Vedecká rada Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave RNDr. Michal Se anský Autoreferát dizerta nej práce Statické

Vedecká rada Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave RNDr. Michal Se anský Autoreferát dizerta nej práce Statické a dynamické vlastnosti rôznych mezónov a deuterónu na získanie vedeckoakademickej hodnosti philosophiae doctor v odbore doktorandského ²túdia 11-4-9 jadrová a subjadrová fyzika Bratislava 009

Dizerta ná práca bola vypracovaná v dennej forme doktorandského ²túdia na Oddelení teoretickej fyziky Fyzikálneho ústavu Slovenskej akadémie vied, Bratislava. Predkladate : kolite : Oponenti: RNDr. Michal Se anský Fyzikálny Ústav SAV Dúbravská cesta 9 845 11 Bratislava RNDr. Stanislav Dubni ka, DrSc. Fyzikálny Ústav SAV Dúbravská cesta 9 845 11 Bratislava Doc. RNDr. Michal Hnati, DrSc. Ústav experimentálnej fyziky SAV Watsonova 47 04 53 Ko²ice Doc. RNDr. Fedor imkovic, CSc. Katedra jadrovej fyziky a biofyziky FMFI UK Mlynská dolina F 84 48 Bratislava RNDr. Ján Nem ík, CSc. Ústav experimentálnej fyziky SAV Watsonova 47 04 53 Ko²ice Autoreferát bol rozoslaný d a 9. 11.009 Obhajoba dizerta nej práce sa uskuto ní d a 16. 1.009 o 13:00 hod. na Fyzikálnom Ústave SAV, Dúbravská cesta 9, 845 11 Bratislava, v miestnosti.95., pred komisiou pre obhajobu dizerta nej práce doktorandského ²túdia vymenovanou d a 6.11.009 predsedom spolo nej odborovej komisie vo vednom odbore 1149 Jadrová a subjadrová fyzika Predseda spolo nej odborovej komisie: prof. RNDr. Jozef Masarik, DrSc. Katedra jadrovej fyziky a biofyziky FMFI UK Mlynská dolina F 84 48 Bratislava

Obsah Úvod 1 Ciele dizerta nej práce 3 Teória a metódy 3.1 Elmag. ²truktúra hadrónov - Formfaktory............... 3. Nambu-Jona-Lasiniov Model....................... 4 3 Dosiahnuté výsledky dizerta nej práce 4 3.1 Analýza polarizovate ností π 0 mezónu.................. 4 3. Deuterón-protónové suma né pravidlo.................. 8 3.3 Rozpad ϕ f 0 (980)γ a proces e + e ϕf 0 (980)............ 9 3.4 QED radia né korekcie k rozpadu π 0 e + e.............. 1 4 Literatúra 14 5 Zoznam publikácií a citácií 15 5.1 Práce, ktoré tvoria sú as dizerta nej práce............... 15 5. Ostatné práce............................... 15 5.3 Príspevky na konferenciách........................ 16 Summary 17 1

Úvod V sú asnosti vieme, ºe v²etky jadrá sú zloºené z hadrónov a tie sú zloºené z kvarkov a gluónov. Teda hadróny nie sú bodové, ale majú nejakú vnútornú ²truktúru. Tú prvýkrát pozoroval Hofstadter [1] v pä desiatych rokoch minulého storo ia v pruºných zráºkach s elektrónmi, preto hovoríme o elektromagnetickej (EM) ²truktúre. Táto korekcia nebodovosti hadrónov sa dá parametrizova pomocou skalárnych funkcií F i (t) nazývaných elektromagnetické formfaktory. V závislosti od toho aký spin má astica, máme jeden pre skalárnu, dva pre asticu so spinon 1/ a tri pre vektorovú asticu. Formfaktory, diferenciálne ú inné prierezy a totálne ú inné prierezy sa nazývajú dynamickými charakteristikami hadrónov. O vnútornej ²truktúre hadrónu nám hovorí aj elektrická α h a magnetická β h polarizovate nos hadrónu. V klasickej fyzike je to reakcia na vonkja²ie elektrické a magnetické pole. Na kvantovej úrovni ide o dvojfotónovú výmenu. EM polarizovate nosti, hmotnos, ²írka rozpadu, elektrický náboj, magnetický moment sú statické charakteristiky hadrónov. Predkladaná dizerta ná práca sa venuje vy²²ie spomenutým dynamickým a statickým charakteristikám rôznych mezónov a deuterónu. Prvá as je venovaná práve spomenutým EM polarizovate nostiam piónu, ich sú asným teoretickým a experimentálnym predpovediam. Druhá je venovaná ur eniu sú tu a rozdielu EM polarizovate ností neutrálneho piónu pomocou jednozna ného ur enia parametrov σ mezónu v rámci piónového skalárneho formfaktora a výpo tom rozpadu σ mezónu na dva fotóny. Tretia sa zaoberá odvodením nového deuterón-protónového suma ného pravidla a ur eniu stredného kvadratického polomeru deuterónu. Vo ²tvrtej sa po íta ²írka rozpadu ϕ f 0 (980)γ a totálny ú inný prierez e + e γ ϕf 0 (980) pomocou Nambu-Jona-Lasinio modelu. Piata sa venuje radia ným korekciám k procesu π 0 e + e. Výsledky predkladanej dizerta nej práce sú opublikované v piatich renomovaných medzinárodných vedeckých asopisoch. Tieto boli prezentované aj na medzinárodných konferenciách Hadron Structure'04 v Smoleniciach a Hadron Structure'07 v Modre.

