Vlny v nehomogénnom prostredí (Inaugura ná predná²ka) Peter Marko² FEI STU Bratislava FMFI UK Bratislava 6. máj 2013
Vlny v najrôznej²ích prostrediach: Homogénne prostredie Periodické ²truktúry Nehomogenity n = 2 n = 7 k k x 10 6 1.2 1 0.8 E 2 0.6 0.4 0.2 x 1 z 0 0 5 10 15 20 25 30 z x 0.8 y λ z l z x t y 0.6 T 0.4 r a 0.2 a 0 0 1 2 3 4 a / λ Metamateriály Neusporiadané prostredie X Z Y Transmission 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-2 -1 0 1 2 Fermi energy
Obsah predná²ky 1. Elektrónová lokalizácia priestorová lokalizácia kvantového elektrónu v neusporiadanej ²truktúre elektrónový transport v neusporiadaných materiáloch prechod kov - izolant 2. Elektromagnetické metamateriály prechod elektromagnetických v n cez metamateriály 3. Rezonancie v nehomogénnych ²truktúrach Spolo ný menovate : numerické simulácie pohybu elektrónu, resp. elektromagnetickej vlny v nehomogénnom prostredí.
1. Elektrónová lokalizácia
Lokalizácia kvantovej astice (elektrónu) Kvantová mechanika: vlastné stavy kvantovej astice sú alebo viazané, alebo vo né,... alebo lokalizované [P. W. Anderson 1958] Φ 1 (x) E 3 E = 0 E 2 V(x) E 1 E < 0 E > 0 Lokalizácia je dôsledkom neusporiadanosti ²truktúry vlnových vlastností (elektrónu)
Demon²trácia lokalizácie numerický experiment Schrödingerova rovnica Ψ( r, t) i = HΨ( r, t) t Hamiltonián H reprezentuje dvojrozmerný systém s náhodným potenciálom V ( r). V ase t = 0 pridáme elektrón do prostriedku neusporiadanej mrieºky Ψ( r, t = 0) = δ( r) Sledujeme asový vývoj vlnovej funkcie. Ak je neusporiadanos dostato ne ve ká, vlnová funkcia sa prestane rozpína elektrón zostane lokalizovaný v kone nej oblasti.
ƒasový vývoj vlnovej funkcie r 2 (t) = d 2 r Ψ ( r, t)r 2 Ψ( r, t) 4 W = 1 W = 2 10 5 <r 2 > max = L 2 /6 10 5 <r 2 (t)> 3 2 1 <r 2 (t)> 10 4 10 3 10 2 W = 6 W = 8 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 time t 10 1 0 200 400 600 800 time t/t 0 Difúzia: r 2 (t) = 2Dt Lokalizácia: r 2 (t) = const Ψ( r) e r r0 /ξ
Prechod elektrónu cez neusporiadanú ²truktúru Rozptylový experiment: astica prechádza vzorkou ve kosti L d 1 L z A C k n input lead sample output lead k zm k m B ( C B ) = S ( A D D ) ( t, S = r k zn W=0 W=0 r t ), ( C D L z ) = T ( A B Vo v²eobecnosti máme N kanálov, ktorými môºe elektrón prechádza. Amplitúdy prechodu t αβ tvoria maticu N N Parameter, ktorý nás zaujíma: konduktancia g ) g = e2 h T, T = Tr t t Vypo ítané vlastnosti g sú experimentálne merate né pri nízkych teplotách mezoskopický transport.
Prechod elektrónu cez N náhodne rozmiestnených bariér Amplitúdy prechodu a odrazu: t = T e iφ t r = Re iφ r 1 0.8 0.6 T N 0.4 0.2 0 0 100 200 300 400 500 Pocet barier N Prakticky nepredvídate né uktuácie pravdepodobnosti prechodu T N.
