Detekcia anomálií
|
|
- Adriana Šrámková
- pred 5 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Detekcia anomálií OBSAH PREDNÁŠKY Validácia zhlukov dokončenie minulej prednášky interné a externé kritériá validity Úvod do detekcie anomálií, príklady aplikácií Analýza extrémnych hodnôt (extreme value analysis) Jednorozmerná a Viacrozmerná Metódy založené na hĺbke (depth-based methods) Zhlukovanie pre detekciu anomálií Metódy založené na vzdialenosti Metódy korigujúce lokálnu vzdialenosť: LOF a ISMD Metódy založené na hustote (density-based methods) Validita anomálií (ROC krivka)
2 Interné validačné kritériá (1) 1. Suma štvorcov vzdialeností od centroidov: najprv sa určia centroidy jednotlivých zhlukov a následne sa spočíta súčet kvadrátov odchýlok (sum of squared (SSQ) distances) jednotlivých bodov zhlukov od centroidov príslušných zhlukov. 2. Pomer vnútrozhlukovej a medzizhlukovej vzdialenosti: najskôr sa vyberie náhodná vzorka r párov dátových bodov. Nech P z nich patria to rovnakého zhluku, ostatné páry tvoria Q. Potom výsledná hodnota tohto kritéria je Intra/Inter. Malé hodnoty indikujú lepšie zhlukovanie. Objavovanie znalostí (zhlukovanie) 2
3 Interné validačné kritériá (2) 3. Koeficient silhouette: Nech je priemerná vzdialenosť bodu od ostatných bodov v danom zhluku a najmenšia (priemerná) vzdialenosť bodu od ostatných zhlukov. Potom koeficient silhouette pre i-ty objekt je: Celkový koeficient silhouette (z intervalu -1 až 1) je potom priemer všetkých bodových hodnôt tohto koeficientu. Vysoké kladné hodnoty indikujú dobre odseparované zhluky, negatívne hodnoty zasa prekrývajúce sa zhluky. Objavovanie znalostí (zhlukovanie) 3
4 Ladenie parametrov internými mierkami validity zhlukov Všetky algoritmy zhlukovania používajú na vstupe nejaké parametre. Hodnoty niektorých z nich je možné vyladiť pomocou interných kritérií validity zhlukov. Kľúčová myšlienka je nájdenie inflexného bodu v priebehu internej validačnej mierky pri zmenách daného parametra (viď. nasledovný príklad). Prevzaté z: Charu C. Aggarwal: Data Mining: The Textbook. Springer,
5 Externé validačné kritériá (1) Také kritériá možno použiť, ak je k dispozícii informácia o skutočnom zaradení do zhlukov. Toto v reálnych dátach spravidla nie je možné, je to možné pri synteticky generovaných datasetoch. Toto validačné kritérium možno veľmi dobre použiť aj pre klasifikačné modely. Tieto kritériá sú preferované voči interným, nakoľko sa spravidla vedia vyhnúť preferovaniu určitého typu algoritmov (kvôli zvolenej kriteriálnej funkcii). V niektorých prípadoch sa počet skutočných zhlukov k t zhoduje s počtom algoritmom určených zhlukov k d. V takom prípade je veľmi užitočná confusion matrix Objavovanie znalostí (zhlukovanie) 5
6 Externé validačné kritériá (2) Riadky (i) zodpovedajú skutočným zhlukom a stĺpce (j) zhlukom určeným algoritmom. Hodnota m ij v znamená počet záznamov ktoré skutočne patria do zhluku i a boli algoritmom priradené do zhluku j. Keď algoritmom nájdené zhluky sú kvalitné, potom je možné nájsť takú permutáciu riadkov a stĺpcov, aby boli vysoké iba hodnoty na hlavnej diagonále. Pri nekvalitnom zhlukovaní budú hodnoty v matici rozdelené rovnomernejšie. Pre väčšie rozmery je už vizuálne posúdenie nepraktické. Okrem toho aj keď sa dajú zostrojiť matice aj v prípade že k t k d ich vizuálne posúdenie je omnoho zložitejšie. Objavovanie znalostí (zhlukovanie) 6
7 Externé validačné kritériá (3) Preto je potrebné mať číselné metriky na celkové posúdenie kvality confusion matrix, napr.: 1. Čistota zhlukov (cluster purity) 2. Gini index Počet dátových bodov v jednotlivých zhlukoch určime nasledovne: Pre kvalitne určený zhluk j by mal obsahovať dátové body prevažne z jednej triedy. Dominantná trieda: Kvalitné zhluky budú mať hodnoty P j blízke hodnotám M j. Objavovanie znalostí (zhlukovanie) 7
8 Čistota zhlukov (Purity) Žiadúce sú vysoké hodnoty čistoty. Čistotu možno počítať dvojakým spôsobom: Čistota algoritmom určených zhlukov najprv pre jednotlivé zhluky (k d ) výpočtom uvedeným na predchádzajúcom slide a potom tieto hodnoty agregovať. Čistota skutočných zhlukov analogickým spôsobom, ale pre k t. Takto získané hodnoty pre k d a k t môžu byť dosť odlišné. Ich priemer sa používa ako sumárne externé kritérium kvality zhlukov. Objavovanie znalostí (zhlukovanie) 8