1 Ciele dizerta nej práce Pri stanovení cie ov dizerta nej práce sme vychádzali zo sú asného stavu skúmanej problematiky. Napriek dlhoro nému záujmu expertov k otázke vyhodnotenia EM polarizovate ností neutrálneho piónu, problém nie je uzatvorený a nové spres ujúce experimenty si ºiadajú stále nové a presnej²ie teoretické vyhodnotenia. Taktieº ur enia rádiusu deuterónu ako aj ur enia totálneho ú inného prierezu e + e γ ϕf 0 (980) a procesu π 0 e + e, ktoré sa stali cie mi predkladanej dizerta nej práce. Ciele dizerta nej práce je moºné zhrnú do nasledujúcich bodov: Vyrie²i problém EM polarizovate ností neutrálneho piónu Ur i rádius deuterónu pomocou suma ných pravidiel Predpoveda správanie totálneho ú inného prierezu e + e γ ϕf 0 (980) pre experimentálne merania Rozrie²i problém nezrovnalosti teoretických výpo tov procesu rozpadu π 0 e + e s experimentálnymi výsledkami Teória a metódy.1 Elmag. ²truktúra hadrónov - Formfaktory Elastický rozptyl elektrónu na hadróne e h e h a anihilácia e + e h h sú najbeºnej²ie procesy, kde je moºné pozorova elmag. ²truktúru hadrónov. Maticové elementy elektromagnetického prúdu hadrónov je moºné vyjadri pomocou elektromagnetických formfaktorov nasledovne < h J EM µ h >= i R i µf i (t), (1) < h h J EM µ 0 >= i X i µf i (t), () kde Rµ, i Xµ i je maximálny po et lineárne nezávislých relativistických kovektorov, skon²truovaných zo ²tvorhybností a spinových parametrov hadrónu h. Skalárne funkcie F i (t) sú elektromagnetické formfaktory uvaºovaného hadrónu. Ich po et závisí od spinu hadrónu. Formfaktory a tieº ú inné prierezy sa nazývajú dynamické charakteristiky hadrónu. V okolí t = 0 sa denuje stredný kvadratický polomer hadrónu < r df (t) >= 6 t=0, (3) dt Ten spolu s EM polarizovate nostiami, hmotnos ou, ²írkou rozpadu, elektrickým nábojom a magnetickým momentom patrí medzi statické charakteristiky hadrónov. Elektrická α h a magnetická β h polarizovate nos hadrónu v klasickej fyzike sú dôsledkom reakcie systému na vonkja²ie elektrické E a magnetické H pole. Pri om sa 3

