Matematika II. Bc. FMMR Materiál pre samoštúdium na 0. týždeň semestra Domáce zadanie č. 9: 3.99, 3.04, 3.7, 3.9, 3.4, 3.9 Literatúra: Knežo, D., Andrejiová, M., Kimáková, Z.: Matematika, TUKE SjF, Košice, 00. Riešené príkla: Lineárne diferenciálne rovnice. rádu Príklad Riešme lineárnu diferenciálnu rovnicu y + e 3. Riešenie: Lineárnou diferenciálnou rovnicou (LDR. rádu rozumieme rovnicu v tvare y + p( q(, kde p(, q( sú spojité funkcie, q( 0. Rovnicu riešime v dvoch krokoch.. Riešime rovnicu bez pravej strany y + 0. Je to diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými, a tak ju riešime separáciou premenných d = y = d y ln y = + c. Získali sme všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany, ktoré zapíšeme v eplicitnom tvare. Pri úpravách využívame vzťahy = e ln, n log a = log a n, a r+s = a r a s e ln y = e +c y = e e c ce, c R.. Riešime rovnicu s pravou stranou metódou variácie konštanty. Konštantu c budeme považovať za funkciu premennej, c c(, a tak riešenie zadanej diferenciálnej rovnice určíme v tvare c(e. Ak táto funkcia má byť riešením zadanej diferenciálnej rovnice, musí tejto rovnici vyhovovať. Preto neznámu funkciu c( určíme po dosadení funkcie y a jej derivácie y do zadanej diferenciálnej rovnice. Vypočítame deriváciu funkcie y y = c (e + c(e ( a spolu s funkciou c(e ich dosadíme do zadanej rovnice y + e 3 Neznámu funkciu c( určíme integrovaním c (e c(e + c(e = e 3 c( = c (e = e 3 e 5 d = e5 5 + k. c ( = e3 e. Keďže už poznáme funkciu c(, dosadíme ju do vzťahu c(e, a tak získame všeobecné riešenie zadanej lineárnej diferenciálnej rovnice ( e 5 5 + k e, k R.
Príklad Riešme lineárnu diferenciálnu rovnicu y 4 3. Riešenie: Upravíme zadanú rovnicu na tvar y + p( q( vydelením rovnice výrazom. Pre 0 získame y 4y = 3. V prvom kroku riešime separáciou premenných rovnicu bez pravej strany y 4y = 0 d = 4y y = 4 d ln y = 4 ln + c. Všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany upravíme na eplicitný tvar e ln y 4 ln +c = e y = e ln 4 e c c 4, c R. V druhom kroku vypočítame všeobecné riešenie rovnice s pravou stranou metódou variácie konštanty. Konštantu c budeme považovať za funkciu premennej, a tak hľadáme riešenie v tvare c( 4. Vypočítame deriváciu tejto funkcie y = c ( 4 + c(4 3. Dosadením funkcie y a jej derivácie y do zadanej rovnice získame neznámu funkciu c( c ( 4 + 4c( 3 4c(4 = 3 c ( 4 + 4c( 3 4c( 3 = 3 c ( 4 = 3 c ( = 3 c( = 4 ( 3 3 4 d = ( 3 3 4 d = 3 3 3 + k = + 3 + k. Dosadením vypočítanej funkcie c( do vzťahu c( 4 získame všeobecné riešenie zadanej LDR ( + 3 + k 4 + + k 4, k R. Príklad 3 Riešme lineárnu diferenciálnu rovnicu y y tg = cos 3. Riešenie: V prvom kroku riešime rovnicu bez pravej strany separáciou premenných y y tg = 0 d = y tg y = sin cos d
sin ln y = cos d ln y = ln cos + c. Všeobecné riešenie upravíme na eplicitný tvar e ln y ln cos +c = e y = e ln (cos e c c(cos c cos, c R. V druhom kroku vypočítame všeobecné riešenie rovnice s pravou stranou metódou variácie konštanty, c c(. Riešenie zadanej LDR hľadáme v tvare c( cos. Vypočítame deriváciu tejto funkcie y = c ( cos c( ( sin cos. Dosadením funkcie y a jej derivácie y do zadanej rovnice získame neznámu funkciu c( c ( cos + c( sin cos c( cos sin cos = cos 3 = cos 3 c ( cos + c( sin c( sin cos Dosadením vypočítanej funkcie c( do vzťahu c( cos c ( cos = cos 3 c ( = cos cos 3 c( = cos d = tg + k. získame všeobecné riešenie zadanej LDR tg + k cos, k R. Príklad 4 Riešme lineárnu diferenciálnu rovnicu y + ln +. Riešenie: Pre 0 rovnicu vydelíme výrazom, a tak získame lineárnu diferenciálnu rovnicu v tvare y + ln +. Najskôr riešime rovnicu bez pravej strany separáciou premenných y + y = 0 d = y y = d ln y = ln + c e ln y = e ln +c y = e ln e c 3