Exponenciálny pokles koecientu prechodu Koecient prechodu astice cez vzorku d ºky L: ln T L 2L/ξ < ln T > 0-10 -20 W = 0.5 W = 1.0 var ln T L = T L T L pre 1000 rôznych vzoriek: W = 2 W = 1.5-30 0 100 200 300 400 500 L 0.1 0.08 T 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 200 400 600 800 1000 p( ln T) 0.06 0.04 0.02 0-30 -25-20 -15-10 -5 0 ln T V dostato ne dlhých jednorozmerných neusporiadaných ²truktúrach vºdy nastáva exponenciálna lokalizácia elektrónu. Pravdepodobnostné rozdelenie p(ln T ) je (takmer) gaussovské.
Prechod kov - izolant: kvantový fázový prechod Limita nekone ne ve kej vzorky (L ) W... miera neusporiadanosti. Existuje kritický bod W c W < W c vodivý reºim g = σl d 2 W > W c lokalizácia ln g = 2L/ξ W = W c kritický bod g = kon²t. Korela ná d ºka ξ(w ) ξ(w ) W W c ν kálovacia teória lokalizácie hypotéza univerzality: V limite L je pomer L/ξ jediný relevantný parameter teórie. Vodivý reºim pre d > 2 (d 2 pre niektoré symetrie modelu)
Numerická analýza lokalizácie Pre o numerická: v okolí kritického bodu nie je neusporiadanos nikdy malá nedajú sa pouºi poruchové metódy potreba ustredni cez náhodnos potenciálu ale nie kaºdú veli inu môºeme ustredni. Napr. vo v²eobecnosti 1 X 1 X po ustrednení oby ajne dostaneme model, ktorý v sebe uº lokalizáciu nemá extrémna citlivos veli ín na malé zmeny náhodného potenciálu ako ju zoh adni v teórii?
Numerická analýza lokalizácie II Numerické metódy umoº ujú vypo íta T pre obrovské ²tatistické súbory N stat 10 7 neusporiadaných vzoriek. po íta stredné hodnoty ktorejko vek veli iny z prvých princípov Nevýhoda numerických metód: vzorka má vºdy kone nú ve kos L. Východisko výpo ty pre rôzne ve kosti vzorky metóda kone norozmerného ²kálovania (nite size scaling)
kálovanie strednej konduktancie v kritickom reºime. Numerický dôkaz ²kálovania pre 3D Andersonov model ln g(l) : klesá s L, ak W > W c (izolant) rastie s L, ak W < W c (kov) je kon²tantná, ak W = W c Jednoparametrické ²kálovanie: ln g(l, W ) = F (L/ξ) Kritický exponent: ν 1.57 [K. Slevin, PM, T. Ohtsuki: Phys. Rev. Lett. (2001)]
Kritický bod: pravdepodobnostné rozdelenie konduktancie Pravdepodobnostné rozdelenie P c (g): nezávisí od L 10 0 P(g) 10 2 10 4 6 4 2 0 0 g 0.05 1 2 0.8 1 1.2 g 0 1 2 g 0 d P(g)/d g nezávisí od modelu Závisí ale od dimenzie modelu okrajových podmienok aj v limite L fyzikálnej symetrie topológie mrieºky Tvar kritickej distribúcie: P c (g) je neanalytická v bode g = 1 lim g 0 P c (g) = 0 [PM, B. Kramer: Philos. Mag. 1993; PM: Phys. Rev. Lett. 1999]