nabité astice deformujú a vytvoria dipól d, ktorý je priamoúmerný vonkaj²iemu po u d = 4πα h E, (4) a kon²tanta úmernosti α h sa nazýva elektrická polarizovate nos hadrónu. Analogicky sa denuje magnetická polarizovate nos β h hadrónu m = 4πβ h H. (5) Na kvantovej úrovni ich moºno pozorova pri Comptonovom rozptyle.. Nambu-Jona-Lasiniov Model Tento model sa zaoberá interakciou kvarkov a hadrónov pri nízkych energiách. Kon²trukcia tohto modelu bola in²pirovaná BCS teóriou supravodivosti. Vychádza zo ²tvor-fermiónového interak ného modelu s chirálnou symetriou L(q, q) = i q /q + G 1 [( qλα q) + ( qiγ 5 λ α q) ] G [( qγ µλ α q) + ( qγ 5 γ µ λ α q) ], (6) v ktorej sú fermióny nehmotné a hmotnos získavajú po naru²ení chirálnej symetrie. Denujme generujúci funkcionál s lagranºiánom (6) a vonkaj²ími zdrojmi J, J Z(J, J) = 1 DqD qexp{i d 4 x[l(q, q) + N Jq + qj]}. (7) Pouºitím Gaussovho integrálu π α + e αx dx = 1, (8) kde namiesto x sú nahradené polia σ, π a ϕ, môºeme odvodi Nambu-Jona-Lasiniov interak ný lagranºián medzi kvarkami a napríklad mezónmi π, σ, ϕ { L int = q g σ σ + iγ 5 g π + g } ϕ γ νλ s ϕ ν q. (9) 3 Dosiahnuté výsledky dizerta nej práce 3.1 Analýza polarizovate ností π 0 mezónu V práci [] autori skúmali Comptonov rozptyl na nabitých piónoch a proces γγ π 0 π 0 pomocou disperzných vz ahov pri xovanom t a získali tri rôzne hodnoty parametrov σ mezónu a ²írok rozpadu na dva fotóny, ktoré v analýze dávajú tri rôzne kombinácie (α + β) π 0, (α β) π 0 ako sú uvedené v (Tab. 1). My sme sa pokúsili [3] túto nejednozna nos eliminova jednozna ným ur ením m σ, Γ σ pomocou skalárneho piónového formfaktora a vypo ítaním Γ σ γγ v rámci Nambu-Jona-Lasinio modelu. Skalárny formfaktor piónu Γ π (t) je denovaný vz ahom < π i (p ) ˆm(ūu + dd) π j (p 1 ) >= δ ij Γ π (t). (10) 4

Tab. 1: Vo né parametre σ mezónu m σ (MeV ) Γ σ (MeV ) Γ σ γγ (kev ) (α + β) π 0 (α β) π 0 a) 547 ± 45 104 ± 36 0.6± 0.19 0.98 ± 0.03-1.6 ±. b) 471 ± 3 706 ± 164 0.33 ± 0.07 1.15 ± 0.30-1.9 ± 0. c) 584 ± 3 1378 ± 77 0.83 ± 0.16 1.00 ± 0.05-0.6 ± 1.8 Formfaktor Γ π (t) je analytickou funckciou v celej komplexnej rovine t, okrem rezu na kladnej reálnej osi od t = 4m π. Pre reálne hodnoty t < 4m π, je Γ π (t) reálnou funkciou. Toto implikuje podmienku reálnosti Γ π(t) = Γ π (t ), (11) ktorá nám hovorí, ºe hodnoty formfaktora Γ π (t) nad a pod rezom sú vzájomne komplexne zdruºené. Pre hodnotu t = 0, je Γ π (t) totoºné s pión-nukleónovým sigma- lenom, ale v al²om my Γ π (t) normujeme vhodne na jednotku Γ π (0) = 1. (1) Na hornom brehu rezu v pruºnej oblasti, ktorá fenomenologickou analýzou v ππ rozptyle bola potvrdená v intervale 4m π t 1GeV, platí pruºná podmienka unitarity ImΓ π (t) = e iδ0 0 sin δ 0 0 Γ π(t), (13) odtia vyplýva, ºe S-vlnová izoskalárna fáza rozptylu δ 0 0 je identická s fázou skalárneho piónového formfaktora δ π. Práve táto vlastnos bola vyuºitá spolu s experimentálnymi údajmi o δ 0 0 na predpove správania sa Γ π (t) a následne na identikáciu σ-mezónových pólov na II. liste Riemannovej plochy v t-premennej. Asymptotické správanie piónového skalárneho formfaktora je Γ π (t) t 1 t. (14) Pomocou analytického pred ºenia podmienky unitarity sa dá ukáza, ºe najniº²í bod vetvenia na reze je odmocninového typu a pouºijúc konformné zobrazenie q = [(t 4m π)/4] 1/ (15) sa dvojitá Riemannova plocha formfaktora Γ π (t) zobrazí do jednej roviny q a pruºný rez zmizne. Zanedbajúc v²etky vy²²ie body vetvenia, Γ π (q) má len póly a nulové body v q-rovine a v²eobecne môºe by skalárny formfaktor piónu reprezentovaný v tvare aproximácie Padèho typu M n=0 Γ π (t) = a nq n N i=1 (q q i). (16) Kaºdé Γ π (t) je reálna analytická funkcia, koecienty a n s n párnymi (nepárnymi) sú reálne ( isto imaginárne) a póly q i môºu by na imaginárnej osi alebo vºdy ako dva symetrické body s oh adom na imaginárnu os. 5