9 Úvod do detekcie anomálií, príklady aplikácií Neformálna definícia: Anomália (outlier) je dátový bod ktorý je veľmi odlišný od ostatných bodov. Hawkins: Anomália je pozorovanie, ktoré sa natoľko odchyľuje od ostatných pozorovaní, až vzniká podozrenie, že bolo generované iným mechanizmom. Aplikácie anomálií v dolovaní v dátach: Čistenie dát anomálie predstavujú šum v dátach, preto sa zvyknú v procese predspracovania odstrániť. Podvody s kreditnými kartami netypické vzory v aktivite kreditnej karty môžu poukazovať na jej zneužitie. Prieniky do sietí Prevádzka rôznych typov sietí môže byť chápaná ako prúd multidimenzionálnych záznamov. Anomálie sú často definované ako netypické záznamy v tomto prúde, alebo netypické zmeny v základných trendoch. Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 9
10 Miera anomality Väčšina metód na detekciu anomálií vytvára model normálneho správania (normal patterns) a anomálie sú definované ako dátové body ktoré prirodzene nepasujú do tohto normálneho modelu. Miera anomality je spravidla definovaná numerickou hodnotou (anglicky outlier score). Výstup algoritmov je dvoch typov: 1. reálne číslo určujúce skóre anomality 2. binárne označenie indikujúce či daný dátový bod je anomália, alebo nie Prvý typ výsledku možno vždy previesť na druhý, nie však naopak, preto prvá možnosť je všeobecnejšia ako druhá. Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 10
11 Vybrané modely pre detekciu anomálií 1. Extrémne hodnoty: ktoré ležia na jednom z dvoch koncov distribúcie pravdepodobnosti. 2. Zhlukovacie modely: mnohé zhlukovacie modely určujú anomálie ako vedľajší produkt algoritmu. Je tiež možné optimalizovať zhlukovacie modely špecificky na detegovanie anomálií. 3. Modely založené na vzdialenosti: v tomto prípade sa analyzuje distribúcia založená na k-najbližších susedoch (anomálie majú vyššiu vzdialenosť k-teho najbližšieho suseda než väčšina ostatných bodov). 4. Modely založené na hustote: používajú lokálnu hustotu dátového bodu na stanovenie jeho miery anomality. 5. Ďalšie modely: napr. pravdepodobnostné alebo informačnoteoretické. Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 11
12 Analýza extrémnych hodnôt Ide o veľmi špecifický typ detekcie anomálií, ktoré ležia na okraji distribúcie pravdepodobnosti hodnôt. Všetky extrémne hodnoty sú anomálie, ale nie všetky anomálie sú extrémne hodnoty: jednorozmerný príklad: {1,3,3,3,50,97,97,97,100}, viacrozmerný príklad na obrázku nižšie: Prevzaté z: Charu C. Aggarwal: Data Mining: The Textbook. Springer, 2015 Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 12
13 Jednorozmerná analýza extrémnych hodnôt (1) Úzko súvisí so štatistickým testom extrémnych hodnôt Grubbsov parametrický test alebo Dixonov neparametrický test Typicky jednorozmerné (parametrické) štatistické testy extrémnych hodnôt predpokladajú že jednorozmerné dáta sú popísané určitou distribučnou funkciou f X (x). Pre extrémne regióny platí, že f X (x) θ pre používateľom definovanú hranicu θ. Prevzaté z: Charu C. Aggarwal: Data Mining: The Textbook. Springer,
14 Jednorozmerná analýza extrémnych hodnôt (2) Najčastejšie používaný model je normálna distribúcia pravdepodobnosti, t.j.: Štandardné normálne rozdelenie (Z) má strednú hodnotu 0 a štandardnú odchýlku 1. V niektorých prípadoch môžu byť tieto parametre známe, alebo je možné ich dosť presne odhadnúť pomocou dostatočne veľkej dátovej vzorky. Tieto hodnoty možno použiť pre výpočet Z-hodnoty náhodnej premennej. Z-hodnotu z i pozorovanej hodnoty x i možno vypočítať takto: x z = i i Veľké kladné hodnoty z i zodpovedajú hornému okraju a veľké záporné hodnoty dolnému okraju rozdelenia pravdepodobnosti, t.j. extrémnym hodnotám. 14
15 Jednorozmerná analýza extrémnych hodnôt (3) Normálne rozdelenie sa dá vyjadriť priamo pomocou Z hodnôt, pretože zodpovedajú preškálovanej náhodnej premennej so strednou hodnotou 0 a štandardnou odchýlkou 1: To znamená, že možno použiť kumulatívnu normálnu distribúciu na určenie oblasti okraja, ktorá je väčšia ako z i. Jednoduché pravidlo potom hovorí, že ak Z-hodnota je väčšia ako 3, dátové body spĺňajúce túto podmienku sú považované za extrémne hodnoty. Dá sa ukázať že táto okrajová oblasť zodpovedajúca extrémnym hodnotám je menej ako 0,01% pre normálne rozdelenie. Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 15
