4.3a presunúť dopredu pred blok s prenosovou funkciou E (z ), resp. E (z ). Analogicky, vychádzajúc z rov. (4.) a z ekvivalentného zapojenia na obr.4.3b, môžu byť implementované KZ filtre syntézy s interpolátormi. a) b) Obr.4.3. Ekvivalentné zapojenia pre mnohokanálové diskrétne systémy. a) Decimátor nasledovaný filtrom s prenosovou funkciou G(z) a jeho ekvivalentné zapojenie, b) filter s prenosovou funkciou G(z) pred interpolátorom a jeho ekvivalentné zapojenie. 34

38 Potom ich kaskádnym zapojením dostaneme úplnú implementáciu KDS s PDR ako to vidno z obr.4.4. Obr.4.4. Polyfázová implementácia KDS s PDR pomocou banky KZ filtrov analýzy a syntézy. Poznamenajme, že KDS s PDR na obr.4.4 vyžaduje celkove iba N násobení a N sčítaní za periodu medzi vzorkami vstupného signálu x(n), pričom N je dĺžka impulznej charakteristiky filtra analýzy s prenosovou funkciou G (z). Pritom, ak T(z) bude mať lineárnu fázovú frekvenčnú charakteristiku je nutná opatrnosť pri voľbe N. Vtedy hodnota N by mala byť zvolená ako párne číslo, lebo v opačnom prípade má za následok, že komplexná frekvenčná charakteristika T(e ) je nulová pre ω =±π / [4-5]. Uvedieme postup návrhu banky KZ filtrov a graficky zobrazíme amplitúdové frekvenčné charakteristiky a impulzné charakteristiky filtrov analýzy pre N=8 a 6. Označme si prototypový filter G (z) = G(z), potom G (z) = G(-z) a filtre analýzy zvolíme H (z) = G (z) = G(z) (4.5) H (z) = -.G (-z) = -.G(-z) (4.6) V časovej oblasti rov.(4.5) a (4.6) odpovedajú rovnice h (n) = g (n) = g(n) (4.7) h (n) = - (-) n g (n) = - (-) n g(n) (4.8) Potom rov.(4.4) po substitúcii z = e má tvar j ω j j( ) j Xˆ (e ) = [ G (e ) G (e )] ω ω+π ω X(e ) (4.9) keď položíme ďalšiu podmienku 35

39 G (e ) G (e j( ω+π) ) = (4.) prenosová funkcia KDS bude T(e ) = Xˆ (e X(e ) ) = (4.) Naviac sa požaduje, aby G(e ) bola aproximáciou ideálneho DP filtra, t.j. G( ω) = ) G(e =,, ω π π ω π (4.) Podmienky v rov.(4.) a (4.) nemôžu byť exaktne splnené; avšak môžu byť pomerne dobre aproximované ako to bude ukázané neskôr. Pre špeciálny prípad kedy impulzná charakteristika g(n) DP filtra má dĺžku N= rov. (4.) je exaktne splnená, napriek tomu, že príslušná amplitúdová frekvenčná charakteristika G(ω) aproximuje rov.(4.) veľmi slabo. Budeme predpokladať, že prototypový DP filter analýzy g(n) má symetrickú konečnú impulznú charakteristiku s dĺžkou N, pričom n N. Pre takýto filter platí g(n) = g(n--n), n =,,...,N- (4.3) Príslušná komplexná frekvenčná chrakteristika má tvar G(e kde G r (e ) je reálna funkcia taká, že j ω (N ) ) = Gr (e )e (4.4) Potom G j r (e ) G(e ) ω = (4.5) G (e ) = (N ) (N ) (N ) [ G (e )e ] = G (e )e = G(e ).e r (4.6) Dosadením rov.(4.6) do rov.(4.9) dostávame r 36

40 Xˆ (e (N ) j( ω+π)(n ) j( ω+π)(n ) [ G(e ) e G(e ) e ] ) ) = X(e = (N ) j( ω+π) (N ) = [ G(e ) ( ) G(e ) e ].e -(N-).X(e ) (4.7) Z rov.(4.7) vidno, že oneskorenie výstupného signálu xˆ (n) bude o (N-) vzoriek. Výrazom v hranatých zátvorkách je definovaná amplitúdová frekvenčná charakteristika baky filtrov KBF, ktorá by mala aproximovať jenotkový zisk. V skutočnosti je táto charakteristika funkciou premennej ω a je silne ovplyvnená voľbou dĺžky prototypového filtra N, ktorá môže byť párna alebo nepárna. Uvažujme ďalej, že N je párne, potom rov.(4.7) má tvar Xˆ (e a ak N je nepárne Xˆ (e ) = ) = j( ω+ π) [ G(e ) + G(e ) ] j( ω+ π) [ G(e ) G(e ) ] V druhom prípade pre ω = π/ bude e e (N ) (N ) X(e ) (4.8) X(e ) (4.9) Xˆ (e jπ ) = jπ j(3π ) [ G(e ) G(e ) ] e π j (N ) X(e jπ ) = (4.) jπ j(3π ) pretože G(e ) = G(e ). Preto možný je jedine návrh pre N párne. Pri návrhu prototypového filtra g(n) je potrebné súčasne aproximovať ideálny DP filter (rov.4.)) ako aj podmienku vyplývajúcu z rov.(4.8), t.j. G(e ) + G(e j( ω+π) ) = (4.) Tieto dve podmienky budú mať vplyv na G(e ) nielen v priepustnom a nepriepustnom pásme ale tiež v prechodovom pásme. Lepšie výsledky ako pri konvenčnom návrhu napr. metódou oknových funkcií s Hanningovým oknom možno dosiahnúť použitím optimalizačných metód na počítači. Pri optimalizácii je potrebné definovať tzv. chybovú funkciu, ktorá zahŕňa požadované kritéria dane rov.(4.) a (4.). Použitý optimalizačný 37