Tab. : Koecienty polynómu A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 χ χ /ndf 1. 0.31737-0.1179 0.15783 - - - 101 1.6. 0.31737 0.3833 0.1093-0.0560 - - 97 1.56 3. 0.4875 0.1608 0.0096-0.07166-0.015037-86 1.409 4. 0.618 0.05883 0.14748-0.03017-0.014064 0.00117 85.8 1.46 Ak vynásobíme inite a aj menovate a vo výraze (16) komplexne zdruºeným menovate om, nový menovate je isto reálny a fáza skalárneho piónového formfaktora Γ π (t) je daná pomerom imaginárnej asti k reálnej nového itate a tan δ π (t) = Im[ N i=1 (q q i) M n=0 a nq n ] Re[ N i=1 (q q i) M n=0 a nq n ]. (17) Teraz vyuºijúc identitu δ π (t) δ 0 0(t) a prahové správanie δ 0 0 nachádzame tan δ 0 0(t) = A 1q + A 3 q 3 + A 5 q 5 + A 7 q 7 +... 1 + A q + A 4 q 4 + A 6 q 6 +... (18) alebo δ 0 0(t) = 1 i ln (1 + A q + A 4 q 4 +...) + i(a 1 q + A 3 q 3 + A 5 q 5 +...) (1 + A q + A 4 q 4 +...) i(a 1 q + A 3 q 3 + A 5 q 5 +...), (19) kde A 1, A, A 3,... sú nové a v²etky reálne koecienty. Ak prevedieme postupne t existujúcich exp. údajov takou parametrizáciou, prichádzame k záveru, ºe sta í 5 najniº²ích koecientov (Tab. ) a vtedy lim q δ0 0(t) = π (0) a disperzný vz ah pre Γ π (t) musí obsahova jednu subtrakciu Γ π (t) = 1 + t π 4m π ImΓ π (t ) t (t t) dt, (1) z ktorého po dosadení pruºnej podmienky unitarity plynie nasledujúca fázová reprezentácia formfaktora [ t ] δ Γ π (t) = P n (t)exp 0(t 0 ) π 4m t (t t) dt. () π Dosadením výrazu δ 0 0 s nájdenými 5-timi koecientami a vyuºijúc vlastnos párnosti funkcie pod integrálom môºeme odpovedajúci integrál zapísa v tvare q + m π πi q ln (q q 1 )(q q )(q q 3 )(q q 4 )(q q 5 ) (q q1 )(q q )(q q3 )(q q4 )(q q5 ) dq, (3) (q + m π)(q q ) 6

Tab. 3: Korene itate a a menovate a q 1-3.64061 + 0.99837i q -1.36100 + 0.85791i q 3-1.84145i q 4 1.36100 + 0.85791i q 5 3.64061 + 0.99837i q1-3.64061-0.99837i q -1.36100-0.85791i q3 1.84145i q4 1.36100-0.85791i q5 3.64061-0.99837i ktorý cez metódu výpo tu pomocou teórie reziduí vedie k (q q 1 ) Γ π (t) = P n (t) (q q)(q q3)(q q4)(q q5) (i q)(i q3)(i q4)(i q5), (4) (i q 1 ) pri om korene q i a q i, i = 1,...5 sú dané v Tab.3. Vy²etrujúc póly Γ π (t) prichádzame k záveru, ºe práve q a q 4 odpovedajú σ-mezónu. Transformujúc ich do t-roviny, kde t σ = (m σ i Γ σ ), sme na²li parametre σ-mezónu m σ = 456MeV, Γ σ = 387MeV, (5) jednozna ne ur ujúce v Tab.1 b) rie²enie pre polarizovate nosti π 0 -mezónu ako najsprávnej²ie. q M q q Obr. 1: Rozpad M γγ; M = π 0, σ Iným kritériom rie²enia problému s troma rôznymi súbormi (α+β) π 0 a (α β) π 0 v [] je výpo et ²írky rozpadu σ-mezónu na γ cez kvarkovú slu ku (Obr. 1) v rámci Nambu-Jona-Lasinio modelu. Maticový element uvaºovaného rozpadu po výpo te stopy je im(σ γγ) = ε µ(k 1 )ε ν(k )(g µν k 1 k k µ 1 k ν ) αg σ πm q K(m σ /m q ) (6) a teda ²írka rozpadu má tvar kde Γ(σ γγ) = α m 3 σgσ K (m 64π 3 m σ /m q ) (7) q K(m σ /m q ) = 1 0 dx 1 x 0 1 4xy dy 1 (m σ /m q ) xy. (8) Po výpo te integrálu K(m σ /m q ) pre tri rôzne hmotnosti σ-mezónu, opä prichádzame k záveru (pozri Tab 4), ºe rie²enie b) v (Tab. 1) pre polarizovate nosti π 0 mezónou je najoptimálnej²ie. 7