kálovanie distribúcie konduktancie v kritickom reºime. Percentil g q : denícia q = gq 0 P L (g) dg. kálovanie percentilov g q pre rôzne hodnoty q g q (W, L) = g (c) q + W W c L 1/ν +... P(g) 10 0 10-1 10-2 g 0.75 g 0.80 1.56 < ν < 1.60 10-3 0 0.5 1 1.5 2 g kálovanie percentilov dokazuje ²kálovanie celej distribúcie P(g). [K. Slevin, PM, T. Ohtsuki: Phys. Rev. B (2003)]
Prechod kov - izolant pre dimenziu d = 2 + ɛ Bifraktálne mrieºky P(g) 0.5 0.4 0.3 A 2.365 B 2.365 C 2.226 0.2 0.1 0 0 4 g 8 12 d s = 1.365+1 d s = 1.226+1 Numerické výpo ty nepotvrdili predpovede analytickej teórie: 3 2.5 ν 2 dimenzia d = 2 + ε 3 2.5 2.25 2.20 numericke data ν = 1 ɛ 2.7ɛ2 1.5 analyticka teoria 1 0 1 2 3 4 5 ε 1 [I. Trav nec, PM: Phys. Rev. B (2002]
Silne lokalizovaný reºim Pre jednorozmerné problémy sme na²li gaussovské rozdelenie p(ln g). To ale neplatí, ak vzorka má vy²²iu dimenziu: 0.15 P(ln g) 0.1 0.05 0-30 -20-10 0 ln g Pravdepodobnos p(ln g) v 3D nie je gaussovská. Numerické výsledky motivovali rozvoj analytickej teórie transportu v silne lokalizovanom re- ºime. [PM: Phys. Rev. B (2002)] [K. Muttalib, PM, P. Wöle: Phys. Rev. B (2005)]
Vlnový charakter ²írenia elektrónu Numerický výpo et koecientu prechodu cez mrieºku 100 100. Náhodný potenciál je modelovaný N = 10 000 náhodnými íslami. Zme me jedinú náhodnú energiu ε(x, y) ε(x, y) Ako sa zmení koecient prechodu? Zmení sa o 1%, 10% alebo 100%? Neusporiadanos je slabá. Elektrón prechádza celou vzorkou.. Neusporiadanos silnie, priestorové rozloºenie elektrónu sa stáva nehomogénnym
Ako sa zmení koecient prechodu? Zmení sa o 1%, 10% alebo 100%? Pre silnej²iu neusporiadanos : Elektrón si v silne neusporiadanej vzorke nachádza dráhu, jej poloha ale neodpovedá ºiadnemu údoliu v náhodnom potenciáli.
Koecient prechodu vs. vlastné stavy Pä vlastných stavov elektrónu v neusporiadanej 1D mrieºke a zodpovedajúci koecient prechodu T cez vzorku. E = 0.448 T = 0.11 E = 0.486 T = 0.84 E = 0.500 T = 0.67 T 10 0 10-2 10-4 10-6 -2-1 0 1 2 Fermiho energia E = 0.543 T = 0.001 E = 0.587 T = 0.005 input T = t 2 0 50 100 150 200 N R = r 2 Hodnota T súvisí s priestorovým rozdelením vlastných stavov elektrónu vo vnútri vzorky.
Inverse participation ratio (IPR) Denujme IPR I q (E n ) = r Φ n (r) 2q pomocou vlastných funkcií Φ n ( r) { L d(q 1) I q (E n ) V kritickom bode kov 1 izolant I q (E n ) L d q(q 1) d q sú fraktálne dimenzie IPR pre 3D Andersonov model Výpo et IPR umoº uje dokáza multifraktálne rozdelenie elektrónov vo vnútri neusporiadanej vzorky.