41 program potom systematicky hľadá koeficienty prototypového filtra g(n), ktoré budú optimálne pri dosiahnutí minimálnej hodnoty chybovej (účelovej) funkcie. Chybová funkcia môže byť definovaná ako súčet dvoch členov, ktoré vyjadrujú chybu aproximácie podmienok vyjadrených rov. (4.) a (4.). Prvý člen bude definovaný takto π ω=ω Es ( ωs ) = G(e ) dω (4.) s a predstavuje energiu v pásme tlmenia pre frekvenčnú charakteristiku G(e ). Kruhová frekvencia ω s (stopband) definuje hranicu pásma tlmenia, pričom ω s > π/. Druhý člen bude definovaný takto π j( ω+π) E = + r G(e ) G(e ) dω (4.3) ω= a reprezentuje chybu aproximácie z rov.(4.).výsledná chybová funkcia potom bude E = E r + αe s (ω s ), α > (4.4) Váhovací koeficient α určuje vzájomnú dôležitosť (váhu) oboch zložiek vo výslednej chybovej funkcii.voľba parametrov α, ω s a N určujú kompromisy pri optimalizácii g(n). Optimalizácia sa začína návrhom inicializačného filtra, ktorý je zvolený ako výchdzí (štartovací) bod, optimalizačný program iteratívnym spôsobom vypočítava chybu E a hľadá koeficienty prototypového filtra G(z), čiže hodnoty impulznej charakteristiky g(n), pre ktoré je táto chyba minimálna. V Matlabe možno použiť z optimalizačmého toolboxu pre optimalizáciu funkcie viacerých parametrov funkciu constr kde [ X,options]= constr ( fun, X, options) X je bod v ktorom má účelová funkcia minimum fun je účelová funkcia X je štartovací bod options je vektor parametrov optimalizácie 38

42 Ak vektor options nie je v prvom volaní optimalizačnej funkcie zadaný, vygeneruje sa množina implicitních (default) nastavení. Pre určovanie štartovacieho bodu optimalizácie je vhodná matlabovská funkcia fir. Táto vykonáva návrh filtra s KIO metódou diskrétních oknových funkcí. Pomocou X = fir(n-,wn) navrhneme číslicový DP filter s dĺžkou N a jeho koeficienty sa uložia do vektora X. Medzná frekvencia musí byť v intervale < Wn <. Funkcia fir štandardne požíva Hammingovu oknovú funkciou, ale pridaním ďalšieho parametra můžeme vybrať inú oknovú funkciu, napr. X = fir(n-,wn, kaiser(n,4), t.j. s Kaiserovým oknom a prametrom β =4. V tab.4. sú koeficienty impulzných charakteristík DP filtra analýzy pre N =8, N = 6 a váhovací koeficient α =. Tabuľka 4. n g (n), N=8 g (n), N= E-.567E E E E E E E E E E E E E E E-.7644E E E E- Grafické zobrazenie impulzných charakteristík g (n), g (n) pre N = 8 a 6 je na obr.4.4 a obr

43 a) b) Obr.4.4. Impulzná charakteristika a) DP filtra g (n), b) HP filtra g (n) pre N = 8. 4

44 a) b) Obr.4.5. Impulzná charakteristika a) DP filtra g (n), b) HP filtra g (n) pre N= 6. Amplitúdové frekvenčné charakteristiky G (ω) a G (ω) banky ZF analýzy pre N =8 a 6 sú na obr.4.6. Z obr.4.6 možno vidieť, že HP filter s amplitúdovou frekvenčnou charakteristikou G (ω) je zrkadlovým obrazom k amplitúdovej frekvenčnej charakteristike G (ω) DP filtra vzhľadom na kruhovú frekvenciu ω = π/. Podmienku danú rov.(4.) pre banku zrkadlových filtrov s amplitúdovými frekvenčnými charakteristikami G (ω) a G (ω) možno zapísať v tvare G ( ω) + G ( ω) (4.5) = 4

45 a) b) Obr.4.6. Amplitúdové frekvenčné charakteristiky G (ω) a G (ω) a) pre N = 8, b) N = 6 Pre vyhodnotenie splnenia podmienky (4.5) vypočítame pre optimalizovanú banku ZF frekvenčnú charakteristiku vyjadrenú v db log(g ( ω) + G ( ω)) (4.6) Táto frekvenčná charakteristika by mala byť v ideálnom prípade rovná honote nula, čo by zodpovedalo banke ZF s dokonalou rekonštrukciou. Táto frekvenčná charakteristika je pre prípad N =8 a 6 zobrazená na obr