Tab. 4: Teoretické výsledky pre ²írku rozpadu σ γγ m σ (MeV ) Γ σ γγ (kev ) 547 0.46675 471 0.47 584 0.7376 3. Deuterón-protónové suma né pravidlo Analogicky s prípadom protón-neutrónového suma ného pravidla [4] aj deuterónprotonové suma né pravidlo [5] sa odvádza najskôr vy²etrením analytických vlastností retardovanej Comptonovej amplitúdy Ãh (s 1, q) v jej energetickej s 1 -rovine, potom denujúc integrál J po ²peciálnej dráhe C prechádzajúcej z dolnej polroviny cez po iatok súradnicového systému do hornej roviny pozd º rezov p µ J = ds 1p ν 1 1 [Ãh µν(s 1, q) Ãh µν(s 1, q)] (9) C s z kalibra ne invariatnej projekcie na svetelnom kónuse p µ 1p ν 1Ãh µν(s 1, q) z amplitúdy ½¹ÔÐ Ò Obr. : à h (s 1, q) a uzavrúc dráhu C raz v hornej polrovine a potom v dolnej polrovine s 1 dostáva sa nasledujúce suma né pravidlo π(res h Res h ) = q ds 1 r.h s [ImÃh (s 1, q) ImÃh (s 1, q)] (30) 1 a príspevky od avých rezov sa predpokladajú, ºe sa vzájomne anulujú. Len ke ºe deuterón nemá ºiadneho blízkeho partnera s hmnostnos ou, uvaºujeme dvojnásobok protónovej amplitúdy. Potom predchádzajúce suma né pravidlo, konkrétne pre deuterón-x protón, má tvar π(res d Res p ) = q ds 1 r.h s [ImÃp (s 1, q) ImÃd (s 1, q)], (31) 1 a výpo tom reziduí dostávame dynamické deuterón-protónové suma né pravidlo 1 1 { } [G 3 1( q ) + [G 1 ( q ) + η d (1 + η d )G 3 ( q )] + η d G ( q )] [F 1P ( q ) F 1P (0)] + η d F P ( q ) = πα ( q ) ( dσed ex (s, q) dσep ex (s, q) ), η d q d q i = q, i = d, p, (3) 4m i 8

ktoré ke zderivujeme pre q 0 a prechodom do laboratórnej sústavy s 1 = m h ω, dostávame statické deuterón-protónové suma né pravidlo 1 3 < r d > G 3(0) 1 G 3m d 6m (0) [ 1 d 3 < r 1p > 1 π α ω thr dω ω [σγd X tot 4m p κ p] = (ω) σ γp X tot (ω)], (33) kde ω thr pre deuterón a protón je rôzna (ω thr ) d =.MeV a (ω thr ) p = m π + m π m p 140MeV. Pouºitím dát pre γp a γd [6] a parametrizácie z [7] prichádzame k pravej strane (33) v tvare π α { 0.60 0.00 dω ω σγd X tot (ω) + 16 0.60 [ dω ω σ γd X tot ]} (ω) σ γp X tot (ω) = 0.8583fm = 8.5834mb (34) a s pomocou ostatných veli ín G (0) = m d m p µ d ; µ d = 0.857 a G 3 (0) = 1 + G (0) m d Q d; Q d = 0.859fm, môºeme ur i stredný-nábojový polomer deuterónu < r d > 1.94fm, ktorý je v dobrom súlade s predpove ou disperzných vz ahov [8], < r d > fm. 3.3 Rozpad ϕ f 0 (980)γ a proces e + e ϕf 0 (980) Vychádzajúc z Nambu-Jona-Lasinio modelu interakcia medzi kvarkami a K, ϕ mezónmi { ( L int = q g σu λ u σ u + g σs λ s σ s + iγ 5 g K λk +K + + λ K K ) + g } ϕ γ νλ s ϕ ν q (35) pri výpo te rozpadu ϕ f 0 (980)γ dávajú vklad aj kvarky aj kaóny [9], [10]. Pouºitím Feynmanových pravidiel a parametrov modelu dostávame amplitúdu pre s-kvarkový vklad M (s) = C (s) A (s) (gµν (p 1 p ) p ν 1p µ ) e µ (p 1 )e ν (p ), (36) C (s) e = (4π) g ρg σs cos α, A (s) = 1 0 dx 1 x Potom s-kvark dáva príspevok k ²írke rozpadu 0 8m s (4xy 1) dy m s y(1 y)mϕ + xy ( Mϕ M ). f 0 + iϵ Γ (s) = ( ) 1 M ϕ M 3 ( f 0 C (s) Re A (s) 5 3π Mϕ 3 ) = 6.75 ev. (37) 9