16 Viacrozmerná analýza extrémnych hodnôt (1) Tu možno použiť podobný koncept stanovenia hranice pre hustotu pravdepodobnosti viacrozmernej distribučnej funkcie. Opäť sa predpokladá rozdelenie s jedným vrcholom (jeden Gaussovský zhluk). Distribúcia pravdepodobnosti pre d-rozmerný dátový bod je definovaná takto (Σ je kovariančná matica): f ( X ) = (2 ) ( d / 2) 1 ( X ) 2 ( X ) Výraz v exponente je polovica štvorca Mahalanobisovej vzdialenosti, t.j.: 1 2 f ( X ) = 1 1 (2 ) e ( d / 2) e 1 T Maha ( X,, ) 2 Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 16
17 Viacrozmerná analýza extrémnych hodnôt (2) Aby hustota pravdepodobnosti klesla pod stanovenú hranicu, musí byť Mahalanobisova vzdialenosť dátového bodu od stredu väčšia ako istá hranica => Mahalanobisova vzdialenosť od stredu môže slúžiť ako skóre pre extrémne hodnoty. Mahalanobisova vzdialenosť je podobná Euclidovskej (rovná sa jej v prípade rotácie osí podľa PCA). Predelenie štandard. odchýlkou v danom smere spôsobí že B na obr. bude ďalej od stredu ako A. Prevzaté z: Charu C. Aggarwal: Data Mining: The Textbook. Springer,
18 Na hĺbke založené metódy V každej iterácii sa odstránia dátové body, ktoré tvoria vrcholy konvexného obalu až kým počas k iterácií nedôjde k odstráneniu všetkých bodov. Poradové číslo iterácie, v ktorej bol bod odstránený, je jeho miera anomality (analógia šúpania cibule viď. nasledujúci obrázok). S narastajúcou dimenzionalitou sa zhoršuje kvalita výsledku. Naviac stúpa výpočtová náročnosť. Prevzaté z: Charu C. Aggarwal: Data Mining: The Textbook. Springer,
19 Zhlukovanie pre detekciu anomálií (1) Komplementárny charakter zhlukovania a detekcie anomálií je dobre známy. Anomálie sú detegované ako vedľajší produkt zhlukovania, ale algoritmy zhlukovania nie sú optimalizované na detekciu anomálií. Zhlukovacie algoritmy môžu mať ale aj výhody, nakoľko anomálie majú tendenciu vytvárať malé zhluky (proces, ktorý anomáliu vyvolal, sa môže zopakovať viackrát). Prevzaté z: Charu C. Aggarwal: Data Mining: The Textbook. Springer,
20 Zhlukovanie pre detekciu anomálií (2) Jednoduchý spôsob definovania miery anomality v tomto prípade môže byť vzdialenosť dátového bodu od centroidu najbližšieho zhluku. V prípade že sú ale zhluky pretiahnuté, alebo majú rozličnú hustotu, je lepšie použiť Mahalanobisovu vzdialenosť. Avšak nie tak, ako v prípade analýzy extrémnych hodnôt, kde sa používala globálna verzia tejto vzdialenosti, ale v tomto prípade sa používa lokálna Mahalanobisova vzdialenosť. Predpokladajme že bolo nájdených k zhlukov. Nech r-tý zhluk v d-rozmernom priestore má vektor priemerných hodnôt μ r a kovariančnú maticu Σ r. Potom lokálna Mahalanobisova vzdialenosť bodu X od centra zhluku = miera anomality je: Maha ( X,, ) = ( X ) ( X ) r r r 1 r r T 20
21 Metódy založené na vzdialenosti Anomálie sú vzdialené od hustých oblastí bodov (zhlukov). Prirodzený spôsob definovania miery anomality je preto pre každú inštanciu definovaný ako jej vzdialenosť ku k-temu najbližšiemu susedovi. Alternatívne možno použiť priemer vzdialeností k najbližších susedov. Parameter k určuje používateľ. Zadaním väčšej hodnoty ako 1 možno odhaliť aj menšie zhluky anomálií (pre predchádzajúci príklad ak k > 3). Tieto metódy majú jemnejšiu granularitu než zhlukovanie a lepšie rozlišujú šum od skutočných anomálií. Cenou zato je vyššia výpočtová zložitosť O(n 2 ). Preto sa používajú rôzne metódy na zrýchlenie, 1. Indexové štruktúry (nie pre mnohorozmerné dáta) 2. Orezávanie priestoru prehľadávania Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 21
22 Metódy korigujúce lokálnu vzdialenosť V prednáške o vzdialenosti a podobnosti sme hovorili o vplyve lokálnej distribúcie dát na výpočet vzdialenosti. V kontexte detekcie anomálií situáciu ilustrujú dva rozdielne prípady kedy je potrebné korigovať použitú vzdialenosť vzhľadom na lokálne špecifiká. Local Outlier Factor Instance-specific Mahalanobis distance Prevzaté z: Charu C. Aggarwal: Data Mining: The Textbook. Springer,
23 Local Outlier Factor (1) Prispôsobuje sa lokálnym variáciám v hustote zhlukov normalizáciou vzdialeností priemerom bodovo-špecifických vzdialeností v lokalite bodu. Pre daný dátový bod X, nech: V k (X) je vzdialenosť k jeho k-temu najbližšiemu susedovi L k (X) je množina bodov v rámci tejto vzdialenosti R k (X,Y) je vzdialenosť dosiahnuteľosti X vzhľadom na Y R k ( X, Y ) max Dist( X, Y ), V ( Y k = AR k (X) je priemerná vzdialenosť dosiahnuteľosti X vzhľadom na jeho okolie L k (X) AR Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) k ( X ) = MEAN R ( X, Y ) Y L ( X ) k k ) 23