Kritický exponent a fraktálne dimenzie 1.6 1,4 1.5 GW c GE c BW c 1,2 ν 1.4 1.3 ν 1.1 0.9 0 0.05 0.1 1/L min 1 2 3 4 5 6 q 1 d q 1 GW c GE c BW c 0,8 0 1 2 3 4 5 6 q Analýza IPR potvrdila univerzalitu kritického exponentu ν 1.55 fraktálnych dimenzií d q [J. Brndiar, PhD (2008)]
Vlnová funkcia má (multi)fraktálnu ²truktúru Kritický reºim kvantovaného Hallovho javu Reservoir 1 R xy Reservoir 2 y x R xy R xx E Súvis medzi el. vodivos ou a fraktálnou dimenziou d 1 (Fal`ko-Efetov): σ xx = fraktálna dimenzia d 1 1.739 ± 0.002. 1 e 2 e2 = 0.61 2π(2 d 1 ) h h
Kritická vodivos a konduktancia: Kritický reºim kvantovaného Hallovho javu Kritická konduktancia: g c g c (L) = g c ( ) g 0 (L 0 /L) y, L > L 0 g c ( ) = (0.60 ± 0.02) e 2 /h 1 gc(l)/gc( ) 1 0.1 0.01 10 5 0.6 gc(l)/(e 2 /h) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 a/l 10 4 10 3 10 2 10 1 ζ(w)/l Kritická vodivos σ c xx(m) = σ c xx( ) σ 0 (M 0 /M) y, σ c xx(m)/(e 2 /h) 0.55 0.5 σ c xx( ) = (0.58 ± 0.02) e 2 /h, 0.45 0 0.05 0.1 0.15 0.2 (a/m) y1 0.25 0.3 Exponent y = 0.4 ± 0.02 reprezentuje efekty kone nej ve kosti vzorky. [L. Schweitzer, PM: Phys. Rev. Lett. (2005)]
2. Metamateriály
Metamateriály pripravené v laboratóriu ²truktúra je prispôsobená poºadovaným elektromagnetickým vlastnostiam nové fyzikálne vlastnosti: záporný index lomu priestorovo premenný index lomu magnetická odozva pri optických frekvenciách Ná² príspevok k vývoju metamateriálov: numerické simulácie prechodu EM v n cez metamateriály umoºnili overenie vlastností metamateriálov výpo et ich efektívnych parametrov (záporný index lomu). návrh nových ²truktúr
Metamateriály vs kompozity Kompozity Efektívna permitivita je priemerom permitivít zloºiek. ɛ e = l aɛ a + l b ɛ b l a + l b ɛ e = l a + l b l a ɛ b + l b ɛ a a b a b Metamateriály ɛ e a µ e sú dané rezonan nou odozvou metamateriálu. Efektívne parametre môºu by úplne iné ako parametre zloºiek. Analógia s chémiou: Na + Cl NaCl 2H 2 + O 2 2H 2 O x E x E x E x E x D z D z D z D z Prvky majú úplne iné vlastnosti ako zlú enina. z la l b
Záporná permitivita: Mrieºka tenkých kovových drôtov 5 0.5 0 0 ε eff ε eff 5 0.5 10 1 Efektívna permitivita: 15 4 6 8 10 12 14 Frekvencia [GHz] 1.5 ɛ = 1 ω 2 p ω(ω + iγ) ω p... plazmová frekvencia, daná ²truktúrou [PM, C. Soukoulis: Opt. Lett. (2003)]
Materiál so zápornou permeabilitou H 0 cos ωt 10 5 Imag µ Real µ = 0 0 Efektívna permeabilita: F ω 2 Real µ µ(ω) = 1 + ω0 2 ω2 iωγ -10 0.5 1 1.5 2 ω/ω 0 Rezonan ná frekvencia ω 0 je opä daná parametrami ²truktúry. -5
Left-handed materiál Tenké kovové drôty + preru²ené prstence = left-handed materiál Koecient prechodu cez jednotlivé ²truktúry: Y 10 0 X Z Transmisia 10 2 10 4 10 6 10 8 10 10 Len droty prstence LHM 10 12 10 14 10 16 10 18 6 7 8 9 Frekvencia [GHz] [PM, C. Soukoulis, Phys. Rev. B (2002)]
Efektívna permitivita a permeabilita t ε 2 µ2 l r Metamateriál povaºujme za homogénne médium. λ rozmer el. bunky Amplitúdy prechodu a odrazu pre prechod EM vlny cez homogénnu planárnu vrstvu: 1 t = cos nkl i [ ] z + z 1 sin nkl, 2 r t = i [ z z 1 ] ] sin nkl 2 (1) Efektívny index lomu n = ɛ e µ e Efektívna impedancia z = µ e /ɛ e Predpoklad homogenity λ nehomogenita ²truktúry Nejednozna nos rovníc (1) - viac rie²ení n, z pre dané t a r. [D. Smith, S. Schultz, PM, C. Soukoulis, Phys. Rev. B (2002)]
Efektívna permitivita a permeabilita Numericky nájdený efektívny index lomu: Index lomu je komplexný Reálna as je záporná Imag. as je malá malé absorp né straty Left-handed materiál naozaj má záporný index lomu.