Podobne pre vklad kaónov dostávame M (K) = C (K) A (K) (gµν (p 1 p ) p ν 1p µ ) e µ (p 1 )e ν (p ), (38) C (K) e g = ρ g (4π) f0 K + K, A (K) = 1 0 dx 1 x a K-mezónový vklad do ²írky rozpadu ϕ f 0 γ je 0 8 (4xy) dy MK y(1 y)m ϕ + xy ( Mϕ M ) f 0 + iϵ Γ (K) = ( ) 1 M ϕ M 3 f 0 C (K) A (K) 5 3π Mϕ 3. (39) V závislosti od hmotnosti f 0 -mezónu M f0 = 980 ± 10 MeV v rozsahu 970 MeV M f0 990 MeV predpovedáme ²írku rozpadu.39 KeV Γ (K) 0.66 KeV. Ak berieme do úvahy aj vklad s-kvarku, výsledok sa iba málo zmení Γ (K+s) 0.65 KeV (40) a teda vklad K-mezónových slu iek je dominantný. Pre porovnanie experimentálna hodnota je Γ (exp) = 0.47 ± 0.03 KeV [11], vidíme, ºe na²a predpove pribliºne súhlasí s experimentom pre M f0 = 990 MeV. V al²ej asti sa venujeme predpovedi totálneho ú iného prierezu procesu e + e γ ϕf 0 (980) (vi. Obr. 3) pre experiment v Pekingu. Amplitúda daného procesu e + e γ ϕf 0 (980) má tvar e (p ) φ µ (p 1 ) γ ν (p ) e + (p + ) f 0 (p 3 ) Obr. 3: Feynmanov diagram procesu e + e γ ϕf 0 (980). M ( e + (p + )e (p ) γ (p ) ϕ(p 1 )f 0 (p 3 ) ) = J µ QED e ν (p ) = 4πα s i=s,k C ( (i) A 4 π (i) R µν (1) + B (i)r µν () ). (41) alej sumovaním cez polariza né stavy kvadrátu amplitúdy (41) dostaváme { ( pol M = 8πα s 1 s 4 A 1 A B s B ) s 1 (E ( 4Mϕ ϕ 1 β ϕ c ) Mϕ) },(4) kde s 1 = (p 1 p ) = s + M ϕ M f 0, B = B(4sM ϕ /s 1), E ϕ = ( s + M ϕ M f 0 ) / ( s) je cms energia ϕ-mezónu, c = cos θ = cos( p, p 1 ) je kosínus uhla výletu ϕ-mezónu, 10

a β ϕ = λ ( s, Mϕ, M ) ( ) f 0 / s + M ϕ Mf 0 je rýchlos ϕ-mezónu, (λ (x, y, z) = x + y +z xy xz yz). Veli iny A a B v (4) sú zloºené z kvarkového a kaónového vkladu Fázový objem v CMS je A = C (q) A (q) + C (K) A (K), B = C (q) B (q) + C (K) B (K). dγ = d3 p 1 E ϕ d 3 p 3 E f0 (π) 4 (π) 6 δ4 (p + + p p 1 p 3 ) = Takºe pre diferenciálny ú inný prierez dostávame λ ( s, M ϕ, M f0 ) 16πs dc. (43) kde dσ e+ e ϕf 0 d cos θ D(s) = 4π λ(s,mϕ,m f 0 ) 7 πs α E(s) = 4π = πα s ( D(s) + E(s) cos θ ), (44) { ( s 1 A A B s B ) s (E 1 4Mϕ λ(s,m ϕ,m f 0 ) 7 πs α β ϕ E ϕ ( A B s B s 1 4M ϕ ϕ M ϕ) }, (45) ). (46) Potom pre totálny ú inný prierez platí σ(s) = α s (D(s) + 13 E(s) ). (47) Na Obr. 4 vidie príspevky kvarkov a kaónov samostatne pre hodnoty D(s) a E(s). Na Obr. 5 sú tie isté príspevky pre totálny ú inný prierez. V procese e + e γ ϕf 0 (980) oba príspevky sú toho istého rádu na rozdiel od rozpadu ϕ f 0 γ, kde príspevok kvarkovej slu ky bol zanedbate ný. D(s) 0, 0,0 0,18 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 0,06 0,04,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 s 1/, GeV E(s) 0,1 0,10 0,08 0,06 0,04 0,0 0,00,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 s 1/, GeV Obr. 4: Funkcie D(s) a E(s) (vi. (46)), bodkovaná iara je kvarkový príspevok, iarkovaná je kaónový príspevok a plná je totálna hodnota pre D(s) a E(s). 11