24 Local Outlier Factor (2) Konečne Local Outlier Factor (LOF) sa rovná: LOF k ( X ) = MEANY L ( X ) AR AR ( X ) ( Y ) LOF hodnoty pre objekty v zhluku sú často blízke 1 pokiaľ sú body v zhluku rovnomerne distribuované. Tak tomu bude pre body z oboch zhlukov na obr. (a). Na druhej strane pre oba anomálne body (A a B) na obr. (a) bude ich faktor oveľa väčší, lebo budú počítané v kontexte priemerných vzdialeností dosiahnuteľnosti susedných bodov. k k k 24
25 Local Outlier Factor (3) V praxi sa používa ako výsledná miera anomality maximálna hodnota LOF k (X) z množiny rôznych hodnôt k. Metóda LOF má preto schopnosť dobre sa prispôsobiť regiónom s rôznou hustotou kvôli relatívnej normalizácii menovateľom vyššie uvedeného výrazu. Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 25
26 Instance-Specific Mahalanobis Distance (1) Táto metrika je navrhnutá pre prispôsobenie sa rôznym tvarom distribúcie v lokalite daného dátového bodu prípad na obrázku (b). V tomto prípade sa Mahalanobisova vzdialenosť počíta vzhľadom distribúciu okolitých bodov. Otázka je ako určiť vhodné okolie daného dátového bodu X? Používa sa tu aglomeratívny prístup pre určenie okolia L k (X): Najprv sa tam pridá bod X, a potom sa iteratívne pridávajú tie body, ktoré majú najmenšiu vzdialenosť k najbližšiemu bodu z L k (X). Vypočíta sa vektor priemerných hodnôt μ k (X) a kovariančná matica Σ k (X) okolia L k (X). Potom inštancii-špecifická Mahalanobisova vzdialenosť bodu X od μ k (X) je mierou anomality: LMaha k ( X ) = Maha( X, ( X ), ( X k k )) Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 26
27 Instance-Specific Mahalanobis Distance (2) Jediným rozdielom vo výpočte globálnej Mahalanobisovej vzdialenosti pri detekcii extrémnych hodnôt a tejto inštančne-špecifickej je, že v tomto prípade sa uvažuje iba lokálne okolie L k (X) dátového bodu X. Pričom dôležitý je aj spôsob, akým sa toto okolie konštruuje (pri zväčšujúcom sa k narastá v proporcionálnom tvare najbližšieho zhluku). Podobne ako v prípade LOF aj tu sa aplikujú rôzne hodnoty k a ako výsledná miera anomality sa berie najväčšia hodnota. Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 27
28 Instance-Specific Mahalanobis Distance (3) Použitie tejto metriky správne odhalí jedinú anomáliu v príklade uvedenom na obrázku (b). Vďaka použitiu Mahalanobisovej vzdialenosti tento prístup správne odhalí anomálie aj v prípade (a). 28
29 Metódy založené na hustote Metódy zhlukovania založené na hustote hľadajú husté oblasti, v prípade detekcie anomálií sa analogicky hľadajú riedke oblasti v dátach. Pre jednorozmerné dáta možno použiť histogram. Ako miera anomality slúži počet ostatných bodov v danom bine. Prirodzeným zovšeobecnením v kontexte viacrozmerných dát je mriežka (každá dimenzia sa diskretizuje na p intervalov rovnakej šírky). Mierou anomality je počet ďalších bodov v danom regióne mriežky. Problémom týchto metód je určenie optimálnej šírky intervalu. Ďalšou nevýhodou je, že sú príliš lokálne a neberú tak do úvahy globálne charakteristiky dát. Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 29
30 Validita anomálií Validita sa v tomto prípade nedá jednoducho odvodiť z validity zhlukov, je zložitejšia. Interné kritériá validity sa pre anomálie prakticky nepoužívajú, aj keď v zhlukovaní sa používajú pomerne často. Väčšina kritérií validity pre anomálie sú externé, napr. ROC krivka (Receiver Operating Characteristics). Pri detekcii anomálií sa spravidla používa nejaká mierka anomality a stanovená hranica, podľa ktorej sa určí binárna hodnota (je/nie je anomália). Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 30
31 ROC krivka (1) Ak je stanovená hranica príliš reštriktívna, algoritmus môže minúť niektoré anomálie, t.j. označí ich za falošne negatívne (false negatives - FN). Ak je ale táto hranica príliš voľná, to spravidla vedie k väčšiemu počtu falošne pozitívnych prípadov (false positives - FP). To vedie ku kompromisu medzi FP a FN. Problém je, že optimálnu hranicu nikdy nepoznáme vopred. Na hľadanie optimálneho kompromisu medzi FP a FN slúži ROC krivka. Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) 31