46 a) b) Obr.4.7. Súčet kvadrátov amplitúdových frekvenčných charakteristík optimalizovanej banky ZF v db a) pre N = 8, b) N = 6. Z obr. 4.7 vidno, že podmienka daná rov.(.5) je pre N=8 splnená s chybou ±,3 db a pre N=6 s chybou ±,5 db. Vypočítaná chyba pre N = 64 a váhovací koeficient α = 5 je ±,5 db. 43

47 5. BANKY KOSÍNUSOVO MODULOVANÝCH FILTROV Banky kosínusovo modulovaných (KM) filtrov [6], [7] v K-kanálovej diskrétnej sústave (DS) s PDR možno získať pomocou kosínusovej modulácie DP prototypového filtra s lineárnou fázovou frekvenčnou charakteristikou a prenosovou funkciou G(z) = N n= g(n)z n (5.) Potom kosínusovou moduláciou jeho impulznej charakteristiky g(n) možno odvodiť impulzné charakteristiky g j (n) filtrov analýzy a podobne aj h j (n) filtrov syntézy takto [8] π N j π g j(n) = g(n)cos[( j + ) (n ) + ( ) ] (5.) K 4 π N j π h j(n) = g(n)cos[( j + ) (n ) ( ) ], n N- (5.3) K 4 Z predchádzajúcich dvoch rovníc vyplynie medzi nimi nasledovný vzťah h (n) = g (N n), j K- (5.4) j j a z tohto aj vzťah medzi im prislúchajúcimi prenosovými funkciami ( N ) ~ H ( z) = z G ( z) (5.5) j Prenosová funkcia T(z) tohto MKDS s PDR bude mať lineárnu fázovú frekvenčnú charakteristiku aj keď jednotlivé filtre analýzy a syntézy s prenosovými funkciami G j (z) a H j (z) ich nemusia mať lineárne. Nech g(z) = [ G (z) G (z) G K- (z) ] T je vektor prenosových funkcií filtrov analýzy MKDS s PDR. Keď použijeme ich polyfázový rozklad.druhu, môžeme g(z) vyjadriť nasledovne j g(z) = E(z K ) d K (z) (5.6) kde E(z) je polyfázová matica banky filtrov analýzy a d K T (z) = [ z - z -(K-) ]. Z teórie polyfázovej reprezentácie MKDS (kap.) aj rov.(.4) a (.5) vyplýva, že každý MKDS bude mať vlastnosť DR iba vtedy, ak matica E(z) je bezstratová. Na druhej strane v MKDS s PDR je však táto matica E(z) len približne bezstratová. Vzniká teda otázka, či pre banku kosínusovo 44

48 modulovaných filtrov analýzy je možné, aby jej matica E(z) bola bezstratová. Dosiahnuté výsledky dokazujú, že je to možné, keď dĺžka impulznej charakteristiky DP prototypového filtra N = JK, kde J je ľubovoľné kladné celé číslo. Ďalej predpokladajme takéto dĺžky impulznej charakteristiky DP prototypového filtra v závislosti od počtu kanálov K MKDS s DR. Potom na základe polyfázového rozkladu jeho prenosovej funkcie G(z) možno dostať polyfázovú reprezentáciu banky KM filtrov analýzy alebo syntézy. V súvislosti s tým definujeme koeficienty c j,i π N j π = cos[(j + ) (i ) + ( ) ] (5.7) K 4 a potom z vlastnosti periodicity kosínusovej modulácie dostaneme vzťah c j,(i + nk) = ( ) n c j,i (5.8) Pritom K zložkový polyfázový rozklad prvého druhu prenosovej funkcie DP prototypového filtra s lineárnou fázovou frekvenčnou charakteristikou bude K J K m G(z) = g(m + nk)z = z F (z ) (5.9) m= n = (m+ nk) m= kde F m (z) sú jej polyfázové zložky.druhu. Potom na základe rov. (5.) prenosové funkcie KM filtrov analýzy môžu byť vyjadrené takto m K G (z) = j N n = g j (n)z n = JK n = g(n)c j,n z n = = K J m= n =,(m+ nk) (m+ nk) g (m + nk)c j z (5.) S využitím rov.(5.8) môžeme rov.(5.) zjednodušiť nasledovne G (z) = j K m z m= c J j,m n = ( ) n g(m + nk) z nk = K m K = c z F ( z ) (5.) j,m m= m Tieto prenosové funkcie G j (z) KM filtrov analýzy vyjadrené pomocou 45

49 polyfázových zložiek F m (z) prototypového DP filtra v maticovom tvare budú G (z) K F ( z ) K G (z) z F ( z ).. g(z) = = C (5.).... GK (z) (K ) K z FK ( z ) kde C = [c j,i ], j K-, i K- je kosínusovo modulovaná matica rozmeru K x K. Výsledná polyfázová implementácia banky KM filtrov analýzy vyplývajúca z rov.(5.) je na obr. 5.. Analogickým postupom vychádzajúc z rov.(5.3) možno dostať podobnú polyfázovú implementáciu banky KM filtrov syntézy. Obr. 5.. a) Polyfázová implementácia banky kosínusovo modulovaných filtrov analýzy, b) Požadovaná amplitúdová frekvenčná charakteristika prototypového DP filtra. 46