(s), nb 1,6 1,4 1, 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 s 1/, GeV Obr. 5: Totálny ú inný prierez procesu e + e γ ϕf 0 (980) (vi (47)). Bodkovaná iara je kvarkový príspevok, iarkovaná je kaónový príspevok a plná je totálna hodnota pre ú inný prierez. 3.4 QED radia né korekcie k rozpadu π 0 e + e Hlavným motívom tejto práce bolo znovu prehodnoti QED radia né korekcie (RK) k rozpadu π 0 e + e [1] s nádejou, ºe nezrovnalos s experimentom [13] ( π 0 e + e ) = (7.48 ± 0.9 ± 0.5) 10 8 (48) B KTeV 0 a modelovo nezávislou teoretickou predpove ou [14] ( π 0 e + e ) = (6. ± 0.1) 10 8 (49) B Theor 0 ktorá je 3.3σ pod KTeV výsledkom (48), bude vrámci tandardného modelu ( M) odstránená. Zamerali sme sa na prepo et príspevku od virtuálnych fotónov, alej od mäkkých a od tvrdých fotónov. Vklad virtuálnych fotónov dáva R virt R 0 = 1 + δ virt, δ virt = α π [ 13 4 L (L 1) ln m e λ + 3 4 L + π 6 + ]. (50) al²i mechanizmus spo íva v kreácii leptonového páru dvomi virtuálnymi fotónmi s emisiou reálneho fotónu bu elektrónom alebo pozitrónom (vi. Obr. 6). Emisia mäkkého fotónu dáva vklad δ soft = α π [ (L 1) ln ε + (L 1) ln m e m π λ + 1 L π 3 ]. (51) e (p ) k π 0 (q) = + +... a) e + (p +) b) Obr. 6: RK emisiou mäkkého fotónu. 1

Emisia tvrdého fotónu bola vy²etrovaná v [15], kde výsledok je δ hard = α [ (L 1) ln ε 3 π (L 1) π m π 3 + 7 ]. (5) 4 Takºe spojením vkladov emitovaného virtuálneho a reálneho fotónu je Rπ RC = 1 + α virt + α soft + α hard = 1 α [ 1 R 0 π 4 L + 3 4 L π + 1 ] 0.968. (53) 4 Napriek tomu sa nám nepodarilo vyrie²i nezrovnalos medzi teoretickou predpove- ou rozpadu (49) a experimentálnou hodnotou (48), preto zostáva priestor pre al²ie experimentálne a teoretické výskumy. 13

Literatúra [1] R. Hofstadter, F. Bumiller, M.R. Yearian: Rev. Mod. Phys., 30, 48 (1958) [] L.V. Fi kov, V.L. Kashevarov: Eur. Phys. J., A5, 85 (1999) [3] S. Dubni ka, A.Z. Dubni ková, M. Se anský: Acta Phys. Slovaca., 55, 5 (005) [4] E. Barto², S. Dubni ka, and E. A. Kuraev: Phys. Rev. D 70 117901-1 (004). [5] E. A. Kuraev, M. Se anský, E. Tomasi-Gustafsson: Phys. Rev. D 73, 15016-1 (006). [6] S. Eidelman et al.: Phys. Lett. B 59 1 (004). [7] P. Rossi et al.: Phys. Rev. C 40 41 (1989). [8] T. Herrmann, R. Rosenfelder: Eur. Phys. J A 9 (1998). [9] Yu.M. Bystritskiy, M. K. Volkov, E. A. Kuraev, E. Barto², M. Se anský: Phys. Rev. D 77, 054008 (008). [10] Yu.M. Bystritskiy, M. K. Volkov, E. A. Kuraev, E. Barto², M. Se anský: Fizika. B 17, 363 (008). [11] KLOE, F. Ambrosino et al., Eur. Phys. J. C49, 473 (007). [1] A. E. Dorokhov, Yu.M. Bystritskiy, E. A. Kuraev, M. Se anský: Eur. Phys. J. C 55, 193 (008) [13] E. Abouzaid et al. Phys. Rev. D75, 01004 (007). [14] A. E. Dorokhov and M. A. Ivanov, Phys. Rev. D75, 114007 (007). [15] L. Bergstrom, Z. Phys. C0, 135 (1983). 14