c, c R. Všeobecné riešenie rovnice s pravou stranou učíme metódou variácie konštanty. Konštantu c začneme považovať za funkciu premennej, a tak hľadáme riešenie v tvare c(. Dosadením funkcie y a jej derivácie y = c ( + c(( do zadanej rovnice získame neznámu funkciu c( c ( c( + c( = ln + c ( c( + c( = ln + Všeobecné riešenie zadanej LDR má tvar c ( = ln + c ( = ( ln + c( = ( ln + d = u = ln +, v = u =, v = = ( ln + d = ( ln + = ( ln + + k. [( ln + + k ( ln + + k d ln + k, k R. Príklad 5 Riešme lineárnu diferenciálnu rovnicu y y = + +. + Riešenie: Ukážeme si ako môžeme vypočítať riešenie zadanej lineárnej diferenciálnej rovnice pomocou vzorca. Z teórie vieme, že všeobecné riešenie LDR s pravou stranou y + p( q( má tvar [ q(e p(d d + c e p(d. V našom prípade spojité funkcie p( a q( majú tvar p( =, q( = + +. + Pripravíme si integrál, ktorý sa nachádza vo vzorci p(d = d = ln + +, + integračnú konštantu môžeme zvoliť nulovú. Tým všeobecné riešenie zadanej LDR nadobúda tvar [ [ q(e p(d d + c e + + p(d = e ln(+ + d + c e ln(+ +. Vypočítame neurčitý integrál + + e ln(+ + + + d = + + d = d = arcsin + k. 4
Potom všeobecné riešenie zadanej LDR má tvar (arcsin + k ( + +, k R. Príklad 6 Určme partikulárne riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice y 3 e, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y( = 3. Riešenie: Najskôr vypočítame všeobecné riešenie zadanej lineárnej diferenciálnej rovnice. V prvom kroku určíme separáciou premenných eplicitný tvar všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany y 0 y = d ln y = ln + c c, c R. V druhom kroku určíme metódou variácie konštanty všeobecné riešenie rovnice s pravou stranou. Dosadením funkcie c( jej derivácie y = c ( + c( do zadanej rovnice získame neznámu funkciu c( c ( + c( c( = 3 e c ( = e c( = e d = = t d = dt d = dt = e t dt = et + k = e + k. ( e Získali sme všeobecné riešenie zadanej LDR v tvare + k, k R. Úlohou je nájsť partikulárne riešenie, ktoré spĺňa zadanú podmienku y( = 3. Hľadáme jedno riešenie, ktoré prechádza bodom [, 3. Získame ho tak, že do všeobecného riešenia dosadíme hodnoty =, 3, čím určíme hodnotu konštanty k ( e 3 = + k k = 3 e. Partikulárne riešenie zadanej Cauchyho úlohy má tvar (e + 3 e ( e + 6 e. Príklad 7 Určme partikulárne riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice ( + y +, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y(0 =. Riešenie: Najskôr vypočítame všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice upravenej pre na tvar y + y. V prvom kroku vypočítame separáciou premenných eplicitný tvar všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany + y + y + = 0 d = y + + = 5
y = + d ln y = ln + + c c( + c ( +, c R. Všeobecné riešenie rovnice s pravou stranou určíme metódou variácie konštanty v tvare jej derivácie y = c ((+ c((+ (+ 4 do zadanej rovnice získame neznámu funkciu c( c( (+ c (( + c(( + ( + 4 + + = + c (( + c(( + ( + 4 + c( ( + 3 = + c (( + c(( + + c(( + ( + 4 = + c ( ( + = + c( = ( + d = c( (+. Dosadením funkcie y a ( + d = 3 3 + + k. ( Vypočítali sme všeobecné riešenie v tvare 3 3 + + k (+, k R. Úlohou je nájsť partikulárne riešenie, ktoré spĺňa zadanú podmienku y(0 =. Získame ho dosadením hodnôt = 0, do vypočítaného všeobecného riešenia ( 0 = 3 + 0 + k k =. Partikulárne riešenie zadanej Cauchyho úlohy má tvar ( 3 3 + ( +. Ďalšie úlohy na precvičenie: Riešte lineárne diferenciálne rovnice:. y = 3y +. y 6( + 3. y 4 [ c3 [ (3 + 6 ln + c [ c + + 4 3 4. y ln [ ( ln + c 5. ( + y ( + [ (c + ( + 6. y y + = + + [ (arcsin + c( + + 7. y + y = 3 8. y + y = e [ c + 4 6 [ e e +c 6
9. y + ln + 0. y + y = ln +. y + 4y + = ( + 3. y e 3. y + 4 4 + e 4. y + y + = arctg + 5. y cos y sin = sin 5 [ c + ln [ c + ln [ arctg +c ( + [ c e + e [ 4 e + ce 4 [ c e arctg + arctg [ cos 5 5 +c cos Nájdite partikulárne riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice, ktorá spĺňa danú počiatočnú podmienku: 6. y, y( = [ + 7. y = y + + e ( +, y(0 = 3 [ (e + ( + 8. y + e 3, y(0 = 9. y +, y( = 0. y cos y sin =, y(0 = 0 [ e 5 (e5 + 4 [ [ cos 7