50 Použitím vzťahu (5.5) podobná implementácia môže byť získaná pre filtre syntézy. 5.. Kosínusovo modulované filtre s dokonalou rekonštrukciou Nech g(z) reprezentuje filtre analýzy (5.), získané z prototypového filtra G(z) s reálnymi koeficientami, dĺžkou N = JK, kde J a lineárnou fázovou frekvenčnou charakteristikou. Potom E(z) polyfázová zložková matica filtrov analýzy g(z) je bezstratová vtedy a len vtedy, ak príslušné dvojice polyfázových zložiek filtra G(z) sú výkonovo komplementárne t.j. [5] ~ F (z)f (z) ~ F + k (z)fk k (z), k K- (5.3) K k k + K + = V tom prípade KM MKDS bude mať vlastnosť dokonalej rekonštrukcie. Pretože prototypový filter G(z) má lineárnu fázovú frekvenčnú charakteristiku a jej dĺžka je N = JK, platí nasledujúci vzťah medzi jeho polyfázovými zložkami (m ) ~ (z) = z F (z), k K (5.4) Fk K k Každá dvojica {F k (z), F K+k (z)} môže byť navrhnutá použitím príslušnej dvojkanálovej bezstratovej priečkovej štruktúry. Pre ľubovoľnú hodnotu K, počet potrebných dvojkanálových bezstratových priečkových štruktúr pre návrh prototypu G(z) je K (kde zátvorky sú takzvané Gaussove) v dôsledku symetrie danej rov.(5.4). Na obr. 5. je bloková schéma s K dvojkanálovými priečkovými štruktúrami. Pritom k ta priečková štruktúra poskytuje výkonovo komplementárnu dvojicu F k (z), F K+k (z). Jej parametre sú označené θ k,j, kde index j sa vzťahuje k jednotlivým sekciám priečkovej štruktúry. Prenosová funkcia medzi vstupom a výstupom p tej sekcie priečkovej štruktúry je označená horným indexom p. Prenosové funkcie priečkových štruktúr sú inicializované takto F () k (z) () = ck, = cosθk, K+ k k, k, a F (z) = s = sin θ, k K (5.5) Na obr. 5.3 je zobrazená typická implementácia p tej sekcie k tej priečkovej štruktúry so štyrmi násobeniami a s c k,p = cos θ k,p, s k,p = sin θ k,p. 47

51 Obr. 5.. Bloková schéma priečkových štruktúr použitých pri návrhu K kanálového prototypového filtra G(z), celkový počet priečkových štruktúr = u + = K. Obr Typická implementácia p tej sekcie k tej priečkovej štruktúry. Vzťah medzi vstupom výstupom podľa obr. 5.3 môžeme zapísať v maticovom tvare F F (z) cosθ = (z) sinθ sin θ (p Fk z F (p) ) k k,p k,p (z) (p) cosθ (p ) K + k k,p k,p K + k (z) (5.6) p, k K 48

52 Dostávame rekurzívny vzťah pre prenosovú funkciu, keď je pridaná nová sekcia priečkovej štruktúry. Z rov.(5.6) je vidieť, že pridanie každej sekcie priečkovej štruktúry zvyšuje rád prenosovej funkcie o jeden. Ak dĺžka prototypového filtra je N = JK, potom každá z K polyfázových zložiek má dĺžku m. Z toho vyplýva, že každá priečková štruktúra má (m ) sekcií obsahujúcich celkom m neznámych parametrov [ θ k,, θ k,, θ k,(j-) ]. Teda celkový počet parametrov, ktoré je potrebné optimalizovať bude J K. Na druhej strane návrhy pseudo MKDS [9-3] (rovnaká dĺžka prototypu) vyžadujú mk parametrov, zatiaľ čo návrhy MKDS s DR na báze priečkových štruktúr [3], [3] vyžadujú omnoho viac parametrov, a síce [(J-)(K- )+K(K )/ Postup pre navrhovanie mnohokanálového prototypového filtra (N = JK) obsahuje inicializáciu parametrov K priečkových štruktúr a optimalizáciu týchto parametrov. Inicializácia parametrov sa vykoná takýmto spôsobom θ k,p π, p=, k K/ 4 = π, p (m ), k K/ (5.7) Po inicializácii všetkých J K parametrov sú potom tieto optimalizované použitím funkcie fmins [5] hľadaním minima účelovej funkcie [7] Φ = π ( π / K) +δ G(e ) dω (5.8) kde δ < π/k. Aplikujúc funkciu Φ, problém zahrňuje minimalizáciu energie v nepriepustnom pásme. Pomocou navrhnutého algoritmu boli vypočítané prototypové filtere s prenosovými funkciami G(z) s dĺžkou N = 4 a N = 3. Na obr. 5.4 sú prezentované ich amplitúdové frekvenčné charakteristiky v db 49

53 a) b) Obr Amplitúdové frekvenčné charakteristiky G(e ) a) N = 4, K = 4, J = 3, δ =, b) N = 3, K = 8, J =, δ =. a impulzné charakteristiky prototypových filtrov s N = 4, K = 4 a N = 3,K = 8 pre KM-MKDS sú dané v tab.5. a tab.5. Tabuľka 5. n g(n) n g(n) Tabuľka 5. n 3 g(n) n g(n) n 8 9 g(n) n g(n) Pretože filtere majú vlastnosť symetrie impulznej charakteristiky (t.j. g(n) = = g(n n)) uvedená je len prvá polovica koeficientov.účinnosť KM-MKBF s DR vyjadrená nasledujúcimi dvomi kvantitatívnymi kritériami. ) Chyba rekonštrukcie špička špička (CH š-š ) : Prenosová funkcia KM- MKBF je daná vzťahom 5