Rezonancia spriahnutých oscilátorov E E Dopadajúca EM vlna vyvolá oscilácie elektrónov Efekty blízkeho po a: vzájomná väzba oscilácií Symetrický mód - záporná permitivita Antisymetrický mód záporná permeabilita Elektromagnetická odozva metametriálov je daná rezonanciami vo vnútri ich ²truktúry.
Metamateriály: 1. Motivujú k ²túdiu interakcií elektromagnetických v n s fotonickými ²truktúrami: povrchové plazmóny na rozhraní kov - dielektrikum lokalizované plazmóny v kovových asticiach rôznych tvarov vlastné stavy vo fotonických vrstvách 2. In²pirujú k ²túdiu netradi ných fotonických ²truktúr: vlnovody z metamateriálov rozhranie metamateriál - dielektrikum fotonické kry²tály s metamateriálmi
3. Rezonancie v nehomogénnych ²truktúrach
Povrchové elektromagnetické vlny 1 R, T, S 0.8 0.6 0.4 R T S 0.2 0 2 4 6 8 10 ε b /ε a [T. Váry, dipl. práca 2010] [M. Rudolf: VOƒ 2010]
Excitácia lokalizovaných plazmónov v kovových nano asticiach [T. Váry, PhD 2012]
Prechod EM vlny cez fotonické ²truktúry FDTD simulácia ²írenia EM v n v reálnom ase [M. Rudolf, dipl. práca 2012]
Prechod EM vlny cez fotonickú vrstvu Koecient odrazu EM vlny ako funkcia λ a uhla dopadu E z 800 0.9 ψ y 750 0.8 k φ 700 0.7 θ x Vlnová då ka [nm] 650 600 550 0.6 0.5 0.4 0.3 500 0.2 450 0.1 400 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Uhol dopadu [stupen] Dopadajúca EM vlna excituje vlastné stavy fotonickej vrstvy: Porovnanie vlastného numerického programu s komer ným softvérom. [G. Kajtár, PhD 2011]
Literatúra P. Marko²: Numerical analysis of Anderson localization. acta physica slovaca 56, 561-685 (2006) P. Marko² and Costas M. Soukoulis: Wave Propagation: From Electrons to Photonic Crystals and Left-Handed Materials. Princeton University Press, Princeton and Oxford (2008) P. Marko²: Moderná fyzika. Skriptá, STU Bratislava (2012) P. Marko²: Fotonické kry²tály a metamateriály. Ko²ice (2013)
Po akovanie Kolegom: L. Schweitzer (PTB Braunschweig), C. Soukoulis, T. Koschny (Ames Lab. Iowa), K. Muttalib (UF Gainesville), K. Slevin (Osaka), T. Ohtsuki (Tokyo), P. Wöle (Karlsruhe), I. Trav nec (FÚ SAV), P. Die²ka (FEI),... PhD ²tudentom: J. Brndiar (FÚ), T. Váry, G. Kajtár (FEI STU), Dipl., bak. ²tudentom: M. Rudolf, I. Lapin, J. Bogár, M. Okál, T. Skor²epová, H. Jan inová, K. Sebestyén