32 ROC krivka (2) Nech pre ľubovoľnú zadanú hraničnú hodnotu t na mieru anomality je výsledná množina anomálií S(t). Nech G je skutočná množina anomálií. D celá množina dát. Skóre skutočne pozitívnych prípadov (true positive rate) sa vypočíta nasledovne: TPR( t) = Recall( t) = 100 S( t) G Skóre falošne pozitívnych S( t) G FPR( t) = 100 prípadov (false positive rate): D G ROC krivka vznikne vynesením hodnôt FPR(t) na X-ovú os a TPR(t) na Y-ovú os. Krajné body ROC krivky sú vždy (0,0) a (100,100). Náhodná metóda vykazuje výkonnosť okolo diagonály. Lift (zdvih) nad touto diagonálou poskytuje predstavu o kvalite danej metódy. Objavovanie znalostí (detekcia anomálií) G 32
33 ROC krivka - príklad Majme množinu 100 dátových bodov, z ktorých je 5 anomálií. Dva algoritmy A a B sú aplikované na túto množinu a usporiadajú dátové body podľa ich miery anomality (od najväčšej po najmenšiu). Prevzaté z: Charu C. Aggarwal: Data Mining: The Text-book. Springer, 2015 Plocha pod ROC krivkou sa používa ako sumárny indikátor kvality algoritmu, avšak opatrne, nie všetky časti ROC krivky musia byť aplikačne rovnako dôležité. 33
Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieSRPkapitola06_v1.docx
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšiePokrocilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia
Pokročilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia Ing. Viktor Kocur viktor.kocur@fmph.uniba.sk DAI FMFI UK 29.11.2017 Obsah 1 Segmentácia O čo ide 2 Watershed Princíp Postup 3 k-means clustering
PodrobnejšieDobývanie znalostí
Dobývanie znalostí Vranec Maroš, Lučanský Ján Zadanie Predikcia pozície internetových stránok na kľúčové slovo vo vyhľadávači Google* * www.google.cz * site:cz Využitie Pri SEO (Search Engine Optimization)
PodrobnejšiePowerPoint Presentation
Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieDediĊnosť
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Dedičnosť v jazyku C# Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond OOP rekapitulácia Trieda je základná jednotka objektového programovania
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
PodrobnejšieMetódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
PodrobnejšieMatematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh
7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna
PodrobnejšieWP summary
TESTOVANIE PRAVDEPODOBNOSTNÉHO ROZDELENIA PREDIKČNÝCH CHÝB MARIÁN VÁVRA NETECHNICKÉ ZHRNUTIE 3/2018 Národná banka Slovenska www.nbs.sk Imricha Karvaša 1 813 25 Bratislava research@nbs.sk júl 2018 ISSN
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
PodrobnejšieAnalýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU
Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU Ekonomická fakulta TU v Košiciach 20. februára 2009 Vzt ahy medzi krajinami - teória grafov Doterajšie riešenia 1 problém farbenia grafov (Francis
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
PodrobnejšieSnímka 1
Generovanie LOGICKÝCH KONJUNKCIÍ doc. Ing. Kristína Machová, PhD. kristina.machova@tuke.sk http://people.tuke.sk/kristina.machova/ OSNOVA: 1. Prehľadávanie priestoru pojmov 2. Reprezentácia a použitie
PodrobnejšieVerejná konzultácia k článku 18 Nariadenia Komisie (EÚ) 2017/2195, ktorým sa ustanovuje usmernenie o zabezpečovaní rovnováhy v elektrizačnej sústave P
Verejná konzultácia k článku 18 Nariadenia Komisie (EÚ) 2017/2195, ktorým sa ustanovuje usmernenie o zabezpečovaní rovnováhy v elektrizačnej sústave Predmet konzultácie Predmetom verejnej konzultácie je
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
PodrobnejšieSiete vytvorené z korelácií casových radov
Siete vytvorené z korelácií časových radov Beáta Stehlíková 2-EFM-155 Analýza sociálnych sietí Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, UK v Bratislave, 2019 Siete vytvorené z korelácií Siete vytvorené
PodrobnejšieÚvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieŠtudijný program (Študijný odbor) Školiteľ Forma štúdia Téma Elektronické zbraňové systémy (8.4.3 Výzbroj a technika ozbrojených síl) doc. Ing. Martin
doc. Ing. Martin Marko, CSc. e-mail: martin.marko@aos.sk tel.: 0960 423878 Metódy kódovania a modulácie v konvergentných bojových rádiových sieťach Zameranie: Dizertačná práca sa bude zaoberať modernými
Podrobnejšie1 Portál pre odborné publikovanie ISSN Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika 28.04.2010 Článok spočíva v predstavení a opísaní algoritmu
PodrobnejšieInteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Október, 2018 Katedra kybernetiky
Inteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Marian.Mach@tuke.sk http://people.tuke.sk/marian.mach Október, 2018 Katedra kybernetiky a umelej inteligencie FEI, TU v Košiciach 1 Best-first