54 K k= T (z) = Gk (z)hk(z) (5.9) K Použijúc filtre, ktorých amplitúdové frekvenčné charakteristiky sú normované na hodnotu jedna dostaneme ( δ ) K T(e ) ( +δ ) (5.) a CH š-š je potom definovaná takto CH š-š = δ + δ. ) Aliasingová chyba (CH a ) : vzťah medzi vstupným signálom x(n) a obnoveným signálom xˆ (n) v transformovanej oblasti pre MKDS (obr..) je nasledovný K k= K K m m k (z)hk(z) + X(z) X(zW ) Gk(zW )Hk(z) K m= k= Xˆ (z) = G (5.) K a celková aliasingová chyba je daná výrazom E( K ω) = K m= B m (e ) (5.) kde B K m m= m (z) = G (zw )H (z) a CHa = max ω E(ω). k k V tab.5.3 sú uvedené vypočítané chyby CH š-š a CH a pre prototypový filter s dĺžkou N = 4 a v tab.5.4 s dĺžkou N = 3 pre rôzny počet kanálov K. Ďalej budú uvedené výsledky našej simulácie banky KM filtrov v K-kanálovej diskrétnej sústave. Ako vstupný signál bol použitý diskrétny signál x(nt), ktorý sme použili v kap. a pre rekonštruovaný výstupný signál xˆ (n) bola vypočítaná stredná kvadratická chyba podľa vzťahu (.4). Vypočítané hodnoty strednej kvadratickej chyby ε pre rôzny počet kanálov a dĺžku prototypového filtra N sú uvedené v tab.5.5. V poslednom experimente sme zistili značnú závislosť optimalizovanej amplitúdovej frekvenčnej charakteristiky prototypového filtra na parametri δ pre K = 4, J =, N = 6, zatiaľ čo hodnoty ε, CH š-š, CH a sú bez podstatnej zmeny ako je to vidieť z tab.5.6. Tabuľka 5.3 Chyba K=, J=6 K=4, J=3 K=6, J= CH š-š.33e-3.3e-3.967e-3 CH a 4.643E-4.979E E-4 5

55 Tabuľka 5.4 Chyba K=, J=8 K=4, J=4 K=8, J= CH š-š 4.559E E E-4 CH a E E E-4 Tabuľka 5.5 K=, J= N=6 K=6, J= N=4 K=8, J= N=3 ε.7367e-3.67e E-3 Tabuľka 5.6 δ ε CH š-š CH a.7367e e-4 9.5E-5 π/6.3e e E-5 π/8.4e-3.5e-4.945e-4 Vypočítané hodnoty strednej kvadratickej chyby ε ako aj chyby rekonštrukcie CH š-š a aliasingu CH a potvrdzujú vlastnosť dokonalej rekonštrukcie KM MKDS. Banky KM filtrov môžu byť použité v MKDS s ľubovoľným počtom kanálov K, pričom tieto filtre analýzy a syntézy majú rovnakú dĺžku impulznej charakteristiky N. Za predpokladu, že dĺžka impulznej charakteristiky DP prototypového filtra N = JK, kde J bude MKDS s bankou KM filtrov vyhovovať vlastnosti dokonalej rekonštrukcie. Vtedy je potrebné optimalizovať len polovicu parametrov prototypového DP filtra v porovnaní s jeho počtom pre MKBF s PDR a tiež omnoho menej parametrov v porovnaní s návrhom MKDS s DR založenej na bezstratových priečkových štruktúrach pre rovnakú dĺžku filtrov analýzy a syntézy. Pritom optimalizácia DP prototypového filtra sa vykoná priamo, tj. optimalizujú sa parametre priečkovej štruktúry. To nám umožňuje optimalizovať jeho prenosovú funkciu G(z), pričom je garantované, že KM filtre budú vyhovovať vlastnosti DR. Účelová funkcia použitá pri tejto optimalizácii je veľmi jednoduchá a obsahuje iba energiu v nepriepustnom pásme DP prototypového filtra. Pre porovnanie, účelová funkcia pri návrhoch MKBF s PDR, kde polyfázová zložková matica E(z) filtrov analýzy je približne bezstratová, obsahuje energiu v nepriepustnom pásme DP prototypového filtra a obmedzenie plochosti, zatiaľ čo návrhy MKDS s DR založené na bezstratových priečkových štruktúrach obsahujú energiu v nepriepustnom pásme všetkých jeho K filtrov. K polyfázových zložiek prenosovej funkcie G(z) DP prototypového filtra môže byť zoskupených do K výkonovo komplementárnych dvojíc. Ak je každá dvojica implementovaná dvojkanálovou priečkovou štruktúrou, potom sa vlastnosť DR zachováva aj v prípade kvantovania jej koeficientov. 5