5 Zoznam publikácií a citácií 5.1 Práce, ktoré tvoria sú as dizerta nej práce S. Dubni ka, A.Z. Dubni ková, M. Se anský: On the problem of evaluation of sum and dierence of pi0 polarizabilities, Acta Phys.Slov.55:5-30,005 E. A. Kuraev, M. Se anský, E. Tomasi-Gustafsson : High energy inelastic electron hadron scattering, in peripheral kinematics. Sum rules for hadron form-factors, Phys.Rev.D73:15016,006. A.V. Berezhnoi, S.N. Koshkarev, A.V. Luchinsky: Lepton pair production in muon scattering by nucleus. arxiv:0709.04 [hep-ph] Yu.M. Bystritskiy, M.K. Volkov, E. A. Kuraev, E. Barto², M. Se anský: The Decay phi f(0)(980) gamma and the process e+ e- phi f(0)(980)., Phys. Rev. D77: 054008, 008. Hua-Xing Chen, Xiang Liu, Atsushi Hosaka, Shi-Lin Zhu : The Y(175) State in the QCD Sum Rule., Phys.Rev.D78:03401,008. Yu.M. Bystritskiy, M.K. Volkov, E. A. Kuraev, E. Barto², M. Se anský: Production of f0-meson in the process e+e- phi f0., Fizika B 17 (008) A.E. Dorokhov, E. A. Kuraev, Yu.M. Bystritskiy, M. Se anský: QED radiative corrections to the decay pi0 e+ e-., Eur.Phys.J.C55:193-198,008. Qin Chang, Ya-Dong Yang: Rare decay pi0 e+ e- as a sensitive probe of light CP-odd Higgs in NMSSM., arxiv:0808.933 [hep-ph] 5. Ostatné práce S. Dubni ka, A.Z. Dubni ková, E. Kuraev, M. Se anský, A. Vinnikov: Polarization transfer measurements of proton form-factors: Deformation by initial collinear photons, hep-ph/05074 C.F. Perdrisat, V. Punjabi, M. Vanderhaeghen: Nucleon Electromagnetic Form Factors. Prog.Part.Nucl.Phys.59:694-764,007. Egle Tomasi-Gustafsson: On radiative corrections for unpolarized electron proton elastic scattering. Phys.Part.Nucl.Lett.4:81-88,007. E. Barto², S. Bakmaev, E. A. Kuraev, M.G. Shatnev, M. Se anský: gamma and 3 gamma annihilation as calibration processes for high energy e+ e- colliders., JETP Lett.87:73-77,008. G. Balossini, C. Bignamini, C.M.Carloni Calame, G. Montagna, O. Nicrosini, F. Piccinini: Photon pair production at avour factories with per mille accuracy., Phys.Lett.B663:09-13,008. 15

Yu.M. Bystritskiy, E. A. Kuraev, M.K. Volkov, M. Se anský: Radiative decays of pseudoscalar (P) and vector (V) mesons and process e+ e- PV., arxiv:0804.3714 [hep-ph] E. Barto², E. A. Kuraev, M. Se anský: Radiative corrections to muon decay in leading and next to leading approximation for electron spectrum., arxiv:0811.44 [hep-ph] E. Barto², Yu.M. Bystritskiy, E. A. Kuraev, M. Se anský, M.K. Volkov: Photoproduction of scalar and pseudoscalar mesons on a lepton within the local Nambu-Jona-Lasinio model., arxiv:090.1384 [hep-ph] 5.3 Príspevky na konferenciách To the problem of evaluation of sum and dierence of π 0 polarizabilities S. Dubni ka, A.Z. Dubni ková, M. Se anský Proc. Hadron Structure Conf. '04, 30.August-3.Sept., 004, Smolenice Castle, Slovak Republic, Eds.: S. Dubnicka, A. Z. Dubnickova, P.Strizenec, J. Urban, J. Vrbakova, P.J.Safarik Univerzity, Kosice(005) p. Production of f0-meson in the process e+e- phi f0 Yu.M. Bystritskiy, M.K. Volkov, E. A. Kuraev, E. Barto², M. Se anský Hadron Structure Conf. '07, 007, Modra-Harmónia, Slovak Republic, Fizika B 17, 363 (008) 16

Summary The Dissertation is concerned of static and dynamic characteristics of various mesons and the deuteron, which are dened in the Introduction. Special attention is payed to the electromagnetic polarizabilities of pions in the Chapter I and the Chapter II. While in the Chapter I is represented a review of present theoretical and experimental situation of the pion polarizabilities, in the Chapter II the problem of an ambiguous determination of the sum and the dierence of the neutral pion polarizabilities is solved by the unambiguous determination of σ meson parameters with the help of the pion scalar form factor and the calculation and the two photon decay of σ meson in the framework of the linearized Nambu- Jona-Lasinio type Lagrangian. In the Chapter III the new deuteron - proton sum rule is derived, by means of which and data on the corresponding physical quantities in the sum rule the mean - square - charge radius of the deuteron is numerically evaluated to be in a satisfactory agreement with the dispersion relations prediction. In the Chapter IV by means of the special Lagrangian of the quark - meson interactions the decay width of ϕ f 0 (980)γ and the total cross - section of the e + e γ ϕf 0 (980) process is predicted. In the last Chapter V we have tried to solve the conict between the measured and theoretically predicted branching ratio of the process π 0 e + e decay by the inclusion of the double - logarithmic QED radiative corrections. Despite of the latter, the discrepancy between the theoretical prediction and the experimental result for the π 0 e + e decay was not removed and further independent experimental and theoretical eorts have to be continued. 17