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieÚvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
PodrobnejšiePríklad 5 - Benzén 3. Bilančná schéma 1. Zadanie príkladu n 1 = kmol/h Definovaný základ výpočtu. Na základe informácií zo zadania si ho bude v
Príklad 5 - enzén 3. ilančná schéma 1. Zadanie príkladu n 1 = 12.862 kmol/h efinovaný základ výpočtu. Na základe informácií zo zadania si ho bude vhodné prepočítať na hmotnostný tok. m 1 = n 1*M 1 enzén
Podrobnejšie8
8. Funkcie pre prácu s údajmi 8.1. Základné funkcie pre prácu s údajmi MATLAB umožňuje aj štatistické spracovanie údajov. Jednotlivé prvky sú zadávané ako matica (vektor). V prípade matice sa operácie
PodrobnejšieNeineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
PodrobnejšieNSK Karta PDF
Názov kvalifikácie: Architekt informačných systémov Kód kvalifikácie U2511002-01348 Úroveň SKKR 6 Sektorová rada IT a telekomunikácie SK ISCO-08 2511002 / IT architekt, projektant SK NACE Rev.2 J INFORMÁCIE
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieMicrosoft Word - 06b976f06a0Matice - Uzivatelska Dokumentacia
Matice Užívateľská dokumentácia k programu Autor: Miroslav Jakubík 2009 Obsah 1 Úvod... 2 1.1 Stručný popis programu... 2 1.2 Spustenie programu... 2 1.3 Otvorenie dokumentu... 3 1.4 Ovládanie programu...
PodrobnejšiePokrocilé programovanie II - Nelineárne iteracné schémy, chaos, fraktály
Pokročilé programovanie II Nelineárne iteračné schémy, chaos, fraktály Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-253 Letný semester 27/28 Obsah Logistická mapa - May Period doubling, podivný atraktor,
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšieViacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu
Viacnásobne použitel né oblasti spol ahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Martina Chvosteková Ústav merania Slovenská akadémia vied 22. január, Rekreačné zariadenie Rybník, 2018 Obsah 1 Predpoklady, model
PodrobnejšieSlide 1
SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh
PodrobnejšieÚroveň strojového kódu procesor Intel Pentium Pamäťový operand Adresovanie pamäte Priama nepriama a indexovaná adresa Práca s jednorozmerným poľom Pra
Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium Pamäťový operand Adresovanie pamäte Priama nepriama a indexovaná adresa Práca s jednorozmerným poľom Praktické programovanie assemblerových funkcií Autor:
PodrobnejšieSTRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU
STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 6 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu Autor na obrazovke, potom zvolíme Užívateľskú úroveň Pokročilý
PodrobnejšieKlasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
PodrobnejšieDidaktické testy
Didaktické testy Didaktický test - Nástroj systematického zisťovania výsledkov výuky - Obsahuje prvky, ktoré je možné využiť aj v pedagogickom výskume Druhy didaktických testov A) Didaktické testy podľa
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieMO_pred1
Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšiePodpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. Katedra matematických metód, Fa
Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. stefan.pesko@fri.uniza.sk Katedra matematických metód, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita v
PodrobnejšieTomáš Jelínek - včely vyhľadávanie
Tomáš Jelínek - včely vyhľadávanie Včelí focused crawler Včelí focused crawler sa skladá z dvoch základných modelov správania sa včiel - správanie sa včely v úli (implementoval Tomáš Jelínek) a správanie
PodrobnejšieEkon Supply of labour by John Pencavel
Labour supply of men by John Pencavel Prednáša: V. Kvetan (EÚ SAV) Obsah kapitoly Úvod Empirické regulácie Trendy v pracovnom správaní Cross sekčné odchýlky v pracovnom správaní Koncepčný rámec Kanonický
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšiePríloha č
SKÚŠOBNÉ SITÁ Prvá časť Všeobecné ustanovenia, vymedzenie meradiel a spôsob ich metrologickej kontroly. Táto príloha sa vzťahuje na skúšobné sitá (ďalej len sito ), ktoré sa používajú ako určené meradlá
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšieRelačné a logické bázy dát
Unifikácia riešenie rovníc v algebre termov Ján Šturc Zima, 2010 Termy a substitúcie Definícia (term): 1. Nech t 0,..., t n -1 sú termy a f je n-árny funkčný symbol, potom aj f(t 0,..., t n -1 ) je term.
PodrobnejšieVZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY
5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšieVzhľadom k tomu, že Žiadosť o platbu č
Postup na identifikáciu žiadateľa ako podniku v ťažkostiach podľa Usmernenia Spoločenstva o štátnej pomoci na záchranu a reštrukturalizáciu firiem v ťažkostiach (2004/C244/02) Pred tým, ako bude uvedený
PodrobnejšieZadanie_1_P1_TMII_ZS
Grafické riešenie mechanizmov so súčasným pohybom DOMÁE ZDNIE - PRÍKLD č. Príklad.: Určte rýchlosti a zrýchlenia bodov,, a D rovinného mechanizmu na obrázku. v danej okamžitej polohe, ak je daná konštantná
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieTESTOVANIE STABILITY PROCESU POKRAČOVANIA GRADIOMETRICKÝCH MERANÍ DRUŽICE GOCE NADOL
S L O V E N S K Á E C H N I C K Á U N I V E R Z I A V B R A I S L A V E S A V E B N Á F A K U L A K A E D R A G E O D E I C K Ý C H Z Á K L A D O V ESOVANIE SABILIY PROCESU POKRAČOVANIA GRADIOMERICKÝCH
PodrobnejšiePrezentácia programu PowerPoint
Osobnosť tvoria jedinečné charakteristiky spôsobu myslenia, cítenia, správania spolu s mechanizmami (skrytými alebo nie) za týmito procesmi. Základné prístupy k osobnosti a ich kľúčové témy Základný prístup
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieeKasa
Používateľská príručka Systém ekasa ekasa zóna (Portál podnikateľa - Účtovník) OBSAH Základné informácie o spoločnosti... 3 História zmien... 4 Obsah... 2 1 E-kasa zóna portál podnikateľa... 3 1.1 O aplikácii...
PodrobnejšieŠtudent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp
Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšiePrezentácia programu PowerPoint
Interaktívne 2D/3D aplikácie Unity II ERIK KUČERA MULTIMÉDIA A TELEMATIKA PRE MOBILNÉ PLATFORMY PREDNÁŠKA 6 Prehľad pojmov vo svete enginov ERIK KUČERA MULTIMÉDIA A TELEMATIKA PRE MOBILNÉ PLATFORMY PREDNÁŠKA
PodrobnejšieNovinky programu MSklad
Novinky v programe MSklad 1.51 Poznámka v receptúre V receptúre je možné po novom pripísať ku každej položke poznámku, ktorá sa potom zobrazí pri tlači delenej žiadanky a voliteľne tiež pri tlači komplexnej
PodrobnejšieMERANIE U a I.doc
MERANIE ELEKTRICKÉHO NAPÄTIA A ELEKTRICKÉHO PRÚDU Teoretický úvod: Základnými prístrojmi na meranie elektrických veličín sú ampérmeter na meranie prúdu a voltmeter na meranie napätia. Univerzálne meracie
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - OOP_prednaska_10.pptx
Creational Design Patterns Lecture #10 doc. Ing. Martin Tomášek, PhD. Department of Computers and Informatics Faculty of Electrical Engineering and Informatics Technical University of Košice 2018/2019
PodrobnejšieNSK Karta PDF
Názov kvalifikácie: Strojársky špecialista riadenia výroby Kód kvalifikácie C2144007-00821 Úroveň SKKR 7 Sektorová rada Automobilový priemysel a strojárstvo SK ISCO-08 2144007 / Strojársky špecialista
PodrobnejšieRegionálne printové periodikum - dvojtýždenník, distribuovaný v náklade ks do domácností v Mestskej časti Bratislava-Petržalka. Prinášame aktuá
Regionálne printové periodikum - dvojtýždenník, distribuovaný v náklade 40 800 ks do domácností v Mestskej časti Bratislava-Petržalka. Prinášame aktuálne témy, spravodajstvo a zameriavame sa na problémy,
PodrobnejšieManažment v Tvorbe Softvéru 2018/2019
(dokonč.) MTS 2018/19 I. M. rozsahu projektu II. M. rozvrhu projektu III. M. nákladov projektu rozsahu rozvrhu Definovanie činností nákladov Získanie požiadaviek Zoradenie činností Odhad trvania činností
PodrobnejšieDetektor kovu, napätia a dreva 3 v 1 DM-902 Každé kopírovanie, reprodukovanie a rozširovanie tohto návodu vyžaduje písomný súhlas firmy Transfer Multi
Detektor kovu, napätia a dreva 3 v 1 DM-902 Každé kopírovanie, reprodukovanie a rozširovanie tohto návodu vyžaduje písomný súhlas firmy Transfer Multisort Elektronik. Návod na obsluhu Tento prístroj využíva
PodrobnejšieCentrum vedecko-technických informácií, Odbor pre hodnotenie vedy, Oddelenie pre hodnotenie publikačnej činnosti Vyhľadávanie a práca so záznamami - C