56 6. OKTÁVOVÉ BANKY FILTROV Doteraz sme uvažovali MKDS, ktoré obsahovali filtre typu dolnej priepusti, pásmovej priepusti a hornej priepusti. Tieto rozdeľovali spektrum signálu do priamo susediacich pásiem s rovnakou šírkou a neskoršie tieto frekvenčné pásma opäť rekombinovali. Všetky filtre mali rovnakú šírku pásma a stredové frekvencie boli rovnomerne rozložené na frekvenčnej osi. V tomto prípade hovoríme o tzv. rovnomerných filtroch. V niektorých aplikáciách je potrebné použiť filtre, ktoré sú nerovnomerné. Tieto rozdelia dané spektrum na jednotlivé subspektrá s rozdielnymi šírkami frekvenčných pásiem. Obzvlášť zaujímavými sa ukazujú mnohokanálové diskrétne sústavy obsahujúce filtre s exponenciálne rozloženými stredovými frekvenciami a šírkami frekvenčných pásiem. Najznámejšie príklady tohto typu sú MKDS s oktávovými filtrami. V úzkom vzťahu s nimi sú tzv. dyadické waveletové funkcie (wavelety), ktoré tvoria transformačné jadrá použité pre analýzu značne premenlivých signálov s mnohonásobným rozlíšením [5]. 6.. MKDS s oktávovými filtrami Dvojkanálová banka filtrov môže byť tiež použitá pre vytvorenie oktávových MKDS so stromovou štruktúrou. V stromovej štruktúre MKDS dvojkanálové banky filtrov analýzy pozostávajúce z dolnopriepustného filtra s prenosovou funkciou G (z) a komplementárneho hornopriepustného filtra s prenosovou funkciou G (z) sú použité ako pásmové separátory. Postupným privedením signálu z dolnopriepustného filtra na nasledujúci pásmový separátor dostaneme oktávovú banku filtrov analýzy (OBFA) na obr.6..potom na obr.6. je zobrazené jej frekvenčné rozdelenie. Prenosové funkcie v jednotlivých kanáloch sú definované takto G i (z) = X i (z)/x(z), i =,...,5. Medzné frekvencie filtrov sú vzájomne viazané s faktorom dva a sú preto rozložené po oktávach, z čoho vyplýva aj jej názov. Vzorkovacia frekvencia je v každom stupni (St) redukovaná s faktorom dva použitím decimátora. Ak uvažujeme, že prenosové funkcie budú vo všetkých jej stupňoch rovnaké, potom relatívna šírka prechodového pásma vzhľadom k príslušnej vzorkovacej frekvencii je rovnaká. Absolútna šírka prechodového pásma klesá s faktorom dva, keď sa pohybujeme smerom k nižším frekvenciám ako to vidno z obr.6.. Filter s prenosovou funkciou G (z) je dolnopriepustný, s prenosovou funkciou G 5 (z) je hornopriepustný a všetky ďalšie filtre sú pásmové priepuste. 53

57 a) b) Obr.6.. a) Značka pre dvojkanálovú banku filtrov analýzy alebo pásmový separátor, b) oktávová banka filtrov analýzy so stromovou štruktúrou. Obr.6.. Amplitúdové frekvenčné charakteristiky oktávovej banky analýzy. Na obr.6.3 je ukázaná oktávová banka filtrov syntézy (OBFS), ktorá reprezentuje transformovanú štruktúru oktávovej banky filtrov analýzy z obr.6.. Všetky tvrdenia urobené o OBFA môžu byť preto použité analogicky aj pre OBFS. 54

58 a) b) Obr.6.3. a) Značka pre dvojkanálovú banku filtrov alebo zlučovač, b) oktávová banka filtrov syntézy s transformovanou stromovou štruktúrou. Ak spojíme OBFA a OBFS do kaskády dostaneme na výstupe signál xˆ n, ktorý bude aproximovať vstupný signál x(n). Aby sme získali rovnaké oneskorenie vo všetkých subpásmach museli by sme zaradiť do príslušných kanálov elementy s vhodným oneskorením. Ak štyri prenosové funkcie G(z), G (z), H (z) a H (z) tvoria KDS s dokonalou rekonštrukciou, potom celkový oktávový MKDS bude mať tiež vlastnosť dokonalej rekonštrukcie. ( ) 55

59 7. BANKY FILTROV PRE GENEROVANIE WAVELETOV Vtejto kapitole ukážeme vzťah medzi mnohokanálovou diskrétnou waveletovou transformáciou (DWT) a štruktúrou MKDS na obr.., pričom predpokladáme počet kanálov K. Ďalej uvažujeme mierkovú funkciu ϕ(t), ktorá vyhovuje rovnici [33-34] spolu (K-) wavelentami Pomocou funkcií ϕ(t) a ϕ t) = K.g (n). ϕ(kt - n) (7.) ( o n (i) ψ (t) definujeme systémy, ktoré vyhovujú rovnici (i) ( i n Ψ t) = K.g (n). ϕ(kt - n) i =,..., K - (7.) (i) ψ (t) definujeme systémy indexovaných funkcií ϕ a (t) analogicky k rov.(6.8) a (6.6) v [5] nasledovne r,n (t) ( i) ψ r, n / r ϕ (t) = K r ϕ(k t n) (7.3) r,n ( i) n r / (i) ψ r. (t) = K Ψ (K t n), i =,...,K - r (7.4) pričom sme uvažovali tieto parametre: a o =K, b o = [6]. Nech po sebe nasledujúce subpriestory V r a W sú definované ako signálové subpriestory (i) r vyjadrené s ϕ a ψ (t) pre konštantné r, pričom subpriestory V majú vlastnosť r,n (t) ( i) r, n r... V Vo V -... (7.5) Ak mierková funkcia ϕ(t) a wavelenty { ψ aby vyhovovali podmienkam ortogonality (i) (t) ϕo,n ( t), ϕo, l(t) = δn l, i =,..., K-} sú zvolené tak, (i) ϕr,n (t), ψk, l (t) =, i =,..,K (7.6) ( i) ( j) ψ r, n (t), ψk, l (t) = δi jδr kδn l (7.7) 56

60 (i) r potom subpriestory W tvoria s V r ortogonálny rozklad signálového subpriestoru V, ktorý je možné vyjadriť takto r+ V r + r i K (i) [ W ] = V (7.8) a vzhľadom na rov.(6.9) aj celého signálového priestoru L ( R). Pre danú postupnosť x(n) l ( R ), kde l ( R) je signálový priestor postupnosti s konečnou energiou spojitá funkcia f(t) L ( R ) môže byť vyjadrená v tvare f (t) r = x(n). ϕ(t - n) (7.9) n Funkciu f(t) môžeme zapísať ako súčet jej projekcií do subpriestorov V - a takto (i) W K (i) o (n). ϕ,n (t) + xi(n) ψ,n (t) i= n f (t) = x (7.) n Keď použijeme ortogonalitu bázových funkcií danú rov.(7.6) a (7.7), koeficienty x i (n) tohto rozkladu môžu byť vyjadrené pomocou skalárnych súčinov f, ϕ x i (n) = (i) f, ψ,n,n i = i =,...,K (7.) Použitím rov.(6.) a (6.) v rov.(6.) sa dá dokázať, že [3] x i (n) = x(k).g i (Kn k) (7.) k čo je ekvivalentné spracovaniu diskrétného signálu x(n) (viď. obr.) filtrami analýzy s impulznými charakteristikami g i (n) a decimácií ich výstupov s faktorom D = K. 7.. Konštrukcia bázy waveletov Ako vyplýva z 7.kap. je možné použiť koeficienty filtrov analýzy g i (n), i=,,,k- MKDS s dokonalou rekonštrukciou na konštrukciu báz ortogonálnych waveletov. Uvažujme vzťahy dané rov.(7.) a (7.). Ak sú známe hodnoty mierkovej funkcie ϕ(t) v časových okamžikoch t=k, potom tieto 57

61 (i) (t) dve rovnice môžu byť použité pre výpočet ϕ(t) aj ψ v časových okamžikoch t=t/k. Pomocou rov.(7.) a (7.) je možné odvodiť nasledovné vyjadrenia [33] (o) ϕ (t) = gn gk Kn ϕ( K t k) k n a ktoré umožňujú vypočítať ϕ(t) a (i) n k ( IP ( (o) ) (o) ) ( ) K g n g n K t k = ϕ (7.3) ( ) i (i) (o) Ψ (t) = gn gk Kn ϕ K t k k n k ( ( (i) ) (o) ) ( ) K n n = IP g *g ϕ K t k, i =,...,K (7.4) (i) ψ (t) v časových okamžikoch t=k/k. Pritom g = Kg i(n), i =,,...,K a symbol IP K znamená interpoláciu s faktorom K. Opakovaním tohto postupu rekurzívnym spôsobom, funkcie na ľavej strane rov.(7.3) a (7.4) môžu byť vypočítané s ľubovolnou hustotou okamžikov na časovej osi. Pri konštrukcii waveletových báz prostredníctvom iterácií na základe koeficientov filtrov, dôležitou vlastnosťou je tzv. regularita výsledných funkcií. Pod pojmom regulárny sa rozumie, že časovo spojité waveletové funkcie (i) ψ (t) a mierková funkcia ϕ(t) sú prinajmenšom spojité, alebo v lepšom prípade majú spojitú prvú alebo druhú deriváciu. Bez špeciálnych opatrení pri návrhu MKDS s K kanálmi môžu tieto iterácie viesť k funkciám fraktálového (i) typu pre ϕ(t) aj ψ (t). Aby sme mohli stanoviť nutné podmienky pre regularitu waveletovej bázy využijeme momonty waveletových funkcií. Nech (o) (i) μ k a μ k značí k ty moment mierkovej funkcie ϕ(t) a waveletovej funkcie (i) ψ (t), t.j. μ ( o) t k k =. ϕ (t)dt (i) k k a μ = t. ψ (t), i =,...,K Nech k-ty moment postupnosti g o (n) je daný nasledovne (i) (7.5) (7.6) 58