Centrum vedecko-technických informácií, Odbor pre hodnotenie vedy, Oddelenie pre hodnotenie publikačnej činnosti Vyhľadávanie a práca so záznamami - CREPČ 2 Manuál pre autorov (aktualizované dňa 18.3.2019)
Podrobnejšie1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda
PodrobnejšiePhoto Album
MZDY Stravné lístky COMPEKO, 2019 V programe je prepracovaná práca s evidencoiu stravných lístkov. Z hľadiska dátových štruktúr je spracovanie stravných lístkov rozložené do súborov MZSTRLH.dbf a MZSTRLP.dbf,
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,... Poissonov proces je homogénny Markovov
PodrobnejšieK-prumeru
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Jana Hricová Metoda k-průměrů Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Jaromír Antoch,
PodrobnejšieNumerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2011/2012 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieÚloha č.2 Meranie odporu rezistorov Vladimír Domček Astrofyzika semester Skupina č Laboratórne podmienky: Teplota: 22,6 C Tlak:
Úloha č.2 Meranie odporu rezistorov Vladimír Domček Astrofyzika 394013 2. semester Skupina č.8 15.3.2012 Laboratórne podmienky: Teplota: 22,6 C Tlak: 100 kpa Vlhkosť: 48% 1 Zadanie rčenie odporu 2 rezistorov
PodrobnejšieAnalýza hlavných komponentov
Value at Risk Voľba parametrov výpočtu VaR Confidence level Dĺžka časového obdobia Hodnota investícií do jednotlivých finančných nástrojov Identifikácia rizikových faktorov Spôsob zohľadnenia korelácií
PodrobnejšieNÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1
PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšieInflácia Nezamestnanosť
Inflácia, deflácia, ekonomický cyklus Prednáška 10 Inflácia dlhodobý rast cenovej hladiny tovarov a služieb Zmena cien jednotlivých tovarov a služieb Zmena cenovej hladiny Zmena celkovej úrovne cien tovarov
PodrobnejšieRozvojom spoločnosti najmä v druhej polovici minulého storočia dochádza čím ďalej tým viac k zásahu človeka do životného prostredia
3 Prenos hmoty a energie 3.1 Stacionárny prípad 1. Prúd vody v rieke s prietokom Qs 10m 3 /s má koncentráciu chloridov cs 20mg/l. Prítok rieky s prietokom Qw 5m 3 /s má koncentráciu chloridov cw 40mg/l.
Podrobnejšie(Microsoft Word Zadanie na s\372\235a\236 KROS DESIGN AWARD .doc)
Podklady pre súťaž KROS DESIGN AWARD Úlohou účastníkov súťaže KROS DESIGN AWARD je navrhnúť 4 formuláre aplikácie. Pre každý formulár sú špecifikované položky, ktoré bude nutné v danom formulári editovať/zobraziť.
PodrobnejšieSK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,
SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.
PodrobnejšieSnímka 1
HIERARCHICKÝ LINEÁRNY MODEL PRIDANEJ HODNOTY ŠKOLY VO VZDELÁVANÍ Trajová Jana, Mária Kolková, Pavol Kaclík, Lukáš Píš 20.-21.10.2015, Bratislava Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je
PodrobnejšieJozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1
Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.
PodrobnejšieMicrosoft Word - 16.kapitola.doc
6. kapitola Logická teória diagnózy zložitých systémov 6. Úvodné poznámky tanovenie diagnózy zložitých systémov v medicíne u človeka, veľkých výrobných zariadení, elektronických obvodov, a pod.) patrí
PodrobnejšieSila [N] Sila [N] DIPLOMOVÁ PRÁCA Príloha A: Sila v ose skrutky v mieste predpätia P = 0,
Príloha A: Sila v ose skrutky v mieste predpätia P =, Sila v ose skrutky v mieste predpätia P =, Obr. Priebeh síl v ose skrutiek pri stúpaní P =, a P =, ÚMTMB FSI VUT v Brně Sila v ose skrutky v mieste
Podrobnejšietrafo
Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N
Podrobnejšieuntitled
Metódy na výpočet LS faktora pri modelovaní vodnej erózie pôdy Juraj Lieskovský UMB Banská Bystrica FPV kat. Krajinnej ekológie Banská Štiavnica juraj.lieskovsky@gmail.com Metódy na výpočet LS faktora
Podrobnejšie