62 ν (i) k = n n k g i (n), i =,..., K (7.7) Pre regularitu bázových funkcií požadujeme, aby prvých R momentov každého (i) waveletu ψ (t) bolo rovných nule, t.j. μ (i) k =, k =,..., R, i =,..., K (7.8) Lema : pre momenty (i) μ k a ν (i) k platí nasledujúci vzťah. μ (i) k = (/ K (k+ ) / k (i) (o) ( ) ν μ, i =,.., K k ) j j k j (7.9) j= Lema : Aby prvých R momentov waveletovej funkcie bolo rovných nule, musí mať prenosová funkcia príslušného filtra R-násobnú nulu v z =. Dôsledkom tejto lemy je požiadavka, aby G i (z) boli v tvare G (z) = ( z i R ). S (z), i i =,..., K (7.) Lema 3: Ak pásmové filtre G i (z), i=,,k- MKDs majú R-násobnú nulu v bode z =, potom prenosová funkcia DP filtra G o (z) má nuly v bodoch k jπ / K z = WK, k =,...,K, kde W k = e. Lema 3 má za následok, že prenosová funkcia DP filtra G o (z) musí byť v tvare G o (z) = log (K) ( + z i ) R. S o (z) (7.) kde S o (z) je polynóm premennej z -. Pre vyjadrenie podmienok regularity v časovej oblasti definujeme novú postupnosť r i (n) nasledovne N / K i r (n) = (n + lk).g i l= o (n + lk), n =,..,K, i =,..,R (7.) Použitím rov.(7.) môže byť ukázané, že pre regularitu R-tého rádu výsledných waveletových funkcií, musia byť postupnosti r i (n) nezávislé od n t.j. r (n) = C i i = konš tan ta, n =,...,K, i =,...,R (7.3) 59

63 Uvedené podmienky regularity sme ďalej použili pri metóde návrhu banky filtrov MKDS rozpracovanej v 3.kap. Navrhli sme 4KBF s dĺžkou filtrov N=6, ktorý maximalizuje subpásmový zisk pre Markovov model signálu s autokorelačnou funkciou danou rov.(3.34). Okrem ohraničujúcich podmienok daných rov.(3.35) v prvom návrhu sme tieto doplnili o podmienky k zabezpečujúce, aby prenosová funkcia G o (z) mala nuly v bodoch z = W 4 tak, aby výsledné filtre analýzy poskytovali wavelety s dobrou regularitou. Pre stupeň regularity R= bude rov.(7.) v tvare G o (z) = ( + z )( + z ).S o (z) (7.4) kde S o (z) je polynóm premennej z -. Po dosadení za N=6, K=4, a R= do rov.(7.) a uvažujúc rov.(7.3) ako aj vlastnosť symetrie impulznej charakteristiky g o (n) dostaneme nasledujúce ohraničujúce podmienky [34] g - - = () - g () - g () + g (3) + g (4) - g (5) - g (6) + g (7) = 5g () + 3g () -g () + 9g (3) - 7g (4) + 5g (5) - 3g (6) + g (7) = 4g () - g () + g (3) + 4g (4) -g (5) - 6g (6) + 9g (7) (7.5) a pre K=8, N=6, R= tieto ohraničujúce podmieky sú g o () g o (3) + g o (4) + g o (7) = g o () g o () + g o (5) + g o (7) = g o () g o () g o (6) + g o (7) = (7.6) Tabuľka 7. n g (n) g (n) g (n) g 3 (n)

64 Tým dosiahol celkový počet ohraničujícich podmienok pre prípad K=4, N=6, R= a K=8, N=6, R= hodnotu sedem. Impulzné charakteristiky navrhovaných filtrov pre prípad K=4, N=6, R= sú uvedené v tab.7. a pre K=8, N=6, R= v tab.7.. Tabuľka 7. n g (n) g (n) g (n) g 3 (n) n g 4 (n) g 5 (n) g 6 (n) g 7 (n) Výpočet mierkovej funkcie ϕ(t) iteračnou metódou pomocou impulznej charakteristiky g o (n) pre K=4, N=6 je znázornený na obr.7.. Na obr.7.a je mierková funkcia s vyznačením detailu po. iterácii, na obr.7.b a 7.c sú detaily mierkovej funkcie po 6. iterácii a 4 iterácii. Pre porovnanie sú na obr.7.d znázornené detaily mierkovej funkcie pre K=4, N=6 bez podmienok regularity a mierkovej funkcie pre K=4, N=6 s regularitou R=. Ako dostatočný počet iterácií k tomu, aby funkcie mierky skonvergovali do konečnej 6

65 podoby sa ukázal počet. Z obr.7. je vidno, že ak použijeme koeficienty dolnej priepuste, pri optimalizácií ktorých neboli uvažované podmienky regularity nerovnosti na mierkovej funkcii sa počas jednotlivých iteračných krokov budú zväčšovať. a) b) c) d) Obr. 7.. a) Mierková funkcia s vyznačením detailu po.iterácii, detail mierkovej funkcie po b) 6.iterácii,c) 4.iterácii, d) detaily mierkovej funkcie po4.iterácii bez podmienok regularity a s regularitou R=. Mierkova funkcia ϕ(t) a wavelety ψ, i=,,3 pre N=6, K=4,R= získané iteráciami danými rov. (7.3) a (7.4) sú ukázané na obr.7.. Regularita waveletov môže byť zlepšená použitím filtrov s dlhšími impulznými charakteristikami. Na obr.7.3 sú zobrazené mierkova funkcia ϕ(t) a waveletové funkcie ψ (t) pre N=3, K=4, R=3. Vypočítaná mierková funkcia ϕ(t) a wavelety (i) (i) ψ (t) (i) (t), i=,,,7 pre K=8, N=6 a R= sú znázornené na obr